第一篇：高中數(shù)學(xué)競賽講義(八)平面向量
高中數(shù)學(xué)競賽講義
（八）──平面向量
一、基礎(chǔ)知識
定義1 既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時用有向線段來表示，線段的長度表示向量的模。向量的符號用兩個大寫字母上面加箭頭，或一個小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a.|a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。
定義2 方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規(guī)定零向量與任意一個非零向量平行和結(jié)合律。
定理1 向量的運(yùn)算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結(jié)合律。
定理2 非零向量a, b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)
0，使得a=
f
定理3平面向量的基本定理，若平面內(nèi)的向量a, b不共線，則對同一平面內(nèi)任意向是c，存在唯一一對實(shí)數(shù)x, y，使得c=xa+yb，其中a, b稱為一組基底。
定義3 向量的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i, j作為基底，任取一個向量c，由定理3可知存在唯一一組實(shí)數(shù)x, y，使得c=xi+yi，則（x, y）叫做c坐標(biāo)。
定義4 向量的數(shù)量積，若非零向量a, b的夾角為，則a, b的數(shù)量積記作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos
b
x1x2+y1y2=0.(a, b0)，定義5 若點(diǎn)P是直線P1P2上異于p1，p2的一點(diǎn)，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使，λ叫P分所成的比，若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則。由此可得若P1，P，P2的坐標(biāo)分別為(x1, y1),(x, y),(x2, y2)，則
講義八
/ 8
定義6 設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個圖形，將F上所有的點(diǎn)按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=個單位得到圖形，這一過程叫做平移。設(shè)p(x, y)是F上任意一點(diǎn)，平移到上對應(yīng)的點(diǎn)為，則稱為平移公式。
定理5 對于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【證明】 因?yàn)閨a|2·|b|2-|a·b|2=
-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的兩個結(jié)論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡即為柯西不等式：
(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的兩個結(jié)論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2）對于任意n個向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。
二、方向與例題
1．向量定義和運(yùn)算法則的運(yùn)用。
例1 設(shè)O是正n邊形A1A2…An的中心，求證：
【證明】 記后與原正n邊形重合，所以，若
不變，這不可能，所以，則將正n邊形繞中心O旋轉(zhuǎn)
例2 給定△ABC，求證：G是△ABC重心的充要條件是【證明】必要性。如圖所示，設(shè)各邊中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，延長AD至P，使DP=GD，則
又因?yàn)锽C與GP互相平分，所以BPCG為平行四邊形，所以BG所以
PC，所以
講義八
/ 8
充分性。若因?yàn)?，延長AG交BC于D，使GP=AG，連結(jié)CP，則，則，所以GB
CP，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G為重心。
例3 在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對角線BD和AC的中點(diǎn)，求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【證明】 如圖所示，結(jié)結(jié)BQ，QD。
因?yàn)樗?=又因?yàn)橥?，②，?/p>
由①，②，③可得
。得證。
2．證利用定理2證明共線。
例4 △ABC外心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2。，·
①
【證明】 首先
=
其次設(shè)BO交外接圓于另一點(diǎn)E，則連結(jié)CE后得CE又AH又EABC，所以AH//CE。AB，CH
AB，所以AHCE為平行四邊形。
講義八
/ 8
所以所以所以所以與，共線，所以O(shè)，G，H共線。
所以O(shè)G：GH=1：2。
3．利用數(shù)量積證明垂直。
例5 給定非零向量a, b.求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是a【證明】|a+b|=|a-b|
(a+b)2=(a-b)
2b.a·b=0
a
b.a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2例6 已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D為AB中點(diǎn)，E為△ACD重心。求證：OECD。
【證明】 設(shè)，則，又，所以
a·(b-c).（因?yàn)閨a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）
又因?yàn)锳B=AC，OB=OC，所以O(shè)A為BC的中垂線。所以a·(b-c)=0.所以O(shè)E
CD。
4．向量的坐標(biāo)運(yùn)算。
例7 已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點(diǎn)F，求證：AF=AE。
講義八/ 8
【證明】 如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為1，則A，B坐標(biāo)分別為（-1，1）和（0，1），設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, y），則y-1), 又因?yàn)?，因?yàn)?，所?x-(y-1)=0.=(x,，所以x2+y2=2.由①，②解得
所以
設(shè)所以所以，則，即F=4+
。由和，共線得，所以AF=AE。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．以下命題中正確的是__________.①a=b的充要條件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，則b=c；④若a, b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m, y=n；⑤若在b=(-3, 4)上的投影為-4。
