第一篇：2018年高考數(shù)學(xué)(理)母題題源系列(全國1專版)專題06 平面向量

【母題來源一】【2018高考新課標(biāo)1理數(shù)6】 【母題原題】在△A.B.C.D.【答案】A 中，為

邊上的中線，為的中點，則

，所以，故選A.點睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運(yùn)算.【母題來源二】【2017高考新課標(biāo)1理數(shù)13】

【母題原題】已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= ______.【答案】【解析】

點睛：(1)求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式．(2)常用來求向量的模．

【母題來源三】【2016高考新課標(biāo)1理數(shù)13】

【母題原題】設(shè)向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|=|a|+|b|，則m=.【答案】?2 【解析】

試題分析：由|a?b|2?|a|2?|b|2，得a?b，所以m?1?1?2?0，解得m??2.【考點】向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算

【名師點睛】全國卷中向量大多以客觀題的形式出現(xiàn),屬于基礎(chǔ)題.解決此類問題既要準(zhǔn)確記憶公式,又要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.本題所用到的主要公式是：若a??x1,y1?,b??x2,y2?,則a?b?x1y1?x2y2.2

2【考點一：平面向量基本定理】

1．平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量．

2．選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底 表示出來．

3．強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等．

提醒：在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便． 【考點二：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】

1．向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．

2．解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解．

3．兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，則b＝λa，應(yīng)視題目條件靈活選擇．

1．【重慶市第八中學(xué)2018屆高考適應(yīng)性月考

（六）】若在則（）

中，其外接圓圓心滿足，A.B.C.D.【答案】A

點晴：注意區(qū)分向量三角形法則和平行四邊形法則之間的關(guān)系，注意區(qū)分向量積運(yùn)算倆公式的區(qū)別。2．【河南省信陽高級中學(xué)2019屆高三第一次大考】已知P為橢圓上一個動點，過點P作圓兩條切線，切點分別是A，B，則A.[-，＋∞）B.[-，] C.[2【答案】C 【解析】分析：利用圓的切線與圓心和切點連線垂直得到直角三角形，設(shè)三角形求出的長；利用向量的數(shù)量積公式表示出的夾角為2α，通過解直角的取值范圍為 －3，] D.[

2－3，＋∞）的，再根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式化簡函數(shù)，通過換元并結(jié)合基本不等式可求出最值． 詳解：如圖，則． 的夾角為2α，故選C．

點睛：解答解析幾何中的最值問題時，可選取適當(dāng)?shù)淖兞?，將目?biāo)函數(shù)表示為該變量的函數(shù)，然后根據(jù)所得函數(shù)的解析式的特征選擇求最值的方法，常用的方法有單調(diào)性法和基本不等式法． 3．【河南省南陽市第一中學(xué)2018屆高三第二十次考試】在，且A.B.C.D.【答案】B 【解析】分析：根據(jù)結(jié)果.詳解：由因為，得，所以，，又得，利用

以及向量的數(shù)量積建立關(guān)于的等量關(guān)系式，從而求得，則的值為（）

中，，若，所以，解得，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)向量的數(shù)量積的問題，在解題的過程中，還可以有另一種解法，建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，將向量坐標(biāo)化，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得結(jié)果.4．【黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)2018屆高三第三次模擬】非零向量則與夾角的大小為（）

滿足;,A.135° B.120° C.60° D.45° 【答案】A

點睛：該題考查的是有關(guān)向量所成角的余弦值，方法就是應(yīng)用公式求解：向量的數(shù)量積比上模的乘積即為結(jié)果，在求解的過程中，需要去判斷式子中所涉及到的量的關(guān)系，應(yīng)用題中的條件，求得兩個向量的模之間的關(guān)系，從而最后求得結(jié)果.5．【山東、湖北部分重點中學(xué)2018年高考沖刺模擬試卷

（二）】在中點，將向量A.繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

得向量，則向量

中，在向量，為

方向上的投影為（）的 B.C.D.【答案】C 【解析】如圖，以則，且，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以向量在向量方向上的投影為.本題選擇C選項.6．【陜西省咸陽市2018年高考5月信息專遞】已知兩個向量和的夾角為，向上的正射影的數(shù)量為（）A.B.【答案】D C.D.，則向量在方

