第一篇：高中數學教學論文 中點弦問題的求解策略 蘇教版選修2-1

中點弦問題的求解策略

中點弦問題常見的題型有：1．求中點弦所在的直線方程；2．求弦的中點的軌跡方程；3．求弦長為定值的弦中點的坐標．常用的求解策略是：1．兩式相減用中點公式求得斜率；2．聯列方程組用韋達定理．

例1．已知直線x?y?2與拋物線y2?4x交于A，B兩點，那么線段AB的中點的坐標為 ．

?x?y?2解析：設A?x1,y1?,B?x2,y2?，由?2得y2?4y?8?0，從而

?y?4xy1?y2?4,x1?x2?y1?y2?4?8，因此，線段AB的中點的坐標為?4,2?．

例2．橢圓3x2?4y2?12中，一組平行弦中點的軌跡是x?2y?0（在橢圓內的一段），則這組平行弦的斜率為 ．

解析：設A?x1,y1?,B?x2,y2?是這組平行弦中的一條弦與橢圓的交點，從而x1?x2??2?y1?y2?，把A，B的坐標代入橢圓方程并相減得3?x1?x2??x1?x?2?4?k??3?x1?x2?4?y1?y2??32y1??y?2y1??y2?0，即．

22例3．直線l與橢圓x?2y?2交于P1,P2兩點，線段P1P2的中點為P，設直線l的斜率為k1?k1?0?，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值等于（）A．2 B．?2 C．12 D．?12

?x1?x2?212解析：D．設P1?x1,y1?,P2?x2,y2x1?x2?，從而P?,y1?y2y1?y2?k?，因此，把P1,P2代入橢2?x?x2?12圓方程并相減得k1??2?y1?y2?，故k1k2??．

例4．直線y?kx?2交拋物線y?8x于A，B兩點，若AB中點的橫坐標為2，則|AB|? ．

2用心

愛心

專心 1

解析：設A?x1,y1?,B?x2,y2?8k?y?kx?2，由?2得ky2?8y?16?0，又由??64?64k?0知

?y?8x1?8??4???4得k?2． k?k?k??1．又y1?y2?，從而x1?x2?例5．已知橢圓x216?y24?1，求以點P?2,?1?為中點的弦所在的直線方程．

解析：設所求直線與橢圓相交于A?x1,y1?,B?x2,y2?，把A，B的坐標代入橢圓方程并相減得又因為點P為弦AB的中點，則x1?x2?4,y1?y2??2，(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0，從而得到k?12，∴所求直線方程為x?2y?4?0．

例6．已知橢圓C的焦點分別為F1?22,0和F222,0，長軸長為6，設直線y?x?2交橢圓C于A，B兩點，求線段AB的中點坐標．

解析：設A?x1,y1?,B?x2,y2?，并根據題意，得橢圓的方程為x2?9y2?9，把直線y?x?2方程代入橢圓方程并整理得10x2?36x?27?0，從而x1?x2??AB的中點坐標為????91?,?． 55?185,y1?y2??185?4?25????．因此線段

用心

愛心

專心 2

第二篇：關于利用“點差法”求解中點弦所在直線斜率問題的教學案例(曹文紅)

關于利用“點差法”求解中點弦所在直線斜率問題的教學案例

湖北省宜昌市夷陵中學

曹文紅

?問題背景?

圓錐曲線的中點弦問題是解析幾何中的一類常見問題。對于求解以定點為中點的弦所在直線方程問題，許多同學習慣于利用“點差法”先求直線斜率：即首先設弦的兩端點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2)，代入圓錐曲線方程得到兩方程后再相減，從而得到弦中點坐標與所在直線的斜率的關系，使問題得以解決。此方法巧妙地將斜率公式和中點坐標公式結合起來，設而不求，代點作差，可以減少計算量，提高解題速度，優(yōu)化解題過程，對解決此類問題確實具有很好的效果。但在具體應用時，由于“點差法”所必須具備的前提條件是符合條件的直線確實存在，否則就會產生增根。而學生由于認知方面的原因，對于此類問題往往只注意利用“點差法”先求直線斜率再求方程卻常常忽略了檢驗符合條件的直線是否存在，從而走入“點差法”的誤區(qū)，出現錯誤卻無法察覺。為此，我專門設計了一節(jié)利用“點差法”求直線斜率的習題課，通過師生互動、合作探究的方式，使教學過程生動活潑，一波三折，使學生加深了對求解以定點為中點的弦所在的直線方程問題的認識，認清了產生增根的根源，找到了簡便易行的檢驗方法，收到了較好的教學效果。

?案例實錄?

