第一篇：2.4《弦切角的性質(zhì)》

弦切角的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo):

1.理解弦切角的概念；

2.掌握弦切角定理及推論，并會運(yùn)用它們解決有關(guān)問題； 3.理解化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法以及完全歸納的證明方法.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

弦切角定理及其應(yīng)用是重點(diǎn)；

弦切角定理的證明是難點(diǎn).教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，以舊探新 1.提問：什么樣的角是圓周角? 2.圓周角∠CAB，讓射線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生無數(shù)個圓周角，當(dāng)AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至與圓相切時，停止旋轉(zhuǎn)，得∠BAE.(圖7-132)

思考：這時∠BAE還是圓周角嗎?為什么? 歸納總結(jié)出弦切角的特點(diǎn)：

(1)頂點(diǎn)在圓周上；(2)一邊與圓相交；(3)一邊與圓相切.3.弦切角定義：

頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.4.判斷下列各圖形中的角是不是弦切角，并說明理由：(圖7-133)

/ 5

由此發(fā)現(xiàn)，弦切角可分為三類：

(1)圓心在角的外部；(2)圓心在角的一邊上；

(3)圓心在角的內(nèi)部.二、觀察聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.當(dāng)弦切角一邊通過圓心時，(如圖7-135)(1)弦切角∠CAB是多少度?為什么?(2)∠CAB所夾弧所對的圓周角∠D是多少度?為什么?(3)此時，弦切角與它所夾弧所對的圓周角有什么關(guān)系? 觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)，此時弦切角與其所夾弧所對的圓周角都是直角.2.以A為端點(diǎn).旋轉(zhuǎn)AC邊，使弦切角增大或減小，觀察它與所夾弧所對圓周角之間的關(guān)系，猜想：弦切角是否等于它所夾的弧對的圓周角.(圖7-134)

三、類比聯(lián)想，嘗試論證

1.回憶聯(lián)想：

(1)圓周角定理的證明采用了什么方法?(2)既然弦切角可由圓周角演變而來，那么上述猜想是否可用類似的方法來證明呢? 2.前面證明了特殊情況，下面考慮圓心在弦切角的外部和內(nèi)部兩種情況.討論：怎樣將一般情況的證明轉(zhuǎn)化為特殊情況。如圖7-136(1)，圓心O在∠CAB外，作⊙O的直徑AQ，連結(jié)PQ，則∠BAC＝∠BAQ-∠1＝∠APQ-∠2＝∠APC.2 / 5

如圖7-136(2)，圓心O在∠CAB內(nèi)，作⊙O的直徑AQ，連結(jié)PQ，則∠BAC＝∠QAB+∠1＝∠QPA+∠2＝∠APC.你能寫出完整的證明過程嗎？

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.3.看書并思考：課本上關(guān)于定理的證明與我們現(xiàn)在的證明方法有何異同?

四、鞏固知識、初步應(yīng)用

例1（課本p33）如圖7-139，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線CE和⊙O切于點(diǎn)C，AD⊥CE，垂足為D.求證：AC平分∠BAD.思路一：要證∠BAC＝∠CAD，可證這兩角所在的直角三角形相似，于是連結(jié)BC，得Rt△ACB，只需證∠ACD＝∠B.(圖7-139)證明：(學(xué)生自己完成證明)思路二:連結(jié)OC，由切線性質(zhì)，可得OC∥AD，于是有∠1＝∠3，又由于∠1＝∠2，可證得結(jié)論.(圖7-140)

思路三:過C作CF⊥AB，交⊙O于F，連結(jié)AF.由垂徑定理可知∠1＝∠3，又根據(jù)弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2＝∠3，進(jìn)而可證明結(jié)論成立.(圖7-141)[課堂練習(xí)]: 1.如圖7-142，AB為⊙O的直徑，直線EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，則∠ECA＝

度.(口答)2.AB切⊙O于A點(diǎn)，圓周被AC所分成的優(yōu)弧與劣弧之比為3∶1，則夾劣弧的弦切角∠BAC＝

.3 / 5

3.已知：經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)T的切線和弦AB的延長線相交于點(diǎn)C.求證：∠ATC＝∠TBC.② CT2＝CB?CA

五、歸納小結(jié)

① 在證明弦切角定理時，我們是從特殊情況入手，通過猜想、分析、證明和歸納，從

而證明了弦切角定理.通過弦切角概念的引入和定理的證明過程，逐步學(xué)會用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)觀察問題，進(jìn)而理解從一般到特殊，從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律.②學(xué)習(xí)了分類討論的思想和完全歸納的證明方法.在這里一定要注意為什么要對弦

