第一篇：04 第四節(jié) 大數(shù)定理與中心極限定理

第四節(jié) 大數(shù)定理與中心極限定理

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科.而隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)會(huì)呈現(xiàn)某種穩(wěn)定性.例如, 大量的拋擲硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中, 正面出現(xiàn)頻率;在大量文字資料中, 字母使用頻率;工廠大量生產(chǎn)某種產(chǎn)品過(guò)程中, 產(chǎn)品的廢品率等.一般地, 要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求事件內(nèi)在的必然規(guī)律, 就要研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的問(wèn)題.在生產(chǎn)實(shí)踐中, 人們還認(rèn)識(shí)到大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)、測(cè)量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性.這種穩(wěn)定性就是我們將要討論的大數(shù)定律的客觀背景.在這一節(jié)中，我們將介紹有關(guān)隨機(jī)變量序列的最基本的兩類極限定理----大數(shù)定理和中心極限定理.內(nèi)容分布圖示

★大數(shù)定理的引入 ★切比雪夫不等式

★例1

★例2 ★大數(shù)定理

★中心極限定理的引入 ★林德伯格—勒維定理

★例3 ★例6

★推論

大數(shù)定理

★棣莫佛—拉普拉斯定理 ★例4

★例5 ★例7

★例8 ★高爾頓釘板試驗(yàn)

中心極限定理

★內(nèi)容小結(jié)

★課堂練習(xí)★習(xí)題4-4

內(nèi)容要點(diǎn)：

一、依概率收斂

與微積分學(xué)中的收斂性的概念類似, 在概率論中, 我們要考慮隨機(jī)變量序列的收斂性.定義

1設(shè)X1,X2,?,Xn,?是一個(gè)隨機(jī)變量序列, a為一個(gè)常數(shù),若對(duì)于任意給定的正數(shù)?,有 limP{|Xn?a|??}?1, 則稱序列X1,X2,?,Xn,?依概率收斂于a, 記為

n??Xn???aP(n??).PP定理1 設(shè)Xn???a,Yn???b,又設(shè)函數(shù)g(x,y)在點(diǎn)(a,b)連續(xù), 則

g(Xn,Yn)???g(a,b).P

二、切比雪夫不等式

定理2設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)??和方差D(X)??2,則對(duì)于任給??0, 有

P{|X??|??}???22.上述不等式稱切比雪夫不等式.注：(i)由切比雪夫不等式可以看出,若?2越小, 則事件

{|X?E(X)|??} 的概率越大, 即, 隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大.由此可見(jiàn)方差刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度.(ii)當(dāng)方差已知時(shí),切比雪夫不等式給出了X與它的期望的偏差不小于?的概率的估計(jì)式.如取??3?, 則有

P{|X?E(X)|?3?}??9?22?0.111.故對(duì)任給的分布,只要期望和方差?2存在, 則隨機(jī)變量X取值偏離E(X)超過(guò)3?的概率小于0.111.三、大數(shù)定理 1．切比雪夫大數(shù)定律

定理3(切比雪夫大數(shù)定律)設(shè)X1,X2,?,Xn,?是兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列,它們數(shù)學(xué)期望和方差均存在, 且方差有共同的上界, 即D(Xi)?K,i?1,2,?, 則對(duì)任意??0, 有

??1limP?n????nn?i?1Xi?1nn?i?1??E(Xi)????

1??1nn注: 定理表明: 當(dāng)n很大時(shí),隨機(jī)變量序列{Xn}的算術(shù)平均值學(xué)期望

2．伯努利大數(shù)定理 1nn?i?1Xi依概率收斂于其數(shù)?E(X).ii?1定理4(伯努利大數(shù)定律)設(shè)nA是n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù), p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率, 則對(duì)任意的??0, 有

?n??n?limP?A?p????1

或 limP?A?p????0.n??n???n??n?注：(i)伯努利大數(shù)定律是定理1的推論的一種特例, 它表明: 當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí), 事件A發(fā)生的頻率nAn依概率收斂于事件A發(fā)生的概率p.定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性.在實(shí)際應(yīng)用中, 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),便可以用事件發(fā)生的頻率來(lái)近似代替事件的概率.(ii)如果事件A的概率很小，則由伯努利大數(shù)定律知事件A發(fā)生的頻率也是很小的，或者說(shuō)事件A很少發(fā)生.即“概率很小的隨機(jī)事件在個(gè)別試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生”，這一原理稱為小概率原理，它的實(shí)際應(yīng)用很廣泛.但應(yīng)注意到，小概率事件與不可能事件是有區(qū)別的.在多次試驗(yàn)中，小概率事件也可能發(fā)生.3．辛欽大數(shù)定理

定理5(辛欽大數(shù)定律)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn,?相互獨(dú)立, 服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望E(Xi)??,i?1,2,?, 則對(duì)任意??0, 有

?1limP?n???nn?i?1?Xi??????1.?注:(i)定理不要求隨機(jī)變量的方差存在;

(ii)伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況;

(iii)辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.例如, 要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量, 可收割某些有代表性的地塊, 如n塊,計(jì)算其平均畝產(chǎn)量, 則當(dāng)n較大時(shí),可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).此類做法在實(shí)際應(yīng)用中具有重要意義.四、中心極限定理

在實(shí)際問(wèn)題中, 許多隨機(jī)現(xiàn)象是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素綜合影響所形成, 其中每一個(gè)因素在總的影響中所起的作用是微小的.這類隨機(jī)變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.以一門(mén)大炮的射程為例, 影響大炮的射程的隨機(jī)因素包括: 大炮炮身結(jié)構(gòu)的制造導(dǎo)致的誤差, 炮彈及炮彈內(nèi)炸藥在質(zhì)量上的誤差, 瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差, 受風(fēng)速、風(fēng)向的干擾而造成的誤差等.其中每一種誤差造成的影響在總的影響中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互獨(dú)立的, 人們關(guān)心的是這眾多誤差因素對(duì)大炮射程所造成的總影響.因此需要討論大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的問(wèn)題.中心極限定理回答了大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的近似分布問(wèn)題, 其結(jié)論表明: 當(dāng)一個(gè)量受許多隨機(jī)因素(主導(dǎo)因素除外)的共同影響而隨機(jī)取值, 則它的分布就近似服從正態(tài)分布.1．林德伯格—勒維定理

定理6(林德伯格—勒維)設(shè)X1,X2,?,Xn,?是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列, 且

