第一篇：北師大版初二上-證明(一)講義

第七章：證明

（一）◆7.1為什么要證明

1．推理證明的必要性

給出兩條線段a，b，判斷它們是否相等，我們就需要去測量，因為有誤差，所以測量的結果可能相等，也可能不相等，這說明測量所得出的結論也不一定正確．

實驗、觀察、操作是人們認識事物的重要手段，但僅憑實驗、觀察、操作得到的結論有時是不全面的，甚至是錯誤的，所以正確地認識事物，不能單憑直覺，必須一步一步、有根有據(jù)地進行推理．

談重點

證明的必要性

(1)直覺有時會產(chǎn)生錯誤，不是永遠可信的；(2)圖形的性質并不都是通過測量得出的；

(3)對少數(shù)具體例子的觀察、測量或計算得出的結論，并不能保證一般情況下都成立；(4)只有通過推理的方法研究問題，才能揭示問題的本質． 【例1】 觀察下圖，左圖中間的圓圈大還是右圖中間的圓圈大？

2．檢驗數(shù)學結論常用的方法

(1)檢驗數(shù)學結論常用的方法

主要有：實驗驗證、舉出反例、推理證明．實驗驗證是最基本的方法，它直接反映由具體到抽象、由特殊到一般的邏輯思維方法；舉出反例常用于說明該數(shù)學結論不一定成立；推理證明是最可靠、最科學的方法，是我們要掌握的重點．實際上每一個正確的結論都需要我們進行嚴格的推理證明才能得出．

檢驗數(shù)學結論的具體過程：觀察、度量、實驗→猜想歸納→結論→推理正確結論．

(2)應用

檢驗數(shù)學結論常用的三種方法的應用：

實驗驗證法常用于檢驗一些比較直觀、簡單的結論；舉出反例法多用于驗證某結論是不正確的；推理證明主要用來進行嚴格的推理論證，既可以驗證某結論是正確的，也可以驗證某結論是不正確的．

【例2－1】 我們知道：2×2＝4,2＋2＝4.試問：對于任意數(shù)a與b，是否一定有結論a×b＝a＋b?

【例2－2】 如圖，在ABCD中，DF⊥AC于點F，BE⊥AC于點E，試問DF與BE的位置關系和數(shù)量關系如何？你能肯定嗎？請說明理由．

3．推理的應用

推理的應用在數(shù)學中很多，下面給出兩種較常見的應用：(1)規(guī)律探究

給出形式上相同的一些代數(shù)式或幾何圖形，觀察、猜想其中蘊含的規(guī)律，并驗證或推理說明．這是規(guī)律歸納類題目的特點．

解題思路：

解決此類題目時，要用從特殊到一般的思想找到思路，而且必須善于猜想．代數(shù)規(guī)律題一般用式子表示其規(guī)律，對于幾何規(guī)律題有時用式子表示，有時寫出文字結論．

(2)推理在日常生活中的應用

生活中我們經(jīng)常需要對有關結論的真?zhèn)巫鞒雠袛?，如購買貨物、稱重是否準確、獲得的某種信息是否可靠等．我們可以根據(jù)自己的知識儲備或借助外力，進行適當?shù)耐评?，辨別真

偽，從而作出判斷．

【例3－1】 下列圖案均由邊長為單位長度的小正方形按一定的規(guī)律拼接而成．依此規(guī)律，第5個圖案中小正方形的個數(shù)為__________．

【例3－2】 有紅、黃、藍三個箱子，一個蘋果放入其中某個箱子內(nèi)，并且：①紅箱子蓋上寫著：“蘋果在這個箱子里．”②黃箱子蓋上寫著：“蘋果不在這個箱子里．”③藍箱子蓋上寫著：“蘋果不在紅箱子里．”已知①②③中只有一句是真的，那么蘋果在哪個箱子里？

……………………………………………………………………………… ◆7.2定義與命題

1．定義

對某些名稱或術語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，就是對名稱和術語下定義．

談重點

下定義的注意事項 ①在定義中，必須揭示出事物與其他事物的本質屬性的區(qū)別．②定義的雙重性：定義本身既可以當性質用，又可以當判定用．③語句必須通順、嚴格、準確，一般不能用“大約”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的詞語．要有利于人們對被定義的事物或名詞與其他事物或名詞區(qū)別．

【例1】 下列語句，屬于定義的是（）．

A．兩點之間線段最短

B．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線 C．三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半 D．三人行則必有我?guī)熝?/p>

2．命題

(1)定義：判斷一件事情的句子，叫做命題．(2)命題的組成結構： ①每個命題都是由條件和結論兩部分組成．條件是已知事項，結論是由已知事項推斷出的事項．命題一般寫成“如果……那么……”的形式．“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結論．

②有些命題沒有寫成“如果……那么……”的形式，條件和結論不明顯．對于這樣的命題，要經(jīng)過分析才能找到條件和結論，也可以將它們改寫成“如果……那么……”的形式．命題的條件部分，有時也可用“已知……”或“若……”等形式表述．命題的結論部分，有時也可用“求證……”或“則……”等形式表述．

談重點

改寫命題

命題的改寫不能是簡單地加上“如果”“那么”，而應當使改寫的命題和原來的命題內(nèi)容不變，且語句通順完整，命題的條件、結論要清楚可見．有些命題條件和結論不一定只有一個，要注意區(qū)分．

【例2】 指出下列命題的條件和結論：①平行于同一直線的兩條直線互相平行；②若ab＝1，則a與b互為倒數(shù)；③同角的余角相等；④矩形的四個角都是直角．

分析：命題的條件是已知事項，結論是由已知事項推斷出的事項．命題一般寫成“如果……，那么……”的形式．“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結論．