2．已知正六邊形ABCDEF，在下列表達(dá)式中：①③ ；④
與，相等的有__________.；②；，且a, b共線，則A，B，C，D共線；⑥a=(8, 1)3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，則|x|+|y|=__________.4．設(shè)s, t為非零實(shí)數(shù)，a, b為單位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，則a和b的夾角為__________.5．已知a, b不共線，條件.6．在△ABC中，M是AC中點(diǎn)，N是AB的三等分點(diǎn)，且于D，若7．已知__________.8．已知
=b, a·b=|a-b|=2，當(dāng)△AOB面積最大時，a與b的夾角為__________.講義八
/ 8
=a+kb, =la+b，則“kl-1=0”是“M，N，P共線”的__________，BM與CN交，則λ=__________.不共線，點(diǎn)C分
所成的比為2，則9．把函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y(tǒng)=2x2的圖象，c=(1,-1), 若c·b=4，則b的坐標(biāo)為__________.，10．將向量a=(2, 1)繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量b，則b的坐標(biāo)為__________.與11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，試問的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值。
12．在四邊形ABCD中，如果a·b=b·c=c·d=d·a，試判斷四邊形ABCD的形狀。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是此平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足
則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的________心。
2．在△ABC中，3．非零向量=__________.4．若O為△ABC 的內(nèi)心，且為__________.5．設(shè)O點(diǎn)在△ABC 內(nèi)部，且__________.6．P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若__________心.7．已知，則|
|的取值范，則P是△ABC 的，則△AOB與△AOC的面積比為，則△ABC 的形狀，且a·b<0，則△ABC的形狀是__________.，若點(diǎn)B關(guān)于
所在直線對稱的點(diǎn)為B1，則圍是__________.8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是__________.9．在△ABC中，O為中線AM上的一個動點(diǎn)，若AM=2，則值為__________.10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.講義八
/ 8 的最小11．設(shè)G為△ABO的重心，過G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q，已知，△OAB與△OPQ的面積分別為S和T，（1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2）求的取值范圍。
12．已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），有一點(diǎn)P使得成公差小于零的等差數(shù)列。
（1）試問點(diǎn)P的軌跡是什么？（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0, y0), 求tan.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為（1，0），（0，2），當(dāng)實(shí)數(shù)p, q
為
與的夾角，滿足時，若點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上，且，則直線CD恒過一個定點(diǎn)，這個定點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.2．p為△ABC內(nèi)心，角A，B，C所對邊長分別為a, b, c.O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則
=___________（用a, b, c, x, y, z表示）.3．已知平面上三個向量a, b, c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，則k的取值范圍是___________.4．平面內(nèi)四點(diǎn)A，B，C，D滿足，則的取值有___________個.5．已知A1A2A3A4A5是半徑為r的⊙O內(nèi)接正五邊形，P為⊙O上任意一點(diǎn)，則
取值的集合是___________.6．O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，A，B，C為△ABC 的角，若sinA·+sinC·，則點(diǎn)O為△ABC 的___________心.(a-b)”的___________條件.，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，則△ABC
+sinB·7．對于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)8．在△ABC 中，三邊長之比|a|：|b|：|c|=____________.9．已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且，CP交AB于D，求證：
講義八
/ 8
10．已知△ABC的垂心為H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分別為O1，O2，O3，令，求證：（1）2p=b+c-a；（2）H為△O1O2O3的外心。
11．設(shè)坐標(biāo)平面上全部向量的集合為V，a=(a1, a2)為V中的一個單位向量，已知從V到的變換T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)確定，（1）對于V的任意兩個向量x, y, 求證：T(x)·T(y)=x·y；
（2）對于V的任意向量x，計(jì)算T[T(x)]-x；（3）設(shè)u=(1, 0)；，若，求a.六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．已知A，B為兩條定直線AX，BY上的定點(diǎn)，P和R為射線AX上兩點(diǎn)，Q和S為射線BY上的兩點(diǎn)，為定比，M，N，T分別為線段AB，PQ，RS上的點(diǎn)，為另一定比，試問M，N，T三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。