E(Xi)??,D(Xi)??,i?1,2,?,n,?2

則

?n???Xi?n???i?1?limP??x??n???n?????????x12?e?t2/2dt

注: 定理6表明: 當(dāng)n充分大時(shí), n個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布.雖然在一般情況下, 我們很難求出X1?X2???Xn的分布的確切形式, 但當(dāng)n很大時(shí), 可求出其近似分布.由定理結(jié)論有

n?i?1Xi?n?n1近似n?~N(0,1)?n?i?1Xi??n近似?/~N(0,1)?X~N(?,?22/n),X?1nn?i?1Xi.故定理又可表述為: 均值為?, 方差的??0的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn,?的算術(shù)平均值X, 當(dāng)n充分大時(shí)近似地服從均值為?,方差為?2/n的正態(tài)分布.這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ).2.棣莫佛—拉普拉斯定理

在第二章中，作為二項(xiàng)分布的正態(tài)近似，我們?cè)?jīng)介紹了棣莫佛—拉普拉斯定理，這里再次給出，并利用上述中心極限定理證明之.定理7（棣莫佛—拉普拉斯定理）設(shè)隨機(jī)變量Yn服從參數(shù)n,p(0?p?1)的二項(xiàng)分布, 則對(duì)任意x, 有

???Yn?np?limP??x??n?????np(1?p)????x12?e?t22dt??(x)

注: 易見(jiàn)，棣莫佛—拉普拉斯定理就是林德伯格—勒維定理的一個(gè)特殊情況.3．用頻率估計(jì)概率的誤差

設(shè)?n為n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率, p為每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率,q?1?p,由棣莫佛—拉普拉斯定理,有

???n??P??p????P?????n?????npq??n?npnpq??n??? pq??n???1.pq??

?????n????????pq????n???2????pq???這個(gè)關(guān)系式可用解決用頻率估計(jì)概率的計(jì)算問(wèn)題:

4.李雅普諾夫定理

定理8（李雅普諾夫定理）設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn,? 相互獨(dú)立, 它們具有數(shù)學(xué)期望

n和方差: E(Xk)??k,n??時(shí), D(Xk)??2k?0,i?1,2,?，記B?2n??.若存在正數(shù)?, 使得當(dāng)

k?12k1Bn2??nn?E{|k?1Xk??k|2??}?0，則隨機(jī)變量之和?Xk的標(biāo)準(zhǔn)化變量: k?1n?Zn?k?1?n?Xk?E?X??k???k?1???D?X??k???k?1?nnnk?X?k?1?Bn??k?1k 的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)于任意x, 滿足

nn??X??k??k??k?1k?1limFn(x)?limP??x??n??n??Bn????x???12?e?t/22dt??(x).注：定理8表明, 在定理的條件下, 隨機(jī)變量

nn?Zn?k?1Xk?Bn??k?1k.nn當(dāng)n很大時(shí),近似地服從正態(tài)分布N(0,1).由此, 當(dāng)n很大時(shí),?Xk?BnZn???k近似地服

k?1k?1?n?2?.這就是說(shuō),無(wú)論各個(gè)隨機(jī)變量Xk(k?1,2,?)服從什么分布,只要滿從正態(tài)分布N??,B??kn??k?1?n足定理的條件,那么它們的和?Xk當(dāng)n很大時(shí),就近似地服從正態(tài)分布.這就是為什么正態(tài)隨

k?1機(jī)變量在概率論中占有重要地位的一個(gè)基本原因.在很多問(wèn)題中,所考慮的隨機(jī)變量可以表示成很多個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和,例如,在任一指定時(shí)刻,一個(gè)城市的耗電量是大量用戶耗電量的總和;一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)的測(cè)量誤差是由許多觀察不到的、可加的微小誤差所合成的,它們往往近似地服從正態(tài)分布.例題選講：

切比雪夫不等式

例1(講義例1)已知正常男性成人血液中, 每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300, 均方差是700.利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解 設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X, 依題意, ??7300,?2?7002，P{5200?X?9400}?P{5200?7300?X?7300?9400?7300}

?P{?2100?X???2100}?P{|X??|?2100}.所求概率為

由切比雪夫不等式

P{|X??|?2100}?1??222/(2100)?1?(700/2100)?1?1/9?8/9，即每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200 ~ 9400之間的概率不小于8/9.例2 在每次試驗(yàn)中, 事件A發(fā)生的概率為0.75, 利用切比雪夫不等式求: 事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90? 解 設(shè)X為次試驗(yàn)中, 事件A出現(xiàn)的次數(shù), 則

X~b(n,0.75), ??0.75n, ?2?0.75?0.25n?0.1875n，所求為滿足P{0.74?X/n?0.76}?0.90的最小的n.P{0.74?X/n?0.76}可改寫(xiě)為

P{0.74n?X?0.76n}?P{?0.01n?X?0.75n?0.01n}?P{|X??|?0.01n}

在切比雪夫不等式中取??0.01n, 則

P{0.74?X/n?0.76}?P{|X??|?0.01n}?1??22/(0.01n)2

?1?0.1875n/0.0001n?1?1875/n

依題意, 取n使1?1875/n?0.9, 解得

n?1875/(1?0.9)?1875,0 即n取18750 時(shí), 可以使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為 0.90.中心極限定理

例3(講義例2)

一盒同型號(hào)螺絲釘共有100個(gè), 已知該型號(hào)的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量, 期望值是100g, 標(biāo)準(zhǔn)差是10g, 求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^(guò)10.2kg的概率.解 設(shè)為第i個(gè)螺絲釘?shù)闹亓? i?1,2,?,100，100且它們之間獨(dú)立同分布, 于是一盒螺絲釘?shù)闹亓繛閄??Xi?1i，且由??E(Xi)?100,??D(Xi)?10,n?100，知E(X)?100?E(Xi)?10000,由中心極限定理有

???P{X?10200}?P????nD(X)?100，?i?1Xi?n??n??10200?n???X?10000??p???n100?????10200?10000??

100??X?10000??X?10000??P??2??1?P??2?

100100?????1??(2)?1?0.97725?0.02275.例4(講義例3)計(jì)算機(jī)在進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算時(shí), 遵從四舍五入原則.為簡(jiǎn)單計(jì).現(xiàn)在對(duì)小數(shù)點(diǎn)后面第一位進(jìn)行舍入運(yùn)算, 則誤差X可以認(rèn)為服從[?0.5,0.5]上的均勻分布.若在一項(xiàng)計(jì)算中進(jìn)行了100次數(shù)字計(jì)算, 求平均誤差落在區(qū)間[?3/20,3/20]上的概率.解 n?100, 用Xi表示第i次運(yùn)算中產(chǎn)生的誤差.相互獨(dú)立, 都服從[?0.5,0.5]上的均勻分布, X1,X2,?,X100且E(Xi)?0,var(Xi)?1/12,i?1,2,?,100, 從而

Y100??100i?1Xi?100?0100/12?35100?i?1近似Xi~N(0,1).故平均誤差X?1100100?i?1?33?,Xi落在???2020????上的概率為

??33?31???P???X??P????20?100???20??20100?i?1Xi?3???20??

