第一篇：2012年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義專題幾何圖形的歸納,猜想,證明(精)

飄藍(lán)工作室出品 版權(quán)所有 @Peuland.com 精英數(shù)學(xué)(004km.cn 2012年中考數(shù)學(xué)二輪專題幾何圖形的歸納 , 猜想 , 證明問(wèn)題 第一部分 真題精講 【例 1】 2011,海淀,一模

如圖, n +1個(gè)邊長(zhǎng)為 2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,設(shè) 211B D C ?的面積為 1S , 322B D C ?的面 積為 2S , … , 1n n n B D C +?的面積為 n S ,則 2S n S n 的式子表示.C 5C 4 C 3 C 2 C 1 B B B 2B A 【思路分析】 拿到這種題型,第一步就是認(rèn)清所求的圖形到底是什么樣的。本題還好,將陰影部分標(biāo) 出,不至于看錯(cuò)。但是如果不標(biāo)就會(huì)有同學(xué)誤以為所求的面積是 22B AC ?, 33B AC ?這種的 , 第二步就是看這

些圖形之間有什么共性和聯(lián)系.首先 2S 所代表的三角形的底邊 2C 2D 是三角形 2AC 2D 的底邊 , 而這個(gè)三角 形和△ 3AC 3B 是相似的.所以邊長(zhǎng)的比例就是 2AC 與 3AC 的比值.于是

212223S = 接下來(lái)通過(guò)

總結(jié) , 我們發(fā)現(xiàn)所求的三角形有一個(gè)最大的共性就是高相等 ，B 點(diǎn),將陰影部分放在 反過(guò)來(lái)的等邊三角形中看。那么既然是求面積,高相等,剩下的自然就是底邊的問(wèn)題了。我們發(fā)現(xiàn)所有 的 B,C 點(diǎn)連線的邊都是平行的, 于是自然可以得出 n D 自然是所在邊上的 n+1等分點(diǎn).例如 2D 就是 2B 2C 的 一個(gè)三等分點(diǎn).于是 1121n n n D C n +-=?+(n+1-1是什么意思 ? 為什么要減

1? 11122n n n B D C n n S D C +?= = 【例 2】 2011,山西,一模

在平面直角坐標(biāo)系中,我們稱邊長(zhǎng)為 1且頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的正方形為單位格點(diǎn) 正方形,如 圖,菱形 ABCD 的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(80-, ,(04 , ,(80 , ,(04-, ,則菱形 ABCD 能覆蓋的單位 格點(diǎn)正方形的個(gè)數(shù)是 _______個(gè);若菱形 n n n n A B C D 的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(20-, n ,(0 , n ,(20 , n ,(0-, n(n 為正整數(shù) ,則菱形 n n n n A B C D 能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個(gè)數(shù)為 _________(用含有 n 的式子 表示.飄藍(lán)工作室出品 版權(quán)所有 @Peuland.com 精英數(shù)學(xué)(004km.cn

【思路分析】 此題方法比較多,例如第一空直接數(shù)格子都可以數(shù)出是 48(笑。這里筆者提供一種方 法,其他方法大家可以自己去想想看。因?yàn)榍蟮氖橇庑伟恼叫蝹€(gè)數(shù),所以只需求出被 X,Y 軸所分的 四個(gè)三角形包涵的個(gè)數(shù), 再乘以 4即可。比如我們來(lái)看第二象限那個(gè)三角形。第二象限菱形那條邊過(guò)(-2n,0(0,n,自然可以寫(xiě)出直線解析式為

12y x n = +, 斜率 1 2 意味著什么 ? 看上圖 , 注意箭頭標(biāo)注的那些空白三角形 , 這些 RT 三角形一共有 2n/2=n個(gè) , 他們的縱直角邊與橫直角邊的比是不是就是 12 ? 而且這些直角三角形都是

全等的 , 面積均為兩個(gè)單位格點(diǎn)正方形的一半.那么整個(gè)的△ AOB 的面積自然就是 1 n n ??, 所有 n 個(gè)空白小 三角形的面積之和為 1212 n ???, 相減之后自然就是所有格點(diǎn)正方形的面積 2 n n-, 也就是數(shù)量了.所以整個(gè) 菱形的正方形格點(diǎn)就是 2 44n n-.【例 3】 2011,平谷,一模

如圖, 45AOB ∠=?,過(guò) OA 上到點(diǎn) O 的距離分別為 1357911...，，, 的點(diǎn)作 OA 的垂線與 OB 相交,得 到 并 標(biāo) 出 一 組 黑 色 梯 形 , 它 們 的 面 積 分 別 為 1234S S S S , , , ,.則 第 一 個(gè) 黑 色 梯 形 的 面 積

1S =;觀察圖中的規(guī)律,第 n(n 為 正 整 數(shù) 個(gè) 黑 色 梯 形 的 面 積 n S = 飄藍(lán)工作室出品 版權(quán)所有 @Peuland.com 精英數(shù)學(xué)

