第一篇：極坐標(biāo)參數(shù)方程與幾何證明題型方法歸納(精)

222 cos sin x y x y ρρ

ρθ

?=+?=??=? 極軸

一、極坐標(biāo)與參數(shù)方程選講

1、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的公式轉(zhuǎn)換:

2、點的極坐標(biāo)含義(, M ρθ: 練習(xí):

(1 在直角坐標(biāo)系中曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 2cos 4sin ρθθ=-，寫出曲線 C 的直角坐標(biāo) 方程.04222=+-+y x y x(2 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中, 點 P 的直角坐標(biāo)為(1,.若以原點 O 為極點, x 軸正半 軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則點 P 的極坐標(biāo)可以是.(2,2(3 k k Z π π-∈

(3在極坐標(biāo)系中,已知兩點 A、B 的極坐標(biāo)分別為 3, 3π?? ???, 4, 6π?? ??? ,則△ AOB(其 中 O 為極點的面積為.提示:1 sin 2 S ab C = =3

(4在極坐標(biāo)系(ρ, θ(0 ≤ θ<2π中,曲線 ρ=2sin θ 與 cos 1p θ=-的交點 的極坐標(biāo)為 ______.3 4 π

提示:這兩條曲線的普通方程分別為 222, 1x y y x +==-.解得 1, 1.x y =-??=?

(5 已 知 直 線 l 的 參 數(shù) 方

程 為 :2, 14x t y t =??

=+?(t 為 參 數(shù) , 圓 C 的 極 坐 標(biāo) 方 程 為

ρθ=,則直線 l 與圓 C 的位置關(guān)系為 相交(6已知直線的極坐標(biāo)方程為(4R π θρ=

∈,它與曲線 12cos 22sin x y α α

=+??=+?(α為參數(shù)相 交于兩點 A 和 B ,則(7若直線 12, 23.{x t y t =-=+(t 為參數(shù)與直線 41x ky +=垂直,則常數(shù) k =________.6-=k(8設(shè)直線 1l 的參數(shù)方程為 113x t y t =+??

=+?(t 為參數(shù) ,直線 2l 的方程為 y=3x+4則 1l 與 2l 的 距離為 _______ 【考點定位】本小題考查參數(shù)方程化為普通方程、兩條平行線間的距離,基礎(chǔ)題。解析:由題直線 1l 的普通方程為 023=--y x ,故它與與 2l 的距離為 3|24|=

+。

(9 在極坐標(biāo)系中, 直線 l 的方程為 ρsin θ=3, 則點(2, π/6到直線 l 的距離為.【解析】法 1:畫出極坐標(biāo)系易得答案 2;法 2:化成直角方程 3y = 及直角坐標(biāo) 可得答 案 2.(10在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,直線 l 的參數(shù)方程為(33 R t t y t x ∈?

??-=+=參數(shù) ,圓 C 的參數(shù) 方程為 [] 20(2 sin 2cos 2πθθθ , 參數(shù) ∈??

?+==y x ,則圓 C 的圓心坐標(biāo)為.(0, 2 ,圓心 到直線 l 的距離為 22.(11在極坐標(biāo)系中, P Q , 是曲線 C :4sin ρθ=上任意兩點,則線段 PQ 長度的最大值 為.4【解析】最長線段 PQ 即圓 22(2 4x y +-=的直徑.(12曲線 C 的參數(shù)方程是 ??? ????

-=+= 1(3 1(2t t y t t x(t 為參數(shù) ,則曲線 C 的普通方程 是.136 162 2=-y x 提示:1213 x t t y t t ?=+????=-??,平方后相減消去參數(shù) t(13 已知曲線 132 14x t y t ?