?3??P??3?5??100?i?1??Xi?3???(3)??(?3)?0.9973.??

例5(講義例4)某公司有200名員工參加一種資格證書(shū)考試.按往年經(jīng)驗(yàn)考試通過(guò)率為0.8,試計(jì)算這200名員工至少有150人考試通過(guò)的概率.解 ?1,令1??0,第i人通過(guò)考試第i人未通過(guò)考試,i?1,2,?,200，依題意,P{Xi?1}?0.8,np?200?0.8?160,np(1?p)?32.?200i?1Xi是考試通過(guò)人數(shù), 由中心極限定理4, 得

P{?Xi??X?160?/32~N(0,1)，?150}?P{??X?160?/32}??150?160?/200近似i?1i200ii32

?P{??200i?1Xi?160/?32??1.77}

1??(?1.77)??(1.77)?0.96, 即至少有150名員工通過(guò)這種考試的概率為0.96.例6(講義例5)某市保險(xiǎn)公司開(kāi)辦一年人身保險(xiǎn)業(yè)務(wù), 被保險(xiǎn)人每年需交付保險(xiǎn)費(fèi)160元, 若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故, 其本人或家屬可獲2萬(wàn)元賠金.已知該市人員一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的概率為0.005, 現(xiàn)有5000人參加此項(xiàng)保險(xiǎn), 問(wèn)保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從此項(xiàng)業(yè)務(wù)所得到的總收益在20萬(wàn)到40萬(wàn)元之間的概率是多少? 解 記Xi???1,若第i個(gè)被保險(xiǎn)人發(fā)生重大事?0,若第i個(gè)被保險(xiǎn)人未發(fā)生重大故事故(i?1,2,?,5000)

于是Xi均服從參數(shù)為p?0.005的兩點(diǎn)分布, 且p{Xi?1}?0.005,np?25.?5000i?1Xi是5000個(gè)被保險(xiǎn)人中一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的人數(shù), 保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從此

5000i?1項(xiàng)業(yè)務(wù)所得到的總收益為0.016?5000?2??于是

Xi萬(wàn)元.5000??????P?20?0.016?5000?2Xi?40??P?20????i?1???5000??i?1??Xi?30???

???P???20?2525?0.995??5000i?1Xi?2525?0.995??????(1)??(?1)?0.6826

25?0.995??30?25 例7 對(duì)于一個(gè)學(xué)校而言, 來(lái)參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量, 設(shè)一個(gè)學(xué)生無(wú)家長(zhǎng), 1名家長(zhǎng), 2名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的概率分別0.05, 0.8, 0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生, 設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立, 且服從同一分布.求參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)X超過(guò)450的概率.解 以Xk(k?1,2,?,400)記第k個(gè)學(xué)生來(lái)參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù), 則Xk的分布律為

Xkpk00.0510.820.15

400易知E(Xk)?1.1,D(Xk)?0.19,k?1,2,?,400, 而X??Xk?1k,由定理3, 隨機(jī)變量

400?Xk?1k?400?1.1?X?400?1.14000.190.19近似~400N(0,1), 故

?X?400?1.1450?400?1.1?P{X?450}?P???

4000.19??4000.19?X?400?1.1??1?P??1.147?

?4000.19??1??(1.147)?0.1357.例8 設(shè)有1000人獨(dú)立行動(dòng), 每個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計(jì), 在一次行動(dòng)中, 至少有多少人能進(jìn)入掩蔽體.解 用Xi表示第i人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體, 令Sn?X1?X2???X1000.設(shè)至少有m人能進(jìn)入掩蔽體, 則要求

P{m?Sn}?0.95,Sn?90090 {m?Sn}???m?1000?0.9?1000?0.9?0.1?Sn?900?? 90?近似由中心極限定理, 有

~N(0,1), 所以

?m?900?Sn?900S?900?m?900?P{m?Sn}?P??n?1?P????

90909090????查正態(tài)分布數(shù)值表, 得

m?90090??1.65, 故m?900?15.65?884.35?884人.課堂練習(xí)

某地有甲、乙兩個(gè)電影院競(jìng)爭(zhēng)當(dāng)?shù)孛刻斓?000名觀眾, 觀眾選擇電影院是獨(dú)立的和隨機(jī)的.問(wèn): 每個(gè)電影院至少應(yīng)設(shè)有多少個(gè)座位, 才能保證觀眾因缺少座位而離去的概率小于1%?

第二篇：第五章、大數(shù)定律與中心極限定理

第五章、大數(shù)定律與中心極限定理

一、選擇題：

1．若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與方差分別為EX =1，DX = 0.1，根據(jù)切比雪夫不等式，一定有（）

A．P{?1?X?1}?0.9B．P{0?x?2}?0.9

C．P{?1?X?1}?0.9D．P{0?x?2}?0.9

2．設(shè)X1,X2,?X9相互獨(dú)立，EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9)，根據(jù)切比雪夫不等式，???1有（）

A．P{?xi?1??}?1??B．P{?xi?1??}?1???2 9i?1i?1?29

C．P{?2D． x?9??}?1??P{x?9??}?1?9??i?i?

2i?1i?199

3．若X1、X2、2?1000即都?X1000為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且Xi~B(1,p)i?

1、服從參數(shù)為p的0-1分布，則（）不正確

100011000

A．Xi?PB．?Xi~B(1000、P)?1000i?1i?

11000

C．P{a??X

i?1i?b}??(b)??(a)

1000

D

．P{a??Xi?b}??i?1?? 1，根據(jù)切比雪夫不等式，164．設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX = 1，且滿足P{X?1?2}?

X的方差必滿足（）

11B．DX? 16

41C．DX?D．DX?1 2A．DX?

5．設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX = 1，方差DX = 1，且滿足P{X?1??}?1，根據(jù)切16

比雪夫不等式，則?應(yīng)滿足（）

A．??4B．??4

C．??

11D．?? 44

二、填空題：

1.若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與方差分別為EX = 1，DX = 1，且 P{X?1??}?

切比雪夫不等式，?應(yīng)滿足。

2.若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與方差均存在，且EX = 1，P{X?1?1}?