1、創(chuàng)設情景，提出問題

師：前面，我們已經學習了橢圓、雙曲線和直線的位置關系，知道了解決這類問題的主要方法。下面請大家看問題1：已知點M(4,2)是直線l被橢圓x2y2??1所截得的線段的中點，求直線l的方程。369問題提出后，猶如一石激起千層浪，學生的探究熱情被激發(fā)起來，開始了對問題的探索。

2、自主探索，暴露思維

學生求解的同時，教師在行間巡視，發(fā)現生1很快得出了結果，于是請生1上臺板書：

生1：解：設直線l與橢圓交點為A(x1,y1),B(x2,y2)，則有x1?4y1?36，22x2?4y2?36，22兩式相減，得：?x1?x2??x1?x2??4?y1?y2??y1?y2??0，因為M(4,2)為AB中點，所以有： x1?x2?8,所以kAB?y1?y2?4，y1?y2?(x1?x2)1???，故所求直線l的方程為x1?x24(y1?y2)21y?2??(x?4)，即x?2y?8?0。

2師：很好！先求直線斜率，過程非常簡捷。同學們還有沒有其他的方法？ 生2：有，顯然直線l斜率存在，設其斜率為k，則所求直線方程為y?2?k(x?4)，聯立橢圓方程消去y并整理可得1(4k2?1)x2?8k(4k?2)x?4(4k?2)2?36?0，由韋達定理求得k??，2再求出直線l的方程。不過這種解法計算量比較大，過程比較麻煩。

師：以上兩種解法就是求解以定點為中點的弦所在直線方程的常用方法，我們不妨稱之為“點差法”和“聯立法”。其中聯立直線與橢圓方程消去y（或x）再由韋達定理求出k雖然思路很清晰，但運算比較復雜，故一般情況下優(yōu)先考慮“點差法”。那么，使用“點差法”時要注意什么問題呢？

y2?1，問是否存在被我們再來看看問題2：已知雙曲線的方程為x?22點M(1,1)平分的弦？若存在，求出弦所在直線方程；若不存在，說明理由。（片刻后）生3：（上臺板書）解：假設存在被點M平分的弦AB，設

yy2A(x1,y1),B(x2,y2)，則有 x1?1?1，x2?2?1，相減得：

22222?x1?x2??x1?x2???y1?y2??y1?y2??0，2因為M?1,1?為AB的中點，所以有： x1?x2?2,所以kAB?y1?y2?2，y1?y2?2，故所求直線l的方程為y?2x?1。

x1?x2師：還是用“點差法”先求直線斜率，過程和問題1完全類似。那么是否無論題目中是橢圓或者雙曲線，對此類問題都是這樣求解的呢？

3、辨析錯誤，歸納結論

生4：老師，我通過畫圖，發(fā)現直線y?2x?1跟已知雙曲線沒有交點，是不是我畫圖不準確??？不過我畫了好幾遍呢。會不會是這樣的直線根本就不存在呢？

師：真的是畫圖不準確嗎？大家再換個角度想想看，除了畫圖外，我們還有沒有別的辦法來判斷直線y?2x?1是否為我們要求的直線呢？

（片刻后）生5：可用“聯立法”并結合?來判斷。我的解法是：假設符合條件的直線存在，則它顯然不與y軸平行，故可設其方程為：y?1?k?x?1?，代入雙曲線方程化簡整理得：

?2?k?x??2k222?2kx?k2?2k?3?0

① ?又設弦的兩端點為A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1、x2是方程①的兩實根，2k2?2k?2，可解得k?2，但此時方程①中由韋達定理有x1?x2?2k?2???8?0，說明直線與雙曲線無交點，故被點M(1,1)平分的弦不存在。

師：很好！剛才兩位同學都很善于思考：一位同學通過畫圖發(fā)現了直線與雙曲線無交點；另一位同學用代數方法驗證了所求直線y?2x?1與雙曲線確實沒有公共點，即符合題意的直線不存在，這就啟示我們以后在解決直線與圓錐曲線位置關系的相關問題時，要注意運用?對所求得結果進行檢驗。同學們再考慮一下，前面的問題1是否也需要驗證??0？

生6：需要。經過驗證，??0成立，說明所求直線x?2y?8?0符合題意。

x2y2??1內部，生7：可不需驗證??0。因為點M(4,2)顯然在橢圓

369故過點M的直線x?2y?8?0與橢圓必定有兩個交點。

師：假如點M在橢圓的外部呢？

生7：這時點M不可能是橢圓的弦的中點，這樣的直線不存在。

師：問題2是否也可以不驗證??0而只需通過點M與雙曲線的位置關系來判斷呢？也就是說中點弦的存在是否只與中點（定點）的位置有關呢？（思考片刻后）生7：可以。如果點M在雙曲線的內部，那么以該點為中點的弦一定存在，此時不需驗證?；如果點M在雙曲線的外部（如問題2），那么以該點為中點的弦可能存在也可能不存在，此時必須驗證??0。師：歸納得很好，操作性很強。以后再求解此類問題時，我們可先用“點差法”求直線斜率再驗證??0是否成立，也可通過定點與橢圓、雙曲線的位置關系來判斷以定點為中點的直線是否存在。不過對于解答題，從考試得分的角度看，還是借助于判別式判斷較為穩(wěn)妥。

4、深入探究，正本清源 生3：老師，我還是不明白，為什么在問題2中直線y?2x?1不符合題意，卻又能夠被我們用“點差法”求出來？ 師：問得好，我們在學習中就需要這種“打破砂鍋問到底，不達目的不罷休”的精神。下面請大家繼續(xù)探究，一起來解決這個問題好嗎？（學生分組進行討論，教師給予適當指導，最后教師進行總結）

