第一篇：隨機(jī)過(guò)程讀書(shū)筆記之主要方面
隨機(jī)過(guò)程讀書(shū)筆記之主要方面
(一)整理概率論的基本內(nèi)容：包括樣本空間，事件，概率，條件概率，獨(dú)立事件，貝葉斯公
式，全概率公式；并給出相應(yīng)概念的若干應(yīng)用例子。整理概率的基本性質(zhì)，包括概率的有限可加性，單調(diào)性，連續(xù)性等。
(二)給出隨機(jī)變量的定義，對(duì)引入隨機(jī)變量的必要性（或?yàn)槭裁匆腚S機(jī)變量）給出你的理
解；給出隨機(jī)變量的累計(jì)概率分布函數(shù)，離散型隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)和連續(xù)性隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的定義；并總結(jié)幾類(lèi)重要的離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量。
(三)介紹Riemann-Stieltjes的積分定義是怎么回事，給出隨機(jī)變量的期望的Riemann-Stieltjes
定義，并在此基礎(chǔ)上給出離散型和連續(xù)性隨機(jī)變量的期望的具體計(jì)算公式；總結(jié)期望的性質(zhì)。
(四)給出隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的定義，并引入兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性的定義；利用聯(lián)合分布函數(shù)，聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)，聯(lián)合概率密度函數(shù)，期望，方差，母函數(shù)等概念描述兩個(gè)隨機(jī)變量是獨(dú)立的條件。
(五)給出條件期望的引入過(guò)程，條件期望的定義和若干重要性質(zhì)，包括全期望公式，舉例說(shuō)
明全期望公式的重要性。
(六)給出利用逆變換方法模擬分布函數(shù)為F(x)的隨機(jī)變量的理論基礎(chǔ)，并給出模擬指數(shù)隨機(jī)
變量和二項(xiàng)隨機(jī)變量的具體過(guò)程。
(七)給出隨機(jī)過(guò)程的定義和相關(guān)理解（包括隨機(jī)過(guò)程與隨機(jī)變量的區(qū)別和聯(lián)系），給出隨機(jī)
過(guò)程的有限維分布函數(shù)族的定義，并舉例如何求解隨機(jī)過(guò)程的一維和二維分布函數(shù)。
(八)總結(jié)隨機(jī)過(guò)程的若干數(shù)字特征的定義和理解，包括均值函數(shù)，方差函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)，相關(guān)函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)，互協(xié)方差函數(shù)。
(九)總結(jié)幾種重要的隨機(jī)過(guò)程的定義和相關(guān)理解，包括正交增量過(guò)程，獨(dú)立增量過(guò)程，馬爾
科夫過(guò)程，正態(tài)過(guò)程和維納過(guò)程等。
第二篇：隨機(jī)過(guò)程考試題
一．詳述嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程與寬平穩(wěn)過(guò)程的區(qū)別與聯(lián)系。
二．證明獨(dú)立增量過(guò)程是馬爾科夫過(guò)程。
三．某服務(wù)臺(tái)從上午8時(shí)開(kāi)始有無(wú)窮多人排隊(duì)等候服務(wù)，設(shè)只有一名工作人員，每人接受服務(wù)的時(shí)間是獨(dú)立的且服從均值為20min的指數(shù)分布。計(jì)算：
(1)到中午12時(shí)，有多少人離去？
(2)有9人接受服務(wù)的概率是多少？
四．設(shè)N(t)為泊松過(guò)程，構(gòu)造隨機(jī)過(guò)程如下：
Z(0)?0，Z(t)=?Yi
i?1N(t)
其中｛Yi｝為獨(dú)立同分布的隨即變量序列，且與N(t)獨(dú)立。已知Yi的特征函數(shù)為?Y(u)，求：
(1)Z(t)的一階特征函數(shù)
(2)求E[Z(t)], E[Z2(t)]和var[Z(t)]
五．設(shè)馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間I=｛0,1,…｝中轉(zhuǎn)移概率為pi,i?1?1/2，pi0?1/2，i=0,1,2…，畫(huà)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖并對(duì)狀態(tài)分類(lèi)。
六．設(shè)隨機(jī)過(guò)程Z(t)?Asin(2??1t??2)，其中A是常數(shù)，?1與?2是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，?1服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，?2在[??,?]上均勻分布，證明：
(1)Z(t)是寬平穩(wěn)過(guò)程
(2)Z(t)的均值是各態(tài)歷經(jīng)的
第三篇：隨機(jī)過(guò)程證明題 合工大
一、證明題
?證明公式EE?X|Y??EX
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以X、Y為連續(xù)性分布進(jìn)行證明，離散情形類(lèi)似
設(shè)其邊緣分布函數(shù)和聯(lián)合分布函數(shù)分別為fX?x?,fY?y?和f?x,y?記m?y?=E?X|Y?y?=?x?fX|Y?x,y?dx??x-?
