第一篇：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教程

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)》教程

第一講函數(shù)、連續(xù)與極限

一、理論要求 1.函數(shù)概念與性質(zhì) 2.極限

3.連續(xù)

二、題型與解法 A.極限的求法

函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)、有界、奇偶、周期）幾類常見(jiàn)函數(shù)（復(fù)合、分段、反、隱、初等函數(shù)）極限存在性與左右極限之間的關(guān)系 夾逼定理和單調(diào)有界定理

會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小和羅必達(dá)法則求極限

函數(shù)連續(xù)（左、右連續(xù)）與間斷

理解并會(huì)應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值、有界、介值）

（1）用定義求

（2）代入法（對(duì)連續(xù)函數(shù)，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）變量替換法（4）兩個(gè)重要極限法

（5）用夾逼定理和單調(diào)有界定理求（6）等價(jià)無(wú)窮小量替換法（7）洛必達(dá)法則與Taylor級(jí)數(shù)法

（8）其他（微積分性質(zhì)，數(shù)列與級(jí)數(shù)的性質(zhì)）1.（等價(jià)小量與洛必達(dá)）2.已知 解：

（洛必達(dá)）3.（重要極限）4.已知a、b為正常數(shù)，解：令（變量替換）5.解：令（變量替換）6.設(shè)連續(xù)，求

（洛必達(dá)與微積分性質(zhì)）7.已知在x=0連續(xù)，求a 解：令

（連續(xù)性的概念）

三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.（洛必達(dá)）

2.（洛必達(dá)或Taylor）3.（洛必達(dá)與微積分性質(zhì)）

第二講導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用

一、理論要求 1.導(dǎo)數(shù)與微分

2.微分中值定理 3.應(yīng)用

二、題型與解法 A.導(dǎo)數(shù)微分的計(jì)算

B.曲線切法線問(wèn)題 C.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題

D.冪級(jí)數(shù)展開問(wèn)題 導(dǎo)數(shù)與微分的概念、幾何意義、物理意義

會(huì)求導(dǎo)（基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱、反、參數(shù)方程求導(dǎo)）會(huì)求平面曲線的切線與法線方程

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 會(huì)用定理證明相關(guān)問(wèn)題

會(huì)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性與極最值、凹凸性、漸進(jìn)線問(wèn)題，能畫簡(jiǎn)圖 會(huì)計(jì)算曲率（半徑）

基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo) 1.決定，求 2.決定，求

解：兩邊微分得x=0時(shí)，將x=0代入等式得y=1 3.決定，則

4.求對(duì)數(shù)螺線處切線的直角坐標(biāo)方程。

解：

5.f(x)為周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=1可導(dǎo)，在x=0的某鄰域內(nèi)滿足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）處的切線方程。解：需求，等式取x->0的極限有：f(1)=0

6.已知，求點(diǎn)的性質(zhì)。解：令，故為極小值點(diǎn)。

7.，求單調(diào)區(qū)間與極值、凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)、漸進(jìn)線。解：定義域

8.求函數(shù)的單調(diào)性與極值、漸進(jìn)線。解：，9.或： 10.求 解： =

E.不等式的證明 11.設(shè)，證：1）令

2）令

F.中值定理問(wèn)題 12.設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求證：在（-1，1）上存在一點(diǎn) 證： 其中

將x=1，x=-1代入有 兩式相減： 13.，求證：

證： 令 令

（關(guān)鍵：構(gòu)造函數(shù)）

三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.2.曲線 3.4.證明x>0時(shí)

證：令

第三講不定積分與定積分

一、理論要求 1.不定積分 2.定積分 掌握不定積分的概念、性質(zhì)（線性、與微分的關(guān)系）會(huì)求不定積分（基本公式、線性、湊微分、換元技巧、分部）理解定積分的概念與性質(zhì)

理解變上限定積分是其上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)求法 會(huì)求定積分、廣義積分

會(huì)用定積分求幾何問(wèn)題（長(zhǎng)、面、體）

會(huì)用定積分求物理問(wèn)題（功、引力、壓力）及函數(shù)平均值

二、題型與解法 A.積分計(jì)算 1.2.3.設(shè)，求 解： 4.B.積分性質(zhì) 5.連續(xù)，,且，求并討論在的連續(xù)性。解：

6.C.積分的應(yīng)用 7.設(shè)在[0，1]連續(xù)，在（0，1）上，且，又與x=1,y=0所圍面積S=2。求，且a=?時(shí)S繞x軸旋轉(zhuǎn)體積最小。解：

8.曲線，過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，求曲線、切線與x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積。

解：切線繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積為

曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積為

總表面積為

三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.2.3.第四講向量代數(shù)、多元函數(shù)微分與空間解析幾何

一、理論要求 1.向量代數(shù) 理解向量的概念（單位向量、方向余弦、模）了解兩個(gè)向量平行、垂直的條件 向量計(jì)算的幾何意義與坐標(biāo)表示

2.多元函數(shù)微分 理解二元函數(shù)的幾何意義、連續(xù)、極限概念，閉域性質(zhì) 理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分概念 能熟練求偏導(dǎo)數(shù)、全微分 熟練掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法 3.多元微分應(yīng)用 4.空間解析幾何 理解多元函數(shù)極值的求法，會(huì)用Lagrange乘數(shù)法求極值 掌握曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法 會(huì)求平面、直線方程與點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離

二、題型與解法

A.求偏導(dǎo)、全微分 1.有二階連續(xù)偏導(dǎo)，滿足，求

解： 2.3.，求

B.空間幾何問(wèn)題 4.求上任意點(diǎn)的切平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的截距之和。解：

5.曲面在點(diǎn)處的法線方程。

C.極值問(wèn)題

三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.2.3.6.設(shè)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)與極值。

第五講多元函數(shù)的積分

一、理論要求 1.重積分 2.曲線積分 熟悉二、三重積分的計(jì)算方法（直角、極、柱、球）

會(huì)用重積分解決簡(jiǎn)單幾何物理問(wèn)題（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）理解兩類曲線積分的概念、性質(zhì)、關(guān)系，掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法

熟悉Green公式，會(huì)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件

3.曲面積分 理解兩類曲面積分的概念（質(zhì)量、通量）、關(guān)系 熟悉Gauss與Stokes公式，會(huì)計(jì)算兩類曲面積分

二、題型與解法 A.重積分計(jì)算 1.為平面曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周與z=8的圍域。解：