2．已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，點(diǎn)M，N分別內(nèi)分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三點(diǎn)共線，求r.3．在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個不同于頂點(diǎn)A，B的點(diǎn)M，點(diǎn)P，Q，R，S是M分別在直線AD，AB，BC，CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。
4．在△ABC內(nèi)，設(shè)D及E是BC的三等分點(diǎn)，D在B和F之間，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)，又設(shè)H是線段EG和DF的交點(diǎn)，求比值EH：HG。
5．是否存在四個平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個向量之和均與其余兩個向量之和垂直？
6．已知點(diǎn)O在凸多邊形A1A2…An內(nèi)，考慮所有的AiOAj，這里的i, j為1至n中不同的自然數(shù)，求證：其中至少有n-1個不是銳角。
7．如圖，在△ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N，求證：（1）OB
DF，OC
DE，（2）OH
MN。
8．平面上兩個正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列順序一致，過平面上一點(diǎn)O作，求證△ABC為正三角形。
9．在平面上給出和為 的向量a, b, c, d，任何兩個不共線，求證：
|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.講義八/ 8
第二篇：高中數(shù)學(xué)平面向量的公式知識點(diǎn)
【摘要】“高中數(shù)學(xué)平面向量的公式知識點(diǎn)”數(shù)學(xué)公式講解是這門學(xué)科的要點(diǎn)，套用公式是最終的題解方法，希望本文可以為大家?guī)韼椭?/p>
定比分點(diǎn)
定比分點(diǎn)公式(向量P1P=λ?向量PP2)設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個實(shí)數(shù) λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點(diǎn)向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式)我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式
三點(diǎn)共線定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線
三角形重心判斷式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心
[編輯本段]向量共線的重要條件
若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。
a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[編輯本段]向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是 a?b=0。
a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.設(shè)a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。
向量加法的運(yùn)算律：
交換律：a+b=b+a;結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0 AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn)，指向被減”
a=(x,y)b=(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').4、數(shù)乘向量
實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
當(dāng)λ>0時，λa與a同方向;當(dāng)λ<0時，λa與a反方向;當(dāng)λ=0時，λa=0，方向任意。
當(dāng)a=0時，對于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當(dāng)∣λ∣>1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;當(dāng)∣λ∣<1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。
數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律
結(jié)合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量對于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.數(shù)對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的數(shù)量積
定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π 定義：兩個向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個數(shù)量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉;若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a?b=x?x'+y?y'。
向量的數(shù)量積的運(yùn)算律
a?b=b?a(交換律);(λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);向量的數(shù)量積的性質(zhì)
a?a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)
1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。
2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c(a≠0)，推不出 b=c。
3、|a?b|≠|(zhì)a|?|b|
4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
向量的向量積性質(zhì)：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量積運(yùn)算律
a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時，左邊取等號;② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時，右邊取等號。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時，左邊取等號;② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時，右邊取等號。
第三篇：高中數(shù)學(xué)平面向量教學(xué)研究作業(yè)(江惠玲) (
高中數(shù)學(xué)“平面向量”教學(xué)研究作業(yè)（江惠玲）
請給出平面向量知識結(jié)構(gòu)示意圖
答：
