第一篇：工科數(shù)學分析作業(yè)

多

1、多元函數(shù)的極限與連續(xù)

海因定理：lim

1110810316賈金達

f(P)?A的充分必要條件是：P以任何點列、任

P?P0何方式趨于P0時，f(P)的極限都是A。

換句話說，當動點P以不同的方式或路徑趨于P0時，極限不相等，則可以判定二重極限不存在。例1 求下列極限

?1? lim(22?(x?y)22x??x?y)e

(2)lim(x?y)lnx(?y)x?0

y??y?0

解:?1? 對于充分大的x和y x2?y2xyxex?y?e?eex?y?e??e?y?0

或者 x2?y2?(x?y)2

令x?y?u

則x2?y2(x?y)2ex?y?ex?y?u2eu

當u???時，上式趨于0。

(2)利用極坐標變換

?x?rsin???y?rcos?

(x?y)ln(x2?y2)?rcos??sin?lnr2?4rlnr?0

例2 ?

設f(x,y)??(x2?y2)cos1,x2?2?x2?y2y?0 ??0,x2?y2?0

試問在點(0,0)處，是否連續(xù)，偏導數(shù)是否存在？

f(P)的由于

f(x,y)?f(0,0)?f(x,y)?0 ?(x?y)cos221x?y22?x?y?022

所以，f(x,y)在點(0,0)處連續(xù)

由偏導數(shù)的定義得

fx?(0,0)?limf(x,0)?f(0,0)xx?0?limxcosx?01x?0，同理f?(0,0)?0

y

于是，f(x,y)在點(0,0)處的偏導數(shù)存在。

2、偏導數(shù)與全微分 f(x,y)若在點(x0,y0)處可微，則z?f(x,y)在點(x0,y0)fx?(x0,y0)處兩個偏導數(shù)dz和。

fy?(x0,y0)都存在，且有=fx?(x0,y0)dx+fy?(x0,y0)dy 2 則必在(x,y)連續(xù)，且該函數(shù)在f(x,y)若在點(x0,y0)處可微，(x0,y0)的兩個偏導數(shù)fx?(x0,y0)，fy?(x0,y0)都存在。

全微分的形式不變性可理解為：對什么變量求偏導數(shù)就乘以什么變量的微分，無論這個變量是自變量，還是中間變量。多元函數(shù)的復合求偏導不論復合關系多復雜，其基本原則是：有幾個中間變量求出來就有幾項，每項先對中間變量求偏導再乘以中間變量對自變量的偏導數(shù)。例（武漢大學1995）

設二元函數(shù)

解：

(1)fx?(0,0)?fy?(0,0)?0，易得(2)(x,y)?(0,0)1?2222(x?y)cos,x?y?0?22 f(x,y)??x?y22?0,x?y?0?(1)求fx?(0,0)fy?(0,0)

(2)證明：fx?(x,y)，fy?(x,y)在(0,0)(3)證明：f(x,y)在(0,0)不連續(xù)

處可微

時

1x?y2 fx?(x,y)?2xcos?xx?y22sin1x?y22

利用極坐標變換

lim11?1??limcos?sinfx?(x,y)?lim?2rcos?cos?cos?sin?r?0rr?r?0r?(x,y)?(0,0)顯

然不存在。

故fx?在(0,0)不連續(xù)，類似可得f?在(0,0)不連續(xù)。

y(3)證 lim?z?fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y??0??0

即化為

(x?y)cos221x?y22

(x,y)?(0,0)limx?y22?lim?cos??01??0

此式顯然成立。

3、隱函數(shù)微分法 隱函數(shù)可分為由單個方程確定的隱函數(shù)以及由隱函數(shù)組確定的隱函數(shù)，隱函數(shù)可以是一元的，也可以是多元的，首先要掌握隱函數(shù)的存在唯一性定理，然后再熟悉隱函數(shù)求導的公式和程序。

