第一篇：《步步高 學案導學設計》2013-2014學年高中數(shù)學蘇教版必修4【備課資源】第1章1.1.2
1.1.2 弧度制
一、填空題 1．－300°化為弧度是________． 2．已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對的弧長是________． 3．若扇形圓心角為216°，弧長為30π，則扇形半徑為________． 7π4．若2π<α<4π，且角α的終邊與－角的終邊垂直，則α＝______.65．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，則A∩B＝________.α6．已知α為第二象限的角，則π－所在的象限是第________象限． 2π7．扇形圓心角為，則扇形內切圓的圓面積與扇形面積之比為________． 3π8．若角α的終邊與角的終邊關于直線y＝x對稱，且α∈(－4π，4π)，則α＝____________.6
二、解答題 9．用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合(包括邊界，如圖所示)． 10．用30 cm長的鐵絲圍成一個扇形，應怎樣設計才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？ 11.如圖所示，半徑為1的圓的圓心位于坐標原點，點P從點A(1,0)出發(fā)，依逆時針方向等速沿單位圓周旋轉，已知P點在1 s內轉過的角度為θ(0<θ<π)，經過2 s達到第三象限，經過14 s后又回到了出發(fā)點A處，求θ.三、探究與拓展 12．已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；(2)若扇形的周長是一定值c(c>0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？
答案
7π10π52π 2.1．－ 3.25 4.或 3sin 1335．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π} 6．二或四 7．2∶3 11π5ππ7π8．－，－，－≤α≤2kπ＋，k∈Z9．解
＋≤α≤kπ＋，k∈
．解 設扇形的圓心角為α，半徑為r，面積為S，弧長為l，則有l(wèi)＋2r＝30，∴l(xiāng)＝30－2r，11從而S＝·l·r＝(30－2r)·r －＋.＝－r＋15r＝－
241515∴當半徑r＝ cm時，l＝30－2×＝15 cm，222252扇形面積的最大值是 cm，4l這時α＝＝2 rad.r152252∴當扇形的圓心角為2 rad，半徑為 cm時，面積最大，為 cm.243π11．解 因為0<θ<π，且2kπ＋π<2θ<2kπ＋(k∈Z)，2π3π則必有k＝0，于是<θ<，24nπ又14θ＝2nπ(n∈Z)，所以θ＝，7π3πnπ721從而<<，即 3ππ110π1S＝S－S＝××10－×2×10×sin ×10×cos 弓扇△23266 ＝50(cm)． － 扇形周長c＝2R＋l＝2R＋αR，c－2R∴α＝，Rc－2R1122αR∴S＝＝··R 扇22R1＝(c－2R)R 2 －＝－R＋cR＝－＋.且最大面積是.416 當且僅當R＝，即α＝2時，扇形面積最大， 1.1.2《余弦定理》導學案 1.掌握余弦定理的兩種表示形式； 2.證明余弦定理的向量方法； 本的解三角形問題． 【重點難點】 1.重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用.2.難點：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用.【知識鏈接】 復習1：在一個三角形中，各和它所對角的的相等，即==． 復習2：在△ABC中，已知c?10，A=45?，C=30?，解此三角形． 思考：已知兩邊及夾角，如何解此三角形呢？ 【學習過程】 ※ 探究新知 問題：在?ABC中，AB、BC、CA的長分別為c、a、b.???? ∵AC?，????∴AC?AC? 同理可得：a2?b2?c2?2bccosA，c2?a2?b2?2abcosC． 新知：余弦定理：三角形中任何一邊的等于其他兩邊的的和減去這兩邊與它們的夾角的的積的兩倍． 思考：這個式子中有幾個量？ 從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？ 從余弦定理，又可得到以下推論： b2?c2?a 2，． cosA?2bc [理解定理] （1）若C=90?，則cosC?，這時c2? a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推論的基本作用為： ①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊； ②已知三角形的三條邊就可以求出其它角． 試試： （1）△ABC 中，a?，c?2，B?150?，求b． （2）△ABC中，a? 2，b?，c?1，求A． ※ 典型例題 例1.在△ABC 中，已知a bB?45?，求A,C和c． 變式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cosC＝9 10，則BC＝________． 例2.在△ABC中，已知三邊長a?3，b? 4，c?，求三角形的最大內角． 變式：在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A． 