第一篇：多元函數(shù)積分的計算方法與技巧范文

.多元函數(shù)積分

二重積分的計算方法與應用。

（一）在作二次積分時，首先是把一個自變量看成是一個參數(shù)，而不是看成變量，這樣第一步是作單變量函數(shù)的定積分，然后得到一個包含第二個變量的表達式，再對第二個變量求定積分，這樣就得到了二重積分的值。這里對于選擇進行積分運算的自變量的順序是完全任意的，也就是說，假設函數(shù)的積分區(qū)間，是由曲線

y?y1(x)y?y2(x)

和，x=a，x=b

所圍成的區(qū)域，那么f在這個區(qū)域上的二重積分為

by(x)b

??f(x,y)dxdy??adx?y2(x)f(x,y)dy??y2((xx))dy?af(x,y)dxy11D

（二）另外一種常常更為簡單的計算二重積分的方法，是在極坐標下，通過把二重積分轉變?yōu)槎畏e分來得到結果。

一般公式就是

r2f(rcos?,rsin?)rdr??f(x,y)d????d??r(?)1

?

(?)

D

三重積分及其應用與計算。

在這兩種坐標里計算多重積分，首先是給出分別在這些坐標系里的體積微元的表達式： 在圓柱坐標系里是dv?rdrd?dz；

在球面坐標系里是dv?rsin?drd?d?。

因此可以分別得到在這兩個坐標系里的三重積分的計算公式： 在圓柱坐標系里是在?

???f(x,y,z)dv????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dz

?

?

； 里

是

球

?

面坐標系

???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcoa?)rsin?drd?d?

第二篇：多元向量值函數(shù)積分自測題

1、填空題

1）設L為取正向的圓周x2?y2?9則曲線積分22xy?2ydx?x?4x?dy? ?????L

?18?。

x?2）設曲線積分?fx?e????sinydx?f?x?cosydy與積分路徑無關，其中f?x?一階?L

連續(xù)可導，且f?0??0，則f?x??

3）1x1?xe?e。22???y

?2?z?dydz??x?z2?dzdx??y?x2?dxdy?0,其中?為單位球面

x2?y2?z2?1的外側。

?????x224）設A?esinyi??2xy?z?j?xzyk，則divA?1,0,1???0，rotA?1,0,1??

??1,0,?e?。

2、計算下列曲線積分

1）??

Lx2y2x?2xydy，其中L為橢圓2?2?1，由點A?a,0?經點C?0,b?到點ab2?

B??a,0?的弧段。

解：L的參數(shù)方程為??x?acost，t從0到?。y?bsint?

?

原式???

03?2??sin3t?222cost?acost?2absintcost?bcostdt??ab?sint?3??2ab3? ????0

?42ab

32）x2ydx?x2?y2dy??x?y?z?dz，其中L是x?y?z?11與z?x?y?1 ??L??2222

2的交線，其方向與z軸正方向呈右手系。

?x????x?y?2?解：L一般方程可化為?，其參數(shù)方程為?y??，?從0到2?

?

z?3?z?3??22

原式???

2?

02??1?cos4????4sin2?cos2?d???????d? 02???

?sin?4??

?si?n????? ??28??03、計算下列曲面積分

1）z?，其中是上半球面的上側。yzdzdx?2dxdy?

??2??

解：化為第一型曲面積分計算

zx?,zy???

???

取定側對應法向量n?，1? ??

?n??xy??，n??22??

y2z?原式???

?dS 2?????x2?y2?4? x2?y2?4???2?y?dxdy??22?0d???2r?r3sin2??dr 0

2??2?

0?4?4sin2??d???2?0?6?2cos2??d??12?

?z?y2

2）??xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?是曲線??x?0?的上側。

解：此曲面方程為z?x?y22?z?1?繞z軸旋轉所得旋轉面?z?1?，化為第一型曲面積分計算

zx?2x,zy?2y

?取定側對應法向量n???2x,?2y,1? ?

?n??,n

原式?2,? ?22?

x2?y2?1????x?y2?dxdy

??2?

0d???r3dr??01?24、設曲線積分xy2dx?y??x?dy與路徑無關，其中??x?連續(xù)可導，且??0??0，求?L

??

解：?1,1?0,0?xy2dx?y??x?dy。?P?Q?2xy??y???x?????x??2x???x??x2?C ?y?x

由??0??0可得C?0，即??x??x

2???1,1?0,0?xy2dx?y??x?dy???1,1?