=-+???=+?(t 為參數(shù)與曲線 2cos 2sin x y θθ=??=?(θ為參數(shù)的交點為 A , B , ,則 AB =

(14 若直線 :l y kx =與曲線 { 2cos :sin x C y θθ=+=(參 數(shù) ∈θR 有唯一的公共點,則實數(shù) k =

.二、幾何證明選講

1、與切線有關(guān) 構(gòu)造直角三角形

如圖, AB 是 ⊙ O 的直徑, P 是 AB 延長線上的一點, 過 P 作 ⊙ O 的 切 線 , 切 點 為 C , 2=PC , 若

?=∠30CAP ,則 ⊙ O 的直徑 =AB 4.切割線定理

如圖 1所示, 過 O 外一點 P 作一條直線與 O 交于 A , B 兩點, 已知 PA =2, 點 P 到 O 的切線長 PT =4,則弦 AB 的長為 ________.6 弦切角定理 弦切角 ABD=角 C 如圖,直角三角形 ABC 中, ?=∠90B , 4=AB ,以 BC 為直徑的圓交 AC 邊于點 D , 2=AD ,則 C ∠的大小為

提示 連接 BD ,在直角三角形 ABD 中可求得 角 ABD=30°,弦切角 ABD=角 C

2、相交弦定理、垂徑定理

如圖 AB , CD 是半徑為 a 的圓 O 的兩條弦,它們相交于 AB 的中點 P , PD=23 a ,∠OAP=30°, 則 CP =______.【解析】因為點 P 是 AB 的中點,由 垂徑定理 知, OP AB ⊥.在 Rt OPA ? 中, cos30BP AP a ===

.由 相交弦定理 知, BP AP CP DP ?=? 2 3 CP a =?,所以 98CP a =.圖 1 A B C 圖 3

N

3、射影定理

2, CD AD DB =? 2BC BD AB =?, 2AC AD AB =? 如 圖 , AB 是 半圓 O 的 直 徑 , C 是 半 圓 O 上 異于 A B , 的 點 , C D A B ⊥, 垂 足 為 D , 已

知 2AD =, CB =, 則 CD =

.提示 222(2 6, 12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =??=+?==?=

4、相似比

如圖,在 ABC ?中, DE //BC , EF //CD , 若 3, 2, 1BC DE DF ===,則 AB 的長為 __9 2 _________.5、圓的內(nèi)接四邊形對角互補 如圖 3,四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙ O , BC 是直徑, MN 與⊙ O 相切 , 切點為 A , MAB ∠35?=, 則 D ∠=.125?

6、圓心角 =2倍圓周角

如圖,點 A B C、、是圓 O 上的點,且 4AB =, o 30ACB ∠=, 則圓 O 的面積等于 _________.解:連結(jié) OA , OB ,則∠ AOB=2∠ ACB=60O ,所以△ AOB 為正三角形,圓 O 的半徑 r=4AB =,于是,圓 O 的面積等于 πππ1642 2 =?=r 如圖 , 已知△ ABC 內(nèi)接于⊙ O ,點 D 在 OC 的 延長線上, AD 切⊙ O 于 A ,若 o 30ABC ∠=, 2=AC , 則 AD 的長為

.提示 連接 OA ,圓心角 AOD=2B=60°, AOC 是等邊三角 形。所以 OA=AC=2,在直角三角形 OAD 中求 AD。

A

第二篇：極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型和方法歸納

極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型和方法歸納

題型一：極坐標(biāo)（方程）與直角坐標(biāo)（方程）的相互轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程與普通方程相互轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程相互轉(zhuǎn)化。方法如下：

1、已知直線的參數(shù)方程為

（為參數(shù)）以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為.（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）寫出直線與曲線交點的一個極坐標(biāo).題型二：三個常用的參數(shù)方程及其應(yīng)用

（1）圓的參數(shù)方程是：

（2）橢圓的參數(shù)方程是：

（3）過定點傾斜角為的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為：

對（3）注意：

點所對應(yīng)的參數(shù)為，記直線上任意兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為，則①,②，③

2、在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為

（為參數(shù)，）以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）設(shè)是曲線上的一個動點，當(dāng)時，求點到直線的距離的最小值；

（Ⅱ）若曲線上的所有點均在直線的右下方，求的取值范圍.3、已知曲線：（參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點的極坐標(biāo)為．

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求出點的直角坐標(biāo)；

（2）設(shè)為曲線上的點，求中點到曲線上的點的距離的最小值．

4、已知直線：（為參數(shù)），曲線：（為參數(shù)）.（1）設(shè)與相交于兩點，求；

（2）若把曲線上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍，得到曲線，設(shè)點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值.5、在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）過點且與直線平行的直線交于兩點，求弦的長．

6、面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ＋)=．l與C交于A、B兩點.（Ⅰ）求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點P(0,－2),求：①

|PA|＋|PB|，②,③,④

題型三：過極點射線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

出現(xiàn)形如：（1）射線：（）；（1）直線：（）

7、在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，以為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）直線：（）與圓交于點、，求線段的長．

8、在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）直線的極坐標(biāo)方程為，其中滿足與交于兩點，求的值.9、在直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點，其傾斜角為，以原點為極點，以軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）若直線與曲線有公共點，求的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)為曲線上任意一點，求的取值范圍．

10、在直角坐標(biāo)系中中，已知曲線經(jīng)過點，其參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線交于點，且，求證：為定值，并求出這個定值．

11、在平面直角坐標(biāo)系中，曲線和的參數(shù)方程分別是（是參數(shù)）和（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的普通方程和曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）射線與曲線的交點為，與曲線的交點為，求的最大值.

第三篇：幾何證明選講、極坐標(biāo)與參數(shù)方程(知識點+題型+真題)

幾何證明選講、極坐標(biāo)與參數(shù)方程

一、極坐標(biāo)與參數(shù)方程

題型一：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化

題型二：極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程

題型三：參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程（消去參數(shù)）

練習(xí)：

?x?3t?21．曲線的參數(shù)方程為?(t是參數(shù))，則曲線是（）y?t?1?

A.直線B.雙曲線的一支C.圓D.射線

2．已知極坐標(biāo)系中點A(2,3?)，則點A的普通直角坐標(biāo)是（）

4A．（-1，-1）B.（1，1）C.（-1，1）D.（1，-1）

3．圓??sin?的半徑是（）

A．2B．2C．1D．

4．直線：3x-4y-9=0與圓：?1 2?x?2cos?，(θ為參數(shù))的位置關(guān)系是()

?y?2sin?

A.相切B.相離C.直線過圓心D.相交但直線不過圓心

5．已知直線l1:??x?1?3t(t為參數(shù))與直線l2:2x?4y?5相交于點B的坐標(biāo)是?y?2?4t

6．在極坐標(biāo)系中，點A?2,?

????到直線?sin???2的距離是4?

?x?2cos?（?為參數(shù)，且??R）的曲

?y?1?cos2?

7、若P是極坐標(biāo)方程為???

3???R?的直線與參數(shù)方程為?

線的交點，則P點的直角坐標(biāo)為.二、幾何證明選講

1、相似三角形性質(zhì)

2、射影定理

3、切割線定理

4、相交弦定理

直角三角形的射影定理

射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

割線定理：從園外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

練習(xí)：

1．半徑為5cm的圓內(nèi)一條弦AB，其長為8cm，則圓心到弦的距離為（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm 2．如圖，已知DE∥BC，△ADE的面積是2cm，梯形DBCE的面積為6cm，則

DE:BC的值是()

21C．1D．

323．如圖所示，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，A．2B．

CD?4,BD?8，則圓O的半徑等于()

A．3B．4C．5D．6

?

4．如圖，AB是半圓O直徑，?BAC?30，C

A

O

第10題圖

BC

為半圓的切線，且BC?O到AC的距離 OD?（）

A．3B．4C．5D．6

5．在Rt?ABC中,?ACB?90,CD?AB于點D，CD?2,BD?4，則AC=（）

A

．

．

32D． 23

6．如圖，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE:AC=3:5,DE=6，則BF=_______

7．如圖，已知⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點，割線PCD經(jīng) 過圓心，若PA=6,，AB=7,，PO=12.則⊙O 的半徑為_______________

真題演練： 2007年文科

第14題．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為

?

