第一篇：函數(shù)的極限及函數(shù)的連續(xù)性典型例題

函數(shù)的極限及函數(shù)的連續(xù)性典型例題

一、重點(diǎn)難點(diǎn)分析：

①

此定理非常重要，利用它證明函數(shù)是否存在極限。② 要掌握常見(jiàn)的幾種函數(shù)式變形求極限。③ 函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù)的充要條件是在x=x0處左右連續(xù)。

。④ 計(jì)算函數(shù)極限的方法，若在x=x0處連續(xù)，則

⑤ 若函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，則它在[a,b]上有最大值，最小值。

二、典型例題

例1．求下列極限

①

②

③

④

解析：①。

②。

③。

④。

例2．已知，求m,n。

解：由可知x2+mx+2含有x+2這個(gè)因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。

例3．討論函數(shù)的連續(xù)性。

解析：函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，由初等函數(shù)的連續(xù)性知，在非分界點(diǎn)處函數(shù)是連續(xù)的，又

∴

由

從而f(x)在點(diǎn)x=-1處不連續(xù)。

∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上連續(xù)，x=-1為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)。，∴ f(x)在x=1處連續(xù)。，例4．已知函數(shù)

試討論a,b為何值時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)。,(a,b為常數(shù))。

解析：∵

且，∴，∴ a=1, b=0。

例5．求下列函數(shù)極限

①

②

解析：①。

②。

例6．設(shè)

解析：∵

要使存在，只需，問(wèn)常數(shù)k為何值時(shí)，有存在？。，∴ 2k=1，故 時(shí)，存在。

例7．求函數(shù)

在x=-1處左右極限，并說(shuō)明在x=-1處是否有極限？

解析：由∵，∴ f(x)在x=-1處極限不存在。，三、訓(xùn)練題：

1．已知，則

2．的值是_______。

3.已知，則=______。

4．已知

5．已知，2a+b=0，求a與b的值。，求a的值。

參考答案：1.3

2.3.4.a=2, b=-45.a=0

第二篇：函數(shù)的極限和函數(shù)的連續(xù)性（本站推薦）

第一部分高等數(shù)學(xué)

第一節(jié)函數(shù)的極限和函數(shù)的連續(xù)性

考點(diǎn)梳理

一、函數(shù)及其性質(zhì)

1、初等函數(shù)

冪函數(shù)：y?xa(a?R)

指數(shù)函數(shù)y?ax(a?1且a?1)

對(duì)數(shù)函數(shù)：y?logax(a?0且a?1)

三角函數(shù)：sin x , cos x , tan x , cot x

反三角函數(shù)：arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x2、性質(zhì)（定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性）

【注】奇偶性、單調(diào)性相對(duì)考察的可能性打，但一般不會(huì)單獨(dú)出題，常與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)考察（比如與積分、導(dǎo)數(shù)結(jié)合）

二、函數(shù)極限

1． 數(shù)列極限

定義（略）

收斂性質(zhì)：極限的唯一性、極限的有界性、極限的保號(hào)性。

·類比數(shù)列極限，函數(shù)極限有唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性。

單側(cè)極限（左極限、右極限）

【注】函數(shù)極限為每年的必考內(nèi)容，常見(jiàn)于客觀題中。一般為2~3題。

2． 兩個(gè)重要極限

（1）limsinx?1 x?0x

x類似得到：x→0時(shí)，x～ln(x+1)～arcsin x～arctan x～tan x（2）lim(1?x)?e x?0

類似得到：lim(1?)?elim(1?)?x??x??1xx

1xx1 e

·此處，需提及無(wú)窮大，無(wú)窮小的概念，希望讀者進(jìn)行自學(xué)。

三、函數(shù)的連續(xù)性

1． 概念：函數(shù)f(x)在x0處的連續(xù)（f(x)在x0點(diǎn)左連續(xù)、f(x)在x0點(diǎn)右連續(xù)）函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間（a,b）上的連續(xù)

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)