【學習反思】 ※ 學習小結 1.余弦定理是任何三角形中邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例； 2.余弦定理的應用范圍： ① 已知三邊，求三角； ② 已知兩邊及它們的夾角，求第三邊． ※ 知識拓展 在△ABC中，若a2?b2?c2，則角C是直角； 若a2?b2?c2，則角C是鈍角； 222）.A.很好B.較好C.一般D.較差 ※ 當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1.已知a c＝2，B＝150°，則邊b的長為（）.2.已知三角形的三邊長分別為3、5、7，則最大角為（）.A．60?B．75?C．120?D．150? 3.已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x，則x的取值范圍是（）.A x? ＜x＜ 5C． 2＜x D ＜x＜5 ????????????????????????4.在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB與AC的夾角為60°，則|AB－AC|＝________． 5.在△ABC中，已知三邊a、b、c滿足 b2?a2?c2?ab，則∠C等于． 1.在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝13 14，求最大角的余弦值． 2.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求???AB?????BC?的值. 第3章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 §3.1 數(shù)系的擴充 一、基礎過關 1．“復數(shù)a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)”是“a＝0”的________條件． 2．若(a－2i)i＝b－i，其中a、b∈R，i為虛數(shù)單位，則a2＋b2＝________.3．以－5＋2i5i＋2i2的實部為虛部的新復數(shù)是________． 4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，則2xy的值為________． ＋ 5．若復數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為________． 二、能力提升 6．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是純虛數(shù)，則θ的值為________． 7．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，則實數(shù)m＝________，n＝________.8．給出下列幾個命題： ①若x是實數(shù)，則x可能不是復數(shù)； ②若z是虛數(shù)，則z不是實數(shù)； ③一個復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復數(shù)的實部等于零； ④－1沒有平方根． 則其中正確命題為________． 9．已知集合M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，則實數(shù)a＝________.2m2＋m－310．實數(shù)m分別為何值時，復數(shù)z＋(m2－3m－18)i是：(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)m＋3 純虛數(shù)． 11．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求實數(shù)x，y的值． 12．設z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1 三、探究與拓展 113．如果logm＋n)－(m2－3m)i>－1，如何求自然數(shù)m，n的值？ 2 答案 1．充分不必要 2．5 3．2－2i 4．1 5．－1 π6．2kπ＋k∈Z)4 7．2 ±2 8．② 9．－1 10．(1)要使所給復數(shù)為實數(shù)，必使復數(shù)的虛部為0.2??m－3m－18＝0故若使z為實數(shù)，則?，?m＋3≠0? 解得m＝6.所以當m＝6時，z為實數(shù)． (2)要使所給復數(shù)為虛數(shù)，必使復數(shù)的虛部不為0.故若使z為虛數(shù)，則m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，所以當m≠6且m≠－3時，z為虛數(shù)． (3)要使所給復數(shù)為純虛數(shù)，必使復數(shù)的實部為0，虛部不為0.2m＋m－3＝0??故若使z為純虛數(shù)，則?m＋3≠0 ??m2－3m－18≠02 3解得m＝－或m＝1.2 3所以當m＝－m＝1時，z為純虛數(shù)． 2 11．解 ∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，1??2x－y＋1＝0，?x＝2，?∴?解得? ?y－2＝0.???y＝2.1所以實數(shù)x，y2.2，12．