第一篇：如何理解方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義（大全）

如何理解方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義？ 隨機(jī)變量X的方差為:D(X)?E(X-E(X))2 ,方差的平方根D(X)稱為標(biāo)準(zhǔn)差，它描述隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望值的離散程度，描述隨機(jī)變量穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與分散的狀況。標(biāo)準(zhǔn)差大，則隨機(jī)變量不穩(wěn)定，取值分散，預(yù)期數(shù)學(xué)期望值的偏離差大，在量綱上它與數(shù)學(xué)期望一致。

在實(shí)際問題中，若兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y,且E(X),E(Y)E(X)?E(Y)或E(X)與E(Y)比較接近時(shí)，我們常用D(X)與D(Y)來比較這兩個(gè)隨機(jī)變量。方差值大的，則表明該隨機(jī)變量的取值較為離散，反之則表明他較為集中。同樣，標(biāo)準(zhǔn)差的值較大，則表明該隨機(jī)變量的取值預(yù)期期望值的偏差較大，反之，則表明此偏差較小。

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差有何區(qū)別和聯(lián)系？

1.隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)描述的是隨機(jī)變量X的平均值，而方差D(X)刻畫的是隨機(jī)變量X與數(shù)學(xué)期望E(X)的平均離散程度。方差D(X)大，則隨機(jī)變量X與數(shù)學(xué)期望E(X)的平均離散程度大，隨機(jī)變量X取值在數(shù)學(xué)期望附近分散；方差D(X)小，則隨機(jī)變量X與數(shù)學(xué)期望E(X)的平均離散程度小，隨機(jī)變量X取值在數(shù)學(xué)期望附近集中。

2.方差D(X)?E(X-E(X))2是用數(shù)學(xué)期望來定義的，方差D(X)是隨機(jī)變量X函數(shù)(X-E(X))的數(shù)學(xué)期望，所以，由隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式我們得到： 2（1）若X為離散型，則有（2.3）（2）若X為連續(xù)型，則有（2.4）

3.在實(shí)際問題中，我們經(jīng)常用D(X)?E(X-E(X))2來計(jì)算方差。由此可以得到：隨機(jī)變量X與數(shù)學(xué)期望E(X)不存在，則方差一定不存在。4.若隨機(jī)變量X與數(shù)學(xué)期望E(X)存在，方差也可能不存在。

切比雪夫不等式的意義是什么？有哪些應(yīng)用？

切比雪夫不等式有兩種等價(jià)形式的表達(dá)形式：P(X?E(X)??)?1?P(X?E(X)??)?1?D(X)D(X)D(X)?2或?2。它反映了隨機(jī)變量在數(shù)學(xué)期望的?鄰域的概率不小于。如果隨機(jī)變量的分布不知道，只要知道它的數(shù)學(xué)期望和方差，我們就可以利用2?切比雪夫不等式估計(jì)概率。它的應(yīng)用有以下幾個(gè)方面：

（1）已知數(shù)學(xué)期望和方差，我們就可以利用切比雪夫不等式估計(jì)在數(shù)學(xué)期望的?鄰域的概率。

（2）已知數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)確定的概率，利用切比雪夫不等式求出?，從而得到所需估計(jì)區(qū)間的長(zhǎng)度。（3）對(duì)n重貝努力試驗(yàn)，利用切比雪夫不等式可以確定試驗(yàn)次數(shù)。（4）它是推導(dǎo)大數(shù)定律和其他定理的依據(jù)。

解題的具體步驟：

首先，根據(jù)題意確定恰當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量X，求出數(shù)學(xué)期望E(X)與D(X)； 其次，確定??0的值，最后，由切比雪夫不等式進(jìn)行計(jì)算和證明。

注:

（一）相關(guān)系數(shù)的含義

1.相關(guān)系數(shù)刻畫隨機(jī)變量 X和Y之間的什么關(guān)系？（1）相關(guān)系數(shù)也常稱為“線性相關(guān)系數(shù)”。這是因?yàn)?，?shí)際相關(guān)系數(shù)并不是刻畫了隨機(jī)變量X和Y之間的“一般”關(guān)系的程度，而只是“線性”關(guān)系的程度。這種說話的根據(jù)之一就在于，當(dāng)且僅當(dāng)X和Y有嚴(yán)格的線性關(guān)系是才有|?XY|達(dá)到最大值1.可以容易舉出例子說明：即使X和Y有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系但非線性關(guān)系，|?XY|不僅不必為1，還可以為0.（2）如果0?|?XY|?1，則解釋為：隨機(jī)變量X和Y之間有一定程度的“線性關(guān)系而非嚴(yán)格的線性關(guān)系”

