第一篇：高等數(shù)學(xué)電子教案4
高等數(shù)學(xué)教案
第四章
不定積分
教學(xué)目的：
第四章
不定積分
1、理解原函數(shù)概念、不定積分的概念。
2、掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法（第一，第二）與分部積分法。
3、會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。教學(xué)重點(diǎn)：
1、不定積分的概念；
2、不定積分的性質(zhì)及基本公式；
3、換元積分法與分部積分法。教學(xué)難點(diǎn)：
1、換元積分法；
2、分部積分法；
3、三角函數(shù)有理式的積分。
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第四章
不定積分
§4? 1 不定積分的概念與性質(zhì)
一、教學(xué)目的與要求：
1． 2． 理解原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)。掌握不定積分的基本公式。
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分的概念
三、主要外語(yǔ)詞匯：At first function，Be accumulate function，Indefinite integral，F(xiàn)ormulas integrals elementary forms.四、輔助教學(xué)情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）
五、參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版
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第四章
不定積分
一、原函數(shù)與不定積分的概念
定義
1如果在區(qū)間I上? 可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)? 即對(duì)任一x?I? 都有
F?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx?
那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)?
例如 因?yàn)?sin x)??cos x ? 所以sin x 是cos x 的原函數(shù)?
又如當(dāng)x ?(1? ??)時(shí)?
因?yàn)?x)??1? 所以x是1的原函數(shù)?
2x2x
提問(wèn):
cos x和1還有其它原函數(shù)嗎？
2x
原函數(shù)存在定理
如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)? 那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)? 使對(duì)任一x ?I 都有
F ?(x)?f(x)?
簡(jiǎn)單地說(shuō)就是? 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)?
兩點(diǎn)說(shuō)明?
第一? 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x)? 那么f(x)就有無(wú)限多個(gè)原函數(shù)? F(x)?C都是f(x)的原函數(shù)? 其中C是任意常數(shù)?
第二? f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù)? 即如果?(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù)? 則 ?(x)?F(x)?C
(C為某個(gè)常數(shù))?
定義2 在區(qū)間I上? 函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的不定積分? 記作
?f(x)dx?
其中記號(hào)?稱為積分號(hào)? f(x)稱為被積函數(shù)? f(x)dx稱為被積表達(dá)式? x 稱為積分變量?
根據(jù)定義? 如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)? 那么F(x)?C就是f(x)的不定積分? 即
?f(x)dx?F(x)?C?
因而不定積分?f(x)dx可以表示f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)?
例1??因?yàn)閟in x 是cos x 的原函數(shù)???所以
?cosxdx?sinx?C?
因?yàn)閤是1的原函數(shù)???所以
2x青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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不定積分
?1dx?x?C?
2x
例2.求函數(shù)f(x)?1的不定積分?
x 解：當(dāng)x>0時(shí)???(ln x)??1??
x
?1 dx?lnx?C(x>0)??
x
當(dāng)x<0時(shí)???[ln(?x)]??1?(?1)?1??
?xx
?1 dx?ln(?x)?C(x<0)??
x 合并上面兩式???得到
?1 dx?ln|x|?C(x?0)??
x
例3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1? 2)? 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍? 求此曲線的方程?
解 設(shè)所求的曲線方程為y?f(x)? 按題設(shè)? 曲線上任一點(diǎn)(x? y)處的切線斜率為y??f ?(x)?2x, ，即f(x)是2x 的一個(gè)原函數(shù)?
因?yàn)?/p>
?2xdx?x2?C?
故必有某個(gè)常數(shù)C使f(x)?x 2?C? 即曲線方程為y?x 2?C?
因所求曲線通過(guò)點(diǎn)(1? 2)? 故
2?1?C?
C?1?
于是所求曲線方程為y?x?1?
積分曲線? 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線?
從不定積分的定義? 即可知下述關(guān)系?
d[f(x)dx]?f(x)?
dx?2或
d[?f(x)dx]?f(x)dx?
又由于F(x)是F?(x)的原函數(shù)? 所以
?F?(x)dx?F(x)?C?
或記作
?dF(x)?F(x)?C?
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不定積分
由此可見(jiàn)? 微分運(yùn)算（以記號(hào)d表示）與求不定積分的運(yùn)算（簡(jiǎn)稱積分運(yùn)算? 以記號(hào)?表示）是互逆的? 當(dāng)記號(hào)?與d 連在一起時(shí)? 或者抵消? 或者抵消后差一個(gè)常數(shù)?
二、基本積分表(1)?kdx?kx?C(k是常數(shù))?
(2)?x?dx?1x??1?C?
??1(3)?1dx?ln|x|?C?
x(4)?exdx?ex?C?
x(5)?axdx?a?C?
lna(6)?cosxdx?sinx?C?
(7)?sinxdx??cosx?C?
(8)?(9)?1dx??sec2xdx?tanx?C?
2cosx1dx??csc2xdx??cotx?C?
2sinx1dx?arctanx?C?
1?x211?x2(10)?(11)?dx?arcsinx?C?
(12)?secxtanxdx?secx?C?
(13)?cscxcotdx??cscx?C?
(14)?sh x dx?ch x?C?
(15)?ch x dx?sh x?C?
111x?3?1?C??2?C?
例4 ?3dx??x?3dx??3?12xx青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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不定積分
例5 ?x2xdx??x52dx?15?125?1x2?C22?x2?C?x3x?C777?
例6 ?dx??x3xx?43dx?4??1x34??13?C??3x?13?C??33x?C?
三、不定積分的性質(zhì)
性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等各個(gè)函數(shù)的不定積分的和? 即
?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx?
這是因?yàn)? [?f(x)dx??g(x)dx]??[?f(x)dx]??[?g(x)dx]??f(x)?g(x).性質(zhì)2 求不定積分時(shí)? 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來(lái)? 即
?kf(x)dx?k?f(x)dx(k是常數(shù)? k ?0)?
例7.?x(x?5)dx??(x2521?5x2)dx
1x2dx ?? ? 例8 ?5x2dx7??15x2dx3??5x2dx?5?
27x2?5?23x2?C?
(x?1)3x2x3?3x2?3x?131dx??dx??(x?3??2)dx2xxx1111 ??xdx?3?dx?3?dx??2dx?x2?3x?3ln|x|??C?
x2xx 例9 ?(ex?3cosx)dx??exdx?3?cosxdx?ex?3sinx?C?
例10 xxx?2edx??(2e)dx?2(2e)xln(2e)?C?2xex?C1?ln2?
1?x?x11dx?dx?(?)dx
例11 ???x(1?x2)x(1?x2)1?x2xx?(1?x2)?? 例12 11dx??dx?arctanx?ln|x|?C?
2x1?x(x2?1)(x2?1)?1x4x4?1?1dx?1?x2dx??1?x2dx??1?x2
??(x2?1?11)dx??x2dx??dx??dx 21?x1?x2青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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?1x3?x?arctanx?C? 例13 ?tan2xdx??(sec2x?1)dx??sec2xdx??dx
? tan x ? x ? C ?
例14 ?sin2x dx??1?cosxdx?1?(1?cosx)dx
222 ? 例15 ?
12(x?sinx)?C?
1dx??4cotx?C?
sin2x1sin2xxcos222dx?4?青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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§4? 2 換元積分法
一、教學(xué)目的與要求：
1． 2． 掌握不定積分的第一類換元法（湊微分法），熟悉常見(jiàn)的湊微分的類型，會(huì)靈活應(yīng)用湊微分法求不定積分。
掌握不定積分的第二類換元法，并會(huì)靈活運(yùn)用常用的代換方法。
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：換元法
三、主要外語(yǔ)詞匯：Change a dollar
四、輔助教學(xué)情況:多媒體課件第四版和第五版（修改）
五、參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版
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不定積分
一、第一類換元法
設(shè)f(u)有原函數(shù)F(u)?
u??(x)? 且?(x)可微? 那么? 根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法? 有 d F[?(x)]?d F(u)?F ?(u)d u? F? [?(x)] d?(x)? F ?[?(x)]??(x)d x ?
所以
F ?[?(x)]??(x)dx? F ?[?(x)] d?(x)? F ?(u)d u? d F(u)?d F[?(x)]?
因此
?F?[?(x)]??(x)dx??F?[?(x)]d?(x)
??F?(u)du??dF(u)??dF[?(x)]?F[?(x)]?C? 即
?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)?[?f(u)du]u??(x)
?[F(u)?C] u ? ?(x)? F[?(x)]?C?
定理
1設(shè)f(u)具有原函數(shù)? u??(x)可導(dǎo)? 則有換元公式
f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)??f(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C? ?
被積表達(dá)式中的dx 可當(dāng)作變量x的微分來(lái)對(duì)待? 從而微分等式??(x)dx ?du可以應(yīng)用到被積表達(dá)式中?
在求積分?g(x)dx時(shí)? 如果函數(shù)g(x)可以化為g(x)? f[?(x)]??(x)的形式? 那么
?g(x)dx??f[?(x)]??(x)dx?[?f(u)du]u??(x)?
例1.?2cos2xdx??cos2x?(2x)?dx??cos2xd(2x)
u?C?sin 2x?C ?
??cosudu?sin11111dx??(3?2x)?dx??d(3?2x)
例2.?3?2x23?2x23?2x1111
??dx?ln|u|?C?ln|3?2x|?C?
2u22 例3.?2xexdx??ex(x2)?dx??exd(x2)??eudu
?eu?C?ex?C? 例4.?x1?x2dx??1?x2(x2)?dx??1?x2dx2
22222 111???1?x2d(1?x2)???u2du??u2?C223??1(1?x2)2?C? 3313
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例5.?tanxdx??sinxdx???1dcosx
cosxcosx
???1du??ln|u|?C
u
??????ln|cos x|?C ?
即
?tanxdx??ln|cosx|?C?
類似地可得?cotxdx?ln|sinx|?C?
熟練之后? 變量代換就不必再寫出了?
例6.?212dx?12?1dx
a?xa1?(x)2a
?1?a1x1xd?arctan?C?
xa1?()2aaa1x 即 ?212dx?arctan?C?
aaa?xxxxx 例7.?chdx?a?chd?a sh?C?
aaaa 例8.當(dāng)a?0時(shí)，?1a2?x2dx?1a?1x1?()2adx??1x1?()2adxx?arcsin?C? aa
即 ?xdx?arcsin?C?
aa2?x211111111?)dx?[?dx??dx]
例9.?22dx??(2ax?ax?a2ax?ax?ax?a111d(x?a)??d(x?a)]
?[?2ax?ax?a11x?a|?C?
?[ln|x?a|?ln|x?a|]?C?ln|2a2ax?a11x?a|?C?
即 ?22dx?ln|2ax?ax?adxdlnx1???? 例10.?
x(1?2lnx)1?2lnx21?2lnxd(1?2lnx)1
?ln|1?2lnx|?C?
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例11.?e3xxdx?2?e3xdx?23e3?xd3x
?2e33x?C?
含三角函數(shù)的積分?
例12.?sin3xdx??sin2x?sinxdx???(1?cos2x)dcosx ???dcosx??cos2xdcosx??cosx?co3sx?C? 例13.?sin2xcos5xdx??sin2xcos4xdsinx
22x(1?sinx)2dsinx
??sin46nx?2sinx?sinx)dsinx
??(si221357x?sinx?sinx?C???
?1sin357 例14.?cos2xdx??1?cos2xdx?1(?dx??cos2xdx)
2211112x?C?
??dx??cos2xd2x?x?sin24241 例15.?cos4xdx??(cos2x)2dx??[(1?cos2x)]2dx
??(1?2cos2x?cos22x)dx
4131
??(?2cos2x?cos4x)dx
4221312x?sin4x)?C
?(x?sin4283114x?C?
?x?sin2x?sin84321 例16.?cos3xcos2xdx??(cosx?cos5x)dx
2115x?C?
?sinx?sin2101dx?? 例17.?cscxdx??sinx1dx xx2sincos22青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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dx22
??dtanx2??xtancos2x2?ln|tanx|?C?ln |csc x ?cot x |?C ?
x2tan2 即
?cscxdx?ln |csc x ?cot x |?C ?
例18.?secxdx??csc(x??)dx?ln|csc(x? ?)?cot(x? ?)|?C
222
?ln |sec x ? tan x | ? C?
即
?secxdx?ln |sec x ? tan x | ? C?
二、第二類換元法
定理2 設(shè)x ??(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)? 并且??(t)?0? 又設(shè)f [?(t)]??(t)具有原函數(shù)F(t)? 則有換元公式
???f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?F[??1(x)]?C?
其中t??(x)是x??(t)的反函數(shù)?
這是因?yàn)?/p>
{F[??1(x)]}??F?(t)dt?f[?(t)]??(t)1?f[?(t)]?f(x)?
dxdxdt 例19.求?a2?x2dx(a>0)?
解: 設(shè)x?a sin t ? ? ??t? ?? 那么a2?x2?a2?a2sin2t?acost?
22dx ?a cos t d t ? 于是
?a2?x2dx??acost?acostdt
11stdt?a2(t?sin2t)?C?
?a2?co224因?yàn)閠?arcsinxaxa2?x2, sin2t?2sintcost?2?? 所以
aa?a2x111arcsin?xa2?x2?C? a?xdx?a(t?sin2t)?C?2a224222
解: 設(shè)x?a sin t ? ? ??t? ?? 那么
22青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案
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?a2?x2dx??acost?acostdt
a2x11 ?a2?co2arcsin?xa2?x2?C?
stdt?a(t?sin2t)?C?242a2提示:a2?x2?a2?a2sin2t?acost? dx?acos tdt ?
xa2?x2提示: t?arcsinx, sin2t?2sintcost?2??
aaa
例20.求?dxx2?a2(a>0)?
解法一? 設(shè)x?a tan t? ? ??t? ?? 那么
22x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?a sec t ? dx?a sec
t d t ? 于是
?因?yàn)閟ect?dxx2?a2??asec2tdt??sectdt? ln |sec t ? tan t |?C ?
asectx2?a2x? tant?? 所以 aa?dxx?a22x? ln |sec t ? tan t |?C?ln(?ax2?a2)?C?ln(x?ax2?a2)?C1?
其中C 1?C?ln a ?
解法一? 設(shè)x?a tan t? ? ??t? ?? 那么
?dxx?a22??asec2tdt??sectdt?ln|sect?tant|?C asect
x
?ln(?ax2?a2)?C?ln(x?ax2?a2)?C1?
其中C 1?C?ln a ?
提示:x2?a2?a2?a2tan2t?asect ? dx?a sec 2t dt ?
提示:sect?
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x2?a2x? tant?? aa高等數(shù)學(xué)教案
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解法二: 設(shè)x?a sh t ? 那么
?dxx2?a2??ach txdt??dt?t?C?arsh?C ach ta???
?ln?x?(x)2?1??C?ln(x?x2?a2)?C1?
?aa其中C 1?C?ln a ?
提示: x2?a2?a2sh2t?a2?a ch t ? dx ?a ch t d t ?
例23.求?dxx2?a2(a>0)?
解: 當(dāng)x>a 時(shí)? 設(shè)x?a sec t(0?t? ?)? 那么
2x2?a2?a2sec2t?a2?asec2t?1?a tan t ?
于是
dxx2?a2?因?yàn)閠ant???asecttantdt??sectdt? ln |sec t ? tan t |?C ?
atantx2?a2x? sect?? 所以 aa?dxx?a22? ln |sec t ? tan t |?C ?ln|?xax2?a2|?C?ln(x?ax2?a2)?C1?
其中C 1?C?ln a ?
當(dāng)xa? 于是
?dxx2?a2???duu2?a2??ln(u?u2?a2)?C
(x?x2?a2)?C?ln?(x?x2?a2)?C1?
??ln??ln?x?x2?a2?C?ln(?x?x2?a2)?C1?
2a其中C 1?C?2ln a ?
綜合起來(lái)有
?
dxx?a22?ln|x?x2?a2|?C?
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解: 當(dāng)x>a 時(shí)? 設(shè)x?a sec t(0?t? ?)? 那么 ?dxx2?a2??asecttant
dt??sectdtatantx2?a2)?C axt?tant|?C?ln(?
?ln|seca
?ln(x?x2?a2)?C?
其中C 1?C?ln a ?
當(dāng)xa? 于是
?dxx2?a2???duu2?a2??ln(u?u2?a2)?C
?x?x2?a2?C
??ln(?x?x2?a2)?C?ln2a
?ln?(x?x2?a2)?C1?
其中C 1?C?2ln a ?
提示:x2?a2?a2sec2t?a2?asec2t?1?atant ? 提示:tant?x2?a2x? sect?? aadxx2?a2
綜合起來(lái)有
??ln|x?x2?a2|?C?
補(bǔ)充公式?
(16)?tanxdx??ln|cosx|?C? ?????cotxdx?ln|sinx|?C?(18)?secxdx?ln|secx?tanx|?C?(19)?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C?(20)?(21)?11xdx?arctan?C? 2aaa?x211x?adx?ln||?C?22ax?ax?a2
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(22)?(23)?(24)?
1a2?x2dxx2?a2dxx2?a2dx?arcsin?ln(x?x?C? ax2?a2)?C?
x2?a2|?C? ?ln|x?青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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§4? 3 分部積分法
一、教學(xué)目的與要求：
掌握分部積分公式，并會(huì)靈活運(yùn)用。
二、重點(diǎn)、難點(diǎn): 用分部積分公式時(shí)的u和dv的選取
三、主要外語(yǔ)詞匯:Divide a department integral
四、輔助教學(xué)情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）
五、參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版
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第四章
不定積分
設(shè)函數(shù)u?u(x)及v?v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 那么? 兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為(uv)??u?v?uv??
移項(xiàng)得
uv??(uv)??u?v?
對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分? 得
?uv?dx?uv??u?vdx??或?udv?uv??vdu? 這個(gè)公式稱為分部積分公式?
分部積分過(guò)程: ?uv?dx??udv?uv??vdu?uv??u?vdx? ? ? ??
例1 ?xcosxdx??xdsinx?xsinx??sinxdx?x sin x?cos x?C ?
例2 ?xexdx??xdex?xex??exdx?xex?ex?C?
例3 ?x2exdx??x2dex?x2ex??exdx2
?x2ex?2?xexdx?x2ex?2?xdex?x2ex?2xex?2?exdx
?x2ex?2xex?2ex?C ?ex(x2?2x?2)?C?
例4 ?xlnxdx?1?lnxdx2?1x2lnx?1?x2?1dx
222x??????????????????????????1x2lnx?1?xdx?1x2lnx?1x2?C?
2224 例5 ?arccosxdx?xarccosx??xdarccosx
?xarccosx??x
11?x2dx
1?1?xarccoxs??(1?x2)2d(1?x2)?xarccoxs?1?x2?C?
111dx
例6 ?xarctanxdx?1?arctanxdx2?x2arctanx??x2?22221?x111)dx
?x2arctanx??(1?2221?x11?x?arctaxn?C?
?1x2arctaxn222 例7 求?exsinxdx?
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不定積分
解 因?yàn)?exsinxdx??sinxdex?exsinx??exdsinx
?exsinx??excosxdx?exsinx??cosxdex
?exsinx?excosx??exdcosx
?exsinx?excosx??exdcosx
?exsinx?excosx??exsinxdx?
1所以
?exsinxdx?ex(sinx?cosx)?C?
例8 求?sec3xdx?
解 因?yàn)?/p>
?sec3xdx??secx?sec2xdx??secxdtanx
2xdx
?secxtanx??secxtan
?secxtanx??secx(sec2x?1)dx
3xdx??secxdx
?secxtanx??sec3xdx?
?secxtanx?ln|secx?tanx|??sec13xdx?(secxtanx?ln|secx?tanx|)?C?
所以
?sec2 例9 求In?? 解 I1??dx?
(x?a2)n2其中n為正整數(shù)?
dx1x?arctan?C?
ax2?a2a
當(dāng)n?1時(shí)，用分部積分法? 有
dxxx2??2(n?1)
?22n?1?(x2?a2)ndx(x?a)(x2?a2)n? ?x1a2?2(n?1)[??(x2?a2)n?1(x2?a2)n]dx?(x2?a2)n?1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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不定積分
即 In?1?x(x2?a)22n?12?2(n?1)(In?1?aIn)?
于是?? In?1x[2?(2n?3)In?1]?
2a(n?1)(x?a2)n?11aarctanxa?C以此作為遞推公式? 并由I1? 例10 求?exdx?
即可得In?
解 令x ?t 2 ? 則 ? dx?2tdt? 于
?exdx?2?tetdt?2et(t?1)?C?2ex(x?1)?C?
?exdx??exd(x)2?2?xexdx
?2?xde
?2xexx?2xexx?2?exxdx
?2e?C?2e(x?1)?C??
第一換元法與分部積分法的比較: 共同點(diǎn)是第一步都是湊微分
令?(x)?u
?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)?f(u)du?
?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x)? 哪些積分可以用分部積分法？
?xcosxdx???xexdx???x2exdx?
?xlnxdx? ?arccos?exxdx?
3?xarctanxdx?
sinxdx?
x2?sec2xdx?
?2xe?x
2dx??exdx2??eudu? ? ? ? ??
exdx??x2dex?x2ex??exdx2? ? ? ? ?
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不定積分
§4? 4 有理函數(shù)的積分
一、教學(xué)目的與要求：
會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式及簡(jiǎn)單的無(wú)理函數(shù)的積分。
二、重點(diǎn)（難點(diǎn)）：有理函數(shù)的積分。
三、主要外語(yǔ)詞匯：Have the reason function integral
四、輔助教學(xué)情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）
五、參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版
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不定積分
一、有理函數(shù)的積分
有理函數(shù)的形式?
有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)? 即具有如下形式的函數(shù):
P(x)Q(x)?a0xn?a1xn?1?????an?1x?anb0xm?b1xm?1?????bm?1x?bm?
其中m和n都是非負(fù)整數(shù)??a0? a1? a2? ? ? ? ? an及b0? b1? b2? ? ? ? ? bm都是實(shí)數(shù)?
并且a0?0? b0?0? 當(dāng)n?m時(shí)? 稱這有理函數(shù)是真分式? 而當(dāng)n?m時(shí)? 稱這有理函數(shù)是假分式?
假分式總可以化成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和的形式? 例如
2x3?x?1x(x?1)?11? ??x?222x?1x?1x?
1真分式的不定積分?
求真分式的不定積分時(shí)? 如果分母可因式分解? 則先因式分解? 然后化成部分分式再積分?
dx?
例1 求?2x?5x?6x?365x?3dx???)dx
解 ?2dx??(x?3x?2(x?2)(x?3)x?5x?665dx??dx?6ln|x?3|?5ln|x?2|?C?
??x?3x?2x?3提示?(A?B)x?(?2A?3B)x?3AB????
(x?2)(x?3)x?3x?2(x?2)(x?3)A?B?1? ?3A?2B?3? A?6? B??5?
分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分?
dx?
例2 求?2x?2x?3x?212x?21dx??(?32)dx
解 ?222x?2x?3x?2x?3x?2x?312x?21dx?3?2dx
??22x?2x?3x?2x?3x?1?2?d(x2?2x?3)x?2x?32?3?d(x?1)(x?1)2?(2)2
3x?1x2?2x?3)?arctan?C?
?1ln(2221(2x?2)?3x?21x?212???2?3?2提示? 2?
22x?2x?3x?2x?3x?2x?3x?2x?31dx?
例3 求?x(x?1)2青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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不定積分 1111 解 ?dx?[??]dx ?xx?1(x?1)2x(x?1)2
??1dx??1dx??12dx?ln|x|?ln|x?1|?1?C?
x?1xx?1(x?1)
提示?
??11?x?x11????22x(x?1)(x?1)2x(x?1)x(x?1)
1?x?x1111? ????2x(x?1)(x?1)xx?1(x?1)2
二、可化為有理函數(shù)的積分舉例 1。三角函數(shù)有理式的積分
三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)? 其特點(diǎn)是分子分母都包含三角函數(shù)的和差和乘積運(yùn)算? 由于各種三角函數(shù)都可以用sin x 及cos x 的有理式表示?
故三角函數(shù)有理式也就是sin x、cos x 的有理式?
用于三角函數(shù)有理式積分的變換:
把sin x、cos x表成tanxx的函數(shù)? 然后作變換u?tan?
xx2tan2tanxx2?2?2u? sinx?2sincos?221?u22x2xsec1?tan22x22?1?u? 2x2xcosx?cos?sin?221?u22xsec221?tan
變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分?
例4 求?1?sinxdx?
sinx(1?cosx)x2u21?u2du?
解 令u?tan? 則sinx?? cosx?? x?2arctan u ? dx?2221?u1?u1?u22u)22111?sinx1?udu?(u?2?)du dx??于是 ??2usinx(1?cosx)2u1?u21?u2(1?)1?u21?u2(1?1xx1x1u2
?(?2u?ln|u|)?C?tan2?tan?ln|tan|?C?
2242222青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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解 令u?tanx? 則
22u)21?sinx21?u
?dx???du 2sinx(1?cosx)2u1?u1?u2(1?)1?u21?u2(1?
?1(u?2u?ln|u|)?C?1?(u?2?1)du
222u2
?1tan2x?tanx?1ln|tanx|?C?
42222
說(shuō)明: 并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過(guò)變換化為有理函數(shù)的積分???例如?
?cosxdx??1d(1?sinx)?ln(1?sinx)?C?
1?sinx1?sinx
2、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分
無(wú)理函數(shù)的積分一般要采用第二換元法把根號(hào)消去?
例5 求?x?1dx?
x 解 設(shè)x?1?u? 即x?u2?1? 則
2du
?x?1dx??2u?2udu?2?uxu?1u2?11)du?2(u?arctanu)?C
?2?(1?1?u ?2(x?1?arctanx?1)?C?
例6 求?dx1?3x?2?
解 設(shè)3x?2?u? 即x?u3?2? 則
?dx1?31u2?1?12???3udu?3?du 1?u1?ux?221u)du?3(?u?ln|1?u|)?C
?3?(u?1?1?u2 ?3(x?2)2?33x?2?ln|1?3x?2|?C?例7 求?dx(1?3x)x?
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解 設(shè)x?t 6? 于是dx ?6t 5d t ?
從而
?dx(1?3x)x??6t5t21dt?6dt?6?(1?)dt?6(t?arctant)?C?232(1?t)t1?t1?t2
?6(6x?arcta6nx)?C?
例8 求?11?xdx? xx 解 設(shè)1?x?t? 即x?21xt?1? 于是
?2t
?11?xdx??(t2?1)t?2dt
xx(t?1)22
??2?2tdt??2?(1?21)dt
t?1t? ??2t?ln|t?1|?C
t?1
??21?x?ln1?x?x?C?
x1?x?x
練習(xí)
1?
求?dx2?cosx?
x2
解?
作變換t?tan?
則有dx?21?t2dt? cosx?1?t21?t2?
2dt
?2?cosarctantdxx??211?t2?2?dt?1?t23?t232?1?t223arctan(13tanx2)?C?
?11?(t3)2dt3
?23?C?543
2?
求?
解? sincos5xxdx?
sin4xcos4xdcosx???2cos2x2cosx?1cos4x13cos3x?cos4sinxxdx???(1?cos2x)2cos4x)dcosx ?C?
dcosx
???(1?
??cosx??
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不定積分
3?
求?
解? 3x?1x2?3x?2dx?
?3x?1x2?3x?2dx??(x?2)(x?1)dx1x?2dx?4?3x?1?1?(7x?2?4x?1)dx
?7?x?1dx
?7ln|x?2|?4ln|x?1|?C?
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§4.5積分表的使用
一、教學(xué)目的與要求：
會(huì)根據(jù)函數(shù)類型在積分表中查得所需結(jié)果。
二、重點(diǎn)（難點(diǎn)）：對(duì)要查函數(shù)的變形和類型的判定。
三、主要外語(yǔ)詞匯：Integral calculus form
四、輔助教學(xué)情況：多媒體課件第四版和第五版（修改）
參考教材（資料）：同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版
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積分的計(jì)算要比導(dǎo)數(shù)的計(jì)算來(lái)得靈活、復(fù)雜??為了實(shí)用的方便??往往把常用的積分公式匯集成表??這種表叫做積分表??求積分時(shí)??可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接地或經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變形后??在表內(nèi)查得所需的結(jié)果??
積分表
一、含有ax?b的積分 1．?dx?1ln|ax?b|?C
ax?ba2．?(ax?b)?dx?3．?1(ax?b)??1?C(???1)a(??1)x1dx?(ax?b?bln|ax?b|)?C ax?ba2ax?ba224．?xdx?13?1(ax?b)2?2b(ax?b)?b2ln|ax?b|??C
5．?6．?7．?8．?9．?dx1ax?b??ln?Cx(ax?b)bx
dx1aax?b???ln?Cx2(ax?b)bxb2xx1?ln|ax?b|?bdx?22(ax?b)aax?b??C
??C x21b2?dx?ax?b?2bln|ax?b|?(ax?b)2a3ax?bdx11ax?b??ln?Cx(ax?b)2b(ax?b)b2xxdx(3x?4)2
例1求???
解??這是含有3x?4的積分??在積分表中查得公式
x1b???C??
?dx?ln|ax?b|?(ax?b)2a2ax?b現(xiàn)在a?
3、b?4??于是
x14?(3x?4)2dx?9?ln|3x?4|?3x?4??C?
二、含有ax?b的積分
21．?ax?bdx?(ax?b)3?C
3a2(3ax?2b)(ax?b)3?C 2．?xax?bdx?215a青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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3．?x2ax?bdx?4．?5．?xax?bx2ax?bdx?dx?2(15a2x2?12abx?8b2)(ax?b)3?C 105a32(ax?2b)ax?b?C 3a22(3a2x2?4abx?8b2)ax?b?C 315a1?C(b?0)ax?b?bax?barctan?C(b?0)?b?blnax?b?b6．???dx??xax?b??b2
7．?dxx2ax?bx??ax?ba?bx2b?xdxdxax?b
8．?ax?bdx?2ax?b?b?xx2xax?bdx 9．?ax2?bdx??ax?b?a?
三、含x?a的積分 1．?2．?3．?dx1x?arctan?C x2?a2aa22xax?bdxx2n?3??(x2?a2)n2(n?1)a2(x2?a2)n?12(n?1)a2?(x2?a2)n?1
dxdx1x?a?ln?C x2?a22ax?a
四、含有ax2?b(a?0)的積分
?1arctan?abdx??ax2?b1?ln?2?abax?C(b?0)bax??bax??b?C(b?0)1．?
2．?3．?4．?5．?6．?x1dx?ln|ax2?b|?C 2ax?b2ax2xbdx??ax2?baadx?ax2?b
dx1x2?ln?Cx(ax2?b)2b|ax2?b|dx1a???x2(ax2?b)bxb
1?ax2?bdx
|ax2?b|dxa1?ln??C3222x(ax?b)2bx2bx2
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7．?dxx1??(ax2?b)22b(ax2?b)2b1?ax2?bdx
五、含有ax2?bx?c(a?0)的積分
六、含有x2?a2(a?0)的積分 1．?2．?3．?4．?5．?6．?7．?8．?dxx2?a2dx?arshx?C1?ln(x?ax?C x2?a2)?C
(x2?a2)3a2x2?a2xx2?a2xdx?x2?a2?C
1x2?a2?C
(x2?a2)3dx??x2x2?a2x2(x2?dx?x2x2?a2?xx2?a2a2ln(x?2?ln(x?x2?a2)?C x2?a2)?C
a2)3dx??1lnadxxx2?a2?x2?a2?a?C|x|
dxx2x2?a2??x2?a2?C a2x2xax2?a2?ln(x?x2?a2)?C 9．?x2?a2dx?22例3求?dxx4x2?9dxx4x2??
?12解??因?yàn)??9?dx3xx2?()22???所以這是含有x2?a2的積分??這里a?
?dxxx2?a2?1lna3??在積分表中查得公式 2x2?a2?a?C|x|??
于是 ?dxx4x2?9?12?ln2333x2?()2?22?C?1ln|x|34x2?9?3?C??
2|x|
七、含有x2?a2(a?0)的積分
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1．?2．?3．?4．?5．?6．?7．?8．?dxx2?a2?|x|xarch?C1?ln|x?|x|ax2?a2|?C
dx(x2?a2)3??xa2x2?a2?C
xx2?a2xdx?x2?a2?C
1x2?a2?C
(x2?a2)3dx??x2x2?a2x2(x2?dx?x2x2?a2?xx2?a2a2ln|x?2?ln|x?x2?a2|?C x2?a2|?C
a2)3?dx??dxxx2?a21aarccos?Ca|x|
dxx2x2?a2?x2?a2?C a2xxa2x2?a2?ln|x?x2?a2|?C 9．?x2?a2dx?2
2八、含有a2?x2(a?0)的積分 1．?2．?3．?4．?5．?6．?7．?8．?dxa2?x2dx(a2?x2)3?arcsin??x?C ax?C
a2a2?x2xa2?xx2dx??a2?x2?C dx?1a2?x2?C
(a2?x2)3x2a2?x2x2dx??x2a2?x2?xa2?x2a2xarcsin?C 2ax?C a(a2?x2)3dxxa2?x2?dx??arcsin1a?a2?x2ln?Ca|x|
dxx2a2?x2??a2?x2?C a2xxa2xa2?x2?arcsin?C 9．?a2?x2dx?22a青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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不定積分
九、含有?ax2?bx?c(a?0)的積分
十、含有?x?a或(x?a)(x?b)的積分
x?b
十一、含有三角函數(shù)的積分 1．?secxdx?ln|secx?tanx|?C 2．?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C 3．?secxtanxdx?secx?C 4．?cscxcotxdx??cscx?C 5．?sin2xdx?x?1sin2x?C
24x16．?cos2xdx??sin2x?C
241n?17．?sinnxdx??sinn?1xcosx??sinn?2xdx
nn1n?18．?cosnxdx?cosn?1xsinx??cosn?2xdx
nn9．?sinaxcosbxdx??11cos(a?b)x?cos(a?b)x?C2(a?b)2(a?b)11sin(a?b)x?sin(a?b)x?C2(a?b)2(a?b)10．?sinaxsinbxdx??11．?cosaxcosbxdx?11sin(a?b)x?sin(a?b)x?C2(a?b)2(a?b)
12．?dx?a?bsinx2a2?b2atanarctanx?b2?C(a2?b2)a2?b213．?dx?a?bsinxx?b?b2?a222ln22xb?aatan?b?b2?a22atan?C(a2?b2)
14．?dx2?a?bcosxa?ba?barctana?b?a?bxtana?b2??C(a2?b2)
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不定積分
x?a?b2lnb?axtan?2tana?bb?aa?bb?a14．?dx2?a?bcosxa?b?C(a2?b2)
例2求?dx??
5?4cosx解??這是含三角函數(shù)的積分?? 在積分表中查得公式
dx2a?ba?bx
??arcta?ntan??C(a2?b2)??
a?bcosxa?ba?ba?b2這里a?
5、b??4??a 2?b2??于是
dx2x
??arcta?ntan??C
5?4cosx5?(?4)5?(?4)5?(?4)25?(?4)5?(?4)x?3ntan??C??
?2arcta32例??求?sin4xdx??
解??這是含三角函數(shù)的積分?? 在積分表中查得公式
1n?1x1nxdxn?1xcosn?2xdx??sinx?
?sin???sin2xdx??sin2x?C?
?sinnn24這里n?4??于是
1313x14xdx3xcos2xdx3xcos??sinx??sin??sinx?(?sin2x)?C??
?sin444424
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
第二篇：高等數(shù)學(xué)電子教案12
高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
第十二章
無(wú)窮級(jí)數(shù)
教學(xué)目的：
1、理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念。
2、了解無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。
3、掌握幾何級(jí)數(shù)和p-級(jí)數(shù)的收斂性。
4、掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。
5、掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理，會(huì)估計(jì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差。
6、了解無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。
7、理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性、收斂域及和函數(shù)的概念，了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性概念，了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。
8、掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法，了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。
9、會(huì)利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)求和
10、了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。
11、會(huì)利用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式將一些簡(jiǎn)單的函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)。
12、理解函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷條件。
13、掌握將定義在區(qū)間(－π，π)上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的方法。
14、會(huì)將定義在區(qū)間[0，π]上的函數(shù)展開為正弦或余弦級(jí)數(shù)。
15、會(huì)將定義在區(qū)間(－l，l)上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn) ：
1、級(jí)數(shù)收斂的定義及條件
2、判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散
3、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；
4、泰勒級(jí)數(shù)
5、函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：
1、級(jí)數(shù)收斂的定義及條件
2、判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散
3、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；
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4、泰勒級(jí)數(shù)；
5、函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)
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§12? 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)
一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念
常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)? 一般地，給定一個(gè)數(shù)列
u1? u2? u3? ? ? ?? un? ? ? ??
則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式
u1 ? u2 ? u3 ? ? ? ?? un ? ? ? ?
?叫做（常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)? 簡(jiǎn)稱（常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)? 記為?un? 即
n?1?
?un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?
n?1其中第n項(xiàng)u n 叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)?
?
級(jí)數(shù)的部分和? 作級(jí)數(shù)?un的前n項(xiàng)和
n?1n
sn??ui?u1?u2?u3? ? ? ? ?un
i?1?稱為級(jí)數(shù)?un的部分和?
n?1?級(jí)數(shù)斂散性定義? 如果級(jí)數(shù)?un的部分和數(shù)列{sn}有極限s?
n?1即
limsn?s?
n???則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)?un收斂? 這時(shí)極限s叫做這級(jí)數(shù)的和?
n?1并寫成
?
s??un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?
n?1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
?如果{sn}沒(méi)有極限? 則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)?un發(fā)散?
n?1?n?1?n?
1余項(xiàng)? 當(dāng)級(jí)數(shù)?un收斂時(shí)? 其部分和s n是級(jí)數(shù)?un的和s的近似值? 它們之間的差值
rn?s?sn?un?1?un?2? ? ? ?
?叫做級(jí)數(shù)?un的余項(xiàng)?
n?1
例1 討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))
?aqn?a?aq?aq2? ? ? ? ?aqn? ? ? ?
n?0?的斂散性? 其中a?0? q叫做級(jí)數(shù)的公比?
解： 如果q?1? 則部分和
sn?a?aq?aq? ? ? ? ?aq2n?1a?aqnaqna????
1?q1?q1?q?aa
當(dāng)|q|?1時(shí)? 因?yàn)閘imsn?? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)?aqn收斂? 其和為?
1?q1?qn??n?0
當(dāng)|q|>1時(shí)? 因?yàn)閘imsn??? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)?aqn發(fā)散?
n??n?0?
如果|q|?1? 則當(dāng)q?1時(shí)? sn ?na??? 因此級(jí)數(shù)?aqn發(fā)散?
n?0?
當(dāng)q??1時(shí)? 級(jí)數(shù)?aqn成為
n?0?
a?a?a?a? ? ? ??
時(shí)|q|?1時(shí)? 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零?
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所以sn的極限不存在? 從而這時(shí)級(jí)數(shù)?aqn也發(fā)散?
n?0??a
綜上所述? 如果|q|?1? 則級(jí)數(shù)?aq收斂? 其和為? 如果|q|?1? 則級(jí)數(shù)?aqn發(fā)散?
1?qn?0n?0n?
僅當(dāng)|q|?1時(shí)? 幾何級(jí)數(shù)?aqna?0)收斂? 其和為n?0?a?
1?q
例2 證明級(jí)數(shù)
1?3?5?? ? ??（2n-1）?? ? ? 是發(fā)散的?
證 此級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和為
n(2?1n)?n
sn?1?3?5? ? ? ? ?(? ?
顯然? limsn??? 因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的?
n??
例3 判別無(wú)窮級(jí)數(shù)
1111??? ? ? ? ?? ? ? ?
1?22?33?4n(n?1)的收斂性?
解 由于
un?因此
sn?1111??? ? ? ? ? 1?22?33?4n(n?1)111???
n(n?1)nn?1
?(1?)?(?)? ? ? ? ?(?從而
limsn?lim(1?n??n??1212131n11)?1?n?1n?11)?1?
n?1所以這級(jí)數(shù)收斂? 它的和是1?
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提示? un? 111???
n(n?1)nn?1
二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)
?n?1?n?
1性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)?un收斂于和s? 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級(jí)數(shù)?kun也收斂?
且其和為ks?
證明： 設(shè)?un與?kun的部分和分別為sn與?n? 則
n?1n?1??
lim?n?lim(ku1?ku2? ? ? ? kun)?klim(u1?u2? ? ? ? un)?klimsn?ks?
n??n??n??n???這表明級(jí)數(shù)?kun收斂? 且和為ks?
n?1表明：級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以一個(gè)不為零常數(shù)后，它的收斂性不會(huì)改變。
性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)?un、?vn分別收斂于和s、?? 則級(jí)數(shù)?(un?vn)也收斂? 且其和為s???
n?1n?1n?1???
證明： 如果?un、?vn、?(un?vn)的部分和分別為sn、?n、?n? 則
n?1n?1n?1???
lim?n?lim[(u1?v1)?(u2?v2)? ? ? ? ?(un?vn)]
n??n??
?lim[(u1?u2? ? ? ? ?un)?(v1?v2? ? ? ? ?vn)]
n??
?lim(sn??n)?s???
n??表明：兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減。
性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)? 不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性?
比如? 級(jí)數(shù)1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是收斂的?
1?22?33?4n(n?1)青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
加一項(xiàng)后級(jí)數(shù)9895?11?2?12?3?13?4? ? ? ? ?1n(n?1)? ? ? ? 也是收斂的?
減一項(xiàng)后級(jí)數(shù)111?? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?
3?44?5n(n?1)?
性質(zhì)4 如果級(jí)數(shù)?un收斂? 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂? 且其和不變?
n?1注意? 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂? 則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂?
例如? 級(jí)數(shù)
（1?1)+（1?1)+? ? ?收斂于零? 但級(jí)數(shù)1?1?1?1?? ? ?卻是發(fā)散的?
推論? 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散? 則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散?
級(jí)數(shù)收斂的必要條件?
?
性質(zhì)5 如果?un收斂? 則它的一般項(xiàng)un 趨于零? 即limun?0?
n?1n?0?
證 ： 設(shè)級(jí)數(shù)?un的部分和為sn? 且limsn?s? 則
n?1n??
limun?lim(sn?sn?1)?limsn?limsn?1?s?s?0?
n?0n??n??n??
注意? 級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件?
例如
調(diào)和級(jí)數(shù)
?1111?1??? ? ? ? ?? ? ? ?
23nn?1n1n??盡管它的一般項(xiàng)limn???0，但它是發(fā)散的?
因?yàn)?/p>
假若級(jí)數(shù)?1收斂且其和為s? sn是它的部分和?
nn?1顯然有l(wèi)imsn?s及l(fā)ims2n?s? 于是lim(s2n?sn)?0?
n??n??n??
但另一方面?
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s2n?sn?1?n?1111111? ? ? ? ???? ? ? ? ???
n?22n2n2n2n2?故lim(s2n?sn)?0? 矛盾? 這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù)?1必定發(fā)散?
n??n?1n§12? 2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法
一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法
定義：各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。正項(xiàng)級(jí)數(shù)是一類非常重要的級(jí)數(shù)，關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)有列重要結(jié)論：
?定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)?un收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界?
n?1證
設(shè)級(jí)數(shù)
u1? u2? ? ? ? ? un ? ? ? ?
是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)。其部分和為sn
顯然sn是一個(gè)單調(diào)增加數(shù)列，若部分和數(shù)列sn有界? 則根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有 極限的準(zhǔn)則，可知級(jí)數(shù)?un收斂；反之? 若級(jí)數(shù)?un收斂，則部分和數(shù)列sn有極限，根據(jù)有極限的數(shù)列是有界數(shù)列的性質(zhì)可知{sn}有界??
?n?1?n?1?n?1定理2(比較審斂法)設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 且un?vn(n?1? 2? ? ? ?)? 若級(jí)數(shù)?vn收?n?1?n?1?n?1斂? 則級(jí)數(shù)?un收斂? 反之? 若級(jí)數(shù)?un發(fā)散? 則級(jí)數(shù)?vn發(fā)散?
證
設(shè)級(jí)數(shù)?vn收斂于和?? 則級(jí)數(shù)?un的部分和
n?1n?1??
sn?u1?u2? ? ? ? ?un?v1? v2? ? ? ? ?vn??(n?1, 2, ? ? ?)?
?即部分和數(shù)列{sn}有界? 由定理1知級(jí)數(shù)?un收斂?
n?1?n?1?n?反之? 設(shè)級(jí)數(shù)?un發(fā)散? 則級(jí)數(shù)?vn必發(fā)散?
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?n?1?n?1因?yàn)槿艏?jí)數(shù)?vn收斂? 由上已證明的結(jié)論? 將有級(jí)數(shù)?un也收斂? 與假設(shè)矛盾?
?n?1?n?1?n?1
推論
設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 如果級(jí)數(shù)?vn收斂? 且存在自然數(shù)N? 使當(dāng)n?N時(shí)有?n?1?n?1un?kvn(k?0)成立? 則級(jí)數(shù)?un收斂? 如果級(jí)數(shù)?vn發(fā)散? 且當(dāng)n?N時(shí)有un?kvn(k?0)成立?
?則級(jí)數(shù)?un發(fā)散?
n?1
例1 討論p?級(jí)數(shù)
?
?n?111111?1???? ? ? ? ?? ? ? ?
np2p3p4pnp的收斂性? 其中常數(shù)p?0?
111解 設(shè)p?1? 這時(shí)p?? 而調(diào)和級(jí)數(shù)?發(fā)散? 由比較審斂法知?
nnn?1n??當(dāng)p?1時(shí)級(jí)數(shù)?n?11發(fā)散?
pn
設(shè)p?1? 此時(shí)有
nn111111?dx?dx?[?p?1](n?2, 3, ? ? ?)?
??pppp?1n?1nn?1xp?1(n?1)nn?對(duì)于級(jí)數(shù)?[n?211?p?1]? 其部分和 p?1(n?1)n1]?[p?112p?1?]? ? ? ? ?[p?111np?1?11]?1??
p?1p?1(n?1)(n?1)
sn?[1?23因?yàn)閘imsn?lim[1?n??n??1]?1?
(n?1)p?1?111所以級(jí)數(shù)?[收斂? 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知? 級(jí)數(shù)當(dāng)?]?pp?1p?1nn?2(n?1)n?1n青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 ?高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
p?1時(shí)收斂?
綜上所述? p?級(jí)數(shù)?1p當(dāng)p?1時(shí)收斂? 當(dāng)p?1時(shí)發(fā)散?
n?1?n?提示? 級(jí)數(shù)?[n?211?]的部分和為
(n?1)p?1np?112p?1
sn?[1?12p?1]?[?13p?1]? ? ? ? ?[1np?1?11?
]?1?p?1(n?1)(n?1)p?1因?yàn)閘imsn?lim[1?n??n??1]?1?
(n?1)p?1?所以級(jí)數(shù)?[n?211?]收斂?
(n?1)p?1np?1?
p?級(jí)數(shù)的收斂性?
p?級(jí)數(shù)?n?11當(dāng)p?1時(shí)收斂? 當(dāng)p?1時(shí)發(fā)散?
pn?
例2 證明級(jí)數(shù)?n?11n(n?1)是發(fā)散的?
證 因?yàn)?n(n?1)?1(n?1)2?1?
n?1?而級(jí)數(shù)?n?11111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是發(fā)散的?
n?123n?1根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的?
定理3(比較審斂法的極限形式)?n?1?n?1
設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)?
(1)如果limn??unvn?n?1?n?1?l(0?l???)? 且級(jí)數(shù)?vn收斂? 則級(jí)數(shù)?un收斂?
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(2)如果limn??unvn?l?0或limn??unvn?n?1?n?1???? 且級(jí)數(shù)?vn發(fā)散? 則級(jí)數(shù)?un發(fā)散?
證明 由極限的定義可知? 對(duì)??1l? 存在自然數(shù)N? 當(dāng)n?N時(shí)? 有不等式 l?u1113l?n?l?l?
即lvn?un?lvn?
222vn2再根據(jù)比較審斂法的推論1? 即得所要證的結(jié)論?
?
例3 判別級(jí)數(shù)?tann?11n的收斂性?
tan1?
解 因?yàn)?limn??n?1? 而級(jí)數(shù)1發(fā)散?
?1n?1nn?根據(jù)比較審斂法的極限形式? 級(jí)數(shù)?tann?1?1n發(fā)散?
例4 判別級(jí)數(shù)?n?11(2n?1)(2n?1)的收斂性?
1?1(2n?1)(2n?1)1?? 而級(jí)數(shù)?2收斂?
解 因?yàn)?limn??14n?1n2n?根據(jù)比較審斂法的極限形式? 級(jí)數(shù)?n?11(2n?1)(2n?1)收斂?
定理4(比值審斂法? 達(dá)朗貝爾判別法)?
若正項(xiàng)級(jí)數(shù)?un的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于??
n?1
limn??un?1un???
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則
當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)收斂?
當(dāng)??1(或limn??un?1un??)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散?
當(dāng)? ?1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?
例5 證明級(jí)數(shù)1??是收斂的?
解 因?yàn)?limn??1111?? ? ? ? ?? ? ? ? 11?21?2?31?2?3 ? ? ?(n?1)un?1un? limn??1?2?3 ? ? ?(n?1)1?2?3 ? ? ? n? limn??1?0?1?
n根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂?
例6 判別級(jí)數(shù)11?21?2?3n!?2?? ? ? ? ?? ? ? ? 的收斂性?
3n10101010
解 因?yàn)?limn??un?1un(n?1)!10nn?1? lim?? lim???
n?1n!n??10n??10根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散?
?
例7 判別級(jí)數(shù)?n?112n?(2n?1)的收斂性?
解 limn??un?1un? limn??2n?(2n?1)(2n?1)?(2n?2)?1?
這時(shí)??1? 比值審斂法失效? 必須用其它方法來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂性?
因?yàn)?/p>
定理5(根值審斂法? 柯西判別法)?1(2n?1)?2n?1n2?? 而級(jí)數(shù)?n?11收斂? 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂?
n
2設(shè)?un是正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于??
n?1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
limn??nun???
n則當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)收斂? 當(dāng)??1(或limn??un???)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散?
當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?
例8 證明級(jí)數(shù)1?12?13? ? ? ? ?1n? ? ? ? 是收斂的?
23n并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差?
解 因?yàn)?limn??nun? limnn??11? lim?0?
nn??nn所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂?
以這級(jí)數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為
|rn|?
?
?111??? ? ? ?
(n?1)n?1(n?2)n?2(n?3)n?3111??? ? ? ? ?
n?1n?2n?3(n?1)(n?1)(n?1)1?
nn(n?1)?
例9 判定級(jí)數(shù)?n?12?(?1)n2n的收斂性?
解 因?yàn)? limn??nun?lim1n12?(?1)n??
2n??2所以? 根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂?
定理6(極限審斂法)
設(shè)?un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)?
n?1?
(1)如果limnun?l?0(或limnun???)? 則級(jí)數(shù)?un發(fā)散?
n??n???n?1?
(2)如果p?1? 而limnpun?l(0?l???)? 則級(jí)數(shù)?un收斂?
n??n?1?
例7 判定級(jí)數(shù)?ln(1?n?11)的收斂性?
n2青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
解 因?yàn)閘n(1?12)~12(n??)? 故
nn
limn2un?limn2ln(1?12)?limn2?12?1?
n??n??nn??n根據(jù)極限審斂法? 知所給級(jí)數(shù)收斂?
例8 判定級(jí)數(shù)?n?1(1?cos?)的收斂性?
n?1?n
解 因?yàn)?limn??3n2un?limn??3n2n?1(1?cos?n)?limn2n??n?11?212?()???
n2n2根據(jù)極限審斂法? 知所給級(jí)數(shù)收斂?
二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法
交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù)? 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的?
??
交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為 ?(?1)n?1n?1nun? 或?(?1)un 其中un?0?
n?1?
例如? ?(?1)n?1n?111?cosn? 不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)?
是交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 但?(?1)n?1nnn?1?
定理7（萊布尼茨定理）
如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)?(?1)n?1un滿足條件?
n?1?
(1)un?un?1(n?1? 2? 3? ? ? ?)?
(2)limun?0?
n??則級(jí)數(shù)收斂? 且其和s?u1? 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|?un?1?
證明? 設(shè)前2n項(xiàng)部分和為s2n?
由s2n?(u1?u2)?(u3?u4)? ? ? ? ?(u2n 1?u2n)?
及
s2n?u1?(u2?u3)?(u4?u5)? ? ? ? ?(u2n?2?u2n?1)?u2n
看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n?u1)? 所以收斂?
設(shè)s2n?s(n??)? 則也有s2n?1?s2n?u2n?1?s(n??)? 所以sn?s(n??)? 從而級(jí)數(shù)是收斂的? 且sn?u1?
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
因?yàn)?|rn|?un?1?un?2?? ? ?也是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 所以|rn|?un?1?
例9 證明級(jí)數(shù)?(?1)n?11 收斂? 并估計(jì)和及余項(xiàng)?
n?1?n
證
這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足
(1)un?1?1?un?1(n?1, 2,? ? ?)?
(2)limun?lim1?0?
nn?1n??n??n由萊布尼茨定理? 級(jí)數(shù)是收斂的? 且其和s?u1?1? 余項(xiàng)|rn|?un?1?
1三、絕對(duì)收斂與條件收斂?
?n?1?n?1n?1?
絕對(duì)收斂與條件收斂? 若級(jí)數(shù)?|un|收斂? 則稱級(jí)數(shù)?un絕對(duì)收斂?
?n?1?n?1?n?1若級(jí)數(shù)?un收斂? 而級(jí)數(shù)?|un|發(fā)散? 則稱級(jí)?un條件收斂?
例如 級(jí)數(shù)?(?1)n?1?n?11n?11是絕對(duì)收斂的? 而級(jí)數(shù)是條件收斂的?
(?1)?nn2n?1?n?1??n?1定理8 如果級(jí)數(shù)?un絕對(duì)收斂? 則級(jí)數(shù)?un必定收斂?
證明略
?n?1?n?
1注意? 如果級(jí)數(shù)?|un|發(fā)散? 我們不能斷定級(jí)數(shù)?un也發(fā)散?
?
但是? 如果我們用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)?|un|發(fā)散?
n?1?則我們可以斷定級(jí)數(shù)?un必定發(fā)散?
n?1?這是因?yàn)? 此時(shí)|un|不趨向于零? 從而un也不趨向于零? 因此級(jí)數(shù)?un也是發(fā)散的?
n?1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
?
例11 判別級(jí)數(shù)?n?1sinnan1n44的收斂性?
解 因?yàn)閨sinnan4?|?? 而級(jí)數(shù)?n?11n4是收斂的?
?所以級(jí)數(shù)?|n?1sinnan?4?|也收斂? 從而級(jí)數(shù)?n?1sinnan4絕對(duì)收斂?
2例12 判別級(jí)數(shù)?(?1)n1n(1?1)n的收斂性?
n?12n
解? 由|un|?11n2n|u|?1lim(1?1)n?1e?1?
? 有(1?)limnn2n??n2n??2n?可知limun?0? 因此級(jí)數(shù)?(?1)nn??n?111n2(1?)發(fā)散?
n2n
§ 12? 3 冪級(jí)數(shù)
一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念
函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)? 給定一個(gè)定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列：
u1(x)，u2(x)，u3(x)，? ? ?? ? ? un(x)? ?? ? ? 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式
u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x)? ? ? ?
稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)?
記為?un(x)?
n?1?
對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0? 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x0)收斂? 則稱
n?1?點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)?un(x)的收斂點(diǎn)?
若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x0)發(fā)散? 則稱
n?1n?1??青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)?un(x)的發(fā)散點(diǎn)?。
n?1?函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域?
n?1?
所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域?
在收斂域上? 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的和是x的函數(shù)s(x)?
n?1?s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的和函數(shù)? 并寫成s(x)??un(x)?
n?1n?1??
∑un(x)是?un(x)的簡(jiǎn)便記法? 以下不再重述?
n?1?
在收斂域上? 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x)?
s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和函數(shù)? 并寫成s(x)?∑un(x)?
這函數(shù)的定義就是級(jí)數(shù)的收斂域。
函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x)? 即
sn(x)? u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x)?
在收斂域上有l(wèi)imsn(x)?s(x)或sn(x)?s(x)(n??)?
n??
函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差
rn(x)?s(x)?sn(x)n?1?叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的余項(xiàng)?
n?1?
函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的余項(xiàng)記為rn(x)? 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn(x)?s(x)?sn(x)?
在收斂域上有l(wèi)imrn(x)?0?
n??
二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性
冪級(jí)數(shù)?
函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中簡(jiǎn)單而常見(jiàn)的一類級(jí)數(shù)就是各項(xiàng)都冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?
這種形式的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)? 它的形式是
a0?a1x?a2x? ? ? ? ?anx? ? ? ? ?
其中常數(shù)a0? a1? a2? ? ? ? ? an ? ? ? ?叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù)?
例如一下級(jí)數(shù)?
1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn ? ? ? ? ?
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
2n高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
1?x?121x? ? ? ? ?xn? ? ? ? ?
2!n!2
n
注? 冪級(jí)數(shù)的一般形式是
a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)? ? ? ? ?an(x?x0)? ? ? ? ?
經(jīng)變換t?x?x0就得a0?a1t?a2t2? ? ? ? ?antn? ? ? ? ?
冪級(jí)數(shù)
1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn ? ? ? ?
可以看成是公比為x的幾何級(jí)數(shù)? 當(dāng)|x|?1時(shí)它是收斂的? 當(dāng)|x|?1時(shí)? 它是發(fā)散的?
因此它的收斂域?yàn)??1? 1)? 在收斂域內(nèi)有
1?1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn? ? ? ? ?
1?x由此例可得：
定理1(阿貝爾定理)如果級(jí)數(shù)?anxn當(dāng)x?x0(x0?0)時(shí)收斂? 則適合不等式
n?0?|x|?|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂? 反之? 如果級(jí)數(shù)?anxn當(dāng)x?x0時(shí)發(fā)散?
n?0?則適合不等式|x|?|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散?
證
先設(shè)x0是冪級(jí)數(shù)?anx的收斂點(diǎn)? 即級(jí)數(shù)?anxn收斂? 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件?
n?0n?0n有l(wèi)imanx0?0? 于是存在一個(gè)常數(shù)M? 使 n???n?| anx0n |?M(n?0, 1, 2, ? ? ?)?
這樣級(jí)數(shù)n?0?anxn的的一般項(xiàng)的絕對(duì)值
xnxxn?n|?|anx0|?||n?M?||n?
x0x0x0??|anxnn|?|anx0?xn因?yàn)楫?dāng)|x|?|x0|時(shí)? 等比級(jí)數(shù)?M?||收斂? 所以級(jí)數(shù)?|anxn|收斂?
x0n?0n?0?也就是級(jí)數(shù)n?0?anxn絕對(duì)收斂?
定理的第二部分可用反證法證明? 倘若冪級(jí)數(shù)當(dāng)x?x0時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)x1適合|x1|>|x0|使級(jí)青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
數(shù)收斂? 則根據(jù)本定理的第一部分? 級(jí)數(shù)當(dāng)x?x0時(shí)應(yīng)收斂? 這與所設(shè)矛盾? 定理得證?
推論
如果級(jí)數(shù)?anxn不是僅在點(diǎn)x?0一點(diǎn)收斂? 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂? 則必有一個(gè)n?0?完全確定的正數(shù)R存在? 使得
當(dāng)|x|?R時(shí)? 冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂?
當(dāng)|x|?R時(shí)? 冪級(jí)數(shù)發(fā)散?
當(dāng)x?R與x??R時(shí)? 冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?
收斂半徑與收斂區(qū)間? 正數(shù)R通常叫做冪級(jí)數(shù)數(shù)??n?0?anxn的收斂半徑? 開區(qū)間(?R? R)叫做冪級(jí)
?n?0?anxn的收斂區(qū)間? 再由冪級(jí)數(shù)在x??R處的收斂性就可以決定它的收斂域? 冪級(jí)數(shù)n?0?anxn的收斂域是(?R, R)(或[?R, R)、(?R, R]、[?R, R]之一?
?n?
規(guī)定? 若冪級(jí)數(shù)?anx只在x?0收斂? 則規(guī)定收斂半徑R?0 ? 若冪級(jí)數(shù)?anxn對(duì)一切x都n?0n?0收斂? 則規(guī)定收斂半徑R???? 這時(shí)收斂域?yàn)???, ??)?
關(guān)于冪級(jí)數(shù)的收斂半徑求法，有下列定理：
定理2 如果lim|n??an?1an|??? 其中an、an?1是冪級(jí)數(shù)?anxn的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)?
n?0?則這冪級(jí)數(shù)的收斂半徑
? ?? ??0??1 ??0?
R??????0 ????
簡(jiǎn)要證明? lim|n??an?1xn?1anxn|?lim|n??an?1an|?|x| ??|x|?
(1)如果0?????? 則只當(dāng)?|x|?1時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂? 故R?
(2)如果??0? 則冪級(jí)數(shù)總是收斂的? 故R????
1??
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
(3)如果????? 則只當(dāng)x?0時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂? 故R?0?
例1 求冪級(jí)數(shù)?(?1)n?1?n?1xn的收斂半徑與收斂域?
n1a
解
因?yàn)?? lim|n?1|? limn?1?1?
n??an??1nn所以收斂半徑為R?1??1?
?
當(dāng)x?1時(shí)? 冪級(jí)數(shù)成為?(?1)n?1n?1?1? 是收斂的?
n
1當(dāng)x??1時(shí)? 冪級(jí)數(shù)成為?(?)? 是發(fā)散的? 因此? 收斂域?yàn)??1, 1]?
nn?1
例2 求冪級(jí)數(shù)?1?x?1nx n!n?0?12131的收斂域?
x?x? ? ? ? ?xn? ? ? ? 2!3!n!
1a(n?1)!n!? lim?0?
解
因?yàn)?? lim|n?1| ? limn??an??n??(n?1)!1nn!所以收斂半徑為R???? 從而收斂域?yàn)???, ??)?
例3 求冪級(jí)數(shù)?n!xn的收斂半徑?
n?0?
解 因?yàn)?/p>
?? lim|n??an?1an| ? lim(n?1)!n!n??????
所以收斂半徑為R?0? 即級(jí)數(shù)僅在x?0處收斂?
例4 求冪級(jí)數(shù)??(2n)!2n?0(n!)x2n的收斂半徑?
解 級(jí)數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng)? 定理2不能應(yīng)用? 可根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑?
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)記為un(x)?(2n)!(n!)2x2n?
因?yàn)?lim|n??un?1(x)un(x)| ?4|x|2?
當(dāng)4|x|?1即|x|?21112時(shí)級(jí)數(shù)收斂? 當(dāng)4|x|?1即|x|?時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散? 所以收斂半徑為R?? 222[2(n?1)]!(n!)22提示?
un?1(x)un(x)x2(n?1)??(2n?2)(2n?1)(n?1)2x2?
x2n
例5 求冪級(jí)數(shù)??(x?1)n2nn的收斂域?
?n?1tn
解 令t?x?1? 上述級(jí)數(shù)變?yōu)?n?
n?12n
因?yàn)??? lim|n??an?1an2n?n1| ?n?1??
2?(n?1)2所以收斂半徑R?2?
?(?1)1
當(dāng)t?2時(shí)? 級(jí)數(shù)成為?? 此級(jí)數(shù)發(fā)散? 當(dāng)t??2時(shí)? 級(jí)數(shù)成為?? 此級(jí)數(shù)收斂?
nnn?1n?1?因此級(jí)數(shù)?tn的收斂域?yàn)?2?t?2? 因?yàn)?2?x?1?2? 即?1?x?3?
nn?12n?所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇?1, 3)?
三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算
設(shè)冪級(jí)數(shù)∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(?R, R)及(?R?, R?)內(nèi)收斂? 則在(?R, R)與(?R?, R?)中較小的區(qū)間內(nèi)有
加法? ∑anx?∑bnx ?∑(an?bn)x ?
減法? ∑anxn?∑bnxn ?∑(an?bn)xn ?
乘法?(?anx)?(?bnxn)?a0b0?(a0b1?a1b0)x?(a0b2?a1b1?a2b0)x2? ? ? ?
nn?0n?0??nn
n?(a0bn?a1bn?1? ? ? ? ?anb0)x? ? ? ?
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 n高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
?? 除法：n?0?n?0anxxn??nn?b?cn?0nx n??nnx與?cnx相乘，然后比較
n?0n
這里假定b0?0。為了決定系數(shù)cn，可以將
?bn?0?與?anxn的同次冪項(xiàng)系數(shù)得出。
n?0關(guān)于冪級(jí)數(shù)，有以下的重要性質(zhì)
性質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)?
n?0?
如果冪級(jí)數(shù)在x?R(或x??R)也收斂? 則和函數(shù)s(x)在(?R, R](或[?R, R))連續(xù)?
性質(zhì)2 冪級(jí)數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積? 并且有逐項(xiàng)積分公式
n?0?
?0xs(x)dx??(?anx)dx?0n?0x?nn?0??0?xanxdx?nn?0n?1??anxn?1(x?I)?
逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑?
性質(zhì)3 冪級(jí)數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(?R? R)內(nèi)可導(dǎo)? 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式
n?0?
s?(x)?(?anx)??n?0?nn?0?(anx)???nanxn?1(|x|?R)?
n?1?n?逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑?
例6 求冪級(jí)數(shù)?1xn的和函數(shù)?
n?0n?1??
解 求得冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇?1? 1)?
設(shè)和函數(shù)為s(x)? 即s(x)?
在xs(x)?1xn? x?[?1? 1)? 顯然s(0)?1?
n?0n?1?1n?1x的兩邊求導(dǎo)得 n?1n?0??
[xs(x)]??n?0?(??11xn?1)???xn??
n?11?xn?0對(duì)上式從0到x積分? 得
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
xs(x)??1dx??ln1(?x)?
01?xx1???ln(1?x)0?|x|?11于是? 當(dāng)x ?0時(shí)? 有s(x)??ln(1?x)? 從而s(x)??x?
x? 1 x?0?x?11n?
1因?yàn)閤s(x)??x??[?xn?1]?dx
0n?0n?1n?0n?1?
??x?0n?0?xndx??1dx??ln1(?x)?
01?xx所以? 當(dāng)x?0時(shí)? 有s(x)??1ln(1?x)?
x1???ln(1?x)0?|x|?1從而 s(x)??x?
? 1 x?0?提示? 應(yīng)用公式?F?(x)dx?F(x)?F(0)? 即F(x)?F(0)??F?(x)dx?
001?1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn? ? ? ? ? 1?xxx
例7 求級(jí)數(shù)??(?1)nn?1的和?
n?0
解
考慮冪級(jí)數(shù)?1xn? 此級(jí)數(shù)在[?1, 1)上收斂? 設(shè)其和
n?0n?1??函數(shù)為s(x)? 則s(?1)??(?1)nn?1?
n?0?(?1)11?ln?
在例6中已得到xs(x)?ln(1?x)? 于是?s(?1)?ln2? s(?1)?ln? 即?22n?0n?1n
§12? 4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)
一、泰勒級(jí)數(shù)
問(wèn)題? 給定函數(shù)f(x)? 要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成冪級(jí)數(shù)”? 就是說(shuō)? 是否能找到這樣一個(gè)冪級(jí)數(shù)? 它在某區(qū)間內(nèi)收斂? 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x)?
如果能找到這樣青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 的冪級(jí)數(shù)? 我們就說(shuō)? 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù)? 或簡(jiǎn)單地說(shuō)函數(shù)f(x)能展開成冪級(jí)數(shù)? 而該級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x)?
以前學(xué)過(guò)泰勒多項(xiàng)式? 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)? 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?
?f(n?1)f??(x0)2!(x?x0)2? ? ? ?
f(n)(x0)n!(x?x0)n?Rn(x)?
其中Rn(x)?(?)(n?1)!(x?x0)n?1(?介于x與x0之間)?
泰勒級(jí)數(shù)? 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f?(x)? f??(x)? ? ? ? ?
f(n)(x)? ? ? ? ? 則當(dāng)n??時(shí)? f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式
pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?成為冪級(jí)數(shù)
f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)?2f??(x0)2!(x?x0)? ? ? ? ?2f(n)(x0)n!(x?x0)n
f???(x0)3!(x?x0)? ? ? ? ?3f(n)(x0)n!(x?x0)n? ? ? ?
這一冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)?
顯然? 當(dāng)x?x0時(shí)? f(x)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x0)?
但是 除了x?x0外? f(x)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂? 如果收斂? 它是否一定收斂于f(x)? 對(duì)此，有以下定理：
定理
設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)? 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n?0時(shí)的極限為零? 即
n??limRn(x)?0(x?U(x0))?
證明
先證必要性? 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級(jí)數(shù)? 即
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)? ? ? ? ?2f(n)(x0)n!(x?x0)n? ? ? ? ?
又設(shè)sn?1(x)是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)的前n?1項(xiàng)的和? 則在U(x0)內(nèi)sn?1(x)? f(x)(n??)?
而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)?sn?1(x)?Rn(x)? 于是R n(x)?f(x)?sn?1(x)?0(n??)?
再證充分性? 設(shè)Rn(x)?0(n??)對(duì)一切x?U(x0)成立?
因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)?sn?1(x)?R n(x)? 于是sn?1(x)?f(x)?R n(x)?f(x)?
即f(x)的泰勒級(jí)數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂? 并且收斂于f(x)?
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
在泰勒級(jí)數(shù)中取x0?0? 得
f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ??
此級(jí)數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)?
展開式的唯一性? 如果f(x)能展開成x的冪級(jí)數(shù)? 那么這種展式是唯一的? 它一定與f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)一致?
這是因?yàn)? 如果f(x)在點(diǎn)x0?0的某鄰域(?R? R)內(nèi)能展開成x的冪級(jí)數(shù)? 即
f(x)?a0?a1x?a2x? ? ? ? ?anx? ? ? ? ?
那么根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)? 有 f ?(x)?a1?2a2x?3a3x? ? ? ??nanx? ? ? ? ?
f ??(x)?2!a2?3?2a3x? ? ? ? ? n?(n?1)anxn?2 ? ? ? ? ?
f ???(x)?3!a3? ? ? ??n?(n?1)(n?2)anxn?3 ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
f(n)(x)?n!an?(n?1)n(n?1)? ? ? 2an?1x ? ? ? ? ?
于是得
a0?f(0)? a1?f ?(0)? a2?f??(0)2!2n?12n
? ? ? ?? an?f(n)(0)n!? ? ? ??
注意? 如果f(x)能展開成x的冪級(jí)數(shù)? 那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)? 但是? 反過(guò)來(lái)如果f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0?0的某鄰域內(nèi)收斂? 它卻不一定收斂于f(x)? 因此? 如果f(x)在點(diǎn)x0?0處具有各階導(dǎo)數(shù)? 則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能作出來(lái)? 但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂? 以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察?
二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)
展開步驟?
第一步
求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)? f ?(x)? f ??(x)? ? ? ? ? f(n)(x)? ? ? ? ?
第二步
求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x?0 處的值?
f(0)? f ?(0)? f ??(0)? ? ? ? ? f(0)? ? ? ? ?
第三步
寫出冪級(jí)數(shù)
f(0)?f?(0)x?并求出收斂半徑R?
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組(n)f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ? ? 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
第四步
考察在區(qū)間(?R? R)內(nèi)時(shí)是否Rn(x)?0(n??)?
limRn(x)?limn??f(n?1)(?)n??(n?1)!xn?
1是否為零? 如果Rn(x)?0(n??)? 則f(x)在(?R? R)內(nèi)有展開式
f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ?(?R?x?R)?
例1 將函數(shù)f(x)?ex展開成x的冪級(jí)數(shù)?
解 所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f(x)?e(n?1? 2? ? ? ?)? 因此f
1?x?1x2? ? ? ? 1xn? ? ? ??
2!n!(n)
x
(n)
(0)?1(n?1? 2? ? ? ?)? 于是得級(jí)數(shù)
它的收斂半徑R????
對(duì)于任何有限的數(shù)x、?(?介于0與x之間)? 有
n?1e?n?1|x||x|x| ?e?
|Rn(x)| ?|?
(n?1)!(n?1)!|x|n?1?0? 所以 lim|Rn(x)|?0? 從而有展開式 而 limn??(n?1)!n??
ex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?
2!n!
例2 將函數(shù)f(x)?sin x 展開成x的冪級(jí)數(shù)?
解 因?yàn)閒(n)(n)(x)?sin(x?n? ?)(n?1? 2?
? ? ?)?
2所以f(0)順序循環(huán)地取0? 1? 0? ?1? ? ? ?((n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)? 于是得級(jí)數(shù)
2n?1x3x5n?1x?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ??
x?3!5!(2n?1)!它的收斂半徑為R????
對(duì)于任何有限的數(shù)x、?(?介于0與x之間)? 有
sin[??(n?1)?2(n?1)!]xn?1 |Rn(x)| ?||x|n?1| ??0(n ??)?
(n?1)!因此得展開式
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
sinx?x?x3x5x2n?1?? ? ? ? ?(?1)n?1? ? ? ?(???x???)?
3!5!(2n?1)!2!n!
ex?1?x?1x2? ? ? ? 1xn? ? ? ?(???x???)?
例3 將函數(shù)f(x)?(1? x)展開成x的冪級(jí)數(shù)? 其中m為任意常數(shù)?
解? f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為
f ?(x)?m(1?x)m?1?
f ??(x)?m(m?1)(1?x)
? ? ? ? ? ? ? ? ??
f(n)(x)?m(m?1)(m?2)? ? ?(m?n?1)(1?x)m?n?
? ? ? ? ? ? ? ? ??
所以
f(0)?1? f ?(0)?m? f ??(0)?m(m?1)? ? ? ?? f(n)(0)?m(m?1)(m?2)? ? ?(m?n?1)? ? ? ? 于是得冪級(jí)數(shù)
1?mx?可以證明
(1?x)m?1?mx?
間接展開法?
例4 將函數(shù)f(x)?cos x展開成x的冪級(jí)數(shù)?
解
已知
2n?1x3x5n?1x?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)?
sinx?x?3!5!(2n?1)!m?2m?
m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ? ?
m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ?(?1?x?1)?
對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得
2nx2x4nx?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)?
cosx?1?2!4!(2n)!
例5 將函數(shù)f(x)?
解 因?yàn)?展開成x的冪級(jí)數(shù)?
21?x1?1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ?(?1?x?1)?
1?x2把x換成?x? 得
1?1?x2?x4? ? ? ? ?(?1)nx2n? ? ? ?(?1?x?1)? 21?x青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
注? 收斂半徑的確定? 由?1??x?1得?1?x?1?
例6 將函數(shù)f(x)?ln(1?x)展開成x的冪級(jí)數(shù)?
分析 因?yàn)閒?(x)?1?
1?x2而1是收斂的等比級(jí)數(shù)?(?1)nxn(?1?x?1)的和函數(shù)?
1?xn?0
1?1?x?x2?x3? ? ? ? ?(?1)nxn? ? ? ? ?
1?x?所以將上式從0到x逐項(xiàng)積分? 得
n?1x2x3x4nx
ln1(?x)?x???? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(?1?x?1)?
234n?
1解?
f(x)?ln(1?x)??[ln(1?x)]?dx??0xx01dx 1?xxn?1
??[?(?1)x]dx??(?1)(?1?x?1)?
0n?1n?0n?0xnnn??
上述展開式對(duì)x?1也成立? 這是因?yàn)樯鲜接叶说膬缂?jí)數(shù)當(dāng)x?1時(shí)收斂? 而ln(1?x)在x?1處有定義且連續(xù)?
例7 將函數(shù)f(x)?sin x展開成(x?
解
因?yàn)?/p>
sinx?sin[并且有
cosx(?
sinx(??4?(x??4)的冪級(jí)數(shù)?
?4)]?2??[cos(x?)?sin(x?)]?
244?44)?1?1?1?(x?)2?(x?)4? ? ? ?(???x???)?
2!44!4?)?(x??4)?1?1?(x?)3?(x?)5? ? ? ?(???x???)?
3!45!4所以
sinx?
例8 將函數(shù)f(x)?
解 因?yàn)? 2?1?1?[1?(x?)?(x?)2?(x?)3? ? ? ?](???x???)?
242!43!41展開成(x?1)的冪級(jí)數(shù)?
x2?4x?3青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
f(x)?111111
?????x2?4x?3(x?1)(x?3)2(1?x)2(3?x)4(1?x?1)8(1?x?1)24 nn1?1?n(x?1)n(x?1)
??(?1)??(?1)4n?08n?02n4n
?n?0?(?1)n(?12n?2?2n)(x?1)(?1?x?3)?
2n?31提示?
1?x?2?(x?1)?2(1?x?1)?3?x?4?(x?1)?4(1?x?1)?
24n?1x?1n(x?1)
??(?1)(?1??1)?
nx?1n?0221?2n?1x?1n(x?1)
??(?1)(?1??1)?
nx?1n?0441?4收斂域? 由?1?
x?1x?1?1和?1??1得?1?x?3?
24小結(jié)：常用的展開式
1?1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ?(?1?x?1)? 1?xex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?
2!n!2n?1x3x5n?1xsinx?x??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)? 3!5!(2n?1)!2nx2x4nxcosx?1??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)? 2!4!(2n)!n?1x2x3x4nxln(1?x)?x???? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(?1?x?1)? 234n?1(1?x)m?1?mx?m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ?(?1?x?1)?
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
§12? 5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用
一、近似計(jì)算
例1 計(jì)算5240的近似值? 要求誤差不超過(guò)0?0001?
解
因?yàn)?240?5243?3?3(1?14)1/5?
3所以在二項(xiàng)展開式中取m?1? x??14? 即得
5111?411?4?91240?3(1??4?2?8?3?12? ? ? ?)?
535?2!35?3!3這個(gè)級(jí)數(shù)收斂很快? 取前兩項(xiàng)的和作為5240的近似值? 其誤差(也叫做截?cái)嗾`差)為
|r2|?3（?3?
?1?411?4?911?4?9?141?????? ? ? ?)52?2!3853?3!31254?4!3161?41112?[1??()? ? ? ? ] 2881815?2!361111?8????
125325?27?40200001?8111)?
534?4于是取近似式為5240?3(1??為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截?cái)嗾`差之和不超過(guò)10? 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù)? 然后四舍五入? 因此最后得：
5240?2.9926?
例2 計(jì)算ln 2的近似值? 要求誤差不超過(guò)0?0001?
解
在上節(jié)例5中? 令 x?1可得
ln2?1?111?? ? ? ? ?(?1)n?1? ? ? ?.23n
如果取這級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和作為ln2的近似值? 其誤差為
|rn|?1.n?1為了保證誤差不超過(guò)10?4? 就需要取級(jí)數(shù)的前10000項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算.這樣做計(jì)算量太大了? 我們必需用收斂較快的級(jí)數(shù)來(lái)代替它.青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
把展開式
ln1(?x)?x?中的x換成?x ? 得
x2x3x ln(1?x)??x???? ? ? ?(1?x?1)?
234x2x3x4xn?1??? ? ? ? ?(?1)n? ? ? ?(?1?x?1)234n?1兩式相減? 得到不含有偶次冪的展開式?
ln1?x?ln1(?x)?ln1(?x)?2(x?x3?x5? ? ? ?)(?1?x?1)?
1?x35令1?x?2? 解出x?1? 以x?1代入最后一個(gè)展開式? 得
1?x33
ln2?2(??13111111????? ? ? ?)? 333535737如果取前四項(xiàng)作為ln2的近似值? 則誤差為
|r4|?2(?
?111111????? ? ? ?)9391***12[1??()? ? ? ? ]
99311
?2111???.11970000031?14?3913111111????)? 333535737于是取 ln2?2(??同樣地? 考慮到舍入誤差? 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù)?
1111111? ?3?0.01235? ?5?0.00082? ?7?0.00007? ?0.333333335373因此得
ln 2?0?6931?
例3 利用sinx?x?13 x求sin9?的近似值? 并估計(jì)誤差?
3!解
首先把角度化成弧度?
9??從而
?180??9(弧度)???203(弧度)?
1?sin??20203!20?? ?
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
其次? 估計(jì)這個(gè)近似值的精確度? 在sin x 的冪級(jí)數(shù)展開式中令x??? 得
201??1???1??????
sin????????? ? ? ? ? 20203!?20?5!?20?7!?20???357等式右端是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 且各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)減少? 取它的前兩項(xiàng)之和作為sin?的20近似值? 起誤差為
1??11
|r2|??? ?(0.2)5????5!?20?120300000????0.003876 因此取 ?0.157080? ??20?20?5?3于是得
sin9??0?15643? 這時(shí)誤差不超過(guò)10?5? 例4 計(jì)算定積分
2??120e?xdx 的近似值? 要求誤差不超過(guò)0?0001（取x
2??0.56419）?
解： 將e的冪級(jí)數(shù)展開式中的x換成?x? 得到被積函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式
e?x2?1??(?x2)1!n?(?x2)22!?(?x2)33!? ? ? ?
x2n
??(?1)(???x???).n!n?0于是? 根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)可積? 得
2?1??122e?xdx0?2???1?2[(?1)n0n?0x2n2]dx?n!?(?1)n22n?n!?0xdx n?0?1
?(1?111?4?6? ? ? ?).2?32?5?2!2?7?3!2前四項(xiàng)的和作為近似值? 其誤差為
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
|r4|?所以
2111??
?28?9?4!90000??122e?xdx0?1?(1?111??)?0.5295?
22?324?5?2!26?7?3!
例5 計(jì)算積分
?01sinxxdx 的近似值? 要求誤差不超過(guò)0?0001?
解 由于limsinx?1? 因此所給積分不是反常積分? 如果定義被積函數(shù)在x?0處的值為1?
x?0x則它在積分區(qū)間[0? 1]上連續(xù)，展開被積函數(shù)? 有
sinxx2x4x6
?1???? ? ? ?(???x???)?
x3!5!7!在區(qū)間[0? 1]上逐項(xiàng)積分? 得
?01sinx111dx?1???? ? ? ? ?
x3?3!5?5!7?7!因?yàn)榈谒捻?xiàng)
11?
?7?7!30000所以取前三項(xiàng)的和作為積分的近似值?
?01sinxxdx?1?11??0.9461?
3?3!5?5!
二、歐拉公式
復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)? 設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
(u1?iv1)?(u2?iv2)? ? ? ??(un?ivn)? ? ? ?
其中un ? vn(n?1? 2? 3? ? ? ?)為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)? 如果實(shí)部所成的級(jí)數(shù)
u1?u2 ? ? ? ? ?un? ? ? ?
收斂于和u? 并且虛部所成的級(jí)數(shù)?
v1?v2? ? ? ? ?vn? ? ? ?
收斂于和v? 就說(shuō)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂且和為u?iv?
絕對(duì)收斂?
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
2如果級(jí)?(un?ivn)的各項(xiàng)的模所構(gòu)成的級(jí)數(shù)?un收斂?
?vnn?1n?1??則稱級(jí)數(shù)?(un?ivn)絕對(duì)收斂?
n?1?復(fù)變量指數(shù)函數(shù)? 考察復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
1?z?1z2? ? ? ? ?1zn? ? ? ? ?
2!n!可以證明此級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是絕對(duì)收斂的? 在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)e? 在復(fù)平面上我們用它來(lái)定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù)? 記為ez ? 即
ez?1?z?121z? ? ? ? ?zn? ? ? ? ?
2!n!x
歐拉公式? 當(dāng)x?0時(shí)? z?iy ? 于是
eiy?1?iy?
?1?iy?
?(1?11(iy)2? ? ? ? ?(iy)n? ? ? ? 2!n!12111y?iy3?y4?iy5? ? ? ? 2!3!4!5!121411y?y? ? ? ?)?i(y?y3?y5? ? ? ?)2!4!3!5!
?cos y?isin y?
把y定成x得
eix?cos x?i sin x?
這就是歐拉公式?
復(fù)數(shù)的指數(shù)形式? 復(fù)數(shù)z可以表示為
z?r(cos? ?isin?)?re??
其中r?|z|是z的模? ? ?arg z是z的輻角?
三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系?
因?yàn)閑ix?cos x?i sin x? e?ix?cos x?i sin x? 所以
e+e?2cos x?
e?e?2isin x?
cosx?11ix(e?e?ix)? sinx?(eix?e?ix)?
22i青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 ix?ixx?ixi
這兩個(gè)式子也叫做歐拉公式? 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?
ez1?z2?ez1?ez2?
特殊地? 有ex?iy ?ex ei y ?ex(cos y? isin y)?
也就是說(shuō)，復(fù)變量指數(shù)函數(shù)ez在z?x?yi處的值的模為ex，輻角為y的復(fù)數(shù)。
§12.7 傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù)
三角函數(shù)系的正交性
三角級(jí)數(shù)? 級(jí)數(shù) a0??(ancosnx?bnsinnx)
2n?1?稱為三角級(jí)數(shù)? 其中a0? an? bn(n ? 1? 2? ? ? ?)都是常數(shù)?
三角函數(shù)系?
1? cos x? sin x? cos 2x? sin 2x? ? ? ?? cos nx? sin nx? ? ? ?
三角函數(shù)系的正交性? 三角函數(shù)系中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[??? ?]上的積分等于零? 即
???cosnxdx?0(n?1? 2? ? ? ?)?
???sinnxdx?0(n?1? 2? ? ? ?)?
???sinkxcosnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?)?
???sinkxsinnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?? k?n)?
???coskxcosnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?? k?n)? ?????三角函數(shù)系中任何兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[????]上的積分不等于零? 即
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
?????12dx?2??
2???cosnxdx??(n ?1? 2? ? ? ?)?
???sinnxdx???2(n ?1? 2? ? ? ?)?
二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)
問(wèn)題? 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 且能展開成三角級(jí)數(shù)?
f(x)?a02??(akcoskx?bksinkx)?
k?1?那么系數(shù)a0? a1? b1? ? ? ? 與函數(shù)f(x)之間存在著怎樣的關(guān)系? 假定三角級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分? 則
????f(x)cosnxdx????a02??cosnxdx??[ak?coskxcosnxdx?bk?sinkxcosnxdx]?
k?1???????類似地???f(x)sinnxdx?bn??
傅里葉系數(shù)?
a0?
an?
bn?1?1???????????f(x)dx?
??1?(n ?1? 2? ? ? ?)?
f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx?(n ?1? 2? ? ? ?)?
?系數(shù)a0? a1? b1? ? ? ? 叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)?
傅里葉級(jí)數(shù)? 三角級(jí)數(shù)
a02??(ancosnx?bnsinnx)
n?1?稱為傅里葉級(jí)數(shù)? 其中a0? a1? b1? ? ? ?是傅里葉系數(shù)?
問(wèn)題? 一個(gè)定義在(??? ??)上周期為2?的函數(shù)f(x)? 如果它在一個(gè)周期上可積? 則一定可以作出f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)? 然而? 函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)是否一定收斂? 如果它收斂? 它是否一定收斂于函數(shù)f(x)? 一般來(lái)說(shuō)? 這兩個(gè)問(wèn)題的答案都不是肯定的?
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定理(收斂定理? 狄利克雷充分條件)設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 如果它滿足? 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)? 在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)? 則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂? 并且
當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)? 級(jí)數(shù)收斂于f(x)?
當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí)? 級(jí)數(shù)收斂于1[f(x?0)?f(x?0)]?
2例1 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 它在[??? ?)上的表達(dá)式為
f(x)????1 ???x?0
0 ?x???將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)?
解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在點(diǎn)x?k?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)處不連續(xù)? 在其它點(diǎn)處連續(xù)? 從而由收斂定理知道f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂? 并且當(dāng)x?k?時(shí)收斂于
11[f(x?0)?f(x?0)]?(?1?1)?0?
22當(dāng)x?k?時(shí)級(jí)數(shù)收斂于f(x)?
傅里葉系數(shù)計(jì)算如下?
an?1?1????????f(x)cosnxdx?f(x)sinnxdx?1?1???00(?1)cosnxdx?1?1?01?cosnxdx?0(n ?0? 1? 2? ? ? ?)?
??
bn?
??????(?1)sinnxdx???01?sinnxdx
1cosnx01cosnx?1[]???[?]0?[1?cosn??cosn??1] ?n?nn?4?? n?1, 3, 5, ? ? ?2n
?[1?(?1)]??n?
n???0 n?2, 4, 6, ? ? ?于是f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為
f(x)?4?[sinx?11sin3x? ? ? ? ?sin2(k?1)x? ? ? ? ]
32k?
1(???x???? x ?0? ??? ?2?? ? ? ?)?
例2 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 它在[????)上的表達(dá)式為
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
f(x)???x ???x?0
0 0?x???將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù).解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在點(diǎn)x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)處不連續(xù)? 因此? f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x?(2k?1)?處收斂于
1[f(x?0)?f(x?0)]?1(0??)????
222在連續(xù)點(diǎn)x(x?(2k?1)?)處級(jí)數(shù)收斂于f(x)?
傅里葉系數(shù)計(jì)算如下?
a0?an?1?1????????f(x)dx?1????0xdx??1 ?? 21xsinnxcosnx01[?]?(1?cosn?)???nn2n2??f(x)cosnxdx?????0xcosnxdx??2 n?1, 3, 5, ? ? ? ?
??n2?
??0 n?2, 4, 6, ? ? ?
bn?
?1????n?f(x)sinnxdx?1????xsinnxdx0?1?[?xcosnxsinnx0cosn? ?]????nnn2(?1)n?1(n ?1? 2? ? ? ?)?
f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為
f(x)??
??4?(2?cosx?sinx)?121sin2x?(2cos3x?sin3x)233?121sin4x?(2cos5x?sin5x)? ? ? ?(???x??? ? x ???? ?3?? ? ? ?)? 455?
周期延拓? 設(shè)f(x)只在[????]上有定義? 我們可以在[??? ?)或(??? ?]外補(bǔ)充函數(shù)f(x)的定義?
使它拓廣成周期為2?的周期函數(shù)F(x)? 在(??? ?)內(nèi)? F(x)?f(x).例3 將函數(shù)
f(x)????x ? ??x?0
x 0 ? x???展開成傅里葉級(jí)數(shù)?
解 所給函數(shù)在區(qū)間[??? ?]上滿足收斂定理的條件? 并且拓廣為周期函數(shù)時(shí)? 它在每一點(diǎn)x處青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
都連續(xù)? 因此拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在[??? ?]上收斂于f(x)?
傅里葉系數(shù)為?
a0?
an?1?1????????f(x)dx?1????(?x)dx???01001?xdx???
1??2f(x)cosnxdx?????(?x)cosnxdx???0
xcosnxdx??4 n?1, 3, 5, ? ? ??
?2(cosn??1)??n2?
n??0 n?2, 4, 6, ? ? ??
bn?1?????f(x)sinnxdx?1????0(?x)sinnxdx?1??0?xsinnxdx?0(n ?1? 2? ? ? ?)?
于是f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為
f(x)? ?411?(cosx?2cos3x?2cos5x? ? ? ?)(???x??)?
2?3
5三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)
當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)? f(x)cos nx是奇函數(shù)? f(x)sin nx是偶函數(shù)? 故傅里葉系數(shù)為
an?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)?
bn?2??0?f(x)sinnxdx(n?1? 2? 3? ? ? ?)?
因此奇數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)是只含有正弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù)
?bnsinnx?
n?1?
當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)? f(x)cos nx是偶函數(shù)? f(x)sin nx是奇函數(shù)? 故傅里葉系數(shù)為
an?2??0?f(x)cosnxdx(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)?
bn?0(n?1? 2? ? ? ?)?
因此偶數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)是只含有余弦項(xiàng)的余弦級(jí)數(shù)
a02??ancosnx?
n?1?
例4 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 它在[??? ?)上的表達(dá)式為f(x)?x? 將f(x)展開成
傅里葉級(jí)數(shù)?
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
解 首先? 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在點(diǎn)x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)不連續(xù)?
因此f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)x?(2k?1)?收斂于f(x)? 在點(diǎn) x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)收斂于
1[f(??0)?f(???0)]?1[??(??)]?0?
2其次? 若不計(jì)x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)? 則f(x)是周期為2?的奇函數(shù)? 于是
an?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)? 而
bn?2??0?f(x)sinnxdx?2??0?xsinnxdx
nx?22
?2[?xcosnx?sin]0??cosnx?(?1)n?1(n?1? 2? 3? ? ? ?)?
2nn?nnf(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為
f(x)?2(sinx?111sin2x?sin3x? ? ? ? ?(?1)n?1sinnx? ? ? ? 23n
(???x??? ? x???? ?3? ? ? ? ?)?
例5 將周期函數(shù)u(t)?E|sin1t|展開成傅里葉級(jí)數(shù)? 其中E是正的常數(shù)?
2解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)? 因此u(t)的傅里葉級(jí)數(shù)處處收斂于u(t)?
因?yàn)閡(t)是周期為2?的偶函數(shù)? 所以bn?0(n?1? 2? ? ? ?)? 而
an?2??0?u(t)cosntd?t?2??0?tEsincosntdt
?E??011[sinn(?)t?sinn(?)t]dt
2211cosn(?)tcosn(?)tE2?2]?
?[?011?n?n?22
??4E(n?0? 1? 2? ? ? ?)?
(4n2?1)?所以u(píng)(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為
4E1 u(t)?(??cosnt)(???t???)?
2?2n?14n?1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 ?高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
奇延拓與偶延拓? 設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間[0? ?]上并且滿足收斂定理的條件? 我們?cè)陂_區(qū)間(??? 0)內(nèi)補(bǔ)充函數(shù)f(x)的定義? 得到定義在(??? ?]上的函數(shù)F(x)? 使它在(??? ?)上成為奇函數(shù)(偶函數(shù))? 按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過(guò)程稱為奇延拓(偶延拓)? 限制在(0? ?]上? 有F(x)?f(x)?
例6 將函數(shù)f(x)?x?1(0?x??)分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)?
解
先求正弦級(jí)數(shù)? 為此對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行奇延拓?
bn?2??0?f(x)sinnxdx?2??0?(x?1)sinnxdx?2?[?xcosnxsinnxcosnx???]0 2nnn?2???2 n?1, 3, 5, ? ? ? ?2n(1??cosn??cosn?)???
??
2n??? n?2, 4, 6, ? ? ?n?函數(shù)的正弦級(jí)數(shù)展開式為
x?1?2?[(??2)sinx??2sin2x?1?(??2)sin3x?sin4x? ? ? ? ](0?x??)?
34在端點(diǎn)x?0及x??處? 級(jí)數(shù)的和顯然為零? 它不代表原來(lái)函數(shù)f(x)的值?
再求余弦級(jí)數(shù)? 為此對(duì)f(x)進(jìn)行偶延拓?
an?2??0?f(x)cosnxdx?2??0?(x?1)cosnxdx?2?[?xsinnxcosnxsinnx???]0 nnn20 n?2, 4, 6, ? ? ? ??
?2(cosn??1)??4?
?2 n?1, 3, 5, ? ? ? n???n?2
a0?2??0?2x2?(x?1)dx?[?x]0???2
?2函數(shù)的余弦級(jí)數(shù)展開式為
x?1? ?411?1?(cosx?2cos3x?2cos5x? ? ? ?)(0?x??)?
2?35§12? 8 周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)
一、周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)
到目前為止，我們討論的周期函數(shù)都是以2?為周期的? 但是實(shí)際問(wèn)題中所遇到的周期函數(shù)? 它的周期不一定是2?? 怎樣把周期為2l的周期函數(shù)f(x)展開成三角級(jí)數(shù)呢？
問(wèn)題? 我們希望能把周期為2l的周期函數(shù)f(x)展開成三角級(jí)數(shù)? 為此我們先把周期為2l的周青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
期函數(shù)f(x)變換為周期為2?的周期函數(shù)?
令x?lt及f(x)?f(lt)?F(t)? 則F(t)是以2?為周期的函數(shù)?
??這是因?yàn)镕(t?2?)?f[l(t?2?)]?f(lt?2l)?f(lt)?F(t)?
???于是當(dāng)F(t)滿足收斂定理的條件時(shí)? F(t)可展開成傅里葉級(jí)數(shù)?
F(t)?其中
an?a02??(ancosnt?bnsinnt)?
n?1?????1?F(t)cosntdt?(n?0? 1? 2? ? ? ?)? bn?F(t)sinntdt(n?1? 2? ? ? ?)?
????1?從而有如下定理?
定理 設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理的條件? 則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為
f(x)?a0n?xn?x??(ancos?bnsin)?
2n?1ll?其中系數(shù)an ? bn 為
an??f(x)cosl?l
bn??f(x)sinl?l
當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)?
n?x
f(x)??bnsin?
ln?1?1ln?xdx(n?0? 1? 2? ? ? ?)?
ln?xdx(n?1? 2? ? ? ?)?
l1l其中bn?2ln?xf(x)sindx(n ? 1? 2? ? ? ?)?
?l0l
當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)?
f(x)?其中an?2la0n?x??ancos?
2n?1lf(x)cosn?xdx(n ? 0? 1? 2? ? ? ?)?
l??0l
例1 設(shè)f(x)是周期為4的周期函數(shù)? 它在[?2? 2)上的表達(dá)式為
f(x)???0 ?2?x?0(常數(shù)k?0)?
k 0?x?2?青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)?
解
這里l?2?，按公式得
an?1?kcosn?xdx?[ksinn?x]0?0(n?0)?
022n?2
a0?1?0dx?1?kdx?k?
2?220021
bn?22k?? n?1, 3, 5, ? ? ? n?xkn?x2kksindx?[?cos]?(1?cosn?)? ?n?0?02n?2n???0 n?2, 4, 6, ? ? ?2于是
?x13?x15?x
f(x)?k?2k(sin?sin?sin? ? ? ?)
2?23252(???x???? x?0? ?2? ?4?
? ? ?? 在x?0? ?2? ?4? ? ? ? 收斂于k)?
2?pxl 0?x??2展開成正弦級(jí)數(shù)?
例2 將函數(shù)M(x)??2p(l?x)l? ?x?l22?
解
對(duì)M(x)進(jìn)行奇延拓? 則
an?0(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)?
bn?lllp(l?x)n?x22pxn?xn?xM(x)sindx?[sindx?sindx]?
l?0??ll02l2l2l對(duì)上式右邊的第二項(xiàng)? 令t?l?x? 則
l0ptn?(l?t)22pxn?x
bn?[?sindx??lsin(?dt)]
l02l2l2ll22pxn?xn?tn?12ptsindx?(?1)?sindt]?
?[?002l2ll當(dāng)n?2? 4? 6? ? ? ?時(shí)? bn?0? 當(dāng)n?1? 3? 5? ? ? ?時(shí)?
bn?4p2l?l202pln?xn?xsindx?22sin?
l2n?于是得
青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)
M(x)? 2pl?2(sin?xl?13?x15?xsin?2sin? ? ? ?)(0?x?l)?
2ll35青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
第三篇：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱(4學(xué)分)
高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱
第一章 函數(shù)與極限 復(fù)習(xí)重點(diǎn)：
1、求極限
1）四則運(yùn)算法則
注意：四則運(yùn)算法則適用的函數(shù)個(gè)數(shù)是有限個(gè)；
四則運(yùn)算法則的條件是充分條件
有理分式函數(shù)求極限公式：
?a0mm?1 xxxam?ba?a???amm?101m?1n?nnn a0x?a1x???am?1x?am?0xxxx?lim??0limnn?1 ?bxn?bxn?1???bx?bx??x?bxxxn01n?1n??b?b???b?01n?1nnnn ?xxxx?2）兩個(gè)重要極限
n?mm?nm?nlimsinxsin0?1()x?0x01x101lim(1?x)?lim(1?)x?e((1?0))x?0x??x
3）兩個(gè)準(zhǔn)則
準(zhǔn)則一： 若(1)yn?xn?zn?n?N則{xn}有極限,且limxn?an??(2)limyn?limzn?an??n??
準(zhǔn)則二：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限
單調(diào)遞增有上界的數(shù)列其極限為最小的上界（上確界）
單調(diào)遞減有下界的數(shù)列其極限為最大的下界（下確界）4）無(wú)窮小量
a.無(wú)窮小量的定義，注意其是變量，談及無(wú)窮小量時(shí)一定要注明自變量的變化趨勢(shì)。唯一的例外是0永遠(yuǎn)是無(wú)窮小量；
b.掌握何為高階無(wú)窮小，低階無(wú)窮小，同階無(wú)窮小，等價(jià)無(wú)窮小； c.利用無(wú)窮小量求極限
無(wú)窮小量與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小量
等價(jià)無(wú)窮小量替代求極限
注意：下面給出關(guān)系式是在x?0時(shí)才成立
等價(jià)無(wú)窮小量替代求極限只在積、商時(shí)成立，加減時(shí)不行
1sinx~x 1?cosx~x2 x arcsinx~x e?1~x
tanx~x ax?1~xlna
xn ln(1?x)~x 1?x?1~ n2、連續(xù)性和間斷點(diǎn) 1）連續(xù)定義
?x?0lim?y?0,limf(x)?f(x0)
x?x0要求會(huì)用定義討論分段函數(shù)分段點(diǎn)的連續(xù)性
2）間斷點(diǎn)
第Ⅰ類間斷點(diǎn)：f(x0?0)，f(x0?0)?,即左右極限均存在 01f(x0?0)?f(x0?0)跳躍間斷點(diǎn) 0? 2f(x0?0)?f(x0?0)而f(x0)無(wú)定義??可去間斷點(diǎn)0 3limf(x)?f(x0)?x?x0?
第Ⅱ類間斷點(diǎn)：f(x0?0)，f(x0?0)至少有一個(gè)不?
間斷點(diǎn)的疑似點(diǎn)：使函數(shù)沒(méi)有意義的點(diǎn)和分段函數(shù)分段點(diǎn)
要求：判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)，若是第一類的要寫出是跳躍還是可去，第二類只需寫出是第二類間斷點(diǎn)即可。
3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
1）最值定理：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值一定取得到。注意：最值定理的條件是充分條件，不滿足結(jié)論不一定成立。
2）零點(diǎn)定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)f(b)<0，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f(x0)?0。要求：和羅爾中值定理結(jié)合在一起判斷根的唯一性。
第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 復(fù)習(xí)重點(diǎn)：
1、導(dǎo)數(shù)的定義f?(x0)?limf(x)?f(x0)?y ?lim?x?0?xx?x0x?x0要求，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義判斷分段函數(shù)分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性，以及利用導(dǎo)數(shù)定義求極限；
2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 表示曲線f(x)在x?x0處切線的斜率 要求會(huì)求切線方程法線方程；
3、微分的定義 dy?f?(x0)?x（一點(diǎn)可微）；dy?f?(x)dx（點(diǎn)點(diǎn)可微）
4、一元微分學(xué)中，可導(dǎo)、連續(xù)、可微三者之間的關(guān)系
可導(dǎo)必可微，可微必可導(dǎo)；可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)
5、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 a.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)
b.高階導(dǎo)數(shù)
常見(jiàn)高階導(dǎo)數(shù)公式如下：
y?exy(n)?ex
y?xny(n)?n!,y(n?1)?0
n?y?sinxy(n)?sin(x?)2 n?y?cosxy(n)?cos(x?)2(?1)n?1(n?1)!(n)y?ln(1?x)y?(1?x)nc.隱函數(shù)求導(dǎo)
隱函數(shù)求導(dǎo)方法兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)； 注意y是關(guān)于x的函數(shù)；
隱函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果還是隱函數(shù)；
隱函數(shù)高階求導(dǎo)時(shí)一階求導(dǎo)結(jié)果要注意回帶，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。d.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法
適用于冪指函數(shù)、無(wú)理分式函數(shù) e.參數(shù)方程求導(dǎo)
注意二階導(dǎo)數(shù)
6、求微分
dy?f?(x)dx注意不要缺失dx 第三章 中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1、中值定理
1）羅爾定理 若f(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，f(a)=f(b)，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f?(x0)?0。
注意：a)羅爾定理的條件是充分的，不滿足條件結(jié)論不一定成立；
b)羅爾定理的結(jié)論可理解為若f(x)滿足羅爾定理三個(gè)條件，則導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)至
少有一根；強(qiáng)調(diào)了導(dǎo)函數(shù)根的存在性，但沒(méi)指出到底有幾個(gè)根；
c)從羅爾定理可推出，若f(x)有n個(gè)根+連續(xù)+可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)至少有n-1個(gè)根；注意反之不成立；
d)若導(dǎo)函數(shù)沒(méi)有根，則f(x)至多一個(gè)根。2）拉格郎日定理
若f(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得f?(x0)?應(yīng)用于不等式的證明和證明某個(gè)函數(shù)是一個(gè)常函數(shù)。3）柯西定理
若f(x)，F(xiàn)(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，且x?(a,b),F?(x)?0則至少存在一點(diǎn)x0?(a,b)，使得
f(b)?f(a)。
b?af?(x0)f(b)?f(a)。?F?(x0)F(b)?F(a)應(yīng)用于等式的證明。
2、羅比達(dá)法則
定理?1?若limf?x??0limF?x??0x?ax?a
?2?在a,?f??x?F??x?都存在且F??x??0 f??x?f?x?f??x??3?lim?或???則lim?lim
x?aF??x?x?aF?x?x?aF??x? ??0?,???,0??,00,1?,?0等不定型極限 0?x?sinx1?cosx?lim注意：lim極限不存在，此時(shí)羅比達(dá)法則不適用。
x??x??x1羅比達(dá)法則應(yīng)用于解決,3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，凹凸性，極值和拐點(diǎn)，會(huì)作圖 1）單調(diào)性的判定
設(shè)函數(shù)y?f（x）在?a,b?連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，?x）a）如果在（a,b）內(nèi)f（?0，那么f（x）在?a,b?上?
b）如果在（?x）a,b）內(nèi)f（?0，那么f（x）在?a,b?上? 注： a、該條件為函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)的充分條件 b、若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單增（減）的充要條件為：
對(duì)一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)
在(a,b)內(nèi),任何使f?(x)?0的點(diǎn)必是孤立點(diǎn) c、若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f在(a,b)內(nèi)單增（減）的充要條件為： 對(duì)一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)d、單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)為：一階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)和一階不可導(dǎo)點(diǎn) 要求：會(huì)利用一階導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
會(huì)利用單調(diào)性證明不等式；
會(huì)利用嚴(yán)格單調(diào)性證明根的唯一性。2）凹凸性的判定
定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)上二階可導(dǎo)，在(a,b)內(nèi)若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凹的；在(a,b)內(nèi)若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凸的。
3）拐點(diǎn)：凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)
拐點(diǎn)的疑似點(diǎn)：二階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)和二階不可導(dǎo)點(diǎn) 判定定理1：若f(x)在x0處可導(dǎo)，在U(x0)內(nèi)二階可導(dǎo)，則
當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f??(x)變號(hào)，(x0,f(x0)就是拐點(diǎn)；
當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f??(x)不變號(hào)，(x0,f(x0)就不是拐點(diǎn)；
判定定理2：若f(x)在x0處三階可導(dǎo)，且f??(x0)?0,f???(x0)?0,則(x0,f(x0)是拐點(diǎn)。注意，對(duì)于判定定理2，若f??(x0)?0,f???(x0)?0,結(jié)論是(x0,f(x0)可能是拐點(diǎn)也可能不 是拐點(diǎn)。4）極值
極大值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)極大值，x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)。
極小值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)極小值，x0為f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)。
0最大值：設(shè)f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對(duì)任意x?(a,b)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個(gè)最大值，x0為f(x)的一個(gè)最大值點(diǎn)。
注意：極值反映的函數(shù)局部的性質(zhì)，它只是和極值點(diǎn)附近點(diǎn)的函數(shù)值相互比較而言它是大的
還是小的，有可能出現(xiàn)極小值大于極大值的情況；而最值反映的是函數(shù)全局的性質(zhì)，它是和整個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值相互比較。一個(gè)區(qū)間上的最大值和最小值是唯一的，但取得最值點(diǎn)不唯一；而一個(gè)區(qū)間上極值是 不唯一的，可以有幾個(gè)極大值和極小值。
在區(qū)間內(nèi)部，最大值一定是極大值，最小值一定是極小值。極值點(diǎn)的疑似點(diǎn)：
判定定理：駐點(diǎn)和一階不可導(dǎo)點(diǎn)
必要條件：可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)。（使一階導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)稱之為駐點(diǎn)）第一充分條件：若f(x)在x0處連續(xù)，在U(x0)內(nèi)可導(dǎo)，則
當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f?(x)變號(hào)，x0就是極值點(diǎn)；
當(dāng)x?x0與x?x0時(shí)，f?(x)不變號(hào)，x0就不是極值點(diǎn)；
第二充分條件：若f(x)在x0處二階可導(dǎo)，且f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0就是極值點(diǎn)。
0f??(x0)?0,x0是極大值點(diǎn)；f??(x0)?0,x0是極小值點(diǎn)。
注意：在第二充分條件中，若f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0可能是極值點(diǎn)也可能不是。
第四章 不定積分與定積分（計(jì)算）不定積分
1、換元法（第一種，第二種（去根號(hào)））
2、分部積分法
3、倒代換
4、整個(gè)根式換元
nb定積分
f(x)dx?limf??i??xi.a??01、定積分的定義
i?1定積分的結(jié)果是常數(shù)，表示的是曲邊梯形面積的代數(shù)和，與積分區(qū)間和被積表達(dá)式有關(guān)，和積分變量無(wú)關(guān)。
2、可積的兩個(gè)充分條件和一個(gè)必要條件 f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。
f(x)在[a,b]有界且有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積。f(x)在[a,b]可積，在f(x)在[a,b]上有界。
3、定積分的幾何意義
4、定積分的重要性質(zhì)
??（1）無(wú)論a,b,c三者位置關(guān)系如何，?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx
accbbb（2）不等式性質(zhì)： ?x?[a,b],f(x)?g(x),?f(x)dx??g(x)dx
aab（3）估值定理：?x?[a,b],m?f(x)?M,m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)
ab（4）積分中值定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在??[a,b],?f(x)dx?af(?)(b?a)
5、定積分的計(jì)算
（1）換元法
與不定積分相比要換積分上下限，最后不用回帶（2）分部積分法
（3）積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間的要考慮被積函數(shù)的奇偶性和非奇非偶性
aa?a?f(x)dx??(f(x)?f(?x))dx
0
定積分的幾何應(yīng)用
求面積（1）直角坐標(biāo)系
無(wú)窮限的反常積分
第四篇：高等數(shù)學(xué)上教案
第一章 函數(shù) 1.1集合，1.2函數(shù)，1.3函數(shù)的集中特性，1.4復(fù)合函數(shù)，1.5參數(shù)方程、極坐標(biāo)與復(fù)數(shù)
第二章極限與連續(xù) 2.1數(shù)列的極限，2.2函數(shù)的極限，2.3兩個(gè)重要的極限，2.4無(wú)窮
小量與無(wú)窮大量，2.5函數(shù)的連續(xù)性，2.6閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
第三章 導(dǎo)數(shù)的微分 3.1導(dǎo)數(shù)的概念，3.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，3.3 初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，3.4 高階導(dǎo)數(shù)，3.5函數(shù)的微分，3.6高階微分
第四章 微分中值定理及其應(yīng)用 4.1微分中值定理，4.2 L’Hspital法則，4.3 Taylor公式，4.4函數(shù)的單調(diào)性和極值，4.5函數(shù)的凸性和曲線的拐點(diǎn)、漸近線，4.6平面曲線的曲率
第五章 不定積分 5.1不定積分的概念和性質(zhì)，5.2換元積分法，5.3分部積分法，5.4
幾種特殊類型函數(shù)的不定積分
第六章 定積分 6.1定積分的概念，6.2定積分的性質(zhì)與中值定理，6.3微積分基本公式，6.4 定積分的換元法與分部積分法 6.5 定積分的近似計(jì)算6.6廣義積分
第七章 定積分的應(yīng)用 7.1微元法的基本思想，7.2定積分在幾何上的應(yīng)用，7.3 定積分
在物理上的應(yīng)用
第八章 微分方程 8.1 微分方程的基本概念，8.2 幾類簡(jiǎn)單的微分方程，8.3一階微分方
程8.4全微分方程與積分因子8.5二階常系數(shù)線性微分方程，8.6常系數(shù)線性微分方程
第五篇：高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)答案4改（定稿）
（一）單項(xiàng)選擇題
⒈D ⒉D ⒊B ⒋B ⒌B ⒍D
（二）填空題
⒈ 全體原函數(shù)
⒉ F(x)?G(x)?c
⒊ exdx
⒋ tanx?c
⒌ ?9cos3x
⒍ 3
⒎ ?1
（三）計(jì)算題
2cos
⒈?x21xdx
解： 由第一換元積分法
1xdx??cos1(?1)dx
??xx2x21111
???cos()?dx???cosd()
xxxxcos
??cousdu??sinu?c
??sin?c ⒉1?ux?1x?exxdx
x解：由第一換元積分法
2xxx
?2?e(x)?dx?2?ed(x)
?2eudu?2eu?c x?u?exdx?2?ex1dx
?x
?2e⒊
?c
1?xlnxdx
解：由第一換元積分法
111dx??xlnx?lnx?xdx
11(lnx)?dx??d(lnx)
??lnxlnxlnx?u1
??du?lnu?c
u
?lnlnx?c
⒋xsin2xdx 解：由分部積分法
xsin2xdx???1xd(?cos2x)?2x1cos2x??(?cos2x)dx 22x12x??cos2xdx
??cos22x12x?sin2x?c
??cos24e3?lnxdx ⒌?1x
??解：由定積分第一換元積分法 ?e1e3?lnx1dx??(3?lnx)dx
1xx
?
?
⒍
??e1e(3?lnx)(lnx)?dx??(3?lnx)d(lnx)
1e1(3?lnx)d(3?lnx)
u2?3udu?2443?lnx?u??37 2?10xe?2xdx
10解： 由定積分分部積分法 ?xe?2x1dx??xd(?e?2x)
021
⒎
1x1??e?2x??(?e?2x)dx
02201?211?2x??e??edx
22011?21?2x??e?e
240111??e?2?e?2?
24413??e?2 441?e1xlnxdx
ee解：由定積分分部積分法 ?1xlnxdx??1x2lnxd()
2e2exx2lnx??d(lnx)
?1221e21e21e21e??xdx???xdx
?122x221ex?
?24⒏22e11e2?? 44?e1lnxdx x2解：由定積分分部積分法 ?e1elnx1dx?lnxd(?)2?1xxe11
??lnx??(?)d(lnx)
1xx1ee1111
????2dx???
1eex1x112
????1?1?
eeee
（四）證明題
⒈證：由定積分的性質(zhì)
對(duì)??a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx
?a00a?0?af(x)dx做變量替換，令x??t，則dx?d(?t)??dt
0?a
f(x)dx???f(?t)dt??f(?t)dt
a00a因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以
由此得
??0?af(x)dx??f(?t)dt???f(t)dt???f(x)dx
000aaaa?af(x)dx???f(x)dx??f(x)dx?0
00aa⒉證：由定積分的性質(zhì)
對(duì)??a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx
?a00a?0?af(x)dx做變量替換，令x??t，則dx?d(?t)??dt
0?a
f(x)dx???f(?t)dt??f(?t)dt
a00a因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以
由此得
?0?af(x)dx??f(?t)dt??f(t)dt??f(x)dx
000aaa?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?2?f(x)dx
000aaa
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