第一篇：數(shù)學(xué)重要例題(6班)

《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》復(fù)習(xí)題

第一章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的定義 P3

2、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的主題：權(quán)衡取舍 價(jià)格 市場(chǎng)的核心作用 P4-5

3、實(shí)證分析、規(guī)范分析 P7

4、市場(chǎng)的范圍 P9

5、名義價(jià)格與實(shí)際價(jià)格的轉(zhuǎn)換 P13

6、小結(jié) P17-18

復(fù)習(xí)題

第2、6題

P18

練習(xí)題

第1、2題

P18-19

第二章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、供給曲線的定義

P21

2、供給的變動(dòng)、供給量的變動(dòng)

P22

3、需求曲線的定義

P22

4、需求曲線的移動(dòng)

P23

5、替代品、互補(bǔ)品

P23

6、均衡、市場(chǎng)機(jī)制

P24

7、需求的價(jià)格彈性公式、富于彈性、無(wú)彈性

8、需求的收入彈性、需求的交叉彈性

P34

9、供給彈性

P34

10、需求的弧彈性公式

P35

11、需求的短期彈性和長(zhǎng)期彈性

P37-38

12、供給的短期彈性和長(zhǎng)期彈性

P41-42

13、小結(jié) P55

復(fù)習(xí)題

第2、5、11題

P56

練習(xí)題

第1、2、4題

P57

P32 第三章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、有關(guān)偏好的三個(gè)假設(shè)

P66

2、無(wú)差異曲線的定義

P66

3、邊際替代率的定義、公式、邊際替代率遞減

P70-71

4、完全替代品、完全互補(bǔ)品

P72

5、效用、效用函數(shù)

P74

6、序數(shù)效用函數(shù)、基數(shù)效用函數(shù)

P75-76

7、預(yù)算線的定義、公式

P78-79

8、效用最大化的條件、公式

P82

9、邊際效用、邊際效用遞減

P89

10、邊際相等原則、公式

P90

11、拉氏指數(shù)、帕氏指數(shù)公式

P96

12、小結(jié) P98

復(fù)習(xí)題

第6、8題

P100

練習(xí)題

第7、10、15題

P101-102

第四章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、消費(fèi)--價(jià)格曲線

P105

2、收入—消費(fèi)曲線

P107

3、正常商品、劣等商品

P108-109

4、恩格爾曲線

P109

5、收入效應(yīng)和替代效應(yīng)

P112

6、需求彈性與總支出的關(guān)系

P119

7、消費(fèi)者剩余

P122

8、攀比效應(yīng) 虛榮效應(yīng) P126-128

9、小結(jié) P134-135

復(fù)習(xí)題

第5、11題

P135－136

練習(xí)題

第7、13題

P135－139

第五章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、期望值公式

P150

2、標(biāo)準(zhǔn)差

P151

3、期望效用

P154

4、風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

P156

5、降低風(fēng)險(xiǎn)的方法

P159

6、大數(shù)定律

P161

7、小數(shù)定律

P175

8、小結(jié) P177-178

復(fù)習(xí)題

第7題

P178

練習(xí)題

第1、7題

P178－180

第六章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、生產(chǎn)要素

P183

2、短期和長(zhǎng)期

P184

3、平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量及其關(guān)系

P186-187

4、邊際報(bào)酬遞減規(guī)律

P188

5、等產(chǎn)量線

P193

6、邊際技術(shù)替代率遞減

P195-195

7、規(guī)模報(bào)酬遞增 不變 遞減

P199-200

8、小結(jié) P202

復(fù)習(xí)題

第9題

P203

練習(xí)題

第2、7題

P203－204

第七章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、會(huì)計(jì)成本、經(jīng)濟(jì)成本、機(jī)會(huì)成本

P206

2、固定成本和可變成本

P208

3、邊際成本平均總成本

P210-211

4、邊際成本與平均成本的關(guān)系

P214

5、資本的使用者成本

P193

6、等成本線

P195-195

7、生產(chǎn)給定產(chǎn)出的最低成本 圖7-3 P219

8、成本最小化的條件

P221

9、規(guī)模經(jīng)濟(jì)與規(guī)模不經(jīng)濟(jì)

P227-228

10、范圍經(jīng)濟(jì)和范圍不經(jīng)濟(jì)、范圍經(jīng)濟(jì)程度 P231

11、小結(jié) P240-241

復(fù)習(xí)題

第3題

P241

練習(xí)題

第1、3、9題

P242－243

第八章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)三個(gè)假定

P252

2、利潤(rùn)最大化法則

P256

3、競(jìng)爭(zhēng)性廠商的利潤(rùn)最大化

P258

4、產(chǎn)出法則

P260

5、關(guān)閉法則

P261

6、生產(chǎn)者剩余

P268-269

7、會(huì)計(jì)利潤(rùn)與經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)、零經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)

P271-272

8、長(zhǎng)期競(jìng)爭(zhēng)均衡的的條件

P273

9、經(jīng)濟(jì)租

P274

10、行業(yè)的長(zhǎng)期供給曲線 P276-278

11、小結(jié) P2481-282

復(fù)習(xí)題

第1、3題

P282

練習(xí)題

第4、11、13題

P283－285

第九章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余 圖9-1 P287

2、無(wú)謂損失

P289

3、征稅后市場(chǎng)出清的四個(gè)條件 P311

4、轉(zhuǎn)嫁因子公式

P311-312

5、補(bǔ)貼的效應(yīng)

P312

6、小結(jié) P315

復(fù)習(xí)題

第3題

P315

練習(xí)題

第1、2題

P316

第十章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、壟斷、買方壟斷

P323

2、定價(jià)的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)法則

P329

3、壟斷勢(shì)力的測(cè)定 勒納指數(shù)

