第一篇：第十五章多元函數(shù)的極限與連續(xù)性§1平面點(diǎn)集（精選）

第十五章多元函數(shù)的極限與連續(xù)性

§1平面點(diǎn)集

limPn?P0的充1．設(shè)Pn??xn,yn?是平面點(diǎn)列，P0??x0,y0?是平面上的點(diǎn).證明n????

要條件是limxn?x0，且limyn?y0.n??n??

2． 設(shè)平面點(diǎn)列?Pn?收斂，證明?Pn?有界.3． 判別下列平面點(diǎn)集哪些是開集、閉集、有界集和區(qū)域，并分別指出它們的聚點(diǎn)：

(1)E?

(2)E?

(3)E?

(4)E?

(5)E???x,y?|y?x?； 2??x,y?|x2?y2?1?； ??x,y?|xy?0?； ??x,y?|xy?0?； ??x,y?|0?y?2,2y?x?2y?2?；

?

?1?,x?0?； x?(6)E???x,y?|y?sin

(7)E?

(8)E???x,y?|x2?y2?1或y?0,0?x?1?； ??x,y?|x,y均為整數(shù)?.4．設(shè)F是閉集，G是開集，證明FG是閉集，GF是開集.5．證明開集的余集是閉集.E的聚點(diǎn)的充要條件是E中存在點(diǎn)列?P6．設(shè)E是平面點(diǎn)集.證明P0是n?，滿足

P,2,??且limPn?P0.n?P0?n?1n??

7．用平面上的有限覆蓋定理證明致密性定理.8．用致密性定理證明柯西收斂原理.9．設(shè)E是平面點(diǎn)集，如果集合E的任一覆蓋都有有限子覆蓋，則稱E是緊集.證明緊集是有界閉集.10．設(shè)E是平面上的有界閉集，d?E?是E的直徑，即

d?E??supr?P',P''?.P',P''?E

求證：存在 P1,P2?E，使得r?P1,P2??d?E?.11．仿照平面點(diǎn)集，敘述n維歐氏空間中點(diǎn)集的有關(guān)概念(如鄰域、極限、開集、聚點(diǎn)、閉集、區(qū)域、有界以及一些基本定理等).12．?dāng)⑹霾⒆C明三維空間的波爾察諾－魏爾斯特拉斯致密性定理.§2多元函數(shù)的極限與連續(xù)性

1．?dāng)⑹鱿铝卸x：

(1)limf?x,y???； x?x0y?y0

(2)limf?x,y??A； x???y???

x?ay???(3)limf?x,y??A；

(4)limf?x,y???.x?ay???

2．求下列極限（包括非正常極限）：

x2?y2

(1)lim； x?0x?yy?0

(2)limx?0y?0sin?x3?y3?x?y22；

(3)

limx?0y?022；

(4)lim?x?y?sinx?0y?01； 22x?y

2(5)limxylnx?yx?0y?022?2?；

ex?ey

(6)lim； x?0cosx?sinyy?0

(7)limx?0y?0xy； x4?y2232

sin?xy?(8)lim； x?0xy?2

(9)

x?1y?0lnx?ey

(10)lim1； x?12x?yy?2

(11)limxy?1； x?0x4?y4

y?0

1?x2?y2

(12)lim； 22x?0x?yy?0

(13)limx?yx???y????22?e?

x2?x?y?；

(14)lim?x???xy?.22?x?y?y?????

3．討論下列函數(shù)在?0,0?點(diǎn)的全面極限和兩個累次極限：

x2

(1)f?x,y??2； x?y2

(2)f?x,y???x?y?sin11sin； xy

ex?ey

(3)f?x,y??； sinxy(4)f?x,y??x2y2

xy??x?y?222；

x3?y3

(5)f?x,y??2； x?y

x2y2

(6)f?x,y??3； 3x?y

(7)f?x,y??x4?3x2y2?2xy3

?x

?x22?y4322?；(8)f?x,y??x4y4

?y?.4．?dāng)⑹霾⒆C明二元函數(shù)極限的局部有界性定理和局部保號性定理.5．?dāng)⑹霾⒆C明limf?x,y?存在的柯西收斂準(zhǔn)則.x?x0y?y0

6．試作出函數(shù)f?x,y?，使當(dāng)?x,y???x0,y0?時，(1)全面極限和兩個累次極限都不存在；

(2)全面極限不存在，兩個累次極限存在但不相等；

(3)全面極限和兩個累次極限都存在.7．討論下列函數(shù)的連續(xù)范圍：

(1)f?

x,y??

(2)f?x,y??1； sinxsiny

(3)f?x,y???x?y?；

(4)f?x,y??x?y； x3?y3

?sin?xy?,y?0,?(5)f?x,y??? y?0,y?0;?

?sinxyx2?y2?0,(6)f?x,y?

?

22?0,x?y?0;

(7)f?x,y????0,x為無理數(shù)；

?y,x為有理數(shù)

22222??yln?x?y?,x?y?0,(8)f?x,y??? 22??0,x?y?0;

x?22,x?y?0,?22p(9)f?x,y????x?y?(p?0).?22?0,x?y?0,8．若f?x,y?在某區(qū)域G內(nèi)對變量x連續(xù)，對變量y滿足利普希茨條件，即對任意 ?x,y'??G和?x,y''??G，有 f?x,y'??f?x,y''??Ly'?y''，其中L為常數(shù)，求證f?x,y?在G內(nèi)連續(xù).9．證明有界閉集上二元連續(xù)函數(shù)的最值定理和一致連續(xù)性定理.10．設(shè)二元函數(shù)f?x,y?在全平面上連續(xù)，2lim2

(1)f?x,y?在全平面有界；

(2)f?x,y?在全平面一致連續(xù).11．證明：若f?x,y?分別對每一變量x和y是連續(xù)的，并且對其中的一個是單調(diào)的，則f?x,y?是二元連續(xù)函數(shù).12．證明：若E是有界閉域，f?x,y?是E上的連續(xù)函數(shù)，則f?E?是閉區(qū)間.x?y??f?x,y??A，求證：

第二篇：7.1多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性

§7.1多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性

一．多元函數(shù)的基本概念 1.引例

在自然科學(xué)和工程技術(shù)中常常遇到一個變量依賴于多個自變量的函數(shù)關(guān)系，比如：

例1矩形面積S與邊長x，寬y有下列依從關(guān)系：

S?x?y(x?0,y?0)．

其中，長x與寬y是獨(dú)立取值的兩個變量．在它們變化范圍內(nèi)，當(dāng)x，y取定值后，矩形面積S有一個確定值與之對應(yīng)．

例2在第7章中我們學(xué)習(xí)了曲面的方程，例如橢圓拋物面的方程為：x2y2x2y2z?2?2，雙曲拋物面的方程為z?2?2，這里的z坐標(biāo)既跟x有關(guān)，又跟ababy有關(guān)，它是x，y的二元函數(shù).2.多元函數(shù)的概念

定義1設(shè)D是R2的一個非空子集，映射f ：D?R稱為定義在D上的二元函數(shù)，記為

z?f(x，y)?(x，y)?D(或z?f(P)?P?D)其中，點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域，x，y稱為自變量，z稱為因變量.上述定義中，與自變量x、y的一對值(x，y)相對應(yīng)的因變量z的值，也稱為f 在點(diǎn)(x? y)處的函數(shù)值，記作f(x，y)，即z?f(x?y).函數(shù)f(x，y)值域：f(D)?{z|z?f(x，y)，(x，y)?D}.函數(shù)的其它符號?z?z(x，y)，z?g(x，y)等.類似地可定義三元函數(shù)u?f(x? y? z)，(x? y? z)?D以及三元以上的函數(shù).一般地，把定義1中的平面點(diǎn)集D換成n維空間Rn內(nèi)的點(diǎn)集D? 映射f ：D?R稱為定義在D上的n元函數(shù)，通常記為u?f(x1，x2，...，xn)，(x1，x2，...，xn)?D，或簡記為u?f(x)，x?(x1，x2，...，xn)?D，也可記為u?f(P)，P(x1，x2，...，xn)?D.關(guān)于函數(shù)定義域的約定：在一般地討論用算式表達(dá)的多元函數(shù)u?f(x)時，就以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點(diǎn)集為這個多元函數(shù)的自然定義域.因而，對這類函數(shù)?它的定義域不再特別標(biāo)出.例如：

函數(shù)z?ln(x?y)的定義域?yàn)閧(x，y)|x?y>0}(無界開區(qū)域)? 函數(shù)z?arcsin(x2?y2)的定義域?yàn)閧(x，y)|x2?y2?1}(有界閉區(qū)域)?

二元函數(shù)的圖形?點(diǎn)集{(x，y，z)|z?f(x，y)，(x，y)?D}稱為二元函數(shù)z?f(x，y)的圖形，由第6章的學(xué)習(xí)知，二元函數(shù)的圖形是一張曲面.例如z?ax?by?c是一張平面，而函數(shù)z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面.例1求二元函數(shù)z?9?x2?y2的定義域． 解 容易看出，當(dāng)且僅當(dāng)自變量x，y滿足不等式

x2?y2?9, 函數(shù)z才有定義．其幾何表示是xOy平面上以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓內(nèi)及圓周邊界上點(diǎn)的全體，如圖7.1.1所示．即函數(shù)z的定義域?yàn)?/p>

x2?y2?9．

圖7.1.1 圖7.1.2

例2求函數(shù)z?ln(x?y)的定義域．

解 函數(shù)的定義域?yàn)閤?y?0，其幾何圖形是xOy平面上位于直線y??x上方的半平面，而不包括直線的陰影部分，如圖7.1.2所示．

x2?y2?arcsec(x2?y2)的定義域． 例3求函數(shù)z?arcsin2解 函數(shù)z是兩個函數(shù)的和，其定義域應(yīng)是這兩個函數(shù)的定義域的公共部分．函數(shù)的定義域由不等式組

22??x?y?2 ?22??x?y?1構(gòu)成，即1?x2?y2?2．

定義域的圖形是圓環(huán)（包括邊界），如圖7.1.3所示．

圖7.1.3 圖7.1.4

例5求函數(shù)z?11?x?y22的定義域．

解 函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

1?(x2?y2)?0，即x2?y2?1.它的圖形是不包括邊界的單位圓，如圖7.1.4所示． 二?多元函數(shù)的極限

與一元函數(shù)的極限概念類似，如果在P(x，y)?P0(x0，y0)的過程中，對應(yīng)的函數(shù)值f(x，y)無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱A是函數(shù)f(x，y)當(dāng)(x，y)?(x0，y0)時的極限?

定義2設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x?y)的定義域?yàn)镈，P0(x0，y0)是D的聚點(diǎn).如果存

(,)D?U?P(,)0?時，在常數(shù)A，使得對于任意給定的正數(shù)?，總存在正數(shù)?，當(dāng)Pxy?總有

|f(P)?A|?|f(x?y)?A|??

成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x，y)當(dāng)(x，y)?(x0，y0)時的極限，記為

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A，或f(x，y)?A((x，y)?(x0，y0)也可簡記為

P?P0limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)上面定義的極限也稱為二重極限.定義用兩個正數(shù)?，?和相關(guān)距離對極限過程做出了精確描述，這種描述通常稱為?—?語言，該語言可以用來驗(yàn)證某個常數(shù)是函數(shù)在相關(guān)過程中的極限.極限概念的推廣：在定義2中將P(x，y)改為P(x1，x2，…，xn)即可得到n元函數(shù)的極限.多元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)的運(yùn)算法則類似.例5 設(shè)f(x,y)?(x2?y2)sin證 因?yàn)?/p>

|f(x,y)?0|?|(x2?y2)sin1?0| ?|x2?y2|?|sin1| ?x2?y2，x2?y2x2?y21，求證limf(x,y)?0?

(x,y)?(0,0)x2?y2可見? ?>0，取???，則當(dāng)

0?(x?0)2?(y?0)2??? 即P(x,y)?D?U(O,?)時，總有

|f(x?y)?0|??，因此(x,y)?(0,0)?limf(x,y)?0?

sin(x2y).例6求極限limx?0x2?y2y?0sin(x2y)sin(x2y)x2y?lim?22,令u=x2y，則 解 lim222x?0x?yx?0xyx?yy?0y?0x2ysinu1sin(x2y)12xylim?x?1,lim=而??x22222x?0u?0x?yu2xy2x?yy?0x?0????0，sin(x2y)?0.所以limx?0x2?y2y?0例7證明limxy不存在.x?0x2?y2y?0證取y?kx(k為常數(shù))，則 limx?0y?0xyx?kxk?lim?，x2?y2x?0x2?k2x21?k2y?kx易見，所要求的極限值隨k的變化而變化，故limx3y例8證明lim6不存在.x?0x?y2y?0xy不存在.x?0x2?y2y?0kx3yx3?kx3?,其極限值隨k的不同而變證取y?kx,lim6?limx?0x?y2x?0x6?k2x61?k233y?0y?kx化，故極限不存在.例9證明lim(1?xy)x?0y?01x?y極限不存在.證取xn?0,yn?lim(1?xnyn)n??1xn?yn1(n為自然數(shù))，則當(dāng)n??時，yn?0,且 n?lim(1?0)n??10?1/n?1.11,則當(dāng)n??時，xn?0,yn?0,且 取xn?,yn??nn?1lim(1?xnyn)n??1xn?yn?1??lim?1??n???n(n?1)?n(n?1)1?, e1x?y因?yàn)閷τ诓煌淖恿?，所求得的極限的值不同，故lim(1?xy)x?0y?0不存在.三?多元函數(shù)的連續(xù)性 1.多元函數(shù)連續(xù)性概念

定義3設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x，y)的定義域?yàn)镈?（1）P0(x0，y0)為D的聚點(diǎn)?且P0?D.如果

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0)，則稱函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)連續(xù).（2）設(shè)D內(nèi)的每一點(diǎn)都是D的聚點(diǎn)，如果函數(shù)f(x，y)在D的每一點(diǎn)都連續(xù)? 則稱函數(shù)f(x，y)在D上連續(xù)? 或稱f(x，y)是D上的連續(xù)函數(shù).二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去.一元基本初等函數(shù)可看成其中一個自變量不出現(xiàn)的二元函數(shù)，很容易證明，把一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)時它們都是連續(xù)的.例10 設(shè)f(x，y)?cosx，證明f(x? y)是R2上的連續(xù)函數(shù).證 對于任意的P0(x0，y0)?R2，因?yàn)?/p>

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?(x,y)?(x0,y0)limcosx?cosx0?f(x0,y0)?

所以，函數(shù)f(x，y)?cosx在點(diǎn)P0(x0，y0)連續(xù)，由P0的任意性知? cosx作為x? y的二元函數(shù)在R2上連續(xù).類似的討論可知? 一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時，它們在各自的定義域內(nèi)都是連續(xù)的.定義4設(shè)函數(shù)f(x?y)的定義域?yàn)镈? P0(x0?y0)是D的聚點(diǎn).如果函數(shù)f(x?y)在點(diǎn)P0(x0?y0)不連續(xù)? 則稱P0(x0，y0)為函數(shù)f(x?y)的間斷點(diǎn).注? 間斷點(diǎn)可能是孤立點(diǎn)也可能是曲線上的點(diǎn).可以證明? 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處的點(diǎn)仍連續(xù)；多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù).多元初等函數(shù)? 與一元初等函數(shù)類似，多元初等函數(shù)是指可用一個式子所表示的多元函數(shù)，這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算而得到的.x?x2?y2x2?y2?z2例如 ?cos(x?y+z)?都是多元初等函數(shù).e1?y2一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性? 如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0處的極限? 而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)? 則

p?p0limf(P)?f(P0)?

例11討論二元函數(shù)

?x3?y3,(x,y)?(0,0)?f(x,y)??x2?y2

?0,(x,y)?(0,0)?在(0,0)處的連續(xù)性.解由f(x,y)表達(dá)式的特征，利用極坐標(biāo)變換：令

x??cos?,y??sin?,則

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?lim?(sin3??cos3?)?0?f(0,0)，??0所以函數(shù)在(0,0)點(diǎn)處連續(xù).?y?例12求極限lim?ln(y?x)??.x?021?x??y?1y??1??解 lim?ln(y?x)??ln(1?0)???1.??x?021?x???1?0?y?1ex?y.例13求limx?0x?yy?1ex?ye0?1ex?y??2.解 因初等函數(shù)f(x,y)?在(0,1)處連續(xù)，故 limx?0x?y0?1x?yy?12.多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1(有界性與最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界?且在D上取得它的最大值和最小值.性質(zhì)1表明：若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則必存在常數(shù)M?0，使得對一切P?D，有|f(P)|?M，且存在P1、P2?D，使得

f(P1)?max{f(P)|P?D}，f(P2)?min{f(P)|P?D}

性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值.問題討論：

1.若點(diǎn)(x,y)沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn)(x0,y0)時，函數(shù)f(x,y)都趨向于A，能否斷定2.討論函數(shù)

?xy2,x2?y2?0?24f(x,y)??x?y

2?0,x?y2?0?(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A? 的連續(xù)性.3.你能否用?—?語言證明

sin(x2y)lim22?0.x?0x?yy?0

本節(jié)引入了多元函數(shù)概念，給出了多元函數(shù)極限的定義和計(jì)算方法，通過例題介紹了根據(jù)定義證明極限存在（即?-?語言）和不存在（沿不同方向或取不同子列得不同值）的方法，最后討論了多元連續(xù)函數(shù)，給出了定義和它的基本性質(zhì).習(xí)題7.1 y??1.設(shè)f?x?y,??x2?y2,求f(x,y).x??x22?已知函數(shù)f(x,y)?x?y?xycot2，試求f(tx，ty).y3?求下列各函數(shù)的定義域(1)z?ln(y2?5xy?1)?(2)z?11? ?22x?yx?yx?y?(3)z?(4)u?R2?x2?y2?z2?1(R?r?0)?

2222x?y?z?r(5)u?arcsinzx?y22?

4? 求下列各極限?

1?x2y(1)lim?(x,y)?(0,3)x3?y3(2)limln(y?ex)x?y22(x,y)?(1,1)?(3)2?xy?4? xy(x,y)?(0,0)limlimxy?

xy?1?1(4)(5)(x,y)?(0,0)sin(xy)?

(x,y)?(0,2)xlim1?cos(x2?y2)(6)lim22?(x,y)?(0,0)(x2?y2)exy5?證明下列極限不存在?(1)x?y?

(x,y)?(0,0)x?ylim(2)xy?

(x,y)?(0,0)xy?x?ylimey?ax6?函數(shù)z?（a為常數(shù)）在何處間斷？

y?2x7?用 ?-? 語言證明

(x,y)?(0,0)limxy?0? 22x?y

第三篇：第十三章多元函數(shù)的極限和連續(xù)性

《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

第十三章 多元函數(shù)的極限和連續(xù)性

§

1、平面點(diǎn)集

一 鄰域、點(diǎn)列的極限

定義1 在平面上固定一點(diǎn)M0?x0,y0?，凡是與M0的距離小于?的那些點(diǎn)M組成的平面點(diǎn)集，叫做M0的?鄰域，記為O?M0,??。

定義2 設(shè)Mn??xn,yn?，M0??x0,y0?。如果對M0的任何一個?鄰域O?M0,??，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n?N時，有Mn?O?M0,??。就稱點(diǎn)列?Mn?收斂，并且收斂于

M0，記為limMn??n?M0或?xn,yn???x0,y0??n???。

性質(zhì)：（1）?xn,yn???x0,y0??xn?x0,yn?y0。（2）若?Mn?收斂，則它只有一個極限，即極限是唯一的。二 開集、閉集、區(qū)域

設(shè)E是一個平面點(diǎn)集。

1． 內(nèi)點(diǎn)：設(shè)M0?E，如果存在M0的一個?鄰域O?M0,??，使得O?M0,???E，就稱M0是E的內(nèi)點(diǎn)。2． 外點(diǎn)：設(shè)M1?E，如果存在M1的一個?鄰域O?M1,??，使得O?M1,???E??，就稱M1是E的外點(diǎn)。

3． 邊界點(diǎn)：設(shè)M*是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對M*的任何?鄰域O?M*,??，其中既有E的點(diǎn)，又有非E中的點(diǎn)，就稱M*是E的邊界點(diǎn)。E的邊界點(diǎn)全體叫做E的邊界。4． 開集：如果E的點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)，就稱E是開集。

5． 聚點(diǎn)：設(shè)M*是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對M*的任何?鄰域O?M*,??，至少含有E中一個（不等于M*的）點(diǎn)，就稱M*是E的聚點(diǎn)。性質(zhì)：設(shè)M0是E的聚點(diǎn)，則在E中存在一個點(diǎn)列?Mn?以M0為極限。6． 閉集：設(shè)E的所有聚點(diǎn)都在E內(nèi)，就稱E是閉集。

7． 區(qū)域：設(shè)E是一個開集，并且E中任何兩點(diǎn)M1和M2之間都可以用有限條直線段所組成的折線連接起來，而這條折線全部含在E中，就稱E是區(qū)域。一個區(qū)域加上它的邊界就是一個閉區(qū)域。三平面點(diǎn)集的幾個基本定理

1．矩形套定理：設(shè)?an?x?bn,cn?y?dn?是矩形序列，其中每一個矩形都含在前一個矩形中，并且

13-1

《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

bn?an?0，dn?cn?0，那么存在唯一的點(diǎn)屬于所有的矩形。

2.致密性定理：如果序列?Mn?xn,yn??有界，那么從其中必能選取收斂的子列。

3.有限覆蓋定理：若一開矩形集合???????x??,??y???覆蓋一有界閉區(qū)域。那么從???里，必可選出有限個開矩形，他們也能覆蓋這個區(qū)域。

N4．收斂原理：平面點(diǎn)列?Mn?有極限的充分必要條件是：對任何給定的??0，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n,m?時，有r?Mn,Mm???。

§2 多元函數(shù)的極限和連續(xù)

一 多元函數(shù)的概念

不論在數(shù)學(xué)的理論問題中還是在實(shí)際問題中，許多量的變化，不只由一個因素決定，而是由多個因素決定。例如平行四邊行的面積A由它的相鄰兩邊的長x和寬y以及夾角?所確定,即A?xysin?;圓柱體體積V由底半徑r和高h(yuǎn)所決定,即V??rh。這些都是多元函數(shù)的例子。

2一般地，有下面定義：

定義1 設(shè)E是R的一個子集，R是實(shí)數(shù)集，f是一個規(guī)律，如果對E中的每一點(diǎn)(x,y)，通過規(guī)律f，在R中有唯一的一個u與此對應(yīng)，則稱f是定義在E上的一個二元函數(shù)，它在點(diǎn)(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)，即u?f(x,y)。

有時，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數(shù)x?R22?x2?y2就是一個上半球面，球心在原點(diǎn)，半徑為R，此函數(shù)定義域?yàn)闈M足關(guān)系式x?y?R222222的x，y全體，即D?{(x,y)|x?y?R}。又如，Z?xy是馬鞍面。二 多元函數(shù)的極限

2定義2

設(shè)E是R的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點(diǎn)M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?r?M,M0???時，有f(M)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limf?M??A或f?M??A?M?M0?。

M?M02定義的等價(jià)敘述1 設(shè)E是R的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點(diǎn)M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0??x?x0???y?y0???時，有f(x,y)?A??，就稱A是13-2

