第一篇：《高等數(shù)學(xué)上冊考試試題》

………密……………封……………線……………以……………內(nèi)……………答……………題……………無……………效…………… 《高等數(shù)學(xué)（上）考試試題》

一、填空題(每小題4分，5個小題，共計20分)學(xué)院 _____________班級名稱_______________學(xué)號_____________姓名_____________教師________________1．limx??(1?3x)(1?2x)(1?4x)2201030?_________。2．設(shè)f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3)(x?4),則f?(x)?0有且僅有_______個實根。________3．設(shè)　y?sin(1?x2),則y???4．設(shè)　y?12x?e2x。，則其反函數(shù)x(y)的導(dǎo)數(shù)x?(y)?________f(a)?f(a?x)2x5．設(shè)　f(x)為可導(dǎo)函數(shù)且滿足lim x?0?1，則曲線y?f(x)在點(a，f(a))處的切線斜率為________。

二、選擇題(每小題4分，5個小題，共計20分)121．當(dāng)x?0時，(1?ax)3?1與cosx?1是等價的無窮小，則常數(shù)a?(32)A、32B、23C、?D、?23 2．已知?ax?b，當(dāng)x?1f(x)??2　處處可導(dǎo)，則有(?x，當(dāng)x?1)A、a?2，b??1B、a??2,b?1C、a??1,b?2D、a?1，b??2 3．設(shè)　limx?0?f(x)?f(0)?ln(1?3x)x2?4,則f?(0)等于()A、3B、4C、1D、43)4．設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x處可導(dǎo),則它在點x處的微分dy是指(A、f?(x)B、?f(x)C、?xD、f?(x)?x 5． 設(shè)常數(shù)k ?0，函數(shù)f(x)?lnx?xe?k在(0,??)內(nèi)零點個數(shù)為()A、1B、2C、3D、01

三、解答題(每小題7分，6個小題，共計42分)

1．計算極限

lim(x?e

x?0

2x)sinx。

2．設(shè)y

?y(x)由方程e

xy

?sin(xy)?y確定,求

dydx。

3．設(shè)?

?x?tlnt?y?t

t，(t?

1e)確定了函數(shù)y?y(x),試求

dydx。

4．設(shè)函數(shù)

f(x)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù),且f(0)?f?(0)?0,f??(0)?6,求

f(sin2

lim

x)。

x?0

x

5．求數(shù)列的極限

limn?1

11?

???n2??

?n2?2????n?n2?n??． ?

6．討論函數(shù)

f(x)?lim

1?x2nn??

1?x

2n

x的連續(xù)性，若有間斷點，判斷其類型。

四、證明題(每小題9分，2個小題，共計18分)

1．證明：當(dāng)

0?a?b時,b?ab

?ln

ba

?

b?aa

成立.2．設(shè)f(x)在[0,a]連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?0，證明存在一點

使得3f(?)??f?(?)?0。

?(0,a)，…

………

… _效__…__…__…__…__…__無__…_師…教… … _…__題__…__…__…__…__…名答姓…__…__…__…__…__內(nèi)__…_號…學(xué)…_…__…__以__…__…__…__…__…稱線名…級…班…__…__…__封__…__…__…_ …院…學(xué)密………?

答案：

一、填空題(每小題4分，5個小題，共計20分)

1．()

2.43．y???2cos(1?x)?4xsin(1?x)4．?

222

(2x?e)e?4x

x

2x2

(x?0)5． 2

二、選擇題(每小題4分，5個小題，共計20分)

1．C2．A3．D4．D5．B

三、解答題(每小題7分，6個小題，共計42分)

x

x?e?1

2x

?1

1．lim(x?e

x?0xy

2x)sin?lim{[1?(x?e

x?0

2x

?1)]x?e

2x

}

sinx

?e。

xy

2．e(y?xy?)?(y?xy?)cos(xy)?y?，y??

dy

3． y??

t

y(e?cos(xy))

xy

1?x(e?cos(xy))。

dtdxdt

?

t(lnt?1)lnt?1

t

?t。

4．因f(x)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)

則lim

?12

x?0,則f(x)及f?(x),f??(x)在x?0都連續(xù) f?(sinx)?sin2x

4x

f(sinx)x

?lim

x?0

?

lim

f?(sin

x

x)

x?0

lim

f??(sin

x)sin2x?

limf??(sin

x?0

x)??3 f??(0)

x?0

2x

11n?1?5．2?n?2?2???2??n2??，由夾逼準(zhǔn)則有n?n?n??n?2?n?n???

n

11?1?

limn?2?2???2?1。?n??n?2?n?n???n??

6．f(x)?lim

1?x1?x

2n2n

n??

??x,|x|?1

?

x??0,|x|?1，?x,|x|?1?

x??1

x??1

x??1

x??1

在分段點x

lim

x??1

?

??1處，因為lim?f(x)?lim?(?x)?1，lim?f(x)?lim?x??1，即

?

f(x)?lim

x??1

f(x),x??1是f(x)的跳躍間斷點（第一類）；

x?1

x?1

x?1

在分段點x

?1

處，因為lim

x?1

?

f(x)?lim?x?1，lim?f(x)?lim?(?x)??1，即limf(x)?limf(x),x?1

x?1

?

x?1

?

是f(x)的跳躍間斷點（第一類）。

四、證明題(每小題9分，2個小題，共計18分)

1．證明:令f(x)?lnx,則f(x)在(0,??)連續(xù),可導(dǎo)

當(dāng)0?a?b時,對f(x)在[a,b]上應(yīng)用拉格朗日中值定則至少存在理

??(a,b),使f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)

ba?1

即lnb?lna?ln

?

(b?a)，又a???b且(b?a)?0，則

1b

?