2． 函數(shù)的間斷點(diǎn)分類

● 跳躍式間斷點(diǎn)：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的左右極限都存在但不相等。

● 函數(shù)在點(diǎn)x0的左右極限都存在且相等，但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值（或函數(shù)值在該

點(diǎn)無(wú)定義）

● 振蕩間斷點(diǎn)：f(x)在點(diǎn)x0的左右極限至少有一個(gè)不存在。

3． 連續(xù)函數(shù)的和、積、商，初等函數(shù)的連續(xù)性

● 有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

● 有限個(gè)再某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的積是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

● 兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商事一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)（分母在該點(diǎn)不為零）● 一切基本初等函數(shù)在定義域（或定義區(qū)間）上是連續(xù)的。

4． 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

●（最大、最小定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。

●（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界。

●（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)（即f(a)·f(b)<0），那么在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)。

● 介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)處取不同的函

數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么，對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間(a,b)

內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(b)=C(a<ξ

【注】函數(shù)的連續(xù)性，一般在客觀題目中出現(xiàn)，分值不大，一般1~2題。

典型例題分析

【例1】（2010年真題）（工程類）計(jì)算極限limx?sinx? x?0x?sinx

A.1B.-1C.0D.2sinx?1這一重要極限。如此，我們不難解x?0x

sinxsinx1?1?limx?sinxx?0??0。出該極限為0.即lim?limx?0x?sinxx?01?1?limx?0xx

x?cx)?e6,則常數(shù)c=_________。【例2】（2010年真題）（工程類）設(shè)lim(x??x?c

1x1【解析】解決此類題目，我們要靈活運(yùn)用lim(1?)?。x??xe【解析】：解決此類題目，我們要深刻掌握l(shuí)im

2cxx?cx2cx

2?ccx?clim()?lim(1?)?limex??x?cx??x??x?c?2c1?c?e?2c?e6。則c=-3。

1???xsin,x?0【例3】（2009年真題）（工程類）設(shè)f(x)??若f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則αx??0,x?0的取值范圍是

A．(-∞,+ ∞)B.[0,+ ∞]C.(0,+ ∞)D.(1,+ ∞)

【解析】函數(shù)f(x)為一個(gè)分段函數(shù)，要使其在點(diǎn)x=0處連續(xù)，只需limxsinx?0?1?0，不難x

發(fā)現(xiàn)x→0時(shí)，sin x 為有界的，我們只需滿足limx?0即可。易得，α>0。但α不能等于x?0?

0，否則limsinx?01?0。x

提高訓(xùn)練

1、求下列函數(shù)的定義域

（1）y?

（2）y?1 2x?2x

（3）y=lg(3x+1)

(4)y?1? 1?x22、判斷一下函數(shù)的奇偶性

ax?a?x

(1)y = tan x(2)y?a(3)y? 2x3、求下列函數(shù)的極限

1x3?4x2(1)lim(3x?1)(2)lim3(3)limxsinx?3x?0x?0x?xx

sin3x15sin2x(4)lim(5)lim(6)lim(1?)x?0x??x?01?cosxxx

?1?ex,x?0??

4、討論f(x)??0,x?0在x=0點(diǎn)的連續(xù)性。

x?05、證明方程x?3x?1至少有一個(gè)根介于1和2之間。

【答案】

1、（1）[-1,1](2)(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)(3)(-1/3,+∞)

(4)[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)

2、（1）奇（2）非奇非偶（3）偶

3、（1）8（2）4（3）0（4）2（5）3（6）

14、連續(xù)

5、證明：記f(x)?x?3x?1，f(1)=-3<0,f(2)=25>0。由零點(diǎn)存在定理知，至少存在一個(gè)零點(diǎn)介于1和2之間。即方程x?3x?1在1和2之間至少有一個(gè)根。555

第三篇：極限的四則運(yùn)算函數(shù)的連續(xù)性

極限的四則運(yùn)算函數(shù)的連續(xù)性

極限的四則運(yùn)算，函數(shù)的連續(xù)性

二.教學(xué)重、難點(diǎn)： 1.函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)

