專題四

三角函數與解三角形

第十二講

解三角形

2019年

1.（全國Ⅱ文15）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.2.（2019全國Ⅰ文11）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=

A．6

B．5

C．4

D．3

3.（2019北京文15）在△ABC中，a=3，cosB=．

（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）求sin（B+C）的值．

4.（2019全國三文18）的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．

（1）求B；

（2）若為銳角三角形，且c=1，求面積的取值范圍．

5.（2019天津文16）在中，內角所對的邊分別為.已知，.（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.6.（2019江蘇15）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．

（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；

（2）若，求的值．

7.（2019浙江14）在中，，點在線段上，若，則____，________.2010-2018年

一、選擇題

1．(2018全國卷Ⅱ)在中，，則

A．

B．

C．

D．

2．(2018全國卷Ⅲ)的內角，的對邊分別為，．若的面積為，則

A．

B．

C．

D．

3．（2017新課標Ⅰ）的內角、、的對邊分別為、、．已知，，則=

A．

B．

C．

D．

4．（2016全國I）△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，，則=

A．

B．

C．2

D．3

5．（2016全國III）在中，邊上的高等于，則

A．

B．

C．

D．

6．（2016山東）中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，則A=

A．

B．

C．

D．

7．(2015廣東)設的內角的對邊分別為，．若，，且，則

A．

B．

C．

D．

8．(2014新課標2)鈍角三角形的面積是，，則=

A．5

B．

C．2

D．1

9．（2014重慶）已知的內角，滿足=，面積滿足，記，分別為，所對的邊，則下列不等式一定成立的是

A．

B．

C．

D．

10．（2014江西）在中，，分別為內角，所對的邊長，若，則的面積是

A．3

B．

C．

D．

11．（2014四川）如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，此時氣球的高是，則河流的寬度等于

A．

B．

C．

D．

12．（2013新課標1）已知銳角的內角的對邊分別為，，則

A．

B．

C．

D．

13．（2013遼寧）在，內角所對的邊長分別為．若，且，則=

A．

B．

C．

D．

14．（2013天津）在△ABC中，則=

A．

B．

C．

D．

15．(2013陜西)設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,則△ABC的形狀為

A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．不確定

16．(2012廣東)在中，若，則

A．

B．

C．

D．

17．（2011遼寧）的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則

A．

B．

C．

D．

18．（2011天津）如圖，在△中，是邊上的點，且，則的值為

A．

B．

C．

D．

19．（2010湖南）在中，角所對的邊長分別為．若，則

A．

B．

C．

D．與的大小關系不能確定

二、填空題

20．(2018全國卷Ⅰ)△的內角的對邊分別為，已知，則△的面積為__．

21．(2018浙江)在中，角，所對的邊分別為，．若，，則=___________，=___________．

22．(2018北京)若的面積為，且為鈍角，則=

；的取值范圍是

．

23．(2018江蘇)在中，角所對的邊分別為，的平分線交于點D，且，則的最小值為

．

24．（2017新課標Ⅱ）的內角,，的對邊分別為，，若，則

25．（2017新課標Ⅲ）的內角，的對邊分別為，．已知，，則=_______．

26．（2017浙江）已知，．?點為延長線上一點，連結，則的面積是_______，=_______．

27．（2016全國Ⅱ）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則_____．

28．（2015北京）在△中，則=

_________．

29．(2015重慶)設的內角的對邊分別為，且，，則=________．

30．（2015安徽）在中，，則

．

31．(2015福建)若銳角的面積為，且，則等于

．

32．(2015新課標1)在平面四邊形中，，則的取值范圍是_______．

33．（2015天津）在中，內角所對的邊分別為，已知的面積為，，則的值為

．

34．（2015湖北）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度

m．

35．（2014新課標1）如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點．從點測得點的仰角，點的仰角以及；從點測得．已知山高，則山高________．

36．（2014廣東）在中，角所對應的邊分別為，已知，則

．

37．（2013安徽）設的內角所對邊的長分別為．若，則

則角_____．

38．（2013福建）如圖中，已知點D在BC邊上，ADAC，，則的長為_______________．

39．（2012安徽）設的內角所對的邊為；則下列命題正確的是

．

①若；則

②若；則

③若；則

④若；則

⑤若；則

40．（2012北京）在中，若，則=

．

41．（2011新課標）中，則AB+2BC的最大值為____．

42．（2011新課標）中，則的面積為_

__．

43．（2010江蘇）在銳角三角形，，分別為內角，所對的邊長，則=_______．

44．（2010山東）在中，角所對的邊分別為，若，則角的大小為

．

三、解答題

45．（2018天津）在中，內角，所對的邊分別為，．已知．

(1)求角的大小；

(2)設，求和的值．

46．（2017天津）在中，內角所對的邊分別為．已知，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

47．（2017山東）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，求和．

48．（2015新課標2）中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，?ABD面積是?ADC面積的2倍．

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)

若AD=1，DC=，求BD和AC的長．

49．（2015新課標1）已知分別是內角的對邊，．

（Ⅰ）若，求

（Ⅱ）若，且，求的面積．

50．（2014山東）中，，分別為內角，所對的邊長．已知，．

（Ｉ）求的值；

（II）求的面積．

51．（2014安徽）設的內角所對邊的長分別是，且，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

52．（2013新課標1）如圖，在中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P為△ABC內一點，∠BPC＝90°．

（Ⅰ）若PB=，求PA；

（Ⅱ）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．

53．（2013新課標2）在內角的對邊分別為，已知．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求△面積的最大值．

54．（2012安徽）設的內角所對邊的長分別為，且有

．

（Ⅰ）求角A的大??；

（Ⅱ)

若，為的中點，求的長．

55．（2012新課標）已知、、分別為三個內角、、的對邊，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，的面積為，求、．

56．（2011山東）在中，，分別為內角，所對的邊長．已知

．

（I）求的值；

（II）若，的面積．

57．（2011安徽）在中，，分別為內角，所對的邊長，=，=，求邊BC上的高．

58．（2010陜西）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點，現位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達D點需要多長時間？

59．（2010江蘇）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿BC的高度=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=．

（1）該小組已經測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請據此算出H的值；

（2）該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為125m，試問為多少時，最大？

專題四

三角函數與解三角形

第十二講

解三角形

答案部分

2019年

1.解析

因為bsinA+acosB=0，所以由正弦定理，可得：，因為，所以可得，可得，因為，所以．

2.解析因為的內角的對邊分別為.利用正弦定理將角化為邊可得

①

由余弦定理可得

②

由①②消去得，化簡得，即.故選A．

3.解析（Ⅰ）由余弦定理，得

．

因為，所以．

解得．則．

（Ⅱ）由，得．

由正弦定理得，．

在中，所以

4.解析（1）由題設及正弦定理得．

因為，所以．

由，可得，故．

因為，故，因此．

（2）由題設及（1）知△ABC的面積．

由正弦定理得．

由于為銳角三角形，故，由（1）知，所以，故，從而．

因此，面積的取值范圍是．

5.解析（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因為，得到，.由余弦定理可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，從而，故.6.解析

（1）由余弦定理，得，即.所以.（2）因為，由正弦定理，得，所以.從而，即，故.因為，所以，從而.因此.7.解析：在直角三角形ABC中，，，在中，可得；，所以.2010-2018年

