微專題9　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

命

題

者

說

考

題

統(tǒng)

計(jì)

考

情

點(diǎn)

擊

2018·全國卷Ⅱ·T9·異面直線所成的角

2018·浙江高考·T6·直線與平面平行

2017·全國卷Ⅱ·T10·異面直線所成的角

2017·全國卷Ⅲ·T16·圓錐、異面直線所成的角

1.以選擇題、填空題的形式考查線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理，對命題的真假進(jìn)行判斷，屬基礎(chǔ)題。

2.空間中的平行、垂直關(guān)系的證明也是高考必考內(nèi)容，多出現(xiàn)在立體幾何解答題中的第(1)問。

考向一

空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系判斷

【例1】(1)已知α，β是兩個不同的平面，l，m，n是不同的直線，下列命題中不正確的是()

A．若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，則l⊥α

B．若l⊥α，l∥β，則α⊥β

C．若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，則m⊥β

D．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n

(2)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是()

A．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β

B．若m⊥α，n⊥α，則m∥n

C．若m∥α，n∥α，則m∥n

D．若l∥α，α∥β，則l∥β

解析(1)由l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，不能推出l⊥α，缺少條件m與n相交，故A不正確；若l⊥α，l∥β，則過l作平面γ，使γ∩β＝c，則l∥c，故c⊥α，c?β，故α⊥β，B正確；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知C正確；D正確。故選A。

(2)若α⊥γ，β⊥γ，則α與β相交或平行，故A錯誤；若m⊥α，n⊥α，則由直線與平面垂直的性質(zhì)得m∥n，故B正確；若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故C錯誤；若l∥α，α∥β，則l?β或l∥β，故D錯誤。故選B。

答案(1)A(2)B

判斷空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，主要依據(jù)四個公理、平行關(guān)系和垂直關(guān)系的有關(guān)定義及定理，具體處理時可以構(gòu)建長方體或三棱錐等模型，把要考查的點(diǎn)、線、面融入模型中，判斷會簡潔明了。如果要否定一結(jié)論，只需找到一個反例即可。

變|式|訓(xùn)|練

1．已知直線a，b和平面α，β，下列命題中是假命題的有________(只填序號)。

①若a∥b，則a平行于經(jīng)過b的任何平面；

②若a∥α，b∥α，則a∥b；

③若a∥α，b∥β，且α⊥β，則a⊥b；

④若α∩β＝a，且b∥α，則b∥a。

解析　①若a∥b，a，b可以確定平面，則a平行于經(jīng)過b的任何平面，不正確；②若a∥α，b∥α，則a∥b或a，b相交、異面，不正確；③若a∥α，b∥β，且α⊥β，則a，b關(guān)系不確定，不正確；④若α∩β＝a，且b∥α，則b與a關(guān)系不確定，不正確。

答案?、佗冖邰?/p>

2．(2018·益陽、湘潭調(diào)研)下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有()

A．①③

B．②③

C．②④

D．②③④

解析　由題意，可知題圖①中，GH∥MN，因此直線GH與MN共面；題圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；題圖③中，連接MG，則GM∥HN，因此直線GH與MN共面；題圖④中，連接GN，G，M，N三點(diǎn)共面，但H?平面GMN，所以直線GH與MN異面。故選C。

答案　C

考向二

異面直線所成的角

【例2】(2018·全國卷Ⅱ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()

A．

B．

C．

D．

解析

解法一：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(1,1，)，D1(0，0，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，因?yàn)閏os〈，〉＝＝＝，所以異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為。故選C。

解法二：如圖，補(bǔ)上一相同的長方體CDEF－C1D1E1F1，連接DE1，B1E1。易知AD1∥DE1，則∠B1DE1或其補(bǔ)角為異面直線AD1與DB1所成角。因?yàn)樵陂L方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，所以DE1＝＝＝2，DB1＝＝，B1E1＝＝＝，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝＝>0，所以∠B1DE1為銳角，即為異面直線AD1與DB1所成的角，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為，故選C。

解法三：如圖，連接BD1，交DB1于點(diǎn)O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM，易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角。因?yàn)樵陂L方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝＝，所以O(shè)M＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝＝，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為，故選C。

答案　C

求異面直線所成的角，一般是用平移法把異面直線平移為相交直線，然后再解三角形求解。

變|式|訓(xùn)|練

(2018·陜西質(zhì)量檢測)已知△ABC與△BCD均為正三角形，且AB＝4。若平面ABC⊥平面BCD，且異面直線AB和CD所成的角為θ，則cosθ＝()

A．－　　B．

C．－

D．

解析

如圖，取BC的中點(diǎn)O，取BD的中點(diǎn)E，取AC的中點(diǎn)F，連接OA，OE，OF，EF，則OE∥CD，OF∥AB，則∠EOF或其補(bǔ)角為異面直線AB與CD所成的角，依題得OE＝CD＝2，OF＝AB＝2，過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，易得FG⊥平面BCD，且FG＝OA＝，G為OC的中點(diǎn)，則OG＝1，又OE＝2，∠EOG＝60°，所以由余弦定理得EG＝

＝＝，由勾股定理得EF2＝FG2＋EG2＝()2＋()2＝6，在△OEF中，由余弦定理得cos∠EOF＝＝＝，所以cosθ＝。故選D。

答案　D

考向三

空間點(diǎn)、線、面的綜合問題

【例3】(1)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()

A．A1E⊥DC1

B．A1E⊥BD

C．A1E⊥BC1

D．A1E⊥AC

(2)若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，給出下列結(jié)論：

①四面體ABCD每組對棱相互垂直；

②四面體ABCD每個面的面積相等；

③從四面體ABCD每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°且小于180°；

④連接四面體ABCD每組對棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分；

⑤從四面體ABCD每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長。

其中正確結(jié)論的序號是________。

解析(1)解法一：由正方體的性質(zhì)，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD。又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1。故選C。

解法二：因?yàn)锳1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，所以B、D錯誤；因?yàn)锳1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC1，所以A1E⊥BC1，(證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，所以BC1⊥平面CEA1B1。又A1E?平面CEA1B1，所以A1E⊥BC1。)，C正確；因?yàn)锳1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直。A錯誤。故選C。

(2)對于①，如圖①，AE，CF分別為BD邊上的高，由AD＝BC，AB＝CD，BD＝DB可知△ABD≌△CDB，所以AE＝CF，DE＝BF，當(dāng)且僅當(dāng)AD＝AB，CD＝BC時，E，F(xiàn)重合，此時AC⊥BD，所以當(dāng)四面體ABCD為正四面體時，每組對棱才相互垂直，故①錯誤；對于②，由題設(shè)可知四面體的四個面全等，所以四面體ABCD每個面的面積相等，故②正確；對于③，當(dāng)四面體為正四面體時，同一個頂點(diǎn)出發(fā)的任意兩條棱的夾角均為60°，此時四面體ABCD每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于180°，故③錯誤；對于④，如圖②，G，H，I，J為各邊中點(diǎn)，因?yàn)锳C＝BD，所以四邊形GHIJ為菱形，所以GI，HJ相互垂直平分，其他同理可得，所以連接四面體ABCD每組對棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分，故④正確；對于⑤，從A點(diǎn)出發(fā)的三條棱為AB，AC，AD，因?yàn)锳C＝BD，所以AB，AC，AD可以構(gòu)成三角形，其他同理可得，所以從四面體ABCD每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長，故⑤正確。綜上所述，正確的結(jié)論為②④⑤。

答案(1)C(2)②④⑤

破解此類問題需：(1)認(rèn)真審題，并細(xì)觀所給的圖形，利用空間直線、平面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理求解；(2)懂得轉(zhuǎn)化，即把面面關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系問題，再把線面關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系問題，通過轉(zhuǎn)化，把問題簡單化，問題的解決也就水到渠成了。

變|式|訓(xùn)|練

1．若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有()

A．0條

B．1條

C．2條

D．0條或2條

解析　如圖，因?yàn)槠叫杏谌忮F的兩條相對棱的平面截三棱錐所得的截面是平行四邊形，所以該三棱錐中與平面α平行的棱有2條。故選C。

答案　C

2．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()

A

B

C　　　　　D

解析

解法一：對于B，如圖所示，連接CD，因?yàn)锳B∥CD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ。同理可證選項(xiàng)C，D中均有AB∥平面MNQ。故選A。

解法二：對于A，設(shè)正方體的底面對角線的交點(diǎn)為O(如圖所示)，連接OQ，則OQ∥AB，因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn)，所以AB與平面MNQ有交點(diǎn)，即AB與平面MNQ不平行。故選A。

答案　A

1．(考向一)(2018·重慶六校聯(lián)考)設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則α∥β的一個充分條件是()

A．存在一條直線a，a∥α，a∥β

B．存在一條直線a，a?α，a∥β

C．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α

D．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α

解析　對于A，若存在一條直線a，a∥α，a∥β，則α∥β或α與β相交，若α∥β，則存在一條直線a，使得a∥α，a∥β，所以選項(xiàng)A的內(nèi)容是α∥β的一個必要條件；同理，選項(xiàng)B，C的內(nèi)容也是α∥β的一個必要條件而不是充分條件；對于D，可以通過平移把兩條異面直線平移到一個平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以選項(xiàng)D的內(nèi)容是α∥β的一個充分條件。故選D。

答案　D

2．(考向二)(2018·全國卷Ⅰ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為()

A．8

B．6

C．8

D．8

解析

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，連接BC1，根據(jù)線面角的定義可知∠AC1B＝30°，因?yàn)锳B＝2，所以BC1＝2，從而求得CC1＝2，所以該長方體的體積為V＝2×2×2＝8。故選C。

答案　C

3．(考向三)在底面是菱形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AD上，平面CEF與PA交于點(diǎn)K，且PA＝AB＝3，AF＝2，則等于()

A．　　　　B．

C．　　　　D．

解析　如圖所示，延長BA，CF交于點(diǎn)G，連接EG，與PA的交點(diǎn)就是K點(diǎn)，則AG＝6，過點(diǎn)A作AH∥PB，與EG交于點(diǎn)H，則＝＝＝＝＝。故選A。

答案　A

4．(考向三)如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若P為三角形A1B1C1內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)，則點(diǎn)P在底面ABC的投影可能在()

A．△ABC的內(nèi)部

B．△ABC的外部

C．直線AB上

D．以上均有可能

解析　因?yàn)锳C⊥AB，AC⊥BC1，所以AC⊥平面ABC1，AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線

AB上。若P為三角形A1B1C1內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)，則點(diǎn)P在底面ABC的投影可能在△ABC的外部。故選B。

答案　B

5．(考向三)(2018·成都診斷)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知底面ABCD為正方形，P為A1D1的中點(diǎn)，AD＝2，AA1＝，點(diǎn)Q是正方形ABCD所在平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，且QC＝QP，則線段BQ的長度的最大值為________。

解析　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則P(1,0，)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，Q(x，y,0)，因?yàn)镼C＝QP，所以＝?(x－2)2＋(y＋2)2＝4，所以(y＋2)2＝4－(x－2)2≤4?|y＋2|≤2?－4≤y≤0，BQ＝＝＝，根據(jù)－4≤y≤0可得4≤4－8y≤36，所以2≤BQ≤6，故線段BQ的長度的最大值為6。

答案　6