第一篇：專題4平面向量與不等式結合

專題4平面向量與不等式結合考點動向：向量與不等式的交匯是當今高考命題的一個熱點.自從新教材實施以來，在高考中，不時考查平面向量與不等式有關知識的結合。這些題實際上是以向量為載體考查不等式的知識，解題的關鍵是利用向量的數(shù)量積等知識將問題轉化為不等式的問題，轉化時不要把向量與實數(shù)搞混淆，一般來說向量與不等式結合的題目難度不大。

向量與不等式結合，既符合在知識的“交匯處”構題，又加強了對雙基的考查。這類題目常常包括向量與不等式的性質、均值不等式、解不等式、求值包括（求最大值、最小值）的交匯等幾個方面.可以預測到，明年仍至今后的高考中，還會繼續(xù)出現(xiàn)向量與不等式結合的題目。

方法范例

例

1、（2005年，上海卷）已知函數(shù)f(x)?kx?b的圖象與x,y軸分別相交于點A、B，函數(shù)g(x)?x2?x?6。?2?2（,分別是與x,y軸正半軸同方向的單位向量）

（1）求k,b的值；（2）當x滿足f(x)?g(x)時，求函數(shù)g(x)?1的最小值。f(x)

[解析]（1）通過交點坐標求出向量的坐標表示，列方程組，求k,b的值；（2）先由f(x)?g(x), 得 ?2?x?4,再對1g(x)?1?5，然后利用進行化簡，得x?2?x?2f(x)

不等式a?b?2ab求函數(shù)的最值.?bbb??2[答案]（1）由已知得A(?,0),B(0,b),則?{,b}，于是 ?k,kk??b?2?k?1??.?b?

2（2）由f(x)?g(x),得x?2?x2?x?6, 即(x?2)(x?4)?0,得?2?x?4,g(x)?1g(x)?1x2?x?51??3，??x?2??5, 由于x?2?0,則f(x)f(x)x?2x?2

其中等號當且僅當x+2=1，即x=－1時成立，∴g(x)?1時的最小值是－3.f(x)

例

2、（2005年·黃崗模擬）已知二次函數(shù)f(x)對任意x?R，都有f(1?x)?f(1?x)成立，設向量a?(sinx,2)，b?(2sinx,)，c?(cos2x,1)，d?(1,2)，當x?[0,?]時，求不等式f(a?b)?f(c?d)的解集.[解析] 二次函數(shù)圖象開口方向不確定，要分類討論.由f(1?x)?f(1?x)，知二次函1

2數(shù)f(x)關于直線x＝1對稱.先求出向量數(shù)量積a?b與c?d，[答案]二次函數(shù)圖象開口方向不確定，要分類討論.由f(1?x)?f(1?x)，知二次函數(shù)

f(x)關于直線x＝1對稱.當二次項系數(shù)A＞0時，f(x)在?[1,??)上遞增，當A＜0時，f(x)在?[1,??)上遞減.因為a?b?(sinx,2)?(2sinx,)＝2sin2x?1≥1，c?d?(cos2x,1)?(1,2)＝

cos2x?2≥1，所以

當A＞0時，由f(a?b)?f(c?d)，得2sinx?1＞cos2x?2，即cos2x?0，又因為0≤x≤?，所以

?

3＜x＜?； 4

4當A＜0時，由f(a?b)?f(c?d)，得2sinx?1＜cos2x?2，即cos2x?0，又因為0≤x≤?，所以0≤x＜

?3

或?＜x≤?.44

?3＜x＜?｝；44?3

當二次函數(shù)f(x)二次項系數(shù)A＜0時，不等式的解集｛x∣0≤x＜或?＜x≤?｝.44

??????

例

3、（2005年，浙江卷）已知向量a≠e，|e|＝1，對任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－

綜上所述，當二次函數(shù)f(x)二次項系數(shù)A＞0時，不等式的解集｛x∣

?

e|，則（）.????????????(A)a⊥e，(B)a⊥(a－e)，(C)e⊥(a－e)，(D)(a＋e)⊥(a－e).????

[解析] 對|a－te|≥|a－e|進行平方，化成關于t的二次不等式，利用二次函數(shù)性質，??

得??0恒成立，從而得a?c?1.????

[答案]解：對任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，故兩邊平方得

?2??2?2??a?2t?a?c?t?a?2?a?c?1,????

即：t?2t?a?c?2t?a?c?1?0.又上式對任意t∈R，恒成立，即有：??0恒成立.??2????

2?即?=4（a?c）?（42a?c?1）?（4a?c?1）?0.??