(004km.cn A...1311975310 【思路分析】 本題方法也比較多樣。所有陰影部分都是一個(gè)直角梯形,而因?yàn)?45AOB ∠=?,所以梯 形的上下底長(zhǎng)度分別都對(duì)應(yīng)了垂足到 0點(diǎn)的距離 , 而高則是固定的 2。第一個(gè)梯形上底是 1,下底是 3,所 以(1113242 S =?+?=.第二個(gè)梯形面積(21572122S =?+?=, 第三個(gè)是(319112202S =?+?=, 至此 , 我們發(fā) 現(xiàn)本題中梯形面積數(shù)值上其實(shí)就是上下底的和.而且各個(gè)梯形的上底都是前一個(gè)梯形上底加上 4。于是第 n 個(gè)梯形的上底就是 1+4(n-1=4n-3,(第一個(gè)梯形的上底 1加上(n-1個(gè) 4.下底自然就是 4n-1, 于是 n S 就是 8n-4.【例 4】 2011,豐臺(tái),一模

在平面直角坐標(biāo)系中, 橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn).請(qǐng)你觀察圖中正方形 A 1B 1C 1D 1, A 2B 2C 2D 2, A 3B 3C 3D 3…… 每個(gè)正方形四條邊上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù).按此規(guī)律推算出正方形 A 10B 10C 10D 10四條邊上的整點(diǎn)共有 個(gè).【思路分析】此題看似麻煩,但是只要把握住“正方形”這個(gè)關(guān)鍵就可以了。對(duì)于 n n n n A B C D 來(lái)說(shuō) , 每

條邊的長(zhǎng)度是 2n, 那么自然整點(diǎn)個(gè)數(shù)就是 2n+1, 所以四條邊上整點(diǎn)一共有(2n+1x4-4=8n(個(gè)(要減去四個(gè) 被重復(fù)算的頂點(diǎn) , 于是 10101010A B C D 就是 80個(gè).【例 5】 2011,河北,一模 如圖, △

ABC 中,∠ ACB=90°, AC=BC=1,取斜邊的中點(diǎn),向斜邊做垂線,畫(huà) 出一個(gè)新的等腰直角三角形,如此繼續(xù)下去,直到所畫(huà)直角三角形的斜邊與 △

ABC 的 BC 邊重疊為止,此時(shí)

飄藍(lán)工作室出品 版權(quán)所有 @Peuland.com 精英數(shù)學(xué)(004km.cn 這個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)為 _____.【思路分析】 本題依然要找出每個(gè)三角形和上一個(gè)三角形之間的規(guī)律聯(lián)系。關(guān)鍵詞 “中點(diǎn)” “垂線” “等 腰直角”。這就意味著每個(gè)三角形的銳角都是 45度,并且直角邊都是上一個(gè)三角形直角邊的一半。繞一圈 是 360度,包涵了 8個(gè) 45°。于是繞到第八次就可以和 BC 重疊了,此時(shí)邊長(zhǎng)為△ ABC 的 1 ,故而得解。【例 6】 2010,上海,二模

如圖,以等腰三角形 AOB 的斜邊為直角邊向外作第 2個(gè)等腰直角三角形 1 ABA ,再以等腰直角三角形

1ABA 的斜邊為直角邊向外作第個(gè)等腰直角三角形 11A BB ,??,如此作下去,若 1OA OB ==,則第 n 個(gè)等

腰直角三角形的面積 n S = ________(n 為正整數(shù).B 2 B 1 A 1 B O A 【思路分析】和上題很類似的幾何圖形外延拓展問(wèn)題。還是一樣慢慢找小三角形面積的規(guī)律。由題可 得

123124...222S S S ===, , , 分子就是 1,2,4,8,16這樣的數(shù)列。于是 22 n n S = 【總結(jié)】 幾何圖形的歸納總結(jié)問(wèn)題其實(shí)就包括了代數(shù)方面的數(shù)列問(wèn)題,只不過(guò)需要考生自己找出圖形 與圖形之間的聯(lián)系而已。對(duì)于這類問(wèn)題,首先就是要仔細(xì)讀題,看清楚題目所求的未知量是什么,然后找 出各個(gè)未知量之間的聯(lián)系,這其中就包括了尋找未知量的拓展過(guò)程中,哪些變了,哪些沒(méi)有變。最后根據(jù) 這些聯(lián)系列出通項(xiàng)去求解。在遇到具體關(guān)系很難找的問(wèn)題時(shí),不妨先寫(xiě)出第一項(xiàng),第二項(xiàng),第三項(xiàng)然后去 找數(shù)式上的規(guī)律,如上面例 6就是一例,如果糾結(jié)于幾何圖形當(dāng)中等腰三角形直角邊的平方,反而會(huì)使問(wèn) 題復(fù)雜化,直接列出前幾項(xiàng)的面積就可以大膽的猜測(cè)出來(lái)結(jié)果了。這類題目計(jì)算量往往不大,重在思考和 分析的方法,還請(qǐng)考生細(xì)心掌握。