一、單個方程確定的隱函數(shù)偏導數(shù)的求法

1.公式法

若F對各個變量皆存在連續(xù)的一階偏導數(shù)，且Fz??0,則由F(x,y,z)?0確定的隱函數(shù)z?z(x,y)也是連續(xù)可偏導的，并且有公式

?z?x??Fx?Fz??z?y??Fy?Fz?;

2.鏈式法則的應用

在方程F(x,y,z)?0中

z?z(x,y)，即

F(x,y,z(x,y))?0

上式的兩邊分別對x，y求偏導，得：

?F?x?F?y???F?z?z?x?F?z?z?y?0

?03.全微分法

一階全微分具有形式不變性的優(yōu)點，可廣泛應用于求隱函數(shù)的微分以及各個偏導數(shù)，且不易出錯。

Fx?dx?Fy?dy?Fz?dz?0

例1 設z?z(x,y)由方程z5?xz?yz?1確定43，求

?z?x?y2|(0,0)。解

在原方程兩邊對x，y求偏導，分別得到：

5z4?z?x?z?4xz43?z?x3?3yz2?z?x?0

5z4?z?y?4xz3?z?y?z?3yz3?z?y?0以x=y=0代人原方程的z=1，再以x=y=0，z=1代入以上兩個偏導數(shù)方程得

?z?x|(0,0)?1?z,|(0,0)??0.2 5?y然后再對式子兩邊關于y求導，并將數(shù)據(jù)代入得：

?z?x?y2|(0,0)??325

例2

設u?f(x,y,xyz)，函數(shù)z?(x,y)由方程?g(xy?z?t)dt?exyzxyz確定，其中f可微，g連續(xù)，求x

解：令v?xy?z?txyzz?u?x?y?u?y.z則?xyg(xy?z?t)dt.g(z)?z?x??xyg(v)dv，得方程

?zxyg(v)dv?e兩邊對x求偏導有 得?z?x?yg(xy)?yzeg(z)?xyexyz?yg(x,y)?exyz?y(z?x?z?x)，xyz.?f1??f3??y(z?x?z?x)又y和x類似，?u?x代入并整理得：x?u?x?y?u?yxf1??yf2?.二、隱函數(shù)組微分法 對于多變量多個方程確定的隱函數(shù)偏導數(shù)的求法，亦如單個方程的情形，有公式法、利用復合函數(shù)偏導數(shù)的鏈式法以及全微分的方法。1.公式法

定理

設隱函數(shù)組方程?（1）F(x0?F(x,y,u,v)?0?G(x,y,u,v)?0滿足，初始條件；

F,G以及它們的,y0,u0,v0)?0,G(x0,y0,u0,v0)?0（2）在P(x0,y0,u0,v0)?0的某鄰域內(nèi)，函數(shù)各個偏導數(shù)皆連續(xù)；（3）J??(F,G)?(u,v)在點P0不等于零。

則在點P0的某鄰域內(nèi)，由方程組唯一的確定了兩個二元隱函數(shù)

u?u(x,y),v?v(x,y)

并且u(x,y),v(x,y)連續(xù)可偏導，求導公式為

1?(F,G)J?(x,v)1?(F,G)J?(y,v)?u?x?u?y??，?v?x?v?y??1?(F,G)J?(u,x)1?(F,G)J?(u,y)。????2.復合函數(shù)鏈式法則的應用

對方程組的兩邊關于x，y分別求偏導數(shù)的方法，視u和v為x，y的函數(shù)。

?Fx?Fuux?Fvvx?0 ?G?Gu?Gv?0uxvx?x我們在解題時只要掌握了其中的數(shù)學思想，就不必死記硬背某些公式，這樣才減輕負擔的同時反而提高了學習效率。