?

?

1a，故：當(dāng)0?a?b時,b?ab

?ln

ba

?

b?aa

成立.。

2．證明：令F(x)?x3f(x)，因為f(x)在[0,a]連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，所以F(x)在[0,a]連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)?F(a)?a3?f(a)?0，滿足羅爾中值定理條件，至少存在一點??(0,a)，使得

F?(?)?3?f(?)??f?(?)?0，即3f(?)??f?(?)?0。

第二篇：高等數(shù)學(xué)上冊

《高等數(shù)學(xué)》上冊

一、函數(shù)與極限

1.函數(shù)基本概念—了解

1． 集合及集合的運算

2． 數(shù)軸、無窮大和無窮小的幾何表示、區(qū)間 3． 常量和變量

4． 函數(shù)的定義和函數(shù)的表達方式 5． 函數(shù)的定義域和函數(shù)的計算 6． 基本初等函數(shù)

7． 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù) 8． 分段函數(shù)

2.函數(shù)的極限及運算法則—理解極限的含義，會計算求極限的題目；涉及范圍較廣，高等數(shù)學(xué)上冊下冊均有求極限的題目，極限的方法是研究函數(shù)的工具。（不會涉及證明用極限定義證明極限的題目）

1． 數(shù)列及數(shù)列極限 2． 函數(shù)的極限

3． 無窮大和無窮小的極限表示

4． 無窮大和無窮小的關(guān)系及無窮小的性質(zhì)（運算注意前提條件有限個和無限個的區(qū)別）5． 極限的有界性定理及應(yīng)用

6． 復(fù)合函數(shù)求極限（變量代換的方法）

3.兩個重要極限（兩個極限的運算法則的條件、推廣和應(yīng)用）

1． 第一個重要極限

2． 第一個重要極限的應(yīng)用 3． 第二個重要極限

4． 第二個重要極限的應(yīng)用（注意：單調(diào) 且有界是證明題的關(guān)鍵部分）4.無窮小的比較

等價無窮小及其應(yīng)用

重要部分！5.函數(shù)的連續(xù)性和間斷點

1． 增量

2． 函數(shù)連續(xù)的兩個定義 3． 左連續(xù)和右連續(xù)

4． 函數(shù)的間斷點分類（重要，出小題）

5． 連續(xù)函數(shù)四則運算的連續(xù)性（運算法則的條件、推廣和應(yīng)用）6． 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

7． 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，重要，但一般不單獨出題）一致連續(xù)性不用看 練習(xí)題一

2.導(dǎo)數(shù)與微分（重要,小題必考章節(jié)！）1.導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)四則運算法則

1． 導(dǎo)數(shù)的定義（重要），2． 導(dǎo)數(shù)的幾何意義（理解；其中數(shù)一數(shù)二導(dǎo)數(shù)的物理意義；數(shù)三，經(jīng)濟意義、邊際函數(shù)、彈性函數(shù)）

3． 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系（必需的！）4． 求導(dǎo)公式表（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運算（必需的，熟悉到1+1=2?。?.不同類型函數(shù)的求導(dǎo)法則及高階導(dǎo)數(shù)

1． 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（必需的，熟悉到1+1=2！）2． 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則（小題，理解！多元隱函數(shù)的求導(dǎo)）4． 高階導(dǎo)數(shù)（重要）

3.函數(shù)的微分及應(yīng)用（理解，重要同導(dǎo)數(shù)必考，小題）

1． 微分的定義

2． 微分的幾何意義

3． 微分的基本公式和運算法則 4． 復(fù)合函數(shù)的微分公式

5． 利用微分進行近似計算（除去不用看）練習(xí)題二

3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（考大題 難題，重要章節(jié)?。?/p>

1.中值定理和洛必達法則（中值定理包括費馬定理的應(yīng)用及相關(guān)的證明題，必須會做證明題！）

1． 羅爾定理及幾何意義

2． 拉格郎日中值定理及幾何意義

3． 利用拉格郎日中值定理證明不等式

4． 洛必達法則（必考;泰勒公式及其應(yīng)用，參照張宇的老師的導(dǎo)學(xué)或視頻）2.函數(shù)的極值和最值（考小題，單調(diào)性及極值點、最大值最小值）

1． 函數(shù)的單調(diào)性及判斷 2． 函數(shù)的極值 3． 函數(shù)的最值

3.曲線的凸凹性，拐點及函數(shù)作圖（考小題，單調(diào)性及極值點、凹凸性及拐點、漸近線的定義理解）

1． 曲線的凸凹性及判斷 2． 曲線的拐點 3.曲線的漸近線

4.函數(shù)作圖（會大致描繪圖形幫助做題）5.曲率

（了解即可）練習(xí)題三

4.不定積分（重要！運算的基礎(chǔ)知識。與數(shù)

一、數(shù)三相比，數(shù)二有可能大題。）

1.不定積分的概念和基本公式

1． 原函數(shù)與不定積分（理解原函數(shù)）

2． 不定積分的定義（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 不定積分的性質(zhì)（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 基本積分表（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 直接積分法（必需的，熟悉到1+1=2?。?.換元積分法

1． 換元積分法的引入

2． 第一類換元法（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

3． 第一類換元法的應(yīng)用（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 第二類換元法（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

5． 第二類換元法的應(yīng)用（必需的，熟悉到1+1=2?。?.分部積分法和不定積分技巧的綜合應(yīng)用

1． 分部積分法（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

2． 被積函數(shù)和積分變量的選取（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

3.有理函數(shù)的積分（重要，常見的一些題型，基本的運算方法的綜合利用）4.綜合題舉例（積分表不必看）

5.定積分（重要！非常重要，是多元函數(shù)的二重積分，三重積分，線面積分的基礎(chǔ)）1.定積分的定義和基本運算

1． 定積分的定義（理解?。?/p>

2． 定積分的性質(zhì)

