第一篇:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(知識(shí)總結(jié))
坐標(biāo)系與參數(shù)方程專題
坐標(biāo)系與參數(shù)方程
【要點(diǎn)知識(shí)】
一、坐標(biāo)系
1.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換
?x???x(??0)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系xOy中的任意一點(diǎn),在變換?:?的作用
?y??y(??0)?下,點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P?(x?,y?),我們把?稱為平面直角坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)伸縮變換,簡(jiǎn)稱伸縮變換.2.極坐標(biāo)系
(1)極坐標(biāo)系的概念
如圖所示,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn);自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位,一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向),這樣我們就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)
設(shè)點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離叫做點(diǎn)M的極徑,記為?;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的?xOM叫做點(diǎn)M的極角,記為?.我們把有序數(shù)對(duì)(?,?)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記為M(?,?).(3)極徑、極角的取值范圍
一般地,極徑??0,極角??R.坐標(biāo)系與參數(shù)方程專題
3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的互化
如圖所示,設(shè)點(diǎn)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn),記點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x,y),極坐標(biāo)為(?,?).我們可以得到極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間如下關(guān)系:
(?。┲苯亲鴺?biāo)化極坐標(biāo):x??cos?,y??sin?;(ⅱ)極坐標(biāo)化直角坐標(biāo):?2?x2?y2,tan??y(x?0).x
【注】上面兩類關(guān)系式是我們進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的重要關(guān)系式.解題時(shí),大家要根據(jù)題意靈活選用.4.幾個(gè)簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程
(1)圓的極坐標(biāo)方程:圓心在C(a,0)(a?0),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程為??2acos?;
(2)直線的極坐標(biāo)方程:經(jīng)過極點(diǎn),從極軸到直線的角是
?的直線l的極坐標(biāo)方程為4?? ?4和??5?.45.柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系(1)柱坐標(biāo)系
如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,設(shè)點(diǎn)P是空間中任意一點(diǎn),它在Oxy平面上的)(??0,0???2?)表示點(diǎn)Q在Oxy平面上的極坐標(biāo),這時(shí)點(diǎn)P射影為點(diǎn)Q,用(?,?2 坐標(biāo)系與參數(shù)方程專題的位置可用有序數(shù)組(?,?,z)(z?R)表示.我們把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系;相應(yīng)地,把有序數(shù)組(?,?,z)叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo),記作P(?,?,z),其中??0,0???2?,z?R.【注】直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)互化的變換公式:(2)球坐標(biāo)系
如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,設(shè)點(diǎn)P是空間中任意一點(diǎn),連結(jié)OP,記OP?r,OP與Oz軸正向所夾的角為?,設(shè)點(diǎn)P在Oxy平面上的射影為點(diǎn)Q,Ox軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過的正角為?,這樣點(diǎn)P的位置就可以用有序數(shù)組(r,?,?)表示.我們把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系(或空間極坐標(biāo)系);相應(yīng)地,把有序數(shù)組(r,?,?)叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo),記作P(r,?,?),其中r?0,0????,0???2?.?x?rcos?cos??【注】直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)互化的變換公式:?y?rcos?sin?
?z?rsin?? 坐標(biāo)系與參數(shù)方程專題
二、參數(shù)方程
1.參數(shù)方程的概念
一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函?x?f(t)數(shù)?①,并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值,由方程組①所確定的點(diǎn)P(x,y)都在這條曲線y?g(t)?上,那么我們就把方程組①叫做這條曲線的參數(shù)方程,而把聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù).2.參數(shù)方程與普通方程之間的互化
曲線的參數(shù)方程與普通方程是曲線方程的兩種不同形式.一般地,可以通過消去參數(shù),由參數(shù)方程得到普通方程;反之,如果已知變數(shù)x,y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系,例如x?f(t),則我們可以通過把它代入普通方程,求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y?g(t),?x?f(t)由此得到的方程組?就是該曲線的參數(shù)方程.y?g(t)?【注】在解決參數(shù)方程與普通方程互化的問題時(shí),必須要使x,y的取值范圍保持一致.3.幾個(gè)簡(jiǎn)單曲線的參數(shù)方程
?x?rcos?O(1)圓的參數(shù)方程:圓心在原點(diǎn),半徑為r的圓的參數(shù)方程為?
y?rsin??(?為參數(shù));
(2)橢圓的參數(shù)方程:中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的參數(shù)方程為?(?為參數(shù));
(3)雙曲線的參數(shù)方程:中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的參數(shù)方程為
?x?acos??y?bsin??x?asec?1?sec??sec??(為參數(shù)),這里,是的正割函數(shù),并且; ?cos?y?btan??(4)拋物線的參數(shù)方程:以原點(diǎn)O為頂點(diǎn),以x軸為對(duì)稱軸,開口向右的拋物線 坐標(biāo)系與參數(shù)方程專題
2p?x???tan2?2(不包括原點(diǎn))的參數(shù)方程為?(?為參數(shù)); y?2px(p?0)
?y?2p?tan??(5)直線的參數(shù)方程:過點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為?(??為??2)的直線l的參數(shù)方程?x?x0?tcos?(t為參數(shù));
?y?y0?tsin?(6)漸開線的參數(shù)方程:??x?r(cos???sin?)(?為參數(shù));
y?r(sin???cos?)?(7)擺線的參數(shù)方程:?
?x?r(??sin?)(?為參數(shù)).?y?r(1?cos?)5
第二篇:2012高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(十三)坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案
2012高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)
(十三)坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案
坐標(biāo)系(第一課)
一.基礎(chǔ)知識(shí)梳理:
1.極坐標(biāo)系的概念:在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn);自極點(diǎn)O引一條射線Ox叫做極軸;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向),這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。
2.點(diǎn)M的極坐標(biāo):設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離OM叫做點(diǎn)M的極徑,記為?;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的∠XOM叫做點(diǎn)M的極角,記為?。有序數(shù)對(duì)(?,?)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記為M(?,?).極坐標(biāo)(?,?)與(?,??2k?)(k?Z)表示同一個(gè)點(diǎn)。
練習(xí):在極坐標(biāo)系里描出下列各點(diǎn)
?4?A(3,0)C(3,)D(5,)
323.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化:
互化前提1.極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合;2.極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合;M的極坐標(biāo)為(?,?),直角坐標(biāo)為(x,y),則它們之間的關(guān)系為:
?x??cos??y??sin????2?x2?y??y???tanx?2
(極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo))(直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo))
2?二例題:例1.(1)把點(diǎn)M 的極坐標(biāo)(8,)化成直角坐標(biāo) 3
(2)把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(,?2)化成極坐標(biāo)
變式訓(xùn)練:(2007深圳一模理)在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,則A、B兩點(diǎn)間的距離是.3??)和B(2,), 4
4三.特殊曲線極坐標(biāo)方程
1.以極點(diǎn)為圓心,r為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是 ??r;
2.在極坐標(biāo)系中,???(??0)表示以極點(diǎn)為起點(diǎn)的一條射線;???(??R)表示過極點(diǎn)的一條直線.3.在極坐標(biāo)系中,過點(diǎn)A(a,0)(a?0),且垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程是?cos??a.四.極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化
例2.把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程:
1)?sin??2:_____________2)?(2cos??5sin?)?4?0:______________
3)???10cos?:_____________4)??2cos??4sin?:________________
5)??2:_____________(6)化極坐標(biāo)方程??6cos(??
?)為直角坐標(biāo)方程。
例3.(2007深圳一模文)在極坐標(biāo)系中,過圓??4cos?的圓心,且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為.
注:極坐標(biāo)的問題常轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問題,再用有關(guān)直角坐標(biāo)系中知識(shí)解決。
五練習(xí):
?
1.(2007廣東文)在極坐標(biāo)系中,直線l的方程為ρsinθ=3,則點(diǎn)(2,)到直線l的距離
6為.
2.(2008廣東文、理)已知曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程分別為?cos??3,??4cos?
?
(??0,0???),則曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_____.3.(2007汕頭二模理)在極坐標(biāo)系中,圓ρ=cosθ與直線ρcosθ=1的位置關(guān)系是.
4.(2007廣州一模文、理)在極坐標(biāo)系中,圓??2上的點(diǎn)到直線?cos??sin??6的距離的最小值是 ___ __.
??
???
5.(2008廣州一模文、理)
在極坐標(biāo)系中,過點(diǎn)??作圓??4sin?的切線,則切
4??
線的極坐標(biāo)方程是.
6.(2008深圳調(diào)研文)在極坐標(biāo)系中,直線??
參數(shù)方程(第二課)
一.基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1).參數(shù)方程的概念:在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)??
x?f(t),并且對(duì)于t 的每一個(gè)允許值,由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)M(x,y)
?y?g(t),π
(??R)與圓??
4cos???
3交于A、B兩點(diǎn),則AB?.
都在這條曲線上,那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t 叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù)。
相對(duì)于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。2)常見曲線的參數(shù)方程
?x?rcos??a1、圓:普通方程:(x?a)?(y?b)?r參數(shù)方程:?
y?rsin??b?
?x?rcos?
特別地,當(dāng)a?0,b?0時(shí),可得x2?y2?r2的參數(shù)方程?
?y?rsin?
?x?acos?y22、橢圓:普通方程:2?2?1(a?b?0)參數(shù)方程:?(?為參數(shù)),y?bsin?ba?
x
2注:一般地,通過消去參數(shù)把參數(shù)方程化為普通方程來解題,但要注意變量的取值范
圍要一致!
二、練習(xí):
1、把下列參數(shù)方程化為普通方程
?x?t?11)?(t為參數(shù))____________;
y?1?2t??x?2t2)?(t為參數(shù)):______________;
2?y?t
???x??3)?(?為參數(shù),0???)____________
2??y??
?x?5cos?
2、曲線?(?為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________;
?y?3sin?
?x??1?cos?
3、曲線?(?為參數(shù))與直線x?m有公共點(diǎn),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是
y?sin??________;
?x?t?3
4.(2007廣東理)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為?(參數(shù)t?R),?y?3?t
?x?2cos?
C圓的參數(shù)方程為?則圓C的圓心坐為,(參數(shù)???0,2??),?y?2sin??2
圓心到直線l的距離為.5.【2012高考廣東文14】(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線
?x?1?????x???2(為參(?為參數(shù),0???)和?C1和C
2的參數(shù)方程分別為?t
2??y???y??
??2數(shù)),則曲線C1和C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為.?x?5cos?
6.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知兩曲線參數(shù)方程分別為?(0≤? <??)
?y?sin?
5?
?x?t2和?,它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為4(t∈R)??y?t
.
7.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1和C2的參數(shù)方程分
???x?t?x??
別為?(t
為參數(shù))和?(?為參數(shù)),則曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為
y?????y??
_______.
第三篇:近五年(2017-2021)高考數(shù)學(xué)真題分類13 坐標(biāo)系與參數(shù)方程
近五年(2017-2021)高考數(shù)學(xué)真題分類匯編
十三、坐標(biāo)系與參數(shù)方程
一、單選題
1.(2019·北京(理))已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),則點(diǎn)(1,0)到直線l的距離是
A.
B.
C.
D.
二、解答題
2.(2021·全國(文))在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為,M為C上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P滿足,寫出Р的軌跡的參數(shù)方程,并判斷C與是否有公共點(diǎn).
3.(2021·全國(理))在直角坐標(biāo)系中,的圓心為,半徑為1.
(1)寫出的一個(gè)參數(shù)方程;
(2)過點(diǎn)作的兩條切線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求這兩條切線的極坐標(biāo)方程.
4.(2020·江蘇)在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在圓上(其中,).
(1)求,的值
(2)求出直線與圓的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).
5.(2020·全國(文))在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)且t≠1),C與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn).(1)求||:
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求直線AB的極坐標(biāo)方程.6.(2020·全國(理))在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)當(dāng)時(shí),是什么曲線?
(2)當(dāng)時(shí),求與的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).
7.(2020·全國(理))已知曲線C1,C2的參數(shù)方程分別為C1:(θ為參數(shù)),C2:(t為參數(shù)).(1)將C1,C2的參數(shù)方程化為普通方程;
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)C1,C2的交點(diǎn)為P,求圓心在極軸上,且經(jīng)過極點(diǎn)和P的圓的極坐標(biāo)方程.8.(2019·江蘇)在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn),直線l的方程為.(1)求A,B兩點(diǎn)間的距離;
(2)求點(diǎn)B到直線l的距離.9.(2019·全國(理))如圖,在極坐標(biāo)系中,,,弧,所在圓的圓心分別是,,曲線是弧,曲線是弧,曲線是弧.(1)分別寫出,的極坐標(biāo)方程;
(2)曲線由,構(gòu)成,若點(diǎn)在上,且,求的極坐標(biāo).10.(2019·全國(文))在極坐標(biāo)系中,O為極點(diǎn),點(diǎn)在曲線上,直線l過點(diǎn)且與垂直,垂足為P.(1)當(dāng)時(shí),求及l(fā)的極坐標(biāo)方程;
(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí),求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.11.(2019·全國(文))在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.
(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;
(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.
12.(2018·江蘇)
在極坐標(biāo)系中,直線l的方程為,曲線C的方程為,求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng).
13.(2018·全國(文))
在直角坐標(biāo)系中,曲線的方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的直角坐標(biāo)方程;
(2)若與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求的方程.14.(2018·全國(理))
在平面直角坐標(biāo)系中,的參數(shù)方程為(為參數(shù)),過點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn).
(1)求的取值范圍;
(2)求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程.
15.(2018·全國(文))在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求和的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求的斜率.
16.(2017·全國(理))在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為
.
(1)若,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為,求.
17.(2017·全國(理))
在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為.設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C.
(1)寫出C的普通方程;
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè),M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑.18.(2017·全國(理))在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且滿足,求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,點(diǎn)在曲線上,求面積的最大值.
19.(2017·全國(理))在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且滿足,求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,點(diǎn)在曲線上,求面積的最大值.
20.(2017·江蘇)已知直線l的參考方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設(shè)p為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值
三、填空題
21.(2019·天津(理))設(shè),直線和圓(為參數(shù))相切,則的值為____.22.(2018·北京(理))在極坐標(biāo)系中,直線與圓相切,則__________.
23.(2018·天津(理))已知圓的圓心為,直線(為參數(shù))與該圓相交于、兩點(diǎn),則的面積為___________.24.(2017·天津(理))在極坐標(biāo)系中,直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為___________.25.(2017·北京(理))在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)在圓上,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值為__________.
近五年(2017-2021)高考數(shù)學(xué)真題分類匯編
十三、坐標(biāo)系與參數(shù)方程(答案解析)
1.D
【分析】
首先將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,然后利用點(diǎn)到直線距離公式求解距離即可.【解析】
直線的普通方程為,即,點(diǎn)到直線的距離,故選D.【小結(jié)】
本題考查直線參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,點(diǎn)到直線的距離,屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查.2.(1);(2)P的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)),C與沒有公共點(diǎn).【分析】
(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為,將代入可得;
(2)設(shè),設(shè),根據(jù)向量關(guān)系即可求得P的軌跡的參數(shù)方程,求出兩圓圓心距,和半徑之差比較可得.【解析】
(1)由曲線C的極坐標(biāo)方程可得,將代入可得,即,即曲線C的直角坐標(biāo)方程為;
(2)設(shè),設(shè),則,即,故P的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))
曲線C的圓心為,半徑為,曲線的圓心為,半徑為2,則圓心距為,兩圓內(nèi)含,故曲線C與沒有公共點(diǎn).【小結(jié)】
本題考查參數(shù)方程的求解,解題的關(guān)鍵是設(shè)出的參數(shù)坐標(biāo),利用向量關(guān)系求解.3.(1),(為參數(shù));(2)或.【分析】
(1)直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程;
(2)先求得過(4,1)的圓的切線方程,再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式化簡(jiǎn)即可.【解析】
(1)由題意,的普通方程為,所以的參數(shù)方程為,(為參數(shù))
(2)由題意,切線的斜率一定存在,設(shè)切線方程為,即,由圓心到直線的距離等于1可得,解得,所以切線方程為或,將,代入化簡(jiǎn)得
或
【小結(jié)】
本題主要考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化,涉及到直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.4.(1)(2)
【分析】
(1)將A,B點(diǎn)坐標(biāo)代入即得結(jié)果;(2)聯(lián)立直線與圓極坐標(biāo)方程,解得結(jié)果.【解析】
(1)以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,因?yàn)辄c(diǎn)為直線上,故其直角坐標(biāo)方程為,又對(duì)應(yīng)的圓的直角坐標(biāo)方程為:,由解得或,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,故對(duì)應(yīng)的極徑為或.(2),當(dāng)時(shí);
當(dāng)時(shí),舍;即所求交點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)
【小結(jié)】
本題考查極坐標(biāo)方程及其交點(diǎn),考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.5.(1)(2)
【分析】
(1)由參數(shù)方程得出的坐標(biāo),最后由兩點(diǎn)間距離公式,即可得出的值;
(2)由的坐標(biāo)得出直線的直角坐標(biāo)方程,再化為極坐標(biāo)方程即可.【解析】
(1)令,則,解得或(舍),則,即.令,則,解得或(舍),則,即.;
(2)由(1)可知,則直線的方程為,即.由可得,直線的極坐標(biāo)方程為.【小結(jié)】
本題主要考查了利用參數(shù)方程求點(diǎn)的坐標(biāo)以及直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程,屬于中檔題.6.(1)曲線表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓;(2).【分析】
(1)利用消去參數(shù),求出曲線的普通方程,即可得出結(jié)論;
(2)當(dāng)時(shí),曲線的參數(shù)方程化為
為參數(shù)),兩式相加消去參數(shù),得普通方程,由,將曲線
化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立方程,即可求解.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),兩式平方相加得,所以曲線表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓;
(2)當(dāng)時(shí),曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),所以,曲線的參數(shù)方程化為為參數(shù)),兩式相加得曲線方程為,得,平方得,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線直角坐標(biāo)方程為,聯(lián)立方程,整理得,解得或
(舍去),公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為
.【小結(jié)】
本題考查參數(shù)方程與普通方程互化,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化,合理消元是解題的關(guān)鍵,要注意曲線坐標(biāo)的范圍,考查計(jì)算求解能力,屬于中檔題.7.(1);;(2).【分析】
(1)分別消去參數(shù)和即可得到所求普通方程;
(2)兩方程聯(lián)立求得點(diǎn),求得所求圓的直角坐標(biāo)方程后,根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化即可得到所求極坐標(biāo)方程.【解析】
(1)由得的普通方程為:;
由得:,兩式作差可得的普通方程為:.(2)由得:,即;
設(shè)所求圓圓心的直角坐標(biāo)為,其中,則,解得:,所求圓的半徑,所求圓的直角坐標(biāo)方程為:,即,所求圓的極坐標(biāo)方程為.【小結(jié)】
本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用問題,涉及到參數(shù)方程化普通方程、直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程等知識(shí),屬于??碱}型.8.(1);
(2)2.【分析】
(1)由題意,在中,利用余弦定理求解的長(zhǎng)度即可;
(2)首先確定直線的傾斜角和直線所過的點(diǎn)的極坐標(biāo),然后結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)結(jié)合幾何性質(zhì)可得點(diǎn)B到直線的距離.【解析】
(1)設(shè)極點(diǎn)為O.在△OAB中,A(3,),B(,),由余弦定理,得AB=.(2)因?yàn)橹本€l的方程為,則直線l過點(diǎn),傾斜角為.
又,所以點(diǎn)B到直線l的距離為.【小結(jié)】
本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.
9.(1),,(2),,.【分析】
(1)將三個(gè)過原點(diǎn)的圓方程列出,注意題中要求的是弧,所以要注意的方程中的取值范圍.(2)根據(jù)條件逐個(gè)方程代入求解,最后解出點(diǎn)的極坐標(biāo).【解析】
(1)由題意得,這三個(gè)圓的直徑都是2,并且都過原點(diǎn).,,.(2)解方程得,此時(shí)P的極坐標(biāo)為
解方程得或,此時(shí)P的極坐標(biāo)為或
解方程得,此時(shí)P的極坐標(biāo)為
故P的極坐標(biāo)為,,.【小結(jié)】
此題考查了極坐標(biāo)中過極點(diǎn)的圓的方程,思考量不高,運(yùn)算量不大,屬于中檔題.10.(1),l的極坐標(biāo)方程為;(2)
【分析】
(1)先由題意,將代入即可求出;根據(jù)題意求出直線的直角坐標(biāo)方程,再化為極坐標(biāo)方程即可;
(2)先由題意得到P點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程,再化為極坐標(biāo)方程即可,要注意變量的取值范圍.【解析】
(1)因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,所以;
即,所以,因?yàn)橹本€l過點(diǎn)且與垂直,所以直線的直角坐標(biāo)方程為,即;
因此,其極坐標(biāo)方程為,即l的極坐標(biāo)方程為;
(2)設(shè),則,由題意,所以,故,整理得,因?yàn)镻在線段OM上,M在C上運(yùn)動(dòng),所以,所以,P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為,即.【小結(jié)】
本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,熟記公式即可,屬于??碱}型.11.(1);;(2)
【分析】
(1)利用代入消元法,可求得的直角坐標(biāo)方程;根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則可得的直角坐標(biāo)方程;(2)利用參數(shù)方程表示出上點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可將所求距離表示為三角函數(shù)的形式,從而根據(jù)三角函數(shù)的范圍可求得最值.【解析】
(1)由得:,又
整理可得的直角坐標(biāo)方程為:
又,的直角坐標(biāo)方程為:
(2)設(shè)上點(diǎn)的坐標(biāo)為:
則上的點(diǎn)到直線的距離
當(dāng)時(shí),取最小值
則
【小結(jié)】
本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、求解橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最值問題.求解本題中的最值問題通常采用參數(shù)方程來表示橢圓上的點(diǎn),將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解問題.12.直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為
【解析】
分析:先根據(jù)直線與圓極坐標(biāo)方程得直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為A(4,0),且OA為直徑.設(shè)直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B,根據(jù)直線傾斜角得∠OAB=.最后根據(jù)直角三角形OBA求弦長(zhǎng).解析:因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為,所以曲線C的圓心為(2,0),直徑為4的圓.
因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為,則直線l過A(4,0),傾斜角為,所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn).
設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B,則∠OAB=.
連結(jié)OB,因?yàn)镺A為直徑,從而∠OBA=,所以.
因此,直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為.