?sin??3，則點(2,)到直線l的距離為．

6第15題．（幾何證明選講選做題）如圖4所示，圓O的直徑AB=6，C

為圓周上一

點，BC?3過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，垂足為D，則∠DAC=． 2008年文科

第14題．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程分別為

?cos??3,??4cos?(??0,0????)，則曲線C1 C2交點的極坐標(biāo)為

第15題．（幾何證明選講選做題）已知PA是圓O的切點，切點為A，PA＝2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點，PB＝1，則圓O的半徑R 2009年文科

第14題．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）若直線?

?x?1?2t

（?

y?2?3tt為參數(shù)）與直線

4x?ky?1垂直，則常數(shù)k=________．

第15題．（幾何證明選講選做題）如圖3，點A，B，C是圓O上的點，且AB?4，?ACB?30o，則圓O的面積等于．

2010年文科

第14題．（幾何證明選講選做題）如圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a，點E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點，則EF=． 第15題．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系(ρ，?)(0??＜2?)中，曲線

??cos??sin???1與??sin??cos???1的交點的極坐標(biāo)為．

2011年文科

第14題．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別

為???

x??

(0≤?＜?)和??

y?sin??

?

52?x?4t(t?R)，它們的交點坐標(biāo)為． ??y?t

第15題．（幾何證明選講選做題）如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E、F分別為AD、BC上點，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為．

2012年文科

第14題．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C

2的參數(shù)方程分別為

?x?1?????x??(t是參數(shù)）C2:?(?是參數(shù)，0???）

和C2:?，它們的交點坐標(biāo)為．

2??y??y??

??第15題．（幾何證明選講選做題）如圖3所示，直線PB與圓O想切于點B，D是弦AC上的點，?PBA??DBA，若AD?

則,mA?C，n

AB?

2013年文科

第14題．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的極坐標(biāo)方程為??2cos?．以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程為．

第15題．（幾何證明選講選做題）如圖3，在矩形ABCD

中，AB?BC?3，BE?AC，垂足為E，則ED?．

圖3

小節(jié)訓(xùn)練卷(27)參考答案

1．A?∴選A 2．C??

?x?3t?2

將2式乘以3后減去1式得3y?x??5,即x?3y?5?0，此方程表示的是直線，?y?t?1

2,??

3?，x??cos???1,y??sin??1，∴選C 4

?∴選B

3．B

CD?AD?BD,?AD?1,AC?

4．D將??sin?兩邊平方得???sin?,?x?y?y，整理得x2?(y?)2?5．C過圓心O作OD⊥AB，則OD為所求。DB=4，OB=5, ∴OD=3∴選C 6．B點(2,121，∴選D 4

?，?cos?1?的普通直角)的普通直角坐標(biāo)為（0，2）

坐標(biāo)方程是x=1，則（0，2）關(guān)于x=1對稱的點為（2，2），化為

極坐標(biāo)是?)，∴選B

DE2S?ADE21DE1

?8,????,??,∴選D

BC2S?ABC84BC2

7．D S?ADE?2,S?ABC

8．D圓：?

?x?2cos?22

化成普通直角坐標(biāo)方程是x?y?4，圓心是（0，0），半徑r=2,圓心到直線3x-4y-9=0

?y?2sin?的距離為d?

?95

?

?r，所以直線和圓相交?！噙xD 5

9．C CD?AD?BD,?AD?2,?直徑AB?10,?r?5∴選C

10．A

??BAC?30,BC?AB,BC??AC?AB?AC?COS30?12

?OA?6,又OD?AC,??ADO??ABC,?

ODOA

?,?OD?3,∴選A BCAC

?x?1?3t

(t為參數(shù))化為普通直角坐標(biāo)方程為4x?3y?10，聯(lián)立方程2x?4y?5 11．l1:?

y?2?4t?

5?

5?x?

解得?2，∴答案為(,0)

2??y?0

12．極坐標(biāo)點A?2,?

?