2.相關(guān)系數(shù)?XY刻畫了隨機(jī)變量X和Y之間的“線性相關(guān)”程度.3.|?XY|的值越接近1, Y與X的線性相關(guān)程度越高;4.|?XY|的值越近于0, Y與Y的線性相關(guān)程度越弱.5.當(dāng)|?XY|?1時(shí), Y與X的變化可完全由X的線性函數(shù)給出.6.當(dāng)?XY?0時(shí), Y與X之間不是線性關(guān)系.7.上面談到的“線性相關(guān)”的意義還可以從最小二乘法的角度解釋：（p95）

2設(shè)e?E[Y?(aX?b)],稱為用aX?b來近似Y的均方誤差,則有下列結(jié)論.設(shè)D(X)?0,D(Y)?0, 則a0?小.cov(X,Y)D(X),b0?E(Y)?a0E(X)使均方誤差達(dá)到最注: 我們可用均方誤差e來衡量以aX?b近似表示Y的好壞程度, e值越小表示aX?b2與Y的近似程度越好.且知最佳的線性近似為a0X?b.而其余均方誤差e?D(Y)(1??XY).從這個(gè)側(cè)面也能說明.|?XY|越接近1, e越小.反之, |?XY|越近于0, e就越大.Y與X的線性相關(guān)性越小.8.由于相關(guān)系數(shù)只能刻畫隨機(jī)變量線性關(guān)系的程度，而不能刻畫一般的函數(shù)相依關(guān)系的程度。在概率論中還引進(jìn)了另外 相關(guān)性指標(biāo)，以補(bǔ)救這個(gè)缺點(diǎn)。但是，這些指標(biāo)都未能在應(yīng)用中推開。究其原因，除了這些指標(biāo)在性質(zhì)上比較復(fù)雜外，還有一個(gè)重要原因：在統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用上，最重要的而為分布是二維正態(tài)分布。而對(duì)二維正態(tài)分布而言，相關(guān)系數(shù)是X和Y的相關(guān)性的完美的刻畫，沒有上面指出的缺點(diǎn)。

第二篇：方差和標(biāo)準(zhǔn)差

4.4

方差和標(biāo)準(zhǔn)差

〖教學(xué)目標(biāo)〗

◆1、了解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念.◆2、會(huì)求一組數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，并會(huì)用他們表示數(shù)據(jù)的離散程度．

◆3、能用樣本的方差來估計(jì)總體的方差．

◆4、通過實(shí)際情景，提出問題，并尋求解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力．

〖教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)〗

◆教學(xué)重點(diǎn)：本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是方差的概念和計(jì)算。.◆教學(xué)難點(diǎn)：方差如何表示數(shù)據(jù)的離散程度，學(xué)生不容易理解，是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn).〖教學(xué)過程〗

一、創(chuàng)設(shè)情景，提出問題

甲、乙兩名射擊手的測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

甲命中環(huán)數(shù)

乙命中環(huán)數(shù)

①請(qǐng)分別

算出甲、乙兩名射擊手的平均成績(jī)；

②請(qǐng)根據(jù)這兩名射擊手的成績(jī)?cè)趫D中畫出折線圖；

二、合作交流，感知問題

請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，思考問題：

①、甲、乙兩名射擊手他們每次射擊成績(jī)與他們的平均成績(jī)比擬，哪一個(gè)偏離程度較低？

②、射擊成績(jī)偏離平均數(shù)的程度與數(shù)據(jù)的離散程度與折線的波動(dòng)情況有怎樣的聯(lián)系？

③、用怎樣的特征數(shù)來表示數(shù)據(jù)的偏離程度？可否用各個(gè)數(shù)據(jù)與平均的差的累計(jì)數(shù)來表示數(shù)據(jù)的偏離程度？

④、是否可用各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方和來表示數(shù)據(jù)的偏離程度？

⑤、數(shù)據(jù)的偏離程度還與什么有關(guān)？要比擬兩組樣本容量不相同的數(shù)據(jù)的偏離平均數(shù)的程度，應(yīng)如何比擬？

三、概括總結(jié)，得出概念

1、根據(jù)以上問題情景，在學(xué)生討論，教師補(bǔ)充的根底上得出方差的概念、計(jì)算方法、及用方差來判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。

2、方差的單位和數(shù)據(jù)的單位不統(tǒng)一，引出標(biāo)準(zhǔn)差的概念。

〔注意：在比擬兩組數(shù)據(jù)特征時(shí)，應(yīng)取相同的樣本容量，計(jì)算過程可借助計(jì)數(shù)器〕

3、現(xiàn)要挑選一名射擊手參加比賽，你認(rèn)為挑選哪一位比擬適宜？為什么？

〔這個(gè)問題沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，要根據(jù)比賽的具體情況來分析，作出結(jié)論〕

四、應(yīng)用概念，穩(wěn)固新知

1、某樣本的方差是4，那么這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是。

2、一個(gè)樣本1，3，2，X，5，其平均數(shù)是3，那么這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是。

3、甲、乙兩名戰(zhàn)士在射擊訓(xùn)練中，打靶的次數(shù)相同，且中環(huán)的平均數(shù)X甲=X乙，如果甲的射擊成績(jī)比擬穩(wěn)定，那么方差的大小關(guān)系是S2甲

S2乙

4、一個(gè)樣本的方差是S=[〔X1—4〕2+〔X2—4〕2+…+〔X5—4〕2]，那么這個(gè)樣本的平均數(shù)是，樣本的容量是。

５、八年級(jí)〔５〕班要從黎明和張軍兩位侯選人中選出一人去參加學(xué)科競(jìng)賽，他們?cè)谄綍r(shí)的５次測(cè)試中成績(jī)?nèi)缦隆矄挝唬悍帧?/p>

黎明：　652

653

654

652

654

張軍：

667

662

653

640

643

如果你是班主任，在收集了上述數(shù)據(jù)后，你將利用哪些統(tǒng)計(jì)的知識(shí)來決定這一個(gè)名額？〔解題步驟：先求平均數(shù)，再求方差，然后判斷得出結(jié)論〕

五、穩(wěn)固練習(xí)，反應(yīng)信息

１、課本“課內(nèi)練習(xí)〞第１題和第２題。

２、課本“作業(yè)題〞第３題。

3、甲、乙兩人在相同條件下各射靶

（1

〕

次，每次射靶的成績(jī)情況如下圖．

（1

〕請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚?/p>

（2)請(qǐng)你就以下四個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析：

①

從平均數(shù)和方差相結(jié)．合看，誰的成績(jī)較好？

②

從平均數(shù)和命中

環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看，誰的成績(jī)較好？

③

從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢(shì)看，誰更有潛力？

六、通過探究，找出規(guī)律

兩組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5和101，102，103，104，105。

1、求這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。

2、將這兩組數(shù)據(jù)畫成折線圖，并用一條平行于橫軸的直線來表示這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察你畫的兩個(gè)圖形，你發(fā)現(xiàn)了哪些有趣的結(jié)論？

3、假設(shè)兩組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5和3，6，9，12，15。你要能發(fā)現(xiàn)哪些有趣的結(jié)論？

4、用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論來解決以下的問題：

數(shù)據(jù)X1，X２，X３，…Xn的平均數(shù)為a，方差為b，標(biāo)準(zhǔn)差為c。那么

①

數(shù)據(jù)X1＋３，X２＋３，X３＋３…，Xn＋３的平均數(shù)為，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為。

②

數(shù)據(jù)X1—３，X２—３，X３—３…Xn—３的平均數(shù)為，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為。

③

數(shù)據(jù)４X1，４X２，４X３，…４Xn的平均數(shù)為，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為。

④

數(shù)據(jù)２X1—３，２X２—３，２X３—３，…２Xn—３的平均數(shù)為，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為。

七、小結(jié)回憶，反思提高

１、這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念，方差的實(shí)質(zhì)是各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)。方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定。