切角進(jìn)行分類和如何進(jìn)行分類.③弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.六．反饋練習(xí)

練習(xí)1 直線AB和圓相切于點(diǎn)P，PC，PD為弦，指出圖中所有的弦切角以及它們所夾的弧.(圖7-137)

/ 5

練習(xí)2 如圖7-138，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若AB＝AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等?為什么? 分析，由于AB和AC分別是兩個弦切角∠DAB和∠EAC所夾的弧，而AB和AC.連結(jié)B，C，易證∠B＝∠C.于是得到∠DAB＝∠EAC.推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等.5 / 5

第二篇：弦切角的性質(zhì)學(xué)案

弦切角的性質(zhì)學(xué)案

班級姓名等級

學(xué)習(xí)目標(biāo):

1.理解弦切角的概念；

2.掌握弦切角定理及推論，并會運(yùn)用它們解決有關(guān)問題；

3.理解化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法以及完全歸納的證明方法.學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)

弦切角定理及其應(yīng)用是重點(diǎn)；弦切角定理的證明是難點(diǎn).學(xué)習(xí)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，以舊探新

1.提問：什么樣的角是圓周角?

2.圓周角∠CAB，讓射線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生無數(shù)個圓周角，當(dāng)AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至與圓相切時，停止旋轉(zhuǎn)，得∠BAE.(圖7-132)

思考：這時∠BAE還是圓周角嗎?為什么?

歸納總結(jié)出弦切角的特點(diǎn)：(1)；(2)；(3).3.弦切角定義：

頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.4.判斷下列各圖形中的角是不是弦切角，并說明理由：(圖7-133)

由此發(fā)現(xiàn)，弦切角可分為三類：

(1)圓心在角的外部；(2)圓心在角的一邊上；

(3)圓心在角的內(nèi)部.二、觀察聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.當(dāng)弦切角一邊通過圓心時，(如圖7-135)。

(1)弦切角∠CAB是多少度?為什么?

(2)∠CAB所夾弧所對的圓周角是多少度?為什么?

(3)此時，弦切角與它所夾弧所對的圓周角有什么關(guān)系?

觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)，此時弦切角與其所夾弧所對的圓周角都是直角.2.以A為端點(diǎn).旋轉(zhuǎn)AC邊，使弦切角增大或減小，觀察它與所夾弧所對圓周角之間的關(guān)

系，猜想：弦切角是否等于它所夾的弧對的圓周角.(圖7-134)

讓學(xué)生完成弦切角為直角的證明過程

三、類比聯(lián)想，嘗試論證

1.回憶聯(lián)想：

(1)圓周角定理的證明采用了什么方法?

(2)既然弦切角可由圓周角演變而來，那么上述猜想是否可用類似的方法來證明呢?

2.前面證明了特殊情況，下面考慮圓心在弦切角的外部和內(nèi)部兩種情況.討論：

怎樣將一般情況的證明轉(zhuǎn)化為特殊情況。如圖7-136(1)，圓

心O在∠CAB外，作⊙O的直徑AQ，連結(jié)PQ，則∠BAC＝∠BAQ-∠1＝∠APQ-∠2＝∠APC.證明：

如圖7-136(2)，圓心O在∠CAB內(nèi)，作⊙O的直徑AQ，連結(jié)PQ，則∠BAC＝∠QAB+∠1＝∠QPA+∠2＝∠APC.證明：

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.3.看書并思考：課本上關(guān)于定理的證明與我們現(xiàn)在的證明方

法有何異同?

四、鞏固知識、初步應(yīng)用

例1（課本p33）如圖7-139，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線CE和⊙O切于點(diǎn)C，AD⊥CE，垂足為D.求證：AC平分∠BAD.思路一：要證∠BAC＝∠CAD，可證這兩角所在的直角三角形相

似，于是連結(jié)BC，得Rt△ACB，只需證∠ACD＝∠B.(圖7-139)

證明：(學(xué)生自己完成證明)

思路二:連結(jié)OC，由切線性質(zhì)，可得OC∥AD，于是有∠1＝∠3，又由于∠1＝∠2，可證

得結(jié)論.(圖

7-140)

思路三:過C作CF⊥AB，交⊙O于F，連結(jié)AF.由垂徑定理可知∠1＝∠3，又根據(jù)弦切角定

理有∠2＝∠1，于是∠2＝∠3，進(jìn)而可證明結(jié)論成立.(圖7-141)

[課堂練習(xí)]:

1.如圖7-142，AB為⊙O的直徑，直線EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，則∠ECA＝度.(口答)