向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一。在高中教材中，平面向量章節(jié)內(nèi)容主要有幾個方面：⑴向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量；⑵向量加法運(yùn)算及其幾何意義、向量減法運(yùn)算及其幾何意義、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義；⑶平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量共線的坐標(biāo)表示；⑷平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角；⑸平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應(yīng)用舉例。此外，教材安排了擴(kuò)展內(nèi)容，主要是向量幾向量符號的由來，向量的運(yùn)算（運(yùn)算律）與圖形性質(zhì)。這些知識既有不同又緊密聯(lián)系，教學(xué)的時候要注意聯(lián)系與比較，并通過實(shí)際解題訓(xùn)練，來提高學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力。
我用FreeMind設(shè)計(jì)了一個向量知識結(jié)構(gòu)圖：
我認(rèn)為上面制作的這個圖表基本上反映了高中數(shù)學(xué)中的平面向量的知識結(jié)構(gòu)。
揭東縣梅崗中學(xué) 江惠玲
第四篇：平面向量在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用
平面向量在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用
平面向量是高中數(shù)學(xué)引入的一個新概念.利用平面向量的定義、定理、性質(zhì)及有關(guān)公式,可以簡化解題過程,便于學(xué)生的理解和掌握.向量運(yùn)算主要作用可以提高學(xué)生針對數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解層次，本身這個運(yùn)算學(xué)生總最初接觸運(yùn)算都是數(shù)與數(shù)之間的運(yùn)算，而加入向量運(yùn)算之后，向量運(yùn)算涉及到數(shù)學(xué)元素更高，比如說實(shí)數(shù)、字母、甚至向量，甚至還可以把幾何圖形加入運(yùn)算當(dāng)中，這本身對數(shù)學(xué)層次更大的一個提高。而且向量運(yùn)算對數(shù)學(xué)的思想也體現(xiàn)的比較多，就是在解析幾何當(dāng)中，或者是在平面幾何當(dāng)中，向量應(yīng)用確實(shí)很方便，一個運(yùn)算既有代數(shù)意義又有幾何意義，但是到了立體幾何的話，我覺得向量運(yùn)算僅僅就變成算術(shù)了，算術(shù)對立體幾何本意還是沒有有一點(diǎn)想像，就是它到底人學(xué)生重點(diǎn)掌握什么，掌握運(yùn)算還是掌握思維和想像。
一、向量在代數(shù)中的應(yīng)用
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，在復(fù)平面上可以用向量來表示復(fù)數(shù)。這樣復(fù)數(shù)的加減法，就可以看成是向量的加減，復(fù)數(shù)的乘除法可以用向量的旋轉(zhuǎn)和數(shù)乘向量得到，學(xué)了向量，復(fù)數(shù)事實(shí)上已沒有太多的實(shí)質(zhì)性內(nèi)容。因而變選學(xué)內(nèi)容也就不難理解了。另外向量所建立的數(shù)形對應(yīng)也可用來證明代數(shù)中的一些恒等式、不等式問題，只要建立一定的數(shù)模型，可以較靈活地給出證題方法。
二、向量在三角中的應(yīng)用
當(dāng)我們利用單位圓來研究三角函數(shù)的幾何意義時，表示三角函數(shù)就是平面向量。利用向量的有關(guān)知識可以導(dǎo)出部分誘導(dǎo)公式。由于用向量解決問題時常常是從三角形入手的，這使它在三角里解決有關(guān)三角形的問題發(fā)揮了重要作用，一個最有力的證據(jù)就是教材中所提供的余弦定理的證明：只要在根據(jù)向量三角形得出的關(guān)系式的兩邊平方就可利用向量的運(yùn)算性質(zhì)得出要證的結(jié)論，它比用綜合法提供的證明要簡便得多。
三、向量在平面解析幾何中的應(yīng)用
由于向量作為一種有向線段，本身就是有向直線上的一段，且向量的坐標(biāo)可以用起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)來表示，使向量與平面解析幾何特別是其中有關(guān)直線的部分保持著一種天然的聯(lián)系。平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，也就是平面內(nèi)相應(yīng)的向量的長度公式；分一條線段成定比的分點(diǎn)坐標(biāo)，可根據(jù)相應(yīng)的兩個向量的坐標(biāo)直接求得；用直線的方向向量（a , b）表示直線方向比直線的斜率更具有一般性，且斜率實(shí)際是方向量在 a = 0時的特殊情形。另外向量的平移也可用來化簡二次曲線，即通過移動圖形的變換來達(dá)到化簡二次曲線的目的，實(shí)際上與解析幾何中移軸變換達(dá)到同樣的效果。
四、向量在幾何中的應(yīng)用
在解決幾何中的有關(guān)度量、角度、平行、垂直等到問題時用向量解決也很方便。特別是平面向量可以推廣到空間用來解決 立體幾何問題。例如在空間直線和平面這部分內(nèi)容光煥發(fā)中，解決平行、相交、包含以及計(jì)算夾角、距離等問題用傳統(tǒng)的方法往往較為繁瑣，但只要引入向量，利用向量的線性運(yùn)算及向量的數(shù)量積和向量積以后，一切都?xì)w結(jié)為數(shù)字式符號運(yùn)算。這些運(yùn)算都有法則可循，比傳統(tǒng)的方法要容易得多
總之，平面向量已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的許多方面，向量法代替?zhèn)鹘y(tǒng)教學(xué)方法已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的必然趨勢。向量法是一種值得學(xué)生花費(fèi)時間、精力去掌握的一種新生方法，學(xué)好向量知識有助于理解和掌握與之有關(guān)聯(lián)的學(xué)科。因此在職中數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)向量這一章的教學(xué)，為更好地學(xué)習(xí)其它知識做好必要的準(zhǔn)備工作就顯得尤為重要。但傳統(tǒng)教學(xué)思想對向量抵觸較大，許多教者認(rèn)為向量法削弱了學(xué)生的空間想象能力，且學(xué)生初學(xué)向量時接受較為困難，這就要求我們不斷探索，找出最佳的教和學(xué)的方法，發(fā)揮向量的作用，使向量真正地面為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。
第五篇：高中數(shù)學(xué)競賽講義-抽屜原理
數(shù)學(xué)教育網(wǎng)---數(shù)學(xué)試題-數(shù)學(xué)教案-數(shù)學(xué)課件-數(shù)學(xué)論文-競賽試題-中高考試題信息http://004km.cn
抽屜原理