3.全微分法

對方程組的兩邊求微分，利用微分的形式不變性，得到

?Fudu?Fvdv?Fxdx?Fydy?0 ??Gudu?Gvdv?Gxdx?Gydy?0這是一種單純的不易出錯的方法，同時采用這種方法也很普遍。

下面對這三種方法舉例子： 例

?h?u?f(x,y)?設函數(shù)u(x)是由方程組?g(x,y,z)?0?h(x,z)?0??0,?g?y?0,求dudx.所確定，且

?z

分析

方程組含有三個方程，四個變量x、y、z、u，故應該有一個是自由變量?？蛇x取x作為自變量，y、z、u皆是x的一元函數(shù)，這樣，求導數(shù)或是偏導數(shù)時才不易出錯。解一 對??g(x,y,z)?0?h(x,z)?0兩邊關于x求導數(shù)，視y?y(x),z?z(x),得

?gx?gyy??gzz??0 ??h?hz?0xz?解出

?u?x?fx?gxfygy?gzfyhxgyhz。

解二

原方程組求全微分

du?fxdx?fydy???gxdx?gydy?gzdz?0 ?hxdx?hzdz?0?一樣能夠得出結(jié)論。

將兩種方法做一個比較，不難看出，利用全微分方法簡便易行。

例 若u(x,y)的二階導數(shù)存在，證明u(x,y)條件是u?u?x?y2?f(x)g(y)的充要

??u?u??x?y

（清華大學）

注：方法獨特 令v??u?x，原方程化為u?v?y?u?y?0

?v?y?v?u?y。

u?vu2等價化為即

v??v????0,知??1(x)u?y?u??lnu?x

湊微分得 解得

從而

??1(x)

lnu???1(x)dx??2(y)

u?f(x)g(y)。

4.多元函數(shù)的極值 極值的定義

若在(x0,y0)的某空心鄰域內(nèi)恒f(x,y)?f(x0,y0)(或(?f(x0,y0))

則稱f(x,y)在(x0,y0)取到極大值或是極小值，對于自變量的取值有附加條件的極值稱為條件極值。2 極值存在的必要條件

設z?f(x,y)在點(x0,y0)具有偏導數(shù)，且在(x0,y0)處有極值，,y0)?0，令 則必有fx?(x0,y0)?0，f?(xy0??(x0,y0)，C?fyy??(x0,y0)，??(x0,y0)，B?fyxA?fxx則：（1）（2）B2?A2?0時，(x0,y0)不是極值點； B2?A2?0時，(x0,y0)為極值點，當

A<0時，為極大值點；當A>0時，為極小值點。

注：求極值的基本步驟：先解方程組f?(x,y)?0,f?(x,y)?0,所有

xy駐點；對每一個駐點(x0,y0)，求A,B,C的值；由B2?AC的符號確定是否為極值點，由A的符號確定是極大值點還是極小值點。條件極值 函數(shù)z?f(x,y)在條件?(x,y)?0下的極值成為條件極值。求

條件極值的常用方法是拉格朗日數(shù)乘法：先構(gòu)造輔助函數(shù)

F(x,y)?f(x,y)???(x,y)，?(x,y),?Fx??fx?(x,y)???x?再解方程組?Fy??fy?(x,y)???y?(x,y)，?F????(x,y)?0,?得x，y以及?，則其中x，y，就是可能極值點的坐標。類似可求函數(shù)u?f(x,y,z)在條件?(x,y,z)?0下的可能極值點。多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應用

閉區(qū)域上連續(xù)多元函數(shù)的最大值就是區(qū)域內(nèi)部的極大值和邊界上的條件下的極大值中的最大的數(shù)，它可能在區(qū)域內(nèi)部或邊界上達到。對于實際問題一般根據(jù)實際背景來確定是否取最大值，最小值也一樣。例

設曲面

x2a2?yb22?zc22?1在點P(x,y,z)處使在該點處的切平面與三個坐標面所圍成的四面體的體積最小；并說明函數(shù)u?ax?by?cz222在點（1,1,1）處沿向量OP上的方向?qū)?shù)是否是該函數(shù)在改點處的方向?qū)?shù)的最大值?！窘狻壳?/p>

x2a2?yb22?zc22?1在P(x,y,z)處的法向量為(xa2,yb2,zc2)，在P處的切平面方程為

xa2(X?x)?yb2(Y?y)?zc2(Z?z)?0，所以，切平面在x,y,z軸上的截距分別是與三個坐標面所圍成的四面體的體積為V1abc6xyz222a2x,b2y2,c2z，于是，切平面