3． 變上限的積分函數(shù)（理解?。?/p>

4． 牛頓—萊布尼茲公式 各種題型的必需的，熟悉到1+1=2！

2.定積分的換元法和分部積分法

若不定積分學(xué)好，這一部分涉及的計算應(yīng)該1． 定積分的換元法 很簡單！2． 定積分的分部積分法

3． 利用方程和數(shù)列求定積分

常見的各種類型的題目一定要熟悉，再熟悉，3.廣義積分（理解！考小題）再再熟悉，怎么熟悉都不為過！

1． 積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分 一元函數(shù)的極限，導(dǎo)數(shù)，微分，不定積分，定2． 被積函數(shù)有無窮間斷點的廣義積分（Г積分這是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，根本所在；然后多函數(shù)不用看）元函數(shù)（二元函數(shù)）的類似運算，只要把定義4.定積分的運用（會應(yīng)用）相關(guān)推理過程理解了，則 自然會有 水到渠成1． 定積分的元素法 效果，難點不再難點！2． 利用定積分求平面圖形面積

3． 利用定積分求體積（數(shù)三只看旋轉(zhuǎn)體 體積）

4.曲線的弧長（數(shù)

一、數(shù)二公式記住，數(shù) 三不考）

第三篇：高等數(shù)學(xué)自我檢查試題集上冊

高等數(shù)學(xué)自我檢查試題集

第一部分 高等數(shù)學(xué)上冊

自我檢查試題一

一、填空（每小題3分，滿分15分）

1． 設(shè)f(x)的定義域為[1，5)，則f(1?x)的定義域為_________________。2． limarccos（x???2x?1?x)?_____________。

__。3． f?(3)?a,則limf(3?2t)?f(3)

t?__________

t?0

c都是單位向量，b、__4．（不做）已知a、且a?b?c?0，則a?b?b?c?a?c?_

1。

5． 設(shè)f?(0)?0,f?(1)?a，則?f?(x)f??(x)dx?__________

0_。

二、單項選擇（每小題3分，滿分15分）

1．當(dāng)x?0時，變量1?cosx是x的（）無窮小。

（A）等價（B）同階但不等價（C）高階（D）低階

2．設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，且limf(x)

ln(1?xsinx)??3，則f(0)是f(x)的（）。2

x?0

（A）極大值（B）極小值（C）駐點（D）拐點

?1?3．設(shè)f(x)??x3

?a,?0?xsinttdt,x?0x?03，當(dāng)a?。ǎr，函數(shù)f(x)是連續(xù)函數(shù)。

（A）2（B）1（C）-1（D）0

4．已知曲線y?f(x)在x?1處有水平切線，且f??(1)??2，則曲線y?f(x)在(1,f(1))處的曲率k為（）。

（A）0（B）1（C）2（D）2

5．下列廣義積分發(fā)散的是（）。

（A）?dx1

sinx?1（B）??1dx?x2????（C）?e

0?x2dx（D）?2dxxln2x

三、計算題（每小題7分，滿分49分）

1． 求lim（x?01x?1

ex?1)。

2y2． 設(shè)y?y(x)是由xy?e?siny所確定的隱函數(shù)，求dy

dx。

3． 設(shè)F(x)?x?xf(t)dt，其中f(x)在[1,??)內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求F??(x)。

4． 求不定積分?

sinxcosx1?sin

x

dx。

12x

45． 已知f?(x)?ln(1?x)，且f(1)??，計算?f(x)dx。

6．（不做）求過點(?1,2,3)垂直于直線

線方程。

7． 設(shè)f(x)?

?

y5

?

z6

且平行于平面7x?8y?9z?10?0的直

?

x

e

?t

costdt，試求f(x)在[0,?]上的最大值和最小值。

四、應(yīng)用題（每小題8分，滿分16分）1． 設(shè)平面圖形D由曲線y?x,y?x所圍成，（1）求D的面積；

（2）求D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積Vx。

2． 將長為a的鐵絲分成兩段，一段圍成正方形，一段圍成圓形。問這兩段鐵絲各長為多少時，正方形與圓形的面積之和為最小。

五、證明題（5分）

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(x)?1，證明：2x?

?

x

f(t)dt?1在[0，1]上有且僅有一根。

自我檢查試題二

一、填空（每小題3分，滿分15分）

1． 若f(x)的定義域為（0，1），則f(e)的定義域為____________________。2． 設(shè)f?(a)?1，則lim

x

f(a?3h)?f(a?2h)

h

?_____________。

h?0

3． 曲線y?(x?1)?1的拐點是______________。4． 曲線y?x?4x?3在點(2,?1)處的曲率k?_________

y。

5．（不做）位于yOz平面上的曲線z?e(y?0)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程是____________________。

二、單項選擇（每小題3分，滿分15分）1．函數(shù)f(x)?xx在x?0處（）。

（A）連續(xù)且可導(dǎo)（B）連續(xù)但不可導(dǎo)（C）可導(dǎo)但不連續(xù)（D）不連續(xù)也不可導(dǎo) 2．設(shè)f(0)?0，且lim

f(x)1?cosx

??3，則f(x)在x?0處（）。

x?0

（A）不可導(dǎo)（B）可導(dǎo)，且f?(0)?0（C）取極大（D）取極小

3．設(shè)f(x)??f(?x)對一切x恒成立，且當(dāng)x?(0,??)時，有f?(x)?0,f??(x)?0，則f(x)在(??,0)內(nèi)一定有（）。

（A）f?(x)?0,f??(x)?0（B）f?(x)?0,f??(x)?0（C）f?(x)?0,f??(x)?0（D）f?(x)?0,f??(x)?0 4．雙紐線(x?y)?x?y所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為（）。

?40

?0

（A）2?cos2?d?（B）4?4cos2?d?

?

（C）2?

cos2?d?（D）

x?52

y?3?2

z?

43?40

?2

(cos2?)d?

5．（不做）設(shè)直線L為：??，平面?為：x?2y?5z?11?0，則直線L

與平面?的相互關(guān)系是（）。

（A）L∥π，但L不在π上（B）L在π上（C）L⊥π（D）L與π斜交

三、計算題（每小題7分，滿分49分）1． 求極限lim

x?0

x?sinxxtanx。

2． 設(shè)f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?2004)，求f?(0)?f(2004)。

?x?ln(1?t2)dydy,3． 設(shè)?，求。2dxdx?y?t?arctant

4． 求不定積分?xlnxdx。

5． 求定積分?

x1?

x

dx。

x4

y?33

z?2?2

6． 求過點(1,?2,3)的直線L，使L與z軸相交且與已知直線l1：

??垂直。

7． 曲線y?x與y?x所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)體的體積。

四、應(yīng)用題（每小題8分，滿分16分）

1． 求曲線y?lnx在區(qū)間（2，6）內(nèi)的一條切線，使得該切線與直線x?2,x?6和曲線y?lnx所圍成的圖形面積最小。

2． 一正圓錐的半徑以5cm/s的速率增加，而它的高以24cm/s的速率減少，求該圓錐在半徑

為30cm，高為70cm時的體積變化率。

五、證明題（5分）

設(shè)在[a,b]上，f(x)?0且可導(dǎo)，證明存在??(a,b)，設(shè)

f(b)f(a)

f?(?)f(?)

ln?(b?a)。

自我檢查試題三

一、填空（每小題3分，滿分18分）1． 函數(shù)y?ln（x?3?

5?x)的定義域為__________________。

2． 若limxn?2，則lim

n??

n??

(xn?xn?1)?__________

_____。

3． 如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間的內(nèi)部只有一個極大值點，沒有極小值點，那么函數(shù)的最______值與

極______值相同。4．

ddx(log

a

x)

?_____________。______

5． ?

1?cosxx?sinx

2-2

dx?__________

?x。

6． ?(x?x)e

dx?_______________。

二、單項選擇（每小題2分，滿分12分）1．（不做）下列陳述中錯誤的是（）。（A）x?y?2z?1圖形是橢球面

（B）(x?1)?(y?1)?4的圖形是母線平行于z軸的圓柱面（C）(x?y)?(y?z)?0的圖形是直線（D）在空間直角坐標(biāo)系中，x?y

?0的圖形是原點

2．下列各極限中極限值為e的是（）。（A）lim(1?x)

x?0

1?1x

（B）lim((1?

x??

1x)

?x

（C）lim(1?x)

x?0

?x

（D）lim(1?x)

x?0

?x

?1

?sinx,3．設(shè)函數(shù)f(x)??x

??a,x?0x?0

在(??,??)處處連續(xù)，則a?（）。

（A）0（B）1（C）?1（D）

24．在區(qū)間[?1,1]上滿足拉格朗日中值定理條件的函數(shù)是（）。

（A）y?ln(x?1)（B）y?

sinxx

（C）y?x

?1（D）y?x

5．設(shè)在區(qū)間I上g(x)?G?(x)，則在I上?g(x)dx?（）。

（A）G(x)（B）G(Cx)（C）G(x)?C（D）CG(x)

sinx

6．設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且

?

f(t)dt?x,x?(0,?2)，則f（22)?（）。

（A）1（B）

（C）2（D）22

三、計算題（每小題7分，滿分49分）1． 求lim

e

x

?e

?x

x?0

xsinxxx?

1。

1lnx

2． 求lim（x?1

?

?)。

3． 設(shè)x?1?t,y?t?t，求

?x

dydx。

4． 求曲線y?xe在其拐點處的曲率。

?xe?x,?

5． 設(shè)函數(shù)f(x)??1,?1?cosx?

x?0?1?x?0

z1，計算?f(x?2)dx。

6． 求過兩平行直線7． 設(shè)f(x)?

x?33

?

y?2?2

?和

x?33

?

y?4?2

?

z?11的平面方程。

?

x

11?t

dt，求?f?(x)dx。

四、應(yīng)用題（每小題8分，滿分16分）

1． 一位飛機觀察員觀察到一架飛機正在1143m的高度向他飛來，仰角為30，并以3/s的速

度增加，問飛機的地面速度是多少？

2． 設(shè)圖形由y?x?3x?3與y?1圍成，求面積S，并求其繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉立體的體積。

五、證明題（5分）

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(0)?0,使得?f(x)dx???f(?)。

?

?

?

f(x)dx?0。證明在（0，1）內(nèi)至少存在一點?，?

第四篇：高等數(shù)學(xué)上冊總結(jié)

《工程應(yīng)用數(shù)學(xué)A》課程總結(jié)

無論我們做什么事都要不斷地思考，不斷地總結(jié)，學(xué)習(xí)也是這樣，所以這次就借此機會對于這一學(xué)期所學(xué)內(nèi)容進行一次總結(jié)，也算是對自我的一次思考。

一、課程主要知識

本課程主要以函數(shù)為起始，然后引出極限的定義以及極限的應(yīng)用。然后以極限為基礎(chǔ)介紹導(dǎo)數(shù)，微分。在微分中主要講了一些求微分的定理，例如拉格朗日中值定理，柯西中值定理等等。其次講了函數(shù)微積分，重點講了一些求積分的方法，例如換元積分法，分部積分法。最后學(xué)習(xí)微分方程，這一塊可以說是比較難的一章，什么一階微分方程，二階微分方程，二階常系數(shù)齊次線性微分方程等等，計算量也比較大。所以總的來說全書的知識點都是相連起來的。后面知識總是以前面所學(xué)知識為基礎(chǔ)，一層一層展開的。

二、個人學(xué)習(xí)心得體會

其實不瞞老師，我高中的時候數(shù)學(xué)不是太好，平時考試數(shù)學(xué)有就有點拖后腿，而且我高考數(shù)學(xué)只考了70多分。有一天老師說，高考沒及格的同學(xué)數(shù)學(xué)一定要好好學(xué)，否則極有可能掛科。當(dāng)時，我還不相信，至少認為這種事不會發(fā)生在我身上。自己平時在數(shù)學(xué)上多少也花了點功夫?？梢哉f做的準(zhǔn)備工作比高中還多?；旧显诿看紊险n前

都能預(yù)習(xí)，課上也認真聽，而且課也差不多都能聽懂，作業(yè)也都是自己獨立完成的。我想及格應(yīng)該不是問題，但后來的第一次過程考核，我才發(fā)現(xiàn)差距在哪，題目基本上不怎么會寫，而且后來成績出來，剛好考了60分。當(dāng)時心就碎了。感覺落差好大。于是感嘆“高樹”太高了！我想是不是我題目做少了，難道說大學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)也要用題海戰(zhàn)術(shù)嗎？可是我看班里有些同學(xué)平時上課也不聽，作業(yè)基本靠抄，有事沒事就拿著手機看電子書，但是考試卻比我高，我就很郁悶，難道是他們比我聰明還是他們另有技巧？

經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)之后，我發(fā)現(xiàn)課前預(yù)習(xí)很重要。課前預(yù)習(xí)能夠讓你上課更有效率，也不會那么累。老師上課在黑板上的板書很多都是書上的。如果你課前預(yù)習(xí)了，就會知道老師說的在哪，書上有沒有，記筆記的時候就可以抓住重點。不用完整地抄下來。但是你不預(yù)習(xí)的話，因為不知道書上有沒有或是哪里是重點就得全部抄下來，很浪費時間，這樣一來一節(jié)課就全部用在記筆記上了，根本沒什么時間去聽課，上課也就不會有效率。所以課前預(yù)習(xí)很重要。其次必要的練習(xí)也不可缺少。比如說上課老師說的定理不太懂，這時候就需要用練習(xí)來加強對知識的理解。

三、本課程對個人的影響

高等數(shù)學(xué)在整個大學(xué)的學(xué)習(xí)過程中占有一定的重要地位，它不僅對以后將會學(xué)到的線性代數(shù)和概率統(tǒng)計有影響，而且還是考研必考的科目。對于我們網(wǎng)絡(luò)工程專業(yè)準(zhǔn)備考研的同學(xué)來說，這絕對是一個重

頭戲。對于不準(zhǔn)備考研的同學(xué)來說，也有一定的影響，它可以培養(yǎng)我們的邏輯思維能力、計算能力，使我們的思維更縝密。數(shù)學(xué)是科學(xué)之母，任何學(xué)科的發(fā)展都離不開它。所以高數(shù)一定要學(xué)好。

四、總結(jié)

學(xué)習(xí)如逆水行舟不進則退，對于高數(shù)這門課程尤其是這樣。因為只要你一節(jié)課沒跟上就會步步跟不上，所以高數(shù)的學(xué)習(xí)不能放松，必須抓緊。相信我能學(xué)好！一定可以的！

第五篇：高等數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)

第一章復(fù)習(xí)提要 第一節(jié) 映射與函數(shù)

1、注意幾個特殊函數(shù)：符號函數(shù)，取整函數(shù)，狄利克雷函數(shù)；這些函數(shù)通常用于判斷題中的反例

2、注意無界函數(shù)的概念

3、了解常用函數(shù)的圖像和基本性質(zhì)（特別是大家不太熟悉的反三角函數(shù)）第二節(jié) 數(shù)列的極限 會判斷數(shù)列的斂散性 第三節(jié) 函數(shù)的極限

1、函數(shù)極限存在的充要條件：左右極限存在并相等。（重要）

2、水平漸近線的概念，會求函數(shù)的水平漸近線（p37）。（重要）

3、了解函數(shù)極限的局部有界性、局部保號性。第四節(jié) 無窮大和無窮小

1、無窮小和函數(shù)極限的關(guān)系：limf(x)?A?f(x)?A??，其中?是無窮小。

x?x0x??

2、無窮大和無窮小是倒數(shù)關(guān)系

3、鉛直漸近線的概念（p41）, 會求函數(shù)的鉛直漸近線

4、無界與無窮大的關(guān)系：無窮大一定無界，反之不對。

5、極限為無窮大事實上意味著極限不存在，我們把它記作無窮大只是為了描述函數(shù)增大的這種狀態(tài) 第五節(jié) 極限的運算法則

1、極限的四則運算法則：兩個函數(shù)的極限都存在時才能用。以乘法為例比如f(x)?x,g(x)?但是limf(x)?g(x)?1

x?01。limf(x)?0，limg(x)??。xx?0x?02、會求有理分式函數(shù)

p(x)的極限（P47 例3-例7）（重要）q(x)x?x0時:若分母q(x0)?0，則極限為函數(shù)值

0型極限，約去公因子 0 若只是分母為零，則極限為無窮大。（p75頁9（1））

x??時，用抓大頭法，分子、分母同時約去x的最高次冪。第六節(jié) 極限存在的準(zhǔn)則，兩個重要極限（重要）

1、利用夾逼準(zhǔn)則求極限： 例 p56也習(xí)題4（1）（2），及其中考試題（B）卷第三題（1）

2、利用兩個重要極限求其他的極限（p56習(xí)題2）

1sinxsinx?0；lim?1 3 注意下面幾個極限：limxsin?0；limx?0x??x?0xxx第七節(jié) 無窮小的比較（重要）

1、會比較兩個無窮之間的關(guān)系（高階、低階、同階，k 階還是等價窮?。┤舴肿雍头帜竿瑫r為零，則為

x22、常見的等價無窮?。簊inx,tanx,arcsinx~x；1?cosx~

2ex?1~x；(1?x)~1nx n13、若?(x)為無窮小，則sin?(x)~?(x)，(1??(x))n~?(x)n，ln(1??(x))~?(x)，e?(x)?1~?(x)。

4、替換無窮小時必須是因式

x?0limtanx?sinxx3?limx?x3x?0x?0

應(yīng)該

x2xtanx?sinxtanx(1?cosx)1lim?lim?lim2?

2x?0x?0x?0x3x3x35、會利用等價無窮小計算極限（p60頁習(xí)題4）

第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點（重要）

1、函數(shù)在點x0連續(xù) ?limf(x)?f(x0)

x?x0?左連續(xù)limf(x)?f(x0)且

x?x?0f(x)?f(x0)

右連續(xù)lim?x?x02、會判斷間斷點及其類型。討論分段函數(shù)的連續(xù)性。

3、f(x)在點a連續(xù)?f(x)在點a連續(xù)；但反之不對。

第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性

初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)的，因而求某點處極限時可以直接把點代入求值。

4.注意三個例題：例6-例8（重要）

5、冪指函數(shù)u(x)v(x)求極限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)來求。（重要）

6、若含有根式，則分子或者分母有理化（p75頁9（2））是求極限的一種重要方法。（重要）

7、利用分段函數(shù)的連續(xù)性求未知數(shù)的值（如p70頁 6）（重要）第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

最大值最小值定理、零點定理、介值定理的內(nèi)容 會零點定理證明方程根的存在性。（重要）補充說明 請熟悉函數(shù)e當(dāng)x?0?,x?0?,x??時的極限。第二章復(fù)習(xí)提要

1、導(dǎo)數(shù)的定義

（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些極限的值：例如P86頁第6題 例

1、設(shè)f(0)?0,f?(0)?k0,則limf(x)?____.x?0x1x例

2、設(shè)f?(x0)存在，則limf(x0?h)?f(x0)?________.（重要）

hh?0（2）利用左右導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的可導(dǎo)性：P125頁第7題

?sinx,x?0例

3、已知f(x)??，求f?(x)

?x,x?0注意分點處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該用定義來求。（重要）

（3）利用左右導(dǎo)數(shù)求未知數(shù)的值：P87頁第17題（重要）

?sinx,x?0例

4、設(shè)f(x)??為可導(dǎo)的，求a的值

ax,x?0?（4）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線和法線方程（重要）

（5）可導(dǎo)?連續(xù)，反之不成立！

2、求導(dǎo)法則

（1）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)不要掉項；

（2）冪指函數(shù)u(x)v(x)?ev(x)lnu(x)轉(zhuǎn)化成指數(shù)來求導(dǎo)

3、高階導(dǎo)數(shù)

（1）一般的函數(shù)求到2階即可；（2）幾個初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：

??(eax)(n)?aneax；y(n)?sin(x?n)；(cosx)(n)?cos(x?n)

22[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)!(1?x)n，(n?1)!(1?x)n[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(?1)n(n?1)!(1?x)n??

由上面的求導(dǎo)公式我們?nèi)菀淄瞥鱿铝星髮?dǎo)公式：

1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?(?1)nn?11?x(1?x)1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?n?11?x(1?x)(1(n)n!)?[ln(a?x)](n?1)?(?1)nn?1a?x(a?x)1(n)n!)?[ln(1?x)](n?1)?n?1a?x(a?x)((3)二項式定理

(uv)(n)(n?k)(k)??Ckuv nk?0n（4）間接法求高階導(dǎo)數(shù)：

1?x2例

5、求y?的n階導(dǎo)數(shù)：提示y??1?。

1?x1?x（5）注意下列函數(shù)的求導(dǎo)

例

6、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：P103頁第3題（重要）（1）y?f(x2)；（2）y?ln[f(x)]

4、隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)（重要）（1）一般方法，兩邊對x球到后解出

dy。dx（2）會求二階導(dǎo)數(shù)

（3）對數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù)和連乘或連除的函數(shù)（4）注意參數(shù)方程二階導(dǎo)數(shù)的公式

dydyd()2()?tdydtdx。（重要）??dxdx2dtdxdxdt（5）相關(guān)變化率問題：

根據(jù)題意給出變量x和y之間的關(guān)系；

?