在數(shù)學(xué)問題中有一類與“存在性”有關(guān)的問題，例如：“13個人中至少有兩個人出生在相同月份”；“某校400名學(xué)生中，一定存在兩名學(xué)生，他們在同一天過生日”；“2003個人任意分成200個小組，一定存在一組，其成員數(shù)不少于11”；“把[0，1]內(nèi)的全部有理數(shù)放到100個集合中，一定存在一個集合，它里面有無限多個有理數(shù)”。這類存在性問題中，“存在”的含義是“至少有一個”。在解決這類問題時，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一個，也不需要確定通過什么方式把這個存在的東西找出來。這類問題相對來說涉及到的運(yùn)算較少，依據(jù)的理論也不復(fù)雜，我們把這些理論稱之為“抽屜原理”。
“抽屜原理”最先是由19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家迪里赫萊（Dirichlet）運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問題的，所以又稱“迪里赫萊原理”，也有稱“鴿巢原理”的。這個原理可以簡單地?cái)⑹鰹椤鞍?0個蘋果，任意分放在9個抽屜里，則至少有一個抽屜里含有兩個或兩個以上的蘋果”。這個道理是非常明顯的，但應(yīng)用它卻可以解決許多有趣的問題，并且常常得到一些令人驚異的結(jié)果。抽屜原理是國際國內(nèi)各級各類數(shù)學(xué)競賽中的重要內(nèi)容，本講就來學(xué)習(xí)它的有關(guān)知識及其應(yīng)用。
（一）抽屜原理的基本形式
定理
1、如果把n+1個元素分成n個集合，那么不管怎么分，都存在一個集合，其中至少有兩個元素。
證明：（用反證法）若不存在至少有兩個元素的集合，則每個集合至多1個元素，從而n個集合至多有n個元素，此與共有n+1個元素矛盾，故命題成立。
在定理1的敘述中，可以把“元素”改為“物件”，把“集合”改成“抽屜”，抽屜原理正是由此得名。
同樣，可以把“元素”改成“鴿子”，把“分成n個集合”改成“飛進(jìn)n個鴿籠中”?！傍澔\原理”由此得名。
例題講解
1． 已知在邊長為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有任意五個點(diǎn)（圖1）。證明：至少有兩個點(diǎn)之間的距離不大于
2．從1-100的自然數(shù)中，任意取出51個數(shù)，證明其中一定有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的整數(shù)倍。
數(shù)學(xué)教育網(wǎng)http://004km.cn 數(shù)學(xué)教育網(wǎng)---數(shù)學(xué)試題-數(shù)學(xué)教案-數(shù)學(xué)課件-數(shù)學(xué)論文-競賽試題-中高考試題信息http://004km.cn 3．從前25個自然數(shù)中任意取出7個數(shù)，證明：取出的數(shù)中一定有兩個數(shù)，這兩個數(shù)中大數(shù)不超過小數(shù)的1.5倍。
4．已給一個由10個互不相等的兩位十進(jìn)制正整數(shù)組成的集合。求證：這個集合必有兩個無公共元素的子集合，各子集合中各數(shù)之和相等。
5．在坐標(biāo)平面上任取五個整點(diǎn)（該點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都取整數(shù)），證明：其中一定存在兩個整點(diǎn)，它們的連線中點(diǎn)仍是整點(diǎn)。
6．在任意給出的100個整數(shù)中，都可以找出若干個數(shù)來（可以是一個數(shù)），它們的和可被100整除。
7． 17名科學(xué)家中每兩名科學(xué)家都和其他科學(xué)家通信，在他們通信時，只討論三個題目，而且任意兩名科學(xué)家通信時只討論一個題目，證明：其中至少有三名科學(xué)家，他們相互通信時討論的是同一個題目。
例題答案：
1．分析：5個點(diǎn)的分布是任意的。如果要證明“在邊長為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有5個點(diǎn)，那么這5個點(diǎn)中一定有距離不大于的兩點(diǎn)”，則順次連接三角形三邊中點(diǎn)，數(shù)學(xué)教育網(wǎng)http://004km.cn 數(shù)學(xué)教育網(wǎng)---數(shù)學(xué)試題-數(shù)學(xué)教案-數(shù)學(xué)課件-數(shù)學(xué)論文-競賽試題-中高考試題信息http://004km.cn 即三角形的三條中位線，可以分原等邊三角形為4個全等的邊長為的小等邊三角形，則5個點(diǎn)中必有2點(diǎn)位于同一個小等邊三角形中（包括邊界），其距離便不大于。
以上結(jié)論要由定理“三角形內(nèi)（包括邊界）任意兩點(diǎn)間的距離不大于其最大邊長”來保證，下面我們就來證明這個定理。
如圖2，設(shè)BC是△ABC的最大邊，P，M是△ABC內(nèi)（包括邊界）任意兩點(diǎn)，連接PM，過P分別作AB、BC邊的平行線，過M作AC邊的平行線，設(shè)各平行線交點(diǎn)為P、Q、N，那么
∠PQN=∠C，∠QNP=∠A
因?yàn)锽C≥AB，所以∠A≥∠C，則∠QNP≥∠PQN，而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN（三角形的外角大于不相鄰的內(nèi)角），所以 PQ≥PM。顯然BC≥PQ，故BC≥PM。
由此我們可以推知，邊長為的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）兩點(diǎn)間的距離不大于。
說明：
（1）這里是用等分三角形的方法來構(gòu)造“抽屜”。類似地，還可以利用等分線段、等分正方形的方法來構(gòu)造“抽屜”。例如“任取n+1個正數(shù)ai，滿足0＜ai≤1（i=1,2,?,n+1），試證明：這n+1個數(shù)中必存在兩個數(shù)，其差的絕對值小于”。又如：“在邊長為1的正方形內(nèi)任意放置五個點(diǎn)，求證：其中必有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的距離不大于。
（2）例1中，如果把條件（包括邊界）去掉，則結(jié)論可以修改為：至少有兩個點(diǎn)之間的距離小于“，請讀者試證之，并比較證明的差別。
（3）用同樣的方法可證明以下結(jié)論：
2i）在邊長為1的等邊三角形中有n+1個點(diǎn)，這n+1個點(diǎn)中一定有距離不大于的兩點(diǎn)。
ii）在邊長為1的等邊三角形內(nèi)有n+1個點(diǎn)，這n+1個點(diǎn)中一定有距離小于的兩點(diǎn)。
（4）將（3）中兩個命題中的等邊三角形換成正方形，相應(yīng)的結(jié)論中的換成，命 題仍然成立。
（5）讀者還可以考慮相反的問題：一般地，“至少需要多少個點(diǎn)，才能夠使得邊長 為1的正三角形內(nèi)（包括邊界）有兩點(diǎn)其距離不超過”。
2．分析：本題似乎茫無頭緒，從何入手？其關(guān)鍵何在？其實(shí)就在“兩個數(shù)”，其中一個是另一個的整數(shù)倍。我們要構(gòu)造“抽屜”，使得每個抽屜里任取兩個數(shù)，都有一個是另一個的整數(shù)倍，這只有把公比是正整數(shù)的整個等比數(shù)列都放進(jìn)去同一個抽屜才行，這里用得到一個自然數(shù)分類的基本知識：任何一個正整數(shù)都可以表示成一個奇數(shù)與2的方冪的積，即若
nm∈N+,K∈N+，n∈N,則m=(2k-1)·2，并且這種表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×21，3=3×2°，??