解：①條件：兩條直線都和第三條直線平行，結論：這兩條直線互相平行．

②條件：ab＝1，結論：a與b互為倒數(shù)．

③條件：兩個角是同一個角的余角，結論：這兩個角相等．

④條件：一個四邊形是矩形，結論：這個四邊形的四個角都是直角． 點技巧

分清條件和結論

“若……則……”形式的命題中“若”后面是條件，“則”后面是結論．

3．公理、定理、證明

(1)公理

公認的真命題稱為公理． ①公理是不需推理論證的真命題． ②公理可以作為推理論證定理及其他命題真假的依據(jù)． 常用的幾個公理： ①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行． ②兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等． ③兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等． ④兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等． ⑤三邊對應相等的兩個三角形全等． ⑥全等三角形的對應邊相等、對應角相等．

其他公理：等式和不等式的有關性質，等量代換都可以看作公理．(2)定理

有些命題的正確性是通過推理的方法證實的，這樣的真命題叫做定理． ①定理是經(jīng)過推理論證的真命題，但真命題不一定都是定理． ②定理可以作為推理論證其他命題的依據(jù)．(3)證明

推理的過程叫證明．推理必須做到步步有據(jù)，條條有理． 【例3】 下列說法正確的是（）．

A．真命題都可以作為定理

B．公理不需要證明

C．定理不一定都要證明

D．證明只能根據(jù)定義、公理進行

4．命題及真假命題的判斷

(1)命題的判斷

判斷一個句子是否為命題，要根據(jù)命題的定義． ①命題的特征：一是必須為一個完整的句子；二是必須對某件事情做出肯定或否定的判斷，即具有明確的判斷性．如果一個句子對某一件事情沒有作出任何判斷，那么它就不是命題．

②命題并不是數(shù)學所獨有，凡是判斷某一件事情的正確或錯誤的語句都是命題． ③命題是陳述語句，其他形式的句子，如：疑問句、感嘆句、祈使句等都不是命題．如：“你愛好什么運動？”沒有作出判斷，這不是命題．

注意：錯誤的判斷也是命題，不能以正確與否來判斷是否為命題．(2)真假命題的判斷

命題是一個判斷，這個判斷可能正確，也可能錯誤．因此可以將命題分為真命題和假命題．

①正確的命題稱為真命題． ②不正確的命題稱為假命題． ③真命題、假命題的判斷與比較：

要說明一個命題是假命題，通?？梢耘e出一個例子，使之具有命題的條件，而不具有命題的結論，這種例子稱為反例；要說明一個命題是真命題需根據(jù)公理和定理證明．

談重點

判斷真假命題的方法 ①如果題設成立，結論也一定成立，那么這樣的命題為真命題；②如果題設成立，但結論不成立，這樣的命題為假命題．

【例4－1】 下列句子中是命題的有__________(填序號)．①直角三角形中的兩個銳角互余．②正數(shù)都小于0.③如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1與∠2互補．④太陽不是行星．⑤對頂角相等嗎？⑥作一個角等于已知角．

【例4－2】 下列命題中，真命題是（）．

A．若a·b＞0，則a＞0，b＞0

B．若a·b＜0，則a＜0，b＜0 C．若a·b＝0，則a＝0，且b＝0 D．若a·b＝0，則a＝0，或b＝0

【例4－3】 已知下列命題：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②等腰梯形的對角線相等；③對角線互相垂直的四邊形是菱形；④內(nèi)錯角相等．其中假命題有__________(填序號)．

5．命題的組合

命題是由條件和結論組成的，當條件成立，結論也成立時，該命題即為真命題．命題的組成就是通過選擇一定的條件，使結論成立，即組成真命題．

組合新的命題是考察命題的概念及有關知識的重要題型．該題型常見于對幾何的考查，一般是給出幾個單獨的論斷，根據(jù)有關知識內(nèi)容結合圖形重新組合寫出正確的命題．

命題的條件和結論往往不是固定的，要使所組合的命題是正確的，要求必須理解掌握有關的知識內(nèi)容．

點評：①命題組合時，條件可能不止一個，注意兩個條件的情況．②組合命題一般是幾何中的某一圖形的性質或者判定．

【例5－1】 如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個論斷：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE.請以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題__________．(用序號?????的形式寫出)

【例5－2】 對同一平面內(nèi)的三條直線a，b，c，給出下列五個論斷：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中兩個論斷為條件，另一個論斷為結論，組成一個你認為正確的命題：__________(用序號表示)．

……………………………………………………………………………… ◆7.3平行線的判定

1．平行線的判定公理

(1)平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單記為：同位角相等，兩直線平行．

如圖，推理符號表示為： ∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.談重點

同位角相等，兩直線平行 ①平行線的判定公理是證明兩直線平行的原始依據(jù)；②應用時，應先確定同位角及形成同位角的是哪兩條直線；③本判定方法是由兩同位角相等(數(shù)量關系)來確定兩條直線平行(位置關系)，所以在推理過程中要先寫“兩角相等”，然后再寫“兩線平行”．

(2)平行公理的推論： ①垂直于同一條直線的兩條直線平行．若a⊥b，c⊥b，則a∥c； ②平行于同一條直線的兩條直線平行．若a∥b，c∥b，則a∥c.【例1】 工人師傅想知道砌好的墻壁的上下邊緣AB和CD是否平行，于是找來一根筆直的木棍，如圖所示將其放在墻面上，那么，他通過測量∠EGB和∠GFD的度數(shù)，就知道墻壁的上下邊緣是否平行了．請問：∠EGB和∠GFD滿足怎樣的條件時，墻壁的上下邊緣才會平行？你的依據(jù)是什么？

2．平行線的判定定理

(1)判定定理1 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行． 簡單記為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行． 符號表示：如下圖，∵∠2＋∠3＝180°，∴AB∥CD.談重點

同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ①定理是根據(jù)公理推理得出的真命題，可直接應用；②應用時，找準哪兩個角是同旁內(nèi)角，使哪兩條直線平行．

(2)判定定理2 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行． 簡單記為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行． 符號表示：如上圖，∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.【例2－1】 如圖，小明利用兩塊相同的三角板，分別在三角板的邊緣畫直線AB和CD，這是根據(jù)________，兩直線平行．

【例2－2】 如圖，下列說法中，正確的是（）．

A．因為∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BC

B．因為∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CD C．因為∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CD

D．因為∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD 3．平行線的判斷方法

平行線的判定方法主要有以下六種：

(1)平行線的定義(一般很少用)．(2)同位角相等，兩直線平行．(3)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．(4)內(nèi)錯角相等，兩直線平行．

(5)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行．(6)如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行． 析規(guī)律

如何選擇判定兩直線平行的方法 ①在利用平行線的公理或定理判定兩條直線是否平行時，要分清同位角、內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角是由哪兩條直線被第三條直線所截而構成的；

②證明兩條直線平行，關鍵是看與待證結論相關的同位角或內(nèi)錯角是否相等，同旁內(nèi)角是否互補．

【例3】 如圖，直線a，b與直線c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八個角，請你填上你認為適當?shù)囊粋€條件：__________，使a∥b.4．平行線判定的應用

(1)平行線的生活應用

數(shù)學來源于生活，同樣生活中也有大量的平行線，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工師傅判定所截得的木板的對邊是否平行，工人師傅判定所制造的機器零件是否符合平行的要求……

對于生活中的平行線判斷，關鍵是利用工具確定與平行有關的角是否相等，比較常用的是利用直角尺判斷同位角是否相等，從而判定兩直線是否平行．

(2)平行線在數(shù)學中的運用

平行線判定方法在數(shù)學中的運用主要通過角之間的關系判定兩條直線平行，進一步解決

其他有關的問題．常見的條件探索題就是其應用之一．探索題是培養(yǎng)發(fā)散思維能力的題型，它具有開放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解決探索性問題，不僅能提高分析問題的能力，而且能開闊視野，增加對知識的理解和掌握．

釋疑點

判定平行的關鍵

判定兩直線平行，關鍵是確定角的位置關系及大小關系．

【例4－1】 如圖，一個零件ABCD需要AB邊與CD邊平行，現(xiàn)只有一個量角器，測得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，這個零件合格嗎？__________(填“合格”或“不合格”)．

【例4－2】 已知：如圖在四邊形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，試判斷AD與BC的位置關系，并說明理由．

……………………………………………………………………………… ◆7.4平行線的性質

1．平行線的性質公理

平行線的性質公理：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡記為：兩直線平行，同位角相等．

如圖，推理符號表示為： ∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.談重點

兩直線平行，同位角相等 ①兩直線平行的性質公理是推理論證后面兩個性質定理的基礎； ②“同位角相等”是在“兩直線平行”的前提下才成立的，是平行線特有的性質．要避免一提同位角就以為其相等的錯誤；

③兩直線平行的性質公理與兩直線平行的判定公理的條件與結論是互逆的．其中判定公理是在已知同位角相等(數(shù)量關系)的前提下推理論證兩直線的平行位置關系，是由角到線的推理過程；而兩直線平行的性質公理是在已知兩直線平行的前提下推理論證同位角相等的數(shù)量關系，是由線到角的推理過程． 【例1】 如圖，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1＝25°，那么∠2的度數(shù)是________．

2．平行線的性質定理

(1)性質定理1 兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．

簡單記為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．符號表示：∵AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°.(2)性質定理2 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．

簡單記為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．符號表示：∵AB∥CD，∴∠2＝∠4.點評：①平行線的性質定理是在平行線性質公理的基礎上推理得出的；②從平行線得到角相等或互補的關系；③內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補的前提條件是“兩條直線平行”．要避免

出現(xiàn)一提內(nèi)錯角就相等或一提同旁內(nèi)角就互補的錯誤．

【例2－1】 某商品的商標可以抽象為如圖所示的三條線段，其中AB∥CD，∠EAB＝45°，則∠FDC的度數(shù)是（）．

A．30°

B．45°

C．60°

D．75° 【例2－2】 如圖，直線AB，CD相交于點E，DF∥AB.若∠AEC＝100°，則∠D等于（）．

A．70°

B．80°

C．90°

D．100°

3．證明的步驟

(1)證明的一般步驟： ①理解題意； ②根據(jù)題意正確畫出圖形； ③結合圖形，寫出“已知”和“求證”； ④分析題意，探索證明的思路； ⑤依據(jù)尋求的思路，運用數(shù)學符號和數(shù)學語言條理清晰地寫出證明過程； ⑥檢查表達過程是否正確、完善．(2)證明的思路：

可以從求證出發(fā)向已知追溯，也可以由已知向結論探索，還可以從已知和結論兩個方向同時出發(fā)，互相接近．

點評：對于用文字敘述的命題的證明，要先分清命題的條件和結論，然后根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知和求證，證明即可． 4．借助輔助線構造平行線

在有平行線的條件下，證明兩個角相等或求某個角，當這兩個角不是兩條平行線所截得的同位角、同旁內(nèi)角或內(nèi)錯角時，往往要利用其他的角，轉化為平行線所截的角．

但有些題目中某些條件所對應的圖形沒有或不完整，這時就需要通過添加輔助線去構造某些“基本圖形”，再由圖形聯(lián)想相關性質，從而確定方法，達到解題的目的．

釋疑點

平行線判定與性質的應用

以平行為條件的求值或證明角相等的問題中，關鍵要分析出哪對角相等(或互補)，再進行轉化，從而求出結論中的角或完成證明．

【例3】 證明“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”．

分析：本題是文字證明題．根據(jù)文字證明的一般步驟，先根據(jù)題意畫出兩條直線a，b都與直線c垂直，根據(jù)已知和圖形寫出本題的已知和求證，已知是直線a⊥c，b⊥c，求證是a∥b.證明兩條直線平行，可根據(jù)平行線的判定方法，證明同位角相等就可以．然后寫出證明過程．

解：已知：如圖，直線a，b被直線c所截，且a⊥c，b⊥c.求證：a∥b.證明：∵a⊥c，b⊥c(已知)，∴∠1＝90°，∠2＝90°(垂直的定義)． ∴∠1＝∠2(等量代換)． ∴a∥b(同位角相等，兩直線平行)． 點技巧