２、標(biāo)準(zhǔn)差是方差的一個(gè)派生概念，它的優(yōu)點(diǎn)是單位和樣本的數(shù)據(jù)單位保持一致，給計(jì)算和研究帶來方便。

３、利用方差比擬數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的方法和步驟：先求平均數(shù)，再求方差，然后判斷得出結(jié)論。

八、分層作業(yè)，延伸拓展

１、必做題：作業(yè)本底頁。

２、選做題：

在某旅游景區(qū)上山的一條小路上有一些斷斷續(xù)續(xù)的臺(tái)階，如以下圖是其中的甲、乙段臺(tái)階路的示意圖〔圖中的數(shù)字表示每一級(jí)臺(tái)階的高度〕．請(qǐng)你用所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)量〔平均數(shù)、中位數(shù)、方差等〕進(jìn)行分析，答復(fù)以下問題：

（1

〕兩段臺(tái)階路每級(jí)臺(tái)階的高度有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

（2

〕哪段臺(tái)階路走起來更舒服？為什么？

（3

〕為方便游客行走，需要重新整修上山的小路，對(duì)于這兩段臺(tái)階路，在臺(tái)階數(shù)不變的情況下，請(qǐng)你提出合理的整修建議．

第三篇：數(shù)學(xué)：22.2《方差 標(biāo)準(zhǔn)差》同步練習(xí)(滬科版八年級(jí)下)

22.2方差 標(biāo)準(zhǔn)差 同步練習(xí)

1.數(shù)據(jù)4，5，6，7，8的平均數(shù)是___________，方差是_________.２．五個(gè)數(shù)1，2，3，4，a的平均數(shù)是3，則a =________，這五個(gè)數(shù)的方差是________.３．若已知一組數(shù)據(jù)：x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，方差為S，那么 另一組數(shù)據(jù)：3x1－2，?3x2－2，…，3xn－2的平均數(shù)為______，方差為______． ４．已知，一組數(shù)據(jù)x1,x2,……，xn的平均數(shù)是10，方差是2，①數(shù)據(jù)x1+3,x2+3,……，xn+3的平均數(shù)是__________,方差是_________，2

②數(shù)據(jù)2x1,2x2,……，2xn的平均數(shù)是__________,方差是____________，③數(shù)據(jù)2x1+3,2x2+3,……，2xn+3的平均數(shù)是_________,方差是_________.5.選擇題：樣本方差的作用是（）

A、估計(jì)總體的平均水平B、表示樣本的平均水平

C、表示總體的波動(dòng)大小D、表示樣本的波動(dòng)大小，從而估計(jì)總體的波動(dòng)大小

6．從甲、乙兩種棉苗中各抽10株，測(cè)得它們的株高分別如下：（單位：cm）

甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42

乙 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40

問：①哪種棉花的苗長(zhǎng)得高？ ②哪種棉花的苗長(zhǎng)得整齊？

7.甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語口語測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?/p>

甲組：769084868***

乙組：***97974

哪個(gè)小組學(xué)生的成績(jī)比較穩(wěn)定？

第四篇：樣本方差證明

一弛，你好！

樣本方差有2種表達(dá)方式：

S2

n1n??(Xi?)2-----（1）ni?1

1n

Sn?1?(Xi?)2-----（2）?n?1i?12

從理論上說這2種定義都是可行的，現(xiàn)實(shí)生活中更經(jīng)常使用方程（2），是因?yàn)榉匠蹋?）是總體方差真實(shí)值?2的無偏估計(jì)量，而（1）是有偏估計(jì)量。無偏性在應(yīng)用中非常重要，估計(jì)量只有無偏才能保證在樣本數(shù)目足夠大時(shí)無限趨近于真實(shí)值，估計(jì)才有意義。證明方程（2）的無偏性如下，思路是對(duì)估計(jì)量求期望，看是否等于總體方差：

n1E(Sn?1)?E[(Xi?)2]?n?1i?1

n1?E{?[(Xi??)?(??)]2}n?1i?1

nn12?E{?[(Xi??)?2?(Xi??)(??)?n(??)2}n?1i?1i?12

n1?{?E(Xi??)2?2nE(??)2?nE(??)2}n?1i?1

n1?{?E(Xi??)2?nE(??)2}n?1i?1

?212?{n??n()}n?1n

??2

證畢。

如果有問題，可隨時(shí)聯(lián)系我。

祝好！

陳謝晟

第五篇：方差 教案設(shè)計(jì)

方差 教案設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)示例1 第一課時(shí) 素質(zhì)教育目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生了解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差.(二)能力訓(xùn)練點(diǎn) 1.培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力.2.培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.(三)德育滲透點(diǎn)

1.培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、耐心、細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣.2.滲透數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，又反過來作用于實(shí)踐的觀點(diǎn).(四)美育滲透點(diǎn)

通過本節(jié)課的教學(xué)，滲透了數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象美及反映在圖像上的形象美，激發(fā)學(xué)生對(duì)美好事物的追求，岣哐???STRONG數(shù)學(xué)美的鑒賞力.重點(diǎn)難點(diǎn)疑點(diǎn)及解決辦法 1.教學(xué)重點(diǎn)：方差概念.2.教學(xué)難點(diǎn) ：方差概念.3.教學(xué)疑點(diǎn)：學(xué)生不易理解為什么要用方差去描述一組數(shù)據(jù)

第 1 頁 的波動(dòng)大小，為什么不可以用各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的來和來衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小呢?為什么對(duì)各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對(duì)值，而將其平方呢?對(duì)這些問題教師在剖析方差定義時(shí)要講清楚.4.解決辦法：教師要講清方差，標(biāo)準(zhǔn)差的意義，即它們都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的特征數(shù)，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，我們所研究的僅是這兩組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)相等，平均數(shù)相等或比較接近時(shí)的情況.教學(xué)步驟(一)明確目標(biāo)

前面我們學(xué)習(xí)了平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)，它們都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的量，這節(jié)課我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)衡量樣本(或一組數(shù)據(jù))和總體的另一類特征數(shù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其計(jì)算.這種開門見山式引入課題，能迅速將學(xué)生的注意力集中起來，進(jìn)入新課講解.(二)整體感知

對(duì)于一組數(shù)據(jù)來說，我們除了關(guān)心它的集中趨勢(shì)以外，還關(guān)心它的波動(dòng)大小.衡量這個(gè)波動(dòng)大小的最常用的特征數(shù)，就是方差和標(biāo)準(zhǔn)差.(三)教學(xué)過程

1.請(qǐng)同學(xué)們看下面的問題：(用幻燈出示)

第 2 頁 兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)直徑是40毫米的零件，為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中各抽出10件進(jìn)行測(cè)量，記錄

教師引導(dǎo)學(xué)生做出表格，觀察表里的數(shù)據(jù)和圖，提出問題：怎樣能說明在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規(guī)定方面，哪個(gè)機(jī)床做得好呢? 對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生會(huì)馬上想到計(jì)算它們的平均數(shù).教師可把學(xué)生分成兩級(jí)分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù).(請(qǐng)兩名同學(xué)到黑板計(jì)算)計(jì)算的結(jié)果說明兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米.這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生思考，這能說明兩個(gè)機(jī)床做的一樣好嗎?不能!我們?cè)儆^察上圖(給學(xué)生充分的時(shí)間觀察，找出左右兩圖的區(qū)別)從圖中看到，機(jī)床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較大，偏離40毫米線較多;機(jī)床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.這 說明，在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規(guī)定方面，機(jī)床乙比機(jī)床甲要好.教師說明：從上面看到，對(duì)于一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動(dòng)大小(即偏離平均數(shù)的大小).通過引例的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解為什么要研究數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小，為提出方差概念做好了準(zhǔn) 備.第 3 頁 2.方差概念

教師講解，為了描述一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，可以采用不止一種辦法，例如，可以先求得各個(gè)數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的絕對(duì)值，再取其平均數(shù)，用這個(gè)平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，通常，采用的是下面的做法：

設(shè)在一組數(shù)據(jù) 中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù) 的差的平方分別是，那么我們用它們的平均數(shù)，即用