證明：因?yàn)槿魏我粋€正整數(shù)都能表示成一個奇數(shù)乘2的方冪，并且這種表示方法是唯一的，所以我們可把1-100的正整數(shù)分成如下50個抽屜（因?yàn)?-100中共有50個奇數(shù)）：
23456
（1）{1，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2}；
234
5（2）{3，3×2，3×2，3×2，3×2，3×2}；
4（3）{5，5×2，5×2，5×2，5×2}；
3（4）{7，7×2，7×2，7×2}；
（5）{9，9×2，9×2，9×2}；
（6）{11，11×2，11×2，11×2}；
數(shù)學(xué)教育網(wǎng)http://004km.cn 數(shù)學(xué)教育網(wǎng)---數(shù)學(xué)試題-數(shù)學(xué)教案-數(shù)學(xué)課件-數(shù)學(xué)論文-競賽試題-中高考試題信息http://004km.cn
??
（25）{49，49×2}；
（26）{51}；
??
（50）{99}。
這樣，1-100的正整數(shù)就無重復(fù)，無遺漏地放進(jìn)這50個抽屜內(nèi)了。從這100個數(shù)中任取51個數(shù)，也即從這50個抽屜內(nèi)任取51個數(shù)，根據(jù)抽屜原則，其中必定至少有兩個數(shù)屬于同一個抽屜，即屬于（1）-（25）號中的某一個抽屜，顯然，在這25個抽屜中的任何同一個抽屜內(nèi)的兩個數(shù)中，一個是另一個的整數(shù)倍。
說明：
（1）從上面的證明中可以看出，本題能夠推廣到一般情形：從1-2n的自然數(shù)中，任意取出n+1個數(shù)，則其中必有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的整數(shù)倍。想一想，為什么？因?yàn)?-2n中共含1，3，?，2n-1這n個奇數(shù)，因此可以制造n個抽屜，而n+1＞n，由抽屜原則，結(jié)論就是必然的了。給n以具體值，就可以構(gòu)造出不同的題目。例2中的n取值是50，還可以編制相反的題目，如：“從前30個自然數(shù)中最少要（不看這些數(shù)而以任意方式地）取出幾個數(shù)，才能保證取出的數(shù)中能找到兩個數(shù)，其中較大的數(shù)是較小的數(shù)的倍數(shù)？”
（2）如下兩個問題的結(jié)論都是否定的（n均為正整數(shù)）想一想，為什么？
①從2，3，4，?，2n+1中任取n+1個數(shù)，是否必有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的整數(shù)倍？
②從1，2，3，?，2n+1中任取n+1個數(shù)，是否必有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的整數(shù)倍？
你能舉出反例，證明上述兩個問題的結(jié)論都是否定的嗎？
（3）如果將（2）中兩個問題中任取的n+1個數(shù)增加1個，都改成任取n+2個數(shù)，則它們的結(jié)論是肯定的還是否定的？你能判斷證明嗎？ 3．證明：把前25個自然數(shù)分成下面6組：
1；
①
2，3；
②
4，5，6；
③
7，8，9，10；
④
11，12，13，14，15，16；
⑤
17，18，19，20，21，22，23，⑥
因?yàn)閺那?5個自然數(shù)中任意取出7個數(shù)，所以至少有兩個數(shù)取自上面第②組到第⑥組中的某同一組，這兩個數(shù)中大數(shù)就不超過小數(shù)的1.5倍。
說明：
（1）本題可以改變敘述如下：在前25個自然數(shù)中任意取出7個數(shù)，求證其中存在兩個數(shù)，它們相互的比值在內(nèi)。
顯然，必須找出一種能把前25個自然數(shù)分成6（7-1=6）個集合的方法，不過分類時有一個限制條件：同一集合中任兩個數(shù)的比值在內(nèi)，故同一集合中元素的數(shù)值差不得過大。這樣，我們可以用如上一種特殊的分類法：遞推分類法：
從1開始，顯然1只能單獨(dú)作為1個集合{1}；否則不滿足限制條件。
能與2同屬于一個集合的數(shù)只有3，于是{2，3}為一集合。
數(shù)學(xué)教育網(wǎng)http://004km.cn 數(shù)學(xué)教育網(wǎng)---數(shù)學(xué)試題-數(shù)學(xué)教案-數(shù)學(xué)課件-數(shù)學(xué)論文-競賽試題-中高考試題信息http://004km.cn
如此依次遞推下去，使若干個連續(xù)的自然數(shù)屬于同一集合，其中最大的數(shù)不超過最小的數(shù)的倍，就可以得到滿足條件的六個集合。
（2）如果我們按照（1）中的遞推方法依次造“抽屜”，則第7個抽屜為
{26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39}；
第8個抽屜為：{40，41，42，?，60}；
第9個抽屜為：{61，62，63，?，90，91}；
??
那么我們可以將例3改造為如下一系列題目：（1）從前16個自然數(shù)中任取6個自然數(shù)；（2）從前39個自然數(shù)中任取8個自然數(shù)；（3）從前60個自然數(shù)中任取9個自然數(shù)；（4）從前91個自然數(shù)中任取10個自然數(shù)；?
]內(nèi)。
都可以得到同一個結(jié)論：其中存在2個數(shù)，它們相互的比值在上述第（4）個命題，就是前蘇聯(lián)基輔第49屆數(shù)學(xué)競賽試題。如果我們改變區(qū)間[]（p＞q）端點(diǎn)的值，則又可以構(gòu)造出一系列的新題目來。
4.分析與解答：一個有著10個元素的集合，它共有多少個可能的子集呢？由于在組成一個子集的時候，每一個元素都有被取過來或者不被取過來兩種可能，因此，10個元素的集合10就有2=1024個不同的構(gòu)造子集的方法，也就是，它一共有1024個不同的子集，包括空集和全集在內(nèi)。空集與全集顯然不是考慮的對象，所以剩下1024-2=1022個非空真子集。
再來看各個真子集中一切數(shù)字之和。用N來記這個和數(shù)，很明顯：
10≤N≤91+92+93+94+95+96+97+98+99=855
這表明N至多只有855-9=846種不同的情況。由于非空真子集的個數(shù)是1022，1022＞846，所以一定存在兩個子集A與B，使得A中各數(shù)之和=B中各數(shù)之和。
若A∩B=φ，則命題得證，若A∩B=C≠φ，即A與B有公共元素，這時只要剔除A與B中的一切公有元素，得出兩個不相交的子集A1與B1，很顯然
A1中各元素之和=B1中各元素之和，因此A1與B1就是符合題目要求的子集。
說明：本例能否推廣為如下命題：
已給一個由m個互不相等的n位十進(jìn)制正整數(shù)組成的集合。求證：這個集合必有兩個無公共元素的子集合，各子集合中各數(shù)之和相等。
請讀者自己來研究這個問題。5．分析與解答：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知，坐標(biāo)平面兩點(diǎn)（x1,y1）、（x2,y2）的中點(diǎn)坐標(biāo)是。欲使都是整數(shù)，必須而且只須x1與x2，y1與y2的奇偶性相同。坐標(biāo)平面上的任意整點(diǎn)按照橫縱兩個坐標(biāo)的奇偶性考慮有且只有如下四種：（奇數(shù)、奇數(shù)），（偶數(shù)，偶數(shù)），（奇數(shù)，偶數(shù)），（偶數(shù)，奇數(shù)）以此構(gòu)造四個“抽屜”，則在坐標(biāo)平面上任取五個整點(diǎn)，那么至少有兩個整點(diǎn)，屬于同一個“抽屜”因此它們連線的中點(diǎn)就必是整點(diǎn)。
說明：我們可以把整點(diǎn)的概念推廣：如果（x1,x2,?xn）是n維（元）有序數(shù)組，且x1,x2,?xn中的每一個數(shù)都是整數(shù)，則稱（x1,x2,?xn）是一個n維整點(diǎn)（整點(diǎn)又稱格點(diǎn)）。如果對所有的n維整點(diǎn)按每一個xi的奇偶性來分類，由于每一個位置上有奇、偶兩種可能性，因此
n3共可分為2×2×?×2=2個類。這是對n維整點(diǎn)的一種分類方法。當(dāng)n=3時，2=8，此時可數(shù)學(xué)教育網(wǎng)http://004km.cn 數(shù)學(xué)教育網(wǎng)---數(shù)學(xué)試題-數(shù)學(xué)教案-數(shù)學(xué)課件-數(shù)學(xué)論文-競賽試題-中高考試題信息http://004km.cn 以構(gòu)造命題：“任意給定空間中九個整點(diǎn)，求證它們之中必有兩點(diǎn)存在，使連接這兩點(diǎn)的直線段的內(nèi)部含有整點(diǎn)”。這就是1971年的美國普特南數(shù)學(xué)競賽題。在n=2的情形，也可以構(gòu)造如下的命題：“平面上任意給定5個整點(diǎn)”，對“它們連線段中點(diǎn)為整點(diǎn)”的4個命題中，為真命題的是：
（A）最少可為0個，最多只能是5個（B）最少可為0個，最多可取10個
（C）最少為1個，最多為5個（D）最少為1個，最多為10個
（正確答案（D））6．分析：本題也似乎是茫無頭緒，無從下手，其關(guān)鍵何在？仔細(xì)審題，它們的“和”能“被100整除”應(yīng)是做文章的地方。如果把這100個數(shù)排成一個數(shù)列，用Sm記其前m項(xiàng)的和，則其可構(gòu)造S1，S2，?S100共100個”和"數(shù)。討論這些“和數(shù)”被100除所得的余數(shù)。注意到S1，S2，?S100共有100個數(shù)，一個數(shù)被100除所得的余數(shù)有0，1，2，?99共100種可能性?！疤O果”數(shù)與“抽屜”數(shù)一樣多，如何排除“故障”？
證明：設(shè)已知的整數(shù)為a1,a2,?a100考察數(shù)列a1,a2,?a100的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列S1，S2，?S100。
如果S1，S2，?S100中有某個數(shù)可被100整除，則命題得證。否則，即S1，S2，?S100均不能被100整除，這樣，它們被100除后余數(shù)必是{1，2，?，99}中的元素。由抽屜原理I知，S1，S2，?S100中必有兩個數(shù)，它們被100除后具有相同的余數(shù)。不妨設(shè)這兩個數(shù)為Si，Sj（i＜j），則100∣（Sj-Si），即100∣。命題得證。
說明：有時候直接對所給對象作某種劃分，是很難構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)某閷系?。這時候，我們需要對所給對象先作一些變換，然后對變換得到的對象進(jìn)行分類，就可以構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)某閷?。本題直接對{an}進(jìn)行分類是很難奏效的。但由{an}構(gòu)造出{Sn}后，再對{Sn}進(jìn)行分類就容易得多。
另外，對{Sn}按模100的剩余類劃分時，只能分成100個集合，而{Sn}只有100項(xiàng)，似乎不能應(yīng)用抽屜原則。但注意到余數(shù)為0的類恰使結(jié)論成立，于是通過分別情況討論后，就可去掉余數(shù)為0的類，從而轉(zhuǎn)化為100個數(shù)分配在剩下的99個類中。這種處理問題的方法應(yīng)當(dāng)學(xué)會，它會助你從“山窮水盡疑無路”時，走入“柳暗花明又一村”中。
最后，本例的結(jié)論及證明可以推廣到一般情形（而且有加強(qiáng)的環(huán)節(jié)）：
在任意給定的n個整數(shù)中，都可以找出若干個數(shù)來（可以是一個數(shù)），它們的和可被n整除，而且，在任意給定的排定順序的n個整數(shù)中，都可以找出若干個連續(xù)的項(xiàng)（可以是一項(xiàng)），它們的和可被n整除。
將以上一般結(jié)論中的n賦以相應(yīng)的年份的值如1999，2000，2001?，就可以編出相應(yīng)年份的試題來。如果再賦以特殊背景，則可以編出非常有趣的數(shù)學(xué)智力題來，如下題：
有100只猴子在吃花生，每只猴子至少吃了1?；ㄉ?，多者不限。請你證明：一定有若干只猴子（可以是一只），它們所吃的花生的粒數(shù)總和恰好是100的倍數(shù)。
7．證明：視17個科學(xué)家為17個點(diǎn)，每兩個點(diǎn)之間連一條線表示這兩個科學(xué)家在討論同一個問題，若討論第一個問題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連紅線，若討論第2個問題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連條黃線，若討論第3個問題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連條藍(lán)線。三名科學(xué)家研究同一個問題就轉(zhuǎn)化為找到一個三邊同顏色的三角形。
考慮科學(xué)家A，他要與另外的16位科學(xué)家每人通信討論一個問題，相應(yīng)于從A出發(fā)引出16條線段，將它們?nèi)境?種顏色，而16=3×5+1，因而必有6=5+1條同色，不妨記為AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，AB6同紅色，若Bi（i=1，2，?，6）之間有紅線，則出現(xiàn)紅色三角線，命題已成立；否則B1，B2，B3，B4，B5，B6之間的連線只染有黃藍(lán)兩色。
考慮從B1引出的5條線，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1B6，用兩種顏色染色，因?yàn)?=2×2+1，故必有3=2+1條線段同色，假設(shè)為黃色，并記它們?yōu)锽1B2，B1B3，B1B4。這時若B2，B3，B4之?dāng)?shù)學(xué)教育網(wǎng)http://004km.cn 數(shù)學(xué)教育網(wǎng)---數(shù)學(xué)試題-數(shù)學(xué)教案-數(shù)學(xué)課件-數(shù)學(xué)論文-競賽試題-中高考試題信息http://004km.cn 間有黃線，則有黃色三角形，命題也成立，若B2，B3，B4，之間無黃線，則△B2，B3，B4，必為藍(lán)色三角形，命題仍然成立。
說明：（1）本題源于一個古典問題--世界上任意6個人中必有3人互相認(rèn)識，或互相不認(rèn)識。（美國普特南數(shù)學(xué)競賽題）。
（2）將互相認(rèn)識用紅色表示，將互相不認(rèn)識用藍(lán)色表示，（1）將化為一個染色問題，成為一個圖論問題：空間六個點(diǎn)，任何三點(diǎn)不共線，四點(diǎn)不共面，每兩點(diǎn)之間連線都涂上紅色或藍(lán)色。求證：存在三點(diǎn)，它們所成的三角形三邊同色。
（3）問題（2）可以往兩個方向推廣：其一是顏色的種數(shù)，其二是點(diǎn)數(shù)。
本例便是方向一的進(jìn)展，其證明已知上述。如果繼續(xù)沿此方向前進(jìn)，可有下題：
在66個科學(xué)家中，每個科學(xué)家都和其他科學(xué)家通信，在他們的通信中僅僅討論四個題目，而任何兩個科學(xué)家之間僅僅討論一個題目。證明至少有三個科學(xué)家，他們互相之間討論同一個題目。
（4）回顧上面證明過程，對于17點(diǎn)染3色問題可歸結(jié)為6點(diǎn)染2色問題，又可歸結(jié)為3點(diǎn)染一色問題。反過來，我們可以繼續(xù)推廣。從以上（3，1）→（6，2）→（17，3）的過程，易發(fā)現(xiàn)
6=（3-1）×2+2，17=（6-1）×3+2，66=（17-1）×4+2，同理可得（66-1）×5+2=327，（327-1）×6+2=1958?記為r1=3，r2=6，r3=17，r4=66，r5=327，r6=1958，?
我們可以得到遞推關(guān)系式：rn=n(rn-1-1)+2，n=2,3,4?這樣就可以構(gòu)造出327點(diǎn)染5色問題，1958點(diǎn)染6色問題，都必出現(xiàn)一個同色三角形。
數(shù)學(xué)教育網(wǎng)http://004km.cn
點(diǎn)擊咨詢 