第一篇：高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)

第一章復(fù)習(xí)提要 第一節(jié) 映射與函數(shù)

1、注意幾個(gè)特殊函數(shù)：符號(hào)函數(shù)，取整函數(shù)，狄利克雷函數(shù)；這些函數(shù)通常用于判斷題中的反例

2、注意無界函數(shù)的概念

3、了解常用函數(shù)的圖像和基本性質(zhì)（特別是大家不太熟悉的反三角函數(shù)）第二節(jié) 數(shù)列的極限 會(huì)判斷數(shù)列的斂散性 第三節(jié) 函數(shù)的極限

1、函數(shù)極限存在的充要條件：左右極限存在并相等。（重要）

2、水平漸近線的概念，會(huì)求函數(shù)的水平漸近線（p37）。（重要）

3、了解函數(shù)極限的局部有界性、局部保號(hào)性。第四節(jié) 無窮大和無窮小

1、無窮小和函數(shù)極限的關(guān)系：limf(x)?A?f(x)?A??，其中?是無窮小。

x?x0x??

2、無窮大和無窮小是倒數(shù)關(guān)系

3、鉛直漸近線的概念（p41）, 會(huì)求函數(shù)的鉛直漸近線

4、無界與無窮大的關(guān)系：無窮大一定無界，反之不對(duì)。

5、極限為無窮大事實(shí)上意味著極限不存在，我們把它記作無窮大只是為了描述函數(shù)增大的這種狀態(tài) 第五節(jié) 極限的運(yùn)算法則

1、極限的四則運(yùn)算法則：兩個(gè)函數(shù)的極限都存在時(shí)才能用。以乘法為例比如f(x)?x,g(x)?但是limf(x)?g(x)?1

x?01。limf(x)?0，limg(x)??。xx?0x?02、會(huì)求有理分式函數(shù)

p(x)的極限（P47 例3-例7）（重要）q(x)x?x0時(shí):若分母q(x0)?0，則極限為函數(shù)值

0型極限，約去公因子 0 若只是分母為零，則極限為無窮大。（p75頁9（1））

x??時(shí)，用抓大頭法，分子、分母同時(shí)約去x的最高次冪。第六節(jié) 極限存在的準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限（重要）

1、利用夾逼準(zhǔn)則求極限： 例 p56也習(xí)題4（1）（2），及其中考試題（B）卷第三題（1）

2、利用兩個(gè)重要極限求其他的極限（p56習(xí)題2）

1sinxsinx?0；lim?1 3 注意下面幾個(gè)極限：limxsin?0；limx?0x??x?0xxx第七節(jié) 無窮小的比較（重要）

1、會(huì)比較兩個(gè)無窮之間的關(guān)系（高階、低階、同階，k 階還是等價(jià)窮小）若分子和分母同時(shí)為零，則為

x22、常見的等價(jià)無窮?。簊inx,tanx,arcsinx~x；1?cosx~

2ex?1~x；(1?x)~1nx n13、若?(x)為無窮小，則sin?(x)~?(x)，(1??(x))n~?(x)n，ln(1??(x))~?(x)，e?(x)?1~?(x)。

4、替換無窮小時(shí)必須是因式

x?0limtanx?sinxx3?limx?x3x?0x?0

應(yīng)該

x2xtanx?sinxtanx(1?cosx)1lim?lim?lim2?

2x?0x?0x?0x3x3x35、會(huì)利用等價(jià)無窮小計(jì)算極限（p60頁習(xí)題4）

第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)（重要）

1、函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù) ?limf(x)?f(x0)

x?x0?左連續(xù)limf(x)?f(x0)且

x?x?0f(x)?f(x0)

右連續(xù)lim?x?x02、會(huì)判斷間斷點(diǎn)及其類型。討論分段函數(shù)的連續(xù)性。

3、f(x)在點(diǎn)a連續(xù)?f(x)在點(diǎn)a連續(xù)；但反之不對(duì)。

第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)的，因而求某點(diǎn)處極限時(shí)可以直接把點(diǎn)代入求值。

4.注意三個(gè)例題：例6-例8（重要）

5、冪指函數(shù)u(x)v(x)求極限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)來求。（重要）

6、若含有根式，則分子或者分母有理化（p75頁9（2））是求極限的一種重要方法。（重要）

7、利用分段函數(shù)的連續(xù)性求未知數(shù)的值（如p70頁 6）（重要）第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理的內(nèi)容 會(huì)零點(diǎn)定理證明方程根的存在性。（重要）補(bǔ)充說明 請(qǐng)熟悉函數(shù)e當(dāng)x?0?,x?0?,x??時(shí)的極限。第二章復(fù)習(xí)提要

1、導(dǎo)數(shù)的定義

（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些極限的值：例如P86頁第6題 例

1、設(shè)f(0)?0,f?(0)?k0,則limf(x)?____.x?0x1x例

2、設(shè)f?(x0)存在，則limf(x0?h)?f(x0)?________.（重要）

hh?0（2）利用左右導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的可導(dǎo)性：P125頁第7題

?sinx,x?0例

3、已知f(x)??，求f?(x)

?x,x?0注意分點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該用定義來求。（重要）

（3）利用左右導(dǎo)數(shù)求未知數(shù)的值：P87頁第17題（重要）

?sinx,x?0例

4、設(shè)f(x)??為可導(dǎo)的，求a的值

ax,x?0?（4）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線和法線方程（重要）

（5）可導(dǎo)?連續(xù)，反之不成立！

2、求導(dǎo)法則

（1）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)不要掉項(xiàng)；

（2）冪指函數(shù)u(x)v(x)?ev(x)lnu(x)轉(zhuǎn)化成指數(shù)來求導(dǎo)

3、高階導(dǎo)數(shù)

（1）一般的函數(shù)求到2階即可；（2）幾個(gè)初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：

??(eax)(n)?aneax；y(n)?sin(x?n)；(cosx)(n)?cos(x?n)

22[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)!(1?x)n，(n?1)!(1?x)n[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(?1)n(n?1)!(1?x)n??

由上面的求導(dǎo)公式我們?nèi)菀淄瞥鱿铝星髮?dǎo)公式：

1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?(?1)nn?11?x(1?x)1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?n?11?x(1?x)(1(n)n!)?[ln(a?x)](n?1)?(?1)nn?1a?x(a?x)1(n)n!)?[ln(1?x)](n?1)?n?1a?x(a?x)((3)二項(xiàng)式定理

(uv)(n)(n?k)(k)??Ckuv nk?0n（4）間接法求高階導(dǎo)數(shù)：

1?x2例

5、求y?的n階導(dǎo)數(shù)：提示y??1?。

1?x1?x（5）注意下列函數(shù)的求導(dǎo)

例

6、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：P103頁第3題（重要）（1）y?f(x2)；（2）y?ln[f(x)]

4、隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)（重要）（1）一般方法，兩邊對(duì)x球到后解出

dy。dx（2）會(huì)求二階導(dǎo)數(shù)

（3）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù)和連乘或連除的函數(shù)（4）注意參數(shù)方程二階導(dǎo)數(shù)的公式

dydyd()2()?tdydtdx。（重要）??dxdx2dtdxdxdt（5）相關(guān)變化率問題：

根據(jù)題意給出變量x和y之間的關(guān)系；

?

兩邊對(duì)t（或者是其他變量）求導(dǎo)

?

dydx和之間的關(guān)系，已知其中一個(gè)求另外一個(gè)。dtdt5、函數(shù)的微分

（1）微分與可導(dǎo)的關(guān)系：可微?可導(dǎo)且dy?f?(x)dx（2）利用微分的形式不變性求隱函數(shù)或顯函數(shù)的微分： 顯函數(shù)的例子見課本的例題；下面給出隱函數(shù)的例子 例

7、設(shè)ysinx?cos(x?y)?0,求dy。解: 利用一階微分形式不變性 , 有

d(ysinx)?d(cos(x?y))?0

sinxdy?ycosxdx?sin(x?y)(dx?dy)?0

dy?ycosx?sin(x?y)dx。

sin(x?y)?sinx（3）近似計(jì)算公式：注意x0的選取原則。(一般不會(huì)考)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)提要 3.1 微分中值定理（重要）

羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理應(yīng)用： 證明等式，一般通過證明導(dǎo)數(shù)為零

證明不等式：若不等式中不含x，則取x作為輔助函數(shù)的自變量；若含有x，則取t作為輔助函數(shù)的自變量。（重要）

判斷方程的根（存在性用零點(diǎn)定理，唯一性或判斷根的個(gè)數(shù)用中值定理，有時(shí)還要結(jié)合單調(diào)性，見153也習(xí)題6）（重要）

利用輔助函數(shù)和中值定理證明等式（一個(gè)函數(shù)用拉格朗日，二個(gè)用柯西）例1 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)?0，證明至少存在一點(diǎn)??(0,1)使得f?(?)??2f(?)?。

證明：上述問題等價(jià)于?f?(?)?2f(?)?0。

令f(x)?x2f(x)，則f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，于是少存在一點(diǎn)??(0,1)使得

??(?)?2?f(?)??2f?(?)?0 即有?f?(?)?2f(?)?0。

（5）請(qǐng)熟悉132頁例1.3.2 洛必達(dá)法則（重要）

（1）(其他類型的未定式)最終轉(zhuǎn)化成0?型和型未定式 0?（2）每次用前需判斷

（3）結(jié)合等價(jià)無窮小效果更佳。3.3 泰勒公式

（1）一般方法：求各階導(dǎo)數(shù)代入公式即可；

（2）常見函數(shù)ex,ln(1?x)，sinx,cosx的麥克勞林公式 3.4 函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性（1）會(huì)用列表法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間（注意一般是閉區(qū)間），拐點(diǎn)。注意不要漏掉導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是單調(diào)區(qū)間的分點(diǎn)； 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn)。（2）利用單調(diào)性證明不等式（重要）（3）利用單調(diào)性判斷方程的根（重要）3.5 極值和最值（重要）

（1）列表法求極值（極值可能點(diǎn)為駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)）（2）最值（找出極值可能點(diǎn)再與端點(diǎn)比較）

（3）對(duì)于時(shí)間問題，若極值點(diǎn)唯一，則也為最值點(diǎn)。3.6 函數(shù)圖形的描繪 注意漸近線 3.7 曲率

（1）弧微分公式

（2）曲率和曲率半徑的計(jì)算公式（重要）第四章復(fù)習(xí)提要

4.1 不定積分的概念和性質(zhì)

1、基本積分表

?

2、公式?f(x)dx?f(x)和?f?(x)dx?f(x)?C ??

3、注意如下問題：（填空、選擇、判斷）若e?x是f(x)的原函數(shù)，則?x2f(lnx)dx??若f(x)是e?x的原函數(shù)，則?12x?C 2f(lnx)1dx? ?C0lnx?C xx若f(x)的導(dǎo)數(shù)為sinx，則f(x)的一個(gè)原函數(shù)是（B）。A 1?sinx;B 1?sinx;C 1?cosx;D 1?cosx

4.2 換元積分法（重要）

1、第一換元法的原理：?g(x)dx

把被積函數(shù)g(x)湊成g(x)?f(?(x))??(x)的形式，因而這種方法也稱為湊微分法。

2、一些規(guī)律： ①?f(x)1xdx?2?f(x)(x)??2?f(x)dx

11?f(ax?b)(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b)

a?a?②?f(ax?b)dx?1③?f(lnx)dx??f(lnx)(lnx)?dx??f(lnx)d(lnx)

x④?sin(2k?1)xcosnxdx??sin2kxcosnxsinxdx???(1?cos2x)cosnxdcosx ⑤?cos(2k?1)kxsinxdx??cosxsinxcosxdx??(1?sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：?sin(2k?1)xdx和?cos(2k?1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥?sin2kxcos2nxdx用公式sin2x?⑦?tanxsecn2k?2n2k1?cos2x1?cos2x和cos2x?降次。22n2kxdx??tanxsecxdtanx??tanx(1?tanx)dtanx

注?sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧?csc2k?2xdx??csc2kxcsc2xdx???(1?cot2x)dcotx

⑨?tan(2k?1)xsecnxdx??tan2kxsecn?1xdsecx??(sec2x?1)secn?1xdsecx ⑩利用積化和差公式：

1cosAcosB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

21sinAcosB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21cosAsinB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21sinAsinB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

2第二換元法

被積函數(shù)中含有a2?x2，利用代換x?asint,t?(?被積函數(shù)中含有a2?x2，利用代換x?atant,t?(?kk??,)22,)22??被積函數(shù)中含有x2?a2，利用代換x?asect,t?(0,?)（一般要分情況討論）被積函數(shù)為分式，分母次數(shù)比分子次數(shù)高，到代換 利用下列積分公式：

⒃?tanxdx??ln|cosx|?C；⒄?cotxdx?ln|sinx|?C

⒅?secxdx?ln|secx?tanx|?C；⒆?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C ⒇?dx1xdx1x?a?arctan?C；（21）?ln?x2?a22ax?a?C aa2?x2a（22）?xdx?arcsin?C；?ln(x?a2?x2)?C（23）?ax2?a2a2?x2dx（24）?dxx2?a2?lnx?x2?a2?C

4.3 分部積分法（重要）

1、分部積分公式：?udv?uv??vdu

2、u的選取原則：反?對(duì)?冪?指?三。

這個(gè)原則不是絕對(duì)的，如通常?exsinxdx??sinxdex。

3、如果遇到反三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的高次冪，通常先換元更容易算。如?(arcsinx)2dxarcsinx?t?t2dsint；

ln2x2?ttdxlnx?t?edt ?x2遇到根式ax?b，先令t?ax?b去根號(hào)。會(huì)做形如例7、8那樣具有典型特點(diǎn)的題目。

4.4 有理函數(shù)的積分（重要）

1、P(x)，先用多項(xiàng)式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、對(duì)Q(x)分解因式，根據(jù)分解結(jié)果用待定系數(shù)法確定x?1x?1AB??：應(yīng)設(shè)

(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)x?2x?3 ?x?2x?2ABx?C：應(yīng)設(shè) ???(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)x?2x?2ABx3?Cx2?Dx?E?(2x?1)(x2?x?1)2：應(yīng)設(shè)(2x?1)(x2?x?1)?(2x?1)?(x2?x?1)2

原則就是分子的次數(shù)總是要比分母低一次。

3、三角函數(shù)可以通過如下?lián)Q元法轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分

xxx2tan1?tan22tan2；cosx?2；tanx?2 sinx?xxx1?tan21?tan21?tan2222x令tan?t，則三角函數(shù)就轉(zhuǎn)化成為有理函數(shù)

24.被積函數(shù)含有nax?b或nax?bcx?d，則令t?nax?b或t?nax?bcx?d 幾個(gè)典型題目 P207頁（42）?x?1dxdx，（43）?x?1?x2P211頁例7、8 x2?2x?3補(bǔ)充說明：這一章的內(nèi)容需要大家在掌握一定規(guī)律的前提下多做練習(xí)，方能取得比較好的效果 第五章：定積分

5.1 定積分的概念和性質(zhì)

1、定積分的定義：?f(x)dx?lim?f(?i)?xi

abni??02、定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積

3、定積分的性質(zhì)：利用定積分的性質(zhì)判斷積分的取值范圍或比較兩個(gè)積分的大?。╬235,10,13）(重要)5.2 微積分基本公式

1、y?f(x),a?x?b的積分上限的函數(shù)（重要）

?(x)??xaf(t)dt,a?x?b

及其導(dǎo)數(shù)：（如p243,5題）（1）??(x)?f(x)

d?(x)f(t)dt?f(?(x))??(x)?adxda（3）?f(t)dt??f(?(x))??(x)

dx?(x)d?(x)（4）?f(t)dt?f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)

dx?(x)

2、利用上面的公式計(jì)算極限、判斷函數(shù)單調(diào)性等： 相應(yīng)例題（p242,例7，8），相應(yīng)習(xí)題（p243-244:習(xí)題9，12，12，14）（重要）（2）

3、牛頓-萊布尼茨公式：函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則

?baf(x)dx?F(b)?F(a)，記作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函數(shù)(或者帶絕對(duì)值的函數(shù))的積分應(yīng)為分段積分的和：典型題目p244，習(xí)題10.5.3 定積分的換元法和分布積分法（重要）

1、第一換元公式：?f[?(x)]??(x)dt??f(t)dt

ab??

2、第二還原公式：?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt

ab??注意：一般來說應(yīng)用第一換元公式，我們一般不需要把新變量寫出來，因而也就

?cos?2不需要寫出新變量的積分限，如?cossinxdx??? 但是應(yīng)用第二換元?。

3??0公式，一般要寫出新變量及其積分限，如

202??3?a??asinta2?x2dx(a?0)?x???a2?2cos2tdt

003、分布積分公式：?u(x)dv(x)??u(x)v(x)?a??v(x)du(x)

baabb說明：無論是還原法還是分布積分法，定積分和不定積分的計(jì)算過程都是相似的。

4、利用下面的公式能幫助我們簡化計(jì)算：（重要）（1）偶倍寄零

?0?0（2）?2f(sinx)dx??2f(cosx)dx（3）?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）

（4）設(shè)f(x)是周期為T的連續(xù)函數(shù)：則

?a?Taf(x)dx??f(x)dx；?0Ta?nTaf(x)dx?n?f(x)dx(n?N).(p249，例7，p253，0T1(26))

5、形如例9這樣的積分。5.4 反常積分

1、無窮限的反常積分：設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，引入記號(hào)

F(??)?limF(x);F(??)?limF(x)

x???x???則

????a???f(x)dx?F(x)|?a??F(??)?F(a)；??f(x)dx?F(x)|?????F(??)?F(??).b??f(x)dx?F(x)|b????F(b)?F(??)；

??反常積分收斂意味著相應(yīng)的F(??),F(??)存在；特別的積分?F(??),F(??)同時(shí)存在。

????f(x)dx收斂必須注意：對(duì)于無窮限積分來說，偶倍寄零原則不在成立！

2、無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）：設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則 若b為瑕點(diǎn)，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a)；

bab若a為瑕點(diǎn)，則?f(x)dx??F(x)?a?F(b)?F(a?)；

bab若a,b都為瑕點(diǎn)，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a?)；

bab則c?(a,b)為瑕點(diǎn)，則?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??F(x)?c。a??F(x)?caacbcbb反常積分收斂意味著相應(yīng)的F(a?),F(b?)存在；特別的積分?f(x)dx（c?(a,b)ab為瑕點(diǎn)）收斂必須F(c?),F(c?)同時(shí)存在。

說明：由上面的公式看出，反常積分與定積分的計(jì)算方法是一樣的。都是先求原函數(shù)然后代入兩個(gè)端點(diǎn)，只是對(duì)于非正常點(diǎn)（如?和瑕點(diǎn)）算的是函數(shù)的極限。

3、換元法也適用于反常積分

4、會(huì)利用下面的兩個(gè)重要反常積分來討論一些函數(shù)的收斂性（重要）

???ap?1???,dx???(a?0)1,p?1xp?p?1?(p?1)a?(b?a)1?qb,q?1dx?? 1?q?a(x?a)q????,q?1?練習(xí)：p260,2題；求積分?bdx的收斂性。

b(x?b)qa5、遇到形如?f(x)dx積分時(shí)，注意[a,b]是否含有瑕點(diǎn)。否則會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果：

adx。?1x第六章 定積分的應(yīng)用

6.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

1、平面圖形的面積（直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)下）（重要）

2、體積（特別是旋轉(zhuǎn)體的體積）（重要）

3、三個(gè)弧長公式（重要）

6.3 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用（做功、水壓力重要，引力了解）如?1

第二篇：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

高等數(shù)學(xué)2考試知識(shí)點(diǎn)

總題型：填空（10空），選擇題（5個(gè)），計(jì)算題（A-9,B-8），證明題（2個(gè)）

第8章：填空選擇題型：向量的數(shù)量積和向量積的計(jì)算，運(yùn)算性質(zhì)，兩向量平行與垂直的充分必要條件即向量積為零向量和數(shù)量積為零，兩向量數(shù)量積的模表示以這兩向量為鄰邊的平行四邊形的面積，點(diǎn)到平面的距離公式，旋轉(zhuǎn)曲面方程的特點(diǎn)即出現(xiàn)兩個(gè)變量的平方和且其對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，球面的一般方程；

計(jì)算題型：根據(jù)直線和平面的關(guān)系求平面方程或直線方程；

第9章：填空選擇題型：多元函數(shù)的定義域，簡單函數(shù)的二重極限計(jì)算，多元函數(shù)的極限、連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，多元函數(shù)取極值的必要條件；

計(jì)算題型：偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，空間曲線的切線法平面，空間曲面的切平面法線，函數(shù)在已知點(diǎn)沿已知向量方向的方向?qū)?shù)，多元函數(shù)的極值和條件極值；

證明題型：證明與偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)的等式；

第10章：填空選擇題型：重積分的性質(zhì)，計(jì)算被積函數(shù)為常數(shù)且積分區(qū)域比較特殊的二重積分或三重積分，二次積分交換積分次序；

計(jì)算題型：二重積分計(jì)算，極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，三重積分的計(jì)算（球面坐標(biāo)結(jié)合高斯公式），曲頂柱體的體積；

第11章：填空選擇題型：第一第二類曲線曲面積分的性質(zhì)，計(jì)算被積函數(shù)為常數(shù)且積分曲線或積分曲面比較特殊的第一類曲線積分或第一類曲面積分；

計(jì)算題型：曲線型構(gòu)建的質(zhì)量（已知線密度，且曲線為圓?。?，對(duì)坐標(biāo)的曲線積分使用格林公式，高斯公式（積分區(qū)域?yàn)榍虻娜胤e分），全微分求積（求原函數(shù)）

第11章：填空選擇題型：級(jí)數(shù)收斂的定義，收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，簡單級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂以及發(fā)散的判定，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域，冪級(jí)數(shù)的間接展開(利用指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù))，傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，記住奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的傅里葉級(jí)數(shù)展開為正弦與余弦級(jí)數(shù)；

計(jì)算題型：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法，一般的級(jí)數(shù)判定其絕對(duì)收斂還是條件收斂，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)的展開（分式展開，主要利用1/(1-x)的展開式，要注意收斂的范圍）； 證明題型：利用296頁的Weierstrass判別法證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是一致收斂的；

第三篇：高等數(shù)學(xué)第六版上冊(cè)(同濟(jì))復(fù)習(xí)重點(diǎn)

高數(shù)重點(diǎn)

1、洛必達(dá)法則求未定式極限

2、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式（隱函數(shù)存在的三個(gè)定理）

3、多元函數(shù)的極值及其求法（多元函數(shù)極值和最值的概念，二元函數(shù)極值存在的必要條件

和充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值）

4、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，全微分形式的不變性）

5、全微分（全微分的定義，課微分的必要條件和充分條件）

6、偏導(dǎo)數(shù)（概念，二階偏導(dǎo)數(shù)求解）

7、二重積分的計(jì)算法（利用直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)求二重積分）

8、微分方程的基本概念（微分方程及其階，解，通解，初始條件，特解）

9、齊次方程

10、牛頓——萊布尼茨公式

一、1、夾逼定理

2、連續(xù)（定義證明函數(shù)連續(xù)，判斷間斷點(diǎn)類型）

二、1、導(dǎo)數(shù)（證明函數(shù)是否可導(dǎo)）連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定連續(xù)

2、求導(dǎo)法則

3、求導(dǎo)公式，微分公式

三、1、微分中值定理！

2、洛必達(dá)法則

3、泰勒公式，拉格朗日中值定理

4、曲線凹凸性，極值

5、曲率公式 曲率半徑

四、積分不定積分

1、兩類換元法

2、分部積分法（注意加C）

3、定積分定義、反常積分

五、定積分的應(yīng)用

極坐標(biāo)求做功求面積求體積求弧長

第四篇：高等數(shù)學(xué)上冊(cè)

《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)

一、函數(shù)與極限

1.函數(shù)基本概念—了解

1． 集合及集合的運(yùn)算

2． 數(shù)軸、無窮大和無窮小的幾何表示、區(qū)間 3． 常量和變量

4． 函數(shù)的定義和函數(shù)的表達(dá)方式 5． 函數(shù)的定義域和函數(shù)的計(jì)算 6． 基本初等函數(shù)

7． 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù) 8． 分段函數(shù)

2.函數(shù)的極限及運(yùn)算法則—理解極限的含義，會(huì)計(jì)算求極限的題目；涉及范圍較廣，高等數(shù)學(xué)上冊(cè)下冊(cè)均有求極限的題目，極限的方法是研究函數(shù)的工具。（不會(huì)涉及證明用極限定義證明極限的題目）

1． 數(shù)列及數(shù)列極限 2． 函數(shù)的極限

3． 無窮大和無窮小的極限表示

4． 無窮大和無窮小的關(guān)系及無窮小的性質(zhì)（運(yùn)算注意前提條件有限個(gè)和無限個(gè)的區(qū)別）5． 極限的有界性定理及應(yīng)用

6． 復(fù)合函數(shù)求極限（變量代換的方法）

3.兩個(gè)重要極限（兩個(gè)極限的運(yùn)算法則的條件、推廣和應(yīng)用）

1． 第一個(gè)重要極限

2． 第一個(gè)重要極限的應(yīng)用 3． 第二個(gè)重要極限

4． 第二個(gè)重要極限的應(yīng)用（注意：單調(diào) 且有界是證明題的關(guān)鍵部分）4.無窮小的比較

等價(jià)無窮小及其應(yīng)用

重要部分！5.函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)

1． 增量

2． 函數(shù)連續(xù)的兩個(gè)定義 3． 左連續(xù)和右連續(xù)

4． 函數(shù)的間斷點(diǎn)分類（重要，出小題）

5． 連續(xù)函數(shù)四則運(yùn)算的連續(xù)性（運(yùn)算法則的條件、推廣和應(yīng)用）6． 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

7． 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，重要，但一般不單獨(dú)出題）一致連續(xù)性不用看 練習(xí)題一

2.導(dǎo)數(shù)與微分（重要,小題必考章節(jié)?。?.導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則

1． 導(dǎo)數(shù)的定義（重要），2． 導(dǎo)數(shù)的幾何意義（理解；其中數(shù)一數(shù)二導(dǎo)數(shù)的物理意義；數(shù)三，經(jīng)濟(jì)意義、邊際函數(shù)、彈性函數(shù)）

3． 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系（必需的?。?． 求導(dǎo)公式表（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

5． 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算（必需的，熟悉到1+1=2?。?.不同類型函數(shù)的求導(dǎo)法則及高階導(dǎo)數(shù)

1． 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

3． 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則（小題，理解！多元隱函數(shù)的求導(dǎo)）4． 高階導(dǎo)數(shù)（重要）

3.函數(shù)的微分及應(yīng)用（理解，重要同導(dǎo)數(shù)必考，小題）

1． 微分的定義

2． 微分的幾何意義

3． 微分的基本公式和運(yùn)算法則 4． 復(fù)合函數(shù)的微分公式

5． 利用微分進(jìn)行近似計(jì)算（除去不用看）練習(xí)題二

3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（考大題 難題，重要章節(jié)?。?/p>

1.中值定理和洛必達(dá)法則（中值定理包括費(fèi)馬定理的應(yīng)用及相關(guān)的證明題，必須會(huì)做證明題?。?/p>

1． 羅爾定理及幾何意義

2． 拉格郎日中值定理及幾何意義

3． 利用拉格郎日中值定理證明不等式

4． 洛必達(dá)法則（必考;泰勒公式及其應(yīng)用，參照張宇的老師的導(dǎo)學(xué)或視頻）2.函數(shù)的極值和最值（考小題，單調(diào)性及極值點(diǎn)、最大值最小值）

1． 函數(shù)的單調(diào)性及判斷 2． 函數(shù)的極值 3． 函數(shù)的最值

3.曲線的凸凹性，拐點(diǎn)及函數(shù)作圖（考小題，單調(diào)性及極值點(diǎn)、凹凸性及拐點(diǎn)、漸近線的定義理解）

1． 曲線的凸凹性及判斷 2． 曲線的拐點(diǎn) 3.曲線的漸近線

4.函數(shù)作圖（會(huì)大致描繪圖形幫助做題）5.曲率

（了解即可）練習(xí)題三

4.不定積分（重要！運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)。與數(shù)

一、數(shù)三相比，數(shù)二有可能大題。）

1.不定積分的概念和基本公式

1． 原函數(shù)與不定積分（理解原函數(shù)）

2． 不定積分的定義（必需的，熟悉到1+1=2！）3． 不定積分的性質(zhì)（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 基本積分表（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 直接積分法（必需的，熟悉到1+1=2?。?.換元積分法

1． 換元積分法的引入

2． 第一類換元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 第一類換元法的應(yīng)用（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 第二類換元法（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

5． 第二類換元法的應(yīng)用（必需的，熟悉到1+1=2?。?.分部積分法和不定積分技巧的綜合應(yīng)用

1． 分部積分法（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

2． 被積函數(shù)和積分變量的選?。ū匦璧?，熟悉到1+1=2！）

3.有理函數(shù)的積分（重要，常見的一些題型，基本的運(yùn)算方法的綜合利用）4.綜合題舉例（積分表不必看）

5.定積分（重要！非常重要，是多元函數(shù)的二重積分，三重積分，線面積分的基礎(chǔ)）1.定積分的定義和基本運(yùn)算

1． 定積分的定義（理解！）

2． 定積分的性質(zhì)

3． 變上限的積分函數(shù)（理解?。?/p>

4． 牛頓—萊布尼茲公式 各種題型的必需的，熟悉到1+1=2！

2.定積分的換元法和分部積分法

若不定積分學(xué)好，這一部分涉及的計(jì)算應(yīng)該1． 定積分的換元法 很簡單！2． 定積分的分部積分法

3． 利用方程和數(shù)列求定積分

常見的各種類型的題目一定要熟悉，再熟悉，3.廣義積分（理解！考小題）再再熟悉，怎么熟悉都不為過！

1． 積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分 一元函數(shù)的極限，導(dǎo)數(shù)，微分，不定積分，定2． 被積函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)的廣義積分（Г積分這是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，根本所在；然后多函數(shù)不用看）元函數(shù)（二元函數(shù)）的類似運(yùn)算，只要把定義4.定積分的運(yùn)用（會(huì)應(yīng)用）相關(guān)推理過程理解了，則 自然會(huì)有 水到渠成1． 定積分的元素法 效果，難點(diǎn)不再難點(diǎn)！2． 利用定積分求平面圖形面積

3． 利用定積分求體積（數(shù)三只看旋轉(zhuǎn)體 體積）

4.曲線的弧長（數(shù)

一、數(shù)二公式記住，數(shù) 三不考）

第五篇：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提要

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱

第一章 函數(shù)與極限 復(fù)習(xí)重點(diǎn)：

1、求極限

1）四則運(yùn)算法則

注意：四則運(yùn)算法則適用的函數(shù)個(gè)數(shù)是有限個(gè)；

四則運(yùn)算法則的條件是充分條件

有理分式函數(shù)求極限公式：

?a0mm?1 xxxam?ba?a???amm?101m?1n?nnn a0x?a1x???am?1x?am?0xxxx?lim??0limnn?1 ?bxn?bxn?1???bx?bx??x?bxxxn01n?1n??b?b???b?01n?1nnnn ?xxxx?2）兩個(gè)重要極限

n?mm?nm?nlimsinxsin0?1()x?0x01x101lim(1?x)?lim(1?)x?e((1?0))x?0x??x

3）兩個(gè)準(zhǔn)則

準(zhǔn)則一： 若(1)yn?xn?zn?n?N則{xn}有極限,且limxn?an??(2)limyn?limzn?an??n??

準(zhǔn)則二：單調(diào)有界數(shù)列必有極限

單調(diào)遞增有上界的數(shù)列其極限為最小的上界（上確界）

單調(diào)遞減有下界的數(shù)列其極限為最大的下界（下確界）4）無窮小量

a.無窮小量的定義，注意其是變量，談及無窮小量時(shí)一定要注明自變量的變化趨勢。唯一的例外是0永遠(yuǎn)是無窮小量；

b.掌握何為高階無窮小，低階無窮小，同階無窮小，等價(jià)無窮小； c.利用無窮小量求極限

無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量

等價(jià)無窮小量替代求極限

注意：下面給出關(guān)系式是在x?0時(shí)才成立

等價(jià)無窮小量替代求極限只在積、商時(shí)成立，加減時(shí)不行

1sinx~x 1?cosx~x2 x　arcsinx~x e?1~x

tanx~x ax?1~xlna

xn　ln(1?x)~x 1?x?1~ n2、連續(xù)性和間斷點(diǎn) 1）連續(xù)定義

?x?0lim?y?0,limf(x)?f(x0)

x?x0要求會(huì)用定義討論分段函數(shù)分段點(diǎn)的連續(xù)性

2）間斷點(diǎn)

第Ⅰ類間斷點(diǎn)：f(x0?0)，f(x0?0)?,即左右極限均存在 01f(x0?0)?f(x0?0)跳躍間斷點(diǎn) 0? 2f(x0?0)?f(x0?0)而f(x0)無定義??可去間斷點(diǎn)0 3limf(x)?f(x0)?x?x0?

第Ⅱ類間斷點(diǎn)：f(x0?0)，f(x0?0)至少有一個(gè)不?

間斷點(diǎn)的疑似點(diǎn)：使函數(shù)沒有意義的點(diǎn)和分段函數(shù)分段點(diǎn)

要求：判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)，若是第一類的要寫出是跳躍還是可去，第二類只需寫出是第二類間斷點(diǎn)即可。

3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1）最值定理：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值一定取得到。注意：最值定理的條件是充分條件，不滿足結(jié)論不一定成立。

2）零點(diǎn)定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)f(b)<0，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f(x0)?0。要求：和羅爾中值定理結(jié)合在一起判斷根的唯一性。

第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 復(fù)習(xí)重點(diǎn)：

1、導(dǎo)數(shù)的定義f?(x0)?limf(x)?f(x0)?y ?lim?x?0?xx?x0x?x0要求，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義判斷分段函數(shù)分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性，以及利用導(dǎo)數(shù)定義求極限；

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 表示曲線f(x)在x?x0處切線的斜率 要求會(huì)求切線方程法線方程；

3、微分的定義 dy?f?(x0)?x（一點(diǎn)可微）；dy?f?(x)dx（點(diǎn)點(diǎn)可微）

4、一元微分學(xué)中，可導(dǎo)、連續(xù)、可微三者之間的關(guān)系

可導(dǎo)必可微，可微必可導(dǎo)；可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)

5、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 a.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

b.高階導(dǎo)數(shù)

常見高階導(dǎo)數(shù)公式如下：

y?exy(n)?ex

y?xny(n)?n!,y(n?1)?0

n?y?sinxy(n)?sin(x?)2 n?y?cosxy(n)?cos(x?)2(?1)n?1(n?1)!(n)y?ln(1?x)y?(1?x)nc.隱函數(shù)求導(dǎo)

隱函數(shù)求導(dǎo)方法兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)； 注意y是關(guān)于x的函數(shù)；

隱函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果還是隱函數(shù)；

隱函數(shù)高階求導(dǎo)時(shí)一階求導(dǎo)結(jié)果要注意回帶，以簡化運(yùn)算。d.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

適用于冪指函數(shù)、無理分式函數(shù) e.參數(shù)方程求導(dǎo)

注意二階導(dǎo)數(shù)

6、求微分

dy?f?(x)dx注意不要缺失dx 第三章 中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、中值定理

1）羅爾定理 若f(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，f(a)=f(b)，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f?(x0)?0。

注意：a)羅爾定理的條件是充分的，不滿足條件結(jié)論不一定成立；

b)羅爾定理的結(jié)論可理解為若f(x)滿足羅爾定理三個(gè)條件，則導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)至

少有一根；強(qiáng)調(diào)了導(dǎo)函數(shù)根的存在性，但沒指出到底有幾個(gè)根；

c)從羅爾定理可推出，若f(x)有n個(gè)根+連續(xù)+可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)至少有n-1個(gè)根；注意反之不成立；

d)若導(dǎo)函數(shù)沒有根，則f(x)至多一個(gè)根。2）拉格郎日定理

若f(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f?(x0)?應(yīng)用于不等式的證明和證明某個(gè)函數(shù)是一個(gè)常函數(shù)。3）柯西定理

若f(x)，F(xiàn)(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，且x?(a,b),F?(x)?0則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得

f(b)?f(a)。

b?af?(x0)f(b)?f(a)。?F?(x0)F(b)?F(a)應(yīng)用于等式的證明。

2、洛必達(dá)法則

定理?1?若limf?x??0limF?x??0x?ax?a

?2?在a,?f??x?F??x?都存在且F??x??0 f??x?f?x?f??x??3?lim?或???則lim?lim

x?aF??x?x?aF?x?x?aF??x? ??0?,???,0??,00,1?,?0等不定型極限 0?x?sinx1?cosx?lim注意：lim極限不存在，此時(shí)洛必達(dá)法則不適用。

x??x??x1洛必達(dá)法則應(yīng)用于解決,3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，凹凸性，極值和拐點(diǎn)，會(huì)作圖 1）單調(diào)性的判定

設(shè)函數(shù)y?f（x）在?a,b?連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，?x）a）如果在（a,b）內(nèi)f（?0，那么f（x）在?a,b?上?

b）如果在（?x）a,b）內(nèi)f（?0，那么f（x）在?a,b?上? 注： a、該條件為函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)的充分條件 b、若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單增（減）的充要條件為：

對(duì)一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)

在(a,b)內(nèi),任何使f?(x)?0的點(diǎn)必是孤立點(diǎn) c、若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f在(a,b)內(nèi)單增（減）的充要條件為： 對(duì)一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)d、單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)為：一階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)和一階不可導(dǎo)點(diǎn) 要求：會(huì)利用一階導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

會(huì)利用單調(diào)性證明不等式；

會(huì)利用嚴(yán)格單調(diào)性證明根的唯一性。2）凹凸性的判定

定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)上二階可導(dǎo)，在(a,b)內(nèi)若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凹的；在(a,b)內(nèi)若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凸的。

3）拐點(diǎn)：凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)

拐點(diǎn)的疑似點(diǎn)：二階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)和二階不可導(dǎo)點(diǎn) 判定定理1：若f(x)在x0處可導(dǎo)，在U(x0)內(nèi)二階可導(dǎo)，則

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f??(x)變號(hào)，(x0,f(x0)就是拐點(diǎn)；

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f??(x)不變號(hào)，(x0,f(x0)就不是拐點(diǎn)；

判定定理2：若f(x)在x0處三階可導(dǎo)，且f??(x0)?0,f???(x0)?0,則(x0,f(x0)是拐點(diǎn)。注意，對(duì)于判定定理2，若f??(x0)?0,f???(x0)?0,結(jié)論是(x0,f(x0)可能是拐點(diǎn)也可能不 是拐點(diǎn)。4）極值

極大值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)極大值，x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)。

極小值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)極小值，x0為f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)。

0最大值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)任意x?(a,b)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)最大值，x0為f(x)的一個(gè)最大值點(diǎn)。

注意：極值反映的函數(shù)局部的性質(zhì)，它只是和極值點(diǎn)附近點(diǎn)的函數(shù)值相互比較而言它是大的

還是小的，有可能出現(xiàn)極小值大于極大值的情況；而最值反映的是函數(shù)全局的性質(zhì)，它是和整個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值相互比較。一個(gè)區(qū)間上的最大值和最小值是唯一的，但取得最值點(diǎn)不唯一；而一個(gè)區(qū)間上極值是 不唯一的，可以有幾個(gè)極大值和極小值。

在區(qū)間內(nèi)部，最大值一定是極大值，最小值一定是極小值。極值點(diǎn)的疑似點(diǎn)：

判定定理：駐點(diǎn)和一階不可導(dǎo)點(diǎn)

必要條件：可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)。（使一階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)稱之為駐點(diǎn)）第一充分條件：若f(x)在x0處連續(xù)，在U(x0)內(nèi)可導(dǎo)，則

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f?(x)變號(hào)，x0就是極值點(diǎn)；

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f?(x)不變號(hào)，x0就不是極值點(diǎn)；

第二充分條件：若f(x)在x0處二階可導(dǎo)，且f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0就是極值點(diǎn)。

0f??(x0)?0,x0是極大值點(diǎn)；f??(x0)?0,x0是極小值點(diǎn)。

注意：在第二充分條件中，若f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0可能是極值點(diǎn)也可能不是。

第四章 不定積分（計(jì)算）

1、換元法（第一種，第二種（去根號(hào)））

2、分部積分法

3、倒代換

4、整個(gè)根式換元

5、有理函數(shù)積分

6、三角函數(shù)積分

nb第五章 定積分

f(x)dx?limf??i??xi.a??01、定積分的定義

i?1定積分的結(jié)果是常數(shù)，表示的是曲邊梯形面積的代數(shù)和，與積分區(qū)間和被積表達(dá)式有關(guān)，和積分變量無關(guān)。

2、可積的兩個(gè)充分條件和一個(gè)必要條件 f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。

f(x)在[a,b]有界且有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積。f(x)在[a,b]可積，在f(x)在[a,b]上有界。

3、定積分的幾何意義

4、定積分的重要性質(zhì)

??（1）無論a,b,c三者位置關(guān)系如何，?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accbbb（2）不等式性質(zhì)： ?x?[a,b],f(x)?g(x),?f(x)dx??g(x)dx

aab（3）估值定理：?x?[a,b],m?f(x)?M,m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

ab（4）積分中值定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在??[a,b],?f(x)dx?af(?)(b?a)

5、會(huì)用定積分的定義求極限

6、定積分的計(jì)算

（1）換元法

與不定積分相比要換積分上下限，最后不用回代（2）分部積分法

公式 ????nn22 ?In?sinxdxcosxdx????00 ?? 31??n?1n?3??????? ?nn?2422?? ?n?1?n?3???4?2?1 ?53?nn?2

（3）積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間的要考慮被積函數(shù)的奇偶性和非奇非偶性 ??aa?a?f(x)dx??(f(x)?f(?x))dx

0a?TT（4）周期性

f(x)dx?f(x)dxa0

a?nTT

f(x)dx?nf(x)dxa0

??（5）常見公式

22??(1)fsinxdx?f?cosx?dx 00

???(2)xf?sinx?dx?f?sinx?dx002 ??(3)f(sinx)dx?22f(sinx)dx00

第六章 定積分的幾何應(yīng)用 求面積（1）直角坐標(biāo)系

（2）參數(shù)方程（3）極坐標(biāo)系 ??????????