夫不等式，DX應(yīng)滿足。

3.設(shè)X1,X2,?,X9相互獨(dú)立，且EXi?1,DXi?1,i?1、2、?9，根據(jù)切比雪夫不等式，則???0有P{1，根據(jù)41，根據(jù)切比雪4?X

i?19i?9??}?。

4.設(shè)X1,X2,?,X9相互獨(dú)立，且EXi?1,DXi?1,i?1、2、?9，根據(jù)切比雪夫不等式，19

則???0有P?Xi?1??}? 9i?

1三、計(jì)算題：

1．計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，把每個(gè)加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來(lái)計(jì)算。設(shè)所有的取整誤差是

相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且都在[-0.5,0.5]上服從均勻分布，求：300個(gè)數(shù)相加時(shí)誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率。

（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

2． 一顆螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量,期望值是1兩,標(biāo)準(zhǔn)差是0.1兩.求一盒

(100個(gè))同型號(hào)螺絲釘?shù)闹亓砍^(guò)10.2斤的概率.（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

3．已知一本1000頁(yè)的書(shū)中每頁(yè)印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)服從泊松分布P（0.1），求這本書(shū)的印刷錯(cuò)

誤總數(shù)大于120的概率。

（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

4．據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)地取25只，設(shè)他們的壽命是互相獨(dú)立的，求這25只元件的壽命總和大于3000小時(shí)的概率。

（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

第三篇：大數(shù)定律與中心極限定理的若干應(yīng)用

大數(shù)定律與中心極限定理的若干應(yīng)用

摘要：在概率論中，大數(shù)定律是比較重要的內(nèi)容，他主要就是以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式來(lái)表達(dá)概率中隨機(jī)現(xiàn)象的性質(zhì)，也是一定穩(wěn)定性的表現(xiàn)。大數(shù)定律在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中比較重要，一般都是利用大數(shù)定律和中心極限定理一起來(lái)應(yīng)用。本文根據(jù)在不同的條件下存在的大數(shù)定律和中心極限定理做了具體的分析，對(duì)幾種比較常見(jiàn)的大數(shù)定律進(jìn)行了介紹，結(jié)合他們條件的不同，分析了不同數(shù)學(xué)模型的特定，并在各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)列舉它們的應(yīng)用。這也是將理論具體化的一種表現(xiàn)形式，使得大數(shù)定律與中心極限定理在實(shí)際的生活中應(yīng)用更加廣泛，應(yīng)用價(jià)值更深一層。關(guān)鍵詞：大數(shù)定律；中心極限定理；應(yīng)用；范圍 1前言

大數(shù)定律是概率歷史上第一個(gè)極限定理。由于隨機(jī)變量序列向常數(shù)的收斂有多種不同的形式，按其收斂為依概率收斂，以概率 1 收斂或均方收斂，分別有弱大數(shù)定律、強(qiáng)大數(shù)定律和均方大數(shù)定律。常見(jiàn)的大數(shù)定律有伯努利大數(shù)定理、辛欽大數(shù)定律、重對(duì)數(shù)定理等等。中心極限定理是是概率論中討論隨機(jī)變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布的條件。

概率理論是數(shù)理理論都是研究現(xiàn)實(shí)世界隨機(jī)現(xiàn)象的一種統(tǒng)計(jì)科學(xué)，大數(shù)定律與中心極限極限定理都是數(shù)學(xué)重要的組成部分，在自然學(xué)科與經(jīng)濟(jì)發(fā)展中有著廣泛的應(yīng)用，大數(shù)定律與中心極限定理都是重要定理，也是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)樞紐中心，大數(shù)定律主要闡明的是平均結(jié)果具有穩(wěn)定性，證明了在樣本的條件下，樣本平均值與總體平均值是一樣的，這也是算術(shù)平均值法則的基本理論，在現(xiàn)實(shí)的生活中，經(jīng)常可以看到這樣的數(shù)據(jù)模型。取一個(gè)物體的平均值，一般都是反復(fù)測(cè)量的結(jié)果，當(dāng)時(shí)測(cè)量結(jié)果在不斷增大時(shí)，算術(shù)平均值的偏差就會(huì)越來(lái)越小，也是1nn?i?1的偏差也是越來(lái)越小。這種思想貫穿在整個(gè)的概率理論中，并且占有著重要的左右，在其他的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占有著重要的地位，中心極限定理與大數(shù)定律相比就更加詳細(xì)，中心極限定理是在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形勢(shì)下闡明的條件，無(wú)論總體是怎樣分布，樣本的平均值都是呈正態(tài)的形式分布，中心極限定理也是以正態(tài)分布作為廣泛的理論基礎(chǔ)應(yīng)用。目前無(wú)論是在國(guó)內(nèi)還是在國(guó)外，大數(shù)定律與中心極限定理已經(jīng)被廣泛的研究，尤其是在實(shí)際生活中的應(yīng)用，銀行業(yè)就是根據(jù)中心極限定理來(lái)發(fā)展，而大數(shù)定律更是應(yīng)用在保險(xiǎn)行業(yè)，很多研究者在這個(gè)領(lǐng)域都研究了具有一定價(jià)值的成果。推廣大數(shù)定律與中心極限定理的應(yīng)用問(wèn)題是一個(gè)非常有研究?jī)r(jià)值的方向，通過(guò)這些問(wèn)題來(lái)不斷的推廣，這樣不僅僅能夠加深大叔定理與中心極限定律的理解，并且很多問(wèn)題也能夠加以解決。2相關(guān)定義定理以及應(yīng)用 2.1相關(guān)定義

定義：設(shè)X1,X2,?,Xn,?是一個(gè)隨機(jī)變量序列，a是一個(gè)常數(shù)，若對(duì)于任意正數(shù)?，有l(wèi)imP?Xn?a????1，n??P則稱序列X1,X2,?,Xn,?依概率收斂于a.記為Xn???a.切比雪夫不等式

設(shè)隨機(jī)變量?具有有限的期望與方差，則對(duì)???0，有

P(??E(?)??)?D(?)?2或P(??E(?)??)?1?D(?)?2

證明：我們就連續(xù)性隨機(jī)變量的情況來(lái)證明。設(shè)?~p(x)，則有

(x?E(?))2P(??E(?)??)??x?E(?)??p(x)dx??x?E(?)???D(?)2p(x)dx

?1?2?????(x?E(?))p(x)dx?2?2

該不等式表明：當(dāng)D(?)很小時(shí)，P(??E(?)??)也很小，即?的取值偏離E(?)的可能性很小。這再次說(shuō)明方差是描述?取值分散程度的一個(gè)量。

切比雪夫不等式常用來(lái)求在隨機(jī)變量分布未知，只知其期望和方差的情況下，事件{??E???}概率的下限估計(jì)；同時(shí)，在理論上切比雪夫不等式常作為其它定理證明的工具。

定理1（切比雪夫大數(shù)定律）

設(shè){?n}是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，每一隨機(jī)變量都有有限的方差，且一致有界，即存在常數(shù)C，使D(?i)?ClimP{1nii?1,2,?，則對(duì)任意的??0，有n????ni?1?1niE(??ni?1)??}?0[即

??ni?11ni???E(p??ni?11ni)(n??)] 證明：由切比雪夫不等式知：???0,有：

n0?P{1nn??i?i?11n?nE(?i)??}?1i?1?2D(1nn?D?i?1i??i)?i?1n?22?nCn?22?Cn?2?0(n??)

