第一篇：含參不等式恒成立問題的求解策略

含參不等式恒成立問題的求解策略

授課人：李毅軍

“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機地結合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉化”、“數(shù)形結合”、“分類討論”等數(shù)學思想對鍛煉學生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用?，F(xiàn)就結合實例談談這類問題的一般求解策略。

一、最值法

一般的，若函數(shù)f(x)在定義域為D，則當x∈D時，有f(x)≥M恒成立?f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立?f(x)max≤M。因而，含參數(shù)不等式的恒成立問題常根據(jù)不等式的結構特征，恰當?shù)貥嬙旌瘮?shù)，等價轉化為含參數(shù)的函數(shù)的最值討論。

例1：已知a＞0，函數(shù)f(x)=ax－bx2，當b＞1時，證明：對任意x∈[0，1]，|f(x)| ≤1的充要條件是b－1≤a≤2b。

二、分離參數(shù)法

例2：設f(x)=lg??1?2x???(n?1)x?nxa??n?，其中a是實數(shù)，n是任意給定的自

?然數(shù)且n≥2，若f(x)當x∈???，1?時有意義，求a的取值范圍。

一般地，利用最值分離參數(shù)法來確定不等式f(x，?)≥0，（x∈D ?為實參數(shù)）恒成立中參數(shù)取值范圍的基本步驟：

（1）將參數(shù)與變量分離，即化為f1(?)≥f2(x)（或f2(?)≤f2(x)）的形式；（2）求f2(x)在x∈D時的最大（或最?。┲担?/p>

（3）解不等式f1(?)≥f2max(x)（或≤f2min(x)）得?的取值范圍。

練習1：已知定義在R上函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在?0，???上是增函數(shù)，對于任意x∈R求實數(shù)m范圍，使f(cos2?－3)+f(4m－2mcos?)＞0恒成立。

練習2：設0＜a≤54，若滿足不等式|x－a|＜b的一切實數(shù)x，亦滿足不等式| x－a 2|

＜12，求正實數(shù)b的取值范圍。

練習3：已知向量a=(x2，x+1)，b=(1－x，t)。若函數(shù)f(x)=a·b在區(qū)間（－1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。

三、數(shù)形結合

數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這充分說明了數(shù)形結合思想的妙處，在不等式恒成立的問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：

1．f(x)＞g(x)?函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方； 2．f(x)＜g(x)?函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象下方。

例3：若不等式3x2－logax＜0在x∈??1??0，3??內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

練習：設f(x)=?x2?4x，g(x)=43x+1－a，若恒有f(x)≤g(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍。

四、主參換位法

某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度。即把變元與參數(shù)換個位置，再結合其它知識，往往會取得出奇制勝的效果。

例4：若對于任意a∈??1，1?，函數(shù)f(x)=x2(a－4)x+4－2a的值恒大于0，求x的取值范圍。

五、利用集合與集合間的關系

在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關系來求解，即：[m，n]?[f(a)，g(a)]，則f(a)≤m且g(a)≥n，不等式的解即為實數(shù)a的取值范圍。

例5：當x∈??1??3，3??時，|logax|＜1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

六、課后練習

1．已知函數(shù)f(x)=lg???x?ax?2???，若對任意x∈?2，???恒有f(x)＞0，試確定a的取值

范圍。

2．若(x，y)滿足方程x2+(y－1)2=1，不等式x+y+c≥0恒成立，求實數(shù)c的取值范圍。

n??3．若不等式???1?1?n??≤e對任意的n∈N*都成立，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，求?的最大值。

4．定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log23且對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，（1）求證f(x)為奇函數(shù)；

（2）若f(k·3x)+f(3x－9x－2)＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍。

第二篇：高中含參不等式的恒成立問題整理版

高中數(shù)學不等式的恒成立問題

一、用一元二次方程根的判別式

有關含有參數(shù)的一元二次不等式問題，若能把不等式轉化成二次函數(shù)或二次方程，通過根的判別式或數(shù)形結合思想，可使問題得到順利解決。

基本結論總結

例1??對于x∈R，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。

例2：已知不等式對于Ｒ恒成立，求參數(shù)的取值范圍．

解：要使對于Ｒ恒成立，則只須滿足：

（1）

或（2）

解（1）得，解（2）＝２

∴參數(shù)的取值范圍是－２＜２．

練習1.已知函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)的取值范圍。

2.若對于x∈R，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。

3.若不等式的解集是R，求m的范圍。

4.取一切實數(shù)時，使恒有意義，求實數(shù)的取值范圍．

例3．設，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

O

x

yx

關鍵點撥：為了使在恒成立，構造一個新函數(shù)是解題的關鍵，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進行分類討論，使問題得到圓滿解決。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。