??，直線?sin???2的直角坐標(biāo)方程是 ?的直角坐標(biāo)是（1，1）

4?

y??2，所以點到直線的距離是3

13．由題知?ADE??ABC，∴DE:BC=AE:AC=3:5，又DE=6, ∴BC=10 又CF=BE=6, ∴BF=4

14．由割線定理知PA?PB?PC?PD,?6?(6?7)?(12?r)?(12?r)∴r=8

第四篇：2014一模(理帶答案)極坐標(biāo)參數(shù)方程幾何證明

極坐標(biāo)參數(shù)方程

1.（2014海淀一模）4.已知直線l的參數(shù)方程為?

=

A.x?y?2?0B.x?y?2?0C.x?y?0D.x?y?2?0

2.（2014西城一模）3．在極坐標(biāo)系中，過點(2,)且與極軸平行的直線方程是（）

（A）ρ?2（B）θ??x?1?t,(t為參數(shù))，則直線l的普通方程為?y??1?tπ2? 2（C）ρcosθ?2（D）?sin?=2

3.（2014東城一模）

（5）在極坐標(biāo)系中，點)到直線?cos???sin??1?0的距離等于

（A）?4

（B

（C）（D）2 22

4.（2014石景山一模）11．已知圓C的極坐標(biāo)方程為?=2，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，則圓C的直角坐標(biāo)方程為_______________，若直線l:kx?y?3?0與圓C相切，則實數(shù)k的值為_____________．x

2+y2=4；k? 5.（2014大興一模）（3）在極坐標(biāo)系中，點(1,0)到直線??

A.π(??R)的距離是 41B

.C.1

D.22

6.（2014豐臺一模）2.在極坐標(biāo)系中，點A（1,?）到直線?cos??2的距離是

（A）1（B）2（C）3（D）4

幾何證明

1.（2014海淀一模）11.如圖，AB切圓O

于B，AB?AC?1，則AO的長為_______．2

2.（2014東城一模）（10）如圖，AB是圓O的直徑，延長AB至C，CD是圓O的切線，使AB?2BC，且BC?2，切點為D，連接AD，則CD?；

?DAB?．30

3.（2014石景山一模）4．已知Rt△ABC中，?C?90o，AB?5，BC?4，A

以BC為直徑的圓交AB于D，則BD的長為（）A．4

12C． 9 516D． B．AB

C 55

4.（2014豐臺一模）(11)如圖,已知圓的兩條弦AB與CD相交

于點F，E是AB延長線上一點,且DF=CF

AF:FB:BE=4：2：1.若CE與圓相切,則線段CE的長

為

．2

AE

第五篇：第三章 參數(shù)方程、極坐標(biāo)教案 直線和圓的極坐標(biāo)方程 教案

第三章 參數(shù)方程、極坐標(biāo)教案 直線和圓的極坐標(biāo)方程教案

教學(xué)目標(biāo)

1．理解建立直線和圓的極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是將已知條件表示成ρ與θ之間的關(guān)系式．2．初步掌握求曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用方法和步驟．

3．了解在極坐標(biāo)系內(nèi)，一個方程只能與一條曲線對應(yīng)，但一條曲線即可與多個方程對應(yīng)． 教學(xué)重點與難點

建立直線和圓的極坐標(biāo)方程． 教學(xué)過程

師：前面我們學(xué)習(xí)了極坐標(biāo)系的有關(guān)概念，了解到極坐標(biāo)系是不同于直角坐標(biāo)系的另一種坐標(biāo)系，那么在極坐標(biāo)系下可以解決點的軌跡問題嗎？

問題：求過定圓內(nèi)一定點，且與定圓相切的圓的圓心的軌跡方程．

師：探求軌跡方程的前提是在坐標(biāo)系下，請你據(jù)題設(shè)先合理地建立一個坐標(biāo)系．(巡視后，選定兩個做示意圖，(如圖3-8，圖3-9)，畫在黑板上．)

