微專題18 解題有法——領(lǐng)悟四種數(shù)學思想巧突破
高考數(shù)學以能力立意，一是考查數(shù)學的基礎(chǔ)知識，基本技能；二是考查基本數(shù)學思想方法，考查數(shù)學思維的深度、廣度和寬度。數(shù)學思想方法是指從數(shù)學的角度來認識、處理和解決問題，是數(shù)學意識，數(shù)學技能的升華和提高，中學數(shù)學思想主要有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想
一、函數(shù)與方程思想
函數(shù)思想
方程思想
函數(shù)思想的實質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象其數(shù)學特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使問題得到解決
方程思想的實質(zhì)就是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，根據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程(組)，通過解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進行研究，以求得問題的解決
函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成的。函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究，方程思想則是在動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系
【例1】(1)已知f
(x)＝log2x，x∈[2,16]，對于函數(shù)f
(x)值域內(nèi)的任意實數(shù)m，使x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立的實數(shù)x的取值范圍為()
A．(－∞，－2]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
(2)已知f
(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增。若實數(shù)a滿足f
(2|a－1|)>f
(－)，則a的取值范圍是________。
【解析】(1)因為x∈[2,16]，所以f
(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]。不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即為m(x－2)＋(x－2)2>0對m∈[1,4]恒成立。設(shè)g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，則此函數(shù)在區(qū)間[1,4]上恒大于0，所以即
解得x<－2或x>2。
(2)由f
(x)是偶函數(shù)且f
(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增可知，f
(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減。又因為f
(2|a－1|)>f
(－)，而f
(－)＝f
()，所以2|a－1|<，即|a－1|<，解得 【答案】(1)D(2) 函數(shù)與方程思想在不等式問題中的應(yīng)用要點 (1)在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，然后利用函數(shù)的值域解決問題。 (2)要注意在一個含多個變量的數(shù)學問題中，需要進行常變量分離，確定主要變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化。一般地，已知范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù)。 【變式訓練1】 定義域為R的可導函數(shù)y＝f (x)的導函數(shù)為f ′(x)，滿足f (x)>f ′(x)，且f (0)＝1，則不等式<1的解集為() A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 解析 構(gòu)造函數(shù)g(x)＝，則g′(x)＝＝。由題意得g′(x)<0恒成立，所以函數(shù)g(x)＝在R上單調(diào)遞減。又因為g(0)＝＝1，所以<1，即g(x) 答案 B 二、數(shù)形結(jié)合思想 以形助數(shù)(數(shù)題形解) 以數(shù)輔形(形題數(shù)解) 借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即以形作為手段，以數(shù)作為目的解決數(shù)學問題的數(shù)學思想 借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，以形作為目的解決問題的數(shù)學思想 數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合【例2】 已知直線(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0所過定點恰好落在函數(shù)f (x)＝的圖象上，若函數(shù)h(x)＝f (x)－mx＋2有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是() A． B.C.D．(1，＋∞) 【解析】 由(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0，得(x＋y－4)－m(x－3y)＝0，所以由可得直線過定點(3,1)，所以loga3＝1，所以a＝3。令f (x)－mx＋2＝0，得f (x)＝mx－2，在同一坐標系中作出y1＝f (x)與y2＝mx－2的圖象(如圖所示)，易得 【答案】 B (1)本題利用了數(shù)形結(jié)合思想，把函數(shù)h(x)＝f (x)－mx＋2有三個不同的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1＝f (x)與y2＝mx－2的圖象有三個不同的交點。 (2)利用數(shù)形結(jié)合探究方程解的問題應(yīng)注意兩點 ①討論方程的解(或函數(shù)的零點)一般可構(gòu)造兩個函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩圖象的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準確性、全面性，否則會得到錯解。 ②正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準為原則，不要刻意去用數(shù)形結(jié)合。 【變式訓練2】 已知函數(shù)y＝f (x)(x∈R)滿足f (x＋2)＝2f (x)，且x∈[－1,1]時，f (x)＝－|x|＋1，則當x∈[－10,10]時，y＝f (x)與g(x)＝log4|x|的圖象的交點個數(shù)為() A．13 B．12 C．11 D．10 解析 先作出函數(shù)y＝f (x)在[－1,1]內(nèi)的圖象，由f (x＋2)＝2f (x)可知函數(shù)圖象向右平移兩個單位后，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，即函數(shù)圖象縱向拉伸為原來的2倍，則向左平移兩個單位后圖象縱向縮為原來的。如圖，作出函數(shù)y＝f (x)在[－10,10]上的圖象，然后作出函數(shù)g(x)＝log4|x|的圖象。由圖可知，兩函數(shù)圖象在y軸左側(cè)的交點為(－1,0)和，共有2個交點，在y軸右側(cè)共有9個交點。綜上，知f (x)與g(x)的圖象共有11個交點。故選C。 答案 C 【例3】 已知函數(shù)f (x)＝sinx，若存在x1，x2，…，xm滿足0≤x1 (x1)－f (x2)|＋|f (x2)－f (x3)|＋…＋|f (xm－1)－f (xm)|＝12(m≥2，m∈N*)，則m的最小值為________。 【解析】 對任意的xi，xj，|f (xi)－f (xj)|≤f (x)max－f (x)min＝2，欲使m取得最小值，則盡可能使xi(i＝1,2，…，m)取最值點，考慮到0≤x1 (x1)－f (x2)|＋|f (x2)－f (x3)|＋…＋|f (xm－1)－f (xm)|＝12(m≥2，m∈N*)，則按照如圖所示取值可以滿足條件，所以m的最小值為8。 【答案】 8 涉及三角函數(shù)的性質(zhì)問題，同時還涉及絕對值及其應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合法進行直觀分析與處理，省去不必要的推理與分析以及繁雜的運算，有效地解決有關(guān)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題。 【變式訓練3】 已知函數(shù)f (x)＝sinx，若存在x1，x2，…，xm滿足0≤x1 008π，且|f (x1)－f (x2)|＋|f (x2)－f (x3)|＋…＋|f (xm－1)－f (xm)|＝2 016(m≥2，m∈N*)，則m的最小值為________。 解析 對任意的xi，xj，|f (xi)－f (xj)|≤f (x)max－f (x)min＝2，欲使m取得最小值，盡可能讓xi(i＝1,2，…，m)取最值點，由以上分析知f (x1)＝f (xm)＝0，中間的f (x2)，f (x3)，…，f (xm－1)有規(guī)律地取1與－1，且逐一間隔開，即若f (x2)＝1，則f (x3)＝－1，f (x4)＝1，f (x5)＝－1，…，此時m才取得最小值，又0≤x1 008π，|f (x1)－f (x2)|＋|f (x2)－f (x3)|＋…＋|f (xm－1)－f (xm)|＝2 016(m≥2，m∈N*)，那么2 016－2＝2 014，2 014÷2＝1 007，即中間有1 007組|f (xi)－f (xj)|＝2的關(guān)系式，此時對應(yīng)的自變量有1 007＋1＝1 008(個)，故此時m的值是1 008＋2＝1 010，即m的最小值為1 010。 答案 1 010 三、分類整合思想 分類整合思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略。對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度；分類研究后還要對討論結(jié)果進行整合。 【例4】(1)設(shè)函數(shù)f (x)＝則滿足f (f (a))＝2f (a)的a的取值范圍是() A． B．[0,1] C． D．[1，＋∞) (2)設(shè)F 1，F(xiàn) 2為橢圓＋＝1的兩個焦點，P為橢圓上一點。已知P，F(xiàn) 1，F(xiàn) 2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF 1|>|PF 2|，則的值為________。 【解析】(1)由f (f (a))＝2f (a)得，f (a)≥1。當a<1時，有3a－1≥1，解得a≥，所以≤a<1。當a≥1時，有2a≥2>1，解得a≥1。綜上，a≥，故選C。 (2)若∠PF 2F 1＝90°，則|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，因為|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2，解得|PF 1|＝，|PF 2|＝，所以＝。若∠F 2PF 1＝90°，則|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以＝2。綜上所述，＝2或。 【答案】(1)C(2)2或 分類整合思想在解題中的應(yīng)用 (1)由數(shù)學概念引起的分類。有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等。 (2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論。有的定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等。 (3)由數(shù)學運算和字母參數(shù)變化引起的分類。如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的限制，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等。 (4)由圖形的不確定性引起的分類討論。有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關(guān)系等。 【變式訓練4】(1)若m是2和8的等比中項，則圓錐曲線x2＋＝1的離心率是() A． B． C．或 D．或 (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和Sn>0(n＝1,2,3，…)，則q的取值范圍是________。 解析(1)因為m是2和8的等比中項，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4。當m＝4時，圓錐曲線＋x2＝1是橢圓，其離心率e＝＝；當m＝－4時，圓錐曲線x2－＝1是雙曲線，其離心率e＝＝＝。綜上可知，選項D正確。 (2)因為{an}是等比數(shù)列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0。當q＝1時，Sn＝na1>0；當q≠1時，Sn＝>0，即>0(n＝1,2,3，…)，則有?、倩颉、凇∮散俚茫? 答案(1)D(2)(－1,0)∪(0，＋∞) 四、轉(zhuǎn)化與化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想方法就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而解決問題的一種思想。其應(yīng)用包括以下三個方面： (1)將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題。 (2)將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題。 (3)將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題。 【例5】(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則＝______。 (2)已知f (x)＝，則f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝________。 【解析】(1)顯然△ABC為等邊三角形時符合題設(shè)條件，所以＝＝＝。 (2)f (x)＋f (1－x)＝＋＝＋＝＝1，所以f (0)＋f (1)＝1，f (－2 017)＋f (2 018)＝1，所以f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝2 018。 【答案】(1)(2)2 018 轉(zhuǎn)化與化歸思想遵循的原則 (1)熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題。 (2)簡單化原則：將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題。 (3)直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題(如數(shù)形結(jié)合思想，立體幾何問題向平面幾何問題轉(zhuǎn)化)。 (4)正難則反原則：若問題直接求解困難時，可考慮運用反證法、補集法或用逆否命題間接地解決問題。 【變式訓練5】(1)已知函數(shù)f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上至少存在一個實數(shù)x0，使f (x0)>0，求實數(shù)p的取值范圍。 (2)若a，b，c均為實數(shù)，且a＝x2－2y＋，b＝y(tǒng)2－2z＋，c＝z2－2x＋。求證：a，b，c中至少有一個大于0。 解(1)記p的范圍是I，原題可作為命題：若p∈I，則函數(shù)f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上至少存在一個實數(shù)x0，使f (x0)>0。 等價命題為：若函數(shù)f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上對任意的x都有f (x)≤0，則p∈?RI。 由對任意的x都有f (x)≤0，結(jié)合圖形知??p≤－3或p≥，即?RI＝，所以I＝，故所求的p的取值范圍為。 (2)證明：假設(shè)a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則a＋b＋c≤0。而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，因為π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，所以a＋b＋c>0。 這與a＋b＋c≤0矛盾。 因此a，b，c中至少有一個大于0。
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