第一篇：數(shù)學(xué)分析 實數(shù)的完備性

《數(shù)學(xué)分析》教案

第七章 實數(shù)的完備性

教學(xué)目的：

1.使學(xué)生掌握六個基本定理，能準確地加以表述，并深刻理解其實質(zhì)意義；

2.明確基本定理是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)，并能應(yīng)用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)和一些有關(guān)命題，從而掌握應(yīng)用基本定理進行分析論證的能力。

教學(xué)重點難點：本章的重點是實數(shù)完備性的基本定理的證明；難點是基本定理的應(yīng)用。

教學(xué)時數(shù)：8學(xué)時

§ 1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理（4學(xué)時）

教學(xué)目的：

1.使學(xué)生掌握六個基本定理，能準確地加以表述，并深刻理解其實質(zhì)意義；

2.明確基本定理是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)。

教學(xué)重點難點：實數(shù)完備性的基本定理的證明。一．確界存在定理：回顧確界概念．

Th 1 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；非空有下界數(shù)集必有下確界.二.單調(diào)有界原理: 回顧單調(diào)和有界概念.Th 2 單調(diào)有界數(shù)列必收斂.《數(shù)學(xué)分析》教案

1.基本列 : 回顧基本列概念.基本列的直觀意義.基本列亦稱為Cauchy列.例1 驗證以下兩數(shù)列為Cauchy列 : ⑴

.⑵

解 ⑴

.;對，為使，易見只要.于是取

⑵..當 有 為偶數(shù)時 , 注意到上式絕對值符號內(nèi)有偶數(shù)項和下式每個括號均為正號 , ，《數(shù)學(xué)分析》教案

.因此, 取 ,??

2.Cauchy收斂原理: Th 4 數(shù)列

收斂

是Cauchy列.(要求學(xué)生復(fù)習(xí)函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)的Cauchy準則，并以Cauchy收斂原理為依據(jù)，利用Heine歸并原則給出證明)五.致密性定理: 數(shù)集的聚點

定義 設(shè) 是無窮點集.若在點(未必屬于 無窮多個點, 則稱點 為

數(shù)集 集是閉區(qū)間是閉區(qū)間 = 的一個聚點.)的任何鄰域內(nèi)有 的有唯一聚點 , 但;設(shè).是

;開區(qū)間 的全體聚點之的聚點集

中全體有理數(shù)所成之集, 易見

1.列緊性: 亦稱為Weierstrass收斂子列定理.Th 5(Weierstrass)任一有界數(shù)列必有收斂子列.2.聚點原理 : Weierstrass聚點原理.Th 6 每一個有界無窮點集必有聚點.六.Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理: 1.復(fù)蓋: 先介紹區(qū)間族

.《數(shù)學(xué)分析》教案

Ⅱ: 區(qū)間套定理 Ⅲ: 區(qū)間套定理

致密性定理

Cauchy收斂準則;

區(qū)間套定理.Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理

一.“Ⅰ” 的證明:(“確界原理

單調(diào)有界原理”已證明過).1.用“確界原理”證明“單調(diào)有界原理”: Th 2 單調(diào)有界數(shù)列必收斂.證

2.用“單調(diào)有界原理”證明“區(qū)間套定理”:

Th 3 設(shè)

.證

系1 若 當 時, 總有

是區(qū)間套.是區(qū)間套

確定的公共點, 則對.，是一閉區(qū)間套.則存在唯一的點 ,使對

有

系2 若 ↗ , ↘ ，確定的公共點, 則有

3.用“區(qū)間套定理”證明“Cauchy收斂準則”:

Th 4 數(shù)列

收斂

是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列.(證)Th 4 的證明:(只證充分性)教科書P217—218上的證明留作閱讀.現(xiàn)采用[3]P70—71例2的證明, 即三等分的方法, 該證法比較直觀.4． 用“Cauchy收斂準則” 證明“確界原理” ：

Th 1 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；非空有下界數(shù)集必有下確界.《數(shù)學(xué)分析》教案