解：，則當時，恒成立

當時，顯然成立；

當時，如圖，恒成立的充要條件為：

解得。綜上可得實數(shù)的取值范圍為。

例4

。已知，求使不等式對任意恒成立的a的取值范圍。

解法1：數(shù)形結合結合函數(shù)的草圖可知時恒成立

。所以a的取值范圍是。

解法2：轉化為最值研究

1.若上的最大值。

2.若，得，所以。

綜上：a的取值范圍是。

注：1.此處是對參a進行分類討論，每一類中求得的a的范圍均合題意，故對每一類中所求得的a的范圍求并集。

2.恒成立；

解法3：分離參數(shù)

。設，注：1.運用此法最終仍歸結為求函數(shù)的最值，但由于將參數(shù)a與變量x分離，因此在求最值時避免了分類討論，使問題相對簡化。

2.本題若將“”改為“”可類似上述三種方法完成。

仿解法1：即

讀者可仿解法2，解法3類似完成，但應注意等號問題，即此處也合題。

例5.已知：求使恒成立的a的取值范圍。

解法1：數(shù)形結合結合的草圖可得：

或得：。

解法2：轉化為最值研究

1.，所以。

2.若矛盾。

3.若矛盾。綜上：a的取值范圍是。

解法3：分離參數(shù)

1.時，不等式顯然成立，即此時a可為任意實數(shù)；

2.時。因為上單調(diào)遞減，所以；

3.時。因為在（0，1）上單調(diào)遞減，所以

。綜上：a的范圍是：。

注：本題中由于x的取值可正可負，不便對參數(shù)a直接分離，故采取了先對x分類，再分離參數(shù)a，最后對各類中求得a的范圍求交集，這與例1方法三中對各類中求得的a的范圍求并集是不同的，應引起注意！

例6.已知：，求使對任意恒成立的x的取值范圍。

解：習慣上視x為主元而a為輔元，但本題中是a在上任意變化時不等式恒成立，故可將a視為主元。

變更主元法：設，則的圖像為一直線，則時恒成立

即x的范圍是：

總之，處理不等式恒成立問題首先應分清誰是主元（哪一個變量在給定區(qū)間上任意變化，則該變量即為主元相當于函數(shù)自變量），然后可數(shù)形結合或轉化為最值研究。若易于將參變量分離的可先分離參變量再求最值，若需分類討論則應注意分類標準和最后的小結（分清是求交集，還是求并集）。

二、利用函數(shù)的最值（或值域）

（1）對任意x都成立

（2）對任意x都成立。簡單計作：大的大于最大的，小的小于最小的。由此看出，本類問題實質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。

例1．已知函數(shù)，若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

解：若對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時恒成立而得

而拋物線在的最小值得

例2

已知，若恒成立，求a的取值范圍.解析

本題可以化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值問題,只要對于任意.若恒成立

或或，即a的取值范圍為.點評

對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本題也可以用零點分布策略求解.設函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，如果不等式對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

分析：本題可利用函數(shù)的單調(diào)性把原不等式問題轉化為對于任意恒成立，從而轉化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。

解：是增函數(shù)對于任意恒成立

對于任意恒成立

對于任意恒成立，令，所以原問題，又即

易求得。

三、變更主元法

在解含參不等式時，有時若能換一個角度，變參數(shù)為主元，可以得到意想不到的效果，使問題能更迅速地得到解決。一般來說，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù).用一次函數(shù)的性質(zhì)

對于一次函數(shù)有：

例題1：已知不等式對任意的都成立，求的取值范圍.解：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，原不等式可化為

令是關于m的一次函數(shù)。

由題意知解得∴x的取值范圍是

關鍵點撥：利用函數(shù)思想，變換主元，通過直線方程的性質(zhì)求解。評注：此類問題常因思維定勢，學生易把它看成關于的不等式討論，從而因計算繁瑣出錯或者中途夭折；若轉換一下思路，把待求的x為參數(shù)，以為變量，令則問題轉化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）的值在內(nèi)恒為負的問題，再來求解參數(shù)應滿足的條件這樣問題就輕而易舉的得到解決了

