第一篇:2.4《弦切角的性質(zhì)》
弦切角的性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo):
1.理解弦切角的概念;
2.掌握弦切角定理及推論,并會(huì)運(yùn)用它們解決有關(guān)問(wèn)題; 3.理解化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法以及完全歸納的證明方法.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
弦切角定理及其應(yīng)用是重點(diǎn);
弦切角定理的證明是難點(diǎn).教學(xué)過(guò)程:
一、創(chuàng)設(shè)情境,以舊探新 1.提問(wèn):什么樣的角是圓周角? 2.圓周角∠CAB,讓射線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),產(chǎn)生無(wú)數(shù)個(gè)圓周角,當(dāng)AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至與圓相切時(shí),停止旋轉(zhuǎn),得∠BAE.(圖7-132)
思考:這時(shí)∠BAE還是圓周角嗎?為什么? 歸納總結(jié)出弦切角的特點(diǎn):
(1)頂點(diǎn)在圓周上;(2)一邊與圓相交;(3)一邊與圓相切.3.弦切角定義:
頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.4.判斷下列各圖形中的角是不是弦切角,并說(shuō)明理由:(圖7-133)
/ 5
由此發(fā)現(xiàn),弦切角可分為三類:
(1)圓心在角的外部;(2)圓心在角的一邊上;
(3)圓心在角的內(nèi)部.二、觀察聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)規(guī)律
1.當(dāng)弦切角一邊通過(guò)圓心時(shí),(如圖7-135)(1)弦切角∠CAB是多少度?為什么?(2)∠CAB所夾弧所對(duì)的圓周角∠D是多少度?為什么?(3)此時(shí),弦切角與它所夾弧所對(duì)的圓周角有什么關(guān)系? 觀察圖形,不難發(fā)現(xiàn),此時(shí)弦切角與其所夾弧所對(duì)的圓周角都是直角.2.以A為端點(diǎn).旋轉(zhuǎn)AC邊,使弦切角增大或減小,觀察它與所夾弧所對(duì)圓周角之間的關(guān)系,猜想:弦切角是否等于它所夾的弧對(duì)的圓周角.(圖7-134)
三、類比聯(lián)想,嘗試論證
1.回憶聯(lián)想:
(1)圓周角定理的證明采用了什么方法?(2)既然弦切角可由圓周角演變而來(lái),那么上述猜想是否可用類似的方法來(lái)證明呢? 2.前面證明了特殊情況,下面考慮圓心在弦切角的外部和內(nèi)部?jī)煞N情況.討論:怎樣將一般情況的證明轉(zhuǎn)化為特殊情況。如圖7-136(1),圓心O在∠CAB外,作⊙O的直徑AQ,連結(jié)PQ,則∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC.2 / 5
如圖7-136(2),圓心O在∠CAB內(nèi),作⊙O的直徑AQ,連結(jié)PQ,則∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.你能寫(xiě)出完整的證明過(guò)程嗎?
弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角.3.看書(shū)并思考:課本上關(guān)于定理的證明與我們現(xiàn)在的證明方法有何異同?
