第一篇：第六章證明二常用的公理.方法總結(jié)doc
第一章常用的公理、定理和推論
本章是證明一些命題，在證明時要用到前面學過的一些公理及推論．為幫助同學們掌握好這一章的主要命題，下面將這一章出現(xiàn)的一些公理、定理和推論總結(jié)如下： 1．公理有：
（1）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；(SSS)（2）兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；(SAS)（3）兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；(ASA)（4）全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等；
（5）兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．(AAS)2．定理有：
（1）等腰三角形的兩個底角相等；（2）有兩個角相等的三角形是等腰三角形；
（3）有一個角等于60度 的等腰三角形是等邊三角形；
（4）在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；（5）直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；
（6）如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形；（7）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；（8）線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；（9）到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；
（10）三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等；（11）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；
（12）在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上；（13）三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等． 3．推論有：（1）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；（2）等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于 ；（3）三個角都相等的三角形是等邊三角形．
一、方法總結(jié)
1、證明線段相等的方法
1）在兩個三角形可證明它們所在的兩個三角形全等； 2）同一三角形中等角對等邊；
3）角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；
4）中垂線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等 5）等腰三角形三線合一的性質(zhì)；
6）等于同一線段的兩條線段相等（線段的等量代換）7）相等線段的運算（和差關(guān)系）
8）直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。
2、證明兩角相等的方法
1.二直線相交，對頂角相等。
2.角的平分線分得的兩個角相等。3.平行線性質(zhì)
4.同角（或等角）的余角（或補角）相等。
5.同一三角形中等邊對等角.（等腰三角形，等邊三角形）6.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。7.直角三角形兩銳角互余（等腰直角三角形）
8.直角三角形中，斜邊的中線分直角三角形為兩個等腰三角形 9.兩全等（相似）三角形的對應(yīng)角相等。
10.等于同一角的兩個角相等.（角的等量代換）12.相等角的運算（和差關(guān)系）13.外角性質(zhì)
3、證明垂直的方法
1）證鄰補角相等（有一個角是90度）； 2）證兩銳角互余 3）勾股定理的逆定理
4）利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)； 5）證和已知直角三角形全等；
4、等腰三角形的證明
主要利用等腰三角形的兩腰相等，兩底角相等和三線合一性質(zhì)解題。
第二篇：armstrong公理系統(tǒng)證明
? Armstrong公理系統(tǒng)的證明
① A1自反律：若Y X U，則X→Y為F所蘊含
證明1
設(shè)Y X U。
對R
若t[X]=s[X]，由于Y X，則有t[Y]=s[Y]，所以X→Y成立，自反律得證。
② A2增廣律：若X→Y為F所蘊含，且Z U，則XZ→YZ為F所蘊含
證明2
設(shè)X→Y為F所蘊含，且Z U。
對R
若t[XZ]=s[XZ]，由于X XZ，Z XZ，根據(jù)自反律，則有t[X]=s[X]和t[Z]=s[Z]；
由于X→Y，于是t[Y]=s[Y]，所以t[YZ]=s[YZ]；所以XZ→YZ成立，增廣律得證。
③ A3傳遞律：若X→Y，Y→Z為F所蘊含，則X→Z為F所蘊含
證明3
設(shè)X→Y及Y→Z為F所蘊含。
對R
若t[X]=s[X]，由于X→Y，有t[Y]=s[Y]；
再由于Y→Z，有t[Z]=s[Z]，所以X→Z為F所蘊含，傳遞律得證。
④ 合并規(guī)則：若X→Y，X→Z，則X→YZ為F所蘊含
證明4
因X→Y（已知）
故X→XY（增廣律），XX→XY即X→XY
因X→Z（已知）
故XY→YZ（增廣律）
因X→XY，XY→YZ（從上面得知）
故X→YZ（傳遞律）
⑤ 偽傳遞規(guī)則：若X→Y，WY→Z，則XW→Z為F所蘊含
證明5
因X→Y（已知）
故WX→WY（增廣律）
因WY→Z（已知）
故XW→Z（傳遞律）
⑥ 分解規(guī)則：若X→Y，Z Y，則X→Z為F所蘊含
證明6
因Z Y（已知）
故Y→Z（自反律）
因X→Y（已知）
故X→Z（傳遞律）
第三篇：不等式證明方法(二)
不等式證明方法
（二）一、知識回顧
1、反證法：從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定原結(jié)論的正確；
2、放縮法：欲證A?B，可通過適當放大或縮小，借助一個或多個中間量使得，常用的放縮方式： B?B1,B1?B2?...?A（或A?A1,A1?A2?...?B）舍去或加上一些項；
12n?n?n?1；12n?n?1?n；111
1?;?22nn(n?1)nn(n?1)
3、換元法：三角換元、代數(shù)換元；
4、判別式法
二、基本訓練：
1、實數(shù)a、b、c不全為零的條件為（）
A)a、b、c全不為零
B)a、b、c中至多只有一個為零 C)a、b、c只有一個為零
D)a、b、c中至少有一個不為零
2、已知a、b、c、d?R?，s?abcd???，則有（）
a?b?ca?b?dc?d?ac?d?bA)0?s?B)1?s?2
C)2?s?
3D)3?s?4
3、為已知x2?y2?4，則2x?3y的取值范圍是________。
4、設(shè)x?0、y?0，A?x?yxy,B??，則A、B大小關(guān)系為________。
1?x?y1?x1?y5、實數(shù)x?x?y，則x的取值范圍是________。y13
3三、例題分析：
例
1、x＞0，y＞0，求證：x?y?(x?y)
例
2、函數(shù)f(x)?1?x2(a?b)，求證：|f(a)?f(b)|?|a?b|
例
3、已知:a2?b2?1,x2?y2?1,求證:?1?ax?by?1（三角換元法）
例
4、求證：?1?x?11?（判別式法）
x2?x?1322
3例
5、若a,b,c都是小于1的正數(shù)，求證：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不可能同時大于
例
6、求證：1?
例
7、設(shè)二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c(a、b、c?R且a?0)，若函數(shù)y?f(x)的圖象與直線y?x和y??x均無公共點。
1.4（反證法）
111???????2(n?N)（放縮法）22223n（1）求證：4ac?b2?1
（2）求證：對于一切實數(shù)x恒有|ax2?bx?c|?
四、課堂小結(jié)：
1、凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法.2、換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運用恰當，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單的三角問題.3、含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時，這時可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件.4、有些不等式若恰當?shù)剡\用放縮法可以很快得證，放縮時要看準目標，做到有的放矢，注意放縮適度.五、同步練習不等式證明方法
（二）1、若x2?xy?y2?1且x、y?R，則n?x2?y2的取值范圍是（）4|a|A)0?n?
1B)2?n?C)n?D)2?n?2 32、已知a、b?R?，則下列各式中成立的是（）
A)acos?bsin22??a?b
B)acos?bsin22??a?b
C)cos2?lga?sin2?lgb?lg(a?b)
D)cos2?lga?sin2?lgb?lga(?b)
3、設(shè),y∈R,且x2+y2=4,則A)2-
24、若f(n)=
2xy的最大值為（）
x?y?2B)2+2 C)-2 D)?4 3n2?1-n,g(n)=n-n2?1,φ(n)=
1,則f(n),g(n),ф(n)的大小順序為2n____________.5、設(shè)a,b是兩個實數(shù),給出下列條件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一個實數(shù)大于1”的條件是____________.6、a、b、c∈R-，a≠b，求證：|a?b|?a2?ab?b2?a2?b
2111?? a?bb?ca?c（提示：換元法，令a－b=m∈R＋，b－c=n∈R＋）
11111?2?2?????2?1
8、若n?N，且n?2，求證：?2n?123n7、a＞b＞c，求證：
|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不少于
9、已知f(x)?x2?px?q，求證：|f(1)|，1。2
答案：DCB
4、g(n)>ф(n)> f(n)
5、③
第四篇：證明公理3的推論3
證明公理3的推論3
公理3的內(nèi)容是：經(jīng)過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面。
公理3的推論3是：兩條平行的直線確定一個平面。
所有的推論是由相應(yīng)的公理證明的。
證明：
設(shè)兩直線l和m互相平行，取l上兩個點A和B，取m上兩個點C和D，顯然任意三點都不共線，否則l和m將會相交，與兩直線平行矛盾，根據(jù)公理3，知道
過A、C、D有且只有一個平面，設(shè)為平面α;過B、C、D有且只有一個平面，設(shè)為平面β;
假設(shè)兩平面α和β不重合，則B在α外，在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫平行線，所以在α內(nèi)過A且與CD平行的直線有且只有一條，不妨設(shè)為AE，此時，AB和AE都與CD平行，與“過直線外一點與此直線平行的直線有且只有一條“矛盾,所以D也在α內(nèi)，此時α和β重合，即α和β是同一個平面，即兩條平行的直線確定一個平面。
2公理3的內(nèi)容是：經(jīng)過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面。
公理3的推論3是：兩條平行的直線確定一個平面。
所有的推論是由相應(yīng)的公理證明的。
證明：
設(shè)兩直線l和m互相平行，取l上兩個點A和B，取m上兩個點C和D，顯然任意三點都不共線，否則l和m將會相交，與兩直線平行矛盾，根據(jù)公理3，知道
過A、C、D有且只有一個平面，設(shè)為平面α;過B、C、D有且只有一個平面，設(shè)為平面β;
假設(shè)兩平面α和β不重合，則B在α外，在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫平行線，所以在α內(nèi)過A且與CD平行的直線有且只有一條，不妨設(shè)為AE，此時，AB和AE都與CD平行，與“過直線外一點與此直線平行的直線有且只有一條”矛盾,所以D也在α內(nèi)，此時α和β重合，即α和β是同一個平面，即兩條平行的直線確定一個平面。
兩點定一條直線
三點(不直線)定一個平面
兩條平行的直線中其中一條直線可以確定2個點
另一條中找隨便一個點，這個點在第一條直線外
所以不在一直線上的三個點可確定一個平面
存在性：
在每一條直線上都任意取一點(不是交點),不在同一直線上的三個點有一個平面(公理3)。
唯一性：
不在同一直線上的三個點只有一個平面(公理3)。
綜上所述，兩條相交的直線確定一個平面。
第五篇：證明公理三的推論三
證明公理三的推論三
1.平面通常用一個平行四邊形來表示.平面常用希臘字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、p來表示，也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點字母表示，如平面AC.在立體幾何中，大寫字母A，B，C，…表示點，小寫字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直線，且把直線和平面看成點的集合，因而能借用集合論中的符號表示它們之間的關(guān)系，例如：a)A∈l—點A在直線l上;Aα—點A不在平面α內(nèi);b)lα—直線l在平面α內(nèi);c)aα—直線a不在平面α內(nèi);d)l∩m=A—直線l與直線m相交于A點;e)α∩l=A—平面α與直線l交于A點;f)α∩β=l—平面α與平面β相交于直線l.2.平面的基本性質(zhì)公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).公理2如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.公理3經(jīng)過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.3.空間線面的位置關(guān)系共面平行—沒有公共點(1)直線與直線相交—有且只有一個公共點異面(既不平行，又不相交)直線在平面內(nèi)—有無數(shù)個公共點(2)直線和平面直線不在平面內(nèi)平行—沒有公共點(直線在平面外)相交—有且只有一公共點(3)平面與平面相交—有一條公共直線(無數(shù)個公共點)平行—沒有公共點
存在性：
在每一條直線上都任意取一點(不是交點),不在同一直線上的三個點有一個平面(公理3)。
唯一性：
不在同一直線上的三個點只有一個平面(公理3)。
綜上所述，兩條相交的直線確定一個平面。
1)三點確定一個平面
2)在一條直線A上取一個點E，與另一條直線B可確定一個平面C。
3)在A上任取一點D(不與E重合)，證明D與B確定的平面與C重合。
否則可導(dǎo)致A，B不平行。
兩點定一條直線
三點(不直線)定一個平面
兩條平行的直線中其中一條直線可以確定2個點
另一條中找隨便一個點，這個點在第一條直線外
所以不在一直線上的三個點可確定一個平面
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