該定理表明：當(dāng)n很大時(shí)，隨機(jī)變量?1,?,?n的算術(shù)平均值ni1nn??i?1i接近于其數(shù)學(xué)期望E(??ni?11)，這種接近是在概率意義下的接近。通俗的說(shuō)，在定理的條件下，n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量算術(shù)平均值，在n無(wú)限增加時(shí)將幾乎變成一個(gè)常數(shù)。

推論：設(shè)?1,?,?n是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，由相同的數(shù)學(xué)期望和方差E(?i)??,D(?i)??2i?1,2,?，則???0,有

limP{n??1nn??i?1i????}?0（即

1ni??ni?1以概率收斂于?）

這個(gè)結(jié)論有很實(shí)際的意義：人們?cè)谶M(jìn)行精密測(cè)量時(shí)，為了減少隨機(jī)誤差，往往重復(fù)測(cè)量多次，測(cè)得若干實(shí)測(cè)值?1,?,?n，然后用其平均值

1ni??ni?1來(lái)代替?。

定理2（De Moivre-Laplace極限定理）(定理1的特殊情形)設(shè)?n(n?1,2,?)是n重Bernoulli試驗(yàn)中成功的次數(shù)，已知每次試驗(yàn)成功的概率為p?0?p?1?，則對(duì)?x?R,有 limP{n???n?npnpq?x}?12??e??xt?22dt???x?。

該定理也可改寫(xiě)為：?a?b，有l(wèi)imP{a?n???n?npnpq?b}???b????a?

?1證明： 令?i???0第i次試驗(yàn)出現(xiàn)成功第i次試驗(yàn)不出現(xiàn)成功 則

{?i}為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且E?i?p,D?i?p(1?p)均存在

n顯然：?n???i，此時(shí)?n?i?1?n?npnpq

該定理為上定理的一個(gè)特殊情形，故由上定理該定理得證。2.2幾個(gè)大數(shù)定律的關(guān)系及適用場(chǎng)合

2.2.1伯努利定理是泊松定理的特例

泊松定理是指在一定的時(shí)間段內(nèi)，平均若干次發(fā)生的時(shí)間，有的時(shí)候會(huì)多，有的時(shí)候會(huì)少，發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)的時(shí)間，這也使泊松分配。P(k,T)?(?T)ke

若是Pk=p,則泊松大數(shù)定理也就是伯努利大數(shù)定理，伯努利大數(shù)定理也完全證明了時(shí)間在完全相同的條件下進(jìn)行重復(fù)的試機(jī)實(shí)驗(yàn)，并且頻率比較穩(wěn)定，隨著n的無(wú)限增大，n在試驗(yàn)中葉氏趨近于穩(wěn)定，與A出現(xiàn)的頻率的平均值比較接近。

2.2.2泊松大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例

在泊松的大數(shù)定理的條件中，D??piqn?1，也能夠滿足切比雪夫大數(shù)定律的條件。

2.2.3切比雪夫大數(shù)定律是馬爾科夫大數(shù)定律的特例

在切比雪夫大數(shù)定律中，D?i?C(i?1,2,3,4.....),根據(jù)隨機(jī)變量序列兩兩不相關(guān)的性質(zhì)可以了解到，1nnD(??i)?i?11n?ni?1D(?i)?cn????0，根據(jù)這樣的式子也能夠看出滿足馬爾可夫大數(shù)定

n??律的條件。由此可見(jiàn)，伯努利大數(shù)定律與泊松大數(shù)定律都是馬爾可夫大數(shù)定律的特例。伯努利大數(shù)定律也使辛欽大數(shù)定律的特別情況。在伯努利的大數(shù)定律中，由于隨機(jī)變量時(shí)可以變化的，則?n必然會(huì)是獨(dú)立分布的，并且都會(huì)服從伯努利分布的基本情況：p??i?1??p,p??i?0??q，并且E??i??p，所以這樣的公式必然會(huì)滿足辛欽大數(shù)定律的條件。但是辛欽大數(shù)定律并不是泊松大數(shù)定律與切比雪夫大數(shù)定律的推廣。2.2中心極限定理的基本關(guān)系

在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.中心極限定理，正是從理論上證明，對(duì)于大量的獨(dú)立隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，只要每個(gè)隨機(jī)變量在總和中所占比重很小，那么不論其中各個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是什么形狀，也不論它們是已知還是未知，而它們的和的分布函數(shù)必然和正態(tài)分布函數(shù)很近似。這就是為什么實(shí)際中遇到的隨機(jī)變量很多都服從正態(tài)分布的原因，也正因如此，正態(tài)分布在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有極其重要的地位。中心極限定理也可以分為幾種情況：由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和，本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量。

中心極限定理表明：在相當(dāng)一般的條件下，當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)增加時(shí)，其和的分布趨于正態(tài)分布。因此，只要和式中加項(xiàng)的個(gè)數(shù)充分大，就可以不必考慮和式中的隨機(jī)變量服從什么分布，都可以用正態(tài)分布來(lái)近似，這在應(yīng)用上是有效的和重要的。

nn?Zn?k?1Xk?E(?Xk)k?1n的分布函數(shù)的極限.D(?Xk)k?1列維一林德伯格中心極限定理：設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,服從同一分布,且有n,n,則隨機(jī)變量之和

n的標(biāo)準(zhǔn)?化變量Yn?i?1Xi?E(?Xi)i?1n?X?i?1i?n?的分布函數(shù)。

D(?Xi)i?1?n將n個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)相加時(shí)，首先對(duì)小數(shù)部分按“四舍五入”舍去小數(shù)位后化為整數(shù)．試?yán)弥行臉O限定理估計(jì)