兩邊對t（或者是其他變量）求導(dǎo)

?

dydx和之間的關(guān)系，已知其中一個求另外一個。dtdt5、函數(shù)的微分

（1）微分與可導(dǎo)的關(guān)系：可微?可導(dǎo)且dy?f?(x)dx（2）利用微分的形式不變性求隱函數(shù)或顯函數(shù)的微分： 顯函數(shù)的例子見課本的例題；下面給出隱函數(shù)的例子 例

7、設(shè)ysinx?cos(x?y)?0,求dy。解: 利用一階微分形式不變性 , 有

d(ysinx)?d(cos(x?y))?0

sinxdy?ycosxdx?sin(x?y)(dx?dy)?0

dy?ycosx?sin(x?y)dx。

sin(x?y)?sinx（3）近似計算公式：注意x0的選取原則。(一般不會考)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)提要 3.1 微分中值定理（重要）

羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理應(yīng)用： 證明等式，一般通過證明導(dǎo)數(shù)為零

證明不等式：若不等式中不含x，則取x作為輔助函數(shù)的自變量；若含有x，則取t作為輔助函數(shù)的自變量。（重要）

判斷方程的根（存在性用零點定理，唯一性或判斷根的個數(shù)用中值定理，有時還要結(jié)合單調(diào)性，見153也習(xí)題6）（重要）

利用輔助函數(shù)和中值定理證明等式（一個函數(shù)用拉格朗日，二個用柯西）例1 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)?0，證明至少存在一點??(0,1)使得f?(?)??2f(?)?。

證明：上述問題等價于?f?(?)?2f(?)?0。

令f(x)?x2f(x)，則f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理條件，于是少存在一點??(0,1)使得

??(?)?2?f(?)??2f?(?)?0 即有?f?(?)?2f(?)?0。

（5）請熟悉132頁例1.3.2 洛必達法則（重要）

（1）(其他類型的未定式)最終轉(zhuǎn)化成0?型和型未定式 0?（2）每次用前需判斷

（3）結(jié)合等價無窮小效果更佳。3.3 泰勒公式

（1）一般方法：求各階導(dǎo)數(shù)代入公式即可；

（2）常見函數(shù)ex,ln(1?x)，sinx,cosx的麥克勞林公式 3.4 函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性（1）會用列表法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間（注意一般是閉區(qū)間），拐點。注意不要漏掉導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是單調(diào)區(qū)間的分點； 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是拐點。（2）利用單調(diào)性證明不等式（重要）（3）利用單調(diào)性判斷方程的根（重要）3.5 極值和最值（重要）

（1）列表法求極值（極值可能點為駐點或不可導(dǎo)點）（2）最值（找出極值可能點再與端點比較）

（3）對于時間問題，若極值點唯一，則也為最值點。3.6 函數(shù)圖形的描繪 注意漸近線 3.7 曲率

（1）弧微分公式

（2）曲率和曲率半徑的計算公式（重要）第四章復(fù)習(xí)提要

4.1 不定積分的概念和性質(zhì)

1、基本積分表

?

2、公式?f(x)dx?f(x)和?f?(x)dx?f(x)?C ??

3、注意如下問題：（填空、選擇、判斷）若e?x是f(x)的原函數(shù)，則?x2f(lnx)dx??若f(x)是e?x的原函數(shù)，則?12x?C 2f(lnx)1dx? ?C0lnx?C xx若f(x)的導(dǎo)數(shù)為sinx，則f(x)的一個原函數(shù)是（B）。A 1?sinx;B 1?sinx;C 1?cosx;D 1?cosx

4.2 換元積分法（重要）

1、第一換元法的原理：?g(x)dx

把被積函數(shù)g(x)湊成g(x)?f(?(x))??(x)的形式，因而這種方法也稱為湊微分法。

2、一些規(guī)律： ①?f(x)1xdx?2?f(x)(x)??2?f(x)dx

11?f(ax?b)(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b)

a?a?②?f(ax?b)dx?1③?f(lnx)dx??f(lnx)(lnx)?dx??f(lnx)d(lnx)

x④?sin(2k?1)xcosnxdx??sin2kxcosnxsinxdx???(1?cos2x)cosnxdcosx ⑤?cos(2k?1)kxsinxdx??cosxsinxcosxdx??(1?sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：?sin(2k?1)xdx和?cos(2k?1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥?sin2kxcos2nxdx用公式sin2x?⑦?tanxsecn2k?2n2k1?cos2x1?cos2x和cos2x?降次。22n2kxdx??tanxsecxdtanx??tanx(1?tanx)dtanx

注?sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧?csc2k?2xdx??csc2kxcsc2xdx???(1?cot2x)dcotx

⑨?tan(2k?1)xsecnxdx??tan2kxsecn?1xdsecx??(sec2x?1)secn?1xdsecx ⑩利用積化和差公式：

1cosAcosB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

21sinAcosB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21cosAsinB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21sinAsinB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

2第二換元法

被積函數(shù)中含有a2?x2，利用代換x?asint,t?(?被積函數(shù)中含有a2?x2，利用代換x?atant,t?(?kk??,)22,)22??被積函數(shù)中含有x2?a2，利用代換x?asect,t?(0,?)（一般要分情況討論）被積函數(shù)為分式，分母次數(shù)比分子次數(shù)高，到代換 利用下列積分公式：

⒃?tanxdx??ln|cosx|?C；⒄?cotxdx?ln|sinx|?C

⒅?secxdx?ln|secx?tanx|?C；⒆?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C ⒇?dx1xdx1x?a?arctan?C；（21）?ln?x2?a22ax?a?C aa2?x2a（22）?xdx?arcsin?C；?ln(x?a2?x2)?C（23）?ax2?a2a2?x2dx（24）?dxx2?a2?lnx?x2?a2?C

4.3 分部積分法（重要）

1、分部積分公式：?udv?uv??vdu

2、u的選取原則：反?對?冪?指?三。

這個原則不是絕對的，如通常?exsinxdx??sinxdex。

3、如果遇到反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的高次冪，通常先換元更容易算。如?(arcsinx)2dxarcsinx?t?t2dsint；

ln2x2?ttdxlnx?t?edt ?x2遇到根式ax?b，先令t?ax?b去根號。會做形如例7、8那樣具有典型特點的題目。

4.4 有理函數(shù)的積分（重要）

1、P(x)，先用多項式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、對Q(x)分解因式，根據(jù)分解結(jié)果用待定系數(shù)法確定x?1x?1AB??：應(yīng)設(shè)