2.AB切⊙O于A點(diǎn)，圓周被AC所分成的優(yōu)弧與劣弧之比為3∶1，則夾劣弧的弦切角

∠BAC＝.3.已知：經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)T的切線和弦AB的延長線相交于點(diǎn)C.求證：∠ATC＝∠TBC.② CT＝CB?CA

五、歸納小結(jié)

① 在證明弦切角定理時，我們是從特殊情況入手，通過猜想、分析、證明和歸納，從

而證明了弦切角定理.通過弦切角概念的引入和定理的證明過程，逐步學(xué)會用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)觀察問題，進(jìn)而理解從一般到特殊，從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律.②學(xué)習(xí)了分類討論的思想和完全歸納的證明方法.在這里一定要注意為什么要對弦

切角進(jìn)行分類和如何進(jìn)行分類.③弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.六：課后小結(jié)與反思：

預(yù)習(xí)提示：相交弦定理

割線定理

切割線定理及切線長定理

第三篇：2.4 弦切角的性質(zhì)

2.4、弦切角的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：

1、使學(xué)生知道弦切角的定義，會在圖形中識別弦切角；

2、會敘述弦切角定理及其推論；

3、能運(yùn)用弦切角定理及其推論證明有關(guān)幾何問題；

4、培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想方法和辯證唯物主義的觀點(diǎn)。教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：探索弦切角定理的證明方法；運(yùn)用弦切角定理證明有關(guān)的幾何問題。

教學(xué)難點(diǎn)：用分類的思想方法證明弦切角定理。

教學(xué)方法

探究、討論、講授

教學(xué)準(zhǔn)備

課件多媒體

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，以舊探新

1、復(fù)習(xí)：什么樣的角是圓周角?

2、弦切角的概念：

圓周角∠CAB，讓射線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生無數(shù)個圓周角，當(dāng)AC繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)至與圓相切時，得∠BAE．提問：∠EAC有何特點(diǎn)？

C

B

A(B)

IE

I

弦切角的定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)弦切角的三個要點(diǎn)，使學(xué)生在形象、直觀的學(xué)習(xí)活動中掌握新的概念。

練習(xí)1右面各圖中，哪一個角是弦切角？

練習(xí)2：圖3中有幾個弦切角？（）

二、觀察、猜想 觀察圖形，提問:

(1)、圖7(1)中，∠A與∠P有何關(guān)系？為什么？(2)、圖7(2)中，∠EAC與∠P有何共同點(diǎn)？

B

圖

3分析比較：既然圖7(1)中∠A＝∠P，那么圖7(2)中，∠EAC=∠P嗎？

B

E

A(B)

圖7

這一結(jié)論是否能成立呢？我們不妨從最特殊的情形考慮一下.圓心O在弦切角∠BAC的邊AC上，此時顯然有∠BAC=∠P=90°.由此我們完全有信心提出一個猜想：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.三、類比聯(lián)想、論證

1、已經(jīng)證明了最特殊的情形，下面考慮圓心在角內(nèi)與角外兩種情形.2、圓心在角外，作⊙O的直徑AQ，連接PQ（如圖9），則∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC.3、圓心在角內(nèi)，作⊙O的直徑AQ，連接PQ（如圖10），P

A

B

BB

圖9圖9

圖10

圖10

則∠BAC=∠BAQ+∠1=∠APQ+∠2=∠APC.4、回顧證明的方法：將情形（2）、（3）都?xì)w至情形（1），利用角的合成，對三種情形進(jìn)行完全歸納，從而證明了上述的猜想，我們把所證得的結(jié)果取名為

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.【設(shè)計意圖】弦切角定理是這節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)習(xí)新的知識。利用問題激發(fā)學(xué)生探索弦切角定理證明的其他情況。學(xué)生進(jìn)行思考和探索，鍛煉學(xué)生的動手能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。在總結(jié)弦切角定理量要注意對“所夾”與“所對”兩個關(guān)鍵詞的理解。

三、例題分析

例1.如圖已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線CE和⊙O切于點(diǎn)C,AD⊥CE,垂足為D.求證:AC平分∠BAD.證明：略

課堂練習(xí)課后小結(jié)

1、弦切角-------頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角。

2、弦切角定理: 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.作業(yè)布置

教科書習(xí)題2.4 第1、2題 課后反思

第四篇：弦切角學(xué)案

弦切角學(xué)習(xí)學(xué)案

教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生了解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推理，進(jìn)一步使學(xué)生了解分情況證明數(shù)學(xué)命題的思想和方法