例2．對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。

分析：題中的不等式是關于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉化為一次不等式在上恒成立的問題。

解：令，則原問題轉化為恒成立（）。

當時，可得，不合題意。當時，應有解之得。

故的取值范圍為。

例3

已知對于任意的a∈[-1,1]，函數(shù)f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0

恒成立，求x的取值范圍.解析

本題按常規(guī)思路是分a=0時f(x)是一次函數(shù)，a≠0時是二次函數(shù)兩種情況討論，不容易求x的取值范圍。因此，我們不能總是把x看成是變量，把a看成常參數(shù)，我們可以通過變量轉換，把a看成變量，x看成常參數(shù)，這就轉化一次函數(shù)問題，問題就變得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a∈[-1,1]時，g(a)>0恒成立，則，得.點評

對于含有兩個參數(shù)，且已知一參數(shù)的取值范圍，可以通過變量轉換，構造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖象求另一參數(shù)的取值范圍。

例4

對于滿足|p|2的所有實數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。

分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個變量：x、P,并且是給出了p的范圍要求x的相應范圍，直接從x的不等式正面出發(fā)直接求解較難，若逆向思維把

p看作自變量，x看成參變量，則上述問題即可轉化為在[-2，2]內(nèi)關于p的一次函數(shù)函數(shù)值大于0恒成立求參變量x的范圍的問題。

解：原不等式可化為

(x-1)p+x2-2x+1>0,令

f(p)=

(x-1)p+x2-2x+1,則原問題等價于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：o

y

x

y

x

方法一：或∴x<-1或x>3.方法二：即解得：∴x<-1或x>3.例5

已知，若恒成立，求a的取值范圍.解析

本題可以考慮f(x)的零點分布情況進行分類討論，分無零點、零點在區(qū)間的左側、零點在區(qū)間的右側三種情況，即Δ≤0或或，即a的取值范圍為[-7，2].點評

對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問題,可以考慮函數(shù)的零點分布情況,要求對應閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.設

（1）當時，上恒成立，上恒成立

（2）當時，上恒成立

上恒成立

例6

若時，不等式恒成立，求的取值范圍。

解：設，則問題轉化為當時，的最小值非負。

（1）

當即：時，又所以不存在；

（2）

當即：時，又

（3）

當

即：時，又

綜上所得：

四、分離參數(shù)法

此類問題可把要求的參變量分離出來，單獨放在不等式的一側，將另一側看成新函數(shù)，于是將問題轉化成新函數(shù)的最值問題：

若對于取值范圍內(nèi)的任一個數(shù)都有恒成立，則；

若對于取值范圍內(nèi)的任一個數(shù)都有恒成立，則.例1．已知函數(shù)，若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

在時恒成立，只要在時恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。

例2．已知函數(shù)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

解：

將問題轉化為對恒成立，令，則

由可知在上為減函數(shù)，故

∴即的取值范圍為。

注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。

例3

已知函數(shù)，若在區(qū)間上，的圖象位于函數(shù)f(x)的上方，求k的取值范圍.解析

本題等價于一個不等式恒成立問題,即對于恒成立,式子中有兩個變量,可以通過變量分離化歸為求函數(shù)的最值問題.對于恒成立對于恒成立,令,設,則,即x=1時,k的取值范圍是k>2.變式

若本題中將改為，其余條件不變，則也可以用變量分離法解.由題意得，對于恒成立對于恒成立,令,設,則，，k的取值范圍是k>.點評

本題通過變量分離，將不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題，本題構造的函數(shù)求最值對學生來說有些難度，但通過換元后巧妙地轉化為“對勾函數(shù)”，從而求得最值.變式題中構造的函數(shù)通過換元后轉化為“二次函數(shù)型”，從而求得最值.本題也可以用零點分布策略和函數(shù)最值策略求解.五、數(shù)形結合法

如果不等式中涉及的函數(shù)、代數(shù)式對應的圖象、圖形較易畫出時，可通過圖象、圖形的位置關系建立不等式求得參數(shù)范圍.例1　已知函數(shù)若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