解 由于z1 m2－3m＝0，①???1 log?m＋n?>－1，②??2 由①得m＝0或m＝3，當m＝0時，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1； 當m＝3時，代入②得n<－1，與n是自然數(shù)矛盾，綜上可得m＝0，n＝1. 1．1．1 正弦定理(二) 一、基礎過關 abc 1．在△ABC中，若，則△ABC是 cos Acos Bcos CA．直角三角形C．鈍角三角形 () B．等邊三角形 D．等腰直角三角形 () 2．在△ABC中，A＝60°，a3，b＝2，則B等于A．45°或135°C．45° B．60° D．135° () 3．下列判斷中正確的是 A．當a＝4，b＝5，A＝30°時，三角形有一解 B．當a＝5，b＝4，A＝60°時，三角形有兩解 C．當a＝3，b＝2，B＝120°時，三角形有一解 3 D．當a＝2，b＝6，A＝60°時，三角形有一解 4．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，則△ABC的面積S△ABC等于 3＋13－1 3＋23－2 5．已知△ABC中，AB3，AC＝1，且B＝30°，則△ABC的面積等于3 2B.3 32D.() () 3342 6．若△ABC的面積為3，BC＝2，C＝60°，則邊AB的長度為________． 7．在△ABC中，已知23asin B＝3b，且cos B＝cos C，試判斷△ABC的形狀． πB5 8．在△ABC中，a，b，c分別是三個內角A，B，C的對邊，若a＝2，C＝cos，425求△ABC的面積S.二、能力提升 b 9．△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝2a，則等 a于 a () A．23B．223D.2 10．在△ABC中，若 bc，則△ABC的形狀是________． ABCcos cos cos 222 a＋b＋c11．在△ABC中，A＝60°，a＝3，b＝12，S△ABC＝183，則＝______，sin A＋sin B＋sin C c＝______.cos Ab412．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且c＝10，又知＝，求a、cos Ba3 b及△ABC內切圓的半徑． 三、探究與拓展 113．已知△ABC的面積為1，tan Btan C＝－2，求△ABC的各邊長以及△ABC外接圓2的面積． 答案 1．B 2.C 3.D 4.A 5.D 6.2 7．解 ∵3asin B＝3b，∴3·(2Rsin A)·sin B＝3(2Rsin B)，∴sin A＝3，∴A＝60°或120°.2 ∵cos B＝cos C，∴B＝C.當A＝60°時，△ABC是等邊三角形； 當A＝120°時，△ABC是頂角為120°的等腰三角形． B38．解 cos B＝2cos2 －1＝，25 4故B為銳角，sin B＝.5 3π2－B?所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin??4?10.asin C10由正弦定理得c＝＝，sin A7 111048所以S△ABC＝sin B＝×2×＝22757 9．D 10.等邊三角形 11.12 6 sin Bb12．解 由正弦定理知，sin Aa ∴cos Asin B∴sin 2A＝sin 2B.cos Bsin A π又∵a≠b，∴2A＝π－2B，即A＋B2 ∴△ABC是直角三角形，且C＝90°，a＋b＝10??由?b4??a3222，得a＝6，b＝8.a＋b－c故內切圓的半徑為r＝＝2.2 113．解 ∵tan B＝>0，∴B為銳角． 2 ∴sin B55，cos B＝.55 ∵tan C＝－2，∴C為鈍角． 25∴sin C＝，cos C＝－.55 ∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝?5223·－＋5?5555 1352∵S△ABCsin C＝2R2sin Asin Bsin C＝2R2××＝1.2555255∴R2＝R＝.1262525∴πR2＝，即外接圓的面積為π.1212 ∴a＝2Rsin A3，b＝2Rsin B＝ c＝2Rsin C.3 15，3 【典型例題】 例1 已知{an}為等比數(shù)列． (1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 跟蹤訓練1 設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝215，求a2·a5·a8·…·a29的值． 例2 已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，(1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列； (2)求{an}的通項公式． 跟蹤訓練2 設{an}、{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn＝an＋bn，證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列． 