第一篇：數(shù)學分析三22

《數(shù)學分析》(三)一.計算題（共8題，每題9分，共72分）。

111.求函數(shù)f(x,y)?3xsin?3ysin在點(0,0)處的二次極限與二重極限.yx解： f(x,y)?131因此二重極限為0.……(4分)?ysin?3x?3y，yx1111因為lim3xsin?3ysin與lim3xsin?3ysin均不存在，x?0yxy?0yx故二次極限均不存在?！?9分)3xsin

?y?y(x),?z?xf(x?y),2.設(shè)? 是由方程組?所確定的隱函數(shù),其中f和F分別

?F(x,y,z)?0?z?z(x)dz具有連續(xù)的導數(shù)和偏導數(shù),求.dx解： 對兩方程分別關(guān)于x求偏導:

dy?dz?f(x?y)?xf?(x?y)(?1)，??dxdx? ……(4分)dydz?F?F?Fz?0。xy?dxdx?dzFy?f(x?y)?xf?(x?y)(Fy?Fx)解此方程組并整理得.……(9分)??dxFy?xf(x?y)Fz

3.取?,?為新自變量及w?w(?,v)為新函數(shù)，變換方程

?2z?2z?z???z。2?x?x?y?xx?yx?y,??,w?zey（假設(shè)出現(xiàn)的導數(shù)皆連續(xù)）.設(shè)??22解：z看成是x,y的復(fù)合函數(shù)如下：

wx?yx?yz?y,w?w(?,?),??,???！?4分)e22代人原方程，并將x,y,z變換為?,?,w。整理得：

?2w?2w 2??2w?！?9分)??????

4.要做一個容積為1m3的有蓋圓桶,什么樣的尺寸才能使用料最省? 解： 設(shè)圓桶底面半徑為r,高為h,則原問題即為：求目標函數(shù)在約束條件下的最小值，其中

目標函數(shù): S表?2?rh?2?r2, 《數(shù)學分析(三)》參考答案及評分標準

約束條件: ?r2h?1?！?3分)構(gòu)造Lagrange函數(shù)：F(r,h,?)?2?rh?2?r2??(?r2h?1)。

?Fr?2?h?4?r?2?rh??0,令 ? ……(6分)2?Fh?2?r??r??0.14 解得h?2r，故有r?3,h?3.由題意知問題的最小值必存在，當?shù)酌姘?/p>

2??14徑為r?3,高為h?3時，制作圓桶用料最省?！?9分)2??

y35.設(shè)F(y)??e?xydx,計算F?(y).y22解：由含參積分的求導公式

?y3y322???x2yF?(y)???2edx???2?x2e?xydx?3y2e?xyy?y?y ???2x2e?xydx?3y2e?y?2ye?y

yy3275x?y3?2ye?x2yx?y2 ……(5分)72?y75?y51y3?x2yedx?！?9分)?ye?ye?222y?y2

?x2y2?xy6.求曲線?2?2??2所圍的面積，其中常數(shù)a,b,c?0.b?c?a?x?a?cos?,解：利用坐標變換? 由于xy?0，則圖象在

11?? ?cos?,cos?,cos????0,?,?。……(3分)

22??由Stokes公式得

cos?cos?cos? ?3zdx?5xdy?2ydz???L???x3z???y5x?dS ?z?2y ?2??dS ……(6分)?2x2?y2?1??2dxdy

?2? ……(9分)

x2y2z28.計算積分??yzdzdx,S為橢球2?2?2?1的上半部分的下側(cè).abcS解：橢球的參數(shù)方程為x?asin?cos?,y?bsin?sin?,z?ccos?，其中

?0???2?,0???,且

2?(z,x)?acsin2?sin??！?3分)

?(?,?)積分方向向下，取負號，因此，2322?d?bacsin?cos?sin?d?yzdzdx??0?0??2?? ……(6分)

? ??bac2?sin2?d??2sin3?cos?d?002?????4abc2

……(9分)

二。

.證明題（共3題，共28分）

?xy322,x?y?0?249.（9分）討論函數(shù)f(x)??x?y在原點(0,0)處的連續(xù)性、?0,x2?y2?0?可偏導性和可微性.解：連續(xù)性：當x2?y2?0時，xy2x2?y4yyf(x)?2?y????0，當?x,y???0,0?，424x?yx?y22從而函數(shù)在原點?0,0?處連續(xù)?！?3分)可偏導性：fx?0,0??lim?x?0f?0??x,0??f?0,0??0，?x《數(shù)學分析(三)》參考答案及評分標準

f?0,0??y??f?0,0??0，?y?0?y即函數(shù)在原點?0,0?處可偏導。……(5分)fy?0,0??lim可微性：?x2??y2?0lim?f?fx?x?fy?y?x??y22?x?y3?lim24?x2??y2?0?x??y1?x??y22 不存在，從而函數(shù)在原點?0,0?處不可微?！?9分)