《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limf?M??A或f?M??A?M?M0?。

M?M02定義的等價(jià)敘述2 設(shè)E是R的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點(diǎn)M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?x?x0??,0?y?y0??且?x,y???x0,y0?時，有

f0f(x,y)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limM?M?M??A或f?M??A?M?M0 ?。注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果limf(M)?A，則當(dāng)M以任何點(diǎn)列及任何方式趨于M0時，f(M)M?M0的極限是A；反之，M以任何方式及任何點(diǎn)列趨于M0時，f(M)的極限是A。但若M在某一點(diǎn)列或沿某一曲線?M0時，f(M)的極限為A，還不能肯定f(M)在M0的極限是A。所以說，這里的“”或“”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說明。例：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?xyx2?y22，討論在點(diǎn)(0,0)的的二重極限。

例：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?2xyx2?y或2，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限是否存在。

??0,例：f(x,y)????1,x?y其它y?0，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。

二元函數(shù)的極限較之一元函數(shù)的極限而言，要復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。例：limx??y??x?yx2?xy?ysinxyx2。

例：① limx?0y?0② lim(x?y)ln(x?y)③ lim(x?y)ex?0y?0x??y??2222222?(x?y)

例：求f(x,y)?xy3223x?y在（０，０）點(diǎn)的極限，若用極坐標(biāo)替換則為limrr?0coscos32?sin2?3??sin??0?（注意：cos3??sin?在??37?4時為０，此時無界）。

xyx22例：（極坐標(biāo)法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)??y2，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限．

證明二元極限不存在的方法．

基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標(biāo)法，說明極限與輻角有關(guān)． 例：f(x,y)?xyx2?y2在(0,0)的二重極限不存在．

13-3

《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

三

二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3

設(shè)f?M?在M0點(diǎn)有定義，如果limf(M)?f(M0)，則稱f?M?在M0點(diǎn)連續(xù)．

M?M0“???語言”描述：???0,???0,當(dāng)0

????四 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

有界性定理

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上有界。一致連續(xù)性定理

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上一致連續(xù)。

最大值最小值定理

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上必有最大值和最小值。

nP0和P1是D內(nèi)任意兩點(diǎn)，f是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，零點(diǎn)存在定理

設(shè)D是R中的一個區(qū)域，如果f(P0)?0，????????f(P1)?0，則在D內(nèi)任何一條連結(jié)P0,P1的折線上，至少存在一點(diǎn)Ps，使f(Ps)?0。

五

二重極限和二次極限

在極限limf(x,y)中，兩個自變量同時以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重極限（二重極限）．此x?x0y?y0外，我們還要討論當(dāng)x,y先后相繼地趨于x0與y0時f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：

若對任一固定的y，當(dāng)x?x0時，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)??(y),而?(y)在y?y0時的x?x0極限也存在并等于A，亦即lim?(y)?A，那么稱A為f(x,y)先對x，再對y的二次極限，記為y?y0limlimf(x,y)?A．

y?y0x?x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)．

x?x0y?y0上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。

注意：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。例：（二重極限存在，但兩個二次極限不存在）．設(shè)

11?xsin?ysin?yxf(x,y)???0?x?0,y?0x?0ory?0

由f(x,y)?x?y 得limf(x,y)?0（兩邊夾）;由limsinx?0y?0y?01y不存在知f(x,y)的累次極限不存在。

例：（兩個二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè)

13-4

《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

f(x,y)?xyx2?y2，(x,y)?(0,0)

由limlimf(x,y)?limlimf(x,y)?0知兩個二次極限存在且相等。但由前面知limf(x,y)不存在。

x?0y?0y?0x?0x?0y?0例：（兩個二次極限存在，但不相等）。設(shè)

f(x,y)xx22?y?y22，(x,y)?(0,0)

則 limlimf(x,y)?1，limlimf(x,y)??1;limlimf(x,y)?limlimf(x,y)（不可交換）

x?0y?0y?0x?0x?0y?0y?0x?0上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會有一些聯(lián)系。

定理1 設(shè)（1）二重極限limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)??(y)。則

x?x0y?y0x?x0y?y0lim?(y)?limlimf(x,y)?A。

y?y0x?x0（定理1說明：在重極限與一個累次極限都存在時，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。推論1

設(shè)（1）limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)存在；（3）?x,x?x0，limf(x,y)x?x0y?y0x?x0y?y0存在；則limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重極限limf(x,y)。

y?y0x?x0x?x0y?y0x?x0y?y0推論2 若累次極限limlimf(x,y)與limlimf(x,y)存在但不相等，則重極限limf(x,y)必不存在（可x?x0y?y0y?y0x?x0x?x0y?y0用于否定重極限的存在性）。例：求函數(shù)f?x,y??xy22222xy??x?y?在?0,0?的二次極限和二重極限。

13-5

第四篇：多元函數(shù)的極限

三． 多元函數(shù)的極限

回憶一元函數(shù)極限的定義：

limf(x)?A?設(shè)是定義域Df的聚點(diǎn)。x?x0x00對???0，總???0,?x?U(x0,?)Df時，都有f(x)?A??成立。

定義1 設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x,y)的定義域?yàn)镈f，P(x0,y0)是Df的聚點(diǎn)。如果

0Df時，都有存在常數(shù)A，對???0，總???0,?P(x,y)?U(P0(x0,y0),?)f(x,y)?A??成立，那么稱A為P(x,y)趨于P0(x0,y0)時，函數(shù)f(x,y)的極限，lifmP?(A)記作P或者?P0(x,y)?(x0,y0)limf(P)?A或者xl?xi0fmP?(A)或者

y?y0f(x,?y)A,(P?(x(x0,y0)。0P,y))Df趨于P0； 注：1.P(x,y)?P0(x0,y0)是指點(diǎn)P沿著任意路徑在2.為了區(qū)別一元函數(shù)的極限，把二元函數(shù)的極限也稱之為二重極限；

3.二元及其多元函數(shù)的極限的四則運(yùn)算法則與一元函數(shù)一致。

22例1 設(shè)f(x,y)?(x?y)sin1limf(x,y)?0。22，求證x?x0y?y0x?y2證明 顯然函數(shù)f(x,y)的定義域?yàn)镈f?R{(0,0)}，(0,0)是Df的聚點(diǎn)。因?yàn)?/p>

(x2?y2)sin只須112222?0?x?y(x?y)sin?0??，???0，所以對，要使2222x?yx?yx2?y2??成立即可。也就是說，對???0，總?????0，22?P(x,y)?U0(O(0,0),?)時，總有(x?y)sin1?0??成立，故

x2?y2x?x0y?y0lim(x2?y2)sin1?0。22x?ysin(x2y)?? 例2 求極限limx?0x2?y2y?0提示：四則運(yùn)算，并考慮重要極限和基本不等式。x3y例3 證明函數(shù)lim不存在？ x?0x6?y2y?0提示：設(shè)y?kx3。學(xué)生練習(xí)1.求極限limsin(xy)??

x?0xy?2?xy,x2?y2?0?2limf(x,y)2學(xué)生練習(xí)2.證明函數(shù)f(x,y)??x?y的極限x?0不存在？

y?0?0,x2?y2?0? 四.多元函數(shù)的連續(xù)連

回憶一元函數(shù)連續(xù)的定義：

limf(x)?f(x0)。f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)?x?x0Df的聚點(diǎn)，且定義2 設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x,y)的定義域?yàn)镈f，P0(x0,y0)是limf(x,y)?f(x0,y0)P?Dx?x0。如果，那么稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P 0f0(x0,y0)處連續(xù)。y?y0定義3 設(shè)二元函數(shù)z?f(x,y)的定義域?yàn)镈f，且Df內(nèi)每一點(diǎn)都是聚點(diǎn)。如果函數(shù)z?f(x,y)在Df內(nèi)的沒一點(diǎn)處都連續(xù)，那么稱z?f(x,y)在Df上聯(lián)系或者稱z?f(x,y)為Df上的連續(xù)函數(shù)。

注：1.定義2和定義3可以推廣至n元函數(shù)的情形。

例1 設(shè)f(x,y)?sinx，證明函數(shù)f(x,y)是R2上的連續(xù)函數(shù)？

limf(x,y)?sinx02x?x0(x,y)?R分析：對P,證明（???語言）。000y?y0證明

Df的聚點(diǎn)，P定義4.設(shè)二元函數(shù)z?f(x,y)的定義域?yàn)镈f，且P0?Df。0(x0,y0)是如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P則稱點(diǎn)P0(x0,y0)處不連續(xù)，0(x0,y0)為函數(shù)z?f(x,y)的間斷點(diǎn)。

?xy,x2?y2?0?22例2 函數(shù)f(x,y)??x?y在點(diǎn)O(0,0)的連續(xù)性？

?0,x2?y2?0?解：點(diǎn)O(0,0)雖為定義域R2的聚點(diǎn)，但由于f(x,y)在點(diǎn)O(0,0)無極限，故函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)O(0,0)間斷。

例3 函數(shù)f(x,y)?sin122的定義域?yàn)镈f?{(x,y)x?y?1}，但22x?y?1C?{(x,y)x2?y2?1}上的點(diǎn)為Df的聚點(diǎn)，又由于f(x,y)在C上沒有定義。故C上的點(diǎn)是f(x,y)的間斷點(diǎn)。

1.函數(shù)極限存在；??2.有定義； 連續(xù)??

?3.極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值；?

多元函數(shù)的連續(xù)性的性質(zhì)與一元函數(shù)一致：

1.多元連續(xù)函數(shù)的和差積商仍為其定義域上的連續(xù)函數(shù)； 2.多元連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零的點(diǎn)處任連續(xù)； 3.多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；

4.多元初等函數(shù)是其定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)（定義區(qū)域：半酣定義域的區(qū)域或者閉區(qū)域）。

可以利用多元初等函數(shù)的連續(xù)性求極限。例4 limx?y??

x?1xyy?2,2)?Df是內(nèi)點(diǎn)，因此存在U(P分析：Df?{(x,y)x?0且y?0}，P0(10;?)?Df是x?y3?f(1,2)?。Df內(nèi)的區(qū)域，因此limx?1xy2y?2一般地，若f(x,y)是初等函數(shù)，且P0(x0,y0)是f(P)的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則x?x0y?y0limf(x,y)?f(x0,y0)。

與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的最值定理類似，有

性質(zhì)1 定義在有界閉區(qū)域D上多元連續(xù)函數(shù)必取得最大值和最小值。性質(zhì)2（介值定理）有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間 的任何一個值。

性質(zhì)3 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)必一致連續(xù)。

第五篇：極限的四則運(yùn)算函數(shù)的連續(xù)性

極限的四則運(yùn)算函數(shù)的連續(xù)性

極限的四則運(yùn)算，函數(shù)的連續(xù)性

二.教學(xué)重、難點(diǎn)： 1.函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)

2.函數(shù)在開區(qū)間，閉區(qū)間上連續(xù) 3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

（1）若與在處連續(xù)，則，（）在處也連續(xù)。

（2）最大、最小值，若是[]上的連續(xù)函數(shù)，那么在上有最大值和最小值，最值可在端點(diǎn)處取得，也可以在內(nèi)取得。

【典型例題】 [例1] 求下列極限（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式

（3）原式

（4）原式

[例2] 求下列各數(shù)列的極限（1）（2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式

[例3] 已知數(shù)列是正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，且滿足，其中是大于1的整數(shù)，是正數(shù)。

（1）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）求的值。解：

（1）由已知得

∴ 是公比為的等比數(shù)列，則

（2）① 當(dāng)時，原式 ② 當(dāng)時，原式 ③ 當(dāng)時，原式

[例4] 判定下列函數(shù)在給定點(diǎn)處是否連續(xù)。（1）在處；（2），在處。解：（1），但

故函數(shù)在處不連續(xù)（2）函數(shù)在處有定義，但，即

故不存在，所以函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)。

[例5] 已知函數(shù)，試求：（1）的定義域，并畫出的圖象；（2）求，；

（3）在哪些點(diǎn)處不連續(xù)。解：

（1）當(dāng)，即時，當(dāng)時，不存在 當(dāng)時，當(dāng)時，即或時，∴

∴ 定義域?yàn)椋ǎǎ瑘D象如圖所示

（2）

∴ 不存在

（3）在及處不連續(xù)

∵ 在處無意義 時，即不存在∴ 在及處不連續(xù)

[例6] 證明方程至少有一個小于1的正根。證明：令，則在（0，1）上連續(xù)，且當(dāng)時。時，∴ 在（0，1）內(nèi)至少有一個，使

即：至少有一個，滿足且，所以方程至少有一個小于1的正根。

[例7] 函數(shù)在區(qū)間（0，2）上是否連續(xù)？在區(qū)間[0，2]上呢？ 解：（且）任取，則

∴ 在（0，2）內(nèi)連續(xù)，但在處無定義 ∴ 在處不連續(xù)，從而在[0，2]上不連續(xù)

[例8] 假設(shè)，在上不連續(xù)，求的取值范圍。

解：若函數(shù)，在上連續(xù)，由函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的定義，必有，因?yàn)?，所以，所以，若不連續(xù)，則且。

[例9] 設(shè)

（1）若在處的極限存在，求的值；（2）若在處連續(xù)，求的值。解：

（1），因?yàn)樵谔帢O限存在，所以，所以，即（2）因?yàn)樵谔庍B續(xù)，所以在處的極限存在，且，由（1）知，且，又，所以。

【模擬試題】 一.選擇題：

1.已知，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.不存在C.=1

D.= 2.的值為（）

A.5

B.4

C.7

D.0 3.的值為（）

A.1

B.0

C.D.4.的值為（）

A.B.C.1

D.5.若，則的取值范圍是（）

A.B.C.D.6.若在上處處連續(xù)，則常數(shù)等于（）

A.0

B.1

C.2

D.7.在點(diǎn)處連續(xù)是在點(diǎn)處連續(xù)的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

8.的不連續(xù)點(diǎn)是（）

A.無不連續(xù)點(diǎn)

B.C.D.二.解答題： 1.求下列極限：

（1）

（2）

（3）2.為常數(shù)，1，求。

3.已知

（1）在處是否連續(xù)？說明理由；（2）討論在和上的連續(xù)性。

【試題答案】 一.1.B

2.C

3.C D

二.1.解：（1）（2）

① 當(dāng)時，∴

② 當(dāng)時，∴

③ 當(dāng)時，（3）2.解：∵

∴

∴，4.B

5.C

6.C

7.A

8.3.解：

（1）∵，則

∴

∵，且

∴

∵

∴ 不存在∴ 在處不連續(xù)（2）∵

∴ 在上是不連續(xù)函數(shù) ∵

∴ 在上是連續(xù)函數(shù)。