2.為與圍域。（3.，求

(49/20)

B.曲線、曲面積分 4.解：令

5.,。

解：取包含(0,0)的正向，6.對(duì)空間x>0內(nèi)任意光滑有向閉曲面S，且在x>0有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，,求。解：

第六講常微分方程

一、理論要求 1.一階方程 2.高階方程 3.二階線性常系數(shù) 熟練掌握可分離變量、齊次、一階線性、伯努利方程求法 會(huì)求(齊次)(非齊次)(非齊次)

二、題型與解法 A.微分方程求解 1.求通解。（2.利用代換化簡(jiǎn)并求通解。（）

3.設(shè)是上凸連續(xù)曲線，處曲率為，且過(guò)處切線方程為y=x+1，求及其極值。解：

三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）

1.已知函數(shù)在任意點(diǎn)處的增量。（）2.求的通解。（）3.求的通解。（）4.求的特解。（第七講無(wú)窮級(jí)數(shù)

一、理論要求 1.收斂性判別 級(jí)數(shù)斂散性質(zhì)與必要條件

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、幾何級(jí)數(shù)、p級(jí)數(shù)斂散條件 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較、比值、根式判別法 交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法 2.冪級(jí)數(shù) 冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域的求法

冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的基本性質(zhì)（和函數(shù)連續(xù)、逐項(xiàng)微積分）Taylor與Maclaulin展開

3.Fourier級(jí)數(shù) 了解Fourier級(jí)數(shù)概念與Dirichlet收斂定理 會(huì)求的Fourier級(jí)數(shù)與正余弦級(jí)數(shù)

第八講線性代數(shù)

一、理論要求 1.行列式 2.矩陣 會(huì)用按行（列）展開計(jì)算行列式

幾種矩陣（單位、數(shù)量、對(duì)角、三角、對(duì)稱、反對(duì)稱、逆、伴隨）矩陣加減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置，方陣的冪、方陣乘積的行列式 矩陣可逆的充要條件，會(huì)用伴隨矩陣求逆 矩陣初等變換、初等矩陣、矩陣等價(jià)

用初等變換求矩陣的秩與逆

理解并會(huì)計(jì)算矩陣的特征值與特征向量

理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣對(duì)角化的沖要條件 掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法 掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)

3.向量 理解n維向量、向量的線性組合與線性表示

掌握線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的判別

理解并向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩 了解基變換與坐標(biāo)變換公式、過(guò)渡矩陣、施密特方法 了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念與性質(zhì)

4.線性方程組 理解齊次線性方程組有非零解與非齊次線性方程組有解條件 理解齊次、非齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解

掌握用初等行變換求解線性方程組的方法

5.二次型 二次型及其矩陣表示，合同矩陣與合同變換 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形及慣性定理

掌握用正交變換、配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法

了解二次型的對(duì)應(yīng)矩陣的正定性及其判別法

第九講概率統(tǒng)計(jì)初步

一、理論要求 1.隨機(jī)事件與概率 了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

會(huì)計(jì)算古典型概率與幾何型概率

掌握概率的加減、乘、全概率與貝葉斯公式

2.隨機(jī)變量與分布 理解隨機(jī)變量與分布的概念 3.二維隨機(jī)變量

4.數(shù)字特征 5.大數(shù)定理 6.數(shù)理統(tǒng)計(jì)概念

7.參數(shù)估計(jì)

8.假設(shè)檢驗(yàn)

第十講總結(jié)

1.極限求解

2.導(dǎo)數(shù)與微分

3.一元函數(shù)積分 理解分布函數(shù)、離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型變量的概率密度

掌握0-

1、二項(xiàng)、超幾何、泊松、均勻、正態(tài)、指數(shù)分布，會(huì)求分布函數(shù)

理解二維離散、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布 理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)概念

掌握二維均勻分布、了解二維正態(tài)分布的概率密度 會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布

理解期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念

掌握常用分布函數(shù)的數(shù)字特征，會(huì)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛欽大數(shù)定理 了解隸莫弗-Laplace定理與列維-林德伯格定理

理解總體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本方差及樣本矩 了解分布、t分布、F分布的概念和性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念 了解正態(tài)分布的常用抽樣分布

掌握矩估計(jì)與極大似然估計(jì)法

了解無(wú)偏性、有效性與一致性的概念，會(huì)驗(yàn)證估計(jì)量的無(wú)偏性 會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間

掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟

了解單個(gè)及兩個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)

變量替換（作對(duì)數(shù)替換），洛必達(dá)法則，其他（重要極限，微積分性質(zhì)，級(jí)數(shù)，等價(jià)小量替換）1.(幾何級(jí)數(shù))2.(對(duì)數(shù)替換)3.4.5.6.，求

復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo) 1.2.，求dy/dx 3.決定函數(shù)，求dy 4.已知，驗(yàn)證 5.,求

1.求函數(shù)在區(qū)間上的最小值。（0）2.3.4.5.6.4.多元函數(shù)微分 1.，求

2.由給出，求證：

3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。4.，求 6.證明滿足 7.求內(nèi)的最值。

5.多元函數(shù)積分 1.求證： 2.3.4.改變積分次序 5.圍域。

6.常微分方程 1.求通解。2.求通解。3.求通解。4.求通解。5.求特解。6.求特解。

《高等數(shù)學(xué)考研題型分析》

填空題：極限（指數(shù)變換，羅必達(dá)）、求導(dǎo)（隱函數(shù)，切法線）、不定積分、二重積分、變上限定積分

選擇題：等價(jià)小量概念，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)圖形，多元極限

計(jì)算題：中值定理或不等式，定積分幾何應(yīng)用，偏導(dǎo)數(shù)及幾何應(yīng)用，常微分方程及應(yīng)用

第二篇：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

高等數(shù)學(xué)2考試知識(shí)點(diǎn)

總題型：填空（10空），選擇題（5個(gè)），計(jì)算題（A-9,B-8），證明題（2個(gè)）

第8章：填空選擇題型：向量的數(shù)量積和向量積的計(jì)算，運(yùn)算性質(zhì)，兩向量平行與垂直的充分必要條件即向量積為零向量和數(shù)量積為零，兩向量數(shù)量積的模表示以這兩向量為鄰邊的平行四邊形的面積，點(diǎn)到平面的距離公式，旋轉(zhuǎn)曲面方程的特點(diǎn)即出現(xiàn)兩個(gè)變量的平方和且其對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，球面的一般方程；