?1abc6xyz22，即求條件極值的問題，作F(x,y,z,?)???(xa22?yb22?zc22?1)，求解方程組

?Fx????Fy???Fz?F????0,?0,?0,?0.解方程并結(jié)合實際問題知,當P為(a3b3?u?yc3a3,b3,c31)時，體積最小。

向量OP=(?u?x，)的單位向量為

?u?y(1,1,1)a?b?c222(a,b,c)，又

?2a;(1,1,1)?2b;(1,1,1)?2c;

所以，所求方向的方向?qū)?shù)是2(a2?b2?c2)，求出u的梯度可知u在(1,1,1)處OP的方向?qū)?shù)是u在點（1,1,1）處的方向?qū)?shù)的最大值。

空間曲線的切線與法平面（略）；

*本章的難點偏微分方程的綜合題，其中往往要用到字符的代換

【例1】 設函數(shù)f(u)有二階連續(xù)導數(shù)且z??z?x22f(ecosx)y滿足

??z?y22?e2yz,zx??2?1,?z?xx???2?0，求f(u)。

【解】 由復合函數(shù)的求導鏈導法則，可得

?z?x?z?y?f?(u)e(?sinx),y?zx222y?f??(u)esin22yx?f?(u)ecosx，?f?(u)ecosx,y?zx222y22y?f??(u)ecosx?f?(u)ecosx，所以

?z?x22??z?2?z?2y2y22y?f??(u)e.又

?z?x22??f(u)e2y.所以 f??(u)?f(u).這是一個二階常系數(shù)線性微分方程，解此方程得

f(u)?C1e?C2eu?u.將初值條件代入得

C1?C2?12，u?u故

f(u)?0.5(e?e).【例2】設u?u(?u?x22x?y)具有連續(xù)二階偏導數(shù)，且滿足

22??u?y22?1?u22??u?x?y, x?x試求函數(shù)u的表達式.【解】 令r??u?x?x?y22，則 u變?yōu)榱酥缓蛂有關的因變量。

xdu?, rdr?u?x2221duxdu?2?2???3?r?rrdrrdr1duydu?2?2???3?r?rrdrrdry2x2?u22，?u?y2?u22代入原方程，即得

dudr?u?r.2再解二階常系數(shù)線性微分方程方程，得

u?C1cosx?y?C2sin22x?y?x?y?2.2222其中C1,C2是任意常數(shù)。

第二篇：12-13-2工科數(shù)學分析期中試卷

河南理工大學 2012-2013 學年第 二 學期

《高等數(shù)學a2》期中試卷（A卷）

一、填空題（共30分，每題5分）

1、二元函數(shù)z?x

?ln(1?y2

1xy

y)的定義域為.2、極限

(x,y)?(0,0)

lim(1?sinxy)=

.3、函數(shù)u?x2?y2?z2在點M(2,?2,1)處沿著從點M到點N(3,?3,1)方向的方向?qū)?shù)為

....4、曲面x2?y2?z2?3在點P(1,1,1)處的切平面方程為

5、設區(qū)域D由?1?x?1,?1?y?1確定，則

6、xy??dxdy?D

?

dx?

x?x20

f(x,y)dy在極坐標下的二次積分為．．

二、試解下列各題（共48分，每題8分）

1、設z?f?x,y??exysin?y??x?1?x

?(1,1).，求fx

y

?z?z和.?x?y2、設z?z?x,y?是由方程z?e?xy所確定的二元函數(shù)，求

z3、設函數(shù)u?

x2?y2，試問在點M?1,1,1?函數(shù)u沿著哪一個方向其方向?qū)?shù)取得最大z

值，并求出方向?qū)?shù)的最大值.4、設有曲線L:?

?xyz?1，試求曲線在點M?1,1,1?處的切線方程.2

?y?x

x?y22

??，其中dxdyD?x,yx?y?1,x?y?1.??22

Dx?y5、計算二重積分

??