師：對于問題2，直線與雙曲線的交點A(x1,y1),B(x2,y2)的坐標需要滿足方程組（Ⅰ）；而使用“點差法”求斜率時，A(x1,y1),B(x2,y2)兩點坐標只需滿足方程組（Ⅱ）。其中：方程組（Ⅰ）

(y1?y2)(y1?y2)?2y12?x??1(x?x)(x?x)??0?1212?122??2?2y2?x1?x2x2??1；??1 方程組（Ⅱ）??22???x1?x2?1?y1?y2?2?1?2???y1?y2?1??2顯然方程組（Ⅰ）的解必然滿足方程組（Ⅱ），而反之卻不一定滿足。問題2中方程組（Ⅱ）有解但方程組（Ⅰ）卻無解，也就是滿足條件的點A,B并不存在。而在用“點差法”求解的過程中對坐標的要求降低（只需滿足方程組（Ⅱ）即可），因此會出現增根的現象。故“點差法”只是求中點弦的必要條件，必須還要驗證是否符合題設條件。

5、留下問題，課后探究

探究到這里，很快就要下課了。為進一步激發(fā)學生的學習興趣，鼓勵他們積極思考，我又向學生提出了一個思考題，讓學生帶著問題走出課堂。師：本節(jié)課，我們主要研究了利用“點差法”求解以定點為中點的弦所在的直線方程問題。通過大家的努力，不僅掌握了用“點差法”求直線斜率的方法，而且了解到中點弦是否存在只與中點（定點）的位置有關，并對于所求結果是否為增根找到了兩種檢驗方法。希望同學們牢記“點差法”要訣：“設點作差，驗證?”。另外，使用“點差法”，我們還可以證明與橢圓、雙曲線的中點弦相關的一些有用的結論，如：若AB是橢圓x2y2?2?1(a?b?0)中不平行于坐標軸的弦，M為弦AB的中點，則2abkOM?kABb2??2；在雙曲線中也有類似結論，建議同學們課后進一步探究。

a?教后反思?

利用“點差法”求解以定點為中點的弦所在的直線方程，是在學習完圓錐曲線的相關內容后的一節(jié)解析幾何習題課。本節(jié)課從常見的兩道例題入手，從引導學生發(fā)現問題起，自然引出了橢圓、雙曲線的中點弦是否存在的問題，并讓學生直接參與探究過程。通過對例題的講評，糾錯，教師恰當點撥引導，學生活動積極充分，使學生在親身體驗中不僅加深了對橢圓、雙曲線知識的認識，而且能夠進一步理解和掌握解析幾何的基本思想方法，使學生在學習數學的過程中培養(yǎng)了思維能力。特別是在探究的過程中突出了數形結合的思想方法，學生既有從形入手，觀察圖形，并大膽猜想得出規(guī)律的；也有從數入手，定性分析，用代數計算驗證結論的，做到了既重幾何直觀又重代數推理，使之有機融合，條理化的呈現，探究逐步深入。最后把對橢圓、雙曲線中點弦問題的研究推向一般化，不僅實現了教學任務，而且所得結論對于學生系統掌握直線與圓錐曲線的中點弦問題具有一定的指導意義。

高中數學課程標準明確指出：數學探究是貫穿于整個高中數學課程的重要內容。對教師來說，探究什么？如何探究？在探究過程中教師和學生分別扮演什么樣的角色？??，等等問題，值得我們教師進行深層次的思考。通過本次教學嘗試，我深刻體會到對習慣于“照本宣科”、灌輸式教學的我們來說，要充分相信學生的智慧和能力。與其教師講得口干舌燥，部分學生無動于衷；不如調動學生直接參與，讓學生親身體驗探究學習的過程，從而激發(fā)學生的學習積極性和主動性，使學生在教學中由被動的知識接受者轉變成為知識的共同建構者。與此同時，注意充分發(fā)揮教師在探究學習中的支持與引導作用，做到教學相長。

二OO八年十一月

第三篇：蘇教五語21《諾貝爾》教學設計

《諾貝爾》教學設計

教學目標：

1．正確、流利、有感情地朗讀課文。2．學會本課生字，理解由生字組成的詞語。

3．情為主線，讀中悟情，引領學生揣摩人物的內心世界，憑借課文語言材料，了解諾貝爾發(fā)明炸藥的艱辛歷程。

4.體會諾貝爾在發(fā)明炸藥過程中雖歷經失敗、痛苦，但毫不氣餒，決不放棄自己的追求，直到成功的鍥而不舍的精神。教學重難點：

透過語言文字深刻體會諾貝爾雖歷經失敗、痛苦，但毫不氣餒，決不放棄自己的追求，直至成功的鍥而不舍的精神。

前置學習活動：自學生字新詞、讀熟課文，搜集諾貝爾的資料 教學時間：一課時

教學過程

一、課前交流 導入新課。

1、播放中國作家莫言獲諾貝爾文學獎的片段。

師：我們先來看段視頻，（播放片段）看了剛才的視頻，你知道了一件什么事？那你知道頒獎儀式在哪里舉行嗎？為什么？什么時間頒獎？為什么？

諾貝爾獎是怎么來的呢？這節(jié)課我們繼續(xù)來學習有關諾貝爾的一篇課文。

2、看老師板書課題，齊讀課題。

3、過渡語：諾貝爾是一個發(fā)明家，他這一輩子發(fā)明了好多東西。而他最主要的發(fā)明就是炸藥，那他都發(fā)明了那些炸藥呢？請同學們到課文中找一找，看誰最先找到，然后告訴老師。

二、質疑討論，提綱挈領。

1、過渡：我們知道，炸藥是一種非常危險的東西，那諾貝爾為什么要冒著生命危險來研究和發(fā)明炸藥呢？請同學們自由朗讀課文的3至9自然段，說說他為什么要發(fā)明炸藥。生自由讀書。

2、交流：（誰已經發(fā)現，來讀一讀？）

師：你真會讀書，一下子就找到了，老師對你的要求再高一點，你看你能不能用“為了??他發(fā)明了??炸藥”這樣的句式來概括地說呢？

生1：他為了一下子把大山劈開，他發(fā)明了液體炸藥。點評：咱同學真聰明，老師一教他就會了。誰能繼續(xù)用這樣的句式來說？ 生2：為了能夠安全運輸他發(fā)明了黃色炸藥，也就是固體炸藥。

師：把咱同學說的這些 “為了”匯成一句話，那就是他本人曾經說過的： 出示：我的理想是為人類過上更幸福的生活而發(fā)揮自己的作用。齊讀

三、圈點劃注，感受人物。

1、發(fā)明炸藥這段歷程是諾貝爾生命中最重要的部分，作為科學家，他身上有著怎樣的精神品質呢？請同學們繼續(xù)默讀課文3到9自然段，找出相關的語段標畫下來，看從這些地方你能感受到一位怎樣的諾貝爾，把你想到的詞語寫在文章空白處。（出示讀書要求）

生開始邊讀邊劃邊寫——師巡視，圈點劃注是我們讀文章的一種好的方法。俗話說，不動筆墨不讀書。對文章進行圈點劃注，表示在這里我們思考過，有過收獲，有過困惑。

找學生到黑板上寫下能夠表現諾貝爾品質的詞語。（精益求精、堅持不懈、毫不氣餒、目標專

一、舍生忘死、無私奉獻、百折不撓??）

2、交流：先同桌交流，再班內交流，如果選一個詞，哪一個？什么叫毫不氣餒？（一點兒也不放棄）

3、課文中哪個句子寫出了諾貝爾的“毫不氣餒”？

生讀：“諾貝爾的弟弟被炸死，父親被炸成殘廢，但諾貝爾毫不氣餒。” 師：說說你的理解？讀出你的理解。

剛才這位同學順著這個詞向前讀，就讀出了毫不氣餒的含義，這叫聯系前文，我們再聯系下文，瞻前顧后的讀，看從后面哪里還可以讀出諾貝爾的毫不氣餒？

生讀:經過四個年頭幾百次的失敗。

四年來，諾貝爾經歷了多少次失敗，已無從記起，但一次失敗了，他——；十次失敗了，他——；一百次失敗了，他還是——；三百次失敗了，他仍然是——??

師：讓我們帶著這種理解再來讀這句話。出示句子

師：我們剛才讀的這兩句話都寫得很概括，但卻包含了諾貝爾太多的艱辛和傷痛。如果我們設身處地的想想再讀時，就還能讀出毫不氣餒這個詞更深的內涵。比如：當我們讀到“實驗室在一聲巨響中化為灰燼”時，我們聯系生活實際就會想到，實驗室里的什么都被炸沒了？

出示：實驗室爆炸了，諾貝爾內心痛楚萬分，——沒有了，——沒有了，——也沒有了??但是，他還有——還有——還有——

小結：對呀，從這里我們就又讀出了 “毫不氣餒”的含義：那就是——即使什么都沒了，但只要信心還在、理想還在，一切就都可以從頭再來！同學們你看，我們就這樣瞻前顧后、設身處地地讀著想著，毫不氣餒這個詞就被我們讀出了豐厚的內涵。這種讀書法同學們今后可以經常用。

就在這不放棄的堅持中，他終于有所收獲了。老師引讀：（到1867年的秋天，終于制造出??這種炸藥必須引爆后才能爆炸。為此，諾貝爾又發(fā)明了??從此??）

也就在這不放棄的堅持中，諾貝爾向著自己的理想挺進，他的理想就是——生齊讀。

4、重點句段8和9 也就在這不放棄的堅持中，他又發(fā)明了爆炸力更大的炸藥。課文中的哪兩個自然段寫到了這個內容？指名讀，生點評。（學生評價——

師：我們要想把這兩段讀好，只要耳中有聲，腦中有畫面就行。說說你耳中仿佛聽到了什么？把它讀出來。（巨大的爆炸聲；成功的歡呼聲；人們的驚訝聲；導火線燃燒的嘶嘶聲；）

如果你是攝像師，你的鏡頭會聚焦在哪些畫面上？（火星慢慢接近炸藥；他的雙眼；他沖出實驗室大喊成功；實驗室爆炸；）

在這些場面中，哪個場面最令你震撼？為什么？ 再指名讀。點評。

師：讓我們一起有聲有色地讀這兩段。師領后生齊讀。師：他，就是諾貝爾，同學們，你們說，他，是怎樣的諾貝爾？

生齊說：他是堅持不懈的諾貝爾；他是舍生忘死的諾貝爾；他是毫不氣餒的的諾貝爾；他是百折不撓的諾貝爾；他是英勇無畏的諾貝爾??

四、總結延展，升華情感。

1、然而就是這樣的諾貝爾，1896年卻在意大利逝世了，臨終時，他立下遺囑。同學們讓我們捧起書，挺直腰干，一起恭恭敬敬地朗讀諾貝爾留下的臨終遺囑吧。

出示臨終遺囑，生齊讀。

這份遺囑是他留給世界的一份永恒的財富。雖然他已離去，但是他仍然還在為人類過上更幸福的生活而發(fā)揮著自己的作用。

2、然而，就是這樣一個科學家，他的命運卻是非?？部赖?，出示他的坎坷經歷。老師感情敘述。諾貝爾出生時家庭因一場大火破產,他父親曾擔心他活不長,因為他似乎連呼吸和吃奶的力氣都沒有,幼年一直生活在病弱的陰影中。諾貝爾的學校生活僅止于小學。他生活儉樸，一生在艱苦中度過，而且大部分時間忍受著疾病的折磨。他甚至從來沒有請人畫過肖像，目前僅存的一幅肖像是他死后才畫的。諾貝爾一生未婚,沒有子女。諾貝爾臨終時，沒有一個親友在身邊。他死后，墓室修建得非常簡樸。師：同學們，知道了諾貝爾的人生經歷后，你覺得他幸福嗎？ 生：自由回答，有理即可。

3、師：其實，無論你認為他幸與不幸，有一個事實是永遠不可改變的：那就是他的近400項發(fā)明，一直在推動著社會的發(fā)展與進步，而他所設立的諾貝爾獎，也一直在引導著無數的精英們不斷的為世界的進步與發(fā)展貢獻著自己的才智。

4、同學們，那就讓我們把諾貝爾說過的這句這句關于他理想的話，再替他鏗鏘有力的說一遍吧，齊讀——我的理想是為人類過上更幸福的生活而發(fā)揮自己的作用。

5．最后，讓我們以這句諾貝爾的名言來結束這節(jié)課。

（出示）：生命，那是自然付給人類去雕琢的寶石。我的理想是為人類過上更幸福的生活而發(fā)揮自己的作用。

——諾貝爾 孩子們，記住這句話，并用你的生命去努力實踐這句話吧！這是向諾貝爾表達的最崇高敬禮！6．向所有為了人類進步而獻身科學研究的人致敬！

在科學上沒有平坦的大道，只有不畏艱險沿著陡峭山路攀登的人，才有希望達到光輝的頂點。——馬克思

五、布置作業(yè) 小練筆：

利用本課提供的材料，為諾貝爾寫一篇一百多字的小傳。讀一讀曾獲得諾貝爾獎的人的故事，寫一篇讀后感在讀書筆記上。

板書設計

諾貝爾

發(fā)明炸藥 熱愛科學

熱愛人類

設立諾貝爾獎 無私奉獻 教學反思

《諾貝爾》是一篇寫人的文章，重點寫了諾貝爾在炸藥方面的巨大成就和他將大部分遺產捐獻出來，設立諾貝爾獎金的事，贊揚了諾貝爾在發(fā)明炸藥的過程中雖歷經失敗與痛苦，但毫不氣餒、鍥而不舍的精神。

在教學時，我注重對零散的材料的整合。抓住諾貝爾“發(fā)明炸藥”和“設立獎金”兩個要點對文章進行了重組。在“發(fā)明炸藥”這一部分，從諾貝爾在炸藥方面的一系列成就，到他和他的家族為了發(fā)明炸藥所做出的巨大犧牲，再到他發(fā)明炸藥的初衷是為工人減輕勞動強度。重點以諾貝爾在實驗室里親自點燃導火線一事為例，讓學生真切地感受到諾貝爾為了研制炸藥，將個人生死置之度外，他是如此執(zhí)著，這種無私奉獻的精神是多么可貴??！讓學生感受到諾貝爾不僅是一位成就巨大的科學家，他更是一位品德高尚、具有無私奉獻精神的偉大人物。

教學中對課文進行這樣的重組，目的是為了將最有感染力的材料凸現出來，突出人物的主要品質，使人物更加鮮明。從實際教學效果看，成效顯著，達到了預期效果。

第四篇：(no.1)2013年高中數學教學論文 數列通項公式的求解策略 新人教版

知識改變命運

百度提升自我

本文為自本人珍藏

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僅供參考

an?1?pan?q?r型數列通項公式的求解策略——分 消 化 迭 歸

由遞推公式求數列的通項公式是數列中的常見題型,也是高考考察的熱點.本文就遞推關系為an?1?pan?q?r(p,q,r為非零常數)的數列通項公式的求法(或證法),談以下幾種求解策略,僅供nn參考.例 數列?an?中，a1?56，an?1?13an?12n?1(n?N)，求數列?an?的通項公式.?

分析 構造等比數列是求解該題的有效途徑.策略1 分——將確定x的值.解法1 由an?1?13an?12n?112n?1拆分成兩部分,分配給an?1與an.構造新數列?an???x?,由待定系數法n?2?, 可設an?1?x2n?1?1x11?x?a?a??n.a?, 即n?1n?nn?3623?2?由x6223?1n?12n?1,解得x?3.∴an?1?32n?1?31?3?3??a?a?a?, ∴數列是以 ?n1?nn?n?23?2?2??32n??為首項,以13為公比的等比數列.∴an?2?1?????3?3?n?1??23n, ∴an?32n?23n.11?an?1?an?n?1?1?32策略2 消——由?,消去n?1生成新的等比數列.21?a?1a?nn?1n?32?11?an?1?an?n?1???(1)??32解法2 由題意，?，1?a?1a?,n?2?(2)nn?1n?32?12(1)－(2)×,得an?1?12an?1?1?a?a,n?2.n?1??n3?2?∴數列?an?1???1111?an?是以a2?a1?為首項,為公比的等比數列.2932?n?1∴an?11?1??an???29?3?1?13n?1??(3)將(1)式代入(3)式,整理得an?32n?23n.用心 愛心 專心 1

知識改變命運

百度提升自我

策略3 化——將解法3 將an?1?n1213n?1化為常數.12n?1an?兩邊同乘以22n?1,得2n?1?an?1?23?2?an?1.4n令bn?2?an,上式可化為bn?1?bn?1,即bn?1?3?2?bn?3?.∴數列?bn?是以b1?3??為

333首項,2為公比的等比數列.∴3b?3??4?2?n?1nnn3???2?2?2?3?????3?, ∴b?2??n?3??3?.?n即2n?a?2?32n?3?2?3?.∴a??n?2n?3n.策略4 迭——迭代法 解法4 ∵a?11?1n?1?13an?12n?1, ∴a1n?3an?1?12n?13?a?1a?3n?2?2n?1???2n32n?2?11?132?a?1??1???1a?1?1?1?13?12n?1?12n?11?1???3n?32n?2??32n?12n33n?3322n?232n?12n ?1111?11?13n?1a1?13n?2?22???3?12n?1?12n?113n?1???32??1?1?????3n?22232n?1?2n 13?111?12n?23n?13n?1?2?13n?2?122???3?12n?1?12n?3n?32n?21?33n.2策略5 迭——迭加法 解法5 ∵a111n?1?3an?12n?1, ∴an?1?3an?2n?1.∴a?1n??an?3a?1a????1?3?a?1?1?3?3?a?1?1?1n?1n?1?an?2??2?n?2?3an?3?????3n?2?a?2?31???3n?1a1 ?12n?1113?12n?1?32?12n?2???13n?2?122?3n??1?132?1???23???2n?3n.策略6 歸——數學歸納法 將本題中的“求數列?an?的通項公式”改為“證明 數列?an?的通項公式為a2n?32n?3n”,可采用此法證明如下：

解法6(證明)(1)當n?1時,a31?2?23?56，結論成立.(2)假設當n?k時, a3k?2k?23k.用心 愛心 專心 2

知識改變命運

百度提升自我

那么,當n?k?1時,ak?1?1ak?1k?1?121321?32?1???????.?kkk?1k?1k?1k?1k?k?123?23?223223.a2?n?32n?3n對任意n?N都成立.用心 愛心 專心 3 3所以當n?k?1時,結論也成立 由(1)(2)可知,通項公式

第五篇：高中數學教學中出現的問題與處理策略

高中數學教學中出現的問題與處理策略

經過幾年來高中新課程的教學實踐，我在教學中遇到了一些問題與困惑，感到教師應對教學與高考的壓力加重，自身專業(yè)素質的要求增高；另一方面學生學業(yè)負擔加重，對學生學習的要求增多。如何把握好教學要求，做到不超出課標要求，不加重學生負擔，而又要保質保量地完成教學任務呢？本文從新課程教學中出現的問題，對教學問題的處理策略兩方面談談自己的看法，與大家一起探討。

一、新課程教學中出現的問題

１、教材內容多，教學時間緊

高中數學課程分必修和選修。必修課程由5個模塊組成；選修課程有4個系列，其中系列

1、系列2由若干個模塊組成，系列

3、系列4由若干專題組成；每個模塊2學分(36學時)，每個專題1學分（18學時），每2個專題可組成1個模塊。5個必修模塊基本涵蓋了以往課程的內容，而這4個選修系列中不僅涉及了以往課程內容，大部分都是以往課程中沒有的。在總的教學時間并沒增加的情況下，教學內容偏多和教學課時之間的矛盾日益突出。與原教材相比，現在一個學期學兩本必修，高一年級就要學4本必修，老師們普遍認為不能在規(guī)定時間內很好地完成教學要求，即使能在規(guī)定時間內完成，學生常常是囫圇吞棗，掌握得不好。學生負擔過重，對知識的理解“蜻蜓點水”，學得不深入，掌握不牢固。另外高考基本是兩年上完新課，一年復習，許多學生在高一不久數學學習就跟不上，造成更多數學差生，數學平均水平下降。

2、教材內容知識銜接不好

一方面，由于初中的課程標準與高中接軌不嚴密，很多內容初中高中都沒有但又經常用到，導致有些知識脫節(jié)，初、高中銜接不好。如在高中新課程學習中需要應用一元二次方程根與系數的關系，十字相乘法、二元二次方程組的解法，立方和差、三數和的平方、兩數和與差的立方等知識與方法，而這些知識和方法在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中已刪去。

另一方面，按照課程標準的邏輯體系教學感到知識的銜接困難。如在《必修１》中許多集合問題及函數定義域問題的學習中，需要運用一元二次不等式的有關知識，而這一內容在《必修５》中才出現?！侗匦?》中“平面解析幾何初步”中列出了有關空間直角坐標系的內容，不僅與章節(jié)名稱不符，而且這里的空間直角坐標系與《選修2-1》中“空間向量與立體幾何”相關內容相隔太遠。

另外，部分高中數學內容與其他學科知識銜接不好。一方面，其他科目用到的數學知識，數學知識沒有學到，例如，高一物理（必修）力的分解問題，涉及到數學中的三角函數，而三角函數問題在高一下（必修4）才會學到。另一方面，數學用到其他科目的知識，其他科目還沒學到，例如《必修1》用到物理中的物體運動原理，學生沒有學到，無法解決；再如《必修4》在講函數 的圖象時，提到物理中的簡諧運動、交流電等都與物理不同步。

3、“螺旋式上升”中度的把握

新課標教材體系的一個顯著特點是“螺旋式上升”?！奥菪缴仙蹦芨鶕W生不同階段的認知水平，使本學科內容不斷地拓展與加深，并在知識的學習上有良好的復習和強化作用。實踐發(fā)現這樣出現一些弊端：淡化了數學的邏輯體系，造成了本學科內容的臃腫和不必要的重復。螺旋式上升使得老師難以把握其難度，處理不好則出現“只見螺旋，不見上升”的現象。

例如，在《必修1》第一章學完后，有關對稱問題、平移問題是否需要學生掌握，課標沒有要求，而習題中卻常常涉及，第一章教學的“度”如何很好把握？《必修2》解析幾何與一元二次不等式、二次函數的聯系非常密切，課標安排的《必修1》中的函數知識儲備明顯不足。又如高一學“直線與圓”，高二學“圓錐曲線”就叫“螺旋上升”，放在一個學期學難道就不叫“螺旋上升”嗎？過去的一個整體現在被分散，當第二次學習到時前面已經忘得差不多了，教學成本增大。

4、教材、習題、教輔不嚴謹、不規(guī)范且錯誤較多，三者之間不完全配套

教材有的地方編寫會引起學生的誤解，如《必修1》只規(guī)定了正數的分數指數冪的意義，那么負數的分數指數冪是不是一定沒有意義呢？還是一看到分數指數冪，我們就認為底數大于零呢？那么冪函數 的定義域是什么？如果是全體實數，則會出現負數的分數指數冪。又如《必修１》，在“用二分法求方程的近似解”這一節(jié)中，出現了兩種答案不同的解法，一種是判斷區(qū)間長度是否小于精確度 得近似解，另一種是判斷區(qū)間內所有值的近似值是否一致得近似解?！熬_度”與“精確到”很容易混淆。

教師用書部分習題、練習題的解答不夠全面甚至出現解答錯誤，例題和習題難度差距過大。教輔資源不僅缺少，印刷質量上和內容體系的編排上，很多現有的教輔材料與新教材不配套。有些教輔中的具體的題目按老教材的內容編寫，特別是往屆高考試題占據很大篇幅，很大程度上影響了教輔的質量。

5、探究合作學習實施有困難

新課標明確要求教師應充分發(fā)揮其主導作用，倡導“自主，合作，探究”的學習方式，主張將知識的學術形態(tài)轉變?yōu)榻逃螒B(tài)。這種探究合作學習為數學課堂教學帶來了活力，也有助于學生素質的培養(yǎng)和潛能的提高。

那么什么內容應該值得探究？是不是新知識點的產生都要探究？如果泛泛使用就會產生許多副作用，走向另一個極端。

其一，學生滿足于知識的淺表層的學習，缺乏一定的深度，教師滿足于課堂的熱鬧，缺乏對學生深入的引導。由于學生能力參差不齊，對學習方法不習慣，因而在“自主，合作，探究”的學習過程中，缺乏自治力、適應性不強。

其二，探究是需要時間成本的。有時探究一個看似簡單的問題，通過情境引入、分組合作、討論探究、歸納小結等環(huán)節(jié)，一堂課時間已所剩不多，有時甚至探究好長時間也沒什么結果，例題教學和解題訓練時間被擠占，學生解題能力下降，課堂教學低效甚至無效。

其三，還有少數學生思維能力不是很強，在這種合作學習的熱烈氛圍中顯得格格不入，容易演變出尖子生表演，其他學生當觀眾或隨聲附和的現象，跟不上節(jié)拍或盲從別人，成績反而不斷下降。

二、對教學問題的處理策略

1、如何按時完成教學計劃和任務？

策略：吃透課程標準，準確把握內容，更新教學觀念

對重點的傳統知識的拓廣要適當。對重點知識要多次呈現，逐步拓廣。比如函數教學就分了多次呈現并逐步加深，切忌在教學中按照總復習那樣一步到位。

對新增加的知識內容加強基礎訓練。新課標增加了一部分新的數學知識，有些新內容與高等數學有關，對這些內容在教學中不宜當作高等數學知識來講，只要讓學生認識基本思想即可。

對新教材中已刪除內容決不依戀。如果在所有版本教材中都未出現，教學中一般不要再撿回。如反三角函數與三角方程，指數方程和對數方程的解法，指數不等式和對數不等式的解法，線段的定比分點，已知三角函數值求角，極限等。

對新課標淡化的知識不宜引申。例如函數定義域、值域的求法，比如函數奇偶性。有的老師能夠講出6種求值域的方法，讓學生一個一個地反復操練，占用很多時間，其實不必要，中學遇到的函數基本上是連續(xù)的，只要我們知道最大值與最小值，它的值域就出來了，而最值問題可在后面通過求導輕松解決。

2、如何處理教材和知識的銜接問題？

策略：善于重組教材，調整個別內容，適時補充知識

我們要尊重教材，也要善于重組教材，使之更適合學生的實際。例如在《必修4》中，學完三角函數后，先講三角恒等變換，再進入平面向量的學習，然后是學習《必修5》中的解三角形，這樣安排以突出三角內容的連續(xù)性和整體性。而這樣調整并不是違背新課程標準精神的，我們研究發(fā)現，教材安排學完三角函數后，先講平面向量，再講三角恒等變換，只是為了利用平面向量證明兩角差的余弦公式。調整后我們用教材后習題方法證明了兩角差的余弦公式后，等學完向量，再用向量的知識來證明，就更能突出向量的優(yōu)勢了。

調整個別教學內容，以達到優(yōu)化教學的目的。例如，在《必修１》中學習集合之后，我們把《必修５》中的一元二次不等式移到這里教學，但是并非全章照搬，只介紹幾類簡單的不等式的解法，目的是只有學了常用的幾類不等式的解法之后，才可以解決許多集合問題及函數定義域的問題。適時補充知識，做好初高中知識的銜接。一種做法是像部分學校編寫初高中的銜接教材，在高一上學期初安排時間先上，然后進入新課程的學習。另一種做法是在需要的時候再給予補充，例如，《必修１》教學中，研究 的單調性問題，則把一些乘法公式補充進來；講函數與方程時，補充一元二次方程根與系數的關系等等。我認為需要的時候給予補充這種做法更有效，但我們必須明確，哪些地方應補充些什么內容，要適時適度，不能變相的增加難度。

３、如何處理教材中例題與習題及教輔資料？

策略：靈活處理例題，正確對待教輔，做到有效教學

教材中例題和習題都是固定的，但我們學生的情況是變化的，所以各項教學任務的實施，必須確保因材施教的原則。教師在備課的同時，也要對所教學生的認知水平有清晰的了解，對癥下藥才能藥到病除。有些例題，難度偏大，學生難以接受，我們應降低難度；而有些例題學生容易上手，我們則可適當拓展，補充相關題目；甚至有的例題，我們可以根據學生的情況大膽刪去。我們還可以把例題進行適當改改后進行教學，注重例題的變式訓練和拓展提高。

教輔資料中的編排有些不適當。教師應引導學生科學地利用教輔資料。對新課程不作要求的題目，應指導學生刪去不做；對新課程需淡化的題目，應引導學生少做或降低難度；對知識超前的題目，應提醒學生以后再做。

4、如何正確對待探究合作學習？

策略：講授法與探究合作學習相結合，教師主導與學生主體相結合

在課堂教學中，對于教學方法的選擇，千萬不要人云亦云走極端，應該善于把傳統意義上的具有啟發(fā)性的“講授法”與新課程理念下的“探究合作學習”結合起來，在知識形成的探究過程中，解題思路的分析過程中，學生從“誤”到“悟”的體驗過程中，教師可以有效切入，適當應用“講授法”引導學生主動地形成知識，理清思路，辨析知識，從而形成完整的知識結構。

在課堂教學中，一方面我們應當尊重學生在學習中的主體地們，促進學生積極、主動地探究合作學習；另一方面，也要充分發(fā)揮教師的主導作用，探究問題的方式要精心準備，因人因材施教，積極引導，科學組織，必須關注學生的主體參與，師生互動。

總之，在新課程的實施中我們還會遇到許多問題和困惑，對于每個從事新教材教學的老師來說，都是一次挑戰(zhàn)。我們要認真學習新課標，研究新教材，善于“用教材來教”，而不是“教教材”，善于將先進的教學理念與傳統的教學思想相結合，善于在實踐中反思，在反思中實踐。