第二部分 發(fā)散思考

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(004km.cn 【思考 1】 2011,浙江,二模

如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中, 1B(0,1, 2B(0,3, 3 B(0,6, 4B(0,10,?,以 12B B 為對(duì)角線作第一個(gè)正方形 1112A B C B ,以 23B B 為對(duì)角線作第二個(gè)正方形 2223A B C B ,以 34B B 為對(duì)角線作第

三個(gè)正方形 3334A B C B ,?,如果所作正方形的對(duì)角線 1n n B B +都在 y 軸上,且 1n n B B +的長(zhǎng)度依次增加 1個(gè)單位,頂點(diǎn) n A 都在第一象 限內(nèi)(n ≥ 1,且 n 為整數(shù).那么 1

A 的縱坐標(biāo)為;用 n 的代數(shù)式表示 n A 的縱坐標(biāo):.【思考 2】 2011,朝陽(yáng),一模

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一顆棋子從點(diǎn) P 處開(kāi)始跳動(dòng),第一 次跳到點(diǎn) P 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) 1 P 處,接著跳到點(diǎn) 1 P 關(guān)于 y 軸 的對(duì)稱點(diǎn) 2P 處,第三次再跳到點(diǎn) 2P 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)處, … , 如此循環(huán)下去.當(dāng)跳動(dòng)第 2009次時(shí),棋子落點(diǎn)處的坐標(biāo)是.【思考 3】 2011,昌平, 一模

對(duì)于大于或等于 2的自然數(shù) n 的平方進(jìn)行如下“分裂” ,分裂成 n 個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和,則自然數(shù) 72 的分

裂數(shù)中最大的數(shù)是 ,自然數(shù) n 的分裂數(shù)中最大的數(shù)是.【思考 4】 2011,湖北,一模

一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在第一象限及 x 軸、y 軸上運(yùn)動(dòng),在第一秒鐘,它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(01 , ,然后接著按圖中箭頭 所示方向運(yùn)動(dòng) , 即(00(01(11(10 →→→→, , , , … ,且每秒移動(dòng)一個(gè)單位,那么第 35秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位 置的坐標(biāo)是 _______ 1 3 1 3 5 本站部分資源網(wǎng)友上傳，來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)，如果涉及版權(quán)問(wèn)題，請(qǐng)及時(shí)聯(lián)系我站，我們會(huì)第一時(shí)間刪除，精英部落 QQ 群： 172077288 y 3 2 1 0 1 2 3 ? x 【思考 5】2011，海淀，二模 如圖，將邊長(zhǎng)為 其對(duì)應(yīng)的正方形的中心依 的正方形紙片從左到右順次擺放，次為 A1, A2, A3, ?.①若擺放前 6 個(gè)正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）之和為 ；②若擺放前 n（n 為大于 1 的正.A1 A2 A3 A4 整數(shù)）個(gè)正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）之和為 第三部分 思考題解析 【思考 1 答案】2；

【思考 2 答案】（3，－2）

【思考 4 答案】（5，0）【思考 3 答案】13；2n-1 【思考 5 答案】10，飄藍(lán)工作室出品 版權(quán)所有@Peuland.com 精英數(shù)學(xué)(004km.cn

第二篇：2014年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型：猜想型問(wèn)題

2014年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型：猜想型問(wèn)題進(jìn)入中考二輪復(fù)習(xí)階段，考生們應(yīng)該進(jìn)行專項(xiàng)的有針對(duì)性的復(fù)習(xí)，哪里薄弱攻哪里？中考數(shù)學(xué)題型中有這么一類——?dú)w納猜想型問(wèn)題的中考題，高分網(wǎng)小編和考生分享下這類題型的特點(diǎn)及知識(shí)點(diǎn)分類，希望對(duì)大家有所幫助！

【猜想型問(wèn)題的特點(diǎn)】

猜想是對(duì)研究的對(duì)象或問(wèn)題，進(jìn)行認(rèn)真細(xì)致的觀察，通過(guò)實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等，依據(jù)已有的材料知識(shí)，自己“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)結(jié)論，作出符合一定的經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象的思維方法?，F(xiàn)代認(rèn)知理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是主體主動(dòng)的意義建構(gòu)活動(dòng)，是主體頭腦里建立和發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，是數(shù)學(xué)活動(dòng)及其經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化的過(guò)程，而猜想是對(duì)抽象化的、形式化的數(shù)學(xué)進(jìn)行思辨過(guò)程。

【猜想型問(wèn)題的解決方法】

通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐、自主探索，動(dòng)腦獨(dú)立思考，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)、操作、觀察、類比、歸納、猜想等活動(dòng)，自己“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)結(jié)論。同時(shí)，需要將猜想與動(dòng)手操作有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，并對(duì)此探索出來(lái)的結(jié)論進(jìn)行證明。依據(jù)“操作-猜想”與體驗(yàn)教學(xué)的相通性，根據(jù)自己的觀察實(shí)驗(yàn)，在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上提出合理的猜想，在“手腦并用”中體會(huì)“觀察--聯(lián)想--類比--猜想”的思想方法，猜想也不是直觀而蒼白無(wú)力的主觀判斷，而是經(jīng)過(guò)了觀察、動(dòng)手操作、測(cè)量，運(yùn)用了測(cè)量歸納、類比驗(yàn)證等數(shù)學(xué)思想方法，得出來(lái)的符合一定的經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的數(shù)學(xué)結(jié)論。

【猜想型問(wèn)題的分類】

這一類題目，主要集中在數(shù)式規(guī)律、圖形規(guī)律、數(shù)型規(guī)律、圖形中的規(guī)律探索這幾個(gè)方面，因而，根據(jù)其特點(diǎn)，我們將其分為：數(shù)式規(guī)律、圖形規(guī)律、數(shù)型規(guī)律、探究圖形中的規(guī)律這幾類。

第三篇：2018屆中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第14講幾何圖形初步

2018屆中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第14講平面幾何圖形初步

【知識(shí)鞏固】

一、直線、射線、線段和角

（一）幾何圖形：

1、幾何圖形：從形形色色的物體外形中得到的圖形叫做幾何圖形。

2、立體

圖形：這些幾何圖形的各部分不都在同一個(gè)平面內(nèi)。

3、平面圖形：這些幾何圖形的各部分都在同一個(gè)平面內(nèi)。

4、雖然立體圖形與平面圖形是兩類不同的幾何圖形，但它們是互相聯(lián)系的。立體圖形中某些部分是平面圖形。

5、三視圖：從左面看，從正面看，從上面看

6、展開(kāi)圖：有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開(kāi)，可以展開(kāi)成平面圖形。這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開(kāi)圖。

7、⑴幾何體簡(jiǎn)稱體；包圍著體的是面；面面相交形成線；線線相交形成點(diǎn)；

⑵點(diǎn)無(wú)大小，線、面有曲直； ⑶幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體組成的； ⑷點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體； ⑸點(diǎn)：是組成幾何圖形的基本元素。

（二）直線、射線、線段：

1、直線公理：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。即：兩點(diǎn)確定一條直線。

2、當(dāng)兩條不同的直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們就稱這兩條直線相交，這個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn)。

3、把一條線段分成相等的兩條線段的點(diǎn)，叫做這條線段的中點(diǎn)。

4、線段公理：兩點(diǎn)的所有連線中，線段做短（兩點(diǎn)之間，線段最短）。

5、連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離。

6、直線的表示方法：

7、在直線上取點(diǎn)O，把直線分成兩個(gè)部分，去掉一邊的一個(gè)部分，保留點(diǎn)0和另一部分就得到一條射線，如上圖就是一條射線，記作射線OM或記作射線a． 注意：射線有一個(gè)端點(diǎn)，向一方無(wú)限延伸．

8、在直線上取兩個(gè)點(diǎn)A、B，把直線分成三個(gè)部分，去掉兩邊的部分，保留點(diǎn)A、B和中間的一部分就得到一條線段．如圖就是一條線段，記作線段AB或記作線段a． 注意：線段有兩個(gè)端點(diǎn)．

（三）角：

1.角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫角。這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，兩條射線為角的兩邊。如圖，角的頂點(diǎn)是O，兩邊分別是射線OA、OB．

2、角有以下的表示方法：

① 用三個(gè)大寫(xiě)字母及符號(hào)“∠”表示．三個(gè)大寫(xiě)字母分別是頂點(diǎn)和兩邊上的任意點(diǎn)，頂點(diǎn)的字母必須寫(xiě)在中間．如上圖的角，可以記作∠AOB或∠BOA． ② 用一個(gè)大寫(xiě)字母表示．這個(gè)字母就是頂點(diǎn)．如上圖的角可記作∠O．當(dāng)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的角是同一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，不能用一個(gè)大寫(xiě)字母表示． ③ 用一個(gè)數(shù)字或一個(gè)希臘字母表示．在角的內(nèi)部靠近角的頂點(diǎn)

處畫(huà)一弧線，寫(xiě)上希臘字母或數(shù)字．如圖的兩個(gè)角，分別記作∠?、∠1

2、以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制。角的度、分、秒是60進(jìn)制的。1度=60分 1分=60秒 1周角=360度 1平角=180度

3、角的平分線：一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做 這個(gè)角的平分線。

4、如果兩個(gè)角的和等于90度（直角），就說(shuō)這兩個(gè)叫互為余角，即其中每一個(gè)角是另一個(gè)角的余角；

如果兩個(gè)角的和等于180度（平角），就說(shuō)這兩個(gè)叫互為補(bǔ)角，即其中每一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角。

5、同角（等角）的補(bǔ)角相等；同角（等角）的余角相等。

6、方位角：一般以正南正北為基準(zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向。

二、相交線

1、相交線中的角

兩條直線相交，可以得到四個(gè)角，我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)但沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角叫做臨補(bǔ)角。臨補(bǔ)角互補(bǔ)，對(duì)頂角相等。

直線AB，CD與EF相交（或者說(shuō)兩條直線AB，CD被第三條直線EF所截），構(gòu)成八個(gè)角。其中∠1與∠5這兩個(gè)角分別在AB，CD的上方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同的一對(duì)角

1?叫做同位角；∠3與∠5這兩個(gè)角都在AB，CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；∠3與∠6在直線AB，CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做同旁內(nèi)角。

2、垂線

兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。

直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最短。

三、平行線

1、平行線的概念

在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號(hào)“∥”表示，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”。

同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。

2、平行線公理及其推論

平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

3、平行線的判定

平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行。平行線的兩條判定定理：

（1）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

（2）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線平行。簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

4、平行線的性質(zhì)

（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

四、命題、定理、證明

1、命題的概念

判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題。

2、命題的分類：按正確、錯(cuò)誤與否分為：真命題和假命題 所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題。所謂錯(cuò)誤的命題就是：如果題設(shè)成立，不能證明結(jié)論總是成立的命題。

3、公理

人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的得到人們公認(rèn)的真命題，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。

5、證明

判斷一個(gè)命題的正確性的推理過(guò)程叫做證明?！镜淅馕觥?典例

一、幾何圖形

（2016·浙江省紹興市·4分）如圖是一個(gè)正方體，則它的表面展開(kāi)圖可以是（A． B． C． D．

【考點(diǎn)】幾何體的展開(kāi)圖．）【分析】根據(jù)含有田字形和凹字形的圖形不能折成正方體可判斷A、C，D，故此可得到答案．

【解答】解：A、含有田字形，不能折成正方體，故A錯(cuò)誤； B、能折成正方體，故B正確；

C、凹字形，不能折成正方體，故C錯(cuò)誤； D、含有田字形，不能折成正方體，故D錯(cuò)誤． 故選：B． 【變式訓(xùn)練】

4分）如圖是一個(gè)正方體，則它的表面展開(kāi)圖可以是（）（2016·浙江省紹興市·

A． B． C． D．

【考點(diǎn)】幾何體的展開(kāi)圖．

【分析】根據(jù)含有田字形和凹字形的圖形不能折成正方體可判斷A、C，D，故此可得到答案.【解答】解：A、含有田字形，不能折成正方體，故A錯(cuò)誤； B、能折成正方體，故B正確；

C、凹字形，不能折成正方體，故C錯(cuò)誤； D、含有田字形，不能折成正方體，故D錯(cuò)誤． 故選：B．

典例

二、直線、射線和線段

（2016?金華）足球射門，不考慮其他因素，僅考慮射點(diǎn)到球門AB的張角大小時(shí)，張角越大，射門越好．如圖的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，球員帶球沿CD方向進(jìn)攻，最好的射點(diǎn)在（）

A．點(diǎn)C B．點(diǎn)D或點(diǎn)E C．線段DE（異于端點(diǎn)）上一點(diǎn) D．線段CD（異于端點(diǎn)）上一點(diǎn) 【分析】連接BC，AC，BD，AD，AE，BE，再比較∠ACB，∠ADB，∠AEB的大小即可．

【解答】解：連接BC，AC，BD，AD，AE，BE，通過(guò)測(cè)量可知∠ACB＜∠ADB＜∠AEB，所以射門的點(diǎn)越靠近線段DE，角越大，故最好選擇DE（異于端點(diǎn)）上一點(diǎn)，故選C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比較角的大小，一般情況下比較角的大小有兩種方法：①測(cè)量法，即用量角器量角的度數(shù)，角的度數(shù)越大，角越大．②疊合法，即將兩個(gè)角疊合在一起比較，使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合，觀察另一邊的位置． 【變式訓(xùn)練】

（2016?臺(tái)灣）如圖

（一），=1：3，：

為一條拉直的細(xì)線，A、B兩點(diǎn)在折向，使得

上，且重迭在： =3：5．若先固定B點(diǎn)，將上，如圖

（二），再?gòu)膱D

（二）的A點(diǎn)及與A點(diǎn)重迭處一起剪開(kāi)，使得細(xì)線分成三段，則此三段細(xì)線由小到大的長(zhǎng)度比為何？（）

A．1：1：1 B．1：1：2 C．1：2：2 D．1：2：5 【分析】根據(jù)題意可以設(shè)出線段OP的長(zhǎng)度，從而根據(jù)比值可以得到圖一中各線段的長(zhǎng)，根據(jù)題意可以求出折疊后，再剪開(kāi)各線段的長(zhǎng)度，從而可以求得三段細(xì)線由小到大的長(zhǎng)度比，本題得以解決． 【解答】解：設(shè)OP的長(zhǎng)度為8a，∵OA：AP=1：3，OB：BP=3：5，∴OA=2a，AP=6a，OB=3a，BP=5a，又∵先固定B點(diǎn)，將OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如圖

（二），再?gòu)膱D

（二）的A點(diǎn)及與A點(diǎn)重迭處一起剪開(kāi)，使得細(xì)線分成三段，∴這三段從小到大的長(zhǎng)度分別是：2a、2a、4a，∴此三段細(xì)線由小到大的長(zhǎng)度比為：2a：2a：4a=1：1：2，故選B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查比較線段的長(zhǎng)短，解題的關(guān)鍵是理解題意，求出各線段的長(zhǎng)度． 典例

三、角

（2017廣東）已知∠A=70°，則∠A的補(bǔ)角為（）A．110° B．70° C．30° D．20°

【考點(diǎn)】IL：余角和補(bǔ)角．

【分析】由∠A的度數(shù)求出其補(bǔ)角即可． 【解答】解：∵∠A=70°，∴∠A的補(bǔ)角為110°，故選A 【變式訓(xùn)練】

（2017廣西河池）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，若∠BOC=60°，則∠AOC的大小是（）

A．60° B．90° C．120° 【考點(diǎn)】IF：角的概念．

D．150°

【分析】根據(jù)點(diǎn)O在直線AB上，∠BOC=60°，即可得出∠AOC的度數(shù)． 【解答】解：∵點(diǎn)O在直線AB上，∴∠AOB=180°，又∵∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，故選：C． 典例

四、相交線

（2016·福建龍巖·4分）下列命題是假命題的是（）A．若|a|=|b|，則a=b B．兩直線平行，同位角相等 C．對(duì)頂角相等

D．若b2﹣4ac＞0，則方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 【考點(diǎn)】命題與定理．

【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．

【解答】解：A、若|a|=|b|，則a﹣b=0或a+b=0，故A錯(cuò)誤； B、兩直線平行，同位角相等，故B正確； C、對(duì)頂角相等，故C正確；

D、若b﹣4ac＞0，則方程ax+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，故D正確； 故選：A． 【變式訓(xùn)練】

（2016?賀州）如圖，已知∠1=60°，如果CD∥BE，那么∠B的度數(shù)為（）

22A．70° B．100° C．110° D．120°

【分析】先根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠2的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

【解答】解：∵∠1=60°，∴∠2=180°﹣60°=120°． ∵CD∥BE，∴∠2=∠B=120°． 故選D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同位角相等． 典例

五、平行線

（2017畢節(jié)）如圖，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E，若∠C=70°，則∠AED=（）

A．55° B．125° C．135°

D．140°

【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)．

【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠CAB，根據(jù)角平分線求出∠EAB，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠AED即可．

【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=70°，∴∠CAB=180°﹣70°=110°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=55°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣55°=125°． 故選：B． 【變式訓(xùn)練】

(2017湖南懷化)如圖，直線a∥b，∠1=50°，則∠2的度數(shù)是（）

A．130° B．50° C．40° D．150°

【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)． 【分析】利用平行線的性質(zhì)得出∠1=∠3=50°，再利用對(duì)頂角的定義得出即可． 【解答】解：如圖：∵直線a∥直線b，∠1=50°，∴∠1=∠3=50°，∴∠2=∠3=50°． 故選：B．

典例

六、命題、定理、證明

（2017廣西百色）下列四個(gè)命題中：①對(duì)頂角相等；②同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；④兩直線平行，同位角相等，其中假命題的有 ②（填序號(hào)）【考點(diǎn)】O1：命題與定理．

【分析】要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．

【解答】解：①對(duì)頂角相等是真命題； ②同旁內(nèi)角互補(bǔ)是假命題；

③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是真命題； ④兩直線平行，同位角相等是真命題； 故假命題有②，故答案為：②． 【變式訓(xùn)練】

（2017呼和浩特）下面三個(gè)命題： ①若是方程組

2的解，則a+b=1或a+b=0；

2②函數(shù)y=﹣2x+4x+1通過(guò)配方可化為y=﹣2（x﹣1）+3； ③最小角等于50°的三角形是銳角三角形，其中正確命題的序號(hào)為 ②③ ． 【考點(diǎn)】O1：命題與定理．

【分析】①根據(jù)方程組的解的定義，把

代入，即可判斷；

②利用配方法把函數(shù)y=﹣2x2+4x+1化為頂點(diǎn)式，即可判斷； ③根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及銳角三角形的定義即可判斷． 【解答】解：①把

代入，得，如果a=2，那么b=1，a+b=3； 如果a=﹣2，那么b=﹣7，a+b=﹣9． 故命題①是假命題；

②y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故命題②是真命題；

③最小角等于50°的三角形，最大角不大于80°，一定是銳角三角形，故命題③是真命題． 所以正確命題的序號(hào)為②③． 故答案為②③．

典例

七、平行相交的綜合應(yīng)用

（2017呼和浩特）如圖，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E，若∠C=48°，則∠AED為 114 °．

【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)；IJ：角平分線的定義．

【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠CAB的度數(shù)，根據(jù)角平分線求出∠EAB的度數(shù)，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠AED的度數(shù)即可． 【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=48°，∴∠CAB=180°﹣48°=132°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=66°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣66°=114°，故答案為：114． 【變式訓(xùn)練】

（2017湖北荊州）一把直尺和一塊三角板ABC（含30°、60°角）擺放位置如圖所示，直尺一邊與三角板的兩直角邊分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，另一邊與三角板的兩直角邊分別交于點(diǎn)F、點(diǎn)A，且∠CDE=40°，那么∠BAF的大小為（）

A．40° B．45° C．50° D．10° 【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)．

【分析】先根據(jù)∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根據(jù)DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根據(jù)∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大?。?【解答】解：由圖可得，∠CDE=40°，∠C=90°，∴∠CED=50°，又∵DE∥AF，∴∠CAF=50°，∵∠BAC=60°，∴∠BAF=60°﹣50°=10°，故選：D． 【能力檢測(cè)】

1.（2017貴州安順）如圖，已知a∥b，小華把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上．若∠1=40°，則∠2的度數(shù)為（）

A．100° B．110° C．120° D．130°

【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)．

【分析】先根據(jù)互余計(jì)算出∠3=90°﹣40°=50°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)由a∥b得到∠2=180°﹣∠3=130°．

【解答】解：∵∠1+∠3=90°，∴∠3=90°﹣40°=50°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°． ∴∠2=180°﹣50°=130°． 故選：D．

2.（2016?荊州）如圖，AB∥CD，射線AE交CD于點(diǎn)F，若∠1=115°，則∠2的度數(shù)是（）

A．55° B．65° C．75° D．85°

【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可求出∠AFD的度數(shù)，然后根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠2的度數(shù)． 【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1+∠F=180°，∵∠1=115°，∴∠AFD=65°，∵∠2和∠AFD是對(duì)頂角，∴∠2=∠AFD=65°，故選B．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

3.（2017四川南充）如圖，直線a∥b，將一個(gè)直角三角尺按如圖所示的位置擺放，若∠1=58°，則∠2的度數(shù)為（）

A．30° B．32° C．42° D．58° 【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)．

【分析】先利用平行線的性質(zhì)得出∠3，進(jìn)而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行線的性質(zhì)即可； 【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AB∥b，∴∠3=∠1=58°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=90°﹣∠3=32°，∵a∥b，AB∥B，∴AB∥b，∴∠2=∠4=32°，故選B．

4.（2016?陜西）如圖，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E，若∠C=50°，則∠AED=（）

A．65° B．115° C．125° D．130°

【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠CAB的度數(shù)，根據(jù)角平分線求出∠EAB的度數(shù)，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠AED的度數(shù)即可． 【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣50°=130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣65°=115°，故選B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義和平行線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，②兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)． 5.（2017日照）如圖，AB∥CD，直線l交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，若∠1=60°，則∠2等于（）

A．120° B．30° C．40° D．60°

【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)．

【分析】根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】解：∵∠AEF=∠1=60°，∵AB∥CD，∴∠2=∠AEF=60°，故選D．

6.（2017內(nèi)江）如圖，直線m∥n，直角三角板ABC的頂點(diǎn)A在直線m上，則∠α的余角等于（）

A．19° B．38° C．42° D．52°

【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)；IL：余角和補(bǔ)角．

【分析】過(guò)C作CD∥直線m，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠DCA=∠FAC=38°，∠α=∠DCB，求出即可．

【解答】解：過(guò)C作CD∥直線m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，則∠a的余角是52°． 故選D．

7.（2016·山東省濱州市·3分）如圖，AB∥CD，直線EF與AB，CD分別交于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)N的直線GH與AB交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．∠EMB=∠END B．∠BMN=∠MNC C．∠CNH=∠BPG D．∠DNG=∠AME 【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，找出各相等的角，再去對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論． 【解答】解：A、∵AB∥CD，∴∠EMB=∠END（兩直線平行，同位角相等）； B、∵AB∥CD，∴∠BMN=∠MNC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）； C、∵AB∥CD，∴∠CNH=∠MPN（兩直線平行，同位角相等），∵∠MPN=∠BPG（對(duì)頂角），∴∠CNH=∠BPG（等量代換）； D、∠DNG與∠AME沒(méi)有關(guān)系，無(wú)法判定其相等． 故選D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合平行線的性質(zhì)來(lái)對(duì)照四個(gè)選擇．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵．

8.（2016海南3分）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、C分別在直線a、b上，且a∥b，∠1=60°，則∠2的度數(shù)為（）

A．30° B．45° C．60° D．75° 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．

【分析】首先過(guò)點(diǎn)D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度數(shù)，易得∠ADC=∠2+∠3，繼而求得答案．

【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE∥a，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°． 故選C．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．

第四篇：3+1復(fù)習(xí)5.6數(shù)學(xué)歸納法歸納猜想證明

高三3+1復(fù)習(xí)——5.6數(shù)學(xué)歸納法歸納猜想證明

5．6歸納、猜想、證明（講義）

復(fù)習(xí)目標(biāo)：1.掌握數(shù)學(xué)歸納法證明的書(shū)寫(xiě)過(guò)程

2.掌握用數(shù)歸法證明恒等式及整除問(wèn)題

3.培養(yǎng)觀察、歸納、猜想、證明的能力

例1.求證：2＋4?6????2n??22222n?n?1??2n?1? n?N* 3??

用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟：

1）證明

2）假設(shè)命題成立；證明 由1）2）得：命題對(duì)于都成立。

11111111??????例2.求證 ：1?????? 2342n?12nn?1n?2n?n

例3.設(shè)f?n??111＋＋?＋n?N*，那么f?n?1??f?n?＝__________ n?1n?22n

111111(A)；(B)；(C)＋；（D）－ 2n?12n?22n?12n?22n?12n?2??

例4.用數(shù)學(xué)歸納法證明12－22＋32－42＋?＋?2n－1???2n???n?2n?1? 時(shí)，當(dāng)n?k?1時(shí)2

2比n?k時(shí)，等式左邊增加的項(xiàng)是____________________

例5.在數(shù)列?an?中，9Sn?10an?7n n?N*

（1）求出a1,a2,a3，并猜想?an?的通項(xiàng)公式；

（2）用數(shù)歸法證明你的結(jié)論.??

高三3+1復(fù)習(xí)——5.6數(shù)學(xué)歸納法歸納猜想證明

5．6歸納、猜想、證明（學(xué)生版）

1.某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果n?kn?N*時(shí)該命題成立，可推得n?k?1時(shí)命題成立，現(xiàn)

為了推得n?5時(shí)該命題不成立，則有（）

(A)n?6時(shí)命題不成立；(B)n?6時(shí)命題成立；

(C)n?4時(shí)命題不成立；(D)n?4時(shí)命題成立；

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1?a?a???a

____________________________

2n?1??1?an?2??a?1?，在驗(yàn)證n?1時(shí)，左端計(jì)算所得項(xiàng)為1?a

n?n?1? ?n?N*?時(shí)，在假設(shè)2

n?k等式成立后.要證明n?k?1時(shí)也成立，這時(shí)要證明的等式為_(kāi)____________________________________________

111111114.數(shù)學(xué)歸納法證明：1????????????n?N*時(shí)，當(dāng)n從k到2342n?12nn?1n?2n?n

k?1時(shí)等式左邊增加的項(xiàng)為_(kāi)___________________________________；等式右邊增加的項(xiàng)為_(kāi)_____________________________________

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式12－22＋32－42＋?＋?－1?n?1n2???1?n?1??

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：3?5????2n?1??222n4n2?12n?11 3??

6.已知正數(shù)列?an?n?N*中前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn?an?

然后用數(shù)歸法證明.??1，求a1,a2,a3，并猜測(cè)通項(xiàng)an，an

第五篇：中考數(shù)學(xué)猜想證明題

2012年的8個(gè)解答題的類型

一實(shí)數(shù)的計(jì)算、整式的化簡(jiǎn)求值、分式的化簡(jiǎn)求值、解分式方程、解二元一次方程組、解不等式組并在數(shù)軸上表示解集

二畫(huà)圖與計(jì)算、圓的證明與計(jì)算、三角函數(shù)應(yīng)用題

三統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題、用列表法或樹(shù)形圖求某以事件的概率、統(tǒng)計(jì)與概率的綜合應(yīng)用題

四一次與反比例函數(shù)的數(shù)形結(jié)合、二次函數(shù)的數(shù)形結(jié)合、列方程或方程組解應(yīng)用題

五、猜想與證明題

六、綜合應(yīng)用題

七、探索發(fā)現(xiàn)應(yīng)用題

八、動(dòng)點(diǎn)應(yīng)用題

現(xiàn)在舉出典例來(lái)領(lǐng)悟猜想與證明題的解題思路：