文字證明題的步驟

文字證明題的已知和求證要結合圖形來寫，因此在分析題意時，要確定應該畫什么圖形．書寫證明過程時，要注重格式，注意推理的條理性，每一步都要有理有據(jù)． 【例4】 如圖，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠C＝35°，則∠BEC＝__________.5．平行線性質與判定的綜合應用

(1)平行線的性質與判定的區(qū)別

平行線的性質定理和判定定理的條件和結論正好相反．性質是由條件“平行”得到結論“角的關系”；判定是由條件“角的關系”得到結論“平行”．

具體為：

在判定中，把角相等或互補作為判斷兩直線是否平行的前提．角相等或互補是已知，結論是兩直線平行．判定則是由“角相等或互補”推理論證“兩直線平行”．

在性質中，兩直線平行是條件，結論是角相等或互補．性質是用來說明兩個角相等或互補的，即由“兩直線平行”推理論證“角相等或互補”．

釋疑點

平行線的性質與判定要分清 在書寫證明過程中，填寫推理的根據(jù)或者理由時，要注意性質與判定的區(qū)別，防止填錯．(2)平行線性質的應用

平行線的應用包括生活中的實際應用和綜合應用．實際應用要挖掘題目中隱含的平行線，利用平行線的性質來解決和角有關的計算問題．而綜合應用主要是綜合運用平行線的性質和判定來求角的度數(shù)或證明，要注意與圖形的結合(數(shù)形結合)和角的轉換．

如求方位角和機器零件的角度問題就是實際應用比較多的問題．解決時，確定平行線是關鍵．

【例5－1】 如圖，已知：AD∥BC，∠A＝∠C，求證：AB∥CD.【例5－2】 如圖1，在甲、乙兩地之間修一條筆直的公路，從甲地測得公路的走向是北偏東48°.甲、乙兩地間同時開工，若干天后，公路準確接通，則乙地所修公路的走向是南偏西__________．

……………………………………………………………………………… ◆7.5三角形內(nèi)角和定理

1．三角形內(nèi)角和定理

三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.符號表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.變式：∠A＝180°－∠B－∠C.談重點

三角形內(nèi)角和解讀

(1)三角形內(nèi)角和等于180°是三角形的一個重要性質．與三角形的具體形狀或種類沒有關系，即所有三角形的內(nèi)角和都等于180°；

(2)三角形內(nèi)角和等于180°是三角形本身固有的一個隱含條件，在有關角的計算或日常生活中應用廣泛；

(3)利用定理在三角形中已知兩角可求第三角，或已知各角的關系求各角；(4)三角形內(nèi)角和的一個重要結論：直角三角形的兩個銳角互余． 【例1－1】 在一個三角形中，下列說法錯誤的是（）．

A．可以有一個銳角和一個鈍角

B．可以有兩個銳角 C．可以有一個銳角和一個直角

D．可以有兩個鈍角

【例1－2】 已知一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比是1∶5∶6，則其最大內(nèi)角的度數(shù)為（）．

A．60°

B．75°

C．90°

D．120° 2．三角形的外角

(1)定義：三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角．

如圖所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的兩個外角，而∠DCE不是三角形的外角．

(2)三角形外角的特征 三角形的外角特征：①頂點是三角形的一個頂點；②外角的一邊是三角形的邊；③外角的另一條邊是三角形某條邊的延長線．

(3)三角形外角的實質

是一個內(nèi)角的鄰補角，兩個角的和等于180°.如上圖中，∠ACB＋∠ACD＝180°.【例2】 如圖所示，∠1為三角形的外角的是（）．

3．三角形內(nèi)角和定理的證法

在解決幾何問題時，當僅用已有條件解決問題比較困難時，常在圖形中添加線，構造新的圖形，形成新的關系，搭建已知與未知的橋梁，把較困難的問題轉化為熟悉的、易解決的問題．這些在原來的圖形上添加的線叫輔助線．輔助線通常畫成虛線．

證明三角形內(nèi)角和定理的基本思路：

想辦法把分散的三個角“拼湊”成一個“整體”，即借助于輔助線，結合所學過的知識，達到證明的目的．

在證明三角形的內(nèi)角和定理時，常用的輔助線主要有以下幾種：

(1)構造平角：利用平行線的性質進行轉化(作平行線)，讓三個內(nèi)角組成一個平角．如圖①和圖②.(2)構造同旁內(nèi)角：如圖③，過C點作CM∥AB，利用∠ABC與∠BCM是同旁內(nèi)角可證． 4．三角形內(nèi)角和定理的運用

(1)利用定理求角的度數(shù)或證明 生活中，三角形、四邊形是常見的圖形，在解決與角的度數(shù)有關的問題時，一般會用到三角形的內(nèi)角和定理．

三角形的內(nèi)角和定理的運用，主要是利用三角形內(nèi)角和定理進行計算或證明．常見于求三角形中相關角的度數(shù)及證明角的相等關系．計算或證明時，往往與其他的知識相結合，如特殊三角形、余角、高線、角平分線等性質．

(2)利用定理判斷三角形的形狀

根據(jù)一個三角形的內(nèi)角情況判斷三角形的形狀，關鍵是利用三角形內(nèi)角和定理求出各個角，再根據(jù)各類三角形的性質判斷．①若有兩個角相等，則可判定為等腰三角形；②若有三個角相等，則可判定為等邊三角形；③若有特殊角90°和兩個45°，則為等腰直角三角形．

若一個三角形根據(jù)角來分類，可先求出最大的角．①若最大的內(nèi)角是鈍角，則三角形為鈍角三角形；②若最大的角為直角，則三角形為直角三角形；③若最大的角為銳角，則三角形是銳角三角形．