故當a?c?1時，上式成立，本題應選（C）.[規(guī)律小結]

（1）平面向量與不等式結合的問題，經(jīng)常以向量為載體考查不等式的知識，解題的關鍵是利用向量的知識將問題轉化為不等式的問題：解不等式，求最大值（最小值），轉化時不要把向量與實數(shù)搞混淆。

（2）向量與不等式的結合，既符合在知識的“交匯處”構題，又加強了對雙基的考查，特別是向量的坐標表示及運算，這類問題的解決思路通常是將向量的數(shù)量積的運算與模用坐標運算后，轉化為三角函數(shù)問題，然后用三角函數(shù)基本公式求解，基中涉及到的有關向量的知識有：①向量的坐標表示及加法、減法、數(shù)乘向量；②向量的數(shù)量積；③向量平行、垂直

??????的充要條件；④向量的模、夾角；⑤a?b?a?b；若a?(x1,y1),b ?(x2,y2)，有

??????(x1x2?y1y2)2?(x12?x22)(y12?y22)；⑥向量不等式：a??a?b?a?b|，??????

||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|.（3）可能涉及不等式的內容有：

①解分式不等式f?x??a?a?0?的一般解題思路：移項通分，分子分母分解因式，x的gx系數(shù)變?yōu)檎?，標根及奇穿過偶彈回.②含有兩個絕對值的不等式：一般是根據(jù)定義分類討論、平方轉化或換元轉化

③解含參不等式常分類等價轉化，必要時需分類討論.注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集，但若按未知數(shù)討論，最后應求并集.④利用重要不等式a?b?2ab 以及變式ab?()等求函數(shù)的最值時，務必注

意a，b?R（或a，b非負），且“等號成立”時的條件是積ab或和a＋b其中之一應是定值(一正二定三等).??(根據(jù)目標不等式左右的運算結構選?22

2用)a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（當且僅當a?b?c時，取等號）

?

⑥比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質法、綜合法、分析法和放縮法.⑦含絕對值不等式的性質：

a、b同號或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；

a、b異號或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.⑧不等式的恒成立,能成立等問題

1).恒成立問題：若不等式f?x??A在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上

f?x?min?A；若不等式f?x??B在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上f?x?max?B.2).能成立問題：若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f?x??A成立,即f?x??A在區(qū)間

D上能成立 ,則等價于在區(qū)間D上f?x?max?A；若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式

f?x??B成立,即f?x??B在區(qū)間D上能成立 ,則等價于在區(qū)間D上的f?x?min?B.考點誤區(qū)分析：

??????

（1）對于||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|，要注意：

??????????? b同向或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； ①a、??????????? b反向或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； ②a、????????

b不共線?||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|.(這些和實數(shù)集中類似)③a、（2）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值.（3）有些取值范圍、最值問題，雖然沒有直接用向量作為已知條件出現(xiàn)，但如果運用向量知識來解決，也會顯得自然、簡便，而且易入手?？忌?jīng)常沒想到而陷入困境.（4）注意對“整式、分式、絕對值不等式”的放縮途徑，“配方、函數(shù)單調性等”對放縮的影響.同步訓練：

x2y

2??1的焦點為F1,F2，點P為其上的動點，當

1、（2000年，全國卷）橢圓9

4∠F1P F2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是___。

2、（2005年，江蘇卷）在△ABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM＝2，則

????????????

OA?（OB?OC）的最小值是.3、已知向量a＝（2，2），向量b與a的夾角為?，且a?b＝－2.osA，2cos2（1）求向量b；（2）若t＝（1，0）且b?t，c＝（c

C），其中A、C是?ABC

2的內角，若三角形的三個內角依次成等差數(shù)列，試求b?c的取值范圍.224、已知定點A(-1,0)和B(1,0)，P是圓(x-3)+(y-4)=4上的一動點，求PA?PB的2

2最大值和最小值.??

5、若a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，且k???(k?0,k?R)

（1）試用k表示?；

??

（2）求?的最小值，并求出此時a與b的夾角?的大小.[參考答案]

1、[解析]解決與角有關的一類問題，總可以從平面向量數(shù)量積入手，通過坐標運算列出不等式。F1（－,0）F2（,0）,設P（3cos?,2sin?），??F1PF2為鈍角

?????????

2?－5＋∴

PF =9cos?PF?（3cos?,?2sin?)?3cos?,?2sin?)12

4sin?=5 cos?－1<0，解得：?

5?cos??∴點P橫坐標的取值范圍是5

5（?

335,）

2圖

[答案]（?

353）,55

?????????

2、[解析]如圖設|OA|?x,則|OM|?2?x，（0?x?2）?????????????M為BC的中點，?OB?OC?2OM，??????????????????????OA?（OB?OC）?OA?2OM?2（x2?x）?cos180?

2?2x2?4x?（2x?1）?2（?0?x?2）, ?當x?1時，取最小值?2.[答案]-2.3、[解析]（1）設b＝（x,y），由a?b＝－2，得2x?2y＝－2，即x?y＝－1① 因為向量b與a的夾角為?，a＝22?22＝22，所以b＝

?2a?b

＝＝1，因此x2?y2＝1.② ?2?a?cos???22????

4?2?

?x??1,?x?0,或?.所以b＝（－1，0）或b＝（0，－1）.?y??1?y?0

聯(lián)立①、②，解得?

（2）根據(jù)題意，得B＝

?2?，A+C＝，由于t＝（1，0）且b?t，故b＝（0，－1），3

2b+c＝（cosA，cosC），b?c＝cosA+cosC

＝1+

11?1??2??

(cos2A?cos2C)+1+?cos2A?cos2???A??＝1+cos(2A?)，2232??3??

因為0＜A＜

2???5??

1，所以＜2A+＜，－1≤cos(2A?)＜，333233

?.,因此，b?c??,?，b?c????24??22?

[答案]（1）b＝（－1，0）或b＝（0，－1）；

?15?

?25?

?25?? ,（2）??

?22?

????

4、[分析]利用向量把問題轉化為求向量OP的最

值。設已知圓的圓心為C，由已知可得

：

????????????????????????

OA?{?1,0},OB?{1,0}，?OA?OB?0, OA?OB??1，由中點公式得????????????????2????2????????2????????PA?PB?2PO，所以PA?PB?(PA?PB)?2PA?PB

????2???????????????? =(2PO)?2(OA?OP)?(OB?OP)

????2????????????2????????????????2????

=4PO?2OA?OB?2OP?2OP?(OA?OB)=2OP?2，又因為OC?{3,4} 點P????????????????????

在圓(x-3)+(y-4)=4上, 所以OC?5,CP?2,且OP?OC?CP，所以

????????????????????????????????

OC?CP?OP?OC?CP?OC?CP，即3?OP?7

????2????2????22

2故20?PA?PB?2OP?2?100，所以PA?PB的最大值為100，最小值為20.[答案] 最大值為100，最小值為20.??

5、[解析]（1）∵a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，∴??1，??2??2

又∵k???(ka?b)?3(a?kb)

整理，得??

(k?)(k?0).4k

11111

(k?)(k?0)，∴??(k?)?，取“=”當且僅當k=14k4k211，∴cos???22

（2）由（1）知??

時，當k=1時，??

???1

∵又0????，∴??，因此當且僅當k=1時，?取最小值，此時，a與b的夾

角為

? 3

11?（2）.(k?)(k?0)；4k3

[答案]（1）??

第二篇：平面向量圖形結合問題

高中復習-平面向量

1．（2016?濰坊一模）在△ABC中，PQ分別是AB，BC的三等分點，且AP=AB，BQ=BC，若則A．

2．（2016?朔州模擬）點O為△ABC內一點，且滿足則=（），設△OBC與△ABC的面積分別為S1、S2，=（）+ B．﹣+ C．

﹣

D．﹣

﹣

=，=，A． B． C． D．

按向量=（2009，4，27）平移，3．（2009春?成都期中）已知點A（2008，5，12），B（14，2，8），將向量所得到的向量坐標是（）A．（1994，3，4）B．（﹣1994，﹣3，﹣4）C．（15，1，23）D．（4003，7，31）

4．（2013秋?和平區(qū)期末）已知向量則向量為（）A．（﹣3，2）B．（4，3）C．（3，﹣2）

D．（2，﹣5）

（1＜x＜4）的圖象如圖所示，A為圖象與x軸的交點，過點A+）?

=（），若存在向量，使得，5．（2016?吉林三模）函數(shù)的直線l與函數(shù)的圖象交于B，C兩點，則（A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 6．（2016?商洛模擬）在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，則A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8

=（）

7．（2015?房山區(qū)一模）向量=（2，0），=（x，y），若與﹣的夾角等于，則||的最大值為（）

A．4 B．2 C．2 D．

8．（2016?合肥二模）點G為△ABC的重心，設A．

9．（2016?眉山模擬）如圖，在△OAB中，點P在邊AB上，且AP：PB=3：2．則

=（）﹣B．C．﹣2D．=，=，則

=（）

A． B．C．

D．

10．（2016春?東營校級期中）點O是△ABC所在平面上一點，且滿足A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心

11．（2016?河南模擬）如圖，在△ABC中，已知，則

++=，則點O為△ABC的（）

=（）

A． B．C．

D．，P是BN上的一點，若，則實數(shù)m的值12．（2016?衡水模擬）如圖，在△ABC中，為（）

A．B．C．1 D．3

13．（2016?焦作二模）在平面直角坐標系中，已知向量=（1，2），﹣∥，則x=（）

=（3，1），=（x，3），若（2+）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1

14．（2016?嘉峪關校級模擬）已知向量A．

15．（2016?南昌校級模擬）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上的一點（包括端點），則?B．C．D．