四、鞏固知識(shí)、初步應(yīng)用
例1(課本p33)如圖7-139,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線CE和⊙O切于點(diǎn)C,AD⊥CE,垂足為D.求證:AC平分∠BAD.思路一:要證∠BAC=∠CAD,可證這兩角所在的直角三角形相似,于是連結(jié)BC,得Rt△ACB,只需證∠ACD=∠B.(圖7-139)證明:(學(xué)生自己完成證明)思路二:連結(jié)OC,由切線性質(zhì),可得OC∥AD,于是有∠1=∠3,又由于∠1=∠2,可證得結(jié)論.(圖7-140)
思路三:過(guò)C作CF⊥AB,交⊙O于F,連結(jié)AF.由垂徑定理可知∠1=∠3,又根據(jù)弦切角定理有∠2=∠1,于是∠2=∠3,進(jìn)而可證明結(jié)論成立.(圖7-141)[課堂練習(xí)]: 1.如圖7-142,AB為⊙O的直徑,直線EF切⊙O于C,若∠BAC=56°,則∠ECA=
度.(口答)2.AB切⊙O于A點(diǎn),圓周被AC所分成的優(yōu)弧與劣弧之比為3∶1,則夾劣弧的弦切角∠BAC=
.3 / 5
3.已知:經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)T的切線和弦AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C.求證:∠ATC=∠TBC.② CT2=CB?CA
五、歸納小結(jié)
① 在證明弦切角定理時(shí),我們是從特殊情況入手,通過(guò)猜想、分析、證明和歸納,從
而證明了弦切角定理.通過(guò)弦切角概念的引入和定理的證明過(guò)程,逐步學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)觀察問(wèn)題,進(jìn)而理解從一般到特殊,從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律.②學(xué)習(xí)了分類討論的思想和完全歸納的證明方法.在這里一定要注意為什么要對(duì)弦
切角進(jìn)行分類和如何進(jìn)行分類.③弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角.六.反饋練習(xí)
練習(xí)1 直線AB和圓相切于點(diǎn)P,PC,PD為弦,指出圖中所有的弦切角以及它們所夾的弧.(圖7-137)
/ 5
練習(xí)2 如圖7-138,DE切⊙O于A,AB,AC是⊙O的弦,若AB=AC,那么∠DAB和∠EAC是否相等?為什么? 分析,由于AB和AC分別是兩個(gè)弦切角∠DAB和∠EAC所夾的弧,而AB和AC.連結(jié)B,C,易證∠B=∠C.于是得到∠DAB=∠EAC.推論:若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個(gè)弦切角也相等.5 / 5
第二篇:弦切角的性質(zhì)學(xué)案
弦切角的性質(zhì)學(xué)案
班級(jí)姓名等級(jí)
學(xué)習(xí)目標(biāo):
1.理解弦切角的概念;
2.掌握弦切角定理及推論,并會(huì)運(yùn)用它們解決有關(guān)問(wèn)題;
3.理解化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法以及完全歸納的證明方法.學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)
弦切角定理及其應(yīng)用是重點(diǎn);弦切角定理的證明是難點(diǎn).學(xué)習(xí)過(guò)程:
一、創(chuàng)設(shè)情境,以舊探新
1.提問(wèn):什么樣的角是圓周角?
2.圓周角∠CAB,讓射線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),產(chǎn)生無(wú)數(shù)個(gè)圓周角,當(dāng)AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至與圓相切時(shí),停止旋轉(zhuǎn),得∠BAE.(圖7-132)
思考:這時(shí)∠BAE還是圓周角嗎?為什么?
歸納總結(jié)出弦切角的特點(diǎn):(1);(2);(3).3.弦切角定義:
頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.4.判斷下列各圖形中的角是不是弦切角,并說(shuō)明理由:(圖7-133)
由此發(fā)現(xiàn),弦切角可分為三類:
(1)圓心在角的外部;(2)圓心在角的一邊上;
(3)圓心在角的內(nèi)部.二、觀察聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)規(guī)律
1.當(dāng)弦切角一邊通過(guò)圓心時(shí),(如圖7-135)。
(1)弦切角∠CAB是多少度?為什么?
(2)∠CAB所夾弧所對(duì)的圓周角是多少度?為什么?
(3)此時(shí),弦切角與它所夾弧所對(duì)的圓周角有什么關(guān)系?
觀察圖形,不難發(fā)現(xiàn),此時(shí)弦切角與其所夾弧所對(duì)的圓周角都是直角.2.以A為端點(diǎn).旋轉(zhuǎn)AC邊,使弦切角增大或減小,觀察它與所夾弧所對(duì)圓周角之間的關(guān)
系,猜想:弦切角是否等于它所夾的弧對(duì)的圓周角.(圖7-134)
讓學(xué)生完成弦切角為直角的證明過(guò)程
三、類比聯(lián)想,嘗試論證
1.回憶聯(lián)想:
(1)圓周角定理的證明采用了什么方法?
(2)既然弦切角可由圓周角演變而來(lái),那么上述猜想是否可用類似的方法來(lái)證明呢?