6、設f(x)為連續(xù)函數(shù)，試證明等式

?

dx?f(y)dy??f(x)(1?x)dx成立.x1

三、試解下列各題（共22分，每題11分）

?z?2z1、設函數(shù)z?f?x,xy?，其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求和.?x?x?y2、求函數(shù)z?x?y?3xy?5的極值.3

第三篇：工科數(shù)學分析試題B

一．計算極限（每小題5分，共10分）

（1）lim(x2?2x?x)（2）lim?xx x???x?0

1??xsin,x?0?二．（10分）設f(x)??, 試根據(jù)?和?的值, 討論f(x)x

?ex??,x?0?

在x?0處的連續(xù)性(包括左連續(xù)、右連續(xù)及間斷點的類型).d2yy22三．（10分）設方程arctan?lnx?y確定函數(shù)y?f(x), 求2.dxx

四．（10分）試確定數(shù)列{n}中的最大項.五．（10分）設a?0, 試討論方程lnx?ax實根的個數(shù).六．計算下列積分（每小題5分，共10分）

（1）?dx

?ex?2?（2）??x(sinx?e)dx

??

0x4七．（10分）設In??xne?x dx(n為正整數(shù)), 試建立數(shù)列{In}的遞推

公式, 并求In的值.八．（10分）求拋物線y2?2x與直線x?

旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積.九.（10分）設函數(shù)f(x)在[0,1]上二階可導, |f(x)|?a, |f??(x)|?b, 1所圍成的圖形繞直線y??12

c?(0,1), 試證明|f?(c)|?2a?b.2

十．（10分）已知a?0, x1?a, xn?1?a?xn, 證明數(shù)列{xn}收斂

并求其極限.《工科數(shù)學分析》試卷

第四篇：工科數(shù)學分析教案 - 重慶郵電大學精品課程管理平臺

高等數(shù)學

（二）教案

高等數(shù)學

（二）課程簡介

一.高等數(shù)學

（二）(mathematical analysis)簡介: 1.背景: 從求變速直線運動的瞬時速度，曲邊梯形的面積等問題引入.2.極限(limit)—— 變量數(shù)學的基本運算：

3.高等數(shù)學

（二）的基本內(nèi)容：高等數(shù)學

（二）以極限為基本思想和基本運算研究實變實值函數(shù).主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數(shù), 并依據(jù)這些運算引進并研究一些非初等函數(shù).高等數(shù)學

（二）基本上是連續(xù)函數(shù)的微積分理論.微積運算是高等數(shù)學的基本運算.高等數(shù)學

（二）與微積分(calculus)的區(qū)別.二.高等數(shù)學

（二）的形成過程：

1． 孕育于古希臘時期： 在我國，很早就有極限思想.紀元前三世紀, Archimedes就有了積分思想.2.十七世紀以前是一個漫長的醞釀時期,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時期: 3.十七世紀下半葉到十九時紀上半葉 —— 微積分的創(chuàng)建時期

4.十九時紀上半葉到二十時紀上半葉 —— 分析學理論的完善和重建時期

三.高等數(shù)學

（二）課的特點: 邏輯性很強, 很細致, 很深刻;先難后易, 是說開頭一章有一定的難度, 倘能努力學懂這一章的8000, 后面的學習就會容易一些;只要在課堂上專心聽講, 一般是可以聽得懂的, 但即便能聽懂,習題還是難以順利完成.這是因為高等數(shù)學

（二）技巧性很強, 只了解基本的理論和方法, 不輔以相應的技巧, 是很難順利應用理論和方法的.論證訓練是高等數(shù)學

（二）課基本的,也是重要的內(nèi)容之一, 也是最難的內(nèi)容之一.一般懂得了證明后, 能把證明準確、嚴密、簡練地用數(shù)學的語言和符號書寫出來，似乎是更難的一件事.因此, 理解證明的思維方式, 學習基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語言和格式, 是高等數(shù)學

（二）教學貫穿始終的一項任務.有鑒于此, 建議的學習方法是: 預習, 課堂上認真聽講, 必須記筆記, 但要注意以聽為主,力爭在課堂上能聽懂七、八成.課后不要急于完成作業(yè), 先認真整理筆記, 補充課堂講授中太簡或跳過的推導, 閱讀教科書, 學習證明或推導的敘述和書寫.基本掌握了課堂教學內(nèi)容后, 再去做作業(yè).在學習中, 要養(yǎng)成多想問題的習慣.四.課堂講授方法: 1.關于教材: 沒有嚴格意義上的教科書.這是大學與中學教學不同的地方, 本課程主要從以

下教科書中取材: [1] 王綿森，馬知恩.工科數(shù)學分析基礎，高等教育出版社，1998。[2] 復旦大學數(shù)學系.數(shù)學分析.高等教育出版社，1983； [3] 華東師范大學數(shù)學系編，數(shù)學分析，高等教育出版社，1996；

[4] 符麗珍，劉克軒等。高等數(shù)學典型題分析解集, 西北工業(yè)大學出版社，2000； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.2.內(nèi)容多, 課時緊: 大學課堂教學與中學不同的是, 這里每次課介紹的內(nèi)容很多, 因此, 內(nèi)容重復的次數(shù)少, 講課只注重思想性與基本思路, 具體內(nèi)容或推導, 特別是同類型或較簡的推理論證及推導計算, 可能講得很簡, 留給課后的學習任務一般很重.3.講解的重點: 概念的意義與理解, 幾何直觀, 理論的體系, 定理的意義、條件、結(jié)論.定理證明的分析與思路, 具有代表性的證明方法, 解題的方法與技巧.某些精細概念之間的本質(zhì)差別.五.要求、輔導及考試：

1.學習方法: 盡快適應大學的學習方法, 盡快進入角色.課堂上以聽為主, 但要做課堂筆記.課后一定要認真復習消化, 補充筆記.一般課堂教學與課外復習的時間比例應為1 : 3 2.作業(yè): 作業(yè)以[1]的習題（A）中的習題為主要內(nèi)容.每兩周收一次作業(yè), 一次收清.每次重點檢查作業(yè)總數(shù)的二分之一.作業(yè)的收交和完成情況有一個較詳細的登記, 缺交作業(yè)將直接影響學期總評成績.作業(yè)要按數(shù)學排版格式書寫恭整.3.輔導: 大體每周一次, 第一學期要求輔導時不缺席.4.考試: 按學分制的要求, 只以大綱要求進行考試, 考試題為標準化試題.

第五篇：數(shù)學分析

360《數(shù)學分析》考試大綱

一． 考試要求：掌握函數(shù)，極限，微分，積分與級數(shù)等內(nèi)容。

二． 考試內(nèi)容：

第一篇 函數(shù)

一元與多元函數(shù)的概念，性質(zhì)，若干特殊函數(shù)，連續(xù)性。第二篇 極限

數(shù)列極限，一元與多元函數(shù)極限的概念及其性質(zhì)，實數(shù)的連續(xù)性（確界原理，單調(diào)有界原理，區(qū)間套定理，聚點定理，有限覆蓋定理等）。

第三篇 微分

一元與多元函數(shù)導數(shù)（偏導數(shù)）與微分的概念，性質(zhì)，公式，法則及應用；函數(shù)的單調(diào)性與凸性，極值與拐點，漸進線，函數(shù)作圖；隱函數(shù)。

第三篇 積分

不定積分的概念，性質(zhì)，公式，法則；定積分的概念，性質(zhì)，公式，法則及應用；反常積分與含參積分；重積分與曲線曲面積分。第四篇 級數(shù)

數(shù)項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)，冪級數(shù)與傅立葉級數(shù)的概念，性質(zhì)，公式，法則及應用。

參考書目：華東師范大學數(shù)學系，數(shù)學分析（上，下，第三版），高等教育出版社，2001年。