第一篇：八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 幾何證明初步知識(shí)點(diǎn)

第十一章 幾何證明初步知識(shí)點(diǎn)整理

1.定義：用來說明一個(gè)名詞含義的語句叫做定義.2.命題：對(duì)事情進(jìn)行判斷的語句叫做命題.每個(gè)命題都由條件和結(jié)論兩部分組成.條件是已知事項(xiàng),結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng).一般地,命題可以寫成“如果??,那么??”的形式,其中“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結(jié)論.如果一個(gè)句子沒有對(duì)某一件事情作出任何判斷,那么它就不是命題.例如,下列句子都不是命題:(1)你喜歡數(shù)學(xué)嗎?(2)作線段AB=CD.⑶清新的空氣；⑷不許講話。3.正確的命題稱為真命題,不正確的的命題稱為假命題.4.反例：要指出一個(gè)命題是假命題，只要能舉出一個(gè)例子，使它具備命題的條件，而不符合命題的結(jié)論就可以了。這種例子稱為反例。

5.公理：人類經(jīng)過長期實(shí)踐后公認(rèn)為正確的命題,作為判斷其他命題的依據(jù)。這些公認(rèn)為正確的命題叫做公理。

證明:除了公理外,其它真命題的正確性都通過推理的方法證實(shí).推理的過程稱為證明.定理:經(jīng)過證明的真命題稱為定理.本套教材以下列基本事實(shí)作為公理： 1.兩點(diǎn)確定一條直線。

2.過直線外一點(diǎn)可以作且只能作一條直線與已知直線平行。3.兩直線平行,同位角相等。

4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。5.判斷三角形全等的方法：SAS ASA SSS。6.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等。

7.在等式或不等式中,一個(gè)量可以用它的等量來代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,這一性質(zhì)也看作公理,稱為“等量代換”.判斷：

所有的命題都是公理。所有的真命題都是定理。所有的定理是真命題。所有的公理是真命題。

6.在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題。把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的逆命題。Eg:(1)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．

(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等．(3)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等．(4)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．

注意: 一個(gè)命題是真命題,它的逆命題卻不一定是真命題.如果一個(gè)定理的逆命題也是真命題，那么這個(gè)逆命題就是原來定理的逆定理?。ü垂啥ɡ砗退哪娑ɡ恚?/p>

7.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)角的內(nèi)角和等于180° 推論一：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。推論二：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角。8.直角三角形的兩個(gè)銳角互余。有兩角互余的三角形是直角三角形。三角形的外角和等于360°。

9.反證法：先提出與命題的結(jié)論相反的假設(shè),推出矛盾,從而證明命題成立.這種證明的方法叫做反證法.反證法的步驟：否定結(jié)論—推出矛盾—肯定結(jié)論 Eg:

1、“a＜b”的反面應(yīng)是（）（A）a≠＞b（B）a ＞b（C）a=b（D）a=b或a ＞b

2、用反證法證明命題“三角形中最多有一個(gè)是直角”時(shí)，應(yīng)如何假設(shè)？ ___________________________________

3、寫出下列各結(jié)論的反面：

（1）a//b（2）a≥0（3）b是正數(shù)（4）a⊥b(5)至多有一個(gè)（6）至少有一個(gè) 常用的互為否定的表述方式：

都是——不都是；大于——不大于；至少有一個(gè)——一個(gè)也沒有；至少有三個(gè)——至多有兩個(gè)；至少有n個(gè)——至多有(n-1)個(gè)；至多有一個(gè)——至少有兩個(gè)

第二篇：八年級(jí)數(shù)學(xué)幾何證明初步1

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幾何證明初步復(fù)習(xí)學(xué)案

（一）單位：馬蘭初中主備：王慧敏審核：黃麗英

課本內(nèi)容：P114—12

4課前準(zhǔn)備：三角板鉛筆

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1.識(shí)別定義、命題、公理、定理，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論，理解原命題和逆命題的關(guān)系。

2.學(xué)會(huì)綜合法證明的格式，會(huì)使用反證法。

復(fù)習(xí)過程：

一、復(fù)習(xí)提綱

1、八條公理：

2、命題是由_______________和______________兩部分組成.。請(qǐng)你舉一個(gè)真命題的例子：； 一個(gè)假命題的例子：。

3、請(qǐng)寫出互為逆命題的兩個(gè)命題：___________________________________________________。

4、幾何證明的過程包括①②③

二、典型例題

例1 把下列命題寫成“如果A，那么B

同角的余角相等

例

2（1）

（2）

（3）c,那么a=c.例3 在學(xué)習(xí)中，小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n=1，2，3時(shí)，n?6n的值都是負(fù)數(shù)。于是小明猜想：當(dāng)n為任意正整數(shù)時(shí)，n?6n的值都是負(fù)數(shù)。小明的猜想正確嗎？請(qǐng)簡要說明你的理由。