2.前面證明了特殊情況,下面考慮圓心在弦切角的外部和內(nèi)部?jī)煞N情況.討論:
怎樣將一般情況的證明轉(zhuǎn)化為特殊情況。如圖7-136(1),圓
心O在∠CAB外,作⊙O的直徑AQ,連結(jié)PQ,則∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC.證明:
如圖7-136(2),圓心O在∠CAB內(nèi),作⊙O的直徑AQ,連結(jié)PQ,則∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.證明:
弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角.3.看書(shū)并思考:課本上關(guān)于定理的證明與我們現(xiàn)在的證明方
法有何異同?
四、鞏固知識(shí)、初步應(yīng)用
例1(課本p33)如圖7-139,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線CE和⊙O切于點(diǎn)C,AD⊥CE,垂足為D.求證:AC平分∠BAD.思路一:要證∠BAC=∠CAD,可證這兩角所在的直角三角形相
似,于是連結(jié)BC,得Rt△ACB,只需證∠ACD=∠B.(圖7-139)
證明:(學(xué)生自己完成證明)
思路二:連結(jié)OC,由切線性質(zhì),可得OC∥AD,于是有∠1=∠3,又由于∠1=∠2,可證
得結(jié)論.(圖
7-140)
思路三:過(guò)C作CF⊥AB,交⊙O于F,連結(jié)AF.由垂徑定理可知∠1=∠3,又根據(jù)弦切角定
理有∠2=∠1,于是∠2=∠3,進(jìn)而可證明結(jié)論成立.(圖7-141)
[課堂練習(xí)]:
1.如圖7-142,AB為⊙O的直徑,直線EF切⊙O于C,若∠BAC=56°,則∠ECA=度.(口答)
2.AB切⊙O于A點(diǎn),圓周被AC所分成的優(yōu)弧與劣弧之比為3∶1,則夾劣弧的弦切角
∠BAC=.3.已知:經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)T的切線和弦AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C.求證:∠ATC=∠TBC.② CT=CB?CA
五、歸納小結(jié)
① 在證明弦切角定理時(shí),我們是從特殊情況入手,通過(guò)猜想、分析、證明和歸納,從
而證明了弦切角定理.通過(guò)弦切角概念的引入和定理的證明過(guò)程,逐步學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)觀察問(wèn)題,進(jìn)而理解從一般到特殊,從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律.②學(xué)習(xí)了分類討論的思想和完全歸納的證明方法.在這里一定要注意為什么要對(duì)弦
切角進(jìn)行分類和如何進(jìn)行分類.③弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角.六:課后小結(jié)與反思:
預(yù)習(xí)提示:相交弦定理
割線定理
切割線定理及切線長(zhǎng)定理
第三篇:2.4 弦切角的性質(zhì)
2.4、弦切角的性質(zhì)
教學(xué)目標(biāo):
1、使學(xué)生知道弦切角的定義,會(huì)在圖形中識(shí)別弦切角;
2、會(huì)敘述弦切角定理及其推論;
3、能運(yùn)用弦切角定理及其推論證明有關(guān)幾何問(wèn)題;
4、培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想方法和辯證唯物主義的觀點(diǎn)。教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn):
教學(xué)重點(diǎn):探索弦切角定理的證明方法;運(yùn)用弦切角定理證明有關(guān)的幾何問(wèn)題。
教學(xué)難點(diǎn):用分類的思想方法證明弦切角定理。
教學(xué)方法
探究、討論、講授
教學(xué)準(zhǔn)備
課件多媒體
教學(xué)過(guò)程:
一、創(chuàng)設(shè)情境,以舊探新
1、復(fù)習(xí):什么樣的角是圓周角?
2、弦切角的概念:
圓周角∠CAB,讓射線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),產(chǎn)生無(wú)數(shù)個(gè)圓周角,當(dāng)AC繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)至與圓相切時(shí),得∠BAE.提問(wèn):∠EAC有何特點(diǎn)?
C
B
A(B)
IE
I
弦切角的定義:頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)弦切角的三個(gè)要點(diǎn),使學(xué)生在形象、直觀的學(xué)習(xí)活動(dòng)中掌握新的概念。
練習(xí)1右面各圖中,哪一個(gè)角是弦切角?