教學(xué)目的： 能應(yīng)用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)和一些有關(guān)命題，從而掌握應(yīng)用基本定理進行分析論證的能力。

教學(xué)重點難點：基本定理的應(yīng)用。

一.有界性:

命題1 ，在

上

.證法 一(用區(qū)間套定理).反證法.證法 二(用列緊性).反證法.證法 三(用有限復(fù)蓋定理).二.最值性:

命題2(只證取得最大值)證(用確界原理)參閱[1]P226[ 證法 二 ]后半段.三.介值性: 證明與其等價的“零點定理 ”.命題3(零點定理)證法 一(用區(qū)間套定理).證法 二(用確界原理).不妨設(shè) 令 ,有).取

> 且,.現(xiàn)證 , 則

非空有界，.，在

上取得最大值和最小值.有上確界.設(shè)

且 , ,(為此證明.由

在點 連續(xù)和

第二篇：在數(shù)學(xué)及其相關(guān)領(lǐng)域中的完備性

在數(shù)學(xué)及其相關(guān)領(lǐng)域中，一個對象具有完備性，即它不需要添加任何其他元素，這個對象也可稱為完備的或完全的。更精確地，可以從多個不同的角度來描述這個定義，同時可以引入完備化這個概念。但是在不同的領(lǐng)域中，“完備”也有不同的含義，特別是在某些領(lǐng)域中，“完備化”的過程并不稱為“完備化”，另有其他的表述，請參考代數(shù)閉域(algebraically closed field)、緊化(compactification)或哥德爾不完備定理。

一個度量空間或一致空間（uniform space）被稱為“完備的”，如果其中的任何柯西列都收斂(converges)，請參看完備空間。

在泛函分析(functional analysis)中, 一個拓撲向量空間(topological vector space)V的子集S被稱為是完全的，如果S的擴張(span)在V中是稠密的(dense)。如果V是可分拓撲空間(separable topology space)，那么也可以導(dǎo)出V中的任何向量都可以被寫成S中元素的（有限或無限的）線性組合。更特殊地，在希爾伯特空間(Hilbert space))中（或者略一般地，在線性內(nèi)積空間(inner product space)中），一組標準正交基(orthonormal basis)就是一個完全而且正交的集合。

一個測度空間(measure space)是完全的，如果它的任何零測集(null set)的任何子集都是可測的。請查看完全測度空間(complete measure)。

在統(tǒng)計學(xué)中，一個統(tǒng)計量(statistic)被稱為完全的，如果它不允許存在0的無偏估計量(estimator)。清查看完備統(tǒng)計量(complete statistic)。

在圖論(graph theory)中，一個圖被稱為完全的(complete graph)，如果這個圖是無向圖，并且任何兩個頂點之間都恰有一條邊連接。

在范疇論(category theory)，一個范疇C被稱為完備的，如果任何一個從小范疇到C的函子(functor)都有極限(limit)。而它被稱為上完備的，如果任何函子都有一個上極限(colimit)。請查看范疇論中的極限定義。