(1)當(dāng)n=1500時(shí)，舍入誤差之和的絕對(duì)值大于15的概率；

(2)n滿足何條件時(shí)，能以不小于0.90的概率使舍入誤差之和的絕對(duì)值小于10．這就可以根

n?據(jù)列維林德伯格中心極限定理來(lái)解決問(wèn)題，當(dāng)n充分大的時(shí)候，數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n應(yīng)滿足條件：?|Sn|P{|Sn|?10}?P??n/12????0.90 ,即 2Φ(n/12?10i?1Xi?n?近似地?n~N(0,1)，10n/12)?1?0.90 ,Φ(10n/12)?0.95 ,10n/12?1.645 ,n?443.5 ,當(dāng)n<443時(shí)，才能夠保證誤差之后的絕對(duì)值小于10，概率不小于0.9。3定理的應(yīng)用

3.1在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的,假設(shè)每箱的平均重50千克,標(biāo)準(zhǔn)差5千克.若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn),試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車最多可以裝多少箱,才能保證不超載的概率大于0.977.解答：設(shè)n為第i箱的重量(), Yn??Xi?1i由列維-林德伯格中心極限定理,有，近似地~?5000?50n?所以n必須滿足P{Yn?5000}?Φ???0.977?Φ(2)，N(50n,25n)，5n??1000?10nn也就是最多可以裝98箱.?2，? n?98.0199，(供電問(wèn)題)某車間有200臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換零件等常需停車.設(shè)開(kāi)工率為0.6, 并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦.問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)? 解：某一時(shí)刻開(kāi)動(dòng)的車床數(shù)，X~B(200, 0.6),要求最小的k,使P{0?X?k}?0.999.由D-L近似地定理

? P{0?X?k}?Φ(k?npnpq)?Φ(0?npnpq,)X~N(np,npq)，P{0?X?k}?Φ(k?npnpq)?Φ(0?npnpq)?Φ(k?12048)?Φ(?12048)?Φ(k?12048)?0.999

所以若供電141.5千瓦，那么由于供電不足而影響生產(chǎn)的可能性不到0.001，相當(dāng)于8小時(shí)內(nèi)約有半分鐘受影響，這一般是允許的。

某產(chǎn)品次品率p = 0.05,試估計(jì)在1000件產(chǎn)品中次品數(shù)的概率.次品數(shù)X~B(1000,0.05),E(X)?np?1000?0.05?50，D(X)?np(1?p)?50?0.95?47.5，由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理,有：P{40?X?60}?Φ(60?5047.5)?Φ(40?5047.5)?2Φ(1.45)?1?0.853.次品數(shù)：X~B(1000,0.05),E(X)?np?1000?0.05?50,D(X)?np(1?p)?50?0.95?47.5，P{40?X?60}?Φ(60?5047.5)?Φ(40?5047.5)?2Φ(1.45)?1?0.853.若是使用切比雪夫的不等式來(lái)進(jìn)行計(jì)算，P{40?X?60}?P{X?50?10}?1?47.5102?0.525.但是這樣的計(jì)算并不完整，有點(diǎn)過(guò)于保守。

3.2在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

在一次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為0.4，應(yīng)至少進(jìn)行多少次試驗(yàn)，才能使事件A出現(xiàn)的頻率與概率之差在之間的概率不低于0.9 ？

解答：由中心極限定理知, Xn N(np, npq)，P(Xnn?p?0.1)?P(Xn?npnpq?0.1npq)

?2Φ(0.1npq)?1?0.9? Φ(0.1npq)?0.95? 0.1npq?1.65? n?66.設(shè)第i次射擊得分為,則的分布律為

100E(Xi)?9.15,D(Xi)?1.227.由中心極限定理，?Xi N(915, 122.7)

i?1100? P{900??i?1Xi?930}?P{?1511.08??Xi?100122.7?1511.08}?2Φ(1.354)?1?2?0.9115?1?0.823.高爾頓（Galton）釘板試驗(yàn)：

如下圖中每一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間。從入口處放進(jìn)一個(gè)直徑略小于兩

顆釘子之間的距離的小圓玻璃球，當(dāng)小圓球向下降落過(guò)程中，碰到釘子后皆以1/2的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子。如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個(gè)格子內(nèi)為止。把許許多多同樣大小的小球不斷從入口處放下，只要球的數(shù)目相當(dāng)大，它們?cè)诘装鍖⒍殉山朴谡龖B(tài) 的密度函數(shù)圖形（即：中間高，兩頭低，呈左右對(duì)稱的古鐘型），其中 為釘子的層數(shù)。

令 量（表示某一個(gè)小球在第 次碰了釘子后向左或向右落下這一隨機(jī)現(xiàn)象相聯(lián)系的隨機(jī)變表示向右落下，表示向左落下），由題意，的分布列可設(shè)為下述形式：對(duì)

則有，對(duì)

令，其中 相互獨(dú)立。則 表示這個(gè)小球第 次碰釘后的位置。試驗(yàn)表明近似地服從正態(tài)分布。

上述例子表明，需要研究相互獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布是正態(tài)分布的問(wèn)題，這是本章要介紹的中心極限定理刻畫(huà)的主要內(nèi)容。這個(gè)問(wèn)題的解決，對(duì)概率論在自然科學(xué)和技術(shù)應(yīng)用中一個(gè)最重要的手段奠定了理論基礎(chǔ)，這一手段是把一個(gè)現(xiàn)象或過(guò)程看作是許多因素的獨(dú)立影響下出現(xiàn)的，而每一因素對(duì)該現(xiàn)象或過(guò)程所發(fā)生的影響都很小。如果我們關(guān)心的是該現(xiàn)象或過(guò)程的研究，則只要考慮這些因素的總作用就行了。

3.3在信息論中的應(yīng)用

設(shè)在某保險(xiǎn)公司有1萬(wàn)個(gè)人參加投保,每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi).在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1萬(wàn)元,問(wèn):(1)該保險(xiǎn)公司虧本的概率為多少?(2)該保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于40,60,80萬(wàn)元的概率各是多少? 設(shè)一年內(nèi)死亡的人數(shù)為X,則X?B(10000, 0.006),由D-L中心極限定理,(1)P{10000X?1200000}?P{X?120}

?P{X?npnpq?120?npnpq}?1?Φ(120?6060?0.994)?1?Φ(7.77)?0,通過(guò)計(jì)算可得到即該保險(xiǎn)公司虧本的概率幾乎為0.2)P{1200000?10000X?400000}?P{X?80}?Φ(80?6060?0.994)?Φ(2.589)?0.995，P{1200000?10000X?600000}?P{X?60}?Φ(60?6060?0.994)?Φ(0)?0.5, P{1200000?10000X?800000}?P{X?40}?P{X?40}