點睛: 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用向量投影的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7．【山東省濰坊市青州市2018屆高三第三次高考模擬考試】設(shè)平面向量下列說法正確的是（）A.C.是的充分不必要條件 B.與的夾角為

與的夾角為，，則 D.【答案】D 中熟記向量的基本概念和基本的運(yùn)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.8．【安徽省安慶市第一中學(xué)2018屆高三熱身考試】平行四邊形則()

中，是的中點，若，A.B.2 C.D.【答案】D 【解析】分析：首先將圖畫出來，再分別將詳解：因為所以，即，因此，解得，所以，故選D.，用

表示出來，建立等量關(guān)系，求解的值.點睛：該題主要考查平面向量基本定理，涉及到的知識點有平行四邊形的對角線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示等問題，需要注意在解題推導(dǎo)過程中運(yùn)算的準(zhǔn)確性.9．【河南省安陽35中2018屆高三核心押題卷一】向量，對，則（）A.B.C.D.【答案】C

因為因為對所以對所以因為所以，所以。，所以，所以，恒成立。，即。

。所以。

。

故選C。

點睛：本題考查平面向量數(shù)量積公式及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。對于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的題型常見解法由兩種：一是對于未知量不做限制的題型，可以選擇直接運(yùn)用判別式解答；二是未知量在區(qū)間答。

10．【遼寧省凌源二中2018屆高考三?！吭谥苯亲鴺?biāo)系中,已知三點,為坐標(biāo)原點,若向上的題型，一般采取不等式組（開口方向、判別式、對稱軸、區(qū)間端點函數(shù)值的正負(fù)）的方法解量與在向量方向上的投影相等,且,則=()

A.6 B.-6 C.-5 D.5 【答案】D

點睛：本題主要考查向量的投影及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時

向量垂直則

;(4)求向量

往往 的模用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在 上的投影是；（3）（平方后需求）.11．【河南省信陽高級中學(xué)2019屆高三第一次大考】已知向量與的夾角為30°，且則_________．

＝1，【答案】

點睛：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量模的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到關(guān)于然后通過解方程可得所求．

12．【四川省成都市第七中學(xué)2018-2019高中畢業(yè)班零診模擬考試】如圖，在平面四邊形，.若點為邊

上的動點，則

中，的方程，的最小值為__________．

【答案】 【解析】分析：設(shè)，可得，利用平面向量數(shù)量積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.詳解：如圖，連接已知，，又，點睛：本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時

向量垂直則

;(4)求向量

往往用 的模（平坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在 上的投影是；（3）方后需求）.13．【河南省南陽市第一中學(xué)2018屆高三第二十次考試】已知為銳角若__________． 【答案】，且，記的外心，則，的大小關(guān)系為【解析】分析：首先根據(jù)題中的條件，利用向量的平方，結(jié)合三角形外心所滿足的條件，得到其對應(yīng)的結(jié)果，利用向量的數(shù)量積的定義式，得到對應(yīng)的式子，求得三角形外接圓的半徑，結(jié)合正弦定理得到對應(yīng)的結(jié)果.詳解：若由于O為銳角，同樣地，所以，所以所以有，從而得到，根據(jù)正弦定理，可得，從而得到，則的外心，所以D,E為邊的中點，分別是兩邊的中垂線，進(jìn)一步求得的單調(diào)性得到結(jié)果，從而可以求得.，從而可求得，之后借助于余弦函數(shù)點睛：該題考查的是有關(guān)向量的數(shù)量積的大小關(guān)系的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有向量的數(shù)量積的定義式，正弦定理，余弦函數(shù)的單調(diào)性，正確應(yīng)用結(jié)論，求得結(jié)果.14．【福建省三明市第一中學(xué)2018屆高三模擬卷

（一）】平面向量與的夾角為則【答案】__________．.，，點睛：本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時

向量垂直則

;(4)求向量

往往用 的模（平坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在 上的投影是；（3）方后需求）.15．【遼寧省葫蘆島市2018年普通高中高三第二次模擬】如圖，已知同側(cè)作半圓，__________． 分別為兩半圓上的動點，（不含端點)，且

為中點，以，則

為直徑在的最大值為

【答案】

【解析】分析：以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，可得以為直徑的半圓方程，以為直徑的半圓方程，設(shè)出的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換可得，再由余弦函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，計算可得最大值．

詳解：以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，可得

故答案為．

點睛：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，三角函數(shù)的恒等變換，考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

第二篇：高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理配套講義2平面向量、復(fù)數(shù)

微專題2　平面向量、復(fù)數(shù)

命

題

者

說

考

題

統(tǒng)

計

考

情

點

擊

2018·全國卷Ⅰ·T1·復(fù)數(shù)的運(yùn)算

2018·全國卷Ⅰ·T6·平面向量的線性運(yùn)算

2018·全國卷Ⅱ·T1·復(fù)數(shù)的運(yùn)算

2018·全國卷Ⅱ·T4·平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

2018·全國卷Ⅲ·T2·復(fù)數(shù)的運(yùn)算

2018·全國卷Ⅲ·T13·平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

高考對本部分內(nèi)容的考查主要有以下幾方面：①平面向量的運(yùn)算。包括向量的線性運(yùn)算及幾何意義，坐標(biāo)運(yùn)算，利用數(shù)量積運(yùn)算解決模、夾角、垂直的問題，常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等知識進(jìn)行簡單的結(jié)合；②復(fù)數(shù)的運(yùn)算。包括復(fù)數(shù)的概念、幾何意義及四則運(yùn)算。以上考點難度不高，屬送分題，只要掌握基礎(chǔ)知識就能得滿分。

考向一

平面向量

微考向1：平面向量的線性運(yùn)算

【例1】(1)(2018·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝()

A.－

B.－

C.＋

D.＋

(2)(2018·重慶調(diào)研)已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的內(nèi)心，P是△IBC內(nèi)部(不含邊界)的動點，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是()

A.B.C.D．(2,3)

解析(1)解法一：如圖所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故選A。

解法二：＝－＝－＝－××(＋)＝－，故選A。

(2)以B為原點，BA，BC所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)。設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，因為I是△ABC的內(nèi)心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)。設(shè)P(x，y)，因為點P在△IBC內(nèi)部(不含邊界)，所以0

所以λ＋μ＝1－x，又0

答案(1)A(2)A

解決以平面圖形為載體的向量線性運(yùn)算問題的方法

(1)充分利用平行四邊形法則與三角形法則，結(jié)合平面向量基本定理、共線定理等知識進(jìn)行解答。

(2)如果圖形比較規(guī)則，向量比較明確，則可考慮建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算來解決。

變|式|訓(xùn)|練

1．(2018·陜西檢測)已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，則△ABC的面積等于()

A.B．2

C．3

D．4

解析　由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中點為D，則PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，|PD|＝1可得||＝，則||＝2，所以△ABC的面積為×2×2＝2。故選B。

答案　B

2．(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)。若c∥(2a＋b)，則λ＝________。

解析　由題可得2a＋b＝(4,2)。因為c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ－2＝0，即λ＝。

答案

微考向2：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

【例2】(1)(2018·全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝()

A．4

B．3

C．2

D．0

(2)圓O為△ABC的外接圓，半徑為2，若＋＝2，且||＝||，則向量在向量方向上的投影為________。

(3)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點。若·＝1，則AB的長為______。

解析(1)因為a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3。故選B。

(2)因為＋＝2，所以O(shè)是BC的中點。所以△ABC為直角三角形。在△AOC中，有||＝||，所以∠B＝30°。由定義，得向量在向量方向上的投影為||cosB＝2×＝3。

(3)解法一：由題意可知＝＋，＝－＋。因為·＝1，所以(＋)·＝1，即2＋·－2＝1。①

因為||＝1，∠BAD＝60°，所以·＝||。因此①式可化為1＋||－2＝1，解得||＝0(舍去)或||＝。所以AB的長為。

解法二：以A為原點，AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，過點D作DM⊥AB于點M。由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝，DM＝。設(shè)|AB|＝m(m>0)，則B(m,0)，C，D。因為E是CD的中點，所以E。所以＝，＝。由·＝1可得＋＝1，即2m2－m＝0。所以m＝0(舍去)或m＝。故AB的長為。

答案(1)B(2)3(3)

解決以平面圖形為載體的向量數(shù)量積問題的方法

(1)選擇平面圖形中的模與夾角確定的向量作為一組基底，用該基底表示構(gòu)成數(shù)量積的兩個向量，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算律求解。

(2)若已知圖形中有明顯的適合建立直角坐標(biāo)系的條件，可建立直角坐標(biāo)系將向量數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算來解決。

變|式|訓(xùn)|練

1．平面向量a與b的夾角為45°，a＝(1,1)，|b|＝2，則|3a＋b|＝()

A．13＋6

B．2

C.D.解析　依題意得|a|＝，a·b＝×2×cos45°＝2，則|3a＋b|＝＝＝＝。故選D。

答案　D

2．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)

分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF

。若·＝1，則λ的值為________。

解析　解法一：如圖，由題意可得·＝||·||cos120°＝2×2×＝－2。在菱形ABCD中，易知＝，＝，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，·＝·＝＋－2＝1，解得λ＝2。

解法二：以A為原點建立直角坐標(biāo)系如圖，則A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，D(－1，)，E，設(shè)F

(x0，)，則·＝·(x0，)＝1，則x0＋1＝1，則x0＝0，所以F

為DC中點，所以DC＝2DF，即λ＝2。

答案　2

微考向3：平面向量的最值問題

【例3】(2018·浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量。若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是()

A．－1

B．＋1

C．2

D．2－

解析　解法一：設(shè)O為坐標(biāo)原點，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以點B的軌跡是以C(2,0)為圓心，1為半徑的圓。因為a與e的夾角為，所以不妨令點A在射線y＝x(x>0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知|a－b|min＝||－||＝－1。故選A。

解法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0。設(shè)b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中點為C，則B在以C為圓心，EF

為直徑的圓上，如圖。設(shè)a＝，作射線OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1。故選A。

答案　A

平面向量的最值問題的兩種解法

(1)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，計算有關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)計算。

(2)幾何法：根據(jù)向量的幾何意義構(gòu)造圖形，通過分析圖形得出結(jié)論。

變|式|訓(xùn)|練

已知A，B，C是圓O：x2＋y2＝1上的動點，且AC⊥BC，若點M的坐標(biāo)是(1,1)，則|＋＋|的最大值為()

A．3

B．4

C．3－1

D．3＋1

解析　解法一：因為A，B，C是圓O：x2＋y2＝1上的動點，且AC⊥BC，所以設(shè)A(cosθ，sinθ)，B(－cosθ，－sinθ)，C(cosα，sinα)，其中0≤θ<2π，0≤α<2π，因為M(1,1)，所以＋＋＝(cosθ－1，sinθ－1)＋(－cosθ－1，－sinθ－1)＋(cosα－1，sinα－1)＝(cosα－3，sinα－3)，所以|＋＋|

＝

＝

＝，當(dāng)且僅當(dāng)sin＝－1時，|＋＋|取得最大值，最大值為＝3＋1。故選D。

解法二：連接AB，因為AC⊥BC，所以AB為圓O的直徑，所以＋＝2，所以|＋＋|＝|2＋|≤|2|＋||＝2＋||，易知點M與圓上動點C的距離的最大值為＋1，所以||≤＋1，所以|＋＋|≤3＋1。故選D。

答案　D

考向二

復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【例4】(1)(2018·全國卷Ⅱ)＝()

A．－－i

B．－＋i

C．－－i

D．－＋i

(2)(2018·北京高考)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

解析(1)因為＝＝＝－＋i。故選D。

(2)＝＝＋i，其共軛復(fù)數(shù)為－i，對應(yīng)的點為。故選D。

答案(1)D(2)D

復(fù)數(shù)問題的解題思路

(1)以復(fù)數(shù)的基本概念、幾何意義、相等的條件為基礎(chǔ)，結(jié)合四則運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式列方程或方程組解決問題。

(2)若與其他知識結(jié)合考查，則要借助其他的相關(guān)知識解決問題。

變|式|訓(xùn)|練

1．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a＋(a∈R)是純虛數(shù)，則a＝()

A．－1

B．1

C．－2

D．2

解析　因為a＋＝a＋＝a－2＋i為純虛數(shù)，所以a－2＝0，得a＝2。故選D。

答案　D

2．復(fù)數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為()

A．(3,3)

B．(－1,3)

C．(3，－1)

D．(2,4)

解析　因為z＝＝＝＝－1＋3i，所以其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(－1,3)。故選B。

答案　B

3．復(fù)數(shù)z滿足＝i(i為虛數(shù)單位)，則＝()

A．1＋i　　　B．1－i

C.D.解析　因為＝i，所以z＝(z－i)i＝zi＋1，z＝＝，＝，故選D。

答案　D

1．(考向一)(2018·河北、河南、山西聯(lián)考)如圖，在等邊△ABC中，O為△ABC的重心，點D為BC邊上靠近B點的四等分點，若＝x＋y，則x＋y＝()

A.B.C.D.解析　設(shè)點E為BC的中點，連接AE，可知O在AE上，由＝＋＝＋＝(＋)＋(－)＝－，故x＝，y＝－，x＋y＝。故選B。

答案　B

2．(考向一)(2018·天津高考)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1。若點E為邊CD上的動點，則·的最小值為()

A．

B．

C．

D．3

解析　解法一：如圖，以D為原點DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，所以·＝(－1，t)·＝t2－t＋，因為t∈[0，]，所以當(dāng)t＝－＝時，·取得最小值，(·)min＝－×＋＝。故選A。

解法二：令＝λ(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝，因為＝＋λ，所以＝＋＝＋＋λ，所以·＝(＋λ)·(＋＋λ)＝·＋2＋λ·＋2＝3λ2－λ＋。當(dāng)λ＝－＝時，·取得最小值。故選A。

答案　A

3．(考向二)(2018·株洲二模)設(shè)i為虛數(shù)單位，1－i＝，則實數(shù)a＝()

A．2

B．1

C．0

D．－1

解析　因為1－i＝，所以2＋ai＝(1－i)(1＋i)＝2，所以a＝0。故選C。

答案　C

4．(考向二)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若(1－2i)＝5－i(i為虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

解析　依題意，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＋＝2a＋bi，故2a＋bi＝＝1＋i，故a＝，b＝，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為，位于第一象限。故選A。

答案　A

第三篇：(天津卷)2016年高考英語母題題源系列 專題06 書面表達(dá)(含解析)

母題六書面表達(dá)

【母題來源】【2016·天津】 【母題原題】

【2016·天津】書面表達(dá)（滿分25分）

假設(shè)你是晨光中學(xué)的學(xué)生會主席李津。一批來自英國的高中生與你校學(xué)生開展了為期兩周的交流活動?，F(xiàn)在，他們即將回國，你將在歡送會上致辭。請根據(jù)以下提示寫一篇發(fā)言稿。（1）回顧雙方的交流活動（如學(xué)習(xí)、生活、體育、文藝等方面）；（2）談?wù)勈斋@或感情；（3）表達(dá)祝愿語期望。注意：

（1）詞數(shù)不少于100；

（2）可適當(dāng)加入細(xì)節(jié)，是內(nèi)容充實、行文連貫；（3）開頭和結(jié)尾已給出，不計入總詞數(shù)。Dear friends, How time flies!

Thank you.【答案】

One possible version:

Dear__friends,__ How__time__flies!Two weeks went by before we realized that our exchange activities ended.On behalf of our school, I would like to express my feelings.As scheduled, we took part in several instructive activities.We have learnt many Chinese characters and often took exercise together.We went to the restaurant to taste the Chinese traditional food.The food was extremely delicious and different from our food.While visiting the art exhibition, we discussed the great artists' works.As far as I'm concerned, everyone here is a member of our big family.And at last I sincerely wish you a pleasant trip to your country.I hope we'll get together again next year.Thank__you.【考點定位】考查提綱作文

【命題意圖】本題考查了學(xué)生的語言的運(yùn)用能力和發(fā)揮想象的能力。從微觀上考查了學(xué)生寫句子的能力。

【考試方向】把語言知識和能力結(jié)合起來，綜合考查學(xué)生的語言運(yùn)用能力和臨場發(fā)揮的能力?！镜梅忠c】這篇作文屬于典型的提綱類作文。根據(jù)要求確定要點，適當(dāng)對要點進(jìn)行發(fā)揮。關(guān)鍵在于詞匯和句式的選用，盡量使用簡潔的語言。

【母題1】

【2016屆襄陽五中、宜昌一中、龍泉中學(xué)高三上學(xué)期九月聯(lián)考】假設(shè)你是李華，上個月去英國參加了一次夏令營活動，活動期間一直住在Mr.Smith家中。他們給你提供了很多幫助，請寫一封感謝信表達(dá)對他們的感謝。內(nèi)容要點：1.感謝Smith夫婦；

2.你的感受；

3.邀請Smith夫婦來華旅游。

注意: 1.詞數(shù)：100字左右。開頭和結(jié)尾已給出，不計入詞數(shù)；

2.可以適當(dāng)增加細(xì)節(jié)，以使行文連貫；

Dear Mr.and Mrs.Smith，How are you doing? ________________________________________________________________ Yours，345-

第四篇：07--12年浙江省高考數(shù)學(xué)平面向量題

2010（16）已知平面向量a,?(a?0,a??)滿足??1,且a與??a的夾角為120°則a。

2009（7）設(shè)向量a,b滿足︱a︱=3,︱b︱=4,a?b=0.以a,b,a-b的模為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為

（A）3（B）4（C）5（D）6

2008（9）已知a、b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a?c)?(b?c)的最大值是

（A）1（B）2（C）?0,則|c| 2（D）22

2007（7）若非零向量a，b滿足a?b?b，則（）Ａ．2a??a?b Ｂ．2a?2a?bＣ．2b?a??bＤ． 2b?a?2b

2012（5）.設(shè)a，b是兩個非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，則a⊥b

B.若a⊥b，則|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，則存在實數(shù)λ，使得b=λa

D.若存在實數(shù)λ，使得b=λa，則|a+b|=|a|-|b|

2012（15）.在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則

=________.

第五篇：2018年高考數(shù)學(xué)(理)母題題源系列(全國1專版)專題04 等差數(shù)列與等比數(shù)列

【母題原題1】【2018新課標(biāo)1，理4】設(shè)為等差數(shù)列A.B.C.D.的前項和，若，則

【來源】2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷）【答案】B

點睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項公式的應(yīng)用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項公式得到與得結(jié)果.【母題原題2】【2017新課標(biāo)1，理12】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā) 大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的

答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是2，接下來的兩項 是2，2，再接下來的三項是2，2，2，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項 和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是 A．440 【答案】A B．330

C．220

D．110 010

20的關(guān)系，從而求

【考點】等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和.【名師點睛】本題非常巧妙的將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項和求和.另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.?an的最大值【母題原題3】【2016新課標(biāo)1，理15】設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2鬃為.【答案】64 【解析】

?a1?82?a1?a3?10??a1(1?q)?10?試題分析：設(shè)等比數(shù)列?an?的公比為q(q?0)，由?得?，解得?1.所以2a?a?5q???24?a1q(1?q)?5??2a1a2an?aqn1?2??(n?1)117?n2?n1n(n2?1)?8?()?222，于是當(dāng)n?3或n?4時，a1a22nan取得最大值26?64.【考點】等比數(shù)列及其應(yīng)用 【名師點睛】高考中數(shù)列客觀題大多具有小、巧、活的特點,在解答時要注意方程思想及數(shù)列相關(guān)性

質(zhì)的應(yīng)用,盡量避免小題大做.【命題意圖】1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式．2．掌握非等差、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.【命題規(guī)律】從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點，尤其是等差、等比數(shù)列的求和公式、錯位相減求和及裂項相消求和為考查的重點，常與函數(shù)、方程、不等式等聯(lián)系在一起綜合考查，考查內(nèi)容比較全面，多為解答題的形式呈現(xiàn)，解題時要注意基本運(yùn)算、基本能力的運(yùn)用，同時注意函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.【方法總結(jié)】

1.求數(shù)列前n項和的常用方法 1）分組求和法

分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項和.??bn，n為奇數(shù)(2)通項公式為an＝??cn，n為偶數(shù)?的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和.提醒：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論.2）裂項相消法

把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項.如：?an?是公差為d的等差數(shù)列，求?aak?1kk?1n111?11?????解：由??d?0?

ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?n?111?11?1??11??11?1??????∴????????????……????? aadaadaaaaaak?1kk?1k?1k?1?2?3?n?1???k?2?n??1n1?11????? d?a1an?1?3）錯位相減法 若?an?為等差數(shù)列，?bn?為等比數(shù)列，求數(shù)列?anbn?（差比數(shù)列）前n項和，可由Sn?qSn，求Sn，其中q為?bn?的公比.如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1

① ②

x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn ①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn

x?1時，Sn1?x?nx???nn?1?x?21?x，x?1時，Sn?1?2?3?……?n?n?n?1? 24）倒序相加法

把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加.Sn?a1?a2?……?an?1?an??相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…

Sn?an?an?1?……?a2?a1?2.數(shù)列與函數(shù)綜合

（1）數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：

①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；

②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形．

（2）解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常用解法有助于該類問題的解決． 3.數(shù)列與不等式綜合

與數(shù)列有關(guān)的不等式的命題常用的方法有：比較法(作差作商)、放縮法、利用函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)學(xué)歸納法證明，其中利用不等式放縮證明是一個熱點，常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年命題的熱點．利用放縮法解決“數(shù)列+不等式”問題通常有兩條途徑：一是先放縮再求和，二是先求和再放縮． 4．以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題，多與數(shù)列求和相聯(lián)系，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求解；

5.以數(shù)列為背景的不等式證明問題，多與數(shù)列求和有關(guān)，有時利用放縮法證明．1．【重慶市西南大學(xué)附中高2018級第四次月考】等比數(shù)列（）A.B.C.D.中，，則

【答案】A

點睛：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，本題可以用基本量法求解，即求出首項和公比后，再計算應(yīng)用性質(zhì)求解更應(yīng)提倡．本題所用性質(zhì)為：數(shù)列數(shù)）仍是等比數(shù)列．

2．【湖南省長沙市長郡中學(xué)2018屆高考模擬卷

（二）】設(shè),則A.B.的前

項和

()

是公差不為0的等差數(shù)列,滿足

是等比數(shù)列，則，當(dāng)然（為常 C.D.【答案】C 【解析】分析：根據(jù)題意變形可得：式求和公式及其性質(zhì)即可得出． 詳解: ：a4+a5=a6+a7，化簡可得：即2d（a6+a4）+2d（a7+a5）=0，d≠0． ∴a6+a4+a7+a5=0，∵a5+a6=a4+a7，∴a5+a6=0，∴S10==5（a5+a6）=0，故選：C．

點睛：在處理等差數(shù)列問題時，記住以下性質(zhì)，可減少運(yùn)算量、提高解題速度：

若等差數(shù)列①若②、、的前項和為，且，則、成等差數(shù)列．

；，則 222

2，整理可得a5+a6=0，再利用等差數(shù)列通項公，3．【安徽省安慶市第一中學(xué)2018屆高三熱身考試】數(shù)列(且)，則此數(shù)列為()

中，已知，且，A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列

C.從第二項起為等差數(shù)列 D.從第二項起為等比數(shù)列 【答案】D

點睛：數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系是，當(dāng)n＝1時，a1若適合Sn－Sn－1，則n＝1的情況可并入n≥2時的通項an；當(dāng)n＝1時，a1若不適合Sn－Sn－1，則用分段函數(shù)的形式表示． 4．【福建省三明市第一中學(xué)2018屆高三模擬卷

（一）】等比數(shù)列的前項和，前，則（）A.【答案】D 【解析】分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，可知其第一個項和，第二個項和，第三個項和仍然構(gòu)成等比數(shù)列，化簡即可得結(jié)果.詳解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，等比數(shù)列的第一個項和，第二個項和，第三個項和仍然構(gòu)成等比數(shù)列，則有構(gòu)成等比數(shù)列，B.C.D.項和，前

項和分別為，即，故選D.，點睛：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列前項和，意在考查靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力，是基礎(chǔ)題.5．【2018年天津市南開中學(xué)高三模擬考試】已知等比數(shù)列A.B.C.D.的前項和為，且，則（）

【答案】D

點睛：該題考查的是有關(guān)等比數(shù)列的問題，涉及到的知識點有等比數(shù)列項之間的關(guān)系，等比數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，在解題的過程中，注意認(rèn)真運(yùn)算.6．【寧夏回族自治區(qū)銀川一中2018屆高三考前適應(yīng)性訓(xùn)練】已知數(shù)列公差為5的等差數(shù)列，若，則數(shù)列

為

是公差為3的等差數(shù)列，是A.公差為15的等差數(shù)列 B.公差為8的等差數(shù)列 C.公比為125的等比數(shù)列 D.公比為243的等比數(shù)列 【答案】A 【解析】分析：先根據(jù)等差數(shù)列定義求公差，即得結(jié)果.詳解：因為數(shù)列所以因為是公差為3的等差數(shù)列，所以, 是公差為5的等差數(shù)列，, 因此選A.點睛：判斷或證明(1)用定義證明：(2)用等差中項證明：(3)通項法： 為的一次函數(shù)；(4)前項和法： 為等差數(shù)列的方法：

為常數(shù)）；

；

7．【重慶市第八中學(xué)2018屆高考適應(yīng)性月考

（八）】公差與首項相等的等差數(shù)列記A.B.，其中表示不超過的最大整數(shù)，如 D.，的前項和為，且的前

.，則數(shù)列項和為（）

C.【答案】C

點睛：（1）本題主要考查等差數(shù)列的通項和前n項和，考查學(xué)生接受新定義及利用新定義解題的能力.(2)由于新數(shù)列的通項不方便求出，所以利用列舉法比較恰當(dāng).的前項和滿足，其中

． 8．【北京西城八中2017屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列（Ⅰ）求證：數(shù)列（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列為等比數(shù)列． 的前項和． 【答案】(1)見解析（2）

【解析】分析：（1）先根據(jù)和項與通項關(guān)系得項之間遞推關(guān)系式，再根據(jù)等比數(shù)列定義證結(jié)論，（2）根據(jù)分組求和法（一個等比數(shù)列與一個等差數(shù)列和）求數(shù)列詳解：解：（Ⅰ）∴當(dāng)時，①，解得

； 的前項和

點睛：本題采用分組轉(zhuǎn)化法求和，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的和.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型主要有分段型（如），符號型（如），周期型（如）的前項和為，首項

且9．【福建省三明市第一中學(xué)2018屆高三模擬卷

（一）】若數(shù)列（）.的通項公式；（），令，求數(shù)列或的前項和.（1）求數(shù)列（2）若【答案】(1)

.(2).【解析】分析：（1），詳解：（1）當(dāng)時，或

；(2)由，則，即，可得，利用裂項相消法求和即可.或當(dāng)時，點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.10．【遼寧省葫蘆島市2018年普通高中高三第二次模擬考試】設(shè)等差數(shù)列列，（1）求數(shù)列.的通項公式； 的前項和為，且成等差數(shù)（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)an=2n-1(2)【解析】分析：設(shè)等差數(shù)列得：的首項為,公差為, 由成等差數(shù)列，可知，由此解得，即可得到數(shù)列的通項公式；

, 由令詳解： 設(shè)等差數(shù)列，利用錯位相減法可求數(shù)列的前項和.的首項為,公差為, 由成等差數(shù)列，可知 , 由得：，解得:因此:

(2)令∴① ② ①—②,得

所以.則，點睛：本題考查等差數(shù)列的公差及首項的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)、錯位相減法的合理運(yùn)用．

11．【山東省濰坊市青州市2018屆高三第三次高考模擬考試】已知等比數(shù)列，(1)求(2)記【答案】(1)【解析】試題分析： 的通項公式；，數(shù)列的前項和為，求證：..的前項和為，滿足；(2)證明見解析.點睛：使用裂項法求和時，要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的． 12．【四川省南充高級中學(xué)2018屆高三考前模擬考試】已知數(shù)列

中，其前項和為，且滿足．

（11）求證：數(shù)列（2）證明：當(dāng)是等差數(shù)列； 時，．

【答案】（1）見解析；（2）見解析

點睛：本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的判定，考查等價轉(zhuǎn)化思想，突出裂項法、放縮法應(yīng)用的考查.