P335

4、壟斷勢(shì)力的來(lái)源

P339-340

5、價(jià)格管制

P342

6、買方寡占

P345

7、邊際價(jià)值 邊際支出

P345

8、買方壟斷勢(shì)力的來(lái)源

P49

9、小結(jié) P356

復(fù)習(xí)題

第1、6題

P357

練習(xí)題

第3、6（1）（2）、7題

P358

第十二章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、壟斷競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的兩個(gè)重要特征

P412

2、壟斷競(jìng)爭(zhēng)短期和長(zhǎng)期的均衡

P413

3、壟斷競(jìng)爭(zhēng)的非效率是否使之受管制？

P415

4、納什均衡

P417

5、古諾均衡

P420

6、斯塔克博格模型

P422

7、伯特蘭德模型

P423

8、囚徒的困境

P429

9、價(jià)格剛性

P431

10、卡特爾

P435

11、小結(jié) P440

復(fù)習(xí)題

第1、4題

P441

練習(xí)題 第6（1）（2）（3）、11題

P442-444

第十四章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、勞動(dòng)的邊際收益產(chǎn)出定義、公式

P487

2、利潤(rùn)最大化條件

P488

3、對(duì)廠商的投入要素供給

P494

4、投入要素的市場(chǎng)供給

P495

5、競(jìng)爭(zhēng)性要素市場(chǎng)的均衡

P498

6、經(jīng)濟(jì)租

P422

7、有買方壟斷勢(shì)力的購(gòu)買決策

P503

8、工資率的壟斷勢(shì)力

P506

9、工會(huì)化與非工會(huì)化

P507

10、小結(jié) P510

復(fù)習(xí)題

第2、7題

P511

練習(xí)題

第6、8題

P512-513

第二篇：重要不等式匯總(例題答案)

其他不等式綜合問(wèn)題

例1：（第26屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧題之一）設(shè)a、b、c∈R+，求證：

1???.（1）

a3?b3?abcb3?c3?abcc3?a3?abcabc

分析；最初，某刊物給出了一種通分去分母的較為復(fù)雜的證法，這里試從分析不等式的結(jié)構(gòu)出發(fā)，導(dǎo)出該不等式的編擬過(guò)程，同時(shí)，揭示證明此類問(wèn)題的真諦，并探索其推廣命題成功的可能性。思考方向：（1）的左邊較為復(fù)雜，而右邊較為簡(jiǎn)單，所以，證明的思想應(yīng)該從左至右進(jìn)行, 思考方法：（1）從左至右是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的逐步放大過(guò)程，所以，一個(gè)簡(jiǎn)單的想法就是將各分母設(shè)法縮小，但考慮到各分母結(jié)構(gòu)的相似性，故只要對(duì)其中之一做恰倒好處的變形，并構(gòu)造出右邊之需要即便大功告成.實(shí)施步驟；聯(lián)想到高中課本上熟知的不等式：x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y)(x、y∈R+)（*）

知（1）的左端?

1???.ab(a?b)?abcbc(b?c)?abcca(c?a)?abcabc

這一證明是極其簡(jiǎn)單的，它僅依賴高中數(shù)學(xué)課本上的基礎(chǔ)知識(shí)，由此可見，中學(xué)課本上的知識(shí)也能用來(lái)攻克高層次的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，看來(lái)，我們要好好守住課本這快陣地。

（1）刻畫了3個(gè)變量的情形，左端的三個(gè)分式分母具有如下特征：三個(gè)字母中取兩個(gè)的三次方與這三個(gè)變量的乘積之和，那么，對(duì)于更多個(gè)變量會(huì)有怎樣的結(jié)論？

以下為行文方便，記（1）的左端為 ?似處理，不再贅述,為了搞清多個(gè)變量時(shí)（1）的演變，首先從4個(gè)變量時(shí)的情形入手,11

。（2）?

a3?b3?c3?abcdabcd

4分析：注意到上面的（*），要證（2），需要證 x+y+z≥xyz(x+y+z)（**），表示對(duì)a、b、c輪換求和，以下其它的類

a?b3?abc

3推廣1：設(shè)a、b、c、d∈R+，求證：?

（**）是（*）的發(fā)展，它的由來(lái)得益于證明（1）時(shí)用到的（*），這是一條有用的思維發(fā)展軌道。事實(shí)上，由高中數(shù)學(xué)課本上熟知的不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx易知 x+y+z≥xy+yz+zx≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),這樣（**）得證, 從而（2）便可仿（1）不難證明，略, 推廣2：設(shè)ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求證：?

n

44422222

2i?k

i?

1?a??ai

i?1

ni

n

?

1?ai

i?1n

。（3）

有了前面的推廣1的證明，這里的推廣2的證明容易多了，聯(lián)想（**），只要能證明

nn

a1n?a2?????an?1?a1a1???an?1(a1?a2?????an?1)（這是（**）的發(fā)展）

事實(shí)上，由切比雪夫不等式及算術(shù)——幾何平均值不等式可知

a?a?????a

n

n2

nn?1

n?1n?1

a1n?1?a2?????an?1?(a1?a2?????an?1)?a1a1???an?1(a1?a2?????an?1)

n?1

有了上式，推廣2便不難證明，略.很顯然，對(duì)于推廣2，若按（1）的最初的去分母去證明，當(dāng)然是行不通的，這也表明，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵一著就是要把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，不要被一些較復(fù)雜的表面現(xiàn)象所迷惑，要善于觀察，善于分析，善于總結(jié)，善于概括，善于發(fā)現(xiàn)，善于利用，盡力從表象的東西里抽象概括出本質(zhì)性的實(shí)質(zhì)性的規(guī)律，這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要旨。例2：設(shè)x、y、z∈R+，求證：

x2y2z

2?2?2?1.（4）2222

y?z?yzz?x?zxx?y?xy

分析：這是一個(gè)并不復(fù)雜的分式不等式，但是若要通過(guò)去分母來(lái)證明，肯定會(huì)走彎路，甚至走到死胡同。

思考方向：（4）的左端較為復(fù)雜，而右邊較為簡(jiǎn)單，所以，證明的思想應(yīng)該從從左至右的進(jìn)行。思考方法：（1）從左至右是一個(gè)逐步縮小的過(guò)程，所以，對(duì)于本題，一個(gè)簡(jiǎn)單的想法就是將個(gè)分母設(shè)法放大，但考慮到分母結(jié)構(gòu)的相似性，故只要對(duì)其中之一進(jìn)行恰倒好處的變形，并設(shè)法構(gòu)造出（4）的右邊即可大功告成。

實(shí)施步驟；聯(lián)想到高中課本上熟知的的不等式：2xy≤x2+y2(x、y∈R),剛好是（4）中分母里xy的成功放大，即有如下證明：

x3x2x22x

2?證明：∵? 只要證明，（5）???,??22y2?z2212y2?z2?yz3(y?z)222

y?z?(y?z)

給（5）的兩邊同時(shí)加3，得到?

(x2?y2?z2)(?

x2?y2?z2

y2?z2

?

9，這等價(jià)于 2

19122)??(y?z)()?9，??2y2?z2y2?z2

這由Cauchy不等式便知，從而（4）得證。

（4）式刻畫了3個(gè)變量的情形，其特點(diǎn)是；左端每一個(gè)分式的分母是從3個(gè)變量中取兩個(gè)，為

兩個(gè)的二次方與這兩個(gè)變量之積之和，而分子則是剩下一個(gè)變量的二次方?，F(xiàn)在，我們?nèi)绻驹谧兞總€(gè)數(shù)方面考慮，即再增加若干個(gè)變量，結(jié)論會(huì)怎樣？證法還靈嗎？經(jīng)過(guò)再三考慮，得到 推廣1：設(shè)ai∈R+，(I=1,2,3,…，n)求證：?

n

ain

k?i

n

?ak??ak

k?i

i?

1?1.（6）

聯(lián)想（4）的證明過(guò)程，知關(guān)鍵是對(duì)分母中的乘積項(xiàng)利用二元均值不等式進(jìn)行放大，然后運(yùn)用Cauchy不等式便大共告成，那么，（6）的證明也只要對(duì)每一個(gè)分式中分母乘積項(xiàng)逆用多元算術(shù)——幾何平均值不等式，再使用Cauchy不等式便知，詳細(xì)的證明略。

y2x2z2

???1.（7）另外，如果一不小心，將（4）錯(cuò)寫為如下形式：2

y?yz?z2z2?zx?x2x2?xy?y2

那么，雖然（7）與（4）相比，實(shí)質(zhì)性的東西并沒有發(fā)生改變，但就其結(jié)構(gòu)而言已經(jīng)發(fā)生了相當(dāng)大的改變，即（7）的每一個(gè)分母中連續(xù)3項(xiàng)依次成等比數(shù)列，而（4）的分母中就不具備這樣的性質(zhì)，繼而，（7）是否從某一方面反映某一普遍意義下的一種特例呢？也就是（7）的一般情形是什么？站在等比數(shù)列的角度去審視（7），就可以探索從改變分母的指數(shù)出發(fā)去聯(lián)想，從而得到一個(gè)很好的結(jié)論，（7）的分母多項(xiàng)式為3項(xiàng)，最高指數(shù)為2，分子與分母指數(shù)相同，左邊為三個(gè)式子之和，右邊為1，試想，當(dāng)分母中的多項(xiàng)式指數(shù)增高時(shí)，（7）應(yīng)該變成什么樣子，準(zhǔn)確點(diǎn)兒，當(dāng)指數(shù)為n+1時(shí)，相應(yīng)的結(jié)論如何？這就是

推廣2：設(shè)xyz∈R+，求證：

xn?1yn?1zn?13（8）?n?1n?n?1n?n?1nn?12n?1n?12n?1n?12n?1

n?2y?yz?yz?????zz?zx?zx????xx?xy?xy?????y

分析：聯(lián)想與類比有時(shí)候是提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的金鑰匙，相似問(wèn)題的解決方法在很多場(chǎng)合往往

都是十分相似的，在這一點(diǎn)上請(qǐng)同學(xué)們注意領(lǐng)會(huì)并掌握。

思考方向與思考方法基本同于（4），只是實(shí)施步驟中的不等式：2xy≤x2+y2(x、y∈R)的右邊的指數(shù)2改為n+1時(shí)，結(jié)論會(huì)變成什么相適應(yīng)的樣子？

類似于（*），由高中課本上知識(shí)知（當(dāng)然可從指數(shù)為3，4，5，…,去探索，這里就省去探索的過(guò)程了，因?yàn)楦咧姓n本上已有指數(shù)為3、5時(shí)的結(jié)論）： nkknn+kn+k

xy+xy≤x+y,(x、y∈R+，n、k∈N+)

這是一個(gè)有意義的結(jié)論，于是xn+1+xny+xn-1y2+…+yn+1≤

yn?1xn?

1??

yn?1?ynz?yn?1z2?????zn?1zn?1?znx?zn?1x2????xn?1xn?1?xny?xn?1y2?????yn?1

n?2n?1

(x?yn?1),即 2n?1z

2xn?1yn?1zn?1

3?(n?1??)?.(注意到（5）)到此，推廣2獲證。n?1n?1n?1n?1n?1

n?2y?zn?2z?xx?y

實(shí)際上，通過(guò)剛才對(duì)（7）的分析知道，（7）還有從變量個(gè)數(shù)方面的推廣，例如變量個(gè)數(shù)為4，5，6，…，12或者小于等于23的奇數(shù)（結(jié)論成立）時(shí)，結(jié)論的證明就比較復(fù)雜了，況且，也不能推廣到任意多個(gè)變量。關(guān)于這點(diǎn)，請(qǐng)讀者參考有關(guān)資料。例3：設(shè)x、y∈（0，1），求證：

2??。（9）1?x21?y21?xy

分析：本題的結(jié)構(gòu)看似簡(jiǎn)單，實(shí)際上，要向前面兩個(gè)不等式那樣去設(shè)法從左至右的證明在這里就不好進(jìn)行，于是，需要進(jìn)行等價(jià)分析變形，這是在當(dāng)前一時(shí)找不到好的證法時(shí)常用的證題方法。

思考方向和思考方法：去分母，整理成恒不等式。

實(shí)施步驟：一般的程序應(yīng)該是配方或者分解因式。

證明：由條件 x、y∈（0，1）知，xy∈（0，1）,所以，原不等式等價(jià)于[

1?]?（10）

21?x21?y21?xy

?2(1?x2)(1?y2)-(1?xy)(2?x2?y2)?0?(x2?y2-2xy)(1-xy)?0（11）

結(jié)合題目條件及二元均值不等式知此式早已成立，于是原命題獲證。

這一證明看起來(lái)比較簡(jiǎn)明，但是，真正實(shí)施起來(lái)也不是太簡(jiǎn)單，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)領(lǐng)悟。到這里本題的證明已經(jīng)結(jié)束，但是，如果僅停留在這個(gè)層次上就得到的甚少，應(yīng)該及時(shí)進(jìn)行反思、總結(jié)、提煉，看看本題有無(wú)推廣演變的可能？即能否由此產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)命題？

觀察例3的結(jié)構(gòu)可以看出，（10）的左端可以看成是函數(shù)f(x)?

在兩個(gè)變量x、y處的函數(shù)

21?x

值的算術(shù)平均值，右邊是兩個(gè)變量x、y在其幾何平均值處的函數(shù)值f(xy)，聯(lián)想到Jensen不等式，可以很容易的將（10）推廣到多個(gè)變量時(shí)的情形，即

推廣1：xi∈（0，1）(i=1、2、3，…，n),求證：?

1n

?。（12）nn

i?11?xi1??xi

n

i?

1這由數(shù)學(xué)歸納法不難確認(rèn)其正確，詳細(xì)證明留給感興趣的讀者。

繼續(xù)觀察（11），不難看出，當(dāng)x＞1，y＞1時(shí)，不等號(hào)應(yīng)該反向，于是可得原命題的另一種演變的推廣，即

推廣2：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求證： ?

1n

?（13）nn

i?11?xi1??xi

n

i?

1繼續(xù)觀察（10），容易想到，當(dāng)變量個(gè)數(shù)再增加時(shí)會(huì)有怎樣的結(jié)論？即對(duì)于三個(gè)變量 若x、y、z∈（0，1）,可得[

這三式相加得：

11111111111

1?]??]?，[[ ?]?222

221?x1?xy21?y1?yz21?z21?x21?y1?z1?zx111111

?????（14）1?x21?y21?z21?xy1?yz1?zx

這樣我們又得到了一個(gè)新的命題。如此繼續(xù)，便得

推廣3：xi∈（0，1）,(i=1、2、3，…，n),求證：?

n11?（15）?

2i?11?xi?11?xixi?

1in

n11

（16）?.（xn+1=x1）?2

i?11?xi?11?xixi?1

in

推廣4：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求證：?

（15）、（16）的證明可仿照（14）的證明進(jìn)行，在此就略去其詳細(xì)的證明了。

從這幾個(gè)推廣命題的由來(lái)我們可以看出，很多數(shù)學(xué)命題都是在認(rèn)真分析已有命題的基礎(chǔ)上，對(duì)原命題進(jìn)行分析、歸納、總結(jié)、提煉，得到描述問(wèn)題的本質(zhì)，在原有問(wèn)題及其求解思路的基礎(chǔ)上，運(yùn)用自己所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)通過(guò)思維的遷移加工就可得到一系列新的數(shù)學(xué)命題，這也是許多命題專家的研究心得，更是解題者應(yīng)該多多注意的一個(gè)方面，也是我們輔導(dǎo)老師應(yīng)該向?qū)W生介紹的重要一環(huán)——展示知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的全過(guò)程。

研究某些不等式的推廣是十分有意義的工作，有事實(shí)表明，近多年來(lái)的高層次競(jìng)賽就多次涉及到多個(gè)變量的復(fù)雜不等式證明問(wèn)題，而且，有些問(wèn)題本身就是一些固有問(wèn)題的發(fā)展和演變，故應(yīng)引起參加競(jìng)賽的同學(xué)的重視。

例4已知a,b,c,m為正數(shù)．求證：證明：不妨設(shè)a?c,b?c，則

abc???3bcaab?bca????2?????1?ba?cab?

abca?mb?mc?m

． ?????

bcab?mc?ma?m

b??a?b?

ab

?a?c??b?c??

ac

故

abca?mb?mc?m

?????． bcab?mc?ma?m

?a?b??a?c??b?c???

a?mb?ma?mc?m

2a?m?b?m???????????a?m???c?m??????b?m???c?m?????

a?mb?ma?mc?ma?mb?m?b?mc?mb?m???2?????1?b?ma?m?c?ma?ma?m?a?mb?mc?m????3.b?mc?ma?m?

x2y2z2

例5設(shè)正數(shù)x,y,z,a,b,c滿足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函數(shù)f(x,y,z)=的最小值.??

1?x1?y1?z

222

c2?a2?b2a2?b2?c2b?c?a解:由cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c容易解得:x?,y?,z?,且

2ca2ab2bc

a+b>c,b+c>a,c+a>b.22222

[?(b2?c2?a2)]2x1(b?c?a)1由對(duì)稱性不妨設(shè)a≥b≥c,從而f(x,y,z)=? ???1?x2(a?b?c)bc(b?c?a)2(a?b?c)bc(b?c?a)

1(a2?b2?c2)2

1???2(a?b?c)bc(b?c?a)2

?a4+b4+c4+2

?bc

≥2

?bc

+

?bc??bc

?3?a2bc?a4+b4+c4+

3?abc??bc??bc

?

a(a-c)(a-b)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)≥0?a(a-b)+a(b-c)(a-b)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)=a2(a-b)2+(a2-b2)(b-c)(a-b)+c2(c-a)(c-b)≥0,最后的不等式顯然成立,22222222

11x21

?,其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c且x=y=z=,故函數(shù)f(x,y,z)的最小值為.所以?221?x2

例6設(shè)n是給定的正整數(shù)，且n≥3,對(duì)于n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn，記|xi-xj|(1≤i

x12+x22+…+xn2=1,試求m的最大值。

解:不妨設(shè)x1≤x2≤…≤xn,則x2-x1≥m,x3-x2≥m,x4-x3≥m,…,xn-xn-1≥m.xj-xi≥(j-i)m(1≤i

k(k?1)(2k?1)m∴有?(xi?xj)?m?(j?i)?m??

661?i?j?n1?i?j?nk?1

2n?1

?[2k(k?1)(k?2)?3k(k?1)]

k?1

n?1

m2

?6

∵

?(12C

k?1

n?1

3k?2

?6C

2k?1)?m(2?C

k?1

n?1

3k?2

??Ck2?1)?m2(2Cn?2?Cn?1)=k?1

n?1

1222

mn(n?1).12

1?i?j?n

?(x

i

?xj)?n?1?2

1?i?j?n

?xx

i

j

?n?(?xk)2≤n.∴m2n2(n2-1)≤12n,m≤

k?1

n

12.僅當(dāng)x1,x2,…,xn成等差數(shù)列,且xk2

n(n?1)k?1

?

n

?0時(shí)等號(hào)成立∴mmax=

.n(n2?1)

例7設(shè)n是一個(gè)固定的整數(shù)，n≥2.(Ⅰ)確定最小的常數(shù)c，使得不等式對(duì)所有的非負(fù)實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn都成立；

(Ⅱ)對(duì)于(Ⅰ)中的常數(shù)c，確定等號(hào)成立的充要條件。解：將和式

1?i?j?n

1?i?j?n

?xx(x

ij

2i

?xj)?c(?xi)

4i?1

n

?f(x,x)簡(jiǎn)記為?f(x,x).(Ⅰ)當(dāng)x，x，…，x不全為0時(shí)，記

i

j

jj

12n

xx?x?

(?x)

ini?1

i

j2

xxx(x?x?,y?

(?x)

i

jk

in

i?1

i

n

j

?xk).∵

?xx(x

i

j

2i

?xj)??xixj[(?xk)?2?xixj?

k?1

k?1(k?i,j)

?x

i

j

n

2k

]?(?xk)2?xixj?

k?1

n

2(?xixj)2??xixjxk(xi?xj?xk)∴?2x2?x?y∵?2x2?x?y?

1?i?j?n

?xx(x

2i

?x)?c(?xi)4?c?

i?1

2j

n

111,其中等號(hào)成立僅當(dāng)x?,y?0∴cmin?.848

n

11(Ⅱ)c?中等號(hào)成立?x?,y?0?(xi)2?4

4i?1

??xx,?xxx

ij

ij

k

(xi?xj?xk)

?0??xixjxk?0且?xi?2?xixj?x1，x2，…，xn中任意三項(xiàng)之積為0，最多有兩項(xiàng)xi、i?

1n

xj不為0，滿足xi+xj=2xixj即xi=xj∴c?余全為0

2中等號(hào)成立?x1，x2，…，xn中有兩項(xiàng)相等(可以為0)，其8

2n?2006

例

8、（2007年CMO試題5）設(shè)有界數(shù)列{an}(n?1)滿足a?

n

?

k?n

ak1

?,n?1,2,3?求證：k?12n?2007

an?,n?1,2,3,? n

2n?20061

則 bn??bknk?nk?1

證明：設(shè)bn?an?

n?1

(1)

下證bn?an?，因?yàn)閍n有界，故存在常數(shù)M。使得bn?M，n?100000時(shí)，我們有 n

2n?2006

2n?2006

(3s)2

2n?2006

bk111

bn???M??M??M? k?nk?1k?nk?1k?nk?1k?nk?1

n

?2006

16?M??M2?M

27?12

由此可以看出，對(duì)任意的正整數(shù)m有bn?()M于是有bn?0,n?100000 將其代入（1），得bn?0,n?10000 0

再次利用（1），可以得：如果當(dāng)n?N?1時(shí)bn?0，則bN?0，這就推出bn?0,n?1,2,3,?，即an?

m,n?1,2,3,? n

第三篇：幾個(gè)重要的問(wèn)答題例題分析

必修2《政治生活》常見的幾個(gè)問(wèn)答題

1、近年來(lái)，我國(guó)公民有了更多的機(jī)會(huì)直接參與了政府的決策，并對(duì)決策的形成發(fā)揮了更加積極的作用。

簡(jiǎn)要回答：我國(guó)公民參與民主決策的方式有哪些？公民直接參與民主決策有何意義？

2、某鄉(xiāng)農(nóng)民拉了一車西瓜準(zhǔn)備去縣城賣，途中碰到一伙歹徒攔路搶劫，一車西瓜被劫走了。無(wú)奈中，劉某和他的兒子跑到派出所報(bào)案。聽了案情，值班民警說(shuō)：“現(xiàn)在已經(jīng)下班了。再說(shuō)，一車西瓜也不值多少錢，這事我們管不了?！比缓髶P(yáng)長(zhǎng)而去。

3、2008年10月6日，一網(wǎng)友發(fā)帖，指責(zé)某市長(zhǎng)利用基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)為個(gè)人謀利，此帖反響很大。10月19日，該市長(zhǎng)在網(wǎng)上發(fā)帖回應(yīng)網(wǎng)民的指責(zé)，他說(shuō)：“我歡迎網(wǎng)友們嚴(yán)格監(jiān)督我，但是我不贊成捕風(fēng)捉影，更反對(duì)胡編亂造……作為一個(gè)市長(zhǎng)，應(yīng)該善待網(wǎng)民，善待提不同意見甚至是錯(cuò)誤意見的網(wǎng)友，應(yīng)該有一個(gè)更寬闊的胸懷。但是有人過(guò)頭了，告謠誹謗了，我當(dāng)然要還其本來(lái)面目，以正視聽。”

請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)《政治生活》知識(shí)，回答：

（1）有人認(rèn)為：“網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)自由空間，網(wǎng)民可以隨意發(fā)表言論”請(qǐng)你對(duì)此觀點(diǎn)加以評(píng)析。

4、黨的十七大報(bào)告指出，要促進(jìn)社會(huì)公平正義，努力使全體人民學(xué)有所教、勞有所得、病有所醫(yī)、老有所養(yǎng)、住有所居，推動(dòng)建設(shè)和諧社會(huì)。

為實(shí)現(xiàn)“全體人民學(xué)有所教、勞有所得、病有所醫(yī)、老有所養(yǎng)、住有所居”，政府應(yīng)怎樣

5、某縣曾經(jīng)是遠(yuǎn)近聞名的貧困縣，為改變這一面貌，該縣政府銳意改革創(chuàng)新。他們的做法是：強(qiáng)化基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，通過(guò)自籌資金，修建了遍布全縣的“三橫四縱”標(biāo)準(zhǔn)化水泥公路；加大“軟環(huán)境”建設(shè)力度，開展職業(yè)道德教育和微笑服務(wù)活動(dòng)，積極落實(shí)依法治縣和以德治縣方略；充分利用當(dāng)?shù)刭Y源優(yōu)勢(shì)，封山造林，大力發(fā)展旅游業(yè)?，F(xiàn)在，該縣面貌煥然一新。

閱讀上述材料，結(jié)合所學(xué)知識(shí)回答：

（1）該縣政府是怎樣履行職能的？

（2）該縣政府為什么要履行上述職能？

6、近年來(lái)，在某些地方，節(jié)慶活動(dòng)搞成了勞民傷財(cái)、徒有虛名的“形象工程”。有的城市層層“造節(jié)”，一年舉辦的節(jié)慶活動(dòng)達(dá)三十多個(gè)；有的貧困縣只有幾十萬(wàn)人口，為舉辦文化節(jié)，縣城里掛出幾千盞紅燈籠，擺出十多萬(wàn)盆鮮花。政府的這些“形象工程”不僅增加了政府的財(cái)政開支，而且嚴(yán)重?fù)p害了人民群眾利益。

政府工作的基本原則是什么？你認(rèn)為政府在工作中，應(yīng)當(dāng)怎樣才能堅(jiān)持這一原則？

7、中國(guó)共產(chǎn)黨的第十七屆四中全會(huì)強(qiáng)調(diào)，進(jìn)一步推進(jìn)黨的建設(shè)．以保持經(jīng)濟(jì)平穩(wěn)較快發(fā)展。2009年末至2010年初，針對(duì)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中出現(xiàn)的新情況、新問(wèn)題，黨中央、國(guó)務(wù)院站在科學(xué)發(fā)展觀的高度，果斷采取措施，調(diào)整經(jīng)濟(jì)政策：

結(jié)合材料說(shuō)明黨中央、國(guó)務(wù)院調(diào)整經(jīng)濟(jì)政策的政治生活依據(jù)。

8并將修訂后的規(guī)劃提交市人大審議、表決；該市市委堅(jiān)持立黨為公、執(zhí)政為民，在保持經(jīng)濟(jì)又好又快發(fā)展的同時(shí)，進(jìn)一步采取一系列措施，努力解決就業(yè)、教育、醫(yī)療、住房等民生問(wèn)題，讓老百姓共享改革發(fā)展成果。

910情系全國(guó)。玉樹州成立于1951年12月，是青海省第一個(gè)、全國(guó)第二個(gè)成立的少數(shù)民族自治州。是全國(guó)30個(gè)少數(shù)民族自治州中主體民族比例最高、海拔最高、人均占有面積最大、生態(tài)位置最重要的一個(gè)自治州。

結(jié)合政治生活知識(shí)回答，實(shí)行民族區(qū)域自治制度有何優(yōu)越性？

11遣維和警察1569人次，其中向海地派遣維和警察防暴隊(duì)8支1000人次。目前尚有191名維和

警察在外執(zhí)行任務(wù)。在派駐人數(shù)最多的海地任務(wù)區(qū)，所有中國(guó)維和隊(duì)員都被授予過(guò)“聯(lián)合國(guó)維和勛章”。

12、“對(duì)于一切國(guó)際亊務(wù)，都要從中國(guó)人民的根本利益和各國(guó)人民的共同利益出發(fā)、根據(jù)亊情本身的是非曲直確定我們的立場(chǎng)和政策，按照相互尊重、求同存異的精神迚行處理，不屈服于任何外來(lái)壓力。同時(shí)，我們?cè)趫?jiān)持和平共處五項(xiàng)原則的基礎(chǔ)上同所有國(guó)家開展交流和作，積極促進(jìn)世界多極化、推進(jìn)國(guó)際關(guān)系民主化，尊重世界多樣性，反對(duì)霸權(quán)主義和強(qiáng)權(quán)政治?！?/p>

上述論斷是如何體現(xiàn)我國(guó)獨(dú)立自主的和平外交政策的?

13、2009年12月7日世界氣候大會(huì)在丹麥?zhǔn)锥几绫竟匍_。盡管與會(huì)各國(guó)代表紛紛表達(dá)了共同應(yīng)對(duì)氣候變化的意愿，但在談判中，部分發(fā)達(dá)國(guó)家和發(fā)展中國(guó)家之間分歧明顯。美國(guó)和日本等非歐盟發(fā)達(dá)國(guó)家屬于同一股力量，他們提出，承擔(dān)責(zé)任的前提條件是主要排放國(guó)必須參與絕對(duì)減排?！?7國(guó)集團(tuán)”表示，如果富裕國(guó)家在談判中不正確對(duì)待《京都議定書》，“77國(guó)集團(tuán)”不排除集體退出談判的可能性。中國(guó)提出減排40％一45％的目標(biāo)，并和“77國(guó)集團(tuán)”一同要求發(fā)達(dá)國(guó)家必須承擔(dān)相應(yīng)的責(zé)任。

運(yùn)用《政治生活》有關(guān)知識(shí)分析，為什么我國(guó)和“77國(guó)集團(tuán)”要求發(fā)達(dá)國(guó)家必須承擔(dān)相應(yīng)

第四篇：二年級(jí)6班數(shù)學(xué)教學(xué)總結(jié)

教學(xué)工作總結(jié)

（2013—2014第二學(xué)期）二年級(jí) 六班 數(shù)學(xué)科

姓名：肖艷平

本學(xué)，本人任教二年級(jí)數(shù)學(xué)?；仡櫼荒陙?lái)，自己在教育、教學(xué)中的工作，有過(guò)付出和收獲，也有過(guò)傷痛。對(duì)于學(xué)校分配的各項(xiàng)工作，自己也能夠盡職盡責(zé)，兢兢業(yè)業(yè)，努力去完成。二年級(jí)學(xué)生年齡小，自制力差，學(xué)習(xí)時(shí)明顯受心理因素支配，上課好動(dòng)，不遵守紀(jì)律，愛玩小東西，開小差等等。只有遵循學(xué)生心理活動(dòng)的規(guī)律，把學(xué)科特點(diǎn)和年齡、心理特征結(jié)合起來(lái)才能使學(xué)生愿意學(xué)、主動(dòng)學(xué)。如果教師用傳統(tǒng)的“老師講，學(xué)生聽；教師問(wèn)，學(xué)生答，動(dòng)手練”進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生會(huì)感到很乏味，越學(xué)越不愛學(xué)。因此在課堂教學(xué)中，應(yīng)力求形式新穎，寓教于樂，減少機(jī)械化的程序，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。其中主要有以下幾點(diǎn)：

1·數(shù)學(xué)教學(xué)生活化。把握數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，導(dǎo)入生活化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；教學(xué)語(yǔ)言生活化，讓學(xué)生易學(xué)易懂。2·積極開展小組互助的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生團(tuán)結(jié)互助，共同努力，共同進(jìn)步。3·開展適當(dāng)?shù)母?jìng)賽和游戲活動(dòng)，提高學(xué)習(xí)熱情。適當(dāng)開展競(jìng)賽，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的有效手段，小學(xué)生在競(jìng)賽條件下比在平時(shí)正常條件下往往能更加努力學(xué)習(xí)。比賽形式多種多樣，可以全班比賽；可以分男女同學(xué)比賽；可以分小組比賽；還可以將學(xué)生按能力分組比賽。盡量把知識(shí)點(diǎn)教學(xué)活動(dòng)，轉(zhuǎn)化成游戲活動(dòng)的方式，讓學(xué)生更加樂于參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中去?？傊?，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，不是知識(shí)的容器。教學(xué)中要盡最大的努力，最充分地調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)學(xué)習(xí)，由“要我學(xué)"轉(zhuǎn)化為“我要學(xué)”、“我愛學(xué)”。科學(xué)施教同時(shí)要求教師不斷地完善自身、提高業(yè)務(wù)水平、擴(kuò)大知識(shí)面，作為教師，知識(shí)面越廣，自己的感覺也好，學(xué)生對(duì)你的感覺也好。今學(xué)期，我擔(dān)任二年級(jí)（6）班的數(shù)學(xué)教學(xué)工作?；仡櫼粋€(gè)學(xué)期的教學(xué)，現(xiàn)總結(jié)如下：

一、備課。

學(xué)期初，把教材、教參通讀一遍，對(duì)這學(xué)期數(shù)學(xué)內(nèi)容做到心中有數(shù)，并找出里面的重點(diǎn)，難點(diǎn)，思考學(xué)生怎樣學(xué)，學(xué)生將會(huì)產(chǎn)生什么疑難，該怎樣解決。充分利用課后習(xí)題，設(shè)計(jì)好練習(xí)。

二、上課。（1）上課時(shí)，先創(chuàng)設(shè)一個(gè)與這節(jié)課相關(guān)的情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，然后針對(duì)教學(xué)重、難點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，新課一般在上課20分鐘把新課授完，做到精講精練。接著，學(xué)生練習(xí)不同坡度，不同層次的題目，鞏固知識(shí)，形成能力，發(fā)展思維。最后，盡量讓學(xué)生自己小結(jié)學(xué)到的知識(shí)以及方法?，F(xiàn)在學(xué)生普遍對(duì)數(shù)學(xué)課感興趣，參與性高，為學(xué)好數(shù)學(xué)邁出了堅(jiān)實(shí)的一步。

（2）及時(shí)復(fù)習(xí)。新授知識(shí)基本是當(dāng)天復(fù)習(xí)或第二天復(fù)習(xí)，以后再逐漸延長(zhǎng)復(fù)習(xí)時(shí)間。這項(xiàng)措施非常適合低年級(jí)學(xué)生遺忘快、不會(huì)復(fù)習(xí)的特點(diǎn)。

三、批改作業(yè)。

批改作業(yè)時(shí)，把學(xué)生錯(cuò)題點(diǎn)出，指明錯(cuò)處，讓學(xué)生自己訂正，學(xué)生訂正之后，仍給滿分，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立作業(yè)的習(xí)慣，對(duì)激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣取得了較好效果。

四、注重對(duì)后進(jìn)生的輔導(dǎo)。

對(duì)后進(jìn)生分層次要求。在教學(xué)中注意降低難度、放緩速度，允許他們采用自己的方法慢速度學(xué)習(xí)。在教學(xué)中逐步培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的學(xué)習(xí)自信心。我還會(huì)利用一些課間時(shí)間來(lái)幫助他們，在作業(yè)上有困難的，就一道一道題跟他一起做。當(dāng)然課間的時(shí)間基本上是不夠的，因?yàn)檫€要去注意其他小朋友的課間活動(dòng)情況，有時(shí)利用午休時(shí)間，指定成績(jī)好的同學(xué)進(jìn)行一對(duì)一的輔導(dǎo)幫扶工作，這樣，現(xiàn)在班里的幾個(gè)后進(jìn)生也有了明顯的進(jìn)步。

五、做好測(cè)試評(píng)估工作。

評(píng)估不只是看學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)?nèi)绾危匾氖橇私鈱W(xué)生學(xué)習(xí)的心理。有部分學(xué)生在答題時(shí)，不注意書寫，卷面很不整潔，有的還直接在卷面上計(jì)算，對(duì)這一情況，采用了加分的辦法，看書寫整潔程度，給他們加0~3分，這樣，他們更注意卷面整潔了。在評(píng)講試卷時(shí)，打破按順序逐題講解的模式，嘗試采用按類講解。如：將試卷中有關(guān)概念的歸為一類進(jìn)行講解。希望通過(guò)這一改變，能讓學(xué)生從不同角度掌握、運(yùn)用知識(shí)。

通過(guò)一個(gè)學(xué)期的教學(xué)，總體上各方面成績(jī)已進(jìn)步了不少；不過(guò)，我也認(rèn)識(shí)到工作中存在的不足之處，望領(lǐng)導(dǎo)指導(dǎo)，希望在以后爭(zhēng)取把工作做得更好。

第五篇：初中數(shù)學(xué)例題及習(xí)題教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分

初中數(shù)學(xué)例題及習(xí)題教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,應(yīng)如何在例題及習(xí)題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),主要取決于教師的教學(xué)觀念、教學(xué)行為、教學(xué)方法以及對(duì)例題及習(xí)題的認(rèn)識(shí)，在目前的例題、習(xí)題教學(xué)中，由于教學(xué)任務(wù)緊，教學(xué)內(nèi)容多，教師往往把例習(xí)題草率處理，這樣做使得學(xué)生偏重記憶一些方法和發(fā)展一些具體技能，而不是高層次的數(shù)學(xué)思考。

《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)。因此，在例題、習(xí)題教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生獲得某種基本解法后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘例、習(xí)題的潛在因素，通過(guò)改變題目的條件、探求題目的結(jié)論、改變情境等多種途徑，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的理解，幫助他們對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度、多層次的思考。

在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)例題進(jìn)行分析、歸類，總結(jié)解題規(guī)律，提高教學(xué)效率。對(duì)具有可變性的例習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，使學(xué)生從多方面感知數(shù)學(xué)的方法、提高學(xué)生綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。目前，“題海戰(zhàn)術(shù)”的普遍現(xiàn)象還存在，學(xué)生整天忙于解題，沒有時(shí)間總結(jié)解題規(guī)律和方法，這樣既增重學(xué)生負(fù)擔(dān)，又不能使學(xué)生熟練掌握知識(shí)靈活運(yùn)用知識(shí)。事實(shí)上，許多習(xí)題是從同一道題中演變過(guò)來(lái)的，其思維方式和所運(yùn)用的知識(shí)完全相同。如果不掌握它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，就題論題，那么遇上形式稍為變化的題，便束手無(wú)策，教師在講解中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)有代表性的問(wèn)題進(jìn)行靈活變換，使之觸類旁通,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，提高學(xué)生的技能技巧，挖掘教材中的例題、習(xí)題功能，可從以下幾方面入手：⑴.尋找其它解法；⑵.改變題目形式；⑶.題目的條件和結(jié)論互換；⑷.改變題目的條件；⑸.把結(jié)論進(jìn)一步推廣與引伸；⑹.串聯(lián)不同的問(wèn)題；⑺.類比編題等。