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?矩母函數(shù)相關(guān)證明
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2.由矩母函數(shù)可以求得X的k階原點(diǎn)矩的值E?Xk??g?k??0??gY'?t??EN??gX?t???
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又?E???Y?m?X??|X???E?Y|X??E?m?X?|X?
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222?EE???Y?m?X???m?X??g?X??|X??運(yùn)用性質(zhì)E?E?X|Y???EX??E??Y?g?X????E??Y?m?X????E??m?X??g?X????E??Y?m?X????E??Y?E?Y|X???
第四篇：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程實(shí)驗(yàn)報(bào)告
實(shí)驗(yàn)三 線(xiàn)性系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)過(guò)程的響應(yīng)
一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>
通過(guò)本仿真實(shí)驗(yàn)了解正態(tài)白色噪聲隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)后相關(guān)函數(shù)以及功率譜的變化；培養(yǎng)計(jì)算機(jī)編程能力。
二、實(shí)驗(yàn)要求
采用MATLAB或VB語(yǔ)言進(jìn)行編程
1)運(yùn)用正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)產(chǎn)生均值為零、根方差=1的白色噪聲樣本序列[或可參考實(shí)驗(yàn)1的正態(tài)分布產(chǎn)生方法]{u(n)|n=1, 2,…,2000}；畫(huà)出噪聲u(n)的波形圖。2)設(shè)離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的差分方程為
x(n)?u(n)-0.36u(n-1)?0.85u(n-2)(n?3,4,...,2000)畫(huà)出x(n)的波形圖。
3)隨機(jī)過(guò)程x(n)的理論上的功率譜密度函數(shù)為 S(?)?|1?0.36e?j??0.85e?j2?|2 在[0,π]范圍內(nèi)對(duì)w進(jìn)行采樣，采樣間隔0.001π，計(jì)算S(i×
0.001π)(i=1,2,…,1000);畫(huà)出波形圖。
4)根據(jù)步驟(2)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)序列x(n)計(jì)算相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值 ?(m)?RX20001x(n)x(n?m)(m?0,1,2,3,4,5)?1998?mn?3?m 與理論值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差異。
5)根據(jù)相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值對(duì)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)
?(0)?2R?(1)cos(?)?2R?(2)cos(2?)S1(?)?RXXX 在[0,π]范圍內(nèi)對(duì)w進(jìn)行采樣，采樣間隔0.001π，計(jì)算S1(i× 0.001π)(i=1,2,…,1000);畫(huà)出波形圖；比較其與理論上的功率 譜密度函數(shù)S(w)的差異。
6)仿照實(shí)驗(yàn)1的方法統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)x(n)在不同區(qū)間出現(xiàn)的概率,計(jì)算其理論概率，觀察二者是否基本一致。
三、實(shí)驗(yàn)代碼及結(jié)果
1.運(yùn)用正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)產(chǎn)生均值為零、根方差=1的白色噪聲樣本序列[或可參考實(shí)驗(yàn)1的正態(tài)分布產(chǎn)生方法]{u(n)|n=1, 2,…,2000}；畫(huà)出噪聲u(n)的波形圖。代碼：
n=1:2000;u1(n)=rand(1,2000);u2(n)=rand(1,2000);u(n)=sqrt(-2*log(u1(n))).*cos(2*pi*u2(n));stem(u,'.');title('u(n)');波形圖：
分析：運(yùn)用正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)產(chǎn)生均值為零、根方差?=1的白色噪聲樣本序列。
2.設(shè)離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的差分方程為 x(n)?u(n)-0.36u(n-1)?0.85u(n-2)(n?3,4,...,2000)畫(huà)出x(n)的波形圖。代碼：
n=3:2000;x(n)=u(n)-0.36*u(n-1)+0.85*u(n-2);stem(x,'.');title('x(n)');波形圖：
分析：正態(tài)隨機(jī)序列通過(guò)線(xiàn)性離散系統(tǒng)生成的還是正態(tài)隨機(jī)序列。3.隨機(jī)過(guò)程x(n)的理論上的功率譜密度函數(shù)為 S(?)?|1?0.36e?j??0.85e?j2?|在[0,π]范圍內(nèi)對(duì)w進(jìn)行采樣，采樣間隔0.001π，計(jì)算S(i×
0.001π)(i=1,2,…,1000);畫(huà)出波形圖。代碼：
i=1:1000;w=0.001*pi.*i;s=(abs(1-0.36.*exp((-1j).*w)+0.85.*exp((-2j).*w))).*(abs(1-0.36.*exp((-1j).*w)+0.85.*exp((-2j).*w)));stem(s,'.');title('s(i*0.001*pi)');波形圖：
4.根據(jù)步驟(2)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)序列x(n)計(jì)算相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值 ?(m)?RX20001?x(n)x(n?m)(m?0,1,2,3,4,5)1998?mn?3?m 與理論值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差異。代碼：
Rx=rand(1,6);for m=1:1:6 sum=0;for n=(3+m):1:2000 sum=sum+x(n)*x(n-m+1);end Rx(m)=sum/(1999-m);end S1=rand(1,1000);for i=1:1:1000 S1(i)=Rx(1)+2*Rx(2)*cos(i*0.001*pi)+2*Rx(3)*cos(2*i*0.001*pi);end figure stem(S1)運(yùn)行結(jié)果：
分析：所得的數(shù)據(jù)與理論值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0存在一定的差異。5.根據(jù)相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值對(duì)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)
?(0)?2R?(1)cos(?)?2R?(2)cos(2?)S1(?)?RXXX 在[0,π]范圍內(nèi)對(duì)w進(jìn)行采樣，采樣間隔0.001π，計(jì)算S1(i× 0.001π)(i=1,2,…,1000);畫(huà)出波形圖；比較其與理論上的功率 譜密度函數(shù)S(w)的差異。代碼：
N=1000;P1=0;P2=0;P3=0;P4=0;for n=3:1:N If(x(n)<-1)P1=P1+1;else if(x(n)>=-1&x(n)<=0)P2=P2+1;else if(x(n)>0&x(n)<=1)P3=P3+1;else P4=P4+1;end end end end p1=P1/N p2=P2/N p3=P3/N p4=P4/N p=p1+p2+p3+p4 figure hist(x,1000)return 運(yùn)行結(jié)果：
分析：采樣計(jì)算得到的功率譜密度函數(shù)比較其與理論上的功率譜密度函數(shù)相比，沒(méi)有完全成偶對(duì)稱(chēng)。數(shù)據(jù)的概率分布沒(méi)有理論那樣均勻。6.分析：
理論概率Rx = 1.8315-0.6430 0.8528-0.0473-0.0096-0.0102。所以二者基本一致。
第五篇：應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程學(xué)習(xí)總結(jié)
應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程學(xué)習(xí)總結(jié)
一、預(yù)備知識(shí)：概率論
隨機(jī)過(guò)程屬于概率論的動(dòng)態(tài)部分，即隨機(jī)變量隨時(shí)間不斷發(fā)展變化的過(guò)程，它以概率論作為主要的基礎(chǔ)知識(shí)。
1、概率空間方面，主要掌握sigma代數(shù)和可測(cè)空間，在隨機(jī)過(guò)程中由總體樣本空間所構(gòu)成的集合族。符號(hào)解釋?zhuān)?sup表示上確界，inf表示下確界。本帖隱藏的內(nèi)容
2、數(shù)字特征、矩母函數(shù)與特征函數(shù)：隨機(jī)變量完全由其概率分布來(lái)描述。其中由于概率分布較難確定，因此通常計(jì)算隨機(jī)變量的數(shù)字特征來(lái)估算分布總體，而矩母函數(shù)和特征函數(shù)便用于隨機(jī)變量的N階矩計(jì)算，同時(shí)唯一的決定概率分布。
3、獨(dú)立性和條件期望：獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布通常由卷積來(lái)表示，對(duì)于同為分布函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)，卷積可以交換順序，同時(shí)滿(mǎn)足結(jié)合律和分配率。條件期望中，最重要的是理解并記憶E(X)= E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。
二、隨機(jī)過(guò)程基本概念和類(lèi)型
隨機(jī)過(guò)程是概率空間上的一族隨機(jī)變量。因?yàn)檠芯侩S機(jī)過(guò)程主要是研究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，由Kolmogorov定理可知，隨機(jī)過(guò)程的有限維分布族是隨機(jī)過(guò)程概率特征的完整描述。同樣，隨機(jī)過(guò)程的有限維分布也通過(guò)某些數(shù)值特征來(lái)描述。
1、平穩(wěn)過(guò)程，通常研究寬平穩(wěn)過(guò)程：如果X(t1)和X(t2)的自協(xié)方差函數(shù)r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即隨機(jī)過(guò)程X(t)的協(xié)方差函數(shù)r(t,s)只與時(shí)間差t-s有關(guān)，r(t)= r(-t)記為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。
因?yàn)橐粭l隨機(jī)序列僅僅是隨機(jī)過(guò)程的一次觀察，那么遍歷性問(wèn)題便是希望將隨即過(guò)程的均值和自協(xié)方差從這一條樣本路徑中估計(jì)出來(lái)，因此寬平穩(wěn)序列只需滿(mǎn)足其均值遍歷性原理和協(xié)方差遍歷性原理即可。
2、獨(dú)立增量過(guò)程：若X[Tn]– X[T(n-1)]對(duì)任意n均相互獨(dú)立，則稱(chēng)X(t)是獨(dú)立增量過(guò)程。若獨(dú)立增量過(guò)程的特征函數(shù)具有可乘性，則其必為平穩(wěn)增量過(guò)程。
兼有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量的過(guò)程稱(chēng)為平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程，其均值函數(shù)一定是時(shí)間t的線(xiàn)性函數(shù)。
3、隨機(jī)過(guò)程的分類(lèi)不是絕對(duì)的。例如，泊松過(guò)程既具有獨(dú)立增量又有平穩(wěn)增量，既是連續(xù)時(shí)間的馬爾科夫鏈，又是一類(lèi)特殊的更新過(guò)程。參數(shù)為lambda的泊松過(guò)程減去其均值函數(shù)同時(shí)還是一個(gè)鞅。
三、泊松過(guò)程
計(jì)數(shù)過(guò)程｛N(t), t>=0｝是參數(shù)為λ的泊松過(guò)程（λ> 0），具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性。而其任意時(shí)間長(zhǎng)度t發(fā)生的次數(shù)服從均值為λ* t的泊松分布，即E[N(t)]= λ* t。
1、與泊松過(guò)程有關(guān)的若干分布：Xn表示第n次與第n-1次事件發(fā)生的時(shí)間間隔，定義Tn表示第n次事件發(fā)生的時(shí)刻，規(guī)定T0= 0。其中，Xn服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，且相互獨(dú)立。泊松過(guò)程在任何時(shí)候都是重新開(kāi)始。Tn服從參數(shù)為n和λ的Γ分布
四、更新過(guò)程
更新過(guò)程{N(t),t>=0}中Xn仍保持獨(dú)立同分布性，但分布任意，不再局限于指數(shù)分布。更新過(guò)程中事件發(fā)生一次叫做一次更新，此時(shí)Xn就是第n-1次和第n次更新相距的時(shí)間，Tn是第n次更新發(fā)生的時(shí)刻，而N(t)就是t時(shí)刻之前發(fā)生的總的更新次數(shù)。
由強(qiáng)大數(shù)定理可知，無(wú)窮多次更新只可能在無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)發(fā)生。因此，有限長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)最多只能發(fā)生有限次更新。
1、更新函數(shù)：更新理論中大部分內(nèi)容都是有關(guān)E[N(t)]的性質(zhì)。以M(t)記為E[N(t)]，稱(chēng)為更新函數(shù)。此時(shí)，M(t)是關(guān)于t的函數(shù)而不是隨機(jī)變量。
2、更 新方程：若H(t)，F(xiàn)(t)為已知，且當(dāng)t<0時(shí)，H(t)與F(t)均為0，同時(shí)當(dāng)H(t)在任何區(qū)間上有界時(shí)，稱(chēng)具有如下形式的方程K(t)= H(t)+ intergral(K(t-s)*dF(s))的方程稱(chēng)為更新方程。當(dāng)H(t)為有界函數(shù)時(shí)，更新方程存在唯一的有限區(qū)間內(nèi)的有界的解K(t)= H(t)+ intergral(H(t-s)*dM(s))。
3、更新定理：Feller初等定理、Blackwell更新定理、關(guān)鍵更新定理。其中Blackwell定理指出，在遠(yuǎn)離原點(diǎn)的某長(zhǎng)度為a的區(qū)間內(nèi)，更新次數(shù)的期望是a/u，u = E(Xn)。同時(shí)，Smith關(guān)鍵更新定理與Blackwell定理等價(jià)。
五、馬爾科夫鏈 馬 爾科夫鏈中的轉(zhuǎn)移概率為條件概率，同時(shí)給定過(guò)去的狀態(tài)X0，?，Xn-1和現(xiàn)在的狀態(tài)Xn，將來(lái)的狀態(tài)Xn+1的條件分布與過(guò)去的狀態(tài)獨(dú)立，只依賴(lài)于現(xiàn)在 的狀態(tài)。其中，Pij = P{Xn+1=j | Xn=i}為馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率，它代表處于狀態(tài)i的過(guò)程下一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率。
當(dāng)轉(zhuǎn)移概率Pij只與狀態(tài)i，j有關(guān)而與n無(wú)關(guān)時(shí)，稱(chēng)為時(shí)齊馬爾科夫鏈，同時(shí)當(dāng)狀態(tài)有限時(shí)，稱(chēng)為有限鏈。轉(zhuǎn)移概率矩陣中概率非負(fù)，同時(shí)隨機(jī)矩陣中每一行的元素和為1。
記Pij(n)為n步轉(zhuǎn)移概率，它指系統(tǒng)從狀態(tài)i經(jīng)過(guò)n步后轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率，而對(duì)中間n-1步轉(zhuǎn)移經(jīng)過(guò)的狀態(tài)無(wú)要求。對(duì)n步轉(zhuǎn)移概率和轉(zhuǎn)移矩陣，有C-K方程公式。
1.狀態(tài)的分類(lèi)和性質(zhì)：如果狀態(tài)i經(jīng)過(guò)n步轉(zhuǎn)移后到達(dá)j的概率大于0，稱(chēng)狀態(tài)i可達(dá)狀態(tài)j。若同時(shí)狀態(tài)j可達(dá)狀態(tài)i，則稱(chēng)i與j互通，兩兩互通的狀態(tài)有傳遞 性。我們將互通的各個(gè)狀態(tài)歸為一類(lèi)，自己和自己互通，當(dāng)一個(gè)馬爾科夫鏈中只有一類(lèi)時(shí)稱(chēng)為不可約類(lèi)，否則則是可約類(lèi)。
如果狀態(tài)i可以經(jīng)過(guò)n步回到i狀態(tài)，則將所有n的最大公約數(shù)記為狀態(tài)i的周期，即d(i)，如果d>1，則稱(chēng)i是周期的，如果d=1則為非周期，空集時(shí)為無(wú)窮大。同屬于一類(lèi)的兩狀態(tài)周期相同。
記 狀態(tài)i出發(fā)經(jīng)n步后首次到達(dá)j的概率為Fij(n)，則所有可能n的概率Fij(n)加起來(lái)的和記為Fij。若Fij=1，i為常返狀態(tài)，F(xiàn)ij< 1，i為非常返狀態(tài)或瞬時(shí)狀態(tài)。對(duì)于常返狀態(tài)i，記Ui為從i第一次回到i的期望步長(zhǎng)，若Ui有限，稱(chēng)i為正常返狀態(tài)，若趨于無(wú)窮大，則為零常返狀態(tài)。若 正常返狀態(tài)i同時(shí)還是非周期的，則稱(chēng)之為遍歷狀態(tài)。若遍歷狀態(tài)且Fii(1)=1，則稱(chēng)為吸收狀態(tài)，此時(shí)Ui=1。
對(duì)于同屬于一類(lèi)的狀態(tài)i，j，他們同為常返狀態(tài)或非常返狀態(tài)，并且當(dāng)他們是常返狀態(tài)時(shí)，又同為正常返狀態(tài)或零常返狀態(tài)。狀態(tài)i至j的n步轉(zhuǎn)移概率與首達(dá)概率間存在一定關(guān)系。同時(shí)若i與j互通且i為常返狀態(tài)，則Fji = 1。2.極限定理及平穩(wěn)分布：馬爾科夫鏈的極限情況即狀態(tài)i經(jīng)過(guò)無(wú)窮多步轉(zhuǎn)移后到達(dá)i的概率是多少。有結(jié)論，若狀態(tài)i是周期為d的常返狀態(tài)，則Pii(nd)= d/Ui，即經(jīng)過(guò)無(wú)窮多步后回到i的概率為常數(shù)，上述定理對(duì)Pij也有效。同時(shí)，不可約的有限馬爾科夫鏈?zhǔn)钦７档摹?/p>
若 對(duì)于馬爾科夫鏈Pj = P(Xn = j)= sum(Pi*Pij)，則概率分布Pj為平穩(wěn)分布。因?yàn)榇藭r(shí)，對(duì)于任意Xn均有相同的分布。同時(shí)，對(duì)于遍歷的馬爾科夫鏈，極限分布就是平穩(wěn)分布并且還是 唯一的平穩(wěn)分布。極限分布即為很長(zhǎng)時(shí)間后，無(wú)論最開(kāi)始狀態(tài)如何，最終達(dá)到某一狀態(tài)的概率。若對(duì)于遍歷的馬爾科夫鏈，該概率是穩(wěn)定的趨于常數(shù)。
3.連續(xù)時(shí)間馬爾科夫鏈、Kolmogorov微分方程
六、鞅
鞅 的定義是從條件期望出發(fā)，如果每次賭博的輸贏機(jī)會(huì)是均等的，并且賭博策略依賴(lài)于前面的賭博結(jié)果，賭博是“公平的”。因此，任何賭博者都不可能通過(guò)改變賭博 策略將公平的賭博變成有利于的賭博。如果將“鞅”描述的是“公平”的賭博，下鞅和上鞅分別描述了“有利”賭博與“不利”賭博。
隨機(jī)過(guò)程｛Sn, n>=0｝稱(chēng)為Fn=sigma{X0,X1,?,Xn}適應(yīng)的，如果對(duì)任意n>=0，Sn是Fn可測(cè)的，即Sn可以表示為X0,X1,X2,?,Xn的函數(shù)
1.鞅的停時(shí)定理：任意隨機(jī)函數(shù)T是關(guān)于{Xn，n>=0}的停時(shí)，即{T=n}應(yīng)由n時(shí)刻及其之前的信息完全確定，而不需要也無(wú)法借助將來(lái)的情況，同時(shí)T必須是一個(gè)停時(shí)。同時(shí)，{T<=n}和{T>=n}也由n時(shí)刻及其之前的信息完全確定。若T和S是兩個(gè)停時(shí)，則 T+S，min{T,S}和max{T,S}也是停時(shí)。
則在一直Fn完全信息的前提下，有界停時(shí)的期望賭本與初始賭本相同。特別的，當(dāng)完全信息未知時(shí)，有界停時(shí)的期望賭本與初始賭本的期望相同。
2.鞅的一致可積性：如果對(duì)任意ε>0，存在δ>0，使得對(duì)任意A，當(dāng)P(A)<δ時(shí)，有E(|Xn|Ia)<ε對(duì)任意n成立。一致可積條件一般較難驗(yàn)證，因此存在兩個(gè)一致可積的充分條件。
3.鞅的收斂定理：在很一般的情況下，鞅｛Mn｝會(huì)收斂到一個(gè)隨機(jī)變量。即對(duì)于｛Mn, n>=0｝是關(guān)于｛Xn, n>=0｝的鞅，并且存在常數(shù)C有限，使得E(|Mn|) 七、布朗運(yùn)動(dòng) 若B(0)=0，{B(t),t>=0}有平穩(wěn)獨(dú)立增量，對(duì)每個(gè)t>0，B(t)服從正態(tài)分布N(0, t)稱(chēng)之為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差[B,B](t)= t。 布 朗運(yùn)動(dòng)是滿(mǎn)足以下三點(diǎn)性質(zhì)的隨即過(guò)程，即對(duì)于B(t)-B(s)~ N(0,t-s)，B(t)-B(s)服從均值為0，方差為t-s的正態(tài)分布。當(dāng)s=0時(shí)，B(t)-B(0)~N(0,t)。并且，對(duì)任意0& lt;=s 1.高斯過(guò)程：有限維分布是多元正態(tài)分布的隨機(jī)過(guò)程。布朗運(yùn)動(dòng)是一種特殊的高斯過(guò)程，即B(t)的任何有限維分布都是正態(tài)的。2.｛B(t)｝是鞅，｛B(t)^2t｝也是鞅，則｛X(t)｝是布朗運(yùn)動(dòng)。 3.布朗運(yùn)動(dòng)｛B(t)｝具有馬爾科夫性，容易得到B(t+s)在給定條件Ft=sigma(B(0),B(1),?,B(t))下的分布與在給定條件 B(t)下的分布是一致的。同時(shí)由布朗運(yùn)動(dòng)具有時(shí)齊性，即分布不隨時(shí)間的平移而變化可知，布朗運(yùn)動(dòng)的所有有限維分布都是時(shí)齊的。 4.布朗運(yùn)動(dòng)的最大值變量及反正弦率：即求始于y點(diǎn)的布朗運(yùn)動(dòng)在區(qū)間(a,b)中至少有一個(gè)零點(diǎn)的概率為布朗運(yùn)動(dòng)的反正弦率。 5.幾何布朗運(yùn)動(dòng)X(t)= exp｛B(t)｝為幾何布朗運(yùn)動(dòng)。在金融市場(chǎng)中，人們經(jīng)常假定股票價(jià)格是按照幾何布朗運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化。 八、隨機(jī)積分 1.布朗運(yùn)動(dòng)的積分，Ito積分過(guò)程，Ito公式，隨機(jī)微分方程 2.Black-Scholes模型
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