解 設(shè)定圓半徑為R，A(m，0)，軌跡上任一點P(x，y)(或P(ρ，θ))．(1)在直角坐標(biāo)系下：|ρA|=R-|Oρ|，(兩邊再平方，學(xué)生都感到等式的右邊太繁了．)師：在直角坐標(biāo)系下，求點P的軌跡方程的化簡過程很麻煩．我們看在極坐標(biāo)系下會如何呢？(2)在極坐標(biāo)系下：在△AOP中

|AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|·|OP|·cosθ，即(R-ρ)2=m2+ρ2-2mρ·cosθ． 化簡整理，得

2mρ·cosθ-2Rρ=m2-R2，師：對比兩種解法可知，有些軌跡問題在極坐標(biāo)系下解起來反而簡

坐標(biāo)方程有什么不同呢？這就是今天這節(jié)課的討論內(nèi)容．

一、曲線的極坐標(biāo)方程的概念

師：在直角坐標(biāo)系中，曲線用含有變量x和y的方程f(x，y)=0表示．那么在極坐標(biāo)系中，曲線用含有變量ρ和θ的方程f(ρ，θ)=0來表示，也就是說方程f(ρ，θ)=0應(yīng)稱為極坐標(biāo)方程，如上面問題中的：ρ=

(投影)定義：一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

1．曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；

2．以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點．

那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．

師：前面的學(xué)習(xí)知道，坐標(biāo)(ρ，θ)只與一個點M對應(yīng)，但反過來，點M的極坐標(biāo)都不止一個．推而廣之，曲線上的點的極坐標(biāo)有無窮多個．這無窮多個極坐標(biāo)都能適合方程f(ρ，θ)=嗎？如曲線ρ=θ上有一點(π，π)，它的另一種形式(-π，0)就不適合ρ=θ方程，這就是說點(π，π)適合方程，但點(π，π)的另一種表示方法(-π，0)就不適合．而(-π，0)不適合方程，它表示的點卻在曲線ρ=θ上．因而在定義曲線的極坐標(biāo)方程時，會與曲線的直角坐標(biāo)方程有所不同．

(先讓學(xué)生參照曲線的直角坐標(biāo)方程的定義敘述曲線的極坐標(biāo)方程的定義，再修正，最后打出投影：曲線的極坐標(biāo)方程的定義)曲線的極坐標(biāo)方程定義：

如果極坐標(biāo)系中的曲線C和方程f(ρ，0)=0之間建立了如下關(guān)系：

1．曲線C上任一點的無窮多個極坐標(biāo)中至少有一個適合方程f(ρ，θ)=0；

2．坐標(biāo)滿足f(ρ，θ)=0的點都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程． 師：下面我們學(xué)習(xí)最簡單的曲線：直線和圓的極坐標(biāo)方程．

求直線和圓的極坐標(biāo)方程的方法和步驟應(yīng)與求直線和圓的直角坐標(biāo)方程的方法和步驟類似，關(guān)鍵是將已知條件表示成ρ和θ之間的關(guān)系式．

解 設(shè)M(ρ，θ)為射線上任意一點，因為∠xOM=θ，師：過極點的射線的極坐標(biāo)方程的形式你能歸納一下嗎？

生：是．

師：一條曲線可與多個方程對應(yīng)．這是極坐標(biāo)方程的一個特點．你能猜想一下過極點的直線的極坐標(biāo)方程是什么形式嗎？

學(xué)生討論后，得出：θ=θ0(θ0是傾斜角，ρ∈R)是過極點的直線的極坐標(biāo)方程．師：把你認(rèn)為在極坐標(biāo)系下，有特殊位置的直線都畫出來．

例2 求適合下列條件的極坐標(biāo)方程：(1)過點A(3，π)并和極軸垂直的直線；

解(1)設(shè)M(ρ，θ)是直線上一點(如圖3-15)，即ρcosθ=-3為所示．

解(2)設(shè)M(ρ，θ)是直線上一點，過M作MN⊥Ox于N，則|MN|是點B到Ox的距離，師：不過極點也不垂直極軸、不平行極軸的直線的極坐標(biāo)方程如何確立呢？

例3 求極坐標(biāo)平面內(nèi)任意位置上的一條直線l的極坐標(biāo)方程(如圖3-17，圖3-18)．

讓學(xué)生根據(jù)以上兩個圖形討論確定l的元素是什么？

結(jié)論直線l的傾斜角α，極點到直線l的距離|ON|可確定直線l的位置．

解設(shè)直線l與極軸的夾角為α，極點O到直線l的距離為p(極點O到直線l的距離是唯一的定值，故α、p都是常數(shù))．

直線l上任一點M(ρ，θ)，則在Rt△MNO中|OM|·sin∠OMN=|ON|，即ρsin(α-θ)=p為直線l的極坐標(biāo)方程．(如圖3-19，圖3-20)

師：直線的極坐標(biāo)方程的一般式：ρsin(α-θ)=p，其中α是直線的傾斜角，p是極點到l的距離，當(dāng)α、p取什么值時，直線的位置是特殊情形呢？

當(dāng)α=π時，ρsinθ=p，直線平行極軸； 當(dāng)p=0時，θ=α，是過極點的直線．

師：以上我們研究了極坐標(biāo)系內(nèi)的直線的極坐標(biāo)方程．在極坐標(biāo)系中的圓的方程如何確立呢？如圖3-21：

圓上任一點M(r，θ)，即指θ∈R時圓上任一點到極點的距離總是r，于是ρ=r是以極點為圓心r為半徑的一個圓的極坐標(biāo)方程．

師：和在直角坐標(biāo)系中，把x=a和y=b看作是二元方程一樣，θ=θ0及ρ=r也應(yīng)看作是二元方程．在方程θ=θ0中，ρ不出現(xiàn)，說明ρ可取任何非負(fù)實數(shù)值；同樣，在方程ρ=r中，θ不出現(xiàn)，說明θ可取任何實數(shù)值．

例4 求圓心是A(a，0)，半徑是a的圓的極坐標(biāo)方程．(讓學(xué)生畫圖，教師巡視參與意見)解設(shè)⊙A交極軸于B，則|OB|=2a，圓上任意一點M(ρ，θ)，則據(jù)直徑上的圓周角是直角可知：OM⊥MB，于是在Rt△OBM中，|OM|=|OB|cosθ，即ρ=2acosθ就是所求圓的極坐標(biāo)方程．如圖3-22．

師：在極坐標(biāo)系下，目前我們理解下面幾種情形下的圓的極坐標(biāo)方程即可． 讓學(xué)生自己得出極坐標(biāo)方程．

圖3-23：ρ=2rcosθ； 圖3-24：ρ=-2rcosθ； 圖3-25：ρ=2rsinθ； 圖3-26：ρ=-2rsinθ．

師：建立直線和圓的極坐標(biāo)方程的步驟與建立直線和圓的直角坐標(biāo)方程的步驟一樣，你能小結(jié)一下嗎？(投影)分4個步驟：

(1)用(ρ，θ)表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件ρ的點M的集合P=｛M|p(M)｝；(3)用坐標(biāo)表示條件ρ(M)，列出方程f(ρ，θ)=0；(4)化方程f(ρ，θ)=0為最簡形式．

練習(xí)：分別作出下列極坐標(biāo)方程表示的曲線

(2)ρcosθ=sin2θ(cosθ=0或ρ=2sinθ)；

設(shè)計說明

直線和圓的極坐標(biāo)方程一節(jié)的教學(xué)重點是如何根據(jù)條件列出等式．至于在極坐標(biāo)系中由于點的極坐標(biāo)的多值性，而帶來的曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)系中的方程有不同的性質(zhì)，這一點只需學(xué)生了解即可．另外，由于刪除了3種圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程，實際上就降低了對極坐標(biāo)一節(jié)學(xué)習(xí)的難度．所以用一課時來學(xué)習(xí)曲線的極坐標(biāo)方程只能是在前面學(xué)習(xí)曲線的直角坐標(biāo)方程的基礎(chǔ)上初步掌握建立極坐標(biāo)方程的方法．為此本節(jié)課圍繞著這一主題進(jìn)行了充分的課堂活動，達(dá)到了教學(xué)目的．