(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)x?2x?3 ?x?2x?2ABx?C：應(yīng)設(shè) ???(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)x?2x?2ABx3?Cx2?Dx?E?(2x?1)(x2?x?1)2：應(yīng)設(shè)(2x?1)(x2?x?1)?(2x?1)?(x2?x?1)2

原則就是分子的次數(shù)總是要比分母低一次。

3、三角函數(shù)可以通過如下?lián)Q元法轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分

xxx2tan1?tan22tan2；cosx?2；tanx?2 sinx?xxx1?tan21?tan21?tan2222x令tan?t，則三角函數(shù)就轉(zhuǎn)化成為有理函數(shù)

24.被積函數(shù)含有nax?b或nax?bcx?d，則令t?nax?b或t?nax?bcx?d 幾個典型題目 P207頁（42）?x?1dxdx，（43）?x?1?x2P211頁例7、8 x2?2x?3補充說明：這一章的內(nèi)容需要大家在掌握一定規(guī)律的前提下多做練習(xí)，方能取得比較好的效果 第五章：定積分

5.1 定積分的概念和性質(zhì)

1、定積分的定義：?f(x)dx?lim?f(?i)?xi

abni??02、定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積

3、定積分的性質(zhì)：利用定積分的性質(zhì)判斷積分的取值范圍或比較兩個積分的大小（p235,10,13）(重要)5.2 微積分基本公式

1、y?f(x),a?x?b的積分上限的函數(shù)（重要）

?(x)??xaf(t)dt,a?x?b

及其導(dǎo)數(shù)：（如p243,5題）（1）??(x)?f(x)

d?(x)f(t)dt?f(?(x))??(x)?adxda（3）?f(t)dt??f(?(x))??(x)

dx?(x)d?(x)（4）?f(t)dt?f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)

dx?(x)

2、利用上面的公式計算極限、判斷函數(shù)單調(diào)性等： 相應(yīng)例題（p242,例7，8），相應(yīng)習(xí)題（p243-244:習(xí)題9，12，12，14）（重要）（2）

3、牛頓-萊布尼茨公式：函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則

?baf(x)dx?F(b)?F(a)，記作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函數(shù)(或者帶絕對值的函數(shù))的積分應(yīng)為分段積分的和：典型題目p244，習(xí)題10.5.3 定積分的換元法和分布積分法（重要）

1、第一換元公式：?f[?(x)]??(x)dt??f(t)dt

ab??

2、第二還原公式：?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt

ab??注意：一般來說應(yīng)用第一換元公式，我們一般不需要把新變量寫出來，因而也就

?cos?2不需要寫出新變量的積分限，如?cossinxdx??? 但是應(yīng)用第二換元?。

3??0公式，一般要寫出新變量及其積分限，如

202??3?a??asinta2?x2dx(a?0)?x???a2?2cos2tdt

003、分布積分公式：?u(x)dv(x)??u(x)v(x)?a??v(x)du(x)

baabb說明：無論是還原法還是分布積分法，定積分和不定積分的計算過程都是相似的。

4、利用下面的公式能幫助我們簡化計算：（重要）（1）偶倍寄零

?0?0（2）?2f(sinx)dx??2f(cosx)dx（3）?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）

（4）設(shè)f(x)是周期為T的連續(xù)函數(shù)：則

?a?Taf(x)dx??f(x)dx；?0Ta?nTaf(x)dx?n?f(x)dx(n?N).(p249，例7，p253，0T1(26))

5、形如例9這樣的積分。5.4 反常積分

1、無窮限的反常積分：設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，引入記號

F(??)?limF(x);F(??)?limF(x)

x???x???則

????a???f(x)dx?F(x)|?a??F(??)?F(a)；??f(x)dx?F(x)|?????F(??)?F(??).b??f(x)dx?F(x)|b????F(b)?F(??)；

??反常積分收斂意味著相應(yīng)的F(??),F(??)存在；特別的積分?F(??),F(??)同時存在。

????f(x)dx收斂必須注意：對于無窮限積分來說，偶倍寄零原則不在成立！

2、無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）：設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則 若b為瑕點，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a)；

bab若a為瑕點，則?f(x)dx??F(x)?a?F(b)?F(a?)；

bab若a,b都為瑕點，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a?)；

bab則c?(a,b)為瑕點，則?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??F(x)?c。a??F(x)?caacbcbb反常積分收斂意味著相應(yīng)的F(a?),F(b?)存在；特別的積分?f(x)dx（c?(a,b)ab為瑕點）收斂必須F(c?),F(c?)同時存在。

說明：由上面的公式看出，反常積分與定積分的計算方法是一樣的。都是先求原函數(shù)然后代入兩個端點，只是對于非正常點（如?和瑕點）算的是函數(shù)的極限。

3、換元法也適用于反常積分

4、會利用下面的兩個重要反常積分來討論一些函數(shù)的收斂性（重要）

???ap?1???,dx???(a?0)1,p?1xp?p?1?(p?1)a?(b?a)1?qb,q?1dx?? 1?q?a(x?a)q????,q?1?練習(xí)：p260,2題；求積分?bdx的收斂性。

b(x?b)qa5、遇到形如?f(x)dx積分時，注意[a,b]是否含有瑕點。否則會得到錯誤的結(jié)果：

adx。?1x第六章 定積分的應(yīng)用

6.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

1、平面圖形的面積（直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)下）（重要）

2、體積（特別是旋轉(zhuǎn)體的體積）（重要）

3、三個弧長公式（重要）

6.3 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用（做功、水壓力重要，引力了解）如?1