小結(jié):本題考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.13.(1)
.(2)
.【解析】
分析:(1)就根據(jù),以及,將方程中的相關(guān)的量代換,求得直角坐標(biāo)方程;
(2)結(jié)合方程的形式,可以斷定曲線是圓心為,半徑為的圓,是過點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射線,通過分析圖形的特征,得到什么情況下會(huì)出現(xiàn)三個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系,得到k所滿足的關(guān)系式,從而求得結(jié)果.解析:(1)由,得的直角坐標(biāo)方程為
.
(2)由(1)知是圓心為,半徑為的圓.
由題設(shè)知,是過點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射線.記軸右邊的射線為,軸左邊的射線為.由于在圓的外面,故與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn),或與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn).
當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),到所在直線的距離為,所以,故或.
經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),與沒有公共點(diǎn);當(dāng)時(shí),與只有一個(gè)公共點(diǎn),與有兩個(gè)公共點(diǎn).
當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),到所在直線的距離為,所以,故或.
經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),與沒有公共點(diǎn);當(dāng)時(shí),與沒有公共點(diǎn).
綜上,所求的方程為.
小結(jié):該題考查的是有關(guān)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有曲線的極坐標(biāo)方程向平面直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及有關(guān)曲線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題,在解題的過程中,需要明確極坐標(biāo)和平面直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,以及曲線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)結(jié)合圖形,將其轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系所對(duì)應(yīng)的需要滿足的條件,從而求得結(jié)果.14.(1)
(2)為參數(shù),【解析】
分析:(1)由圓與直線相交,圓心到直線距離可得.
(2)聯(lián)立方程,由根與系數(shù)的關(guān)系求解
解析:(1)的直角坐標(biāo)方程為.
當(dāng)時(shí),與交于兩點(diǎn).
當(dāng)時(shí),記,則的方程為.與交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng),解得或,即或.
綜上,的取值范圍是.
(2)的參數(shù)方程為為參數(shù),.
設(shè),對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,則,且,滿足.
于是,.又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足
所以點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程是
為參數(shù),.
小結(jié):本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,圓的參數(shù)方程,考查求點(diǎn)的軌跡方程,屬于中檔題.
15.(1),當(dāng)時(shí),的直角坐標(biāo)方程為,當(dāng)時(shí),的直角坐標(biāo)方程為;(2)
【分析】
分析:(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,此時(shí)要注意分
與兩種情況.(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)參數(shù)幾何意義得之間關(guān)系,求得,即得的斜率.
【解析】
解析:(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為.
當(dāng)時(shí),的直角坐標(biāo)方程為,當(dāng)時(shí),的直角坐標(biāo)方程為.
(2)將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于的方程
.①
因?yàn)榍€截直線所得線段的中點(diǎn)在內(nèi),所以①有兩個(gè)解,設(shè)為,則.
又由①得,故,于是直線的斜率.
16.(1),;(2)或.
【解析】
試題分析:(1)直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立解交點(diǎn)坐標(biāo);(2)利用橢圓參數(shù)方程,設(shè)點(diǎn),由點(diǎn)到直線距離公式求參數(shù).
試題解析:(1)曲線的普通方程為.當(dāng)時(shí),直線的普通方程為.由解得或.從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為,.(2)直線的普通方程為,故上的點(diǎn)到的距離為
.當(dāng)時(shí),的最大值為.由題設(shè)得,所以;
當(dāng)時(shí),的最大值為.由題設(shè)得,所以.綜上,或.小結(jié):本題為選修內(nèi)容,先把直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立方程,可得交點(diǎn)坐標(biāo),利用橢圓的參數(shù)方程,求橢圓上一點(diǎn)到一條直線的距離的最大值,直接利用點(diǎn)到直線的距離公式,表示出橢圓上的點(diǎn)到直線的距離,利用三角有界性確認(rèn)最值,進(jìn)而求得參數(shù)的值.
17.(1)(2)
【解析】
(1)消去參數(shù)得的普通方程;消去參數(shù)m得l2的普通方程.設(shè),由題設(shè)得,消去k得.所以C的普通方程為.(2)C的極坐標(biāo)方程為.聯(lián)立得.故,從而.代入得,所以交點(diǎn)M的極徑為.【名師小結(jié)】本題考查了極坐標(biāo)方程的求法及應(yīng)用,重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力.遇到求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問題時(shí),求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解,或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解.要結(jié)合題目本身特點(diǎn),確定選擇何種方程.18.(1);(2)
【解析】
試題分析:(1)設(shè)出P的極坐標(biāo),然后由題意得出極坐標(biāo)方程,最后轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為;
(2)利用(1)中的結(jié)論,設(shè)出點(diǎn)的極坐標(biāo),然后結(jié)合面積公式得到面積的三角函數(shù),結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值為.試題解析:解:(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為()(>0),M的極坐標(biāo)為()由題設(shè)知
|OP|=,=.由|OP|=16得的極坐標(biāo)方程
因此的直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為
().由題設(shè)知|OA|=2,于是△OAB面積
當(dāng)時(shí),S取得最大值.所以△OAB面積的最大值為.小結(jié):本題考查了極坐標(biāo)方程的求法及應(yīng)用,重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力.在求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問題時(shí),求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解,或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解.要結(jié)合題目本身特點(diǎn),確定選擇何種方程.19.(1);(2)
【解析】
試題分析:(1)設(shè)出P的極坐標(biāo),然后由題意得出極坐標(biāo)方程,最后轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為;
(2)利用(1)中的結(jié)論,設(shè)出點(diǎn)的極坐標(biāo),然后結(jié)合面積公式得到面積的三角函數(shù),結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值為.試題解析:解:(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為()(>0),M的極坐標(biāo)為()由題設(shè)知
|OP|=,=.由|OP|=16得的極坐標(biāo)方程
因此的直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為
().由題設(shè)知|OA|=2,于是△OAB面積
當(dāng)時(shí),S取得最大值.所以△OAB面積的最大值為.小結(jié):本題考查了極坐標(biāo)方程的求法及應(yīng)用,重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力.在求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問題時(shí),求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解,或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解.要結(jié)合題目本身特點(diǎn),確定選擇何種方程.20..【解析】
直線的普通方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,設(shè),從而點(diǎn)到直線的的距離,當(dāng)時(shí),.因此當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),曲線上點(diǎn)到直線的距離取到最小值.21.
【分析】
根據(jù)圓的參數(shù)方程確定圓的半徑和圓心坐標(biāo),再根據(jù)直線與圓相切的條件得出滿足的方程,解之解得.
【解析】
圓化為普通方程為,圓心坐標(biāo)為,圓的半徑為,由直線與圓相切,則有,解得.
【小結(jié)】
直線與圓的位置關(guān)系可以使用判別式法,但一般是根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的大小作出判斷.
22.【分析】
根據(jù)將直線與圓極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,再根據(jù)圓心到直線距離等于半徑解出.【解析】
因?yàn)?,由,得,由,得,即,即,因?yàn)橹本€與圓相切,所以
【小結(jié)】
(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,只要運(yùn)用公式及直接代入并化簡(jiǎn)即可;
(2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)常通過變形,構(gòu)造形如的形式,進(jìn)行整體代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法.但對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí),方程必須同解,因此應(yīng)注意對(duì)變形過程的檢驗(yàn).23.
【分析】
由題意首先求得圓心到直線的距離,然后結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng),最后求解三角形的面積即可.【解析】
由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,直線的直角坐標(biāo)方程為:,即,則圓心到直線的距離:,由弦長(zhǎng)公式可得:,則.【小結(jié)】
處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí),若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá),則用幾何法;若方程中含有參數(shù),或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣,則用代數(shù)法.
24.2
【解析】
直線為,圓為,因?yàn)?,所以有兩個(gè)交點(diǎn)
【考點(diǎn)】極坐標(biāo)
【名師小結(jié)】再利用公式
把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,再解聯(lián)立方程組根據(jù)判別式判斷出交點(diǎn)的個(gè)數(shù),極坐標(biāo)與參數(shù)方程為選修課程,要求靈活使用公式進(jìn)行坐標(biāo)變換及方程變換.25.1
【解析】
試題分析:將圓的極坐標(biāo)方程化為普通方程為,整理為,圓心為,點(diǎn)是圓外一點(diǎn),所以的最小值就是.【考點(diǎn)】極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
【名師小結(jié)】(1)熟練運(yùn)用互化公式:將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo);(2)直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化,關(guān)鍵要掌握好互化公式,研究極坐標(biāo)系下圖形的性質(zhì)時(shí),可轉(zhuǎn)化為在直角坐標(biāo)系的情境下進(jìn)行.
第四篇:人教版高中數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程全套教案(可編輯)
人教版高中數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程全套教案課型: 復(fù)習(xí)課 課時(shí)數(shù): 講學(xué)時(shí)間: 20101月18號(hào)班級(jí): 學(xué)號(hào):
1、了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況。
2、能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置,體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化。
3、能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形(如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)的方程。通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程,體會(huì)在用方程刻畫平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義。
4、分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì),選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程,能進(jìn)行參數(shù)方程與普通方程的互化。
二、【回歸教材】:
1、閱讀《》,試了解1)設(shè)點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在伸縮變換公式的作用下,如何找到點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)?試找出變換為的伸縮變換公式.(2)極坐標(biāo)系是如何建立的?試類比平面直角坐標(biāo)系的建立過程畫一個(gè),并寫出點(diǎn)M的極徑與極角來表示它的極坐標(biāo),體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別,寫出極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式.(3)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C可以用方程來表示,在極坐標(biāo)系中,我們用什么方程來表示這段曲線呢?例如圓,直線,你是如何用極坐標(biāo)方程表示它們的?
2、閱讀選修4-4《》2)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,有利于識(shí)別曲線的類型,我們是如何做到的?在互化的過程中,必須注意什么問題?試探究一下圓錐曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化。
三、【達(dá)標(biāo)練習(xí)與作業(yè)】:
1、在同一平面直角坐標(biāo)系中,曲線經(jīng)過一個(gè)伸縮變換后變?yōu)?,則這個(gè)伸縮變換為.2、已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為,則它的直角坐標(biāo)為 ;而如果點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,則它的極坐標(biāo)為.3、化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程是 ;則極坐標(biāo)方程 表示的曲線是 ;而圓心為,半徑為3的圓所表示的極坐標(biāo)方程為.4、直線(t為參數(shù))的傾斜角的大小是.5、極坐標(biāo)方程為,它所表示的圓的半徑為.6、(t為參數(shù))上到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)坐標(biāo)為.7、已知為參數(shù),求點(diǎn)到方程表示的曲線的距離的最小值.8、已知直線(t為參數(shù)),求被雙曲線截得的弦長(zhǎng).四、【課后反思】:書山有路勤為徑,學(xué)海無涯苦作舟。(1)(2)
第五篇:參數(shù)方程的概念(教案)
參數(shù)方程的概念
一、教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能:通過大量的實(shí)例理解參數(shù)方程及參數(shù)的意義,并進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。過程與方法:能選取適當(dāng)?shù)膮?shù),求簡(jiǎn)單曲線的參數(shù)方程
情感、態(tài)度與價(jià)值觀:通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程,培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。
教學(xué)重點(diǎn):參數(shù)方程的定義及應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn):選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程.授課類型:新授課
教學(xué)模式:?jiǎn)l(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).二、教學(xué)過程: 2.1創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生的積極性
鉛球運(yùn)動(dòng)員投擲鉛球,在出手的一剎那,鉛球的速度為v0,與地面成?角,如何來刻畫鉛球運(yùn)動(dòng)的軌跡呢? 2.2分析理解
如圖,一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行。為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面(不記空氣阻力),飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢?
y 500 o x
2.3抽象概括
1、由上述問題引出:什么是參數(shù)方程?
一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)M?x,y?都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)?x?f(t)并且對(duì)t的每一個(gè)允許值,由此所確定的點(diǎn)M?x,y?都在這條曲線上,那,(t為參數(shù))??y?g(t)么此方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程t為參數(shù).注意事項(xiàng):
1、同一曲線選取的參數(shù)不同,曲線的參數(shù)方程形式也不一樣 2在實(shí)際問題中要確定參數(shù)的取值范圍 3參數(shù)方程求法
(1)建立直角坐標(biāo)系,設(shè)曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y)
(2)選取適當(dāng)?shù)膮?shù)
(3)根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì),物理意義,建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式
(4)證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程 4關(guān)于參數(shù)方程中參數(shù)的選取
選取參數(shù)的原則是曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)參數(shù)的關(guān)系比較明顯關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單。與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的問題選取時(shí)間t做參數(shù) 與旋轉(zhuǎn)的有關(guān)問題選取角?做參數(shù) 2.4典型例題:
例1:一架救援飛機(jī)以100m/s的速度作水平直線飛行。在離災(zāi)區(qū)指定目標(biāo)1000m時(shí)投放救援物資(不計(jì)空氣阻力,重力加速 g=10m/s)問此時(shí)飛機(jī)的飛行高度約是多少?(精確到1m)
例2.設(shè)炮彈發(fā)射角為?,發(fā)射速度為v0,(1)求子彈彈道曲線的參數(shù)方程(不計(jì)空氣阻力)
?(2)若Vo?100m/s,??,當(dāng)炮彈發(fā)出2秒時(shí),6① 求炮彈高度
② 求出炮彈的射程(1)數(shù)
三、鞏固與練習(xí):P 書28練習(xí)
四、小
結(jié):本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容:
1.選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)表示曲線的方程的方法;2.體會(huì)參數(shù)的意義
五、課后作業(yè):全程設(shè)計(jì)