練習(xí)2:圖3中有幾個(gè)弦切角?()
二、觀察、猜想 觀察圖形,提問(wèn):
(1)、圖7(1)中,∠A與∠P有何關(guān)系?為什么?(2)、圖7(2)中,∠EAC與∠P有何共同點(diǎn)?
B
圖
3分析比較:既然圖7(1)中∠A=∠P,那么圖7(2)中,∠EAC=∠P嗎?
B
E
A(B)
圖7
這一結(jié)論是否能成立呢?我們不妨從最特殊的情形考慮一下.圓心O在弦切角∠BAC的邊AC上,此時(shí)顯然有∠BAC=∠P=90°.由此我們完全有信心提出一個(gè)猜想:弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.三、類比聯(lián)想、論證
1、已經(jīng)證明了最特殊的情形,下面考慮圓心在角內(nèi)與角外兩種情形.2、圓心在角外,作⊙O的直徑AQ,連接PQ(如圖9),則∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC.3、圓心在角內(nèi),作⊙O的直徑AQ,連接PQ(如圖10),P
A
B
BB
圖9圖9
圖10
圖10
則∠BAC=∠BAQ+∠1=∠APQ+∠2=∠APC.4、回顧證明的方法:將情形(2)、(3)都?xì)w至情形(1),利用角的合成,對(duì)三種情形進(jìn)行完全歸納,從而證明了上述的猜想,我們把所證得的結(jié)果取名為
弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.【設(shè)計(jì)意圖】弦切角定理是這節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn),通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)習(xí)新的知識(shí)。利用問(wèn)題激發(fā)學(xué)生探索弦切角定理證明的其他情況。學(xué)生進(jìn)行思考和探索,鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。在總結(jié)弦切角定理量要注意對(duì)“所夾”與“所對(duì)”兩個(gè)關(guān)鍵詞的理解。
三、例題分析
例1.如圖已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線CE和⊙O切于點(diǎn)C,AD⊥CE,垂足為D.求證:AC平分∠BAD.證明:略
課堂練習(xí)課后小結(jié)
1、弦切角-------頂點(diǎn)在圓上,一邊與圓相交,另一邊與圓相切的角。
2、弦切角定理: 弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.作業(yè)布置
教科書(shū)習(xí)題2.4 第1、2題 課后反思
第四篇:弦切角學(xué)案
弦切角學(xué)習(xí)學(xué)案
教學(xué)目標(biāo):使學(xué)生了解弦切角的概念,掌握弦切角定理及其推理,進(jìn)一步使學(xué)生了解分情況證明數(shù)學(xué)命題的思想和方法
教學(xué)難點(diǎn)、重點(diǎn):弦切角定理的證明 教學(xué)過(guò)程:
一、復(fù)習(xí)引入
1、前面學(xué)習(xí)過(guò)有關(guān)于圓的角度有__________、_____________。
2、當(dāng)圓周角的一邊BC繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),使得BC為圓O 的切線,這個(gè)時(shí)候就形成了一個(gè)新的角,我們稱之為弦切角。
BB
C
OO CAA
二、新知學(xué)習(xí)
1、弦切角定義:頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角。
2、觀察下圖,你能發(fā)現(xiàn)弦切角和弦切角所夾的弧所對(duì)的圓周角的關(guān)系嗎?
C
O P ABE
猜想:______________________ 證明:
CPEOCOPABEAB
弦切角定理: 弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角
三、典型例題
例題1, 如圖,已知AB是圓O的直徑,AC是弦,直線CE和圓O切于點(diǎn)C,AD⊥CE,垂直為D,求證:AC平分∠BAD
B
O
A
CED
練習(xí)
1、如圖,AB是圓O的弦,CD是經(jīng)過(guò)圓O上一點(diǎn)M 的切線,求證:(!)AB∥CD時(shí),AM=MB(2)AM=MB時(shí),AB∥CD
練習(xí)
2、在△ABC中,∠A的平分線AD交BC于D,圓O過(guò)點(diǎn)A且和BC切于D,和AB、AC分別交于E、F,求證:EF∥BC
A
O
j EF
B C D
CMDAOB相交弦定理和切割線定理學(xué)案
教學(xué)目標(biāo):能結(jié)合具體圖形,準(zhǔn)確地表述相交弦定理、切割線定理及其推論。教學(xué)難點(diǎn)、重點(diǎn):相交弦定理和切割線定理的證明 教學(xué)過(guò)程:
1、相交弦定理: 圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。
數(shù)學(xué)表達(dá)式:___________________________
A證明:
D
O P B
C
練習(xí):
已知圓中兩條弦相交,第一條弦被交點(diǎn)分為12和16兩段,第二條弦的長(zhǎng)為32,求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩段的長(zhǎng)
2、切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這個(gè)點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。數(shù)學(xué)表達(dá)式: PT2=PA?PB
A證明:
B
O P
T3、切割線定理推論:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。
C數(shù)學(xué)表達(dá)式:PA?PB=PC?PD
D
P BA
練習(xí)
1、如圖:圓O的割線PAB交圓O于點(diǎn)A和B。PA=6,AB=8,PO=10.9,求圓O的半徑
BAPCO
2、如圖:兩個(gè)以O(shè)為圓心的同心圓,AB切大圓于BAC切小圓與C,交大圓于D、E,AB=12,AO=15,AD=8。求兩圓的半徑
B
O
A
D
C
E
思考題:如圖,點(diǎn)I是三角形ABC的內(nèi)心,AI交邊BC于點(diǎn)D,交三角形ABC外接圓于點(diǎn)E,求證:IE2=AE*DE
A
IBEDC
第五篇:怎樣證明弦切角
怎樣證明弦切角
設(shè)圓心為O,連接OC,OB,OA。過(guò)點(diǎn)A作Tp的平行線交BC于D,則∠TCB=∠CDA
∵∠TCB=90-∠OCD
∵∠BOC=180-2∠OCD
∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半)
∵∠BOC=2∠CAB
∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)
2接OBOC過(guò)O做OE⊥BC
所以∠A=1/
2又因?yàn)椤螼CT=90°
∠OEC=90°
所以∠EOC=∠TCB
所以∠TCB=∠A
3溫馨提示
設(shè)切點(diǎn)為A切線AB弦AC圓心為O過(guò)A作直徑AD連OC
角CAB等于90度減角DAC
因?yàn)镺A等于OC所以角AOC等于180度減去二倍的角DAC
即可證明角AOC等于二倍的角CAB
參考資料:弦切角是這弦所對(duì)的圓心角的一半
4線段AD與線段EF互相垂直平分。
證明:設(shè)AD交EF于點(diǎn)G.因?yàn)锳p為切線,所以弦切角等于所對(duì)的圓周角,即∠pAC=∠B,又因?yàn)锳D平分∠BAC,所以∠DAC=∠BAD,從而∠pAC+∠DAC=∠B+∠BAD,而∠pAC+∠DAC=∠pAD,∠B+∠BAD=∠pDA,所以
∠pAD=∠pDA,則△pAD為等腰三角形,因pM平分∠ApD,所以pM垂直平分AD,則EF垂直平分AD,從而AD垂直EF,則∠AGE=∠AGF=90°,再由∠GAF=∠GAE,得到
△EAG≌△FAG,從而EG=FG,從而AD也垂直平分EF。
5(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上
∵AC為直徑,AB切⊙O于A,∴弧CmA=弧CA
∵為半圓,∴∠CAB=90=弦CA所對(duì)的圓周角(2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.過(guò)A作直徑AD交⊙O于D,若在優(yōu)弧m所對(duì)的劣弧上有一點(diǎn)E
那么,連接EC、ED、EA
則有:∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴∠CEA=∠CAB
∴(弦切角定理)
(3)圓心O在∠BAC的外部,過(guò)A作直徑AD交⊙O于D
那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
∴(弦切角定理)
編輯本段弦切角推論
推論內(nèi)容
若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個(gè)弦切角也相等
應(yīng)用舉例
例1:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,以AB為弦的⊙O與AC相切于點(diǎn)A,∠CBA=60°,AB=a求BC長(zhǎng).解:連結(jié)OA,OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=1/2a(RT△中30°角所對(duì)邊等于斜邊的一半)
例2:如圖,AD是ΔABC中∠BAC的平分線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D,與AB,AC分別相交于E,F(xiàn).求證:EF∥BC.證明:連DF.AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC