微專題1 集合與常用邏輯用語
命
題
者
說
考
題
統(tǒng)
計(jì)
考
情
點(diǎn)
擊
2018·全國(guó)卷Ⅰ·T2·集合的補(bǔ)集運(yùn)算
2018·全國(guó)卷Ⅱ·T2·集合的元素個(gè)數(shù)
2018·全國(guó)卷Ⅲ·T1·集合的交集運(yùn)算
2017·全國(guó)卷Ⅰ·T1·集合的交、并集運(yùn)算
高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查主要是集合間的基本關(guān)系和運(yùn)算，含有量詞的命題的真假判斷以及含有一個(gè)量詞的命題的否定，多數(shù)與函數(shù)、不等式、復(fù)數(shù)等知識(shí)相結(jié)合，難度一般，屬于送分題，故復(fù)習(xí)時(shí)不必做過多的探究，只要掌握以下知識(shí)點(diǎn)，就能保證不失分，得滿分。
考向一
集合及運(yùn)算
【例1】(1)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，則?RA＝()
A．{x|－1 B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2} (2)(2018·遼寧五校聯(lián)考)已知集合A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)是() A．2 B．3 C．4 D．5 (3)(2018·濟(jì)南一模)已知集合A＝{x|ax－6＝0}，B＝{x|1≤log2x<2，x∈N}，且A∪B＝B，則實(shí)數(shù)a的所有值構(gòu)成的集合是() A．{2} B．{3} C．{2,3} D．{0,2,3} 解析(1)解法一：解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}。故選B。 解法二：因?yàn)锳＝{x|x2－x－2>0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故選B。 (2)因?yàn)锳＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}＝{3,0，－1,8}，所以A∩B＝{0,3，－1}，所以A∩B中的元素有3個(gè)。故選B。 (3)因?yàn)锳∪B＝B，所以A?B，又B＝{x|1≤log2x<2，x∈N}＝{2,3}。當(dāng)a＝0時(shí)，集合A為空集，符合題意；集合A不是空集時(shí)，A＝{x|ax－6＝0}＝，由＝2或＝3，可得a＝3或a＝2，所以實(shí)數(shù)a的所有值構(gòu)成的集合是{0,2,3}。故選D。 答案(1)B(2)B(3)D (1)求解集合的運(yùn)算中，要根據(jù)集合的表示把參與運(yùn)算的各個(gè)集合求出，再根據(jù)交、并、補(bǔ)的定義進(jìn)行運(yùn)算。 (2)對(duì)于元素個(gè)數(shù)有限的集合一般可用列舉的方法求解，若集合涉及不等式的解集，則常借助數(shù)軸處理。 變|式|訓(xùn)|練 1．設(shè)全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2－2}，B＝{x|y＝log2(3－x)}，則(?UA)∩B＝() A．{x|－2≤x<3} B．{x|x≤－2} C．{x|x<－2} D．{x|x<3} 解析 全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，所以?UA＝{x|x<－2}。又B＝{x|y＝log2(3－x)}＝{x|3－x>0}＝{x|x<3}，所以(?UA)∩B＝{x|x<－2}。故選C。 答案 C 2．已知集合A＝{x∈R|＝}，B＝{1，m}，若A?B，則m的值為() A．2或 B．－1或2 C．2 D．－1 解析 由＝，得x≥0，x2－2≥0，x＝x2－2，得x＝2，因?yàn)锳?B，所以m＝2。故選C。 答案 C 3．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為________。 解析 因?yàn)閤∈A，y∈A，x－y∈A，所以當(dāng)x＝5時(shí)，y可以是1,2,3,4；當(dāng)x＝4時(shí)，y可以是1,2,3；當(dāng)x＝3時(shí)，y可以是1,2；當(dāng)x＝2時(shí)，y只能是1。綜上所述，B中所含元素的個(gè)數(shù)為10。 答案 10 考向二 命題及其真假判斷 【例2】(1)(2018·鄭州預(yù)測(cè))下列說法正確的是() A．“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a>1，則a2≤1” B．“若am2 C．存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4 x0成立 D．“若sinα≠，則α≠”是真命題 (2)(2018·渭南質(zhì)檢)已知命題p：?a，b∈R，a>b且>，命題q：?x∈R，sinx＋cosx<。下列命題是真命題的是() A．(綈p)∧q B．p∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q) 解析(1)對(duì)于A，“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a≤1，則a2≤1”，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，“若am2 (2)命題p：當(dāng)a>0，b<0時(shí)，表達(dá)式就成立；命題q：?x∈R，sinx＋cosx＝sin≤，故表達(dá)式成立。故兩個(gè)命題均為真命題。故選B。 答案(1)D(2)B (1)命題真假的判定方法 ①一般命題p的真假由涉及的相關(guān)知識(shí)辨別。 ②四種命題真假的判斷：一個(gè)命題和它的逆否命題同真假，而其他兩個(gè)命題的真假無此規(guī)律，特別注意逆命題與否命題。 ③形如p∨q，p∧q，綈p命題的真假根據(jù)p，q的真假與聯(lián)結(jié)詞的含義判定。 (2)全稱命題與特稱命題真假的判定 ①全稱命題：要判定一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每一個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立，要判定其為假命題時(shí)，只需舉出一個(gè)反例即可。 ②特稱命題：要判定一個(gè)特稱命題為真命題，只要在限定集合M中至少能找到一個(gè)元素x0，使得p(x0)成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題。 變|式|訓(xùn)|練 1．若命題p：對(duì)任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0，則綈p為() A．不存在x∈R，使得x3－x2＋1<0 B．存在x∈R，使得x3－x2＋1<0 C．對(duì)任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0 D．存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0 解析 命題p：對(duì)任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0的否定為綈p；存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0。故選D。 答案 D 2．已知命題p：?x>0，ln(x＋1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2，下列命題為真命題的是() A．p∧q B．p∧(綈q) C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q) 解析 因?yàn)閤>0，所以x＋1>1，所以ln(x＋1)>0，則命題p為真命題；因?yàn)?>－2，但12<(－2)2，所以命題q是假命題，則(綈q)是真命題，所以p∧(綈q)是真命題。故選B。 答案 B 考向三 充要條件 【例3】(1)(2018·天津高考)設(shè)x∈R，則“<”是“x3<1”的() A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(2018·北京高考)設(shè)a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析(1)解法一：由<，得0 解法二：由<，得0 (2)因?yàn)閨a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因?yàn)閨a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立。故選C。 答案(1)A(2)C 充分條件與必要條件的三種判定方法 (1)定義法：正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且qDp，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)。 (2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系。例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若A＝B，則A是B的充要條件。 (3)轉(zhuǎn)化法：若綈p是綈q的必要不充分條件，則p是q的充分不必要條件；若綈p是綈q的充要條件，則p是q的充要條件。 變|式|訓(xùn)|練 1．設(shè)a，b∈R，則“l(fā)og2a>log2b”是“2a－b>1”的() A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析 因?yàn)閘og2a>log2b?a>b>0,2a－b>1?a>b，所以“l(fā)og2a>log2b”是“2a－b>1”的充分不必要條件，故選A。 答案 A 2．(2018·福建聯(lián)考)設(shè)命題p：x2－(2a＋1)x＋a2＋a<0，命題q：lg(2x－1)≤1，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() A.B.C.D.解析 命題p：a 答案 A 1．(考向一)(2018·濟(jì)南聯(lián)考)已知集合A＝{x|y＝}，A∩B＝?，則集合B不可能是() A．{x|4x<2x＋1} B．{(x，y)|y＝x－1} C．{y D．{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)} 解析 集合A＝{x|y＝}＝{x|x≥1}，對(duì)于A，{x|4x<2x＋1}＝{x|x<1}，滿足A∩B＝?；對(duì)于B，集合為點(diǎn)集，滿足A∩B＝?；對(duì)于C，{y＝{y，滿足 A∩B＝?；對(duì)于D，{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)}＝{y|log2[－(x－1)2＋2]}＝{y|y≤1}，A∩B＝{1}≠?。故選D。 答案 D 2．(考向一)(2018·西安聯(lián)考)從集合{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R}中任選一個(gè)元素(x，y)，則滿足x＋y≥2的概率為________。 解析 如圖，先畫出圓x2＋y2＝4，再畫出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，即圖中陰影部分，則所求概率P＝＝＝。 答案 3．(考向二)(2018·西安質(zhì)檢)已知命題p：?x∈R，不等式ax2＋2x＋1<0解集為空集，命題q：f (x)＝(2a－5)x在R上滿足f ′(x)<0，若命題p∧(綈q)是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() A． B．[3，＋∞) C．[2,3] D．∪[3，＋∞) 解析 由題意命題p：?x∈R，不等式ax2＋2x＋1<0解集為空集。當(dāng)a＝0時(shí)，不滿足題意。當(dāng)a≠0時(shí)，必須滿足：解得a≥2；命題q：f (x)＝(2a－5)x在R上滿足f ′(x)<0可得函數(shù)f (x)在R上單調(diào)遞減，所以0<2a－5<1，解得 答案 D 4．(考向三)(2018·西安聯(lián)考)在△ABC中，“·>0”是“△ABC是鈍角三角形”的() A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析 解法一：設(shè)與的夾角為θ，因?yàn)椤?0，即||·||cosθ>0，所以cosθ>0，θ<90°，又θ為△ABC內(nèi)角B的補(bǔ)角，所以∠B>90°，△ABC是鈍角三角形；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，∠B不一定是鈍角。所以“·>0”是“△ABC是鈍角三角形”的充分不必要條件。故選A。 解法二：由·>0，得·<0，即cosB<0，所以∠B>90°，△ABC是鈍角三角形；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，∠B不一定是鈍角。所以“·>0”是“△ABC是鈍角三角形”的充分不必要條件。故選A。 答案 A 5．(考向三)(2018·遼師大附中模擬)“0 (x)＝滿足：對(duì)任意的x1≠x2，都有f (x1)≠f (x2)”的() A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析 因?yàn)楫?dāng)0 (x)在(－∞，＋∞)上遞減，所以任意x1≠x2都有f (x1)≠f (x2)，所以充分性成立；若m<0，g(x)在(1，＋∞)上遞增，h(x)在(－∞，1)上遞減，g(x)<0，h(x)≥0，滿足對(duì)任意x1≠x2，都有f (x1)≠f (x2)，必要性不成立。故選A。 答案 A
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