為非零向量，則

夾角為（）的取值范圍是（）

A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]

16．（2016?潮南區(qū)模擬）已知平面向量與的夾角為，且||=1，|+2|=2，則||=（A．1 B．C．3 D．2

17．（2016?西寧校級模擬）已知||=1，||=，且⊥（﹣），則向量與向量的夾角為（A．B．C．D．

鞏固與練習：

1．（2011?豐臺區(qū)一模）已知平面向量，的夾角為60°，||=4，||=3，則|+|等于（）A．37 B． C．13 D．

2．（2016?河南模擬）如圖，在△ABC中，已知，則

=（）））

A． B． C．

D．

3．（2016春?成都校級月考）如圖，在△ABC中，線段BE，CF交于點P，設向量，則向量可以表示為（）

A． B． C．

D．

4．（2016?撫順一模）已知向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，則向量與向量的夾角θ的值為（A． B． C． D．

5．（2015春?臨沂期末）如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，則下列結論正確的是（）

A．+=B．﹣=C．

+

=

D．

﹣

=

6．（2015?婁星區(qū)模擬）如圖，正方形中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點．那么

=（A．B．

C．

D．，））

7．（2016?湖南模擬）已知，，點C在AB上，∠AOC=30°．則向量

等于（）

A．B．C．

D．

8．（2016?重慶校級模擬）若||=2，||=4且（+）⊥，則與的夾角是（）A．

9．（2015春?昆明校級期中）如圖，點M是△ABC的重心，則

為（）B．C．D．﹣

A．B．4B．

10．（2015秋?廈門校級期中）已知平行四邊形ABCD的對角線分別為AC，BD，且D的四等分點，則（）

=2，點F是BD上靠近C．4D．4

A．C．

11．（2015?廈門校級模擬）如圖，，，若m=，那么n=（）=﹣=﹣﹣B．D．==﹣

﹣﹣

A． B．C．D．

12．（2016?嘉興一模）如圖，B、D是以AC為直徑的圓上的兩點，其中AB=，AD=，則

=（）

A．1 B．2 C．t D．2t

答案：

1．（2016?濰坊一模）在△ABC中，PQ分別是AB，BC的三等分點，且AP=AB，BQ=BC，若則A．=（）+ B．﹣+ =C．．

﹣

D．﹣

﹣

=，=，【解答】解：

∵AP=AB，BQ=BC，∴∴故選：A．

2．（2016?朔州模擬）點O為△ABC內一點，且滿足則=（），設△OBC與△ABC的面積分別為S1、S2，=． =

=，=

=

．

A． B． C． D．

【解答】解：延長OC到D，使OD=4OC，延長CO交AB與E，∵O為△ABC內一點，且滿足∴=，∴O為△DABC重心，E為AB中點，∴OD：OE=2：1，∴OC：OE=1：2，∴CE：OE=3：2，∴S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，∵△OBC與△ABC的面積分別為S1、S2，∴=．

故選：B．

3．（2009春?成都期中）已知點A（2008，5，12），B（14，2，8），將向量

按向量=（2009，4，27）平移，所得到的向量坐標是（）A．（1994，3，4）B．（﹣1994，﹣3，﹣4）C．（15，1，23）D．（4003，7，31）【解答】解：∵A（2008，5，12），B（14，2，8），∴又∵=（﹣1994，﹣3，﹣4），按向量平移后不發(fā)生變化

=（﹣1994，﹣3，﹣4），∴平移后故選B

4．（2013秋?和平區(qū)期末）已知向量則向量為（）A．（﹣3，2）【解答】解：設∵B．（4，3）C．（3，﹣2），，D．（2，﹣5），若存在向量，使得，∴，解得x=3，y=﹣2，∴=（3，﹣2）． 故選：C．

5．（2016?吉林三模）函數(shù)的直線l與函數(shù)的圖象交于B，C兩點，則（（1＜x＜4）的圖象如圖所示，A為圖象與x軸的交點，過點A+）?