10.（9分）（9分）設(shè)F?x,y?滿足：（1）在D???x,y?x?x0?a,y?y0?b上連續(xù)，?（2）F?x0,y0??0，（3）當x固定時，函數(shù)F?x,y?是y的嚴格單減函數(shù)。試證：存在??0，使得在???x?x?x0??上通過F?x,y??0定義了一個

?函數(shù)y?y(x)，且y?y(x)在??上連續(xù)。

證明：（i）先證隱函數(shù)的存在性。

由條件（3）知，F(xiàn)?x0,y?在?y0?b,y0?b?上是y的嚴格單減函數(shù)，而由條件（2）知F?x0,y0??0，從而由函數(shù)F?x0,y?的連續(xù)性得

F?x0,y0?b??0，F(xiàn)?x0,y0?b??0。

現(xiàn)考慮一元連續(xù)函數(shù)F?x,y0?b?。由于F?x0,y0?b??0，則必存在?1?0使得

F?x,y0?b??0，?x?O(x0,?1)。

同理，則必存在?2?0使得

F?x,y0?b??0，?x?O(x0,?2)。

取??min(?1,?2)，則在鄰域O(x0,?)內(nèi)同時成立

F?x,y0?b??0，F(xiàn)?x,y0?b??0。……(3分)于是，對鄰域O(x0,?)內(nèi)的任意一點x，都成立

?固定此x，考慮一元連續(xù)函數(shù)F?x,y?。由上式和函數(shù)F?x,y?關(guān)于y的連續(xù)性可知，存在F?x,y?的零點y??y?b,y?b?使得

F?x,y?＝0。

而F?x,y?關(guān)于y嚴格單減，從而使F?x,y?＝0的y是唯一的。再由x的任意性，F(xiàn)x,y0?b?0，F(xiàn)x,y0?b?0。

00???證明了對??:?O(x0,?)內(nèi)任意一點，總能從F?x,y??0找到唯一確定的y與x相對應(yīng)，即存在函數(shù)關(guān)系f:x?y或y?f(x)。此證明了隱函數(shù)的存在性。

……(6分)（ii）下證隱函數(shù)y?f(x)的連續(xù)性。

設(shè)x*是??:?O(x0,?)內(nèi)的任意一點，記y*:?f?x*?。

《數(shù)學分析(三)》參考答案及評分標準

對任意給定的??0，作兩平行線

y?y*??，y?y*??。

由上述證明知

F?x*,y*????0，F(xiàn)?x*,y*????0。由F?x,y?的連續(xù)性，必存在x*的鄰域O(x*,?)使得

F?x,y*????0，F(xiàn)?x,y*????0，?x?O(x*,?)。

對任意的x?O(x*,?)，固定此x并考慮y的函數(shù)F?x,y?，它關(guān)于y嚴格單減且

F?x,y*????0，F(xiàn)?x,y*????0。于是在?y*??,y*???內(nèi)存在唯一的一個零點y使

F?x,y??0，即 對任意的x?O(x*,?)，它對應(yīng)的函數(shù)值y滿足y?y*??。這證明了函數(shù)y?f(x)是連續(xù)的?！?9分)

11111.（10分）判斷積分??sindx在0???2上是否一致收斂，并給出證明。

0xx證明：此積分在0???2上非一致收斂。證明如下：

1作變量替換x?，則

t11??11sindx??0x?x?1t2??sintdt?！?3分)

?3???不論正整數(shù)n多么大，當t??A?,A?????2n??,2n???時，恒有

44??2?！?5分)sint?2因此，?A??1t2??A?2A??1sintdt?dt ……(7分)

2?A?t2??2?14t2?? ? ?

t?A??2?2??3???4?2n???4??因此原積分在0???2上非一致收斂?！?10分)注：不能用Dirichlet判別法證明原積分是一致收斂的。原因如下：

B1盡管對任意的B?1積分?sintdt一致有界，且函數(shù)2??關(guān)于x單調(diào)，但是當

1t1x???時，2??關(guān)于???0,2?并非一致趨于零。事實上，取t?n, 相應(yīng)地取t1111??2?，則lim2???lim1??1?0，并非趨于零。1t??tn??nnnlimnnn???2??0，當??2?時。4《數(shù)學分析(三)》參考答案及評分標準

第二篇：華工數(shù)學分析三試題

,考試作弊將帶來嚴重后果！華南理工大學期末考試 《數(shù)學分析(三)》試卷 1.考前請將密封線內(nèi)各項信息填寫清楚； 所有答案請直接答在試卷上(或答題紙上)； ．考試形式：閉卷； 本試卷共五大題，滿分100分，考試時間120分鐘。(每小題3分，共15分)