例3 某制糖廠2011年制糖5萬噸，如果從2011年起，平均每年的產量比上一年增加20%，那么到哪一年，該糖廠的年制糖量開始超過30萬噸(保留到個位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079) 跟蹤訓練3 在利用電子郵件傳播病毒的例子中，如果第一輪感染的計算機數(shù)是80臺，并且從第一輪起，以后各輪的第一臺計算機都可以感染下一輪的20臺計算機，到第5輪可以感染到多少萬臺計算機？ 練一練： 1．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1·a15的值為 () A．100B．－100 C．10 000D．－10 000 100元，則6年后此產品的價格為()3 A．2 700元B．3 600元 C．4 800元D．5 400元 3．一直角三角形的三邊邊長成等比數(shù)列，則() A．三邊邊長之比為3∶4∶5B．三邊邊長之比為1∶3∶3 5－15－1CD 22 4．在1與2之間插入6個正數(shù)，使這8個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的6個數(shù)的積為________． §2.4 等比數(shù)列(二) 一、基礎過關 1．在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，則a4＋a5的值為() A．16B．27C．36D．81 2．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于() A．64B．81C．128D．243 3．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值為() 434A.C．2D．3 343 4．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6等于() A．B．7C．6D．45．設數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________.6．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2＝________.7．已知數(shù)列{an}成等比數(shù)列． 1(1)若a2＝4，a5＝－，求數(shù)列{an}的通項公式； 2 (2)若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值． 8．已知正項等比數(shù)列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36.求數(shù)列{an}的通項公式． 二、能力提升 a9．在正項等比數(shù)列{an}中，an＋1 5623A.C.6532 a9＋a10110．已知等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)，且a1a3,2a2成等差數(shù)列，則等于()2a7＋a8 A．12B．12 C．3＋2D．3－22 11．首項為3的等比數(shù)列的第n項是48，第2n－3項是192，則n＝________.12．等比數(shù)列{an}同時滿足下列三個條件： 3224①a1＋a6＝11 ②a3·a4＝ ③三個數(shù)a2，a23，a4＋依次成等差數(shù)列，試求數(shù)列{an}的通項公式． 939 三、探究與拓展 13．從盛滿a(a>1)升純酒精的容器里倒出1升然后添滿水搖勻，再倒出1升混合溶液后又用水添滿搖勻，如此 繼續(xù)下去，問：第n次操作后溶液的濃度是多少？若a＝2時，至少應倒幾次后才能使酒精的濃度低于10%? 答案 1．B 2.A 3.A 4.A 5.18 6.－6 17．解(1)由a5＝a2q3，得－＝4·q3，2 11－－n－2.所以qan＝a2qn2＝4??22 3(2)由a3a5＝a24，得a3a4a5＝a4＝8.解得a4＝2.又因為a2a6＝a3a5＝a24，5所以a2a3a4a5a6＝a4＝25＝32.1n－16－n1－－8．解 an＝2n1＝2n2或an＝32×??2＝2.2 9．D 10.C 11.5 3212．解 由等比數(shù)列的性質知a1a6＝a3a4＝，9 a＋a＝11??16 ∴?，32a·a＝??169 ?a＝3解得?32a＝?3161?當?32a?361a1＝3 243232a2＋a4＋，2a2，3＝3999 241n－1∴2，a22.3，a4＋成等差數(shù)列，∴an＝·393 32a13116－n當時q＝，an＝·2，231a63 24a2＋a4＋2a23，39?a＝3或?1a＝?31632.1n－1時q＝2，∴an2.3???1n－1∴不符合題意，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝·2.3 13．解 設開始的濃度為1，操作一次后溶液濃度 1a1＝1－，設操作n次后溶液的濃度為an.a 1則操作n＋1次后溶液的濃度為an＋1＝an(1)，從而建立了遞推關系． a 11∴{an}是以a1＝1q＝1－的等比數(shù)列． aa 1－∴an＝a1qn1＝(1)n，a 1即第n次操作后酒精的濃度是(1－n.a 11當a＝2時，由an＝()n＜，解得n≥4.210 故至少應操作4次后才能使酒精濃度低于10%.第二篇：高中數(shù)學 1.1.2 《余弦定理》導學案 新人教A版必修5
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