?Φ(40?6060?0.994)?1?Φ(2.589)?0.005.假設(shè)生產(chǎn)線組裝每件成品的時(shí)間服從指數(shù)分布,統(tǒng)計(jì)資料表明每件成品的組裝時(shí)間平均為10分鐘.設(shè)各件產(chǎn)品的組裝時(shí)間相互獨(dú)立.(1)試求組裝100件成品需要15到20小時(shí)的概率；(2)以95%的概率在16小時(shí)內(nèi)最多可以組裝多少件成品? 解答：設(shè)第i件組裝的時(shí)間為Xi分鐘,i=1,?,100.利用獨(dú)立同分布中心極限定理.100E(Xi)?10,D(Xi)?10,i?1,2,?,100,P{900?1002?i?1Xi?1200}

?P{900?100?10100?102??i?1Xi?100?10100?102?1200?100?10100?102}

100?P{900?100?10100?10n2??i?1Xi?100?10100?102?1200?100?10100?102}

?X0.95?P{i?1i?10n?960?10n100n100n}

?Φ(960?10n100n通過(guò)表可查的)，960?10n100n?1.645，n?81.18,故最多可組裝81件成品。

Vk(k?1,2,?,20)20一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓，設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨變量，且都

V?在區(qū)間（0，10）上服從均勻分布。記

?Vk?1k，求P(V?105)的近似值。

解：E(Vk)?5,D(Vk)?10012(k?1,2,?,20)，由定理1，得 P(V?105?P(V?20?5(1012)20?105?20?5(1012)20)?P(V?100(1012)20V?100(10?0.387)

?1?P(12)20?0.387)

?1??(0.387)

?0.348

即有 P(V?105)?0.348

抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則拒絕接受這批產(chǎn)品，設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為10％，問(wèn)至少應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn)品檢查才能保證拒絕接受該產(chǎn)品的概率達(dá)到0.9？

解 設(shè) 為至少應(yīng)抽取的產(chǎn)品數(shù)，為其中的次品數(shù)

則

拉斯定理，有，，由德莫佛-拉普

當(dāng) 充分大時(shí)，4結(jié)語(yǔ)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)，這一事實(shí)顯示了可以用一個(gè)數(shù)來(lái)表征事件發(fā)生的可能性大小，這使人們認(rèn)識(shí)到概率是客觀存在的，進(jìn)而由頻率的三條性質(zhì)的啟發(fā)和抽象給出了概率的定義，而頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ)。在實(shí)踐中人們還認(rèn)識(shí)到大量測(cè)量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，而這種穩(wěn)定性就是本節(jié)所要討論的大數(shù)定律的客觀背景，而這些理論正是概率論的理論基礎(chǔ)。

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第四篇：第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

第五章

大數(shù)定律及中心極限定理

概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，而隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律只有在對(duì)大量隨機(jī)現(xiàn)象的考察中才能顯現(xiàn)出來(lái)。研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，常常采用極限定理的形式去刻畫(huà)，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究。極限定理的內(nèi)容非常廣泛，本章中主要介紹大數(shù)定律與中心極限定理。

5.1 切比雪夫Chebyshev不等式

一個(gè)隨機(jī)變量離差平方的數(shù)學(xué)期望就是它的方差，而方差又是用來(lái)描述隨機(jī)變量取值的分散程度的。下面我們研究隨機(jī)變量的離差與方差之間的關(guān)系式。

定理5－1（切比雪夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量X的期望E（X）及方差D（X）存在，則對(duì)任意小正數(shù)ε>0，有:

或：

［例5-1］設(shè)X是拋擲一枚骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若給定ε=2,2.5，實(shí)際計(jì)算P{|X-E（X）|≥ε}，并驗(yàn)證切比雪夫不等式成立。

解 X的分布律為

所以

當(dāng)ε=2時(shí)，當(dāng)ε=2.5時(shí)，可見(jiàn)，切比雪夫不等式成立。

[例5-2]設(shè)電站供電網(wǎng)有10 000盞燈，夜晚每一盞燈開(kāi)燈的概率都是0.7，而假定所有電燈開(kāi)或關(guān)是彼此獨(dú)立的。試用切比雪夫不等式估計(jì)夜晚同時(shí)開(kāi)著的燈數(shù)在6 800～7 200的概率。

解：設(shè)X表示在夜晚同時(shí)開(kāi)著的電燈的數(shù)目，它服從參數(shù)n=10 000,p=0.7的二項(xiàng)分布。于是有

E（X）=np=10 000×0.7=7 000，D（X）=npq=10 000×0.7×0.3=2100，P{6 800

可見(jiàn)，雖然有10 000盞燈，但是只要有供應(yīng)7 000盞燈的電力就能夠以相當(dāng)大的概率保證夠用。

[例5-3補(bǔ)充] 用切比雪夫不等式估計(jì)

解： 的三倍的可能性極

可見(jiàn)，隨機(jī)變量X取值與期望EX的差的絕對(duì)值大于其均方差小。

5.2 大數(shù)定律

在第一章中曾經(jīng)提到過(guò)，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，事件發(fā)生的頻率將逐漸穩(wěn)定于一個(gè)確定的常數(shù)值附近。另外，人們?cè)趯?shí)踐中還認(rèn)識(shí)到大量測(cè)量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，即平均結(jié)果的穩(wěn)定性。大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表示證明了在一定的條件下，大量重復(fù)出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象呈現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，即頻率的穩(wěn)定性與平均結(jié)果的穩(wěn)定性。

5.2.1 貝努利大數(shù)定律

定理5-2 設(shè)m是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A的概率，則對(duì)任意正數(shù)ε，有

貝努利大數(shù)定律說(shuō)明，在大量試驗(yàn)同一事件A時(shí)，事件A的概率是A的頻率的穩(wěn)定值。

5.2.2 獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的切比雪夫大數(shù)定律

先介紹獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的概念。

稱隨機(jī)變量序列X1,X2,…Xn,…是相互獨(dú)立的，若對(duì)任意的n>1,X1,X2,…Xn是相互獨(dú)立的。此時(shí)，若所有的Xi又具有相同的分布，則稱X1,X2,…Xn,…是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列。

定理5-3 設(shè)X1,X2,…Xn,…是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1,2…）均存在，則對(duì)于任意ε>0有

這一定理說(shuō)明：經(jīng)過(guò)算術(shù)平均后得到的隨機(jī)變量在統(tǒng)計(jì)上具有一種穩(wěn)定性，它的取值將比較緊密聚集在它的期望附近。這正是大數(shù)定律的含義。在概率論中，大數(shù)定律是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定性的深刻描述；同時(shí)，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要理論基礎(chǔ)。

5.3 中心極限定理

5.3.1獨(dú)立同分布序列的中心極限定理

定理5-4 設(shè)X1,X2,…Xn,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且具有相同數(shù)學(xué)期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。記隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為Fn（x），則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有

（不證）

其中φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

由這一定理知道下列結(jié)論：

（1）當(dāng)n充分大時(shí)，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的分布近似于正態(tài)分布N2（nμ，nσ）。我們知道，n個(gè)獨(dú)立同分布的正態(tài)隨機(jī)變量之和服從正態(tài)分布。中心極限定理進(jìn)一步告訴我們。

不論X1,X2,…Xn,…獨(dú)立同服從什么分布，當(dāng)n充分大時(shí)，其和Zn近似服從正態(tài)分布。

（2）考慮X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量為，即為上述Yn。因此的分布函數(shù)即是上述的F（，nx）因而有

由此可見(jiàn)，當(dāng)n充分大時(shí)，獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的平均值 的分布近似于正態(tài)分布

[例5-3]對(duì)敵人的防御地段進(jìn)行100次射擊，每次射擊時(shí)命中目標(biāo)的炮彈數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為2，均方差為1.5，求在100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率。解 設(shè)Xi為第i次射擊時(shí)命中目標(biāo)的炮彈數(shù)（i=1,2,…,100），則中命中目標(biāo)的炮彈總數(shù)，而且X1，X2，…X100同分布且相互獨(dú)立。

為100次射擊

由定理5-4可知，隨機(jī)變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故有

[例5-4]某種電器元件的壽命服從均值為100（單位：小時(shí)）的指數(shù)分布。現(xiàn)隨機(jī)抽出16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件的壽命的總和大于1 920小時(shí)的概率。

解 設(shè)第i只電器元件的壽命為Xi=（i=1,2,…16），E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，則是這16只元件的壽命的總和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，則所求概率為：

5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心極限定理

下面介紹另一個(gè)中心極限定理，它是定理5-4的特殊情況。

定理5-5（棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量Zn是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x

其中q=1-p,φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理得到下列結(jié)論：

（1）在貝努利試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生的概率為p。又設(shè)Zn為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻數(shù)，則當(dāng)n充分大時(shí)，Zn近似服從正態(tài)分布N（np,npq）。

（2）在貝努利試驗(yàn)中，若事件中A發(fā)生的概率為p，發(fā)生的頻率，則當(dāng)n充分大時(shí)，近似服從正態(tài)分布

【例5-5】用中心極限定理得到求解5.1例5-2的概率。

解 設(shè)同時(shí)開(kāi)著的燈數(shù)為X，則

X-B（1000，0.7），np=1000×0.7=7000，為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A

【例5-6】設(shè)某單位內(nèi)部有1000臺(tái)電話分機(jī)，每臺(tái)分機(jī)有5%的時(shí)間使用外線通話，假定各個(gè)分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，該單位總機(jī)至少需要安裝多少條外線，才能以95%以上的概率保證每臺(tái)分機(jī)需要使用外線時(shí)不被占用？

解：把觀察每一臺(tái)分機(jī)是否使用外線作為一次試驗(yàn)，則各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，設(shè)X為1000臺(tái)分機(jī)中同時(shí)使用外線的分機(jī)數(shù)，則

X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50，根據(jù)題意，設(shè)N為滿足條件的最小正整數(shù)

由于φ（-7.255）≈0，故有

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即該單位總機(jī)至少需要62條外線，才能以95%以上的概率保證每臺(tái)分機(jī)在使用外線時(shí)不被占用。

小結(jié) 本章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且會(huì)用切比雪夫不等式估計(jì)事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道貝努利大數(shù)定律

其中n是試驗(yàn)次數(shù)，m是A發(fā)生次數(shù)，p是A的概率，它說(shuō)明試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)，頻率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大數(shù)定律

取值穩(wěn)定在期望附近。

它說(shuō)明在大量試驗(yàn)中，隨機(jī)變量

（四）知道獨(dú)立同分布中心極限定理

若

記Yn～Fn（x），則有

它說(shuō)明當(dāng)n很大時(shí)，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)N（nμ,nσ2）所以，無(wú)論n個(gè)獨(dú)立同分布的X1,X2,…Xn服從何種分布，n很大時(shí)，X1+X2+…Xn卻近似正態(tài)N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理

若Zn表示n次獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生次數(shù)，即

Zn～B（n,p）,則有

即Zn近似正態(tài)N（np,np（1-p）2）。并會(huì)用中心極限定理計(jì)算簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題。

第五篇：CH5 大數(shù)定律及中心極限定理--練習(xí)題

CH5 大數(shù)定律及中心極限定理

1.設(shè)Ф(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，Xi=?

100?1,事件A發(fā)生；?0,事件A不發(fā)生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100

相互獨(dú)立。令Y=?

i?1Xi，則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（）

y?80

4A.Ф(y)

2.從一大批發(fā)芽率為0.9的種子中隨機(jī)抽取100粒,則這100粒種子的發(fā)芽率不低于88%的概率約為.(已知φ(0.67)=0.7486)

3.設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…獨(dú)立同分布，且i=1，2…，0

nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)

Yn??

i?1??Xi,n?1，2，?.Φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則limP?n???????1??（）np(1?p)??Yn?np

A．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．1

4.設(shè)

5.設(shè)X服從(-1,1)上的均勻分布，試用切比雪夫不等式估計(jì)

6.設(shè)

7.報(bào)童沿街向行人兜售報(bào)紙，設(shè)每位行人買(mǎi)報(bào)紙的概率為0.2，且他們買(mǎi)報(bào)紙與否是相互獨(dú)立的。試求報(bào)童在想100為行人兜售之后，賣掉報(bào)紙15到30份的概率

8.一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由n個(gè)相互獨(dú)立的工作部件組成，每個(gè)部件的可靠性（即部件在一定時(shí)間內(nèi)無(wú)故障的概率）為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使得整個(gè)系統(tǒng)工作。問(wèn)n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性為0.95

9.某人有100個(gè)燈泡，每個(gè)燈泡的壽命為指數(shù)分布，其平均壽命為5小時(shí)。他每次用一個(gè)燈泡，燈泡滅了之后立即換上一個(gè)新的燈泡。求525小時(shí)之后他仍有燈泡可用的概率近似值相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從參數(shù)為10的指數(shù)分布，求 的下界 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，設(shè), 求