1、以下四個命題：(a)兩個二次極限都不存在，則二重極限必不存在;(b)兩個二次極限存在但不相等，則二重極限必不存在;(c)兩個二次極限存在且相等，則二重極限存在；(d)若兩個二次極限和二重極限都存在，則它們相等;()、1B、2C、3D、4、考慮二元函數(shù)f(x,y)的以下性質(zhì)： ①f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù);②f(x,y)在點(x0,y0)處的兩個偏導數(shù)連續(xù);③f(x,y)在點(x0,y0)處可微;④f(x,y)在點(x0,y0)處的兩個偏導數(shù)存在;P?Q”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有()、②?③?①B、③?②?①C、③?④?①D、③?①?④ ?xy,(x,y)?(0,0)?223、二元函數(shù)f(x,y)??x?y在點(0,0)處()?0,(x,y)?(0,0)?A、連續(xù)，偏導數(shù)存在;B、連續(xù)，偏導數(shù)不存在;C、不連續(xù)，偏導數(shù)存在;D、不連續(xù)，偏導數(shù)不存在.4、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(t)??dy?f(x)dx，則F'(2)?()1yttA、2f(2)B、f(2)C、－f(2)D、0

5、已知(x?ay)dx?ydy為某函數(shù)的全微分，則a等于()2(x?y)A、-1；B、0；C、1；D、2?！稊?shù)學分析(三)》試卷

二、填空題(每小題3分，共15分)

1、敘述平面點集E的聚點的定義：____________________________________________ ______________________________________________________________________________。

?2z2、設(shè)z?f(xy,ysinx),其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù),則＝__________________ ?x?y

2______________________________________________________________________________。

3、設(shè)u?f(x?y,x?y)可微，則它的全微分du=________________________________。

4、函數(shù)f(x,y)?ex?y在點(0,0)處的n階泰勒展開式為____________________________ ______________________________________________________________________________。

5、曲面z?x2?y2與平面2x?4y?z?0平行的切平面方程是_____________。

三、解答題(每小題6分，共36分)

?2z?2z?2z1、設(shè)u?x?y,v?x?y,w?xy?z，變換方程2?2?2?0。?x?y?y?x2、一頁長方形白紙，要求印刷面積占A cm2，并使所留葉邊空白為：上部與下部寬度之和為h cm，左部與右部之和為r cm，試確定該頁紙的長(y)和寬(x)，使得它的總面積為最小。

3、求球面x?y?z?a與圓柱面x?y?ax(a?0)的公共部分的體積。

2222224、應(yīng)用對參數(shù)求導法計算：

??0ln(1?2acosx?a2)dx(|a|?1)。

5、計算：(x?2xy)dx?(y?2xy)dy，l為y?x2從(1,1)到(-1,1)。?2

2l6、計算曲面積分：I???2xdyd?z2y

S33dzd?x3(z2?1)dxdy，S是曲面

z?1?x2?y2(z?0)的上側(cè)。

四、證明題：(每小題7分，共21分)

1、設(shè)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，并且在D內(nèi)兩點M1(a1,b1),N1(?1,?1)異號，則用完全位于D內(nèi)的任意的折線l聯(lián)結(jié)M1,N1時，在l上必有一點M(x,y)滿足f(x,y)?0。

1?22(x?y)sin,?222、設(shè)f(x,y)??x?y??0,x2?y2?0x2?y2?0

證明：fx(x,y),fy(x,y)存在但不連續(xù)，在(0,0)點的任何鄰域中無界，但在(0,0)點可微。

3、設(shè)f(t)當t?0時連續(xù)，若

在[a,b]上一致收斂。

五、討論題：(第１小題6分，第２小題7分，共13分)

1、討論函數(shù)F(y)?

????x2???0t?f(t)dt當??a,??b時收斂，則?t?f(t)dt關(guān)于?0???10yf(x)dx,(y?0)的連續(xù)性，f(x)是[0,1]上連續(xù)且為正的函數(shù)。22x?y2、討論?0edx(0?????)的一致收斂性。

第三篇：數(shù)學分析

360《數(shù)學分析》考試大綱

一． 考試要求：掌握函數(shù)，極限，微分，積分與級數(shù)等內(nèi)容。

二． 考試內(nèi)容：

第一篇 函數(shù)

一元與多元函數(shù)的概念，性質(zhì)，若干特殊函數(shù)，連續(xù)性。第二篇 極限

數(shù)列極限，一元與多元函數(shù)極限的概念及其性質(zhì)，實數(shù)的連續(xù)性（確界原理，單調(diào)有界原理，區(qū)間套定理，聚點定理，有限覆蓋定理等）。

第三篇 微分

一元與多元函數(shù)導數(shù)（偏導數(shù)）與微分的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用；函數(shù)的單調(diào)性與凸性，極值與拐點，漸進線，函數(shù)作圖；隱函數(shù)。

第三篇 積分

不定積分的概念，性質(zhì)，公式，法則；定積分的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用；反常積分與含參積分；重積分與曲線曲面積分。第四篇 級數(shù)

數(shù)項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)，冪級數(shù)與傅立葉級數(shù)的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用。

參考書目：華東師范大學數(shù)學系，數(shù)學分析（上，下，第三版），高等教育出版社，2001年。

第四篇：數(shù)學分析

《數(shù)學分析》考試大綱

一、本大綱適用于報考蘇州科技學院基礎(chǔ)數(shù)學專業(yè)的碩士研究生入學考試。主要考核數(shù)學分析課程的基本概念、基本理論、基本方法。

二、考試內(nèi)容與要求

(一)實數(shù)集與函數(shù)

1、實數(shù)：實數(shù)的概念，實數(shù)的性質(zhì)，絕對值與不等式;

2、數(shù)集、確界原理：區(qū)間與鄰域，有界集與無界集，上確界與下確界，確界原理;

3、函數(shù)概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數(shù)；

4、具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，周期函數(shù)。

要求：了解數(shù)學的發(fā)展史與實數(shù)的概念，理解絕對值不等式的性質(zhì)，會解絕對值不等式；弄清區(qū)間和鄰域的概念, 理解確界概念、確界原理，會利用定義證明一些簡單數(shù)集的確界；掌握函數(shù)的定義及函數(shù)的表示法，了解函數(shù)的運算；理解和掌握一些特殊類型的函數(shù)。

(二)數(shù)列極限

1、極限概念；

2、收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性，有界性，保號性，單調(diào)性；

3、數(shù)列極限存在的條件：單調(diào)有界準則，迫斂性法則，柯西準則。

要求：逐步透徹理解和掌握數(shù)列極限的概念；掌握并能運用?-N語言處理極限問題；掌握收斂數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界函數(shù)和迫斂性定理)，并能運用；了解數(shù)列極限柯西準則,了解子列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系；了解無窮小數(shù)列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系.(三)函數(shù)極限

1、函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限的概念；

2、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性；

3、函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則（Heine定理），柯西準則；

4、兩個重要極限；

5、無窮小量與無窮大量，階的比較。

要求：理解和掌握函數(shù)極限的概念；掌握并能應(yīng)用?-?, ?-X語言處理極限問題；了解函數(shù)的單側(cè)極限，函數(shù)極限的柯西準則；掌握函數(shù)極限的性質(zhì)和歸結(jié)原則；熟練掌握兩個重要極

限來處理極限問題。

(四)函數(shù)連續(xù)

1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點連續(xù)的定義，區(qū)間連續(xù)的定義，單側(cè)連續(xù)的定義，間斷點及其分類；

2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性），復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性；

3、初等函數(shù)的連續(xù)性。

要求：理解與掌握一元函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義及其證明，理解與掌握函數(shù)間斷點及其分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)；理解單側(cè)連續(xù)的概念；能正確敘述和簡單應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)的連續(xù)性，理解復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性。

（五）導數(shù)與微分

1、導數(shù)概念：導數(shù)的定義、單側(cè)導數(shù)、導函數(shù)、導數(shù)的幾何意義；

2、求導法則：導數(shù)公式、導數(shù)的運算(四則運算)、求導法則（反函數(shù)的求導法則，復(fù)合函數(shù)的求導法則，隱函數(shù)的求導法則，參數(shù)方程的求導法則）；

3、微分：微分的定義，微分的運算法則，微分的應(yīng)用；

4、高階導數(shù)與高階微分。

要求：理解和掌握導數(shù)與微分概念，了解它的幾何意義；能熟練地運用導數(shù)的運算性質(zhì)和求導法則求函數(shù)的導數(shù)；理解單側(cè)導數(shù)、可導性與連續(xù)性的關(guān)系，高階導數(shù)的求法；了解導數(shù)的幾何應(yīng)用，微分在近似計算中的應(yīng)用。

（六）微分學基本定理

1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2、幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則；

3、泰勒公式。

要求：掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；了解泰勒公式及在近似計算中的應(yīng)用，能夠把某些函數(shù)按泰勒公式展開；能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限

（七）導數(shù)的應(yīng)用

1、函數(shù)的單調(diào)性與極值；

2、函數(shù)凹凸性與拐點.要求：了解和掌握函數(shù)的某些特性(單調(diào)性、極值與最值、凹凸性、拐點)及其判斷方法，能利用函數(shù)的特性解決相關(guān)的實際問題。

（八）實數(shù)完備性定理及應(yīng)用

1、實數(shù)完備性六個等價定理：閉區(qū)間套定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準則、確界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理；

2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明：有界性定理的證明，最大小值性定理的證明，介值性定理的證明，一致連續(xù)性定理的證明；

3、上、下極限。

要求：了解實數(shù)連續(xù)性的幾個定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明；理解聚點的概念，上、下極限的概念。

（九）不定積分

1、不定積分概念；

2、換元積分法與分部積分法；

3、幾類可化為有理函數(shù)的積分；

要求：理解原函數(shù)和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法、簡單無理式和三角有理式積分法。

（十）定積分

1、定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義，函數(shù)可積的必要條件；

2、可積性條件：可積的必要條件和充要條件，達布上和與達布下和，可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù)，只有有限個間斷點的有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù))；

3、微積分學基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；

4、非正常積分：無窮積分收斂與發(fā)散的概念，審斂法（柯西準則，比較法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；瑕積分的收斂與發(fā)散的概念，收斂判別法。

要求：理解定積分概念及函數(shù)可積的條件；熟悉一些可積分函數(shù)類，會一些較簡單的可積性證明；掌握定積分與可變上限積分的性質(zhì)；能較好地運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計算一些定積分。掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；能用收斂性判別法判斷某些廣義積分的收斂性。

（十一）定積分的應(yīng)用

1、定積分的幾何應(yīng)用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長與微分，曲率；

2、定積分在物理上的應(yīng)用：功、液體壓力、引力。

要求：重點掌握定積分的幾何應(yīng)用；掌握定積分在物理上的應(yīng)用；在理解并掌握“微元法”。

（十二）數(shù)項級數(shù)

1、級數(shù)的斂散性：無窮級數(shù)收斂，發(fā)散等概念，柯西準則，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)；

2、正項級數(shù)：比較原理，達朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；

3、一般項級數(shù)：交錯級數(shù)與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)及其性質(zhì)，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

要求：理解無窮級數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級數(shù)的性質(zhì)；能夠應(yīng)用正項級數(shù)與任意項級數(shù)的斂散性判別法判斷級數(shù)的斂散性；熟悉幾何級數(shù)調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)。

（十三）函數(shù)項級數(shù)

1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準則，優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；

2、一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性）。

要求：掌握收斂域、極限函數(shù)與和函數(shù)一致斂等概念；掌握極限函數(shù)與和函數(shù)的分析性質(zhì)(會證明)；能夠比較熟練地判斷一些函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列的一致收斂。

（十四）冪級數(shù)

1、冪級數(shù)：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)；

2、幾種常見初等函數(shù)的冪級數(shù)展開與泰勒定理。

要求：了解冪級數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)及函數(shù)的可展成冪級數(shù)等概念；掌握冪級數(shù)的性質(zhì)；會求冪級數(shù)的收斂半徑與一些冪級數(shù)的收斂域；會把一些函數(shù)展開成冪級數(shù)，包括會用間接展開法求函數(shù)的泰勒展開式

（十五）付里葉級數(shù)

1、付里葉級數(shù)：三角函數(shù)與正交函數(shù)系, 付里葉級數(shù)與傅里葉系數(shù), 以２? 為周期函數(shù)的付里葉級數(shù), 收斂定理；

2、以2L為周期的付里葉級數(shù)；

3、收斂定理的證明。

要求：理解三角函數(shù)系的正交性與函數(shù)的傅里葉級數(shù)的概念；掌握傅里葉級數(shù)收斂性判別法；能將一些函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)；了解收斂定理的證明。

（十六）多元函數(shù)極限與連續(xù)

1、平面點集與多元函數(shù)的概念；

2、二元函數(shù)的極限、累次極限；

3、二元函數(shù)的連續(xù)性：二元函數(shù)的連續(xù)性概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及初等函數(shù)連續(xù)性。要求：理解平面點集、多元函數(shù)的基本概念；理解二元函數(shù)的極限、累次極限、連續(xù)性概念，會計算一些簡單的二元函數(shù)極限；了解閉區(qū)間套定理，有限覆蓋定理，多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。（十七）多元函數(shù)的微分學

1、可微性：偏導數(shù)的概念，偏導數(shù)的幾何意義，偏導數(shù)與連續(xù)性；全微分概念；連續(xù)性與可微性，偏導數(shù)與可微性；

2、多元復(fù)合函數(shù)微分法及求導公式；

3、方向?qū)?shù)與梯度；

4、泰勒定理與極值。

要求：理解并掌握偏導數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、高階偏導數(shù)及極值等概念及其計算；弄清全微分、偏導數(shù)、連續(xù)之間的關(guān)系；了解泰勒公式；會求函數(shù)的極值、最值。

（十八）隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1、隱函數(shù)：隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)求導舉例；