計(jì)算題型：根據(jù)直線和平面的關(guān)系求平面方程或直線方程；

第9章：填空選擇題型：多元函數(shù)的定義域，簡(jiǎn)單函數(shù)的二重極限計(jì)算，多元函數(shù)的極限、連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，多元函數(shù)取極值的必要條件；

計(jì)算題型：偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，空間曲線的切線法平面，空間曲面的切平面法線，函數(shù)在已知點(diǎn)沿已知向量方向的方向?qū)?shù)，多元函數(shù)的極值和條件極值；

證明題型：證明與偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)的等式；

第10章：填空選擇題型：重積分的性質(zhì)，計(jì)算被積函數(shù)為常數(shù)且積分區(qū)域比較特殊的二重積分或三重積分，二次積分交換積分次序；

計(jì)算題型：二重積分計(jì)算，極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，三重積分的計(jì)算（球面坐標(biāo)結(jié)合高斯公式），曲頂柱體的體積；

第11章：填空選擇題型：第一第二類曲線曲面積分的性質(zhì)，計(jì)算被積函數(shù)為常數(shù)且積分曲線或積分曲面比較特殊的第一類曲線積分或第一類曲面積分；

計(jì)算題型：曲線型構(gòu)建的質(zhì)量（已知線密度，且曲線為圓?。?，對(duì)坐標(biāo)的曲線積分使用格林公式，高斯公式（積分區(qū)域?yàn)榍虻娜胤e分），全微分求積（求原函數(shù)）

第11章：填空選擇題型：級(jí)數(shù)收斂的定義，收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂以及發(fā)散的判定，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域，冪級(jí)數(shù)的間接展開(利用指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù))，傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，記住奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的傅里葉級(jí)數(shù)展開為正弦與余弦級(jí)數(shù)；

計(jì)算題型：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法，一般的級(jí)數(shù)判定其絕對(duì)收斂還是條件收斂，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)的展開（分式展開，主要利用1/(1-x)的展開式，要注意收斂的范圍）； 證明題型：利用296頁(yè)的Weierstrass判別法證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是一致收斂的；

第三篇：高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)

第一章復(fù)習(xí)提要 第一節(jié) 映射與函數(shù)

1、注意幾個(gè)特殊函數(shù)：符號(hào)函數(shù)，取整函數(shù)，狄利克雷函數(shù)；這些函數(shù)通常用于判斷題中的反例

2、注意無(wú)界函數(shù)的概念

3、了解常用函數(shù)的圖像和基本性質(zhì)（特別是大家不太熟悉的反三角函數(shù)）第二節(jié) 數(shù)列的極限 會(huì)判斷數(shù)列的斂散性 第三節(jié) 函數(shù)的極限

1、函數(shù)極限存在的充要條件：左右極限存在并相等。（重要）

2、水平漸近線的概念，會(huì)求函數(shù)的水平漸近線（p37）。（重要）

3、了解函數(shù)極限的局部有界性、局部保號(hào)性。第四節(jié) 無(wú)窮大和無(wú)窮小

1、無(wú)窮小和函數(shù)極限的關(guān)系：limf(x)?A?f(x)?A??，其中?是無(wú)窮小。

x?x0x??

2、無(wú)窮大和無(wú)窮小是倒數(shù)關(guān)系

3、鉛直漸近線的概念（p41）, 會(huì)求函數(shù)的鉛直漸近線

4、無(wú)界與無(wú)窮大的關(guān)系：無(wú)窮大一定無(wú)界，反之不對(duì)。

5、極限為無(wú)窮大事實(shí)上意味著極限不存在，我們把它記作無(wú)窮大只是為了描述函數(shù)增大的這種狀態(tài) 第五節(jié) 極限的運(yùn)算法則

1、極限的四則運(yùn)算法則：兩個(gè)函數(shù)的極限都存在時(shí)才能用。以乘法為例比如f(x)?x,g(x)?但是limf(x)?g(x)?1

x?01。limf(x)?0，limg(x)??。xx?0x?02、會(huì)求有理分式函數(shù)

p(x)的極限（P47 例3-例7）（重要）q(x)x?x0時(shí):若分母q(x0)?0，則極限為函數(shù)值

0型極限，約去公因子 0 若只是分母為零，則極限為無(wú)窮大。（p75頁(yè)9（1））

x??時(shí)，用抓大頭法，分子、分母同時(shí)約去x的最高次冪。第六節(jié) 極限存在的準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限（重要）

1、利用夾逼準(zhǔn)則求極限： 例 p56也習(xí)題4（1）（2），及其中考試題（B）卷第三題（1）

2、利用兩個(gè)重要極限求其他的極限（p56習(xí)題2）

1sinxsinx?0；lim?1 3 注意下面幾個(gè)極限：limxsin?0；limx?0x??x?0xxx第七節(jié) 無(wú)窮小的比較（重要）

1、會(huì)比較兩個(gè)無(wú)窮之間的關(guān)系（高階、低階、同階，k 階還是等價(jià)窮?。┤舴肿雍头帜竿瑫r(shí)為零，則為

x22、常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮?。簊inx,tanx,arcsinx~x；1?cosx~

2ex?1~x；(1?x)~1nx n13、若?(x)為無(wú)窮小，則sin?(x)~?(x)，(1??(x))n~?(x)n，ln(1??(x))~?(x)，e?(x)?1~?(x)。

4、替換無(wú)窮小時(shí)必須是因式

x?0limtanx?sinxx3?limx?x3x?0x?0

應(yīng)該

x2xtanx?sinxtanx(1?cosx)1lim?lim?lim2?

2x?0x?0x?0x3x3x35、會(huì)利用等價(jià)無(wú)窮小計(jì)算極限（p60頁(yè)習(xí)題4）

第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)（重要）

1、函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù) ?limf(x)?f(x0)

x?x0?左連續(xù)limf(x)?f(x0)且

x?x?0f(x)?f(x0)

右連續(xù)lim?x?x02、會(huì)判斷間斷點(diǎn)及其類型。討論分段函數(shù)的連續(xù)性。

3、f(x)在點(diǎn)a連續(xù)?f(x)在點(diǎn)a連續(xù)；但反之不對(duì)。

第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)的，因而求某點(diǎn)處極限時(shí)可以直接把點(diǎn)代入求值。

4.注意三個(gè)例題：例6-例8（重要）

5、冪指函數(shù)u(x)v(x)求極限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)來(lái)求。（重要）

6、若含有根式，則分子或者分母有理化（p75頁(yè)9（2））是求極限的一種重要方法。（重要）

7、利用分段函數(shù)的連續(xù)性求未知數(shù)的值（如p70頁(yè) 6）（重要）第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理的內(nèi)容 會(huì)零點(diǎn)定理證明方程根的存在性。（重要）補(bǔ)充說(shuō)明 請(qǐng)熟悉函數(shù)e當(dāng)x?0?,x?0?,x??時(shí)的極限。第二章復(fù)習(xí)提要

1、導(dǎo)數(shù)的定義

（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些極限的值：例如P86頁(yè)第6題 例

1、設(shè)f(0)?0,f?(0)?k0,則limf(x)?____.x?0x1x例

2、設(shè)f?(x0)存在，則limf(x0?h)?f(x0)?________.（重要）

hh?0（2）利用左右導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的可導(dǎo)性：P125頁(yè)第7題

?sinx,x?0例

3、已知f(x)??，求f?(x)

?x,x?0注意分點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該用定義來(lái)求。（重要）

（3）利用左右導(dǎo)數(shù)求未知數(shù)的值：P87頁(yè)第17題（重要）

?sinx,x?0例

4、設(shè)f(x)??為可導(dǎo)的，求a的值

ax,x?0?（4）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線和法線方程（重要）

（5）可導(dǎo)?連續(xù)，反之不成立！

2、求導(dǎo)法則

（1）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)不要掉項(xiàng)；

（2）冪指函數(shù)u(x)v(x)?ev(x)lnu(x)轉(zhuǎn)化成指數(shù)來(lái)求導(dǎo)

3、高階導(dǎo)數(shù)

（1）一般的函數(shù)求到2階即可；（2）幾個(gè)初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：

??(eax)(n)?aneax；y(n)?sin(x?n)；(cosx)(n)?cos(x?n)

22[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)!(1?x)n，(n?1)!(1?x)n[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(?1)n(n?1)!(1?x)n??

由上面的求導(dǎo)公式我們?nèi)菀淄瞥鱿铝星髮?dǎo)公式：

1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?(?1)nn?11?x(1?x)1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?n?11?x(1?x)(1(n)n!)?[ln(a?x)](n?1)?(?1)nn?1a?x(a?x)1(n)n!)?[ln(1?x)](n?1)?n?1a?x(a?x)((3)二項(xiàng)式定理

(uv)(n)(n?k)(k)??Ckuv nk?0n（4）間接法求高階導(dǎo)數(shù)：

1?x2例

5、求y?的n階導(dǎo)數(shù)：提示y??1?。

1?x1?x（5）注意下列函數(shù)的求導(dǎo)

例

6、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：P103頁(yè)第3題（重要）（1）y?f(x2)；（2）y?ln[f(x)]

4、隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)（重要）（1）一般方法，兩邊對(duì)x球到后解出

dy。dx（2）會(huì)求二階導(dǎo)數(shù)

（3）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù)和連乘或連除的函數(shù)（4）注意參數(shù)方程二階導(dǎo)數(shù)的公式

dydyd()2()?tdydtdx。（重要）??dxdx2dtdxdxdt（5）相關(guān)變化率問(wèn)題：

根據(jù)題意給出變量x和y之間的關(guān)系；

?

兩邊對(duì)t（或者是其他變量）求導(dǎo)

?

dydx和之間的關(guān)系，已知其中一個(gè)求另外一個(gè)。dtdt5、函數(shù)的微分

（1）微分與可導(dǎo)的關(guān)系：可微?可導(dǎo)且dy?f?(x)dx（2）利用微分的形式不變性求隱函數(shù)或顯函數(shù)的微分： 顯函數(shù)的例子見(jiàn)課本的例題；下面給出隱函數(shù)的例子 例

7、設(shè)ysinx?cos(x?y)?0,求dy。解: 利用一階微分形式不變性 , 有

d(ysinx)?d(cos(x?y))?0

sinxdy?ycosxdx?sin(x?y)(dx?dy)?0

dy?ycosx?sin(x?y)dx。

sin(x?y)?sinx（3）近似計(jì)算公式：注意x0的選取原則。(一般不會(huì)考)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)提要 3.1 微分中值定理（重要）

羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理應(yīng)用： 證明等式，一般通過(guò)證明導(dǎo)數(shù)為零

證明不等式：若不等式中不含x，則取x作為輔助函數(shù)的自變量；若含有x，則取t作為輔助函數(shù)的自變量。（重要）

判斷方程的根（存在性用零點(diǎn)定理，唯一性或判斷根的個(gè)數(shù)用中值定理，有時(shí)還要結(jié)合單調(diào)性，見(jiàn)153也習(xí)題6）（重要）

利用輔助函數(shù)和中值定理證明等式（一個(gè)函數(shù)用拉格朗日，二個(gè)用柯西）例1 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)?0，證明至少存在一點(diǎn)??(0,1)使得f?(?)??2f(?)?。

證明：上述問(wèn)題等價(jià)于?f?(?)?2f(?)?0。

令f(x)?x2f(x)，則f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，于是少存在一點(diǎn)??(0,1)使得

??(?)?2?f(?)??2f?(?)?0 即有?f?(?)?2f(?)?0。

（5）請(qǐng)熟悉132頁(yè)例1.3.2 洛必達(dá)法則（重要）

（1）(其他類型的未定式)最終轉(zhuǎn)化成0?型和型未定式 0?（2）每次用前需判斷

（3）結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小效果更佳。3.3 泰勒公式

（1）一般方法：求各階導(dǎo)數(shù)代入公式即可；

（2）常見(jiàn)函數(shù)ex,ln(1?x)，sinx,cosx的麥克勞林公式 3.4 函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性（1）會(huì)用列表法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間（注意一般是閉區(qū)間），拐點(diǎn)。注意不要漏掉導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是單調(diào)區(qū)間的分點(diǎn)； 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn)。（2）利用單調(diào)性證明不等式（重要）（3）利用單調(diào)性判斷方程的根（重要）3.5 極值和最值（重要）

（1）列表法求極值（極值可能點(diǎn)為駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)）（2）最值（找出極值可能點(diǎn)再與端點(diǎn)比較）

（3）對(duì)于時(shí)間問(wèn)題，若極值點(diǎn)唯一，則也為最值點(diǎn)。3.6 函數(shù)圖形的描繪 注意漸近線 3.7 曲率

（1）弧微分公式

（2）曲率和曲率半徑的計(jì)算公式（重要）第四章復(fù)習(xí)提要

4.1 不定積分的概念和性質(zhì)

1、基本積分表

?

2、公式?f(x)dx?f(x)和?f?(x)dx?f(x)?C ??

3、注意如下問(wèn)題：（填空、選擇、判斷）若e?x是f(x)的原函數(shù)，則?x2f(lnx)dx??若f(x)是e?x的原函數(shù)，則?12x?C 2f(lnx)1dx? ?C0lnx?C xx若f(x)的導(dǎo)數(shù)為sinx，則f(x)的一個(gè)原函數(shù)是（B）。A 1?sinx;B 1?sinx;C 1?cosx;D 1?cosx

4.2 換元積分法（重要）

1、第一換元法的原理：?g(x)dx

把被積函數(shù)g(x)湊成g(x)?f(?(x))??(x)的形式，因而這種方法也稱為湊微分法。

2、一些規(guī)律： ①?f(x)1xdx?2?f(x)(x)??2?f(x)dx

11?f(ax?b)(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b)

a?a?②?f(ax?b)dx?1③?f(lnx)dx??f(lnx)(lnx)?dx??f(lnx)d(lnx)

x④?sin(2k?1)xcosnxdx??sin2kxcosnxsinxdx???(1?cos2x)cosnxdcosx ⑤?cos(2k?1)kxsinxdx??cosxsinxcosxdx??(1?sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：?sin(2k?1)xdx和?cos(2k?1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥?sin2kxcos2nxdx用公式sin2x?⑦?tanxsecn2k?2n2k1?cos2x1?cos2x和cos2x?降次。22n2kxdx??tanxsecxdtanx??tanx(1?tanx)dtanx

注?sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧?csc2k?2xdx??csc2kxcsc2xdx???(1?cot2x)dcotx

⑨?tan(2k?1)xsecnxdx??tan2kxsecn?1xdsecx??(sec2x?1)secn?1xdsecx ⑩利用積化和差公式：

1cosAcosB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

21sinAcosB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21cosAsinB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21sinAsinB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

2第二換元法

被積函數(shù)中含有a2?x2，利用代換x?asint,t?(?被積函數(shù)中含有a2?x2，利用代換x?atant,t?(?kk??,)22,)22??被積函數(shù)中含有x2?a2，利用代換x?asect,t?(0,?)（一般要分情況討論）被積函數(shù)為分式，分母次數(shù)比分子次數(shù)高，到代換 利用下列積分公式：

⒃?tanxdx??ln|cosx|?C；⒄?cotxdx?ln|sinx|?C

⒅?secxdx?ln|secx?tanx|?C；⒆?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C ⒇?dx1xdx1x?a?arctan?C；（21）?ln?x2?a22ax?a?C aa2?x2a（22）?xdx?arcsin?C；?ln(x?a2?x2)?C（23）?ax2?a2a2?x2dx（24）?dxx2?a2?lnx?x2?a2?C

4.3 分部積分法（重要）

1、分部積分公式：?udv?uv??vdu

2、u的選取原則：反?對(duì)?冪?指?三。

這個(gè)原則不是絕對(duì)的，如通常?exsinxdx??sinxdex。

3、如果遇到反三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的高次冪，通常先換元更容易算。如?(arcsinx)2dxarcsinx?t?t2dsint；

ln2x2?ttdxlnx?t?edt ?x2遇到根式ax?b，先令t?ax?b去根號(hào)。會(huì)做形如例7、8那樣具有典型特點(diǎn)的題目。

4.4 有理函數(shù)的積分（重要）

1、P(x)，先用多項(xiàng)式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、對(duì)Q(x)分解因式，根據(jù)分解結(jié)果用待定系數(shù)法確定x?1x?1AB??：應(yīng)設(shè)

(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)x?2x?3 ?x?2x?2ABx?C：應(yīng)設(shè) ???(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)x?2x?2ABx3?Cx2?Dx?E?(2x?1)(x2?x?1)2：應(yīng)設(shè)(2x?1)(x2?x?1)?(2x?1)?(x2?x?1)2

原則就是分子的次數(shù)總是要比分母低一次。

3、三角函數(shù)可以通過(guò)如下?lián)Q元法轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分

xxx2tan1?tan22tan2；cosx?2；tanx?2 sinx?xxx1?tan21?tan21?tan2222x令tan?t，則三角函數(shù)就轉(zhuǎn)化成為有理函數(shù)

24.被積函數(shù)含有nax?b或nax?bcx?d，則令t?nax?b或t?nax?bcx?d 幾個(gè)典型題目 P207頁(yè)（42）?x?1dxdx，（43）?x?1?x2P211頁(yè)例7、8 x2?2x?3補(bǔ)充說(shuō)明：這一章的內(nèi)容需要大家在掌握一定規(guī)律的前提下多做練習(xí)，方能取得比較好的效果 第五章：定積分

5.1 定積分的概念和性質(zhì)

1、定積分的定義：?f(x)dx?lim?f(?i)?xi

abni??02、定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積

3、定積分的性質(zhì)：利用定積分的性質(zhì)判斷積分的取值范圍或比較兩個(gè)積分的大?。╬235,10,13）(重要)5.2 微積分基本公式

1、y?f(x),a?x?b的積分上限的函數(shù)（重要）

?(x)??xaf(t)dt,a?x?b

及其導(dǎo)數(shù)：（如p243,5題）（1）??(x)?f(x)

d?(x)f(t)dt?f(?(x))??(x)?adxda（3）?f(t)dt??f(?(x))??(x)

dx?(x)d?(x)（4）?f(t)dt?f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)

dx?(x)

2、利用上面的公式計(jì)算極限、判斷函數(shù)單調(diào)性等： 相應(yīng)例題（p242,例7，8），相應(yīng)習(xí)題（p243-244:習(xí)題9，12，12，14）（重要）（2）

3、牛頓-萊布尼茨公式：函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則

?baf(x)dx?F(b)?F(a)，記作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函數(shù)(或者帶絕對(duì)值的函數(shù))的積分應(yīng)為分段積分的和：典型題目p244，習(xí)題10.5.3 定積分的換元法和分布積分法（重要）

1、第一換元公式：?f[?(x)]??(x)dt??f(t)dt

ab??

2、第二還原公式：?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt

ab??注意：一般來(lái)說(shuō)應(yīng)用第一換元公式，我們一般不需要把新變量寫出來(lái)，因而也就

?cos?2不需要寫出新變量的積分限，如?cossinxdx??? 但是應(yīng)用第二換元?。

3??0公式，一般要寫出新變量及其積分限，如

202??3?a??asinta2?x2dx(a?0)?x???a2?2cos2tdt

003、分布積分公式：?u(x)dv(x)??u(x)v(x)?a??v(x)du(x)

baabb說(shuō)明：無(wú)論是還原法還是分布積分法，定積分和不定積分的計(jì)算過(guò)程都是相似的。

4、利用下面的公式能幫助我們簡(jiǎn)化計(jì)算：（重要）（1）偶倍寄零

?0?0（2）?2f(sinx)dx??2f(cosx)dx（3）?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）

（4）設(shè)f(x)是周期為T的連續(xù)函數(shù)：則

?a?Taf(x)dx??f(x)dx；?0Ta?nTaf(x)dx?n?f(x)dx(n?N).(p249，例7，p253，0T1(26))

5、形如例9這樣的積分。5.4 反常積分

1、無(wú)窮限的反常積分：設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，引入記號(hào)

F(??)?limF(x);F(??)?limF(x)

x???x???則

????a???f(x)dx?F(x)|?a??F(??)?F(a)；??f(x)dx?F(x)|?????F(??)?F(??).b??f(x)dx?F(x)|b????F(b)?F(??)；

??反常積分收斂意味著相應(yīng)的F(??),F(??)存在；特別的積分?F(??),F(??)同時(shí)存在。

????f(x)dx收斂必須注意：對(duì)于無(wú)窮限積分來(lái)說(shuō)，偶倍寄零原則不在成立！

2、無(wú)界函數(shù)的反常積分（瑕積分）：設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則 若b為瑕點(diǎn)，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a)；

bab若a為瑕點(diǎn)，則?f(x)dx??F(x)?a?F(b)?F(a?)；

bab若a,b都為瑕點(diǎn)，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a?)；

bab則c?(a,b)為瑕點(diǎn)，則?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??F(x)?c。a??F(x)?caacbcbb反常積分收斂意味著相應(yīng)的F(a?),F(b?)存在；特別的積分?f(x)dx（c?(a,b)ab為瑕點(diǎn)）收斂必須F(c?),F(c?)同時(shí)存在。

說(shuō)明：由上面的公式看出，反常積分與定積分的計(jì)算方法是一樣的。都是先求原函數(shù)然后代入兩個(gè)端點(diǎn)，只是對(duì)于非正常點(diǎn)（如?和瑕點(diǎn)）算的是函數(shù)的極限。

3、換元法也適用于反常積分

4、會(huì)利用下面的兩個(gè)重要反常積分來(lái)討論一些函數(shù)的收斂性（重要）

???ap?1???,dx???(a?0)1,p?1xp?p?1?(p?1)a?(b?a)1?qb,q?1dx?? 1?q?a(x?a)q????,q?1?練習(xí)：p260,2題；求積分?bdx的收斂性。

b(x?b)qa5、遇到形如?f(x)dx積分時(shí)，注意[a,b]是否含有瑕點(diǎn)。否則會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果：

adx。?1x第六章 定積分的應(yīng)用

6.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

1、平面圖形的面積（直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)下）（重要）

2、體積（特別是旋轉(zhuǎn)體的體積）（重要）

3、三個(gè)弧長(zhǎng)公式（重要）

6.3 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用（做功、水壓力重要，引力了解）如?1

第四篇：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提要

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱

第一章 函數(shù)與極限 復(fù)習(xí)重點(diǎn)：

1、求極限

1）四則運(yùn)算法則

注意：四則運(yùn)算法則適用的函數(shù)個(gè)數(shù)是有限個(gè)；

四則運(yùn)算法則的條件是充分條件

有理分式函數(shù)求極限公式：

?a0mm?1 xxxam?ba?a???amm?101m?1n?nnn a0x?a1x???am?1x?am?0xxxx?lim??0limnn?1 ?bxn?bxn?1???bx?bx??x?bxxxn01n?1n??b?b???b?01n?1nnnn ?xxxx?2）兩個(gè)重要極限

n?mm?nm?nlimsinxsin0?1()x?0x01x101lim(1?x)?lim(1?)x?e((1?0))x?0x??x

3）兩個(gè)準(zhǔn)則

準(zhǔn)則一： 若(1)yn?xn?zn?n?N則{xn}有極限,且limxn?an??(2)limyn?limzn?an??n??

準(zhǔn)則二：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限

單調(diào)遞增有上界的數(shù)列其極限為最小的上界（上確界）

單調(diào)遞減有下界的數(shù)列其極限為最大的下界（下確界）4）無(wú)窮小量

a.無(wú)窮小量的定義，注意其是變量，談及無(wú)窮小量時(shí)一定要注明自變量的變化趨勢(shì)。唯一的例外是0永遠(yuǎn)是無(wú)窮小量；

b.掌握何為高階無(wú)窮小，低階無(wú)窮小，同階無(wú)窮小，等價(jià)無(wú)窮??； c.利用無(wú)窮小量求極限

無(wú)窮小量與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小量

等價(jià)無(wú)窮小量替代求極限

注意：下面給出關(guān)系式是在x?0時(shí)才成立

等價(jià)無(wú)窮小量替代求極限只在積、商時(shí)成立，加減時(shí)不行

1sinx~x 1?cosx~x2 x　arcsinx~x e?1~x

tanx~x ax?1~xlna

xn　ln(1?x)~x 1?x?1~ n2、連續(xù)性和間斷點(diǎn) 1）連續(xù)定義

?x?0lim?y?0,limf(x)?f(x0)

x?x0要求會(huì)用定義討論分段函數(shù)分段點(diǎn)的連續(xù)性

2）間斷點(diǎn)

第Ⅰ類間斷點(diǎn)：f(x0?0)，f(x0?0)?,即左右極限均存在 01f(x0?0)?f(x0?0)跳躍間斷點(diǎn) 0? 2f(x0?0)?f(x0?0)而f(x0)無(wú)定義??可去間斷點(diǎn)0 3limf(x)?f(x0)?x?x0?

第Ⅱ類間斷點(diǎn)：f(x0?0)，f(x0?0)至少有一個(gè)不?

間斷點(diǎn)的疑似點(diǎn)：使函數(shù)沒(méi)有意義的點(diǎn)和分段函數(shù)分段點(diǎn)

要求：判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)，若是第一類的要寫出是跳躍還是可去，第二類只需寫出是第二類間斷點(diǎn)即可。

3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1）最值定理：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值一定取得到。注意：最值定理的條件是充分條件，不滿足結(jié)論不一定成立。

2）零點(diǎn)定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)f(b)<0，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f(x0)?0。要求：和羅爾中值定理結(jié)合在一起判斷根的唯一性。

第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 復(fù)習(xí)重點(diǎn)：

1、導(dǎo)數(shù)的定義f?(x0)?limf(x)?f(x0)?y ?lim?x?0?xx?x0x?x0要求，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義判斷分段函數(shù)分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性，以及利用導(dǎo)數(shù)定義求極限；

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 表示曲線f(x)在x?x0處切線的斜率 要求會(huì)求切線方程法線方程；

3、微分的定義 dy?f?(x0)?x（一點(diǎn)可微）；dy?f?(x)dx（點(diǎn)點(diǎn)可微）

4、一元微分學(xué)中，可導(dǎo)、連續(xù)、可微三者之間的關(guān)系

可導(dǎo)必可微，可微必可導(dǎo)；可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)

5、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 a.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

b.高階導(dǎo)數(shù)

常見(jiàn)高階導(dǎo)數(shù)公式如下：

y?exy(n)?ex

y?xny(n)?n!,y(n?1)?0

n?y?sinxy(n)?sin(x?)2 n?y?cosxy(n)?cos(x?)2(?1)n?1(n?1)!(n)y?ln(1?x)y?(1?x)nc.隱函數(shù)求導(dǎo)

隱函數(shù)求導(dǎo)方法兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)； 注意y是關(guān)于x的函數(shù)；

隱函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果還是隱函數(shù)；

隱函數(shù)高階求導(dǎo)時(shí)一階求導(dǎo)結(jié)果要注意回帶，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。d.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

適用于冪指函數(shù)、無(wú)理分式函數(shù) e.參數(shù)方程求導(dǎo)

注意二階導(dǎo)數(shù)

6、求微分

dy?f?(x)dx注意不要缺失dx 第三章 中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、中值定理

1）羅爾定理 若f(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，f(a)=f(b)，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f?(x0)?0。

注意：a)羅爾定理的條件是充分的，不滿足條件結(jié)論不一定成立；

b)羅爾定理的結(jié)論可理解為若f(x)滿足羅爾定理三個(gè)條件，則導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)至

少有一根；強(qiáng)調(diào)了導(dǎo)函數(shù)根的存在性，但沒(méi)指出到底有幾個(gè)根；

c)從羅爾定理可推出，若f(x)有n個(gè)根+連續(xù)+可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)至少有n-1個(gè)根；注意反之不成立；

d)若導(dǎo)函數(shù)沒(méi)有根，則f(x)至多一個(gè)根。2）拉格郎日定理

若f(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f?(x0)?應(yīng)用于不等式的證明和證明某個(gè)函數(shù)是一個(gè)常函數(shù)。3）柯西定理

若f(x)，F(xiàn)(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，且x?(a,b),F?(x)?0則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得

f(b)?f(a)。

b?af?(x0)f(b)?f(a)。?F?(x0)F(b)?F(a)應(yīng)用于等式的證明。

2、洛必達(dá)法則

定理?1?若limf?x??0limF?x??0x?ax?a

?2?在a,?f??x?F??x?都存在且F??x??0 f??x?f?x?f??x??3?lim?或???則lim?lim

x?aF??x?x?aF?x?x?aF??x? ??0?,???,0??,00,1?,?0等不定型極限 0?x?sinx1?cosx?lim注意：lim極限不存在，此時(shí)洛必達(dá)法則不適用。

x??x??x1洛必達(dá)法則應(yīng)用于解決,3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，凹凸性，極值和拐點(diǎn)，會(huì)作圖 1）單調(diào)性的判定

設(shè)函數(shù)y?f（x）在?a,b?連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，?x）a）如果在（a,b）內(nèi)f（?0，那么f（x）在?a,b?上?

b）如果在（?x）a,b）內(nèi)f（?0，那么f（x）在?a,b?上? 注： a、該條件為函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)的充分條件 b、若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單增（減）的充要條件為：

對(duì)一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)

在(a,b)內(nèi),任何使f?(x)?0的點(diǎn)必是孤立點(diǎn) c、若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f在(a,b)內(nèi)單增（減）的充要條件為： 對(duì)一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)d、單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)為：一階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)和一階不可導(dǎo)點(diǎn) 要求：會(huì)利用一階導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

會(huì)利用單調(diào)性證明不等式；

會(huì)利用嚴(yán)格單調(diào)性證明根的唯一性。2）凹凸性的判定

定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)上二階可導(dǎo)，在(a,b)內(nèi)若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凹的；在(a,b)內(nèi)若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凸的。

3）拐點(diǎn)：凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)

拐點(diǎn)的疑似點(diǎn)：二階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)和二階不可導(dǎo)點(diǎn) 判定定理1：若f(x)在x0處可導(dǎo)，在U(x0)內(nèi)二階可導(dǎo)，則

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f??(x)變號(hào)，(x0,f(x0)就是拐點(diǎn)；

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f??(x)不變號(hào)，(x0,f(x0)就不是拐點(diǎn)；

判定定理2：若f(x)在x0處三階可導(dǎo)，且f??(x0)?0,f???(x0)?0,則(x0,f(x0)是拐點(diǎn)。注意，對(duì)于判定定理2，若f??(x0)?0,f???(x0)?0,結(jié)論是(x0,f(x0)可能是拐點(diǎn)也可能不 是拐點(diǎn)。4）極值

極大值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)極大值，x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)。

極小值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)極小值，x0為f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)。