=（）

A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 【解答】解：由題意可知 B、C兩點的中點為點A（2，0），設B（x1，y1），C（x2，y2），則x1+x2=4，y1+y2=0 ∴（+）?=（（x1，y1）+（x2，y2））?（2，0）=（x1+x2，y1+y2）?（2，0）=（4，0）?（2，0）=8 故選D．

6．（2016?商洛模擬）在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，則A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8

=

cosB=|BC|=8．

2=（）

【解答】解：在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，則故選：D．

7．（2015?房山區(qū)一模）向量=（2，0），=（x，y），若與﹣的夾角等于A．4 B．2 C．2 D．，則||的最大值為（）

【解答】解：由向量加減法的幾何意義可得，（如圖），=，=∠OBA 故點B始終在以OA為弦，∠OBA=為圓周角的圓弧上運動，且等于弦OB的長，由于在圓中弦長的最大值為該圓的直徑2R，在三角形AOB中，OA==2，∠OBA=

由正弦定理得，解得2R=4，即||的最大值為4 故選A

8．（2016?合肥二模）點G為△ABC的重心，設=，=，則

=（A．﹣B．C．﹣2D．【解答】解：由題意知，+=，即+=，故=﹣2=﹣2，故選C．）

9．（2016?眉山模擬）如圖，在△OAB中，點P在邊AB上，且AP：PB=3：2．則

=（）

A．B．C．，D．

【解答】解：∵AP：PB=3：2，∴又∴===+，=，+

故選：B．

10．（2016春?東營校級期中）點O是△ABC所在平面上一點，且滿足

+

+

=，則點O為△ABC的（）

A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心

【解答】解：作BD∥OC，CD∥OB，連結OD，OD與BC相交于G，則BG=CG，（平行四邊形對角線互相平分），∴又∵∴++=﹣=+，=，可得：+

=﹣，∴A，O，G在一條直線上，可得AG是BC邊上的中線，同理：BO，CO的延長線也為△ABC的中線． ∴O為三角形ABC的重心．

故選：C．

11．（2016?河南模擬）如圖，在△ABC中，已知，則

=（）

A．B．=，得+，=3（C．）D．

【解答】解：∵∴由已知化簡=故選：C

12．（2016?衡水模擬）如圖，在△ABC中，為（），P是BN上的一點，若，則實數(shù)m的值

A．B．C．1 D．3 【解答】解：∵∴設=λ，（λ＞0）得且==

+

，∴m=故選：A，解之得λ=8，m=

13．（2016?焦作二模）在平面直角坐標系中，已知向量=（1，2），﹣∥，則x=（）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1 【解答】解：由=（1，2），﹣

=（3，1），得

=（3，1），=（x，3），若（2+）=（1，2）﹣（3，1）=（﹣2，1），則，∴2+=（2，4）+（﹣4，2）=（﹣2，6），又（2+）∥，∴6x+6=0，得x=﹣1． 故選：D．

14．（2016?嘉峪關校級模擬）已知向量A．B．C．D．

；，；

； ；

=

；

；

為非零向量，則

夾角為（）

【解答】解：∴∴∴∴∴∴夾角為．

故選：B．

15．（2016?南昌校級模擬）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上的一點（包括端點），則的取值范圍是（）

A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]

【解答】解：∵D是邊BC上的一點（包括端點），∴可設∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴∴=?=[+﹣+]?

=

+

（0≤λ≤1）．

=2×1×cos120°=﹣1．

=﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ =﹣7λ+2． ∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]． ∴?的取值范圍是[﹣5，2]．

故選：D．

16．（2016?潮南區(qū)模擬）已知平面向量與的夾角為A．1 B．C．3 D．2 2，且||=1，|+2|=2，則||=（）

【解答】解：由已知，|+2|=12，即故選D．

17．（2016?西寧校級模擬）已知||=1，||=A．B．C．D． ；，所以||+4||||×+4=12，所以||=2；

2，且⊥（﹣），則向量與向量的夾角為（）

【解答】解：∵；

∴∴∴向量與的夾角為故選B． ； ． ；

鞏固與練習：

1．（2011?豐臺區(qū)一模）已知平面向量，的夾角為60°，||=4，||=3，則|+|等于（）A．37 B． C．13 D．

【解答】解：由題意得 ?=||?||cos60°=4×3×=6，∴||==

=

=，故選B．

2．（2016?河南模擬）如圖，在△ABC中，已知，則

=（）

A． B．=，得+，=3（C．）

D．

【解答】解：∵∴由已知化簡=故選：C

3．（2016春?成都校級月考）如圖，在△ABC中，線段BE，CF交于點P，設向量，則向量可以表示為（），A． B． C．

D．

【解答】解：因為F，P，C三點共線，∴存在實數(shù)λ，使由已知同理，=，所以=，，∴解得

所以故選C．

；

4．（2016?撫順一模）已知向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，則向量與向量的夾角θ的值為（）A． B． C． D．

【解答】解：向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，∴﹣2+?=4，即16﹣2×9+4×3×cosθ=4，解得cosθ=； 又θ∈[0，π]，∴θ=；

即向量與向量的夾角θ的值為．

故選：B．

5．（2015春?臨沂期末）如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，則下列結論正確的是（）

A．+=B．﹣=C．

+

=

D．

﹣

=

【解答】解：由已知及圖形得到，故A錯誤；

；故B錯誤；

；故C 正確；

故D 錯誤；

故選C．

6．（2015?婁星區(qū)模擬）如圖，正方形中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點．那么=（）

A．B．

C．

D．

【解答】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴==，∵=，∵，∴=

． 故選D．

7．（2016?湖南模擬）已知，，點C在AB上，∠AOC=30°．則向量

等于（A．B．C．

D．

【解答】解：過點c做CE∥OA CF∥OB 設OC長度為a 有△CEB∽△AFC ∴（1）

∵∠AOC=30° 則CF==OE OF=CE=）

∴BE=2﹣AF=2﹣

=OB，代入（1）中化簡整理可解：a=OF=∴故選B．

==OA

OE=8．（2016?重慶校級模擬）若||=2，||=4且（+）⊥，則與的夾角是（）A．B．C．D．﹣

【解答】解：設與的夾角是θ． ∵||=2，||=4且（+）⊥，∴（+）?=∴cosθ=．

． =2+2×4cosθ=0，2∵θ∈[0，π]，∴故選：A．

9．（2015春?昆明校級期中）如圖，點M是△ABC的重心，則為（）

A．B．4C．4D．4

【解答】解：設AB的中點為F ∵點M是△ABC的重心 ∴故為C

10．（2015秋?廈門校級期中）已知平行四邊形ABCD的對角線分別為AC，BD，且D的四等分點，則（）

=2，點F是BD上靠近

．

A．=﹣﹣B．=﹣ C．=﹣D．=﹣

﹣

【解答】解：∵=2，點F是BD上靠近D的四等分點，∴=，=，∴==+，∵，∴=+

=﹣．

故選：C．

11．（2015?廈門校級模擬）如圖，，，若m=，那么n=（A．B．C．D． 【解答】解：∵，故C為線段AB的中點，故==2，∴=，由，∴，∴=，∵M，P，N三點共線，故=1，當m=時，n=，故選：C）

12．（2016?嘉興一模）如圖，B、D是以AC為直徑的圓上的兩點，其中AB=，AD=，則

=（）

A．1 B．2 C．t D．2t 【解答】解：連結BC，CD．則AD⊥CD，AB⊥BC． ∴=AB×AC×cos∠BAC=AB=t+1． =AD×AC×cos∠CAD=AD=t+2．

∵∴?=，=

=1． 22故選：A．

第三篇：平面向量復習題

平面 向 量

向量思想方法和平面向量問題是新考試大綱考查的重要部分，是新高考的熱點問題。題型多為選擇或填空題，數(shù)量為1-2題，均屬容易題，但是向量作為中學數(shù)學中的一個重要工具在三角、函數(shù)、導數(shù)、解幾、立幾等問題解決中處處閃光。最近幾年的考試中向量均出現(xiàn)在解析幾何題中，在解析幾何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的運算性質、考查向量幾何意義的應用，并直接與距離問題、角度問題、軌跡問題等相聯(lián)系。近年考綱又新增“平面向量在幾何中的應用”試題進一步要求我們具備多角度、多方向地分析，去探索、去發(fā)現(xiàn)、去研究、去創(chuàng)新，而不是去做大量的模仿式的解題。一個問題解決后，不能匆匆而過，回顧與反思是非常有必要的，以充分發(fā)揮每一道題目的價值。除了要重視一題多解外，更要重視一題多變，主動探索：條件和結論換一種說法如何？變換一個條件如何？反過來又會怎么樣？等等。只有這樣才能做到舉一反三，以不變應萬變。

一、高考考綱要求

1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．

2．掌握向量的加法與減法．

3．掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算．

5．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

6．掌握平面兩點間的距離公式，掌握線段的定比分點和中點公式，并且能熟練運用；掌握平移公式．

二、高考熱點分析

在高考試題中，對平面向量的考查主要有三個方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性質和運算法則，理解和運用其直觀的幾何意義，并能正確地進行計算。其二考查向量坐標表示，向量的線性運算。

其三是和其他知識結合在一起，在知識的交匯點設計試題，考查向量與學科知識間綜合運用能力。

數(shù)學高考命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交互滲透，在知識網(wǎng)絡的交匯點設計試題．由于向量具有代數(shù)和幾何的雙重身份，使它成為中學數(shù)學知識的一個交匯點，成為聯(lián)系多項知識的媒介．因此，平面向量與其他知識的結合特別是與解析幾何的交匯、融合仍將是高考命題的一大趨勢，同時它仍將是近幾年高考的熱點內容．

附Ⅰ、平面向量知識結構表

1.考查平面向量的基本概念和運算律

1此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，主要考查平面向量的有關概念與性質，要求考生深刻理解平面向量的相關概念，能熟練進行向量的各種運算，熟悉常用公式及結論，理解并掌握兩向量共線、垂直的充要條件。1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

?(1,2),(?2,?4),||?

B．60°,若(?)??

C．120°,則與的夾角為

2（）

D．150°

3．(重慶卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D為線段BC的中點，則

A．

與的夾角為（）

444

4B．a(chǎn)rccos C．a(chǎn)rccos(?)D．－arccos(?)

2555

5???????

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，對任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則

?arccos

?

（）

??A．a(chǎn)⊥e ???B．a(chǎn)⊥(a－e)

?

???C．e⊥(a－e)????D．(a＋e)⊥(a－e)

????????．(上海卷)在△ABC中，若?C?90，AC?BC?4，則BA?BC? 2.考查向量的坐標運算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超過5，則k的取值范圍是

A．[－4，6]

2．(重慶卷)設向量a=（－1，2），b=（2，－1），則（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）

????

3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐標系xOy中,已知點A(0,1)和點B(－3,4)，若點C在∠AOB的平分線上且||=2,則OC=。

????????????

5．(全國卷)已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三點共線，則k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(廣東卷)已知向量a

?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超過5，則k的取值范圍是

?(2,3),b?(x,6),且a//b,則x.3.平面向量在平面幾何中的應用

????????

????????ABAC

?),??[0,??),則1.O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP?OA??(|AB||AC|

P的軌跡一定通過△ABC

A．外心的（）B．內心

C．重心

D．垂心

????

2．（遼寧卷）已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A,C），則AP等于（）

????????????????A．?(AB?AD),??(0,1)

B.?(AB?BC),??(0,????????????????C.?(AB?AD),??(0,1)

D.?(AB?BC),??(0,??????

3．已知有公共端點的向量a，b不共線，|a|＝1，|b|=2,則與向量a，b的夾角平分線平行的單位向量是.????????????????

4．已知直角坐標系內有三個定點A(?2,?1)、B(0,10)、C(8,0)，若動點P滿足：OP?OA?t(AB?AC),t?R，則點P的軌跡方程。

4.平面向量與三角函數(shù)、函數(shù)等知識的結合當平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數(shù)的關系式。在此基礎上，可以設計出有關函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題。此類題的解題思路是轉化為代數(shù)運算，其轉化途徑主要有兩種：

①利用向量平行或垂直的充要條件，②利用向量數(shù)量積的公式和性質.1．(江西卷)已知向量?(2cos

xx?x?x?,tan(?)),?(2sin(?),tan(?)),令f(x)??.224242

4求函數(shù)f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在[0，π]上的單調區(qū)間.2．(山東卷)已知向量

??

m?(cos?,sin?)

和

?n?

sin?,cos?,????,2??

?，且

???m?n?求

????

cos???的值.?28?

3．(上海卷)已知函數(shù)

f(x)?kx?b的圖象與x,y軸分別相交于點

A、B，?2?2（,分別是與x,y軸正半

軸同方向的單位向量），函數(shù)g(x)

?x2?x?6.f(x)?g(x)時，求函數(shù)

（1）求k,b的值；（2）當x滿足

g(x)?

1的最小值.f(x)

【反思】這類問題主要是以平面向量的模、數(shù)量積、夾角等公式和相互知識為紐帶，促成與不等式知識的相互遷移，有效地考查平面向量有關知識、不等式的性質、不等式的解法、不等式的應用及綜合解題能力。

5.平面向量與解析幾何的交匯與融合由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運算性質，是數(shù)形結合與轉換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數(shù)形結合與轉換的特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設計試題，已逐漸成為高考命題的一個新的亮點。

平面幾何與解析幾何的結合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉化為運算；或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關問題。主要包括以下三種題型：

1、運用向量共線的充要條件處理解幾中有關平行、共線等問題

運用向量共線的充要條件來處理解幾中有關平行、共線等問題思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分點公式研究這類問

題要簡捷的多。

2、運用向量的數(shù)量積處理解幾中有關長度、角度、垂直等問題

運用向量的數(shù)量積，可以把有關的長度、角度、垂直等幾何關系迅速轉化為數(shù)量關系，從而“計算”出所要求的結果。

3、運用平面向量綜合知識，探求動點軌跡方程，還可再進一步探求曲線的性質。

1．(江西卷)以下同個關于圓錐曲線的命題中 ①設A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|

PA|?|PB|?k，則動點P的軌跡為雙曲線；

?

(?),則動點P的軌跡為橢圓； 2

②設定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若③方程2x

?5x?2?0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

x2y2x2

??1與橢圓?y2?1有相同的焦點.④雙曲線

25935

其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）

???????????

2．平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知A(3,1),B(?1,3)，若點C滿足OC??0A??OB，其中?,??R，且?

???1，則點C的軌跡方程為()

A.C.3x?2y?11?0B.(x?1)2?(y?2)2?5 2x?y?0D.x?2y?5?0

2．已知平面上一個定點C（－1，0）和一條定直線l：x＝－4，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，????????????????

（PQ＋2PC）?（PQ－2PC）＝0.（1）求點P的軌跡方程；

????????

PC的取值范圍．（2）求PQ·

第四篇：向量 不等式(高考題型與方法)

向量（高考題型與方法）

1.已知向量a=

1），b=（0，-1），c=（k

。若a-2b與c共線，則k=___________________。

????????2.已知向量a，b滿足a?1，b?2，a與b的夾角為60°，則a?b?

3.已知平面向量?,?,??1,??2,??(??2?),則2a??的值是?????????4.如圖，在?ABC中，AD?

AB,BC?,AD?1,????????則AC?AD?.????????5.在正三角形ABC中，D是BC上的點，AB?3,BD?1，則AB?AD?

6.2011年高考山東卷理科12)設A1，A2，A3，A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若????????????????????11且??2,則稱A3，A4調和分割A1，A2 ,A1A3??A1A2(λ∈R)，A1A4??A1A2(μ∈R)，??

已知點C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)調和分割點A(0，0)，B(1，0)，則下面說法正確的是

(A)C可能是線段AB的中點(B)D可能是線段AB的中點

(C)C，D可能同時在線段AB上(D)C，D不可能同時在線段AB的延長線上

b，(a?c)?(b?c)?0，7.(2011年高考全國新課標卷理科10)若a，且a?b?0，c均為單位向量，則|a?b?c|的最大值為

（A）2?1（B）1（C）2（D）2

????????????8.(2011年高考四川卷理科4)如圖，正六邊形ABCDEF中，BA?CD?EF=_____

9.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,?ADC?90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點,則?

????????|PA?3PB|的最小值為.9.若等邊?ABC的邊長為23，平面內一點M滿足?A.23B.?2 C.2D.?2 11?，則?等于 33

???????????????????????????10.?ABC和點M滿足MA?MB?MC?0.若存在實n使得AM?AC?nAM成立，則n

=

A.2B.3C.4D.5

????????11.（2010年高考全國卷Ⅱ理科7）△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB，若CB= a , CA= b , ????a= 1，b= 2, 則CD=

12213443a + b（B）a +b（C）a +b（D）a +b 33335555（A）

????212.（2010年高考四川卷理科6）設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，BC?16，?????????????????????AB?AC?AB?AC，則AM?

（A）8（B）4（C）2（D）1

不等式與推理證明（高考題型與方法）

?y?x?1.設m?1,在約束條件?y?mx下，目標函數(shù)z?x?5y的最大值為4，則m的值為．

?x?y?1?

2.若變量x,y滿足約束條件??3?2x?y?9,則z?x?2y的最小值為.?6?x?y?9

3.(2011年高考天津卷文科5)已知a?log23.6,b?log43.2,c?log43.6,則

A.a?b?cB.a?c?bC.b?a?cD.c?a?b

4.(2011年高考廣東卷文科4)函數(shù)f(x)?1?lg(x?1)的定義域是（）1?x

A．(??,?1)B．(1,??)C．(?1,1)?(1,??)D．(??,??)

5.（2011年高考陜西卷文科3)設0?a?b，則下列不等式中正確的是

aba?b?b（B）a??22

a?ba?b?b（C）a??b?

a?22（A）

a?b??

6.（2010山東文數(shù)）（14）已知x,y?R?，且滿足xy??1，則xy的最大值為.34

第五篇：三角函數(shù)與平面向量的地位

.三角函數(shù)與平面向量的地位

二.考試內容與要求

(一)三角函數(shù):三角函數(shù)有16個考點

(1)理解角的概念的推廣.弧度制的意義.能正確的進行弧度與角度的計算.(2)掌握任意角的正弦,余弦,正切的定義,了解余切,正割,余割的定義,了解周期函數(shù)與最小正周期的意義.(3)掌握同角三角函數(shù)的基本關系式,掌握正弦、余弦的誘導公式,掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并能正確運用三角公式進行簡單的三角函數(shù)的化簡,求值以及恒等式證明

(4)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象和性質,會用”五點法”畫出正弦函數(shù),余弦函數(shù)和正切函數(shù)的簡圖,理解的物理意義

(5)掌握正弦定理,余弦定理,并能初步運用它們解斜三角形.會由已知三角函數(shù)求角,并會用符號arcsinx,arccosx,arctanx表示角.