?0,0?xy2dx?yx2dy??ydy?011 2

????

5、求向量A?2xi?yj?zk通過0?x?1,0?y?1,0?z?1的邊界曲面流向外側的通

量。

解：???2xdydz?ydzdx?zdxdy?????2?1?1?dv?

2??

???????

6、求向量場A?xyi?cos?xy?j?cos?xz?k在點?,1,1?處的散度。?2?

?解：divA?y?xsin?xy??xsin?xz?

?div???1?? ??,1,?1?2?

第三篇：多元函數(shù)

第二節(jié) 多元函數(shù)的基本概念

分布圖示

★ 領域★平面區(qū)域的概念

★ 多元函數(shù)的概念★ 例1★ 例

2★ 二元函數(shù)的圖形

★ 二元函數(shù)的極限★ 例3★ 例

4★ 例5★ 例6★ 例7

★ 二元函數(shù)的連續(xù)性★ 例 8

★ 二元初等函數(shù)★ 例 9-10

★ 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質

★ 內容小結★ 課堂練習

★習題6-2

內容提要：

一、平面區(qū)域的概念：內點、外點、邊界點、開集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域

二、多元函數(shù)的概念

定義1 設D是平面上的一個非空點集，如果對于D內的任一點(x,y)，按照某種法則f，都有唯一確定的實數(shù)z與之對應，則稱f是D上的二元函數(shù)，它在(x,y)處的函數(shù)值記為f(x,y)，即z?f(x,y)，其中x，y稱為自變量，z稱為因變量.點集D稱為該函數(shù)的定義域，數(shù)集{z|z?f(x,y),(x,y)?D}稱為該函數(shù)的值域.類似地，可定義三元及三元以上函數(shù).當n?2時, n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).二元函數(shù)的幾何意義三、二元函數(shù)的極限

定義2 設函數(shù)z?f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一去心鄰域內有定義，如果當點P(x,y)無限趨于點P0(x0,y0)時，函數(shù)f(x,y)無限趨于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù)z?f(x,y)當(x,y)?(x0,y0)時的極限.記為

x?x0y?y0limf(x,y)?A.或f(x,y)?A（(x,y)?(x0,y0)）

也記作

limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)P?P0

二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質和運算法則，在此不再詳述.為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱二元函數(shù)的極限為二重極限.四、二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3 設二元函數(shù)z?f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內有定義，如果

x?x0y?y0limf(x,y)?f(x0,y0),則稱z?f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù).如果函數(shù)z?f(x,y)在點(x0,y0)處不連續(xù)，則稱函數(shù)z?f(x,y)在(x0,y0)處間斷.與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經過四則運算和復合運算后仍為二元連續(xù)函數(shù).由x和y的基本初等函數(shù)經過有限次的四則運算和復合所構成的可用一個式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù).一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的.這里定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域.利用這個結論，當要求某個二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內一點的極限時，只要算出函數(shù)在該點的函數(shù)值即可.特別地，在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)也有類似于一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上所滿足的定理.下面我們不加證明地列出這些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù), 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù), 若在D上取得兩個不同的函數(shù)值, 則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次.例題選講：

多元函數(shù)的概念

例1某公司的總成本（以千元計）為

C(x,y,z,w)?5x?4y?2z?ln(w?1)

其中x是員工工資，y是原料的開銷，z是廣告宣傳的開銷，w是機器的開銷.求2C(2,3,0,10).解 用2替換x，3替換y，0替換z，10替換w，則C(2,3,0，10)?5?2?4?3?0?ln(10?1)

?29.6（千元）。

例2（E02）求二元函數(shù)f(x,y)?2arcsin(3?x2?y2)

x?y2的定義域.22??3?x?y?1解? 2??x?y?0

?2?x2?y2?4 ?2?x?y

所求定義域為D?

{(x,y)|2?x2?y2?4,x?y2}.例3（E03）已知函數(shù)f(x?y,x?y)?解設u?x?y,v?x?y,則 x2?y2x2?y2, 求f(x,y).x?u?vu?v,y?, 22

22?u?v??u?v??????2uv2??2??故得f(u,v)??, 2222u?v?u?v??u?v???????2??2?

即有f(x,y)?2xy.x2?y2

二元函數(shù)的極限

例4（E04）求極限 lim(x2?y2)sinx?0y?01.22x?y

解令u?x2?y2,則

lim(x2?y2)sinx?0

y?011=0.?limusin22u?0ux?y

例5 求極限limx?0

y?0sin(x2y)x?y22.22sinx(y)sinx(y)x2ysin(x2y)sinu2u?xy?1, ?22, 其中l(wèi)im解li22?li2limx?0x?0x?yx?0u?0uxyx?yx2yy?0y?0y?0x2y

x2?y2?12xy1?x?x2x2?y22x?0????0, sin(x2y)所以lim22?0.x?0x?yy?0

例6求極限 limx?y.x??x2?y2

y??

解當xy?0時，0?x?yx?y11x?y???0(x??,y??), ??2y2x2xyx2?y2x2?y2

所以limx?y

x???0.y??x2?y2

例7（E05）證明limxy

x?0x2?y2不存在.y?0

證取y?kx(k為常數(shù)),則

limxy

x?0x2?y2?limx?kxk

x?0?2,y?0y?kxx2?k2x21?k易見題設極限的值隨k的變化而變化,故題設極限不存在.例8 證明limx3y

x?06不存在.y?0x?y2

證取y?kx3,limx3y

x?0x6?y2?limx3?kx3k

x?0x6?2,其值隨k的不同而變化,y?0y?kx3?k2x61?k

限不存在.二元函數(shù)的連續(xù)性

?x3?y3

例9討論二元函數(shù)f(x,y)???x2?y2,(x,y)?(0,0)在(0,0)處的連續(xù)性.??0,(x,y)?(0,0)

解由f(x,y)表達式的特征，利用極坐標變換： 令x??cos?,y??sin?,則

(x,ylim)?(0,0)f(x,y)?lim??0?(sin3??cos3?)?0?f(0,0), 所以函數(shù)在(0,0)點處連續(xù).例10（E06）求lim??ln(y?x)y?

x?0?.y?1????x2?

?

解l?

x?i0m?lny(?x)?y???1???1.y?1??x???ln1(?0)????02?

?

例11求limex?y

x?0x?y.y?1故極

ex?ye0?1ex?y??2.解因初等函數(shù)f(x,y)?在(0,1)處連續(xù)，故limx?0x?y0?1x?y

y?1

課堂練習

y??1.設f?x?y,??x2?y2, 求f(x,y).x??

2.若點(x,y)沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(x0,y0)時, 函數(shù)f(x,y)都趨向于A, 能否斷定

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A? ?xy2,x2?y2?0?243.討論函數(shù)f(x,y)??x?y的連續(xù)性.?2x?y2?0?0,

第四篇：多元函數(shù)微分學

多元函數(shù)的極限與連續(xù)

一、平面點集與多元函數(shù)

（一）平面點集:平面點集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.1.常見平面點集:

⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}, {(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓, 閉圓, 圓環(huán).圓的個部分.極坐標表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡單域:X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內有方鄰域，方鄰域內有圓鄰域.空心鄰域和實心鄰域, 空心方鄰域與集

{(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區(qū)別.（二）點集的基本概念: 1.內點、外點和界點：集合E的全體內點集表示為intE, 邊界表示為?E.集合的內點?E, 外點?E, 界點不定.2.聚點和孤立點: 孤立點必為界點.例1 確定集E?{(x,y)|3.開集和閉集: 1?(x?1)2?(y?2)2?4 }的內點、外點集、邊界和聚點.intE?E時稱E為開集,E的聚點集?E時稱E為閉集.存在非開非閉集.R2和空集?為既開又閉集.4.開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點集均為區(qū)域.5.有界集與無界集: 6.點集的直徑d(E)：兩點的距離?(P1 , P2).7.三角不等式：

|x1?x2|（或|y1?y2|）?(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.（三）二元函數(shù): 1.二元函數(shù)的定義、記法、圖象： 2.定義域： 例4 求定義域：

ⅰ> f(x,y)?3.有界函數(shù): 4.n元函數(shù): 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.ln(y?x2?1)

二、二元函數(shù)的極限

（一）.二元函數(shù)的極限: 1.二重極限limf(P)?A的定義: 也可記為P?P0P?D(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或x?x0y?y0limf(x,y)?A

例1 用“???”定義驗證極限

(x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.[1]P94 E1.xy2?0.例2 用“???”定義驗證極限 lim2x?0x?y2y?0?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xy例3 設f(x,y)??x2?y

2?0 ,(x,y)?(0,0).? 證明(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0.(用極坐標變換)

P?P0P?ETh 1 limf(P)?A?對D的每一個子集E ,只要點P0是E的聚點,就有l(wèi)imf(P)?A.P?P0P?D推論1 設E1?D,P0是E1的聚點.若極限limf(P)不存在, 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D推論2 設E1,E2?D,P0是E1和E2的聚點.若存在極限limf(P)?A1,limf(P)?A2，P?P0P?E1P?P0P?E2但A1?A2,則極限limf(P)不存在.P?P0P?D推論3 極限limf(P)存在?對D內任一點列{ Pn },Pn?P0但Pn?P0,數(shù)列{f(Pn)}P?P0P?D ?xy ,(x,y)?(0,0),?22收斂 例4 設f(x,y)??x?y 證明極限limf(x,y)不存在.(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?(考慮沿直線y?kx的方向極限).?例5 設f(x,y)???1,0,當0?y?x2,???x???時，證明極限limf(x,y)不

(x,y)?(0,0)其余部分.存在.二重極限具有與一元函數(shù)極限類似的運算性質.例6 求下列極限: ⅰ>(x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ>(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?yf(x,y)???的定義: 3． 極限(x,y)?(x0,y0)lim其他類型的非正常極限，(x,y)?無窮遠點的情況.例7 驗證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3yEx

[1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.（二）累次極限:

1.累次極限的定義: 定義.例8 設f(x,y)?xy, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.22x?yx2?y2例9 設f(x,y)?2, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.2x?y例10 設f(x,y)?xsin11?ysin, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限與二重極限.yx 2.二重極限與累次極限的關系:

⑴ 兩個累次極限存在時, 可以不相等.(例9)

⑵ 兩個累次極限中的一個存在時, 另一個可以不存在.例如函數(shù)f(x,y)?xsin1y在點(0 , 0)的情況.⑶ 二重極限存在時, 兩個累次極限可以不存在.(例10)

⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)??二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上, 二重極限、兩個累次極限三者的存在性彼此沒有關系.但有以下確定關系.Th 2 若全面極限(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,則

x?x0y?y0必相等.推論1 二重極限和兩個累次極限三者都存在時, 三者相等.注: 推論1給出了累次極限次序可換的一個充分條件.推論2 兩個累次極限存在但不相等時, 全面極限不存在.注: 兩個累次極限中一個存在,另一個不存在??全面極限不存在.參閱⑵的例.三、二元函數(shù)的連續(xù)性

（一）二元函數(shù)的連續(xù)概念：

?xy22 , x?y?0 ,22??x?y例1 設f(x,y)??

?m , x2?y2?0.??1?m2證明函數(shù)f(x,y)在點(0 , 0)沿方向y?mx連續(xù).?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例1 設f(x,y)??

([1]P101)?0 , 其他.證明函數(shù)f(x,y)在點(0 , 0)不全面連續(xù)但在點(0 , 0)f對x和y分別連續(xù).2.函數(shù)的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續(xù)性.3.函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性.4.連續(xù)函數(shù)的性質: 運算性質、局部有界性、局部保號性、復合函數(shù)連續(xù)性.

第五篇：農行信用卡積分計算方法

積分計算規(guī)則

（一）持卡人使用金穗貸記卡在百貨公司、餐廳、賓館、其他零售商店的刷卡消費可累計積分。計算標準為消費滿人民幣1元可積1分，消費滿1美元可積8分，美元和人民幣積分可合并計算；積分不可轉讓，同一賬戶的主卡及附屬卡積分合并計算，同一持卡人名下不同賬戶的多張卡積分不可合并計算。

（三）下列項目不予計算積分：

2、房地產類、批發(fā)類、各種機動車、航空器及其零配件銷售、租賃與維修、燃油銷售、自動售油機、公共事業(yè)、政府服務、納稅、代扣代繳、慈善及社會公益、醫(yī)療機構、法律服務、博彩類、學校、兒童保育、農業(yè)服務、承包服務、園藝、電器零件與設備、供暖、清潔、非現(xiàn)金金融產品及服務、直銷、保險、證券、會計、審計等類的商戶消費。