0最大值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)任意x?(a,b)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)最大值，x0為f(x)的一個(gè)最大值點(diǎn)。

注意：極值反映的函數(shù)局部的性質(zhì)，它只是和極值點(diǎn)附近點(diǎn)的函數(shù)值相互比較而言它是大的

還是小的，有可能出現(xiàn)極小值大于極大值的情況；而最值反映的是函數(shù)全局的性質(zhì)，它是和整個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值相互比較。一個(gè)區(qū)間上的最大值和最小值是唯一的，但取得最值點(diǎn)不唯一；而一個(gè)區(qū)間上極值是 不唯一的，可以有幾個(gè)極大值和極小值。

在區(qū)間內(nèi)部，最大值一定是極大值，最小值一定是極小值。極值點(diǎn)的疑似點(diǎn)：

判定定理：駐點(diǎn)和一階不可導(dǎo)點(diǎn)

必要條件：可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)。（使一階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)稱之為駐點(diǎn)）第一充分條件：若f(x)在x0處連續(xù)，在U(x0)內(nèi)可導(dǎo)，則

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f?(x)變號(hào)，x0就是極值點(diǎn)；

當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f?(x)不變號(hào)，x0就不是極值點(diǎn)；

第二充分條件：若f(x)在x0處二階可導(dǎo)，且f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0就是極值點(diǎn)。

0f??(x0)?0,x0是極大值點(diǎn)；f??(x0)?0,x0是極小值點(diǎn)。

注意：在第二充分條件中，若f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0可能是極值點(diǎn)也可能不是。

第四章 不定積分（計(jì)算）

1、換元法（第一種，第二種（去根號(hào)））

2、分部積分法

3、倒代換

4、整個(gè)根式換元

5、有理函數(shù)積分

6、三角函數(shù)積分

nb第五章 定積分

f(x)dx?limf??i??xi.a??01、定積分的定義

i?1定積分的結(jié)果是常數(shù)，表示的是曲邊梯形面積的代數(shù)和，與積分區(qū)間和被積表達(dá)式有關(guān)，和積分變量無(wú)關(guān)。

2、可積的兩個(gè)充分條件和一個(gè)必要條件 f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。

f(x)在[a,b]有界且有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積。f(x)在[a,b]可積，在f(x)在[a,b]上有界。

3、定積分的幾何意義

4、定積分的重要性質(zhì)

??（1）無(wú)論a,b,c三者位置關(guān)系如何，?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accbbb（2）不等式性質(zhì)： ?x?[a,b],f(x)?g(x),?f(x)dx??g(x)dx

aab（3）估值定理：?x?[a,b],m?f(x)?M,m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

ab（4）積分中值定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在??[a,b],?f(x)dx?af(?)(b?a)

5、會(huì)用定積分的定義求極限

6、定積分的計(jì)算

（1）換元法

與不定積分相比要換積分上下限，最后不用回代（2）分部積分法

公式 ????nn22 ?In?sinxdxcosxdx????00 ?? 31??n?1n?3??????? ?nn?2422?? ?n?1?n?3???4?2?1 ?53?nn?2

（3）積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間的要考慮被積函數(shù)的奇偶性和非奇非偶性 ??aa?a?f(x)dx??(f(x)?f(?x))dx

0a?TT（4）周期性

f(x)dx?f(x)dxa0

a?nTT

f(x)dx?nf(x)dxa0

??（5）常見(jiàn)公式

22??(1)fsinxdx?f?cosx?dx 00

???(2)xf?sinx?dx?f?sinx?dx002 ??(3)f(sinx)dx?22f(sinx)dx00

第六章 定積分的幾何應(yīng)用 求面積（1）直角坐標(biāo)系

（2）參數(shù)方程（3）極坐標(biāo)系 ??????????

第五篇：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第一章

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第一章

一，函數(shù)的概念與性質(zhì)

1函數(shù)定義有兩個(gè)要素； ○

2構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件； ○

3初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合步驟構(gòu)成，○

且能用一個(gè)解析式子來(lái)表示的函數(shù)；

4函數(shù)的奇偶性，周期性，有界性，單調(diào)性?！?/p>

二，極限

1，數(shù)列和函數(shù)極限的定義

2，極限的性質(zhì)：唯一性，有界性，保號(hào)性；

3，極限四則運(yùn)算法則；

4，復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算；

5，極限存在準(zhǔn)則：（1）單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界的數(shù)列必有極限

（2）夾逼準(zhǔn)則：g(x)<=f(x)<=h(x),g(x)和h(x)在某點(diǎn)的極限相等都為A，則f(x)在那點(diǎn)的極限也為A。（證明題中最常用）

三，無(wú)窮小與無(wú)窮大

1，把極限為零的量稱為無(wú)窮?。?當(dāng)然也就是最小的無(wú)窮小了），絕對(duì)值無(wú)限大的變量稱為無(wú)窮大（正無(wú)窮和負(fù)無(wú)窮）；

2，無(wú)窮小的比較：看兩者之商的極限。

3，無(wú)窮小的重要性質(zhì)：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮?。▁sinx-1為x趨于0的無(wú)窮?。邢迋€(gè)無(wú)窮小的積，差，和仍然為無(wú)窮?。o(wú)窮的不一定，x個(gè)x-1就是常數(shù)1呢）；

4，常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮?。簒~sinx~tanx~ln(x+1)~ex-1 ax-1~xlna(1+x)n~1+nx.四，函數(shù)的連續(xù)性

1，函數(shù)在某點(diǎn)左極限等于右極限，且等于該點(diǎn)函數(shù)值，則函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)； 2，間斷點(diǎn)的分類：

第一類間斷點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)的左右極限都存在可去間斷點(diǎn)：左右極限相等為A，但是該點(diǎn)的函數(shù)值不為A

跳躍間斷點(diǎn)：左右極限不相等

第二類間斷點(diǎn)：某點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在無(wú)窮間斷點(diǎn)：某點(diǎn)左或者右極限為無(wú)窮大的時(shí)候，此點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn)

振蕩間斷點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)左右極限都不存在，但又不是無(wú)窮大的時(shí)候，此點(diǎn)為振蕩間斷點(diǎn)。（比如sinx-1在x=0處）

3，介值定理和零點(diǎn)定理。（用于證明根的存在性問(wèn)題，相當(dāng)有用）

總結(jié)人：自1103程順均2011年12月12日星期一