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例4 如圖，AD⊥BC于D,∠ADE+∠B=90,求證：AB∥DE.?A

E

BD

三、有效訓(xùn)練

1、下列命題中，正確的是（）

A 任何數(shù)的平方都是整數(shù) B C 內(nèi)錯(cuò)角都相等D2、下列命題：

①如果a?b，則②如果a=b，則a?b；③大于直角的角是鈍角；④一個(gè)角的補(bǔ)

A ①③ BD①③⑤

3F是DC上的一點(diǎn)，G是BC的延長線上一點(diǎn)。

(1)∵∠∥_________()222

2A

EDF

G

B(2)∵∠D=∠DCGC

∴_________∥_________()

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(3)∵∠D+∠DFE=180

∴_________∥_________()

四、課堂總結(jié)（總結(jié)本章前三節(jié)內(nèi)容，你學(xué)到了什么）

五、達(dá)標(biāo)檢測

（1）下列說法正確的是（）

A 真命題都可以作為定理B 公理不需要證明

C 定理不一定都要證明D 證明只能根據(jù)定義、公理進(jìn)行

（2）下列定理中，沒有逆定理的是（）

A 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行B 直角三角形中，兩銳角互余

C 相反數(shù)的絕對(duì)值相等D 同位角相等，兩直線平行

（3）如圖，B、A、E三點(diǎn)在同一直線上，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使AD∥件是____________________（不允許添加輔助線）?

E

AD

B

（4）已知：如圖，∠1=∠2DE∥AC

DE

F

六、布置作業(yè)

BC(3)求證：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

第三篇：幾何證明知識(shí)點(diǎn)（范文模版）

幾何證明知識(shí)點(diǎn)

命題和證明

1、判斷一件事情的句子，叫做命題。判斷為正確的命題叫做真命題；判斷為錯(cuò)誤的命題叫做假命題。

2、數(shù)學(xué)命題通常由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。因此命題可以寫成“如果······，那么······”的形式。

3、人們從長期實(shí)踐中總結(jié)出來的真命題叫做公理，它們可以作為判斷其他命題真假的原始數(shù)據(jù)。

4、有些命題是從公理或其他真命題出發(fā)，用推理的方法證明為正確的，并進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理。

證明舉例

1、由題設(shè)、定義以及已被確定的公理、定理等，經(jīng)過邏輯推理，來判斷一個(gè)命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明。

2、真命題的證明一般包括“畫圖、寫已知求證、證明”三個(gè)基本步驟?！爱媹D和已知求證”通常是告訴大家的，因此不必書寫。

3、幾何證明沒有固定的方法可循，因此只能在訓(xùn)練的過程中，積累一般分析方法和思維方法。例如：證明線段、角相等的一般途徑有哪些？證明兩直線平行、垂直的一般途徑有哪些？常用的添加輔助線的方法有哪幾種？等等。

逆命題和逆定理

1、在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的逆命題。

2、如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆定理。

3、每個(gè)命題都有逆命題，但每個(gè)定理不一定都有逆定理。

線段的垂直平分線

1、定理：線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

2、逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

3、線段垂直平分線可以看作和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合。

角的平分線

1、角的平分線的概念：從角的頂點(diǎn)出發(fā)，等分這個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線。

2、角是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是這個(gè)角的平分線所在的直線。

3、角的平分線性質(zhì)：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

4、角的平分線性質(zhì)的逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。

5、角的平分線可以看作這個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的集合。

軌跡

1、點(diǎn)的軌跡：符合某些條件的所有的點(diǎn)的集合叫做點(diǎn)的軌跡。

2、基本軌跡

（1）和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線。

（2）在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線。

（3）到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是以這個(gè)定點(diǎn)為圓心、定長為半徑的圓。

3、交軌法：先找出符合一部分作圖要求的點(diǎn)的軌跡，再找出符合另一部分作圖要求的點(diǎn)的軌跡，然后得出這兩個(gè)軌跡的交點(diǎn)。這種利用軌跡相交進(jìn)行作圖的方法叫做交軌法。

直角三角形全等的判定

1、直角三角形是特殊的三角形，對(duì)于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都適用。

2、直角三角形全等的判定定理

定理：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等（簡記為H.L.）。

直角三角形的性質(zhì)

直角三角形的性質(zhì)，可以從它的角、邊以及特殊線段之間構(gòu)成的各種關(guān)系的特征去理解。

1、定理1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2、定理2：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

推論1：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30?，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30?。

勾股定理

1、在直角三角形中，斜邊大于直角邊。

2、勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

4、勾股定理及其逆定理在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用。

兩點(diǎn)的距離公式

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)：

1、x軸或平行于x軸的直線上的兩點(diǎn)P1(x1,y)，P2(x2,y)間的距離P1P2?x1?x2。

2、y軸或平行于y軸的直線上的兩點(diǎn)Q1(x,y1)，Q2(x,y2)間的距離

Q1Q2?y1?y2。

22PQ?x?yy3、在x軸上一點(diǎn)P與在軸上一點(diǎn)之間的距離(x,0)Q(0,y)111111114、任意兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)之間的距離公式是AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2