2.函數(shù)在開(kāi)區(qū)間，閉區(qū)間上連續(xù) 3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

（1）若與在處連續(xù)，則，（）在處也連續(xù)。

（2）最大、最小值，若是[]上的連續(xù)函數(shù)，那么在上有最大值和最小值，最值可在端點(diǎn)處取得，也可以在內(nèi)取得。

【典型例題】 [例1] 求下列極限（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式

（3）原式

（4）原式

[例2] 求下列各數(shù)列的極限（1）（2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式

[例3] 已知數(shù)列是正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，且滿足，其中是大于1的整數(shù)，是正數(shù)。

（1）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）求的值。解：

（1）由已知得

∴ 是公比為的等比數(shù)列，則

（2）① 當(dāng)時(shí)，原式 ② 當(dāng)時(shí)，原式 ③ 當(dāng)時(shí)，原式

[例4] 判定下列函數(shù)在給定點(diǎn)處是否連續(xù)。（1）在處；（2），在處。解：（1），但

故函數(shù)在處不連續(xù)（2）函數(shù)在處有定義，但，即

故不存在，所以函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)。

[例5] 已知函數(shù)，試求：（1）的定義域，并畫(huà)出的圖象；（2）求，；

（3）在哪些點(diǎn)處不連續(xù)。解：

（1）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，不存在 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，∴

∴ 定義域?yàn)椋ǎǎ瑘D象如圖所示

（2）

∴ 不存在

（3）在及處不連續(xù)

∵ 在處無(wú)意義 時(shí)，即不存在∴ 在及處不連續(xù)

[例6] 證明方程至少有一個(gè)小于1的正根。證明：令，則在（0，1）上連續(xù)，且當(dāng)時(shí)。時(shí)，∴ 在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)，使

即：至少有一個(gè)，滿足且，所以方程至少有一個(gè)小于1的正根。

[例7] 函數(shù)在區(qū)間（0，2）上是否連續(xù)？在區(qū)間[0，2]上呢？ 解：（且）任取，則

∴ 在（0，2）內(nèi)連續(xù)，但在處無(wú)定義 ∴ 在處不連續(xù)，從而在[0，2]上不連續(xù)

[例8] 假設(shè)，在上不連續(xù)，求的取值范圍。

解：若函數(shù)，在上連續(xù)，由函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的定義，必有，因?yàn)?，所以，所以，若不連續(xù)，則且。

[例9] 設(shè)

（1）若在處的極限存在，求的值；（2）若在處連續(xù)，求的值。解：

（1），因?yàn)樵谔帢O限存在，所以，所以，即（2）因?yàn)樵谔庍B續(xù)，所以在處的極限存在，且，由（1）知，且，又，所以。

【模擬試題】 一.選擇題：

1.已知，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.不存在C.=1

D.= 2.的值為（）

A.5

B.4

C.7

D.0 3.的值為（）

A.1

B.0

C.D.4.的值為（）

A.B.C.1

D.5.若，則的取值范圍是（）

A.B.C.D.6.若在上處處連續(xù)，則常數(shù)等于（）

A.0

B.1

C.2

D.7.在點(diǎn)處連續(xù)是在點(diǎn)處連續(xù)的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

8.的不連續(xù)點(diǎn)是（）

A.無(wú)不連續(xù)點(diǎn)

B.C.D.二.解答題： 1.求下列極限：

（1）

（2）

（3）2.為常數(shù)，1，求。

3.已知

（1）在處是否連續(xù)？說(shuō)明理由；（2）討論在和上的連續(xù)性。

【試題答案】 一.1.B

2.C

3.C D

二.1.解：（1）（2）

① 當(dāng)時(shí)，∴

② 當(dāng)時(shí)，∴

③ 當(dāng)時(shí)，（3）2.解：∵

∴

∴，4.B

5.C

6.C

7.A

8.3.解：

（1）∵，則

∴

∵，且

∴

∵

∴ 不存在∴ 在處不連續(xù)（2）∵

∴ 在上是不連續(xù)函數(shù) ∵

∴ 在上是連續(xù)函數(shù)。

第四篇：第二講 函數(shù)的極限典型例題

第二講

函數(shù)的極限

一

內(nèi)容提要

1.函數(shù)在一點(diǎn)處的定義

x?x0limf(x)?A????0,???0,使得?x:0?x?x0??，有f(x)?A??.右極限

x?x0lim?f(x)?A????0,???0,使得?x:0?x?x0??，有f(x)?A??.左極限

x?x0lim?f(x)?A????0,???0,使得?x:0?x0?x??，有f(x)?A??.注1 同數(shù)列極限一樣，函數(shù)極限中的?同樣具有雙重性．

注2 ?的存在性（以x?x0為例）：在數(shù)列的“??N”定義中，我們?cè)?jīng)提到過(guò)，N的存在性重在“存在”，而對(duì)于如何去找以及是否能找到最小的N無(wú)關(guān)緊要；對(duì)?也是如此，只要對(duì)給定的??0，能找到某一個(gè)?，能使0?x?x0??時(shí)，有f(x)?A??即可．

注3 討論函數(shù)在某點(diǎn)的極限，重在局部，即在此點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)研究f(x)是否無(wú)限趨近于A．

注4 limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A．

x?x0x?x0?x?x0?n????注５ limf(x)?A??{xn}??{xn}|xn?x0,且xn?x0?，有l(wèi)imf(xn)?A，稱為

n??x?x0??歸結(jié)原則――海涅（Heine）定理．它是溝通數(shù)列極限與函數(shù)極限之間的橋梁．說(shuō)明在一定條件下函數(shù)極限與數(shù)列極限可以相互轉(zhuǎn)化．因此，利用定理必要性的逆否命題，可以方便地驗(yàn)證某些函數(shù)極限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用數(shù)列極限的現(xiàn)成結(jié)果來(lái)論證函數(shù)極限問(wèn)題．（會(huì)敘述，證明，特別充分性的證明．）注6 limf(x)?A???0?0,x?x0???0，?x?:0?x??x0??，有f(x?)?A??0． 函數(shù)在無(wú)窮處的極限 設(shè)f(x)在[a,??)上有定義，則

limf(x)?A????0,x???X?a,?X?a,?X?a,使得?x:x?X，有f(x)?A??． 使得?x:x?X，有f(x)?A??． 使得?x:x??X，有f(x)?A??． x???limf(x)?A????0,limf(x)?A????0,x???注１ limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A．

x??x???x??? 1

n????注２ limf(x)?A??{xn}??{xn}|xn???，有l(wèi)imf(xn)?A．

n??x????３ 函數(shù)的有界

設(shè)f(x)在[a,??)上有定義，若存在一常數(shù)M?0，使得?x?[a,??)，有f(x)?M，則稱f(x)在[a,??)上有界． ４ 無(wú)窮大量

x?x0limf(x)????G?0,???0,?X?0,使得?x:0?x?x0??，有f(x)?G． 使得?x:x?X，有f(x)?G． limf(x)????G?0,x??類似地，可定義limf(x)???，limf(x)???，limf(x)??，limf(x)??等．

x?x0?x?x0?x?x0?x?x0?注 若limf(x)??，且???0和C?0，使得?x:0?x?x0??，有f(x)?C?0，x?x0則limf(x)g(x)??．

x?x0

特別的，若limf(x)??，limg(x)?A?0，則limf(x)g(x)??．

x?x0x?x0x?x0５ 無(wú)窮小量

若limf(x)?0，則稱f(x)當(dāng)x?x0時(shí)為無(wú)窮量．

x?x0注1 可將x?x0改為其它逼近過(guò)程．

注2 limf(x)?A?f(x)?A??(x)，其中l(wèi)im?(x)?0．由于有這種可以互逆的表x?x0x?x0達(dá)關(guān)系，所以極限方法與無(wú)窮小分析方法在許多場(chǎng)合中可以相互取代． 注3 limf(x)?0，g(x)在x0的某空心鄰域內(nèi)有界，則limf(x)g(x)?0．

x?x0x?x0注4 limf(x)?0，且當(dāng)x足夠大時(shí)，g(x)有界，則limf(x)g(x)?0．

x??x?x0注5 在某一極限過(guò)程中，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量，非零的無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量． 6 函數(shù)極限的性質(zhì)

以下以x?x0為例，其他極限過(guò)程類似．（1）limf(x)?A，則極限A唯一．

x?x0（2）limf(x)?A，則??,M?0，使得?x:0?x?x0??，有f(x)?M．

x?x0（3）limf(x)?A，limg(x)?B，且A?B，則???0，使得?x:0?x?x0??，x?x0x?x0有

f(x)?g(x)注

這條性質(zhì)稱為函數(shù)的“局部保號(hào)性”．在理論分析論證及判定函數(shù)的性態(tài)中應(yīng)用極普遍．（4）limf(x)?A，limg(x)?B，且???0當(dāng)0?x?x0??時(shí)，f(x)?g(x)則x?x0x?x0A?B．

（5）limf(x)?A，limg(x)?B，則

x?x0x?x0x?x0lim?f(x)?g(x)??A?B

limf(x)?g(x)?A?B

limx?x0f(x)g(x)x?x0?AB（B?0）

要求：①進(jìn)行運(yùn)算的項(xiàng)數(shù)為有限項(xiàng)；②極限為有限數(shù)． 7 夾逼定理 若???0,使得?x:0?x?x0??，有f(x)?g(x)?h(x)，且

x?x0x?x0x?x0limf(x)?limh(x)?A，則limg(x)?A． Cauchy收斂準(zhǔn)則

函數(shù)f(x)在x0的空心鄰域內(nèi)極限存在????0,???0,使得?x?,x??，當(dāng)0?x??x0??，0?x???x0??時(shí)，有f(x?)?f(x??)??． 無(wú)窮小量的比較

設(shè)lim?(x)?0，lim?(x)?0，且limx?x0x?x0?(x)?(x)x?x0?k，則

（1）當(dāng)k?0時(shí)，稱?(x)為?(x)的高階無(wú)窮小量，記作?(x)?o??(x)?；（2）當(dāng)k??時(shí)，稱?(x)為?(x)的低階無(wú)窮小量；（3）當(dāng)k?0且k??時(shí)，稱?(x)為?(x)的同階無(wú)窮小量．

特別的，當(dāng)k?1時(shí)，稱?(x)和?(x)為等價(jià)的無(wú)窮小量，記作?(x)～?(x)．

注1 上述定義中，自變量的變化過(guò)程x?x0也可用x???，x???，x??，x?x0，x?x0之一代替． ??注2 當(dāng)x?0時(shí)，常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小有：

sinx～x，tanx～x，1?cosx～

x22，e?1～x，ln(1?x)～x，(1?x)xm?1～mx

注3 在用等價(jià)無(wú)窮小替換計(jì)算極限時(shí)，一般都要強(qiáng)調(diào)限定對(duì)“乘積因式”的等價(jià)替換．因?yàn)椋?/p>

若?(x)～?(x)（P），則

limPf(x)?(x)?limPf(x)?(x)f(x)??limP?(x)?(x)?(x)或

limg(x)?(x)?limg(x)?(x)?PP?(x)?(x)． ?limg(x)?(x)

（P為某逼近過(guò)程）

P而對(duì)于非乘積因式，這樣的替換可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果．

注4 在某一極限過(guò)程中，若?(x)為無(wú)窮小量，則在此極限過(guò)程，有

?(x)?o??(x)?～?(x)． 10 兩個(gè)重要極限（1）limsinxx1x?0?1；

（2）lim(1?x)x?e．

x?0

二、典型例題

例 用定義證明下列極限：（1）limx(x?1)x?12x?1?12；

12（2）limxx?1?x2x?????．

例 limf(x)?A，證明：

x?x0（1）若A?0，則有l(wèi)im31f(x)2x?x0?1A2；

（2）lim3x?x0f(x)?A．

例 設(shè)f(x)是[a,b]上的嚴(yán)格嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，又若對(duì)xn?(a,b]（n?1,2,?），有l(wèi)imf(xn)?f(a)，試證明：limxn?a．

n??n??

例 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域I內(nèi)有定義，且對(duì)??xn??I（xn?x0,xn?x0），且 0?xn?1?x0?xn?x0（?n?N），有l(wèi)imf(xn)?A，證明：limf(x)?A．

n??x?x0

例

設(shè)函數(shù)f(x)，x?(0,1)，滿足f(x)?0（x?0?），且

f(x)?f()?o(x)（x?0?）

2x則

f(x)?o(x)（x?0?）

問(wèn)：在題設(shè)條件下，是否有f(0)?0？答：否．如f(x)???0?1x?0x?0．

例

設(shè)函數(shù)f(x)在(0,??)上滿足議程f(2x)?f(x)，且limf(x)?A，則

n???

f(x)?A（x?(0,??)）．

例

求下列函數(shù)極限（1）limn?0?x?b?（a?0,b?0）；

??a?x??x?b（2）lim???（a?0,b?0）；

n?0ax???1???2?exsinx?（3）lim???． 4n?0x??1?ex?? 8

例

求下列極限（1）lim1?tanx?x1?tanxn?0e?1；

（2）lim1?cosxx)x；

n?0x(1?cosln(sin22（3）limx?e)?x2xn?0ln(x?e)?2x．

例

求下列極限：（1）limn?0e?tanx?exsinx?xcosx；

（2）lim1?cosxcos2x3cos3xx2．

n?0 10

例

求下列極限：（1）limx?1xlnxx；

n?1（2）lim(a?x)?ax2xx．

n?0

例

求下列極限：

1（1）lim(cosx)n?0ln(1?x)2；

11（2）lim(sinn??1x?cos1x)；

nx1x?a（3）設(shè)ai?0（i?1,2,?,n），求lim?n?0???ax2???a?x?． ?n?xn

例

（1）已知lim(1?x?ax?b)?0，求常數(shù)a,b；

n??33ln(1?f(x)（2）已知limn?0sin2xx3?1)?5，求limn?0f(x)x2．

第五篇：函數(shù)極限

習(xí)題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據(jù)定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0

3.設(shè)limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0

4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當(dāng)且僅當(dāng)A為何值時(shí)反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數(shù)在x0→0 時(shí)的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設(shè) limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x

8.證明:對(duì)黎曼函數(shù)R(x)有l(wèi)imR(x)= 0 , x0∈[0,1](當(dāng)x0=0或1時(shí),考慮單側(cè)極限).x?x0

習(xí)題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設(shè) limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當(dāng)B≠0時(shí))g(x)B

4． 設(shè)

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設(shè)f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0

x?0

7.設(shè)limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)< g(x)，問(wèn)是否必有A < B ? 為什么？

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問(wèn)是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習(xí)題

1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設(shè)f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準(zhǔn)則;

n???

(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設(shè)f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對(duì)任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見(jiàn)定理3.11充分性的證明.5設(shè)f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設(shè) D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習(xí)題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實(shí)數(shù));

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實(shí)數(shù))

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結(jié)原則計(jì)算下列極限:(1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習(xí)題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數(shù))(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應(yīng)用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時(shí)為同階無(wú)窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時(shí)為同階無(wú)窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無(wú)上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時(shí)的無(wú)窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時(shí)的無(wú)窮大量。

9． 設(shè) f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習(xí)題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點(diǎn)x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號(hào)性有矛盾嗎？

5． 設(shè)limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設(shè)f(x)=x cos x。試作數(shù)列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無(wú)窮大數(shù)列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結(jié)論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設(shè)liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結(jié)果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

In(n!)

n??n

11.設(shè)f為U-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)此上滿足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設(shè)函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x