【例3】 如圖所示的四邊形是平行四邊形，如何利用ABCD證明三角形內(nèi)角和定理？

【例4－1】 若一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為2∶3∶4，那么這個三角形是（）．

A．直角三角形

B．銳角三角形

C．鈍角三角形

D．等邊三角形

【例4－2】 △ABC中，若∠B＝∠A＋∠C，則△ABC是__________三角形．

【例4－3】 如圖，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，求∠DAE的度數(shù)．

5.運用三角形內(nèi)角和定理的推論進行計算或證明

(1)三角形內(nèi)角和定理的推論1 推論1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和． 如圖，符號表示：∠ACD＝∠A＋∠B.談重點

三角形的外角 ①推論是由三角形內(nèi)角和定理推理得到的，可作為定理使用； ②該推論反映的是三角形的外角與和它不相鄰內(nèi)角的關系．(2)三角形內(nèi)角和定理的推論2 推論2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角． 符號表示：∠ACD＞∠A或∠ACD＞∠B.析規(guī)律

靈活使用三角形的外角 ①三角形的一個外角大于和它“不相鄰”的任意一個內(nèi)角，而不是大于任何一個內(nèi)角； ②利用該推論證明角之間的不等關系時，先找到一個適當?shù)娜切危挂C明的那個大角處于外角的位置上，小角處于內(nèi)角的位置上．

【例5－1】 如圖，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，點D在BC的延長線上，則∠ACD等于（）．

A．100°

B．120°

C．130°

D．150° 【例5－2】 如圖，∠1，∠2，∠3的大小關系為（）．

A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2

C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3

【例5－3】 如圖，將一副三角板按圖示的方法疊在一起，則圖中∠α等于________．

解析：此題主要考查外角的性質和直角三角形的性質．由外角的性質可得，∠α＝45°－30°＝15°.6．三角形內(nèi)角和定理的實際應用

三角形的內(nèi)角和在生活中的應用非常廣泛，如方位角與折疊問題，零件的合格判定等． 用三角形的內(nèi)角和定理解決生活中的實際問題時，要注意幾何圖形中與問題中的對應條件．

析規(guī)律

靈活運用三角形的內(nèi)角和 ①“三角形的內(nèi)角和為180°”是隱含條件，在實際應用中必不可少； ②在方位角的計算中需要構造三角形，在三角形中計算其度數(shù)； ③折疊問題中，被折疊部分折疊后的圖形與原圖形對應角相等，再根據(jù)內(nèi)角和、平角等知識列出方程計算．

【例6－1】 如圖，是一塊三角形木板的殘余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，則這塊三角形木板另外一個角的度數(shù)為__________．

【例6－2】 如圖，D是AB邊上的中點，將△ABC沿過D的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，若∠B＝50°，則∠BDF＝__________.7.輔助線與角的轉化應用

(1)輔助線與角的轉化

有關三角形角度的計算與比較，常常利用添加不同輔助線的方法，把大角轉化為小角，或者把不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形等，從而利用相關性質進行解題．

在證明角度不等的問題中，常用“三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角”這一性質，當角不在同一個三角形中時，可作輔助線使之轉化到同一個三角形中再解．

析規(guī)律

輔助線的作法

輔助線的添加有很多種方法，基本方法是延長法和連接法．在本節(jié)中主要是構造三角形，利用“三角形內(nèi)角和定理及其推論”解決角的問題．

(2)等腰三角形中內(nèi)、外角的轉換

對于等腰三角形，當不知道所給的角為頂角還是底角時，要分情況討論，不能漏解． ①當?shù)妊切蔚耐饨鞘氢g角時，其相鄰的內(nèi)角一定是銳角．該銳角可能是等腰三角形的頂角，也可能是底角，要分情況討論．

②當?shù)妊切蔚耐饨鞘卿J角或直角時，其相鄰的內(nèi)角是鈍角或直角，所以該內(nèi)角一定是等腰三角形的頂角，則這個外角一定是頂角的鄰補角． 【例7－1】 如圖1，直線a∥b，則∠ACB＝__________.【例7－2】 等腰三角形的一個外角為110°，則這個等腰三角形的三個內(nèi)角分別為__________．

【例7－3】 已知：如圖，在△ABC中，D為BC上一點，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC

的度數(shù)．

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第七章：證明

（一）章末總結

【基礎知識】

1、判斷一件事情的句子叫做命題，每個命題都由題設和結論兩部分組成，正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題；

2、定理：同角或等角的補角相等；同角或補角的余角相等；三角形的任意兩邊之和大于第三邊；

3、平行線的判定：①同位角相等，兩直線平行；②內(nèi)錯角相等，兩直線平行；③同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；

4、平行線的性質：①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯角相等；③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；

5、三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°；

6、外角：三角形的一條邊與另一條邊的反向延長線組成的角稱為三角形的外角；

定理：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；

定理：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角； 【解題方法總結】

方法1：證明兩直線平行，步驟：①尋找兩直線的截線，確定“三線八角”；②將已知的角的度數(shù)或關系轉移到“三線八角”中的角中去；③選擇合適的判定定理，證明兩直線平行。方法2：已知平行求角度，步驟：①尋找兩直線的截線，確定“三線八角”；②將所求角轉移到“三線八角”中的角中；③利用條件，將已知度數(shù)的角轉化到“三線八角”中的角中去；④通過平行線的性質，建立已知角與所求角的聯(lián)系，求出所求角的度數(shù)； 方法3：已知平行判斷角的關系，步驟：①根據(jù)已知平行的直線，尋找截線，確定“三線八角”；②將要判斷關系的兩個角轉移到“三線八角”中的角中去；③根據(jù)平行線的性質，得到兩個角的關系。

方法4：利用三角形內(nèi)角和定理求角，步驟：①將未知角放入三角形中，利用內(nèi)角和定理用其他角表示未知數(shù)角；②利用條件將其他角用已知角表示，直到所有表達式中的角的度數(shù)已知；③代入已知角的度數(shù)求出未知數(shù)角。

方法5：解決“利用三角形的外角性質求角的度數(shù)或相互關系”的問題，基本步驟是：①確定三角形的內(nèi)角及相關外角；②利用三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角比較角的大??；③利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，以及外角和求解角的大小。

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第二篇：初二數(shù)學講義證明

初二數(shù)學春季講義（4）證明

一、識點歸類 知識點四證明

1、從一個命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得出它的結論成立，這個過程叫作證明。

注意：證明一個命題是假命題的方法是舉反例，即找出一個例子，它符合命題條件，但它不滿足命題的結論，從而判斷這個命題是假命題。知識點五反證法

步驟：①假設原命題的結論不成立，得出“反面”②從“反面”出發(fā)，推出矛盾，因此否定“反面”③既然假設是錯誤的，所以原命題正確。舉反例（用來證明假命題）

1．要想說明一個命題是假命題，只需舉個反例。舉反例的要求是：命題的條件，而命題的結論。舉反例說明下列命題是假命題：

（1）對于不為零的實數(shù)c，關于x的方程

3．如圖，AB // CD，MP // AB，MN平分?AMD，?A?35?，?D?40?，求

4.點為O，E是AC?交BD于F，則OE=OF．（1）證明上述命題．

（2）對上述命題，若點E在AC的延長線上，AG⊥EB交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其他條件不變，請畫出圖形，則結論“OE＝OF”還成立嗎？若成立，請你證明，若不成立請說明理由．

x?

c

?c?1的根是c。x

（2）有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等。

證明題（直接證明）2.已知：如圖，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延長線于E，∠1＝∠2．

求證：AD平分∠BAC.填寫分析和證明中的空白． 分析：要證明AD平分∠BAC，只要證明__________＝____________，而已知∠1＝∠2，所以應聯(lián)想這兩個角分別和∠

1、∠2的關系，由已知BC的兩條垂線可推出________∥_________，這時再觀察這兩對角的關系已不難得到結論． 證明：

5.在ΔABC中AB=AC,∠BAC=90,直角∠EPF的頂點P是BC的中點,兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F ⑴求證：PE=PF。

⑵已知AF=12,CF=5.求ΔPEF的面積。

6．如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，以對角線BD為邊作正三角形BDE，過E作DA的延長線的垂線EF，垂足為F。

（1）找出圖中與EF相等的線段，并證明你的結論；（2）求AF的長。

7．如圖，ΔABC中，∠A=60°，BE、CD分別平分

∠ABC和∠ACB，交點為P。請證明：BC=BE+CD。

A

E

B

D

C

8．如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB＝2，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，以相同速度作直線運動．已知點P沿線段AB運動，點Q沿邊BC的延長線運動(當點P運動到點B時兩點即停止運動)，PQ與直線AC相交于點D．

(1)設AP的長為x，△PCQ的面積為S．求出S關于x的函數(shù)關系式；

(2)問是否存在x的值,使S△PCQ=S△ABC?若存在,請求出x的值;若不存在,說明理由.(3)作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變?證明你的結論．

2用反證法證明專題 14．求證：若n為自然數(shù)，則n?n?2不能被1

59．用反證法證明：“三角形中必有一個角不大于

整除 60°”，第一步先假設

10．已知：如右圖，直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)，且l1∥

l2，13與11相交于點P.求證：13與l2相交．

證明：假設，即∥，又∵∥（已知），∴過直線12外一點有兩條直線11,13與直線12平行，這與“”

15.證明：2不是有理數(shù)

相矛盾，∴假設不成立，即求證的命題成立，∴13與12相交．

11．已知:a,b是實數(shù),且滿足ab=0, 求證:a、b中至少有一個為0

12．求證:一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不小于

16.已知實數(shù)ｐ滿足不等式（2x?1)(x?2)?0,用反證法證明：關于x的方程x2?2x?5?p2?0無實根.17.求證：當x+bx+c=0有兩個不相等的非零實數(shù)根時，必有bc≠0．

13．求證：兩條相交直線只有一個交點.?

第三篇：初二北師大版數(shù)學第六章__證明(一)練習題

初二北師大版數(shù)學第六章證明

（一）練習題

祁家河初中主筆：陳全安審閱：姓名__________ 練習目標：⒈加深理解本章所學各個知識點，在證題過程中能嫻熟靈活地運用之。⒉學會分析證明思路，初步掌握綜合法證明的步驟和格式。知識提煉：㈠、關于命題、定理及公理

⒈對名稱和術語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出它們的定義。

⒉判斷一件事情的句子，叫做命題，每個命題都由條件和結論兩部分

組成。

⒊正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題。

⒋ 公認的真命題稱為公理（書P225 6條公理）（等量代換）⒌ 推理的過程稱為證明，經(jīng)過證明的真命題稱為定理。

㈡、平行線的性質及判定

判定：⒈同位角相等，兩直線平行。⒉同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

⒊內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

性質：⒈兩直線平行，同位角相等。⒉兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。⒊兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

㈢、三角形的內(nèi)角和外角的定理

⒈如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。⒉如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線也互相平行。⒊如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條。⒋三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180° ⒌三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。⒍三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

提升訓練：

一、填空題：

⒈把命題“對頂角相等”改寫成“如果?那么?”的形式____________________。⒉把“等角的余角相等”改寫成 “如果?，那么?”的形式_________________。⒊命題“任意兩個直角都相等”的條件是___________，結論是_________________，它是______（真或假）命題。

⒋如圖所示，∠1＋∠2=180°，若∠3=50°，則∠⒌如圖所示：已知∠1 = 20°，∠2 = 25°，∠A = 3°，則∠BDC 的度數(shù)為。

⒍、如圖所示：AB∥CD，∠1 = 100°，∠2 = 120°，則 ∠α=。

⒎如圖所示：已知DB平分∠ADE，DE∥AB，∠CDE=82o，則∠EDB=，∠A=_______。

⒏如圖所示：平行四邊形ABCD中，E為AB上一點，DE與AC交于點F，AF∶FC=3∶7，則AE∶

A ⒐在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點I,B

F

若∠A=60則∠BIC=__________。

⒑在三角形中，最多有個銳角，至少有個銳角，C

D

A最多有個鈍角（或直角）。

二、選擇題：

D

⒈下列語句不是命題的是（）B

E

C

A、2008年奧運會的舉辦城是北京。B、如果一個三角形三邊a，b，c滿足a2＝b2＋c2，則這 個

三角形是直角三角形。

C、同角的補角相等。

D、過點P作直線l的垂線。⒉下列命題是真命題的是（）

A、－a一定是負數(shù)。B、a＞0

C、平行于同一條直線的兩條直線平行。

D、有一角為80°的等腰三角形的另兩個角為50°與50°。

⒊“兩條直線相交，有且只有一個交點”的題設是（）

解：∵AB∥MN（_______）

A、兩條直線。B.、交點。C、兩條直線相交。D、只有一個交點?！唷螧CD＋∠CDN＝180°（_____________________）

∵CG、DG是角平分線（_______)⒋命題“垂直與同一條直線的兩條直線互相平行”的題設是（）A、垂直。B、兩條直線。C、同一條直線。D、兩條直線垂直于同一條線。⒌如圖所示：AB⊥EF，CD⊥ EF，∠1=∠F=30°，那么與?FCD相等的角∴∠1=

1∠BCD∠2=∠CDN(__________________)2

2∴∠1＋∠2＝90°

∵∠1＋∠2＋∠CGD＝180°（___________________）

有（）A、1個B、2C、3個D、4個 ⒍如圖所示：AD平分?CAE，∠ B=30°，?CAD=65°，∠ACD=（）A、50°

B、65°

C、80°D、95°

⒎如圖所示：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）A、180°B、360°C、540° D、720° ⒏如圖所示：如果AB∥CD，則角α、β、γ之間的關系式為（）A、α＋β＋γ=360°B、α－β＋γ=180°C、α＋β＋γ=180°D、α＋β－γ=180°A B

F

B

E

? E

C

C

?

D

DE

三、完型填空：

⒈如圖所示：直線AB∥MN，分別交直線EFA

B 于點C、D，∠BCD、∠CDN的角平分線 交于點G，求∠CGD的度數(shù)。

GMN

F

∴∠CGD＝90°

如圖所示：在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分線，BH是∠ABC求證：∠A= 2∠H

證明：∵∠ACD是△ABC的一個外角，∴∠ACD=∠ABC+∠A（________________）∠2是△BCD的一個外角，∴∠2=∠1+∠H（__________________）

∵CH是外角∠ACD的平分線，BH是∠ABC的平分線，∴∠1=

2∠ABC，∠2= 1

2∠ACD（_____________________）∴∠A =∠ACD-∠ABC= 2（∠2 －∠1）（____________）

而 ∠H=∠2-∠1（等式的性質）∴∠A= 2∠H（____________）

⒉已知：的平分線。

四、解答題：

⒈如圖所示：已知：AD∥EF，∠1＝∠2。求證：AB∥DG。

E

⒉．如圖所示：已知：AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D。求證：BE⊥DE。

⒊.如圖所示：在△ABC中，∠B、∠C的平分線相交于點P，∠BPC＝130°，求：∠A的度數(shù)。

A

P

BC ⒋如圖所示：已知：直線AB∥MN，分別交直線EF于點C、D，∠BCD、∠CDN的角平分線交于點G。求∠CGD的度數(shù)。

AB ⒌如圖所示：已知：CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求證：FG∥BC

GMN

F

⒍如圖所示：O是四邊形ABCD的兩條對角線的交點，過點

O作OE∥CD，交AD于E，作OF∥ BC，交AB于F，連接EF。求證：EF∥BD

⒎如圖所示：已知：AB∥DE。⑴猜測∠A、∠ACD、∠D有什么關系？并證明你的結論。⑵若點C向右移動到線段AD的右側，此時∠A、∠ACD、∠D之間的關系，仍然滿足⑴中的結論嗎？若符合，請你證明，若不符，請你寫出正確的結論并證明。要求畫出相應的圖形。

第四篇：初二數(shù)學講義命題與證明

初二數(shù)學講義（5）證明（3）

一、選擇題（每題3分）

1.下列語句：①若直線a∥b，b∥c，則a∥c；②生活在水里的動物是魚；③作兩條相交直線；④AB＝3，CD＝3，問AB與CD相等嗎？④連結A，B兩點； ⑤內(nèi)錯角不相等，兩直線不平行。是命題的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個 2.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的題設是（）

A.垂直B.兩條直線C.同一條直線D.兩條直線垂直于同一條直線

3.下列各組所述幾何圖形中，一定全等的是（）A.一個角是45°的兩個等腰三角形

B.腰長相等的兩個等腰直角三角形C.兩個等邊三角形D.各有一個角是40°，腰 長都為5㎝的兩個等腰三角形

4.若三角形的三個外角的度數(shù)之比為2：3：4，則與之對應的三個內(nèi)角的度數(shù)之比為?（）

A.4：3：2B.3：2：4C.5：3：1D.3：1：

55．如圖，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之間的關系式為（）

A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β+γ=180°D.α+β-γ=180°

6．已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一點，連結AP，則AC2?AP2?（）A.CP?BPB.CP?BCC.BP?BCD.以上都不對

二、填空題（每題3分）

7．如圖，若AB∥CD，EF與AB、CD分別相交于點E、F,EP與?EFD的平分線相交于點P，且?EFD?60?，EP?FP，則?BEP?

8．若一個三角形的外角平分線與三角形的一邊平行，則這個三角形是三角形.9.用反證法證明“三角形三個內(nèi)角中至少有兩個銳角”時應首先假設.10.如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，則∠C＝__________.11.把命題“在同一個三角形中，等角對等邊”改寫成“如

果??那么??”的形式：.12.如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若?CAD=76°，則?CBD?度．

三、解答題：

13．如圖，在Rt?ABC中，∠

ACB＝90?，AC=BC,D是斜邊AB上的一點, AE⊥CD于E,BF⊥CD交

CD的延長線于F.求證：

?ACE≌?CBF.14．如圖，點B在AC上，△ABE與△DBC是等

邊三角形，M、N分別是AD、BC的中點，求證：△BMN是等邊三角形．E

ABC

15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D、P分別在邊AC、AB上，且BD＝AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分別為點E、F．求證：PE＋PF＝BC．

A

EB

16.已知如圖，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分線，BH是∠ABC的平分線,∠BAC=58°.①求∠BHC.②求∠CAH

17．在△ABC中，AD平分∠BAC，DE＝DC，AC＝EF．求證：EF∥AB．A

F

CBED

18.如圖，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點．求證：CE⊥BE．

19．已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，EP=3,求EF的值，20．操作：在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，將一塊等腰三角形板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點.圖①，②，③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況.三角板繞點P旋轉，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關系？請

選擇圖②、圖③中的一個加以證明.A

DC

AP

P

EB C①②

21．用反證法證明：設a，b，c是不全相等的任意實數(shù)，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab.求證：x，y，z中至少有一個大于零

E

B

D

第五篇：初二數(shù)學講義統(tǒng)計與證明（模版）

1、頻數(shù)和頻率：頻數(shù)分布表的繪制步驟

（1）求出最大值和最小值的差（極差的概念。）

（2）確定組距、組數(shù)。x =94.5，下面是50名學生數(shù)學成績的頻數(shù)分布表．

極差2??5，為了使數(shù)據(jù)組距0.4不落在各組的邊界上，我們把數(shù)據(jù)分成6組，且邊界

值比實際數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)。（特別指出：數(shù)據(jù)個數(shù)在100以內(nèi)時，通常按數(shù)據(jù)的多少分成5—12組。）

2、介紹頻數(shù)和頻數(shù)分布表。

頻數(shù)：我們稱數(shù)據(jù)分組后落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)個

數(shù)為頻數(shù)；（結合表中數(shù)據(jù)）根據(jù)題中給出的條件回答下列問題：

頻數(shù)分布表：反映數(shù)據(jù)分布的統(tǒng)計表叫做頻數(shù)分（1）在這次抽樣分析的過程中，樣本是___________ 布表，也稱頻數(shù)表。（2）頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)a= ____，b= __________．

頻數(shù)（3）估計該校初三年級這次升學考試的數(shù)學平均成績

3、頻率的概念：頻率＝數(shù)據(jù)總數(shù)約為 ___________分．

4、頻率分布直方圖和折線圖：（4）在這次升學考試中，該校初三年級數(shù)學成績在畫頻數(shù)分布直方圖的一般步驟： 90.5~100.5范圍內(nèi)的人數(shù)約為 __________人．（1）畫頻數(shù)分布表（2）寫標題

8、某中學進行了一次演講比賽，分段統(tǒng)計參賽同學的（3）畫坐標：橫坐標是什么？縱坐標是什么？ 成績，結果如下（分數(shù)為整數(shù)，滿分為100分）

（4）畫小長方形：長是什么？ 寬是什么 請根據(jù)表中提供的信息，解答【練習】 下列問題：

1、一組數(shù)據(jù)的最大值為100，最小值為45，若選取組（1）參加這次演講比賽的同距為10，則這組數(shù)據(jù)可分成（?）學有；

A．5組B．6組C．8組D．4組（2）已知成績在91~100分的2、將50個數(shù)據(jù)分成5組列出頻數(shù)分布表，其中第一同學為優(yōu)秀者，那么優(yōu)勝率

組的頻數(shù)為6，?第二組與第五組的頻數(shù)和為20，那么為；

命題與證明綜合提高

一、識點歸類

注意：定義必須嚴密的，一般避免使用含糊不清的語

言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定義中出現(xiàn)。

例1 在下列橫線上，填寫適當?shù)母拍睿海?）連結三角形兩邊中點的線段叫作三角形的；（2）能夠完全重合的兩個圖形叫做_____； 例2 敘述概念的定義

（1）數(shù)軸；（2）等腰三角形 知識點命題

知識點一命題的概念 注意：（1）命題必須是一個完整的句子。

（2）這個句子必須對某事情作出肯定或者否定的判斷，二者缺一不可。

例 下列句子中不是命題的是()

A 明天可能下雨B 臺灣是中國不可分割的部分 C 直角都相等D 中國是2008年奧運會的舉辦國知識點二真命題與假命題

注意：真、假命題的區(qū)別就在于其是否是正確的，在判斷命題的真假時，要注意把握這點。例 下列命題中的真命題是（）

A 銳角大于它的余角B 銳角大于它的補角 C 鈍角大于它的補角D 銳角與鈍角等于平角 知識點三命題的結構

每個命題都有條件和結論兩部分組成。條件是已知的事項，結論是由已知事項推斷出的事項。一般地，命題都可以寫出“如果------，那么-------”的形式。有的命題表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以寫成這種形式。如：“對頂角相等”，改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”。例 把下列命題改寫成“如果------，那么-------”的形式，并指出條件與結論。

1、同角的余角相等

2、兩點確定一條直線

知識點四證明

1、從一個命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得

出它的結論成立，這個過程叫作證明。

注意：證明一個命題是假命題的方法是舉反例，即找出一個例子，它符合命題條件，但它不滿足命題的結論，從而判斷這個命題是假命題。

證明題 1.已知：（如圖）MN//PQ，AC⊥PQ，BD、AC相交于點E，且DE＝2AB． 求證：∠DBC＝

∠ABC．

3MDAN

2.如圖，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD＝AC，求證：∠B＝2∠C．

BDC

3.如圖，△ABC中，AD平分∠

BAC，BE＝CE，過點E作GH⊥AD，交AC、以及AD、AB的延長線于H、F、G．求證：AC＝2BG+AB

A

DH

F

C

4求證：?

5.DC（2）?

6．如圖，已知AB // CD，?B?100?，EF平分?BEC，EG?EF，求?BEG和?DEG的度數(shù)。

9.求證：形如4n+3的整數(shù)P（n為整數(shù)）不能化為兩個整數(shù)的平方和．