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.一組數(shù)據(jù)方差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大.教師要剖析公式中每一個(gè)元素的意義，以便學(xué)生理解和掌握.在學(xué)生理解方差概念時(shí)，可能會(huì)提出疑問：為什么要這樣定義方差?(教師說明，在表示各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的倔離程度時(shí)，為了防止正偏差與負(fù)偏差的相互抵消)為什么對(duì)各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對(duì)值，而要將它們平方?(教師說明，這主要是因?yàn)樵诤芏鄦栴}里，含有絕對(duì)值的式子不便于運(yùn)算，且在衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的功能上，方差更強(qiáng)些)為什么要除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n?(是為了消除數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的影響).在學(xué)生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通過計(jì)算機(jī)床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，再根據(jù)理論說明哪個(gè)機(jī)床做得更好.教師范解

從 知道，機(jī)床甲生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑比機(jī)床乙生產(chǎn)的10

第 4 頁 個(gè)零件直徑波動(dòng)要大.這樣做使學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，又反過來作用實(shí)踐，不僅使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，而且培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).3.例1(用幻燈出示)已知兩組數(shù)據(jù)： 甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7 乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1 分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的方差.讓學(xué)生自己動(dòng)手計(jì)算，求平均數(shù)時(shí)激發(fā)學(xué)生用簡(jiǎn)化公式計(jì)算，找一名好學(xué)生到黑板計(jì)算.解：根據(jù)公式②(取)，有

從 知道，乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)波動(dòng)大.4.標(biāo)準(zhǔn)差概念

在有些情況下，需要用到方差的算術(shù)平方根

并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.它也是一個(gè)用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的重要的量.教師引導(dǎo)學(xué)生分析方差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別與聯(lián)系：

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差要比計(jì)算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致，有時(shí)用它比較方便.課堂練習(xí)教材P165中(1)、(2)(四)總結(jié)、擴(kuò)展

知識(shí)小結(jié)：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，使我們知道了對(duì)于一組數(shù)據(jù)，第 5 頁 有時(shí)只知道它的平均數(shù)還不夠，還需要知道它的波動(dòng)大小;而描述一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的量不止一種，最常用的是方差和標(biāo)準(zhǔn)差.方差與標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)概念既有聯(lián)系又有區(qū)別.方法小結(jié)：求一組數(shù)據(jù)方差的方法;先求平均數(shù)，再利用③求方差，求一組數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的方法：先求這組數(shù)據(jù)的方差，然后再求方差的算術(shù)平方根.布置作業(yè)

教材P173中1，2(1)(2)板書設(shè)計(jì) 14.3 方差(一)方差公式③ 引例 例1 標(biāo)準(zhǔn)差公式④ 教學(xué)設(shè)計(jì)示例2

一、教學(xué)目的

1.使學(xué)生了解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差.2.使學(xué)生了解樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、總體方差的意義.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：方差、標(biāo)準(zhǔn)差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、總體方差的意義.難點(diǎn)：樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算.三、教學(xué)過程

第 6 頁 復(fù)習(xí)提問

計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)有哪些方法? 引入新課

在很多實(shí)際問題中，只知道一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是不夠的，還需要知道這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小.如何了解數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小?這正是我們要解決的問題.新課

引例 兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)直徑是40毫米的零件.為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中抽出10件進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果如下(單位：毫米)：

表中數(shù)據(jù)表成如下形式：

可在此處讓學(xué)生用公式②分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(還可提問學(xué)生a取什么值最好，這樣學(xué)生能在教師的啟發(fā)下得到a=40最合適).當(dāng)學(xué)生算出如下平均數(shù)：

讓學(xué)生思考，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米時(shí)，甲、乙兩機(jī)床性能是否都一樣好?提出問題讓學(xué)生議議后，再引導(dǎo)學(xué)生看圖1，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到機(jī)床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸編差較大，偏離40毫米線較多;機(jī)床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸的偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.這說明，在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規(guī)定方面，機(jī)床乙比機(jī)床甲要好.這反映出，對(duì)一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平以外，第 7 頁 還常常需要了解它們的波動(dòng)大小(即偏離平均數(shù)的大小).在此處要告訴學(xué)生：描述一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，可以采用不止一種辦法.本課介紹方差即是一種方法.即：

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.要強(qiáng)調(diào)一組數(shù)據(jù)方差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大.條件許可時(shí)，還可介紹③式可表示為：