1．A【解析】因為，所以由余弦定理，得，所以，故選A．

2．C【解析】根據題意及三角形的面積公式知，所以，所以在中，．故選C．

3．B【解析】由，得，即，所以，因為為三角形的內角，所以，故，即，所以．

由正弦定理得，由為銳角，所以，選B．

4．D【解析】由余弦定理，得，整理得，解得

或

（舍去），故選D．

5．D【解析】設邊上的高為，則，所以．由正弦定理，知，即，解得，故選D．

6．C【解析】由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以．

7．C【解析】由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因為，所以，故選B．

8．B【解析】，∴，所以或．

當時，此時，易得與“鈍角三角形”矛盾；

當時，．

9．A【解析】因為，由

得，即，整理得，又，因此，由

得，即，因此選項C、D不一定成立．又，因此，即，選項A一定成立．又，因此，顯然不能得出，選項B不一定成立．綜上所述，選A．

10．C【解析】由可得①，由余弦定理及

可得②．所以由①②得，所以．

11．C【解析】∵，∴

12．D【解析】，由余弦定理解得

13．A【解析】邊換角后約去，得，所以，但B非最大角，所以．

14．C【解析】由余弦定理可得，再由正弦定理得．

15．B【解析】∵，∴由正弦定理得，∴，∴,∴，∴△ABC是直角三角形．

16．B【解析】由正弦定理得：

17．D【解析】由正弦定理，得，即，∴．

18．D【解析】設，則，，在中，由余弦定理得，則，在中，由正弦定理得，解得．

19．A【解析】因為，所以，所以

因為，所以，所以．故選A．

20．【解析】由得，因為，所以，因為，所以

所以，所以．

21．；3【解析】因為，，所以由正弦定理得

．由余弦定理可得，所以．

22．【解析】的面積，所以，因為，所以．

因為為鈍角，所以，所以，所以，故的取值范圍為．

23．9【解析】因為，的平分線交于點，所以，由三角形的面積公式可得，化簡得，又，所以，則，當且僅當時取等號，故的最小值為9．

24．【解析】由正弦定理得

即，所以，又為三角形內角，所以．

25．75°【解析】由正弦定理，即，結合可得，則．

26．,【解析】由余弦定理可得，由

所以，．

因為，所以，所以，27．【解析】∵，所以，所以，由正弦定理得：解得．

28．【解析】由正弦定理，得，即，所以，所以．

29．4【解析】由及正弦定理知：，又因為，所以；

由余弦定理得：，所以．

30．2【解析】由正弦定理可知：

．

31．7【解析】由已知得的面積為，所以，所以．由余弦定理得，．

32．【解析】如圖作，使，作出直線分別交線段、于、兩點（不與端點重合），且使，則四邊形就是符合題意的四邊形，過作的平行線交于點，在中，可求得，在中，可求得，所以的取值范圍為．

33．8

【解析】因為，所以，又，解方程組，得，由余弦定理得，所以．

34．【解析】依題意，，在中，由，所以，因為，由正弦定理可得，即

m，在中，因為，所以，所以

m．

35．150【解析】在三角形中，在三角形中，解得，在三角形中，故．

36．2【解析】

由得：，即，∴，故．

37．【解析】，所以．

38．【解析】∵

根據余弦定理可得

39．①②③【解析】

①

②

③當時，與矛盾

④取滿足得：

⑤取滿足得：

40．4【解析】根據余弦定理可得，解得b=4

41．【解析】在中，根據，得，同理，因此

42．【解析】根據得，所以

=．

43．4【解析】（方法一）考慮已知條件和所求結論對于角A、B和邊a、b具有輪換性．

當A=B或a=b時滿足題意，此時有：，，=

4．（方法二），．

由正弦定理，得：上式=

44．【解析】

由得，即，因，所以.又因為

由正弦定理得，解得，而則,故．

45．【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．

又因為，可得．

(2)在中，由余弦定理及，，有，故．

由，可得．因為，故．

因此，所以，46．【解析】（Ⅰ）由，及，得．

由，及余弦定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，代入，得．

由（Ⅰ）知，A為鈍角，所以．

于是，故．

47．【解析】因為，所以，又，所以，因此，又，所以，又，所以，由余弦定理，得，所以．

48．【解析】(Ⅰ)

因為，所以．

由正弦定理可得．

(Ⅱ)因為，所以．在和中，由余弦定理得，．

．由(Ⅰ)知，所以．

49．【解析】（Ⅰ）由題設及正弦定理可得．

又，可得，由余弦定理可得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

因為，由勾股定理得．

故，得．

所以的面積為1．

50．【解析】（I）在中，由題意知，又因為，所有，由正弦定理可得．

（II）由得，由，得．

所以

．

因此，的面積．

51．【解析】：（Ⅰ）∵，∴，由正弦定理得

∵，∴．

（Ⅱ）由余弦定理得，由于，∴，故．

52．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得

==，∴PA=；

（Ⅱ）設∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，化簡得，∴=，∴=．

53．【解析】（Ⅰ）因為，所以由正弦定理得：，所以，即，因為0，所以，解得B=；

（Ⅱ）由余弦定理得：，即，由不等式得：，當且僅當時，取等號，所以，解得，所以△ABC的面積為=，所以△面積的最大值為．

54．【解析】（Ⅰ）

（II）

在中，55．【解析】（1）由正弦定理得：

（2），解得：．

56．【解析】（I）由正弦定理，設

則

所以

即，化簡可得又，所以，因此

（II）由得

由余弦定理

解得．因此．

又因為所以

因此

57．【解析】由，得

再由正弦定理，得

由上述結果知

設邊BC上的高為，則有

58．【解析】由題意知海里，在中，由正弦定理得

=（海里），又海里，在中，由余弦定理得

=

30（海里），則需要的時間（小時）．

答：救援船到達點需要1小時．

59．【解析】（1），同理：，．

AD—AB=DB，故得，解得．

因此，算出的電視塔的高度是124m．

（2）由題設知，得，（當且僅當時，取等號）故當時，最大．

因為，則，所以當時，-最大．

故所求的是m．