2、隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標變換，雅可比行列式；

3、幾何應(yīng)用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。

要求：了解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)的存在定理，會求隱函數(shù)的導數(shù)；了解隱函數(shù)組的概念及隱函數(shù)組定理，會求隱函數(shù)組的偏導數(shù)；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；了解條件極值概念及求法。

（十九）重積分

1、二重積分概念：二重積分的概念，可積條件，可積函數(shù)，二重積分的性質(zhì)；

2、二重積分的計算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標變換，一般變換）；

3、含參變量的積分；

4、三重積分計算：化三重積分為累次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標變換，球坐標變換）；

5、重積分應(yīng)用：立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉(zhuǎn)動慣量；

6、含參量非正常積分概念及其一致斂性：含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準則，與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的關(guān)系，一致收斂的M判別法)，含參變量非正常積分的分析性質(zhì)；

7、歐拉積分：格馬函數(shù)及其性質(zhì),貝塔函數(shù)及其性質(zhì)。

要求：了解含參變量定積分的概念與性質(zhì)；熟練掌握二重、三重積分的概念、性質(zhì)、計算及基本應(yīng)用；了解含參變量非正常積分的收斂與一致收斂的概念；理解含參變量非正常積分一致收斂的判別定理，并掌握它們的應(yīng)用；了解歐拉積分。

（二十）曲線積分與曲面積分

1、第一型曲線積分的概念、性質(zhì)與計算，第一型曲面積分的的概念、性質(zhì)與計算；

2、第二型曲線積分的概念、性質(zhì)與計算，變力作功，兩類曲線積分的聯(lián)系；

3、格林公式，曲線積分與路線的無關(guān)性, 全函數(shù)；

4、曲面的側(cè)，第二型曲面積分概念及性質(zhì)與計算，兩類曲面積分的關(guān)系;

5、高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無關(guān)性；

6、場論初步：場的概念，梯度，散度和旋度。

要求：掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質(zhì)及計算；了解兩類曲線積分的關(guān)系和兩類曲面積分的關(guān)系；熟練掌握格林公式的證明及其應(yīng)用，會利用高斯公式、斯托克斯公式計算一些曲面積分與曲線積分；了解場論的初步知識。

三、主要參考書

《數(shù)學分析》（第三版），華東師范大學數(shù)學系編，高等教育出版社，2004年。《數(shù)學分析中的典型問題與方法》，裴禮文，高等教育出版社，1993年。

四、主要題型：

填空題，選擇題，計算題，解答題，證明題，應(yīng)用題。

第五篇：數(shù)學分析教案

《數(shù)學分析Ⅲ》教案編寫目錄（1—16周，96學時）

課時教學計劃（教案21-1）

課題：§21-1二重積分的概念

一、教學目的：

1．理解二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．理解二重積分的7條性質(zhì)。

二、教學重點：二重積分的概念；二重積分的存在性和性質(zhì)。

三、教學難點：二重積分的定義；二重積分的存在性。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由平面圖形的面積和曲頂柱體的體積引出二重積分的概念。?平面圖形的面積

（約40min，投影、圖示與黑板講解）

1．平面圖形面積的定義；

2．平面圖形可求面積的充分必要條件；

?二重積分的定義及其存在性

1.2.? 二重積分的定義；

二重積分存在的充分條件和必要條件。

二重積分的性質(zhì)

（約25min，圖示與黑板講解）

結(jié)合二重積分的定義講解二重積分的7條性質(zhì)。

? 補充例子：

（約10min，黑板講解）

1．根據(jù)二重積分的定義計算二重積分； 2．根據(jù)二重積分的性質(zhì)證明不等式。

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質(zhì)。

八、作業(yè)：P217習題

1，2，3，4，5，6，8。

課時教學計劃（教案21-2）

課題：§21-2直角坐標系下二重積分的計算

一、教學目的：

掌握在直角坐標系下二重積分的計算方法。

二、教學重點：直角坐標系下二重積分的計算方法。

三、教學難點：定理21.8，21.9。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

由曲頂柱體的體積引出二重積分計算的直觀概念。? 定理21.8，21.9的證明

?

X型、y型區(qū)域的講解及其定理21.10的證明

? 直角坐標系下二重積分的計算舉例

教材中例1—例4。

? 補充例子：

利用二重積分計算體積；

七、課程小結(jié)：

直角坐標系下二重積分的計算。

八、作業(yè)：P222習題

1，2，3，4，5，6，8。

（約5min，語言表述）

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約25min，圖示與黑板講解）

（約30min，圖示與黑板講解）

（約20min，黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學計劃（教案21-3）

課題：二重積分的概念與計算習題課

一、教學目的：

1．鞏固二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．鞏固在直角坐標系下二重積分的計算方法。

二、教學重點：直角坐標系下二重積分的計算方法。

三、教學難點：直角坐標系下二重積分的計算方法。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 二重積分的概念與性質(zhì)

（約95min，投影、圖示與黑板講解）

1．二重積分的概念復(fù)習； 2．二重積分的性質(zhì)復(fù)習。

?

二重積分的計算

1.2.利用二重積分的定義和限制計算二重積分和某些不等式； 在直角坐標系下計算二重積分。

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質(zhì)；二重積分的計算。

八、作業(yè)：P278

總練習題

1，2。

課時教學計劃（教案21-4）

課題：§21-3格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性

一、教學目的：

1.理解格林公式；

2.掌握格林公式在計算二重積分和曲線積分的方法。3.掌握曲線積分與路線無關(guān)的條件和應(yīng)用方法。

二、教學重點：格林公式的理解和方法。

三、教學難點：定理21.11，21.12。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 格林公式，定理21.11的證明

?

例1—例3的講解

? 曲線積分與路線的無關(guān)性，定理21.12的證明

例4的講解。

? 補充例子：

利用二重積分計算曲線積分。

七、課程小結(jié)：

格林公式與曲線積分與路徑無關(guān)的概念。

八、作業(yè)：P231習題

1，2，3，4，5，6，8。

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約25min，圖示與黑板講解）

（約30min，圖示與黑板講解）

（約20min，黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學計劃（教案21-5）

課題：§21-4二重積分的變量變換

一、教學目的：

1.理解二重積分的變量變換的基本思想；

2.3.掌握二重積分變量變換的方法特別是極坐標變換。掌握在極坐標系下計算二重積分的方法。

二、教學重點：二重積分的變量變換。

三、教學難點：引理和定理21.13，21.14。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 二重積分的變量變換公式

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

引理證明，定理21.13證明，例1，例2講解

（約25min，圖示與黑板講解）

? ? 用極坐標計算二重積分，定理21.14證明

（約20min，圖示與黑板講解）二重積分在極坐標系下化為累次積分，例3，例4，例5，例6講解

（約35min，圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

二重積分的變量變換，在極坐標系下計算二重積分的方法。

八、作業(yè)：P242習題

1，2，3，4，5。

課時教學計劃（教案21-6）

課題：格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性

及積分變換習題課

一、教學目的：

1.2.鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換；

鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換的計算方法。

二、教學重點：格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換

三、教學難點：格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性及積分變換

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 講解格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性的計算題

（約95min，投影、圖示與黑板講解）

?

講解積分變換的計算題

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質(zhì)；二重積分的計算。

八、作業(yè)：P243

總練習題

7，8 6

課時教學計劃（教案21-7）

課題：§21-5 三重積分

一、教學目的：

1.2.3.理解三重積分的概念；

掌握化三重積分為累次積分的方法； 掌握三重積分換元法。

二、教學重點：三重積分換元法

三、教學難點：定義和定理21.15

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 三重積分的定義

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

定理21.15證明，例1，例2講解

（約25min，圖示與黑板講解）

? ? 三重積分還原公式，柱面坐標變換，球面坐標變換（約20min，圖示與黑板講解）例3，例4，例5講解

（約35min，圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

三重積分的定義，在直角坐標、柱面坐標、球面坐標下計算三重積分的方法。

八、作業(yè)：P251習題

1，2，3，4，5。

課時教學計劃（教案21-8）

課題：§21-6 重積分的應(yīng)用

一、教學目的：

1.2.3.掌握重積分在求曲面面積的應(yīng)用； 了解重積分在重心的應(yīng)用； 了解重積分在轉(zhuǎn)動慣量的應(yīng)用。

二、教學重點：重積分求曲面面積

三、教學難點：運用重積分公式求解曲面面積

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由曲面的面積引出重積分的應(yīng)用。

?

建立曲面面積的計算公式

（約40min，圖示與黑板講解）

? ? 例1講解

（約35min，圖示與黑板講解）簡單介紹重積分在重心、轉(zhuǎn)動慣量的應(yīng)用

（約15min，圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量中的應(yīng)用。

八、作業(yè)：P259 1，2。

課時教學計劃（教案21-9）

課題：§21-8 反常二重積分

一、教學目的：

掌握反常二重積分及其計算

二、教學重點：反常二重積分及其計算

三、教學難點：反常二重積分及其計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

?

無界區(qū)域上的二重積分

（約10min，圖示與黑板講解）

? ? ? ? 定理21.16，定理21.17的證明

（約40min，圖示與黑板講解）例1的講解

（約15min，圖示與黑板講解）定理21.18，定理21.19

（約15min，圖示與黑板講解）無界函數(shù)上的二重積分及定理21.20

（約15min，圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量中的應(yīng)用。

八、作業(yè)：P272 1，2，3。

課時教學計劃（教案21-10）

課題：三重積分及重積分的應(yīng)用習題課

一、教學目的：

1.鞏固三重積分的概念，其中包括三重積分的定義、幾何意義和存在性。2.鞏固在直角坐標系下三重積分的計算方法。3.鞏固化三重積分為累次積分的方法。4.鞏固三重積分換元法。

二、教學重點：直角坐標系下三重積分的計算方法。

三、教學難點：三重積分換元法

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 二重積分的概念與性質(zhì)

1.三重積分的概念復(fù)習； 2.三重積分的性質(zhì)復(fù)習。

?

三重積分的計算

1.化三重積分為累次積分；

2.在柱面坐標、球面坐標下計算三重積分； 3.計算曲面面積。

七、課程小結(jié)：

三重積分的定義；三重積分性質(zhì)；三重積分的計算。

八、作業(yè)：P278

總練習題

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約80min，投影、圖示與黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學計劃（教案22-1）

課題：§22-1第一型曲面積分

一、教學目的：

1.2.第一型曲面積分的概念。第一型曲面積分的計算。

二、教學重點：第一型曲面積分計算

三、教學難點：第一型曲面積分計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由求曲面的質(zhì)量引出第一型曲面積分的概念。

? 第一型曲面積分的概念

（約25min，投影、圖示與黑板講解）

?

第一型曲面積分的計算

1.2.定理22.1第一型曲面積分計算公式

（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解

（約35min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

第一型曲面積分的定義；第一型曲面積分的計算。

八、作業(yè)：P282 1，2，3，4

課時教學計劃（教案22-2）

課題：§22-2第二型曲面積分

一、教學目的：

1.2.第二型曲面積分的概念。第二型曲面積分的計算。

二、教學重點：第二型曲面積分計算

三、教學難點：第二型曲面積分計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由求流量問題引出第二型曲面積分的概念。

? 第二型曲面積分的概念

（約25min，投影、圖示與黑板講解）

?

第二型曲面積分的計算

1.2.3.定理22.2第二型曲面積分計算公式

（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解

（約35min，投影、圖示與黑板講解）

簡單介紹兩類曲面積分的聯(lián)系

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

第二型曲面積分的定義；第二型曲面積分的計算。

八、作業(yè)：P289 1，2 12 課時教學計劃（教案22-3）

課題：第一、二型曲面積分復(fù)習課

一、教學目的：

1.2.鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念。鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的計算。

二、教學重點：第一、二型曲面積分計算

三、教學難點：第一、二型曲面積分計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 第一、二型曲面積分的概念

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

?

第一、二型曲面積分的計算

1.2.習題鞏固第一、二型曲面積分計算公式

（約75min，投影、圖示與黑板講解）簡單介紹兩類曲面積分的聯(lián)系

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

第一、二型曲面積分的定義；第一、二型曲面積分的計算。

八、作業(yè)：P305 1，2

課時教學計劃（教案22-4）

課題：§22-3高斯公式與斯托克斯公式

一、教學目的：

1.2.掌握高斯公式 掌握斯托克斯公式

二、教學重點：高斯公式與斯托克斯公式

三、教學難點：高斯公式與斯托克斯公式

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 高斯公式的重要意義

（約5min，投影、圖示與黑板講解）

?

高斯公式

1.2.? 定理22.3證明

（約25min，投影、圖示與黑板講解）例1的求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

斯托克斯公式的重要意義

（約5min，投影、圖示與黑板講解）

?

斯托克說公式

1.2.3.定理22.4證明

（約15min，投影、圖示與黑板講解）例2的求解

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

定理22.5及例3

（約20min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計算

八、作業(yè)：P296 1，2，3，4 14 課時教學計劃（教案22-5）

課題：§22-4場論初步

一、教學目的：

1.2.了解場的概念 掌握梯度場、散度場

二、教學重點：梯度場、散度場

三、教學難點：梯度場、散度場

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 場的概念、向量場線

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

梯度場的定義及其基本性質(zhì)

（約20min，投影、圖示與黑板講解）?

例1求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

? 散度場的定義及其基本性質(zhì)

（約20min，投影、圖示與黑板講解）

?

例2求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）?

了解其他場

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

場的概念；梯度場、散度場。

八、作業(yè)：P296 1，2，3，4。

課時教學計劃（教案22-6）

課題：高斯公式與斯托克斯公式和場論初步復(fù)習課

一、教學目的：

1.2.鞏固高斯公式與斯托克斯公式 鞏固梯度場、散度場

二、教學重點：高斯公式與斯托克斯公式

三、教學難點：高斯公式與斯托克斯公式

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 高斯公式與斯托克斯公式

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

高斯公式與斯托克斯公式的計算

（約65min，投影、圖示與黑板講解）?

復(fù)習場論知識

（約15min，黑板講解）

七、課程小結(jié)：

（約5min，黑板講解）

高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計算； 場的概念；梯度場、散度場。

八、作業(yè)：P305 3，4。