第四篇：八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三角形證明知識(shí)點(diǎn)

第一節(jié).等腰三角形

1.性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）.2.判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）．

3.推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（即“三線合一”）． 4.等邊三角形的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸.判定定理：(1)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；

(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.第二節(jié).直角三角形 1.勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．

逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形． 2.含30°的直角三角形的邊的性質(zhì)

定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理在語言敘述的時(shí)候一定要注意，不能說成“兩條邊的平方和等于斜邊的平方”，應(yīng)該說成“三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方”．

4.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等。第三節(jié).線段的垂直平分線

1.線段垂直平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.2.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.該點(diǎn)就是三角形的外心。以此外心為圓心，可以將三角形的三個(gè)頂點(diǎn)組成一個(gè)圓。3.如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線：

分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的一半長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線MN就是線段AB的垂直平分線。第四節(jié).角平分線

1.角平分線的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；

判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.2.三角形三條角平分線的性質(zhì)定理

性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.這個(gè)點(diǎn)叫內(nèi)心 通用篇

1.真命題與假命題

真命題：真命題就是正確的命題，即如果命題的條件成立，那么結(jié)論一定成立。假命題：條件和結(jié)果相矛盾的命題是假命題，命題與逆命題

命題包括已知和結(jié)論兩部分；逆命題是將原命題的已知和結(jié)論交換；

在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題。其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題。一個(gè)命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題。如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理。這兩個(gè)定理稱為互逆定理。

2、證明命題的一般步驟:(1)理解題意:分清命題的條件(已知),結(jié)論(求證);(2)根據(jù)題意,畫出圖形;(3)結(jié)合圖形,用數(shù)學(xué)語言寫出“已知”和“求證”;

(4)分析題意,探索證明思路(由“因”導(dǎo)“果”,執(zhí)“果”索“因“(5)依據(jù)思路,運(yùn)用數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證明過程;(6)檢查表達(dá)過程是否正確,完整.3、用反證法證明幾何命題的步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立.(2)由假設(shè)作為條件,根據(jù)已知條件及學(xué)過的定義、定理、公理進(jìn)行逐步的推導(dǎo)直至與假設(shè)或與某個(gè)己知條件或與學(xué)過的某個(gè)定義、定理、公理出現(xiàn)矛盾.(3)從而判斷假設(shè)錯(cuò)誤,原命題成立

第五篇：八年級(jí)數(shù)學(xué)幾何題證明技巧

能達(dá)培訓(xùn)學(xué)校內(nèi)部資料

能達(dá)學(xué)校八年級(jí)數(shù)學(xué)講義

姓名：日期： 2006-1-2

4輔助線的添加技巧

人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站。

一、角平分線專題

1．角分線，分兩邊，對(duì)稱全等要記全。（牢記，角平分線就是一個(gè)對(duì)稱軸，所以可以將其中的一個(gè)△翻轉(zhuǎn)180度，構(gòu)造全等。也可以應(yīng)用角分線定理作垂直）基本圖形

B

圖一

圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓 如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。

B圖二

C

B圖三

C

例題：

1．已知，CE、AD是△ABC的角平分線，∠B＝60°。求證：AC＝AE＋CD。

2．已知，AB＝2AC，∠1＝∠2，DA＝DB。求證：DC⊥AC。

B

圖二

圖三

3．已知，四邊形ABCD中，ABCD，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求證：BC＝AB＋CD。

4．已知，在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB＝2AC。求證：

（1）∠C＝90°；（2）AE=2CE。

B

圖五

5．已知，在RT△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分線。求證：BC＝AB＋AD。

6．已知，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠A。求證：AB－AC＝CD。

注意：只要看到平分線上的點(diǎn)，要想到向兩邊作垂線了（點(diǎn)分線，垂兩邊）

7．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2。求證：BC＝AB＋AD。

圖八

8．已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC

9．已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CE⊥AB，AE＝

2（AB＋AD）。

圖十

求證：∠D＋∠B＝180°。

10．已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC。

圖十一

2．角平分線＋垂線，角平分線＋平行線，等腰三角形要呈現(xiàn)，線段和差倍分都實(shí)現(xiàn)。

G

圖

1圖2-1

圖2-2

例題

1． 已知，∠1＝∠2，AB

＞AC，CD⊥AD于D，H是BC求證：DH＝12

（AB－AC）。

2． 已知，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BE。求證：BD＝2CE。

圖2

3． 已知，∠1＝∠2，CF⊥AE于E，BE⊥AE于E，G為BC中點(diǎn)，連接GE、GF。求證：GF＝GE。

圖3