在序理論(order theory)和相關(guān)的領(lǐng)域中，如格(lattice)和疇(domain theory)中，全序性(completeness)一般是指對于偏序集(partially ordered set)存在某個特定的上確界(suprema)或下確界(infima)。值得特別注意的是，這個概念在特定的情況下也應(yīng)用于完全布爾代數(shù)(complete Boolean algebra)，完全格(complete lattice)和完全偏序(complete partial order)。并且一個有序域(ordered field)被稱為完全的，如果它的任何在這個域中有上界的非空子集，都有一個在這個域中的最小上界(least upper bound)；注意這個定義與序理論中的完全有界性(bounded complete)有細小的差別。在同構(gòu)的意義下，有且僅有一個完全有序域，即實數(shù)。在數(shù)理邏輯(en:mathematical logic中)，一個理論(theory)被稱為完備的，如果對于其語言(language)中的任何一個句子(sentence)S，這個理論包括且僅包括S或。一個系統(tǒng)是兼容的，如果不存在同時P和非P的證明。哥德爾不完備定理證明了，包含皮亞諾公理(Peano axioms)的所有公理系統(tǒng)都是不可能既完備又相容的。下面還有一些邏輯中關(guān)于完備性的定義。在證明論(proof theory)和相關(guān)的數(shù)理邏輯的領(lǐng)域中，一個形式的演算(caluclus)相對于一個特定的邏輯（即相對于它的語義(semantics)）是完備的，如果任何由一組前提Q根據(jù)語義導(dǎo)出的陳述P，都可以從這組前提出發(fā)利用這個演算語法地(syntactically)導(dǎo)出。形式地說，導(dǎo)出。一階邏輯(First-order logic)在這個意義下是完備的。特別低，所有邏輯的重言式(tautologies)都可以被證明。即使在經(jīng)典邏輯中，這與前述的完備性是不同的（即一個陳述和否定陳述對于這個邏輯而言不可能是重言式）。相反的概念被稱為可靠性（soundness）。在計算復(fù)雜度理論(computational complexity theory)中，一個問題P對于一個復(fù)雜度類C，在某個給定類型的歸約下是完全的(complete)，如果P在C中，并且C中的任何問題利用該歸約都可以化歸到P。例如，NP完全問題(NP-complete)在NP(NP)類和多項式時間(polynomial-time)和多對一歸約的意義下是完全的。

第三篇：數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第一章實數(shù)集與函數(shù)

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第一章 實數(shù)集與函數(shù)

導(dǎo)言 數(shù)學(xué)分析課程簡介(2 學(xué)時)

一、數(shù)學(xué)分析(mathematical analysis)簡介:

1.背景: 從切線、面積、計算sin32?、實數(shù)定義等問題引入.2.極限(limit)—— 變量數(shù)學(xué)的基本運算：

3.數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容：數(shù)學(xué)分析以極限為基本思想和基本運算研究變實值函數(shù).主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數(shù), 并依據(jù)這些運算引進并研究一些非初等函數(shù).數(shù)學(xué)分析基本上是連續(xù)函數(shù)的微積分理論.微積運算是高等數(shù)學(xué)的基本運算.數(shù)學(xué)分析與微積分(calculus)的區(qū)別.二、數(shù)學(xué)分析的形成過程：

1.孕育于古希臘時期： 在我國，很早就有極限思想.紀元前三世紀, Archimedes就有了積分思想.2.十七世紀以前是一個漫長的醞釀時期,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時期.3.十七世紀下半葉到十九世紀上半葉 —— 微積分的創(chuàng)建時期.4.十九世紀上半葉到二十世紀上半葉 —— 分析學(xué)理論的完善和重建時期：

三、數(shù)學(xué)分析課的特點:

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星號的內(nèi)容略講或刪去，相應(yīng)的內(nèi)容作為選修課將在數(shù)學(xué)分析選講課開設(shè).3.內(nèi)容多,課時緊: 大學(xué)課堂教學(xué)與中學(xué)不同的是, 這里每次課介紹的內(nèi)容很多, 因此, 內(nèi)容重復(fù)的次數(shù)少, 講課只注重思想性與基本思路, 具體內(nèi)容或推導(dǎo), 特別是同類型或較簡的推理論證及推導(dǎo)計算, 可能講得很簡, 留給課后的學(xué)習(xí)任務(wù)一般很重.4.講解的重點: 概念的意義與理解,幾何直觀,理論的體系,定理的意義、條件、結(jié)論.定理證明的分析與思路,具有代表性的證明方法,解題的方法與技巧.某些精細概念之間的本質(zhì)差別.五.要求、輔導(dǎo)及考試：

1.學(xué)習(xí)方法:盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方法, 盡快進入角色.課堂上以聽為主, 但要做課堂筆記.課后一定要認真復(fù)習(xí)消化, 補充筆記.一般課堂教學(xué)與課外復(fù)習(xí)的時間比例應(yīng)為 : 3。

對將來從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的師范大學(xué)本科生來說, 課堂聽講的內(nèi)容應(yīng)該更為豐富: 要認真評價教師的課堂教學(xué), 把教師在課堂上的成功與失敗變?yōu)樽约旱慕?jīng)驗.這對未來的教學(xué)工作是很有用的.2.作業(yè): 作業(yè)以練習(xí)題中劃線以上的部分習(xí)題為主要內(nèi)容.大體上每周收一次作業(yè), 一次收清.每次重點檢查作業(yè)總數(shù)的三分之一.作業(yè)的收交和完成情況有一個較詳細的登記, 缺交作業(yè)將直接影響學(xué)期總評成績.作業(yè)要按數(shù)學(xué)排版格式書寫工整.3.輔導(dǎo): 大體每周一次, 第一學(xué)期要求輔導(dǎo)時不缺席.4.考試: 按教學(xué)大綱的要求, 只以最基本的內(nèi)容進行考試, 大體上考課堂教學(xué)和所布置作業(yè)的內(nèi)容, 包括[1]中的典型例題.考試題為標準化試題，理論證明題逐漸增多.第一章 實數(shù)集與函數(shù)

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3.三歧性(即有序性): 4.Rrchimedes性:

5.稠密性: 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性, 給出稠密性的定義.6.實數(shù)集的幾何表示 ─── 數(shù)軸:

7.兩實數(shù)相等的充要條件: 8.區(qū)間和鄰域: 二.講授新課：

（一）.幾個重要不等式: 1.絕對值不等式: 定義

[1]P3 的六個不等式.2.其他不等式: ⑴

記 ⑵ 均值不等式: 對

(算術(shù)平均值)(幾何平均值)(調(diào)和平均值)

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教學(xué)方法：講授為主。

一、區(qū)間與鄰域

二、有界數(shù)集與確界原理:

1.有界數(shù)集: 定義(上、下有界, 有界)，閉區(qū)間、鄰域等都是有界數(shù)集，集合

為有限數(shù)）、也是有界數(shù)集.無界數(shù)集: 定義, 等都是無界數(shù)集, 集合 也是無界數(shù)集.2.確界:給出直觀和刻畫兩種定義.例1 ⑴

則

⑵

則

例2 非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.例3 設(shè)和

是非空數(shù)集，且有

則有

.例4 設(shè)和

是非空數(shù)集.若對和都有則有 證 是的上界, 是的下界，臨沂師范學(xué)院《數(shù)學(xué)分析》教案

教學(xué)要求：

1.深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表示方法；

2.牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象。會求初等函數(shù)的存在域，會分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。

教學(xué)重點：函數(shù)的概念。

教學(xué)難點：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析。

一、函數(shù):

1.函數(shù): [1]P10—11的四點說明.2.定義域: 定義域和存在域.3.函數(shù)的表示法:

4.反函數(shù): 一一對應(yīng),反函數(shù)存在定理.5.函數(shù)的代數(shù)運算:

二、分段函數(shù): 以函數(shù)

介紹概念.例1

去掉絕對值符號.和

為例例

2求

例3 設(shè)

三、函數(shù)的復(fù)合:

求(答案為8)

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作業(yè)：

P15 3；4.(2)(3)；5.(2)；7:(3)；11

§4 具有某些特性的函數(shù)(2學(xué)時)教學(xué)目的：熟悉與初等函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見術(shù)語.教學(xué)目的：深刻理解有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的定義；理解奇偶函數(shù)、周期函數(shù)的定義；會求一些簡單周期函數(shù)的周期。

教學(xué)重點：函數(shù)的有界性、單調(diào)性。教學(xué)難點：周期函數(shù)周期的計算、驗證。

一、有界函數(shù): 有界函數(shù)概念.例6 驗證函數(shù)

在

內(nèi)有界.解法一

由

當

時,有

對

總有

即

關(guān)于的二次方程

在

內(nèi)有界., 解法二 令根.有實數(shù)

解法三 令

對應(yīng)

于是

第四篇：數(shù)學(xué)分析

360《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一． 考試要求：掌握函數(shù)，極限，微分，積分與級數(shù)等內(nèi)容。

二． 考試內(nèi)容：

第一篇 函數(shù)

一元與多元函數(shù)的概念，性質(zhì)，若干特殊函數(shù)，連續(xù)性。第二篇 極限

數(shù)列極限，一元與多元函數(shù)極限的概念及其性質(zhì)，實數(shù)的連續(xù)性（確界原理，單調(diào)有界原理，區(qū)間套定理，聚點定理，有限覆蓋定理等）。

第三篇 微分

一元與多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）與微分的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用；函數(shù)的單調(diào)性與凸性，極值與拐點，漸進線，函數(shù)作圖；隱函數(shù)。

第三篇 積分

不定積分的概念，性質(zhì)，公式，法則；定積分的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用；反常積分與含參積分；重積分與曲線曲面積分。第四篇 級數(shù)

數(shù)項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)，冪級數(shù)與傅立葉級數(shù)的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用。

參考書目：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（上，下，第三版），高等教育出版社，2001年。

第五篇：數(shù)學(xué)分析

《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一、本大綱適用于報考蘇州科技學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的碩士研究生入學(xué)考試。主要考核數(shù)學(xué)分析課程的基本概念、基本理論、基本方法。

二、考試內(nèi)容與要求

(一)實數(shù)集與函數(shù)

1、實數(shù)：實數(shù)的概念，實數(shù)的性質(zhì)，絕對值與不等式;

2、數(shù)集、確界原理：區(qū)間與鄰域，有界集與無界集，上確界與下確界，確界原理;

3、函數(shù)概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數(shù)；

4、具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，周期函數(shù)。

要求：了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史與實數(shù)的概念，理解絕對值不等式的性質(zhì)，會解絕對值不等式；弄清區(qū)間和鄰域的概念, 理解確界概念、確界原理，會利用定義證明一些簡單數(shù)集的確界；掌握函數(shù)的定義及函數(shù)的表示法，了解函數(shù)的運算；理解和掌握一些特殊類型的函數(shù)。

(二)數(shù)列極限

1、極限概念；

2、收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性，有界性，保號性，單調(diào)性；

3、數(shù)列極限存在的條件：單調(diào)有界準則，迫斂性法則，柯西準則。

要求：逐步透徹理解和掌握數(shù)列極限的概念；掌握并能運用?-N語言處理極限問題；掌握收斂數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界函數(shù)和迫斂性定理)，并能運用；了解數(shù)列極限柯西準則,了解子列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系；了解無窮小數(shù)列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系.(三)函數(shù)極限

1、函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限的概念；

2、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性；

3、函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則（Heine定理），柯西準則；

4、兩個重要極限；

5、無窮小量與無窮大量，階的比較。

要求：理解和掌握函數(shù)極限的概念；掌握并能應(yīng)用?-?, ?-X語言處理極限問題；了解函數(shù)的單側(cè)極限，函數(shù)極限的柯西準則；掌握函數(shù)極限的性質(zhì)和歸結(jié)原則；熟練掌握兩個重要極

限來處理極限問題。

(四)函數(shù)連續(xù)

1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點連續(xù)的定義，區(qū)間連續(xù)的定義，單側(cè)連續(xù)的定義，間斷點及其分類；

2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性），復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性；

3、初等函數(shù)的連續(xù)性。

要求：理解與掌握一元函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義及其證明，理解與掌握函數(shù)間斷點及其分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)；理解單側(cè)連續(xù)的概念；能正確敘述和簡單應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)的連續(xù)性，理解復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性。

（五）導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

2、求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運算(四則運算)、求導(dǎo)法則（反函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，參數(shù)方程的求導(dǎo)法則）；

3、微分：微分的定義，微分的運算法則，微分的應(yīng)用；

4、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。

要求：理解和掌握導(dǎo)數(shù)與微分概念，了解它的幾何意義；能熟練地運用導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；理解單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，高階導(dǎo)數(shù)的求法；了解導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，微分在近似計算中的應(yīng)用。

（六）微分學(xué)基本定理

1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2、幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則；

3、泰勒公式。

要求：掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；了解泰勒公式及在近似計算中的應(yīng)用，能夠把某些函數(shù)按泰勒公式展開；能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限

（七）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、函數(shù)的單調(diào)性與極值；

2、函數(shù)凹凸性與拐點.要求：了解和掌握函數(shù)的某些特性(單調(diào)性、極值與最值、凹凸性、拐點)及其判斷方法，能利用函數(shù)的特性解決相關(guān)的實際問題。

（八）實數(shù)完備性定理及應(yīng)用

1、實數(shù)完備性六個等價定理：閉區(qū)間套定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準則、確界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理；

2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明：有界性定理的證明，最大小值性定理的證明，介值性定理的證明，一致連續(xù)性定理的證明；

3、上、下極限。

要求：了解實數(shù)連續(xù)性的幾個定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明；理解聚點的概念，上、下極限的概念。

（九）不定積分

1、不定積分概念；

2、換元積分法與分部積分法；

3、幾類可化為有理函數(shù)的積分；

要求：理解原函數(shù)和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法、簡單無理式和三角有理式積分法。

（十）定積分

1、定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義，函數(shù)可積的必要條件；

2、可積性條件：可積的必要條件和充要條件，達布上和與達布下和，可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù)，只有有限個間斷點的有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù))；

3、微積分學(xué)基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；

4、非正常積分：無窮積分收斂與發(fā)散的概念，審斂法（柯西準則，比較法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；瑕積分的收斂與發(fā)散的概念，收斂判別法。

要求：理解定積分概念及函數(shù)可積的條件；熟悉一些可積分函數(shù)類，會一些較簡單的可積性證明；掌握定積分與可變上限積分的性質(zhì)；能較好地運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計算一些定積分。掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；能用收斂性判別法判斷某些廣義積分的收斂性。

（十一）定積分的應(yīng)用

1、定積分的幾何應(yīng)用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長與微分，曲率；

2、定積分在物理上的應(yīng)用：功、液體壓力、引力。

要求：重點掌握定積分的幾何應(yīng)用；掌握定積分在物理上的應(yīng)用；在理解并掌握“微元法”。

（十二）數(shù)項級數(shù)

1、級數(shù)的斂散性：無窮級數(shù)收斂，發(fā)散等概念，柯西準則，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)；

2、正項級數(shù)：比較原理，達朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；

3、一般項級數(shù)：交錯級數(shù)與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)及其性質(zhì)，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

要求：理解無窮級數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級數(shù)的性質(zhì)；能夠應(yīng)用正項級數(shù)與任意項級數(shù)的斂散性判別法判斷級數(shù)的斂散性；熟悉幾何級數(shù)調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)。

（十三）函數(shù)項級數(shù)

1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準則，優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；

2、一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性）。

要求：掌握收斂域、極限函數(shù)與和函數(shù)一致斂等概念；掌握極限函數(shù)與和函數(shù)的分析性質(zhì)(會證明)；能夠比較熟練地判斷一些函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列的一致收斂。

（十四）冪級數(shù)

1、冪級數(shù)：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)；

2、幾種常見初等函數(shù)的冪級數(shù)展開與泰勒定理。

要求：了解冪級數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)及函數(shù)的可展成冪級數(shù)等概念；掌握冪級數(shù)的性質(zhì)；會求冪級數(shù)的收斂半徑與一些冪級數(shù)的收斂域；會把一些函數(shù)展開成冪級數(shù)，包括會用間接展開法求函數(shù)的泰勒展開式

（十五）付里葉級數(shù)

1、付里葉級數(shù)：三角函數(shù)與正交函數(shù)系, 付里葉級數(shù)與傅里葉系數(shù), 以２? 為周期函數(shù)的付里葉級數(shù), 收斂定理；

2、以2L為周期的付里葉級數(shù)；

3、收斂定理的證明。

要求：理解三角函數(shù)系的正交性與函數(shù)的傅里葉級數(shù)的概念；掌握傅里葉級數(shù)收斂性判別法；能將一些函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)；了解收斂定理的證明。

（十六）多元函數(shù)極限與連續(xù)

1、平面點集與多元函數(shù)的概念；

2、二元函數(shù)的極限、累次極限；

3、二元函數(shù)的連續(xù)性：二元函數(shù)的連續(xù)性概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及初等函數(shù)連續(xù)性。要求：理解平面點集、多元函數(shù)的基本概念；理解二元函數(shù)的極限、累次極限、連續(xù)性概念，會計算一些簡單的二元函數(shù)極限；了解閉區(qū)間套定理，有限覆蓋定理，多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。（十七）多元函數(shù)的微分學(xué)

1、可微性：偏導(dǎo)數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性；全微分概念；連續(xù)性與可微性，偏導(dǎo)數(shù)與可微性；

2、多元復(fù)合函數(shù)微分法及求導(dǎo)公式；

3、方向?qū)?shù)與梯度；

4、泰勒定理與極值。

要求：理解并掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)及極值等概念及其計算；弄清全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)之間的關(guān)系；了解泰勒公式；會求函數(shù)的極值、最值。

（十八）隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1、隱函數(shù)：隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)求導(dǎo)舉例；

2、隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標變換，雅可比行列式；

3、幾何應(yīng)用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。

要求：了解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)的存在定理，會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解隱函數(shù)組的概念及隱函數(shù)組定理，會求隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；了解條件極值概念及求法。

（十九）重積分

1、二重積分概念：二重積分的概念，可積條件，可積函數(shù)，二重積分的性質(zhì)；

2、二重積分的計算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標變換，一般變換）；

3、含參變量的積分；

4、三重積分計算：化三重積分為累次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標變換，球坐標變換）；

5、重積分應(yīng)用：立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉(zhuǎn)動慣量；

6、含參量非正常積分概念及其一致斂性：含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準則，與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的關(guān)系，一致收斂的M判別法)，含參變量非正常積分的分析性質(zhì)；

7、歐拉積分：格馬函數(shù)及其性質(zhì),貝塔函數(shù)及其性質(zhì)。

要求：了解含參變量定積分的概念與性質(zhì)；熟練掌握二重、三重積分的概念、性質(zhì)、計算及基本應(yīng)用；了解含參變量非正常積分的收斂與一致收斂的概念；理解含參變量非正常積分一致收斂的判別定理，并掌握它們的應(yīng)用；了解歐拉積分。

（二十）曲線積分與曲面積分

1、第一型曲線積分的概念、性質(zhì)與計算，第一型曲面積分的的概念、性質(zhì)與計算；

2、第二型曲線積分的概念、性質(zhì)與計算，變力作功，兩類曲線積分的聯(lián)系；

3、格林公式，曲線積分與路線的無關(guān)性, 全函數(shù)；

4、曲面的側(cè)，第二型曲面積分概念及性質(zhì)與計算，兩類曲面積分的關(guān)系;

5、高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無關(guān)性；

6、場論初步：場的概念，梯度，散度和旋度。

要求：掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質(zhì)及計算；了解兩類曲線積分的關(guān)系和兩類曲面積分的關(guān)系；熟練掌握格林公式的證明及其應(yīng)用，會利用高斯公式、斯托克斯公式計算一些曲面積分與曲線積分；了解場論的初步知識。

三、主要參考書

《數(shù)學(xué)分析》（第三版），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2004年?！稊?shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》，裴禮文，高等教育出版社，1993年。

四、主要題型：

填空題，選擇題，計算題，解答題，證明題，應(yīng)用題。