專題五

平面向量

第十三講

平面向量的概念與運算

一、選擇題

1．(2018全國卷Ⅰ)在中，為邊上的中線，為的中點，則

A．

B．

C．

D．

2．(2018全國卷Ⅱ)已知向量，滿足，則

A．4

B．3

C．2

D．0

3．(2018天津)在如圖的平面圖形中，已知，，，則的值為

A．

B．

C．

D．0

4．（2017新課標Ⅱ）設非零向量，滿足則

A．

B．

C．

D．

5．（2017北京）設,為非零向量，則“存在負數，使得”是“”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

6．（2016年天津）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，連接并延長到點，使得，則的值為

A．

B．

C．

D．

7．（2016全國III卷）已知向量,則

A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

8．(2015重慶)已知非零向量滿足，且，則與的夾角為

A．

B．

C．

D．

9．（2015陜西）對任意向量，下列關系式中不恒成立的是

A．

B．

C．

D．

10．（2015新課標2）向量，則

A．

B．

C．

D．

11．（2014新課標1）設分別為的三邊的中點，則

A．

B．

C．

D．

12．（2014新課標2）設向量,滿足，則

A．1

B．2

C．3

D．5

13．(2014山東)

已知向量.若向量的夾角為，則實數

A．

B．

C．0

D．

14．（2014安徽）設為非零向量，兩組向量和均由2個和2個排列而成，若所有可能取值中的最小值為，則與的夾角為

A．

B．

C．

D．0

15．（2014福建）在下列向量組中，可以把向量表示出來的是

A．

B．

C．

D．

16．（2014浙江）設為兩個非零向量，的夾角，已知對任意實數，是最小值為1

A．若確定，則唯一確定

B．若確定，則唯一確定

C．若確定，則唯一確定

D．若確定，則唯一確定

17．(2014重慶)已知向量，,且,則實數

A．

B．

C．

D．

18．（2013福建）在四邊形中，,則該四邊形的面積為

A．

B．

C．5

D．10

19．（2013浙江）設，是邊上一定點，滿足，且對于邊上任一點，恒有．則

A．

B．

C．

D．

20．（2013遼寧）已知點，則與向量同方向的單位向量為

A．

B．

C．

D．

21．（2013湖北）已知點、、、，則向量在方向上的投影為

A．

B．

C．

D．

22．（2013湖南）已知是單位向量，．若向量滿足，則的最大值為

A．

B．

C．

D．

23．（2013重慶）在平面上，,.若，則的取值范圍是

A、B、C、D、24．（2013廣東）設是已知的平面向量且，關于向量的分解，有如下四個命題：

①給定向量，總存在向量，使；

②給定向量和，總存在實數和，使；

③給定單位向量和正數，總存在單位向量和實數，使；

④給定正數和，總存在單位向量和單位向量，使；

上述命題中的向量，和在同一平面內且兩兩不共線，則真命題的個數是

A．1

B．2

C．3

D．4

25．（2012陜西）設向量=（1,）與=（1,2）垂直，則等于

A．

B．

C．0

D．－1

26．（2012浙江）設，是兩個非零向量

A．若，則

B．若，則

C．若，則存在實數，使得

D．若存在實數，使得，則

27．（2011廣東）已知向量=（1,2），=（1,0），=（3,4）．若為實數，則=

A．

B．

C．1

D．2

28．（2011遼寧）已知向量，，則

A．

B．

C．6

D．12

29．（2010遼寧）平面上，三點不共線，設，則△的面積等于

A．

B．

C．

D．

30．（2010山東）定義平面向量之間的一種運算“”如下：對任意的，令，下面說法錯誤的是

A．若與共線，則

B．

C．對任意的，有

D．

二、填空題

31．(2018全國卷Ⅲ)已知向量，．若，則_．

32．(2018北京)設向量，若，則=_______．

33．（2017新課標Ⅰ）已知向量，．若向量與垂直，則=__．

34．（2017新課標Ⅲ）已知向量，且，則=

．

35．（2017天津）在△ABC中，AB=3，AC=2．若，（），且，則的值為

．

36．（2017山東）已知向量，若a∥b，則

．

37．（2017江蘇）如圖，在同一個平面內，向量，的模分別為1，1，與的夾角為，且，與的夾角為。若=+（，），則=

．

38．（2016年全國I卷高考）設向量，且，則=

．

39．（2016年全國II卷高考）已知向量，且a∥b，則m=____．

40．（2015江蘇）已知向量，若（R），則的值為___．

41．（2015湖北）已知向量，則

．

42．(2015新課標1)設向量不平行，向量與平行，則實數=

____．

43．(2015浙江)已知，是平面單位向量，且．若平面向量滿足，則

．

44．（2014新課標1）已知，是圓上的三點，若，則與的夾角為

．

45．(2014山東)在中,已知,當時,的面積為

．

46．（2014安徽）已知兩個不相等的非零向量，兩組向量和均由2個

和3個排列而成．記，表示所有可能取值中的最小值．則下列命題正確的是____（寫出所有正確命題的編號）．

①有5個不同的值．

②若則與無關．

③若則與無關．

④若，則．

⑤若，則與的夾角為．

47．(2014北京)已知向量、滿足，且()，則_．

48．（2014陜西）設，向量，若，則

_______．

49．（2014四川）平面向量，（），且與的夾角等于與的夾角，則____________．

50．（2013新課標1）已知兩個單位向量，的夾角為，若，則_____．

51．(2013新課標2)已知正方形的邊長為，為的中點，則__．

52．（2013山東）已知向量與的夾角，且||=3，||=2，若，且，則實數的值為_____．

53．（2013浙江）設，為單位向量，非零向量，若，的夾角為，則的最大值等于________．

54．（2013天津）在平行四邊形ABCD中，AD

=

1，E為CD的中點．

若，則AB的長為

．

55．（2013北京）向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，若

(λ，μ∈R)，則=

．

56．（2013北京）已知向量，夾角為，且，則

．

57．（2012湖北）已知向量=（1，0），=（1，1），則

（Ⅰ）與同向的單位向量的坐標表示為____________；

（Ⅱ）向量與向量夾角的余弦值為____________．

58．（2012安徽）若平面向量，滿足：；則的最小值是．

59．（2011浙江）若平面向量，滿足||=1，||≤1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是

．

60．（2011江蘇）已知，是夾角為的兩個單位向量，，若，則的值為

．

61．（2011新課標）已知與為兩個不共線的單位向量，為實數，若向量+與向量-垂直，則=_____________．

62．（2011安徽）已知向量滿足，且，則與的夾角為

．

63．（2010陜西）已知向量=（2，–1），=（–1，m），=（–1,2），若（+）∥，則=

．

專題五

平面向量

第十三講

平面向量的概念與運算

答案部分

1．A【解析】通解

如圖所示，．故選A．

優(yōu)解

．故選A．

2．B【解析】，故選B．

3．C【解析】由，可知，∴．

由，可知，∴，故，連接，則，且，∴，∴

．故選C．

4．A【解析】由兩邊平方得，即，則，故選A．

5．A【解析】因為為非零向量，所以的充要條件是．因為，則由可知的方向相反，所以，所以“存在負數，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，從而不一定推得“存在負數，使得”，所以“存在負數，使得”是“”的充分而不必要條件．

6．B【解析】設，∴，，∴，故選B.7．A【解析】由題意得，所以，故選A．

8．C【解析】由題意，得，即，所以，所以，故選C．

9．B【解析】對于A選項，設向量、的夾角為，∵，∴A選項正確；對于B選項，∵當向量、反向時，∴B選項錯誤；對于C選項，由向量的平方等于向量模的平方可知，C選項正確；對于D選項，根據向量的運算法則，可推導出，故D選項正確，綜上選B．

10．C【解析】由題意可得，所以．故選C．

11．A【解析】．

12．A【解析】由

①，②，①②得．

13．B【解析】由題意得，兩邊平方化簡得，解得，經檢驗符合題意．

14．B【解析】設，若的表達式中有0個，則，記為，若的表達式中有2個，則，記為，若的表達式中有4個，則，記為，又，所以，，∴，故，設的夾角為，則，即，又，所以．

15．B【解析】對于A，C，D，都有∥，所以只有B成立．

16．B【解析】由于，令，而是任意實數，所以可得的最小值為，即，則知若確定，則唯一確定．

17．C【解析】∵，所以=．解得，選C

18．C【解析】因為，所以，所以四邊形的面積為，故選C．

19．D【解析】由題意，設，則，過點作的垂線，垂足為，在上任取一點，設，則由數量積的幾何意義可得，，于是恒成立，相當于恒成立，整理得恒成立，只需

即可，于是，因此我們得到，即是的中點，故△是等腰三角形，所以．

20．A【解析】，所以，這樣同方向的單位向量

是．

21．A【解析】=（2,1），=（5,5），則向量在向量方向上的射影為

22．C【解析】建立平面直角坐標系，令向量的坐標，又設，代入得，又的最大值為圓上的動點到原點的距離的最大值，即圓心(1，1)到原點的距離加圓的半徑，即．

23．D【解析】因為⊥，所以可以A為原點，分別以，所在直線為

x軸，y軸建立平面直角坐標系．設B1(a,0)，B2(0，b)，O(x，y)，則＝＋＝(a，b)，即P(a，b)．

由||＝||＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1.所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0.由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，即0≤1－x2＋1－y2＜.所以＜x2＋y2≤2，即.所以||的取值范圍是，故選D．

24．B【解析】利用向量加法的三角形法則，易的①是對的；利用平面向量的基本定理，易的②是對的；以的終點作長度為的圓，這個圓必須和向量有交點，這個不一定能滿足，③是錯的；利用向量加法的三角形法則，結合三角形兩邊的和大于第三邊，即必須，所以④是假命題.綜上，本題選B.平面向量的基本定理考前還強調過，不懂學生做得如何.25．C【解析】正確的是C．

26．C【解析】，則，所以不垂直，A不正確，同理B也不正確；，則，所以共線，故存在實數，使得，C正確；若，則，此時，所以D不正確．

27．B【解析】，由∥，得，解得

28．D【解析】∵，由，得，∴，解得．

29．C【解析】三角形的面積S=，而

30．B【解析】若與共線，則有，故A正確；

因為，而，所以有，故選項B錯誤，故選B．

31．【解析】，因為，且，32．【解析】依題意=，根據向量垂直的充要條件可得，所以．

所以，即．

33．7【解析】∵，∴

所以，解得．

34．2【解析】由題意，所以，即．

35．【解析】，,則，．

36．【解析】由可得

37．3【解析】由可得，由=+

得，即

兩式相加得，所以

所以．

38．【解析】因為，所以，解得．

39．【解析】由題意，所以．

40．－3【解析】由題意得：

41．9【解析】因為，所以．

42．1【解析】由題意，所以，解得．

43．【解析】由題可知，不妨，設，則，所以，所以．

44．【解析】由，得為的中點，故為圓的直徑，所以與的夾角為．

45．【解析】∵，∴由，得，故的面積為．

46．②④【解析】S有下列三種情況：，∵，∴，若，則，與無關，②正確；

若，則，與有關，③錯誤；

若，則，④正確；

若，則

∴，∴，⑤錯誤．

47．【解析】∵，∴可令，∵，∴，即，解得得．

48．【解析】∵，∴，∴，∵，∴．

49．2【解析1】

因為，所以，又，所以

即．

【解析2】由幾何意義知為以，為鄰邊的菱形的對角線向量，又，故

50．2【解析】=====0，解得=.51．2【解析】在正方形中，，所以．

52．【解析】向量與的夾角為，且所以.由得，即,所以,即，解得．

53．【解析】，所以的最大值為2．

54．【解析】因為E為CD的中點，所以．，因為，所以，即，所以，解得．

55．4【解析】如圖建立坐標系，則，由，可得，∴

56．【解析】

57．（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由，得.設與同向的單位向量為，則且，解得故.即與同向的單位向量的坐標為．

（Ⅱ）由，得.設向量與向量的夾角為，則．

58．【解析】

．

59．【解析】如圖，向量與在單位圓內，因||=1，||≤1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，故以向量，為邊的三角形的面積為，故的終點在如圖的線段上（∥，且圓心到的距離為），因此夾角的取值范圍為．

60．【解析】由題意知，即，即，化簡可求得．

61．1【解析】向量+與向量-垂直，∴，化簡得，易知，故．

62．【解析】設與的夾角為，由題意有，所以，因此，所以．

63．－1【解析】，由，得，所以=－1．