接下來可以請(qǐng)兩個(gè)學(xué)生計(jì)算引例中機(jī)床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差.從0.0260.008可以比較出，機(jī)床甲生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑比機(jī)床乙生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑波動(dòng)要大.(接下來教師再給出如下例題.)例1 已知兩組數(shù)據(jù)： 分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的方差.講此例后，要強(qiáng)調(diào)求解步驟為：

(1)求平均數(shù);(2)求方差;(3)比較方差得出結(jié)論.此后接前面問題說，用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)的方法還可用一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，即

公式④(即標(biāo)準(zhǔn)差)也是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的重要的量.在本節(jié)引例中，兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，可讓學(xué)生算一下，得出： 說明：計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差要比計(jì)算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致，有時(shí)用它比較方便.第 8 頁 小結(jié)

1.本課學(xué)了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差的公式③.2.本課在方差的基礎(chǔ)上又學(xué)了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的公式④.練習(xí)：選用課本練習(xí)題.作業(yè) ：選用課本習(xí)題.四、教學(xué)注意問題

要注意通過例題講好求方差題目的解題格式.教學(xué)設(shè)計(jì)示例3

一、教學(xué)目的

1.使學(xué)生進(jìn)一步理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義.2.使學(xué)生掌握利用簡(jiǎn)化公式計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差的方法.3.使學(xué)生會(huì)根據(jù)同類問題兩組數(shù)據(jù)的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：簡(jiǎn)化計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差公式.難點(diǎn)：利用方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況.三、教學(xué)過程 復(fù)習(xí)提問

1.什么是一組數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差? 2.一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)如何計(jì)算? 引入新課

第 9 頁 我們看到，用公式③計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差比較麻煩.那么，有否較簡(jiǎn)便的計(jì)算方法呢? 新課

教師應(yīng)在黑板上進(jìn)行如下推導(dǎo)：

推導(dǎo)上述公式后，可讓學(xué)生仿①～④四個(gè)公式的方法歸納推理出如下結(jié)論：

一般地，如果一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是n，那么它們的方差可以用下面的公式計(jì)算：

在這時(shí)，教師要強(qiáng)調(diào)：當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)較小時(shí)，用公式⑤計(jì)算方差比公式③計(jì)算少了求各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差一步，因此比較方便.例2 計(jì)算下面數(shù)據(jù)的方差(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第1位)： 3-1 2 1-3 3 教師可讓學(xué)生共同來完成此例.接下來教師按教材指出，當(dāng)一組數(shù)據(jù)較大時(shí)，可按下述公式計(jì)算方差：

其中x1=x1-a，x2=x2-a，xn=xn-a，x1，x2，xn是原已知的n個(gè)數(shù)據(jù)，a是接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的一個(gè)常數(shù).為使學(xué)生對(duì)公式⑥加深印象，可讓學(xué)生用公式⑥解下例.例3 甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語口語測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦?單位：分)：

哪個(gè)小組學(xué)生的成績(jī)比較整齊?

第 10 頁 解后，指出解題步驟有如下三步：(3)代入公式⑥計(jì)算方差并比較得解.小結(jié)

1.本課介紹了當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較小時(shí)，用以計(jì)算方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式⑤.2.本課又學(xué)習(xí)了當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較大時(shí)，用以計(jì)算方差的簡(jiǎn)化公式⑥.練習(xí)：選用課本練習(xí)題.作業(yè) ：選用課本習(xí)題.補(bǔ)充作業(yè)

2.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差之和為13，標(biāo)準(zhǔn)差之和為5，且甲的波動(dòng)比乙的波動(dòng)大，求它們各自的標(biāo)準(zhǔn)差.(答案：S甲=3，S乙=2.)3.在某次數(shù)學(xué)考試中，甲、乙兩校各8個(gè)班，不及格的人數(shù)分別如下：

分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差.四、教學(xué)注意問題

要注意給學(xué)生講如下三點(diǎn)：

1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差是衡量樣本和總體波動(dòng)大小的特征數(shù).2.用簡(jiǎn)化計(jì)算公式求方差較為方便.3.對(duì)同類問題的兩組數(shù)據(jù)，方差小的波動(dòng)小、方差大的波動(dòng)大

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