.解：在同一個平面直角坐標系中分別作出函數(shù)及的圖象，由于不等式恒成立，所以函數(shù)的圖象應總在函數(shù)的圖象下方，因此，當時，所以故的取值范圍是

x

y

o

y1=(x-1)2

y2=logax

例2

當x(1,2)時，不等式(x-1)2

分析：若將不等號兩邊分別設成兩個函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，右邊為對數(shù)函數(shù)，故可以采用數(shù)形結合借助圖象位置關系通過特指求解a的取值范圍。

解：設T1:=,T2:,則T1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2),<恒成立即T1的圖象一定要在T2的圖象所的下方，顯然a>1,并且必須也只需

故loga2>1,a>1,1

若不等式在內(nèi)恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

解：由題意知：在內(nèi)恒成立，在同一坐標系內(nèi)，分別作出函數(shù)和

觀察兩函數(shù)圖象，當時，若函數(shù)的圖象顯然在函數(shù)圖象的下方，所以不成立；

當時，由圖可知，的圖象必須過點或在這個點的上方，則，綜上得：

注：解決不等式問題經(jīng)常要結合函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€函數(shù)，利用函數(shù)圖像的上、下位置關系來確定參數(shù)的范圍.利用數(shù)形結合解決不等式問題關鍵是構造函數(shù)，準確做出函數(shù)的圖象.如：不等式，在時恒成立，求的取值范圍.此不等式為超越不等式，求解時一般使用數(shù)形結合法，設然后在同一坐標系下準確做出這兩個函數(shù)的圖象，借助圖象觀察便可求解.練習1：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

變式：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

練習2：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

變式1：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

變式2：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

第三篇：函數(shù)、不等式恒成立問題解法(教案)

函數(shù)、不等式恒成立問題解題策略

教學目標:

1.通過對不同問題的解題探討歸納該類問題的一般解法

2.培養(yǎng)學生的分析問題和靈活應用知識解決問題的能力

3.培養(yǎng)學生的數(shù)形結合能力

重難點:

分析解決問題的能力,數(shù)形結合思想方法的應用 教學方法:

指導練習法

教學過程:

一、復習回顧

引例：（9月月考）

23、已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x?1)?f(x)?2x且f(0)?1．

（1）求f(x)的解析式；

（2）求f(x)在區(qū)間??1,1?上的最大值和最小值。

（3）當x?[?1,1]時，不等式：f(x)?2x?m恒成立，求m的范圍。

二、歸納：（恒成立問題的基本類型）

類型1：設f(x)?ax2?bx?c(a?0)，（1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0；（2）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0。

類型2：設f(x)?ax2?bx?c(a?0)

?b?b?b

（1）當a?0時，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立????2a??或?????2a??或???2a??，??f(?)?0????0??f(?)?0

f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??f(?)?0

?)?0

?f(?

（2）當a?0時，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??f(?)?0

??f(?)?0

?b

f(x)?0在x?[?,?]上恒成立????b

2a???

或?????2a???

或???b

2a??

??f(?)?0????0??f(?)?0

類型3：

f(x)??對一切x?I恒成立?f(x)min??f(x)??對一切x?I恒成立?f(x)max??。類型4：

f(x)?g(x)對一切x?I恒成立?f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方或(x?I)恒成立。

f(x)min?g(x)max

三、例題講評

例1：若不等式2x?1?m(x2?1)對滿足?2?m?2的所有m都成立，求x的范圍。

解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：m(x2?1)?(2x?1)?0，；?f(?2)?0令f(m)?m(x2?1)?(2x?1)，則?2?m?2時，f(m)?0恒成立，所以只需?即

?f(2)?0

??1???2(x?1)?(2x?1)?0

x?(，所以x的范圍是?

22??2(x?1)?(2x?1)?0

71?,32)。

例2：若不等式(m?1)x2?(m?1)x?2?0的解集是R，求m的范圍。

解析：要想應用上面的結論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。

（1）當m-1=0時，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；

?m?1?0

（2）m?1?0時，只需?，所以，m?[1,9)。2

???(m?1)?8(m?1)?0

變式：

（1）若不等式x2?mx?2?0在x??1,2?上恒成立，求m的范圍。（2）若不等式x2?mx?2?0在x??1,2?上恒成立，求m的范圍。（3）若不等式x2?mx?2?0在m??1,2?上恒成立，求x的范圍。例3：已知a?0,a?1,f(x)?x?a,當x?(?1,1)時,有f(x)?解析：由f(x)?x?a?

x

x

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

12，得x?