教學(xué)難點(diǎn)、重點(diǎn)：弦切角定理的證明 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

1、前面學(xué)習(xí)過有關(guān)于圓的角度有__________、_____________。

2、當(dāng)圓周角的一邊BC繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使得BC為圓O 的切線，這個時候就形成了一個新的角，我們稱之為弦切角。

BB

C

OO CAA

二、新知學(xué)習(xí)

1、弦切角定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

2、觀察下圖，你能發(fā)現(xiàn)弦切角和弦切角所夾的弧所對的圓周角的關(guān)系嗎？

C

O P ABE

猜想：______________________ 證明：

CPEOCOPABEAB

弦切角定理： 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角

三、典型例題

例題1, 如圖，已知AB是圓O的直徑，AC是弦，直線CE和圓O切于點(diǎn)C，AD⊥CE，垂直為D，求證：AC平分∠BAD

B

O

A

CED

練習(xí)

1、如圖，AB是圓O的弦，CD是經(jīng)過圓O上一點(diǎn)M 的切線，求證：（?。〢B∥CD時，AM=MB（2）AM=MB時，AB∥CD

練習(xí)

2、在△ABC中，∠A的平分線AD交BC于D，圓O過點(diǎn)A且和BC切于D，和AB、AC分別交于E、F，求證：EF∥BC

A

O

j EF

B C D

CMDAOB相交弦定理和切割線定理學(xué)案

教學(xué)目標(biāo)：能結(jié)合具體圖形，準(zhǔn)確地表述相交弦定理、切割線定理及其推論。教學(xué)難點(diǎn)、重點(diǎn)：相交弦定理和切割線定理的證明 教學(xué)過程：

1、相交弦定理： 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。

數(shù)學(xué)表達(dá)式：___________________________

A證明：

D

O P B

C

練習(xí)：

已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點(diǎn)分為12和16兩段，第二條弦的長為32，求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩段的長

2、切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這個點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項。數(shù)學(xué)表達(dá)式： PT2=PA?PB

A證明：

B

O P

T3、切割線定理推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。

C數(shù)學(xué)表達(dá)式：PA?PB=PC?PD

D

P BA

練習(xí)

1、如圖：圓O的割線PAB交圓O于點(diǎn)A和B。PA=6，AB=8，PO=10.9，求圓O的半徑

BAPCO

2、如圖：兩個以O(shè)為圓心的同心圓，AB切大圓于BAC切小圓與C，交大圓于D、E，AB=12，AO=15，AD=8。求兩圓的半徑

B

O

A

D

C

E

思考題：如圖，點(diǎn)I是三角形ABC的內(nèi)心，AI交邊BC于點(diǎn)D，交三角形ABC外接圓于點(diǎn)E，求證：IE2=AE*DE

A

IBEDC

第五篇：怎樣證明弦切角

怎樣證明弦切角

設(shè)圓心為O，連接OC，OB，OA。過點(diǎn)A作Tp的平行線交BC于D，則∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半)

∵∠BOC=2∠CAB

∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)

2接OBOC過O做OE⊥BC

所以∠A=1/

2又因為∠OCT=90°

∠OEC=90°

所以∠EOC=∠TCB

所以∠TCB=∠A

3溫馨提示

設(shè)切點(diǎn)為A切線AB弦AC圓心為O過A作直徑AD連OC

角CAB等于90度減角DAC

因為OA等于OC所以角AOC等于180度減去二倍的角DAC

即可證明角AOC等于二倍的角CAB

參考資料：弦切角是這弦所對的圓心角的一半

4線段AD與線段EF互相垂直平分。

證明:設(shè)AD交EF于點(diǎn)G.因為Ap為切線，所以弦切角等于所對的圓周角，即∠pAC=∠B，又因為AD平分∠BAC，所以∠DAC=∠BAD，從而∠pAC+∠DAC=∠B+∠BAD,而∠pAC+∠DAC=∠pAD，∠B+∠BAD=∠pDA，所以

∠pAD=∠pDA，則△pAD為等腰三角形，因pM平分∠ApD，所以pM垂直平分AD，則EF垂直平分AD，從而AD垂直EF，則∠AGE=∠AGF=90°，再由∠GAF=∠GAE，得到

△EAG≌△FAG，從而EG=FG，從而AD也垂直平分EF。

5(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角(2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.過A作直徑AD交⊙O于D,若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點(diǎn)E

那么，連接EC、ED、EA

則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內(nèi)容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等

應(yīng)用舉例

例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，∠CBA=60°,AB=a求BC長.解：連結(jié)OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)

例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).求證：EF∥BC.證明：連DF.AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC