第一篇：滬教版相似三角形教案及練習(xí)

相似三角形

一、相似三角形的定義：

對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。

二、相似三角形的判定方法(一)

判定方法（1）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。

判定方法（2）：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。

判定方法（3）：如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例那么這兩個三角形相似。

除了上述三種判定方法外，還有以下三種判定方法：

（1）定義法：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似（這種方法一般不常用）

（2）平行于于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

（3）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形原三角形相似。(此知識常用，但用時需要證明)

三、判定相似三角形的思路

1、有一對等角，找 :①、另一對等角

②、等角的兩邊對應(yīng)成比例

2、有兩邊對應(yīng)成比例，找：①、夾角相等

②、第三邊也成比例

3、直角三角形，找一對銳角相等

4、等腰三角 形，找：①、頂角相等

②、一對底角相等

③、底和腰成比例

四、在做題過程中，某些圖像出現(xiàn)的頻率會比較高，所以我們要熟知這些常見的圖形，并學(xué)會從習(xí)題中基本圖形很快的尋找和發(fā)現(xiàn)相似：

1、平行線型：

A E D

A

E D

B B C

（1）

（2）

（a）如圖1，“A” 型：即公共角的對邊平行

(b)如圖2，“X”型：對頂角的對邊平行

C

2、斜交型：指公共角的對邊不平行，即相交或延長線相交或?qū)斀撬鶎Φ倪呇娱L線相交，其中再有一角相等，或其公共角（或?qū)斀牵┑膬蛇厡?yīng)成比例，就可以判定這兩個三角形相似，基本圖形常見如下：

A

A

A

C E E D

D B

B

B C C D

(3)

(4)

(5)

a、如圖3，若 ∠D=∠B 或 ∠ACB=∠AED ,或AB:AD=AC:AE，則△ABC∽△ADE；

b、如圖4，若∠ACD=∠B 或 ∠ADC=∠ACB，或AC:AB=AD:AC, 則△ACD ∽ △ABC；

C、如圖5，若∠AED=∠C 或 ∠ADE=∠B，或 AD:AB=AE:AC, 則△ADE ∽ △ABC；

D A

O

B

C

(6)

d、如圖6，若∠A=∠D , 或 ∠B=∠C ,或OA:OB=OD:OC,則△AOB ∽ △DOC;

五、相似三角形面積之比等于相似比的平方

例題、習(xí)題

1、P是ΔABC中AB邊上一點，過點P作直線（不與直線AB重合）截ΔABC，使截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣的條件的直線最多有（）條

A

2條

B

3條

C

4條

D 5條

A

2、如圖，已知D為△ABC內(nèi)一點，3 E為△ABC外一點，且∠1＝∠2，D ∠3 ＝∠4。1

求證 ： △ABC ∽ △DBE

B 4 C 2

E

3、如圖，菱形ABCD的邊長為3，延長AB到E，使EB＝2AB，連接EC并延長交AD延長線于F，如果△EBC∽△EAF，試求AF的長

F D

C

A

B

E

4、如圖，在△ABC中，DE∥BC，且DE=梯形BCDE的周長。

2BC=2cm，△ADE的周長為10cm，求3A

D E

BC

5、如圖，△ABC被DE、FG分成面積相等的三部分，且DE∥FG∥BC。求DE：FG：BC。

A

S1 DES2 FGS3

BC

三、訓(xùn)練題：

1、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線BD分成兩部分面積的比是1：2，EF是中位線，則被EF分成的兩部分面積之比為SAEFD：SBCFE=（）

A、3：4 B、4：5 C：5：7 D、7：9

2、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，若S△AOD:S△ACD=1：3，則S△AOD:S△BOC等于（）

A、1：6 B、1：3

C、1：4

D、1：6

3、如圖，DE∥BC，DE把△ABC的面積分成相等的兩部分，那么DE：BC等于（）

A、1：2 B、1：4

C、2：2 D、2：2

4、如圖，將△ABC的高AD三等分，過每一個分點作底邊的平行線，這樣把三角形分成三部分，設(shè)這三部分的面積為S1，S2，S3，則S1：S2：S3=（）

A、1：2：3 B、2：3：4 C、1：3：5 D、3：5：7

5、如圖，在△ABC中，∠CBA=90°，BD⊥AC于D，則下面關(guān)系式中錯誤的是（）

A、AB2=AD×AC B、BD2=AD×DC C、AB2=AC2－BC2 D、AB2=AC×DC

6、如圖，在△ABC中，AD⊥BC，PQMN為正方形，且頂點在△ABC各邊上，BC=60cm，AD=40cm，則正方形邊長為（）

A、12cm

B、16cm

C、20cm

D、24cm

7、如果兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比是4：5，周長的和為18cm，那么這兩個三角形的周長分別為_______________。

8、△ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm，另一個與它相似的三角形的最短邊為15cm，則周長為_______________。

9、在△ABC中，點D、E分別為AB、AC上的點，DE∥AC，AB：DB=2：1，F(xiàn)為AC上任一點，△DEF面積為22，則S△ABC=_________________。

10、如圖，D、E分別是AB、AC上的點，ADAE3??，△ABC的角平分線AH交ACAB5DE于點F，過點F作BC的平行線，分別交AB、AC于點G、K。已知BC=20cm，求GK。

A

D

KG FE

CBH

11、點M是Rt△ABC的斜邊AB的中點，過M作MD⊥AB交AC于D，交BC的延長線于E。求證：MC是MD、ME的比例中項。

AMDECB

第二篇：相似三角形教案

相似三角形

【基礎(chǔ)知識精講】

1．理解相似三角形的意義，會利用定理判定兩個三角形相似，并能掌握相似三角形與全等三角形的關(guān)系．

2．進一步體會數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步認(rèn)識特殊與一般之間的辯證關(guān)系，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心．

【重點難點解析】

相似三角形的概念及相似三角形的基本定理．

【典型熱點考題】

例1 如圖4-21，□ABCD中，M是AD延長線上一點，BM交AC于點F，交DC于G，則下列結(jié)論中錯誤的是（）

圖4-21 A．△ABM∽△DGM B．△CGB∽△DGM C．△ABM∽△CGB D．△AMF∽△BAF

點悟：用本節(jié)概念和定理直接判斷． 解：應(yīng)選D．

例2 如圖4-22，已知MN∥BC，且與△ABC的邊CA、BA的延長線分別交于點M、N，點P、Q分別在邊AB、AC上，且AP∶PB＝AQ∶QC．

圖4-22 求證：△APQ∽△ANM． 證明：∵ AP∶PB＝AQ∶QC，∴ PQ∥BC，又MN∥BC，∴ MN∥PQ ∴ △APQ∽△ANM．

例3 寫出下列各組相似三角形的對應(yīng)邊的比例式．

(1)如圖4-23(1)，已知：△ADE∽△ABC，且AD與AB是對應(yīng)邊．(2)如圖4-23(2)，已知：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED．

圖4-23 點悟：要寫出兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比例式，首先要確定兩個相似三角形的對應(yīng)邊．因為相似三角形是全等三角形的推廣，所以要確定兩個相似三角形的各組的對應(yīng)邊，可以參照確定全等三角形對應(yīng)邊的方法，從確定這兩個相似三角形對應(yīng)的頂點出發(fā)．

解：(1)已知△ADE∽△ABC，且AD和AB是對應(yīng)邊，它們所對的頂點E和C為對應(yīng)頂點，而A是兩三角形的公共頂點，∠BAC為公共角，所以兩三角形另兩組對

AD?DEBC?EACA應(yīng)邊為DE和BC，EA和CA，得AB．

(2)已知△ABC∽△AED，且∠ABC＝∠AED，A為公共頂點，另一對應(yīng)頂點為D和C，三組對應(yīng)邊分別是AD和AC，AE和AB，DE和CB．

AD?AEAB?DECB得AC．

本題兩類相似三角形的圖形是相似三角形的基本圖形． 第一類為平行線型．

平行線型是由兩條平行線和其他直線配合構(gòu)成的兩個相似三角形，它的對應(yīng)元素比較明顯，對應(yīng)邊，對應(yīng)角，對應(yīng)頂點有同樣的順序性，對應(yīng)邊平行或重合．基本圖形有兩種(圖4-24)：

圖4-24 第二類是相交線型．

這一類型的對應(yīng)元素不十分明顯，對應(yīng)順序也不一致，對應(yīng)邊相交．它的基本圖形，也有兩種，一種是有一個公共角，另一種是一組對頂角(圖4-25)．

圖4-25 其他類型的相似形多可以分解成這兩種基本類型或轉(zhuǎn)化為這兩種基本類型． 例4 如圖4-26，已知：△ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且AD＝CE，DE交AC于F．求證：AB·DF＝BC·EF．

圖4-26 點悟：如果我們把條件和結(jié)論涉及的線段AD，CE，AB，DF，BC，EF在圖中都描成紅線，可以發(fā)現(xiàn)一個完全由紅線構(gòu)成的三角形，即△DBE，還有一條線AC，是△DBE的截線，分別截△DBE的三邊DB，BE，DE(或它們的延長線)于A，C，F(xiàn)．這類問題添輔助線的方法至少有三種，即過紅線三角形任一頂點作對邊的平行線，并與該三角形的截線或其延長線相交(如圖4-27)，在每一種圖形中，雖然只有一對平行線，但與這對平行線有關(guān)的基本圖形都能找到兩對，根據(jù)每一個基本圖形都可以寫出包含輔助線段在內(nèi)的一個比例式．

圖4-27

AD?DFBHEF?CEBC以(2)為例，可以寫出ABBH?AB?DFAD，又可以寫出BH．前兩式均有BH，于是

?BC可得，及

BH?BC?EF，所以，有

AB?DF?EF．又因為ADCEADCE＝CE，于是有AB·DF＝BC·EF．(證略)利用比例線段也可以證明兩直線平行或兩線段相等．

例5 如圖4-28，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，AF與BE相交于G，CE和DF相交于H，求證：GH∥AD．

圖4-28 點悟：條件中的AD∥BC，給出了兩個基本圖形，而AE＝ED，BF＝FC，又使從兩

AG?DHHF個基本圖形中給出的比例式有一個公共的比值，從中可以得到GF．所以GH∥AD．

證明：∵ AD∥BC，AE?AGGFED?DHHF∴ BF，F(xiàn)C．

∵ AE＝ED，BF＝FC，AG?DHHF∴ GF，∴ GH∥AD．

例6 如圖4-29，已知：AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm． 求：BE和DE的長．

圖4-29 點悟：題設(shè)中的兩對平行線起著不同的作用．由DE∥AC，AD平分∠BAC，可以得到AE＝DE．這樣已知及欲求的線段BE，AE，AB，AF都在AB和AC這兩條邊上，利用EF∥BC，就可以得到相應(yīng)的比例線段．求得答案． 解：∵ DE∥AC，∴ ∠3＝∠2，又AD平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠3，∴ ED＝AE． ∵ EF∥BC，ED∥CF，∴ EDCF為平行四邊形，∴ ED＝CF＝AE．

設(shè)AE＝x，則 CF＝x，BE＝15－x． ∵ EF∥BC，AE?AFCFx?4x∴ BE，即15?x，2∴ x?4x?60?0

解得，x1??10(舍)，x2?6． ∴ DE＝6cm，BE＝9cm．

例7 如圖4-30，已知：在△ABC中，AD和BE相交于G，BD∶DC＝3∶1，AG＝GD． 求BG∶GE．

圖4-30 點悟：按照例4的分析，過點G作GM∥AC，根據(jù)平行線截得比例線段定理，得BG∶GE＝BM∶MC，于是只要求出BM∶MC的值即可． 解：作GM∥AC交BC于M，則 BG∶GE＝BM∶MC． ∵ AG＝GD，DM?MC?12DC∴ ．

BD∵ DCBD1?31，?61BD即2DC，MC?6?11?61．

?71BD?MCMCBM，即MC，∴ BG∶GE＝7∶1．

點撥：以上四例中，我們復(fù)習(xí)了線段成比例和平行線分線段成比例的有關(guān)知識．

【易錯例題分析】

例1 已知：在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點． 求證：△ADQ∽△QCP． 證明：在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中點，AD?2∴ QCBP，?3BC?4DQ∵ PC，∴ PC．又∵ BC＝2DQ，∴ PC?DQPC，∠C＝∠D＝90°，?2．

AD在△ADQ和△QCP中，QC∴ △ADQ∽△QCP． 警示：證此類題應(yīng)避免沒有目標(biāo)而亂推理的情況．

例2 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖4-31(1)、(2)所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位同學(xué)的加工方法符合要求(加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留)．

解：由AB＝1.5米，SΔABC?1.5平方米，得BC＝2米．設(shè)甲加工的桌面邊長為x米，∵DE∥AB，Rt△CDE∽Rt△CBA，CD?DEAB672?x?x1.5∴ CB，即2．

解得 x?，過點B作Rt△ABC斜邊AC上的高BH，交DE于P，交AC于H．

由AB＝1.5米，BC＝2米，SΔABC?1.5平方米得AC＝2.5米，BH＝1.2米． 設(shè)乙加工的桌面邊長為y米，∵ DE∥AC，∴ Rt△BDE∽Rt△BAC．

BP?DEAC1.2?y?y2.5∴ BHy?，即1.2

3037303722即x＞y，x?y，解得，6因為7?所以甲同學(xué)的加工方法符合要求． 警示：解此類要避免看不出相似直角三角形而無法解的情況，更要避免看不出對應(yīng)線段造成的比值寫錯而形成的計算錯誤．

例3 如圖4-32，AD是直角△ABC斜邊上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AF?BEBDAC于E、F．求證：AD．

圖4-32(2002年，安徽)正解：∵ BA⊥AC，AD⊥BC，∴ ∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∴ ∠B＝∠DAC．又∵ ED⊥DF，∴ ∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°，∴ ∠BDE＝∠ADF，∴ △BDE∽△ADF．

BD?BEAFAF?BEBD∴ AD，即 AD．

警示：本例常見的錯誤是不證三角形相似，直接進行線段的比，這是規(guī)范的一種情況．

【同步達綱練習(xí)】

一、選擇題

1．如圖4-33，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，則圖中與△ADC相似的三角形共有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．多于3個

2．某班在布置新年聯(lián)歡晚會會場時，需要將直角三角形彩紙裁成長度不等的矩形彩條，如圖4-34在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下寬為1cm的矩形紙條a1、a2、a3…若使裁得的矩形紙條的長都不小于5cm，則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數(shù)是（）

A．24 B．25 C．26 D．27

圖4-33 圖4-34

二、填空題

3．如圖4-35，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，則AD∶________＝________∶BC＝________∶AB．

圖4-35 圖4-36 4．如圖4-36，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則圖中與△ABC相似的三角形共有________個，它們是_______________．

5．陽光通過窗口照到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)，已知亮區(qū)到窗下的墻腳最遠(yuǎn)距離是8.7m，窗口高1.8m，那么窗口底邊離地面的高等于________．

三、解答題

6．如圖4-37，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于F．求證：BP2?PE?PF．

7．已知：如圖4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分線，BF是∠ABC的平分線，BF的延長線交AE于E．求證：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

圖4-37 圖4-38 8．四邊形ABCD是平行四邊形，點E在邊BA的延長線上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求證：AC·BE＝AD·CE．

參考答案

【同步達綱練習(xí)】

1．C 2．C 3．AC，ED，AE 4．4，△ADF、△DBE、△FEC、△EFD

5.4m 6．連結(jié)PC，先證明△ABP≌△ACP，∴PB＝PC，再證明△PCF∽△PEC，∴PC∶PE＝PF∶PC．∴PC2?PE?PF，∴PB2?PE?PF

7．(1)由已知可求得∠ABF＝∠BAC＝36°，∠C＝∠BFC＝72°，∴BC＝BF＝AF

(2)∵△EAF、△BCF都是底角為72°的等腰三角形，∴△EAF∽△BCF，∴EF∶BF＝AF∶CF，又AF＝BC，∴EF∶BF＝BC∶FC

8．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，又∵∠E＝∠E，∴△ECA∽△EBC，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC∶AD＝CE∶BE，∴AC·BE＝AD·CE

第三篇：三角形相似教案

相似三角形的判定（1）教學(xué)設(shè)計

一、課題

相似三角形的判定（1）（選自2013年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊27.2.1，第1課時）

二、教材分析

1.內(nèi)容要點

本節(jié)課讓學(xué)生利用相似三角形的定義來進一步探索相似三角形的判定條件，從而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知里發(fā)展思維，加強與前面已學(xué)過的知識：圖形的相似、相似多邊形的主要特征（相似多邊形對應(yīng)的角相等，對應(yīng)邊的比相等），相似比甚至引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系八年級上冊所學(xué)的相等三角形的判定定理和平行從對比探索中增強學(xué)生的推理歸納和類比應(yīng)用的能力。2.地位

本節(jié)課處于承上啟下的位置，既增強了對圖形的相似和相似多邊形定義聯(lián)系和運用，又為下一課時相似三角形的判定2以及以后的幾何證明奠定了基礎(chǔ)。3.作用

從初步認(rèn)識相似三角形到探索如何利用平行線的特點判定兩個三角形相似，從無到有的知識萌發(fā)，讓學(xué)生由探究得到的平行線分線段成比例定理初步返回去嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣J(rèn)識兩個圖形的相似，在探索過程中掌握自主探究、類比、歸納以及轉(zhuǎn)化的思想方法，增強推理能力，進而讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)圖形之美。經(jīng)過對平行線分線段成比例定理以及相似三角形判定定理的探究學(xué)習(xí)，使學(xué)生的合情推理意識和主動探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣得到發(fā)展。

三、學(xué)情分析 1.認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)生在八年級上冊中已經(jīng)全面地認(rèn)識了三角形，并且掌握了全等三角形的判定定理，加上平行線同位角等性質(zhì)，并且在上一節(jié)課已學(xué)過了圖形的相似以及相似多邊形的主要特征，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)相似三角形打下了基礎(chǔ)。學(xué)生在觀察、想象、合作探究、歸納概括等方面有了初步的體驗，再加上學(xué)生會做輔助線，這為本課的學(xué)習(xí)奠定了一定的基礎(chǔ)，但學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想，幾何論證推理能力還在初步形成階段，這使本節(jié)課的學(xué)習(xí)還有一定的困難。2.情意基礎(chǔ)

學(xué)生是九年級的學(xué)生，對于新知識有一定的接受能力，且數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想都相對成熟，對探索學(xué)習(xí)饒有興趣，但是思維容易固化，對問題看待不夠全面。

四、教學(xué)目標(biāo)

1.理解相似三角形不因位置改變而改變，書寫三角形相似時對應(yīng)角的字母順序?qū)?yīng)；

2.能運用平行線和三角形中線比例關(guān)系證明“A字型”三角形相似，能運用三角形全等的方法將“X字型”三角形轉(zhuǎn)化為“A字型”三角形證明其相似；

3.理解相似三角形概念，能正確找出相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角； 4.能掌握并運用相似三角形判定的“預(yù)備定理”； 5.讓學(xué)生參與探索，獲取相似三角形判定條件，感受數(shù)學(xué)的魅力，體會到數(shù)學(xué)的充滿探索與創(chuàng)造,在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的樂趣并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活中形成自主，自信，健康的心理。

五、教學(xué)重難點

1.教學(xué)重點

相似三角形判定的“預(yù)備定理”的探索； 2.教學(xué)難點

探索過程中的各種三角形相似的有關(guān)證明；

六、教學(xué)方法和手段 1.教學(xué)方法 引導(dǎo)探究法 2.教學(xué)媒體 PPT

七、教學(xué)設(shè)計思想

探究式的教學(xué)方法是新課改的一個重要內(nèi)容，布魯納主張學(xué)習(xí)的目的是以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的方式使學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并且指出學(xué)生的知識學(xué)習(xí)是通過類別化信息的加工過程，積極主動地形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。利用學(xué)生的好奇心，設(shè)疑，解疑，組織互動，有效的教學(xué)活動，鼓勵學(xué)生積極參與，大膽猜想，使學(xué)生在自主探究與合作交流中理解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容，增強直觀效果，提高課堂效率。其次，數(shù)形結(jié)合思想，化歸思想以及歸納法和分析法的應(yīng)用，讓學(xué)生對新知的認(rèn)識更加透徹，對問題的探索思路更加明確，并從中讓思維得到進一步的提升。

八、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入（5分鐘）1.復(fù)習(xí)概念性質(zhì)（3分鐘）

T：同學(xué)們還記得相似圖形的概念是什么嗎？ S：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個圖形相似。T：相似的兩個圖形會隨它們位置的改變而改變嗎？ S：不會。

T：很好，大家先記著我們剛剛回憶的內(nèi)容。下面我們來了解一下最簡單的多邊形----三角形的相似情況。

T：剛才我們回憶了相似圖形的一些性質(zhì)，那現(xiàn)在我手頭上有根據(jù)相似圖形性質(zhì)畫出來的兩個相似三角形，不論它們之間的相對位置如何，乃至處于不同的平面，這兩個三角形仍然是相似的。（老師拿出兩個相似三角形并在同一平面變換兩個三角形紙片的位置，然后讓兩紙片處于不同平面變換位置）（老師將兩紙片貼在黑板上并標(biāo)明字母）T：同學(xué)們我們要用字母表示這兩個三角形相似，應(yīng)該怎么寫呢？我們一起來寫，首先把兩個三角形表示出來，分別是?ABC?DEF，同學(xué)在寫的時候還要注意對應(yīng)的頂點字母相對應(yīng)，那中間用什么符號來表示兩個三角形相似呢？有同學(xué)可以告訴我嗎？

S：大寫字母S橫著寫。

T：很好，這跟我們曾經(jīng)學(xué)過的什么符號很像呢？ SSS：全等符號。

T：那課后大家思考全等三角形與相似三角形之間有什么聯(lián)系，下節(jié)課我再叫同學(xué)回答這個問題。2.創(chuàng)設(shè)情境（2分鐘）

（老師利用這組相似三角形紙片，將兩個三角形的一個對應(yīng)頂點重疊，貼在黑板上）

T：同學(xué)們你們看，相似三角形?ABC和?DEF的?ABC的頂點A與?DEF的頂點D重合并且∠BAC與∠EDF重合，那邊EF和邊BC有什么關(guān)系嗎？

S：平行。

T：為什么呢？

S：同位角相等兩直線平行。

T：嗯，AEB三點共線，且∠AEF=∠ABC，所以EF和BC平行。

（二）探索新知（20分鐘）

T：如果平行于?ABCBC邊的直線與其他兩邊AB、AC相交與點E、F，所構(gòu)成的?AEF是否與?ABC相似呢？

S：相似（不相似）。

T：大部分同學(xué)都說相似，接下來我們該做些什么去證明這兩個三角形相似呢？

T：首先我們從我們學(xué)過的類似的圖形出發(fā)，假設(shè)這條平行線是三角形中位線，我們來證明看看。同學(xué)們自行思考，待會來分享思路。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（2min過去了，期間教師下臺觀察學(xué)生情況，選一名寫完了的同學(xué)上臺分享思路）

S1：（在黑板上畫△ABC并取分別AB、AC中點D、E，連接DE）∵DE是△ABC的中位線∴DE＝1/2BC（由三角形中位線定理）

∴AB/AD ＝AC/AE ＝BC/DE ＝1/2.又∵兩直線平行同位角相等 ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC.T：同學(xué)們覺得S1的解答對嗎？ S：對。

T：S1的解答充分運用了已學(xué)的三角形中位線的知識，找出來隱含在三角形ADE和三角形ABC中邊的比例關(guān)系，依照定義證明出了這兩個三角形相似，證明過程很完整，是對的，讓我們給他一些掌聲鼓勵。（解析S1的做法，并給予肯定）

（老師和學(xué)生一起鼓掌）T：接下來加大難度咯，“如圖過點D作DE∥BC交AC于點E，那么△ADE與△ABC相似嗎？”，請同學(xué)們自行思考，待會請同學(xué)上來分享思路。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（4min過去了）

S2：由同位角相等可知三個角對應(yīng)相等，只需證明對應(yīng)邊成比例.因為DE∥BC，所以AD/AB=AE/EC=k, 只需證明DE/BC=k.過點D作DF∥AC交BC于點F，則由兩組對邊分別平行，得四邊形DFCE為平行四邊形.所以DE/BC=FC/BC，∵DF∥AC ∴FC/BC=DA/BA，故DE/BC= DA/BA =k ∴△ADE∽△ABC.T：S2將問題轉(zhuǎn)化為了求三角形的一邊對應(yīng)成比例，通過作輔助線DF，構(gòu)造出了平行四邊形，并靈活運用平行四邊形和相似的性質(zhì)，得到了三邊對應(yīng)相等，從而證明了兩個三角形相似，做的很棒，讓我們把掌聲送給他?。ê屯瑢W(xué)們一起鼓掌）T：以上都是平行線與邊AB和邊AC相交的情況，現(xiàn)在我們延長AB和AC，如圖當(dāng)DE與三角形兩邊延長線交于邊BC下方時，所構(gòu)成的三角形和原三角形是否相似呢？ [PPT顯示相應(yīng)題目和圖形] S：相似。

T：要怎樣證明呢？ S：和上一題一樣。

T:對，沒錯。像這種平行線位于點A下方的，我們統(tǒng)稱為“A字型”，凡是擁有這種形狀的三角形和平行線，都隱藏著相似三角形。那如果DE與三角形兩邊延長線交于邊點A上方時，所構(gòu)成的三角形和原三角形是否相似呢？請同學(xué)們自行思考。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（T下臺觀察、指點。2min后）

T：老師剛剛發(fā)現(xiàn)，大部分同學(xué)都不再用定義進行繁瑣的證明了，而是直接由“A字型”的結(jié)論出發(fā)，將新圖形轉(zhuǎn)換為“A字型”加以證明。有哪位同學(xué)愿意上臺分享一下，你是怎樣轉(zhuǎn)化的呢？

S3：分別在邊AB和邊AC作點N’和M’，使AN=AN’，AM=AM’，由對頂角相等和SAS可得

△AMN≌△AM’N’，從而得到“A字型”，故新三角形和原三角形相似。T：S3分析的很好！讓我們給他掌聲鼓勵?。ê屯瑢W(xué)們一起鼓掌）我們稱這種圖形為“X字型”，通過“A字型”和“X字型”的相似三角形探究，我們現(xiàn)在可以總結(jié)得出我們一開始要證明的結(jié)論了，同學(xué)們還記得是什么嗎？

S：逆命題（剛剛的猜想）。

T：沒錯，我們給這個剛剛證明的猜想一個名稱“預(yù)備定理”，大家請看屏幕，一齊朗讀一邊[PPT顯示預(yù)備定理] S：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

T：預(yù)備定理比定義要簡便的多，它的幾何語言也是相當(dāng)簡潔 ∵EF∥BC ∴△ADE∽△ABC.（三）知識遷移（7分鐘）（備注：此環(huán)節(jié)題目讓學(xué)生以同桌為單位交流完成，老師再請同學(xué)發(fā)言說明思路）

（四）總結(jié)反思（7分鐘）

定義：??。要求三邊三角滿足對應(yīng)關(guān)系，非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)C明過程過于繁瑣且使用條件有限。

預(yù)備定理：??。只要求有找到原三角形一邊的平行線，構(gòu)成“A字型”或“X字型”，極大簡化了證明過程。

（備注：以上總結(jié)，老師說整體性語言，關(guān)鍵字引導(dǎo)學(xué)生說出）

（五）布置作業(yè)（1分鐘）

1.常規(guī)作業(yè)（第幾頁第幾題）

2.探索作業(yè)：請以本節(jié)課所學(xué)知識，“測量”教室天花板的高度，寫一測量方案。

九、板書設(shè)計

十、反思

第四篇：相似三角形教學(xué)案 Word 文檔

九年級成功教學(xué)案

——用思維鍛煉能力，用勤奮鑄造成功

課題

相似三角形的判定（2）

一、自學(xué)

1.自學(xué)內(nèi)容：P44—P47 2.自學(xué)目標(biāo)：

（1）理解“兩邊對應(yīng)成比例夾角相等的兩三角形相似”及“兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似”的來歷；（難點）

會用“兩邊對應(yīng)成比例夾角相等”及“兩角對應(yīng)相等”判斷兩個三角形相似。（重點）

（2）理解“兩邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似”及“一銳角相等的兩個直角三角形相似”；

會用“兩邊對應(yīng)成比例”及“一銳角相等”判定兩個直角三角形相似。（重點）

（3）會應(yīng)用相似的知識解決實際問題。3.自學(xué)指導(dǎo)

（1）在證明“兩邊對應(yīng)成比例夾角相等的兩三角形相似”及“兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似”時，首先在大三角形中截取一個與小三角形全等的三角形!

（2）在判定兩個三角形相似時，注意應(yīng)用對頂角、同位角、內(nèi)錯角、同角或等角的余角等圖形中的一些隱含條件！

二、量學(xué)

1.根據(jù)下列條件判斷兩個三角形是不是相似，并說明理由： ∠A=1200，AB=7cm，AC=14 cm，∠A/=1200，A/B/=3cm，A/C/=6 cm.2.圖中的兩個三角形是不是相似，并說明理由：

3.底角相等的兩個三角形是否相似？頂角相等的兩個三角形是否相似？說明理由：

4.如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊上的高，△ACD和△CBD和△ABC相似嗎？說明理由：

三、助學(xué)

1.如圖，已知正方形ABCD中，P是BC上一點，且BP=3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ～△QCD.2.如圖，D是△ABC的邊BC上一點，AB=2，BD=1，DC=3，△ABD與△CBA相似嗎？為什么？

3.如圖，在△ABC中，AB=AC,CE為∠ACD的平分線，求證：△ABE～△DCE.4.已知，∠A=380，∠B=740，∠A/=740，∠C/=680，那么△ABC與△ABC相似嗎？為什么？

5.如圖，Rt△ABC和Rt△ABC中，∠ACB=∠A/C/B/=900，CD⊥

//////AB于D，C/D⊥AB于D，且=，求證，Rt△ABC～Rt△ABC.///

/

///

四、用學(xué)

1.如圖：判斷兩個三角形是否相似，并求出x和y。

2.3.五、測學(xué) 1.2.3.六、思學(xué) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)你有哪些收獲？

第五篇：相似三角形教案

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§18.3 相似三角形

一、教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生理解并掌握相似三角形的概念，理解相似比的概念。

2、使學(xué)生掌握預(yù)備定理，并了解它的承上啟下的地位和作用。

3、通過預(yù)備定理的條件所構(gòu)成的圖形的三種情況，教學(xué)生對一致性問題的思想方法。

二、教學(xué)重難點

教學(xué)重點：相似三角形的概念及預(yù)備定理。教學(xué)難點：由相似三角形寫對應(yīng)邊的比例式。

三、教學(xué)過程設(shè)計 1.復(fù)習(xí)回顧，概括概念

（一）相似圖形的特征是什么？

（學(xué)生回顧相關(guān)知識，為相似三角形的研究做好準(zhǔn)備。）

（二）在相似多邊形中，最為簡單的就是相似三角形（similar triangle）．

什么是相似三角形呢？前面我們學(xué)過形狀相同的圖形說成是相似的圖形，而相似三角形的本質(zhì)特征就是“具有相同的形狀”，它們的大小不一定相等。

（為加深學(xué)生對相似三角形的概念的本質(zhì)的認(rèn)識，教學(xué)時預(yù)先準(zhǔn)備幾對相似三角形，讓學(xué)生觀察或測量對應(yīng)元素的關(guān)系。）

定義：對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角成比例的三角形是相似三角形。（注意：定義中要求有兩個條件，缺一不可）

（1）表示：相似用符號“∽”來表示，讀作“相似于”．如圖18.3.1所示的兩個三角形中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，即△ABC與△A′B′C′相似，記作

△ ABC∽△A′B′C′，讀作“△ABC相似于△A′B′C′”．

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（強調(diào)：用“∽”表示兩個三角形相似時，表示對應(yīng)頂點的字母一定要寫在對應(yīng)的位置上，這樣可準(zhǔn)確地找出相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊）

（2）相似比：如果記角形的相似比．

＝k，那么這個比值k就表示這兩個相似三注：兩個相似三角形的相似比具有順序性。即：若 △ABC 與 △DEF 的相似比 k，則△DEF 與△ABC 的相似比為1：k 2.鞏固應(yīng)用，拓展研究

思考：△ABC ∽△DEF，AB=7，DE=21，（1）求△ABC 與 △DEF 的相似比是多少？（2）若AC=6，求DE的長；

（3）若AC=6，EF=24，求△ABC 與 △DEF 的周長分別是多少？△ABC 與 △DEF 的周長比是多少？它與相似比有什么關(guān)系？

（4）△DEF 的周長與△ABC的周長為40，分別求△ABC 與 △DEF 的周長各是多少？ 通過此題的練習(xí)，使學(xué)生掌握以下幾點：

練習(xí)（1）、（2）對相似三角形的概念、表示及特征的分析，理解相似比；

練習(xí)（3）的操作后，使學(xué)生明白相似三角形的周長比等于其相似比；此題的方法不唯一，可以先分別算出△ABC 的各邊長與 △DEF 的各邊長，然后再分別求出其周長；也可以直接考慮周長：由＝k可知，A B=k? A′B′，B C= k?B′C′，C A=k? C′A′，所以

練習(xí)（4）是上面幾題的應(yīng)用，可通過周長比等于相似比及周長差為40兩個條件組成一個二元一次方程組的思想。

（通過幾個問題的設(shè)置，使學(xué)生掌握相關(guān)的知識概念，加深對新知識理解與應(yīng)用。）3.練習(xí)鞏固，促進遷移

做一做 如圖18.3.2，△ABC中，D為邊AB上任一點，作DE∥BC，交邊AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判斷△ADE與△ABC是否相似.北京今日學(xué)易科技有限公司

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我們知道，根據(jù)兩直線平行同位角相等，則 ∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，而∠A＝∠A．

通過度量，還可以發(fā)現(xiàn)它們的對應(yīng)邊成比例，所以△ADE∽△ABC.類似的，在圖中當(dāng) ED∥BC時，△ADE ∽ △ABC。因此我們得到下面的定理：

預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

如果取點D為邊AB的中點，那么上題中△ADE和△ABC的相似比就為k ＝.當(dāng)k＝1時，這兩個三角形不僅形狀相同，而且大小也相同，這樣的三角形

我們就稱為全等三角形（congruent triangles）．全等三角形是相似三角形的特例.4.應(yīng)用鞏固，課內(nèi)深化

（1）判斷下面兩個三角形是否相似，簡單說明理由：

（2）如果一個三角形的三邊長分別是5、12和13，與其相似的三角形的最長邊長是39，那么較大三角形的周長是多少？較小三角形與較大三角形周長的比是多少？

（3）已知一個三角形的三邊之比為3：5：7，和它相似的另一個三角形的最大邊長為14cm，求它的最小邊長為多少？

（此題改編自勵耘精品系列叢書《課時導(dǎo)航》華師大版八年級（下）P36 新課程網(wǎng)校[004km.cn] 全力打造一流免費網(wǎng)校！

高度無影響）

（此題改編自勵耘精品系列叢書《課時導(dǎo)航》華師大版八年級（下）P37