?a，在同一直角坐標系中做出兩個函數(shù)的圖象，如果兩個函12

?a及(?1)?

x

數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由1?

?a

?

1得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)

1x1x2xx

y?2及y?()的圖象，所以，要想使函數(shù)x??a在區(qū)間x?(?1,1)中恒成立，只須y?2在22

區(qū)間x?(?1,1)對應的圖象在y?x?在區(qū)間x?(?1,1)對應圖象的上面即可。當a?1時,只有a?2

才能保證，而0?a?1時，只有a?

才可以，所以a?[,1)?(1,2]。

四：小結

對不同的問題的采取的方法是不一樣的，要根據(jù)具體的情境靈活選擇。但一定要借助圖像去分析才能選擇好恰當?shù)姆椒ㄈソ忸}。在分類討論時要注意分類的完整性和合理性，在等號成立的情況下一定要仔細思考。五：同步練習

1、設f(x)?lg

1?2?a

4xx

如果x?(??.1)時，f(x)恒有意義，求a的取值范圍。,其中a?R，分析：如果x?(??.1)時，f(x)恒有意義，則可轉化為1?2x?a4x?0恒成立，即參數(shù)分離后a??解。

解：如果x?(??.1)時，f(x)恒有意義?1?2x?a4x?0，對x?(??,1)恒成立.?a??

1?24

xx

1?24

x

x

??（2?x

?2

?2x)，x?(??.1)恒成立，接下來可轉化為二次函數(shù)區(qū)間最值求

??(2

?x

?2

?2x)x?(??.1)恒成立。

令t?2?x，g(t)??(t?t2)又x?(??.1)則t?(,??)?a?g(t)對t?(,??)恒成立，又

113

3?g(t)在t?[,??)上為減函數(shù)，g(t)max?g()??，?a??。

2244

112、設函數(shù)是定義在(??,??)上的增函數(shù)，如果不等式f(1?ax?x2)?f(2?a)對于任意x?[0,1]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：本題可利用函數(shù)的單調(diào)性把原不等式問題轉化為1?ax?x2?2?a對于任意x?[0,1]恒成立，從而轉化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。

解：?f(x)是增函數(shù)?f(1?ax?x2)?f(2?a)對于任意x?[0,1]恒成立

?1?ax?x?2?a對于任意x?[0,1]恒成立

?x?ax?1?a?0對于任意x?[0,1]恒成立，令g(x)?x?ax?1?a，x?[0,1]，所以原

問題?g(x)min?0，又g()xnim)(??????0a??g,0

?

a?

??(g,)?2?0?a?

2?

2???????????a?2???,即g(x)min

?1?a,??????a?0

?2?a????a?1,?2?a?0易

4?

?2,???????????a??2?

求得a?1。

3、設f(x)=x2-2ax+2,當x?[-1,+?)時，都有f(x)?a恒成立，求a的取值范圍。

分析：在f(x)?a不等式中，若把a移到等號的左邊，則原問題可轉化為二次函數(shù)區(qū)間恒成立問題。

解：設F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)當?=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0時，即-2

ⅱ）當?=4（a-1)(a+2)?0時由圖可得以下充要條件：

?

???0?(a?1)(a?2)?0??

即?a?3?0 ?f(?1)?0

?a??1,??2a

?????1,2?

得-3?a?-2;

綜上所述：a的取值范圍為[-3，1]。

4、當x?(1,2)時，不等式(x-1)2

分析：若將不等號兩邊分別設成兩個函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，右邊為對數(shù)函數(shù)，故可以采用數(shù)形結合借助圖象位置關系通過特指求解a的取值范圍。

解：設T1:f(x)=(x?1)2,T2:g(x)?logax,則T1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x?(1,2), f(x)

T1的圖象一定要在T2的圖象所的下方，顯然a>1,并且必須也只

需g(2)?f(2)

故loga2>1,a>1,?1

分析：原方程可化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),從而得x2+20x=8x-6a-3>0,若將等號兩邊分別構造函數(shù)即二次函數(shù)y= x2+20x與一次函數(shù)y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。

解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,則如圖所

示，T1的圖象為一拋物線，T2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使T1和T2在x軸上有唯一交點，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)

當直線為l1時，直線過點（-20，0）此時縱截距為-6a-3=160,a=?

