第一篇：經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)定理證明算法設(shè)計(jì)
Http://logic.zsu.edu.cn/journal.htm 邏輯與認(rèn)知 Vol.2, No.4, 200
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收稿日期：2004-11-25；
作者簡(jiǎn)介：杜國平，1965 年生，男，漢族，江蘇盱眙人，南京大學(xué)副教授。
基金項(xiàng)目：國家社科基金項(xiàng)目（02CZX008）；南京大學(xué)引進(jìn)人才基金項(xiàng)目；南京大學(xué)笹川青年教育基金項(xiàng) 目。
聯(lián)系方式：210093 南京大學(xué)哲學(xué)系 Email: dgpnju@126.com 電話：025-8359716
1經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)定理證明算法設(shè)計(jì)
杜國平1，2（1.南京大學(xué)哲學(xué)系 210093；2.南京航空航天大學(xué)計(jì)算機(jī)系 210016）
內(nèi)容提要：本文利用演繹定理的證明思路給出了一個(gè)由演繹證明構(gòu)造公理證明的一般程序，并增加了一條 簡(jiǎn)化命令，使該程序既嚴(yán)格又具有實(shí)際可操作性。
關(guān)鍵詞： 演繹證明 公理證明 程序
中圖分類號(hào)：B81 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
在經(jīng)典命題邏輯常見的公理系統(tǒng)中，僅僅從公理和推理規(guī)則出發(fā)進(jìn)行定理的形式證明一 般沒有能行的程序，對(duì)于初學(xué)者而言是比較困難的。但是，在經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)中，演 繹定理成立，而使用演繹定理來構(gòu)造定理的形式證明是比較簡(jiǎn)單的。實(shí)際上，演繹定理的證 明過程已經(jīng)表明：有了一個(gè)使用演繹定理的形式證明（簡(jiǎn)稱為演繹證明），就可以構(gòu)造出僅 僅從公理和推理規(guī)則出發(fā)的形式證明（簡(jiǎn)稱為公理證明）。本文擬對(duì)由演繹證明構(gòu)造公理證 明的具體算法和技巧進(jìn)行一些探討。
為了說明的方便，我們?nèi)∪缦碌拿}邏輯公理系統(tǒng)PC 來進(jìn)行討論。
系統(tǒng) PC 由如下三條公理模式和一條推理規(guī)則構(gòu)成：
公理模式為：
(Ax1)A??(B ??A)
(Ax2)(A ?(B ?C))?((A??B)?(B ?C))
(Ax3)(?A??B)?((?A??B)??A)
推理規(guī)則即分離規(guī)則（Modus ponens）：由A和A?B可以推出B。簡(jiǎn)記為MP。
在系統(tǒng) PC 中顯然可以證明：
演繹定理(DT)：如果??，A + B，那么??+ A?B。
因?yàn)槿我蛔C明序列都是有限長(zhǎng)的，因此，演繹證明中需要引入的假設(shè)也是有限的。所以 我們只考慮假設(shè)集??為有限集的情況，令????1 2 1 , , , , m m A A A A ??????L。
假設(shè)有一個(gè) ????0 ?U A + B的演繹證明，該證明的公式序列為： 1 2 , , , n C C L C ??B。那么我們可按照下述程序構(gòu)造出一個(gè)??+ 0A ??B的演繹證明。
經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)定理證明算法設(shè)計(jì)
2[1] 如果A0 ?Cn是公理或者0 n A ?C ??，則執(zhí)行如下子程序[1']，即直接寫入：
0 n A ?C
[2] 如果n C 是公理，則執(zhí)行如下子程序[2'] ：
C
0()n n C ??A ?C n
0 n A ?C
[3] 如果n C 是0 A，則執(zhí)行如下子程序[3'] ：
A ?((B ??A)??A)
0 0 0 0 0 0 0(A ?((B??A)??A))?((A ?(B ??A))?(A ??A))
0 0 0 0(A ?(B??A))??(A ??A)
0 0 A ?(B??A)
0 0 A ??A 0 0 0
[4] 如果n k C ??A ??，k ??1, 2, L , m?，則執(zhí)行如下子程序[4'] ：
A
0()k k A ??A ??A
0 k A ??A k
[5] 如果n C 是由i C，()(, ?1, 2, , 1?)j i n C ??C ?C i j??L n ??經(jīng)使用分離規(guī)則而得 到，則對(duì)j C 執(zhí)行如下子程序[5'] ：
(())(()())i n i n A ??C ?C ??A ?C ??A ?C
0 0()()i n A ?C ??A ?C
0 n A ?C
[6] 對(duì)[4]中出現(xiàn)的i C，j C 重復(fù)執(zhí)行程序[1]～[6]。
[7] 若程序全部進(jìn)入[1]～[4]，則執(zhí)行完[1'] ～[4']，程序終止。
對(duì) ??+ 0A ??B 反復(fù)使用上述程序m 次之后，就可以得到一個(gè)
+ 1 1 0((()))m m A A A A B ????L ??????L 的公理證明。
例 1 在系統(tǒng)PC中構(gòu)造定理+((A??B)?C)?(B?C)的公理證明。
首先，我們構(gòu)造一個(gè)((A??B)?C), B + C的演繹證明。
證明1' ：(A??B)??C 假設(shè)B 假設(shè)B?(A??B)(Ax1)A?B 2、3 MPC 1、4 MP
其次，由(A??B)??C，B + C的演繹證明構(gòu)造(A??B)??C+ B?C的演繹證明。
1、這可以通過回溯檢查逐步完成。證明1'的第5 行為C，進(jìn)入程序[1]檢查B?C，0 0 0
發(fā)現(xiàn)它既不是公理也不屬于假設(shè)集?((A??B)?C)?；進(jìn)入程序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)C由第1、4 行(A??B)??C和A?B分離而得。因此，執(zhí)行子程序[5']：
邏輯與認(rèn)知 Vol.2, No.4, 200
4(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))
(B ?(A?B))?(B?C)
B?C2、進(jìn)入程序[6]，對(duì)(A??B)??C和A?B執(zhí)行程序[1]～[6]。
3、進(jìn)入程序[1]，檢查B?((A??B)?C)，發(fā)現(xiàn)它既不是公理也不屬于假設(shè)集
?((A??B)?C)?；進(jìn)入程序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)(A??B)??C屬于假設(shè)集?((A??B)?C)?。
因此，執(zhí)行子程序[4'] ：
(A??B)??C
((A??B)?C)?(B ?((A??B)?C))
B?((A??B)?C)
4、進(jìn)入程序[1]，檢查B?(A??B)，發(fā)現(xiàn)它是公理。因此，執(zhí)行子程序[1']：
B?(A??B)
5、程序已經(jīng)全部進(jìn)入[1]～[4]，并且已經(jīng)執(zhí)行完子程序[1'] ～[4']，因此程序終止。所以我們得到一個(gè)(A??B)??C+ B?C的演繹證明。
證明1'' ：(A??B)??C 假設(shè)((A??B)?C)?(B ?((A??B)?C))(Ax1)B?((A??B)?C)1、2 MPB?(A??B)(Ax1)(B ?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B ?C))(Ax2)(B ?(A?B))?(B?C)3、5 MPB?C 4、6 MP
再次，由(A??B)??C+ B?C的演繹證明構(gòu)造+((A??B)?C)?(B?C)的公
理證明。
1、進(jìn)入程序[1] 檢查((A??B)?C)?(B?C)，發(fā)現(xiàn)它不是公理（此時(shí)，因?yàn)榧?/p>
設(shè)集是空集，所以它也當(dāng)然不屬于假設(shè)集）；進(jìn)入程序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)B?C由第4、6 行 B?(A??B)和(B ?(A?B))?(B?C)分離而得。因此，執(zhí)行子程序[5']：
(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C)))
?((((A?B)?C)?(B?(A??B)))
?(((A??B)?C)?(B ?C)))
(((A??B)?C)?(B?(A??B)))
?(((A??B)?C)?(B?C))
((A??B)?C)?(B?C)
2、進(jìn)入程序[6]，對(duì)B?(A??B)和(B ?(A?B))?(B?C)執(zhí)行程序[1]～[6]。
3、進(jìn)入程序[1]，檢查((A??B)?C)??(B??(A??B))，發(fā)現(xiàn)它不是公理；進(jìn)入程 序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)B?(A??B)是公理。因此，執(zhí)行子程序[2'] ：
B?(A??B)
經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)定理證明算法設(shè)計(jì)
(B ?(A?B))?(((A??B)?C)?(B?(A??B)))
((A??B)?C)??(B??(A??B))
4、進(jìn)入程序[1] 檢查((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))，發(fā)現(xiàn)它不是 公理；進(jìn)入程序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)(B ?(A?B))?(B?C)由第3、5行B?((A??B)?C)和(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))分離而得。因此，執(zhí)行子程序
[5'] ：
(((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))??((B?(A??B))?(B ?C))))
?((((A??B)?C))?(B ?((A??B)?C)))
?(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))))
(((A??B)?C))?(B ?((A?B)?C)))
?(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))))
((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C)))、進(jìn)入程序[6]，對(duì)B?((A??B)?C)和(B ?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B ?C))執(zhí)行程序[1]～[6]。
6、進(jìn)入程序[1]，檢查((A??B)?C)?(B ?((A??B)?C))，發(fā)現(xiàn)它是公理。因 此，執(zhí)行子程序[1'] ：
((A??B)?C)?(B ?((A??B)?C))、進(jìn)入程序[1]，檢 查((A??B)?C)??((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C)))，發(fā)現(xiàn)它不是公理； 進(jìn)入程序[2] ～ [5] 發(fā)現(xiàn)
(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))是公理。因此，執(zhí)行子程序[2'] ：
(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))
((B?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C)))
?(((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C))))
((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C)))
8、程序已經(jīng)全部進(jìn)入[1]～[4]，并且已經(jīng)執(zhí)行完子程序[1'] ～[4']，因此程序終止。這樣我們就得到一個(gè)+((A??B)?C)?(B?C)的公理證明。
證明1''' ：((A??B)?C))?(B?((A??B)?C))(Ax1)(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))(Ax2)((B?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C)))
?(((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C))))(Ax1)((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C)))2、3 MP(((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))??((B?(A??B))?(B ?C))))
?((((A??B)?C))?(B ?((A??B)?C)))
?(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))))(Ax2)
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46(((A??B)?C))?(B ?((A?B)?C)))
?(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))))4、5 MP((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C)))1、6 MP(((A??B)?C)?((B ?(A??B))?(B?C))))
?((((A?B)?C)?(B?(A??B)))
?(((A??B)?C)?(B ?C)))(Ax2)(((A??B)?C)?(B?(A??B)))
?(((A??B)?C)?(B?C))7、8 MPB ?(A??B))(Ax1)(B ?(A?B)))
?(((A??B)?C)?(B?(A??B)))(Ax1)((A??B)?C)??(B??(A??B))10、11 MP((A??B)?C)?(B?C)9、12 MP
構(gòu)造程序的[2]~[7]也可以構(gòu)成一個(gè)獨(dú)立的公理證明構(gòu)造程序，這是演繹定理的證明中顯 示出來的，但該程序很繁瑣。程序[1]是一個(gè)簡(jiǎn)化程序，它的加入，可以使構(gòu)造程序大為簡(jiǎn) 化，盡管它多了一條程序命令。但是這樣就增加了該程序的實(shí)際可操作性。
參考文獻(xiàn)：
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in the Axiom System of Classical Propositional Logic
Du Guo-ping1,2
(1.Nanjing University.Nanjing 210093,China;2.Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016,China)
Abstract: The article uses the proving of deduction theorem to give general program of construction theorem proving, and adding a piece of simplification command.The program is gotten strict and exercisable.Key words: deduction prove;axiom prove;program
第二篇：證明、公理、平行線性質(zhì)定理
證明的必要性、公理與定理、平行線的判定（公）定理、平行線的性質(zhì)（公）定理
基礎(chǔ)知識(shí)1.證明：
2.公理：3.定理:
4.等量代換：公理：
5.平行線的判定定理：定理：公理
6.平行線的性質(zhì)定理定理:?基礎(chǔ)習(xí)題 1.下列說法正確的是（）
A.所有的定義都是命題B.所有的定理都是命題
C.所有的公理都是命題D.所有的命題都是定理 22.若P（P?5）是一個(gè)質(zhì)數(shù)，而P?1除以24沒有余數(shù)，則這種情況（）
A.絕不可能B.只是有時(shí)可能
C.總是可能D.只有當(dāng)P=5時(shí)可能
3.下列關(guān)于兩直線平行的敘述不正確的是()
A.同位角相等,兩直線平行；B.內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行毛
C.同旁內(nèi)角不互補(bǔ),兩直線不平行；D.如果a∥b,b⊥c,那么a∥c 14.如左圖，下列說法錯(cuò)誤的是（）lllll3A、∵∠1＝∠2，∴3∥4B、∵∠3＝∠4，∴3∥4 lllll4C、∵∠1＝∠3，∴3∥4D、∵∠2＝∠3，∴1∥2 ll55.已知：如圖，下列條件中，不能判斷直線1∥2的（）l1A、∠1＝∠3B、∠2＝∠
3C、∠2＝∠4D、∠4＋∠5＝180 6.若兩條平行線被第三條直線所截，則下列說法錯(cuò)誤的（）l
2A、一對(duì)同位角的平分線互相平行B、一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相平行
C、一對(duì)同旁內(nèi)角的平分線互相平行D、一對(duì)同旁內(nèi)角的平分線互相垂直
7.如圖，AB∥CD，∠α＝（）BAA、50°B、80°C、85°D、95° C8.已知∠A＝50°，∠A的兩邊分別平行于∠B的兩邊，則∠B＝（）AB
A、50°B、130°C、100°D、50°或130° 9.如圖，AB∥CD，AD、BC相交于O，∠BAD＝35°，∠BOD＝76°，則∠C的度數(shù)是（）A、31°B、35° C、41°D、76°
填空
10.如圖，（1）如果AB∥CD，必須具備條件∠______＝∠________，D根據(jù)是____________________。（2）要使AD∥BC，必須具備條件∠______＝∠________，根據(jù)是
4____________________。B
11.如圖，給出了過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是________。
D12.如圖，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC。（1）計(jì)算：∠DAB＋∠B=
（2）AB與CD平行嗎？（）AD與BC平行嗎？（）B
簡(jiǎn)答題：
13.如圖，已知∠ADE＝60°，DF平分∠ADE，∠1＝30°，求證：DF∥BE 證明：∵DF平分∠ADE（已知）A 1∴________=∠ADE（）
2∵∠ADE＝60°（已知）D∴_________________＝30°（）
∵∠1＝30°（已知）
∴____________________（）BC∴____________________（）
14.已知：如圖，∠B=∠C.(1)若AD∥BC，求證：AD平分∠EAC；
(2)AD平分∠EAC，求證：AD∥BC.15、如圖，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分線，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC和∠BDC的度數(shù).能力提升
16.（1）如圖（1），AB∥EF.求證：（1）∠BCF=∠B+∠F.（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線BF的右側(cè)時(shí)，如
圖（2），若AB∥EF，則∠BCF與∠B，∠F的關(guān)系如何？請(qǐng)說明理由.D
BC
第三篇：armstrong公理系統(tǒng)證明
? Armstrong公理系統(tǒng)的證明
① A1自反律：若Y X U，則X→Y為F所蘊(yùn)含
證明1
設(shè)Y X U。
對(duì)R
若t[X]=s[X]，由于Y X，則有t[Y]=s[Y]，所以X→Y成立，自反律得證。
② A2增廣律：若X→Y為F所蘊(yùn)含，且Z U，則XZ→YZ為F所蘊(yùn)含
證明2
設(shè)X→Y為F所蘊(yùn)含，且Z U。
對(duì)R
若t[XZ]=s[XZ]，由于X XZ，Z XZ，根據(jù)自反律，則有t[X]=s[X]和t[Z]=s[Z]；
由于X→Y，于是t[Y]=s[Y]，所以t[YZ]=s[YZ]；所以XZ→YZ成立，增廣律得證。
③ A3傳遞律：若X→Y，Y→Z為F所蘊(yùn)含，則X→Z為F所蘊(yùn)含
證明3
設(shè)X→Y及Y→Z為F所蘊(yùn)含。
對(duì)R
若t[X]=s[X]，由于X→Y，有t[Y]=s[Y]；
再由于Y→Z，有t[Z]=s[Z]，所以X→Z為F所蘊(yùn)含，傳遞律得證。
④ 合并規(guī)則：若X→Y，X→Z，則X→YZ為F所蘊(yùn)含
證明4
因X→Y（已知）
故X→XY（增廣律），XX→XY即X→XY
因X→Z（已知）
故XY→YZ（增廣律）
因X→XY，XY→YZ（從上面得知）
故X→YZ（傳遞律）
⑤ 偽傳遞規(guī)則：若X→Y，WY→Z，則XW→Z為F所蘊(yùn)含
證明5
因X→Y（已知）
故WX→WY（增廣律）
因WY→Z（已知）
故XW→Z（傳遞律）
⑥ 分解規(guī)則：若X→Y，Z Y，則X→Z為F所蘊(yùn)含
證明6
因Z Y（已知）
故Y→Z（自反律）
因X→Y（已知）
故X→Z（傳遞律）
第四篇：命題與證明之公理定理
公理和定理
教學(xué)要求：了解公理與定理到概念，以及他們之間的內(nèi)在聯(lián)系；了解公理與定理都是真命題，它們都是推理論證的依據(jù)；掌握教材十條公理和已學(xué)過的定理。
重點(diǎn)難點(diǎn)
十條公理和已學(xué)過的定理。
一 選擇題（每小題5分，共25分）下面命題中：
（1）旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，（2）軸反射不改變圖形的形狀和大小
（3）連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短，（4）三角形的內(nèi)角和等于180°
屬于公理的有（）
A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)下面關(guān)于公理和定理的聯(lián)系說法不正確的是（）
A 公理和定理都是真命題，B公理就是定理，定理也是公理，C 公理和定理都可以作為推理論證的依據(jù)D公理的正確性不需證明，定理的正確性需證明 3推理：如圖∵ ∠AOC=∠BOD，∴∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB,這個(gè)推理的依據(jù)是（）
A 等量加等量和相等，B等量減等量差相等C 等量代換 D 整體大于部分推理：如圖：∵∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,(已知)∴AD=CD,CD=DB(等腰三角形的性質(zhì))AD=DB()
括號(hào)里應(yīng)填的依據(jù)是（）
A 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小 B
C等量代換 D 5（）
A 兩條直線被第三條直線所
截，若同位角相等，則這兩條 直線平行
B 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段 4題圖 兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 3題圖
C平行四邊形的對(duì)角線互相平分
D對(duì)頂角相等
∴
二 填空題（每小題5分，共25分）人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來的公認(rèn)的真命題，作為證明的原始依據(jù)，稱這些真命題為____運(yùn)用基本定義和公理通過推理證明是真的命題叫_______;
7定理： “直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的逆定理是：___________________ _______________________________________;____________________________________________________是定理“兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行”的逆定理如圖，Rt△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF，下面結(jié)論中
（1）△ABC≌△DEF,（2）∠DEF=90°，(3)AC=DF(4)AC∥DF(5)EC=CF 正確的是______________(填序號(hào))，你判斷的依據(jù)是_______________________________________要使平行四邊形ABCD成為一個(gè)菱形，需要添加一個(gè)條件，那么你添加的是 _____________,依據(jù)是______
三 解答題（3×12+14=50分）11 仔細(xì)觀察下面推理，填寫每一步用到的公理或定理 如圖：在平行四邊形ABCD中，CE⊥AB，E
為垂足，如果∠A=125°，求∠BCE
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形(已知)
∴AD∥BC（）∵∠A=125°（已知）∴∠B=180°-125°=55°（）
∵△BEC是直角三角形（已知）∴∠BCE=90°-55°=35°()如圖將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A’OB’若A點(diǎn)
11題圖
A
D
D
BE
CF
B
C
9題圖
10題圖
為（a,b）,則B點(diǎn)的坐標(biāo)
為
（13題圖），你用到的依.據(jù)是________________________________________________
13如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，A(一l，5)，B(一3，0)，C(一4，3)．根據(jù)軸反射的定義和性質(zhì)完成下面問題：(1)在右圖中作出△ABC關(guān)于y軸的軸對(duì)稱圖形△A′B′C′；(2)寫出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)
14如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于O，用所學(xué)公理、定理、定義說明（1）△ABC≌△ADC,(2)OB=OD,AC⊥BD
第五篇：初中幾何證明的所有公理和定理
初中幾何證明的所有公理和定理
1過兩點(diǎn)有且只有一條直線兩點(diǎn)之間線段最短同角或等角的補(bǔ)角相等
同角或等角的余角相等過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短 平行公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行 同位角相等，兩直線平行
內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
12兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)定理 三角形兩邊的和大于第三邊；
推論 三角形兩邊的差小于第三邊三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余 推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和推論3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等
22邊角邊公理 有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等角邊角公理 有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等推論 有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等邊邊邊公理 有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 斜邊、直角邊公理 有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等定理1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等 定理2 到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等
推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合33 推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°
等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)等邊）
推論1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形
推論 2 有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半
定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
逆定理到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上
線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合
定理1 關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形
定理 2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線
44定理3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上
45逆定理 如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱
46勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a+b=c
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a+b=c，那么這個(gè)三角形是直角三角形
48定理 四邊形的內(nèi)角和等于360°
49四邊形的外角和等于360°
50多邊形內(nèi)角和定理 n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）×180°
51推論 任意多邊的外角和等于360°
52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對(duì)角相等
53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對(duì)邊相等
54推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對(duì)角線互相平分
56平行四邊形判定定理1 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形
57平行四邊形判定定理2 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
58平行四邊形判定定理3 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
59平行四邊形判定定理4 一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形
60矩形性質(zhì)定理1 矩形的四個(gè)角都是直角
61矩形性質(zhì)定理2 矩形的對(duì)角線相等
62矩形判定定理1 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
63矩形判定定理2 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
64菱形性質(zhì)定理1 菱形的四條邊都相等
65菱形性質(zhì)定理2 菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
66菱形面積=對(duì)角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2 67菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
68菱形判定定理2 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形
69正方形性質(zhì)定理1 正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等
70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組 對(duì)角
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