1636

;

2當直線為l2時，直線過點（0，0），縱截距為-6a-3=0，a=?∴a的范圍為[?

1636，?

12）。

6、對于滿足|p|?2的所有實數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。

分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個變量：x、P,并且是給出了p的范圍要求x的相應范圍，直接從x的不等式正面出發(fā)直接求解較難，若逆向思維把 p看作自變量，x看成參變量，則上述問題即可轉化為在[-2，2]內(nèi)關于p的一次函數(shù)函數(shù)值大于0恒成立求參變量x的范圍的問題。解：原不等式可化為(x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,則原問題等價于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：

?x?1?0?x?1?0

方法一：?或?∴x<-1或x>3.f(2)?0f(?2)?0??

??x?3或x?1?f(?2)?0?x?4x?3?0

方法二：?即?2解得：?∴x<-1或x>3.??f(2)?0?x?1或x??1?x?1?0

lg2ax

7.若不等式lg(a?x)

?

1在x∈［1，2］時恒成立，試求a的取值范圍。

?x?1

?

解：由題設知?2ax?0，得a>0，可知a+x>1，所以lg(a?x)?0。原不等式變形為lg2ax?lg(a?x)。2]，可得2x?1?0 ?2ax?a?x，即(2x?1)a?x。又x?[1，?a?

x2x?1

?

1?1?1?1?f(x)??1??1???

2?2x?1?恒成立。設2?2x?1?，在x∈［1，2］上為減函數(shù)，可得

f(x)min?f(2)?

23，知

a?

3。綜上知

0?a?

23。

lg2ax

關鍵點撥：將參數(shù)a從不等式lg(a?x)

?1

中分離出來是解決問題的關鍵。

f(a)?f(b)a?b

?0

8.已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)且f(1)?1，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有（1）判斷函數(shù)f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)還是減函數(shù)。

1?1???

f?x???f?2x??

2?2?。?（2）解不等式?。

1]、a∈［－1，1］恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。（3）若f(x)?m?2am?1對所有x?[?1，解：（1）設?1?x1?x2?1，則

f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(?x2)?

f(x1)?f(?x2)

x1?x

2(x1?x2)?0，可知f(x1)?f(x2)，所以f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)。

1??1?x??1?2?

1?

??1?2x??

12?

11?x??2x??（2）由f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)知?

11??

x|??x?????x?

42?? 42解得，故不等式的解集

（3）因為f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)，所以f(x)?f(1)?1，即1是f(x)的最大值。依題意有

m

?2am?1?1，對a∈［－1，1］恒成立，即m

?2am?0恒成立。

令

g(a)??2ma?m，它的圖象是一條線段，那么

??g(?1)?m?2m?0

??2

?g(1)?m?2m?0m?(??，?2]?{0}?[2，??)。?

關鍵點撥：對于（1），抽象函數(shù)單調(diào)性的證明往往借助定義，利用拼湊條件，判斷差的符號。對于（2），后一步解不等式往往是上一步單調(diào)性的繼續(xù)，通過單調(diào)性、函數(shù)值的大小轉化到自變量的大小上來。對于

（3），轉換視角變更主元，把m?2am?0看作關于a的一次函數(shù)，即g(a)??2ma?m在a∈［－1，1］上大于等于0，利用g(a)是一條直線這一圖象特征，數(shù)形結合得關于m的不等式組，從而求得m的范圍。

第四篇：高考數(shù)學不等式恒成立問題中的參數(shù)求解技巧

不等式恒成立問題中的參數(shù)求解技巧

在不等式中，有一類問題是求參數(shù)在什么范圍內(nèi)不等式恒成立。恒成立條件下不等式參數(shù)的取值范圍問題，涉及的知識面廣，綜合性強，同時數(shù)學語言抽象，如何從題目中提取可借用的知識模塊往往捉摸不定，難以尋覓，是同學們學習的一個難點，同時也是高考命題中的一個熱點。其方法大致有：①用一元二次方程根的判別式，②參數(shù)大于最大值或小于最小值，③變更主元利用函數(shù)與方程的思想求解。本文通過實例，從不同角度用常規(guī)方法歸納，供大家參考。

一、用一元二次方程根的判別式

有關含有參數(shù)的一元二次不等式問題，若能把不等式轉化成二次函數(shù)或二次方程，通過根的判別式或數(shù)形結合思想，可使問題得到順利解決。

2例1對于x∈R，不等式x?2x?3?m?0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。2解：不妨設f(x)?x?2x?3?m，其函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，為了使f(x)?0(x?R)，只需

22]。??0，即(?2)?4(3?m)?0，解得m?2?m?(??，2變形：若對于x∈R，不等式mx?2mx?3?0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。2f(x)?mx?2mx?3。①當m=0時，3>0，顯然成立。②當m>0時，此題需要對m的取值進行討論，設

3)。則△<0?0?m?3。③當m<0時，顯然不等式不恒成立。由①②③知m?[0，的符號確定其拋物線的開口方向，再根據(jù)圖象與x軸的交點問題，由判別式進行解決。

22f(x)?ax?bx?c，由aax?bx?c?0關鍵點撥：對于有關二次不等式（或<0）的問題，可設函數(shù)2f(x)?x?2kx?2，在x??1時恒有f(x)?k，求實數(shù)k的取值范圍。例2已知函數(shù)解：令F(x)?f(x)?k?x?2kx?2?k，則F(x)?0對一切x??1恒成立，而F(x)是開口向上的拋物

線。

2①當圖象與x軸無交點滿足△<0，即??4k?4(2?k)?0，解得－2

??)時F(x)?0，只需 ②當圖象與x軸有交點，且在x?[?1，????0?k??2或k?1????3?k??2?F(?1)?0??1?2k?2?k?0，??2k?k??1????1?

?2由①②知?3?k?1

??)恒成立，構造一個新函數(shù)F(x)?f(x)?k是解題的關鍵，再利關鍵點撥：為了使f(x)?k在x?[?1，用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進行分類討論，使問題得到圓滿解決。

二、參數(shù)大于最大值或小于最小值

如果能夠?qū)?shù)分離出來，建立起明確的參數(shù)和變量x的關系，則可以利用函數(shù)的單調(diào)性求解。a?f(x)恒成立?a?f(x)max，即大于時大于函數(shù)f(x)值域的上界。a?f(x)恒成立?a?f(x)min，即小于時小于函數(shù)f(x)值域的下界。

2例3已知二次函數(shù)f(x)?ax?x，如果x∈［0，1］時|f(x)|?1，求實數(shù)a的取值范圍。2解：x∈［0，1］時，|f(x)|?1??1?f(x)?1，即?1?ax?x?1 ①當x=0時，a∈R

2??ax??x?11111?2a?????22?ax??x?1(0，1]?xx的最大值。設xx②當x∈時，問題轉化為恒成，由恒成立，即求

111?11?1u(x)??2???????x?(0，1]?[1，??)，u(x)x4。因x?x2?x為減函數(shù)，所以當x=1時，u(x)max??2，可得a??2。

2211?11?11111v(x)???????a?2??24。因x2x?x2?x的最小值。設xxx由恒成立，即求

1x?(0，1]?[1，??)，v(x)x為增函數(shù)，所以當x=1時，v(x)min?0，可得a≤0。

由①②知?2?a?0。

??)上的單調(diào)性。關鍵點撥：在閉區(qū)間［0，1］上使|f(x)|?1分離出a，然后討論關于x的二次函數(shù)在[1，lg2ax?1lg(a?x)例4若不等式在x∈［1，2］時恒成立，試求a的取值范圍。

?x?1?解：由題設知?2ax?0，得a>0，可知a+x>1，所以lg(a?x)?0。原不等式變形為lg2ax?lg(a?x)。

2]，可得2x?1?0 ?2ax?a?x，即(2x?1)a?x。又x?[1，?a?

f(x)minx1?1?1?1???1?f(x)??1???2x?12?2x?1?恒成立。設2?2x?1?，在x∈［1，2］上為減函數(shù)，可得222?f(2)?a?0?a?3。綜上知3，知3。

lg2ax?1lg(a?x)關鍵點撥：將參數(shù)a從不等式中分離出來是解決問題的關鍵。

xyxy??c??x?2y2x?y，對任意正數(shù)x、y恒成立？試例5是否存在常數(shù)c使得不等式2x?yx?2y

證明你的結論。c?

解：首先，欲使xy?x?2y2x?y恒成立（x、y>0），進行換元令

2b?a?x???x?2y?a?3，得???2x?y?b?y?2a?b

?3?

c?。∴上述不等式變?yōu)?b?a2a?bc??ab，即1?2b?a2a?b?1?2b2a1?2b2a???????2???2?????3?ab?3?abb?恒成立。尋求3?a?的最小值，由a>0，b>0，利用基本?21?2b2a?1?2b2a???2????2??2????3bab?3??不等式可得3?a。c?

同理欲使?2x?y?axy??2x?yx?2y恒成立(x、y?0)，令?x?2y?b，2a?b?x???3?1?2a?b2b?a??y?2b?ac?????3ab??，3?得∴上述不等式變?yōu)?/p>

c?

即1?ba?1??ba??1??ba????2??2????4?????4??????3?ab?3??ab??。尋求3??ab??的最大值，易得1??ba??1?ba?22??4???4?2??????c?3??ab??3?ab?3使上述不等式恒成立 ??3。綜上知存在222

關鍵點撥：本題是兩邊夾的問題，利用基本不等式，右邊尋找最小值3，左邊尋找最大值3，可得c=3

三、變更主元

在解含參不等式時，有時若能換一個角度，變參數(shù)為主元，可以得到意想不到的效果，使問題能更迅速地得到解決。

2例6若不等式2x?1?m(x?1)，對滿足?2?m?2所有的x都成立，求x的取值范圍。

2m(x?1)?(2x?1)?0 解：原不等式可化為

2令f(m)?(x?1)m?(2x?1)(?2?m?2)是關于m的一次函數(shù)。

2??f(?2)??2(x?1)?(2x?1)?0?1?1?3?2?x??22 由題意知?f(2)?2(x?1)?(2x?1)?0解得

??1?71?????22?? ∴x的取值范圍是?

關鍵點撥：利用函數(shù)思想，變換主元，通過直線方程的性質(zhì)求解。

f(a)?f(b)?0f(x)f(1)?1a?b例7已知是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)且，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有。

（1）判斷函數(shù)f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)還是減函數(shù)。

1?1???f?x???f?2x??2?2?。?（2）解不等式?

21]、a∈［－1，1］恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。（3）若f(x)?m?2am?1對所有x?[?1，解：（1）設?1?x1?x2?1，則

f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(?x2)?f(x1)?f(?x2)(x1?x2)?0x1?x2，可知f(x1)?f(x2)，所以f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)。

1??1?x??1?2?1???1?2x??12?11?x??2x??22（2）由f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)知?

11??11x|??x?????x?42?? 42解得，故不等式的解集

（3）因為f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)，所以f(x)?f(1)?1，即1是f(x)的最大值。依題意有m2?2am?1?1，對a∈［－1，1］恒成立，即m2?2am?0恒成立。

令g(a)??2ma?m2，它的圖象是一條線段，那么

2??g(?1)?m?2m?0??2?m?(??，?2]?{0}?[2，??)。?g(1)?m?2m?0

關鍵點撥：對于（1），抽象函數(shù)單調(diào)性的證明往往借助定義，利用拼湊條件，判斷差的符號。對于（2），后一步解不等式往往是上一步單調(diào)性的繼續(xù)，通過單調(diào)性、函數(shù)值的大小轉化到自變量的大小上來。對于（3），2轉換視角變更主元，把m?2am?0看作關于a的一次函數(shù)，即g(a)??2ma?m在a∈［－1，1］上大于等2

于0，利用g(a)是一條直線這一圖象特征，數(shù)形結合得關于m的不等式組，從而求得m的范圍。

第五篇：構造直線巧破不等式恒成立問題

龍源期刊網(wǎng) http://.cn

構造直線巧破不等式恒成立問題

作者：蘇文云

來源：《學習與研究》2013年第05期

不等式恒成立，求解參變量取值范圍的問題，由于集不等式、方程、函數(shù)知識于一身，可以較好地考查學生的綜合素質(zhì)與能力，因而，在高考中備受青睞，本文從構造直線人手，給出破解不等式恒成立問題的幾種簡便且有效的思維策略，用以拋磚引玉。