第一篇：概率講稿-總復(fù)習(xí)4

總復(fù)習(xí)四

1． 設(shè)X~U(0,)，求E(sinX)。

2?解：E(sinX)=??202?sinxdx=??2?

2． 伽瑪函數(shù)?(?)=?0x??1e?xdx（??0），證明其具有下列性質(zhì)：

（1）?(??1)???(?)；（2）?(n)?(n?1)!，n是自然數(shù)；（3）?(12)?3． 稱X，概率密度為 ~?(?,?)（即參數(shù)為?,?的伽瑪分布）

?

????1??xf(x)?xe（x?0），求EX,DX

?(?)???????x?(??1)?????t?e?t1解：EX?=（令）===xedx?x?tdt???00?(?)???(?)?(?)??EX=?2

??0????1?t??????1??x?(??2)1xf(x)dx=== xedxtedt?(?)?0?(?)?2?(?)?2?02=(??1)??2，因此，DX=EX2?EX=

2(??1)??2?2??2=2 ??4． 設(shè)X,Y獨(dú)立同分布N(0,1)，求E(X2?Y2)

1x2?y2exp(?)，則 解：f(x,y)=2?2E(X2?Y2)=??2x2?y2f(x,y)dxdy=?d??00R2???1e2??r22r2dr=?0?2tedt

12?t=2?(32)=21?()=22?2

5．證明（1）?XY（2）?XY?1的充要條件是：存在常數(shù)a,b，使P{Y?a?bX}?1 ?1；證：顯然對(duì)于一切實(shí)數(shù)t，恒有

E[(Y?EY)?t(X?EX)]2?0，整理得

t2DX?2tCov(X,Y)?DY?0，也即二次多項(xiàng)式f(t)=t2DX?2tCov(X,Y)?DY 恒非負(fù)，故有

??0，即4Cov2(X,Y)?4DX?DY，因此可得?XY?1

另外，?XY?1的充要條件是??0，即存在t?t0，使得f(t0)=0，可是

?EX)]2?0，?EX)]2?D(Y?t0X)即E[(Y?EY)?t0(X可是E[(Y?EY)?t0(X從而D(Y?t0X)?0的充要條件是P{Y?t0X?a}?1，證完。

6．在無(wú)放回抽樣問(wèn)題中（共有N個(gè)產(chǎn)品，其中有M個(gè)次品），用Y表示取出的n個(gè)產(chǎn)品中次品的數(shù)量，求EY。

解：原操作等價(jià)于每次取一個(gè)，無(wú)放回的取n次，令

?1,第k次抽取，取到次品；Xk??，k?1，2，?，n

?0,第k次抽取，取到正品則Y??Xk，因此

k?1nnEY=?EXk=nk?1MM

（其中EX1?EX2???EXn?）NN7．（匹配成對(duì)數(shù)的期望）將n封不同的信與n個(gè)不同的信封隨機(jī)匹配，記N為匹配成對(duì)數(shù)，求EN

解：記Ak=第k封信與第k個(gè)信封匹配，k令Xk?1,2,?,n

?1,A發(fā)生??k，k?1,2,?,n ?0,否則1?，k?1,2,?,n ??Xk，而EXk?P（Ak）nk?1n則有N故有EN?1

8．設(shè)隨機(jī)變量X取非負(fù)整值，分布列為

ak，a?0，k?0,1,2,?，求EX,DX P{X?k}=k?1(1?a)1??a?ak解：EX??k=k?? ?k?11?ak?1?1?a?k?0(1?a)???xS(x)k?1令S(x)??kx，則? dx???kxdx=?xk=

1?xxk?1k?1k?1k?k 2 因此S(x)?x，從而 2(1?x)EX =1aS()=a 1?a1?a類似方法可求得

DX?a(1?a)

9．設(shè)X~N(0,?2)，求E(Xn)

2k?1解：E(X)=???x??2k?11x2exp(?2)dx=0（利用對(duì)稱性）

2?2??E(X)=???x2k2k?2k1x21x2exp(?2)dx=2?xexp(?2)dx

02?2?2??2??=2k?2k???k?0t12?tedt=

2k?2k??(k?)=

122k?2k?2k1(k?1)?(k?)= ??(2k?1)！?2210．設(shè)X1,X2,?,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，證明E(11．設(shè)X1,X2,?,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，DXknnX1?X2???Xkk)=

X1?X2???Xnn??k2，k?1,2,?,n。試找系數(shù)，使?akXk的方差最小。a1,a2,?,an（ak?0,?ak?1）k?1k?1提示：這是有約束條件的極值問(wèn)題，可用拉格朗日乘數(shù)法解決。12．若X的密度函數(shù)是偶函數(shù)，且EX證明：Cov(X,由于EX??2??，證明：X與X不相關(guān)，但它們不相互獨(dú)立。

X)=E(XX)?EXEX，??xf(x)dx?0（奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分為零）

?????E(XX)??xxf(x)dx?0（隨機(jī)變量函數(shù)的期望）

因此Cov(X,但是YX)?0，從而X與X不相關(guān)

?X與X有著嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，因此不獨(dú)立。

13．若X與Y都是只取兩個(gè)值的隨機(jī)變量，證明：若X，Y不相關(guān)，則X，Y相互獨(dú)立。

??x22?2?,x?0，求：14．設(shè)輪船橫向搖擺的隨機(jī)振幅X的概率密度p(x)??Axe（1）A；（2）??0,x?0 遇到大于其振幅均值的概率；（3）X的方差。

xm?xm.e(x?0)，證明：P{0?X?2(m?1)}?15．設(shè)X的密度為p(x)?m?1m!證明：P{0?X?2(m?1)}=?02(m?1)xm?xedx m!16．設(shè)隨機(jī)變量X取值于區(qū)間[a,b]上，(???a?b???),證明下列不等式成立：a?EX?b,DX?(b?a2)。2證明：設(shè)X的密度函數(shù)為則EX=

f(x)，a?x?b

f(x)dx（第二積分中值公式）=x0（歸一性）?xf(x)dx=x?abb0a其中a?x0 ?b，這就證明了結(jié)論a?EX?b

17．設(shè)X，Y幾乎必然相等，即P(X證明：P({X?Y)?1,證明它們的分布函數(shù)相等。

?Y})?0

FX(x)?P(X?x)=P({X?Y,X?x}?{X?Y,X?x})

=P({X?Y,X?x})+P({{X?Y,X?x})=P{Y?x}=FY(x)

18．設(shè)X取非負(fù)整值，且EX存在，證明：EX??P(X?k)

k?1?證明：（絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)之和與各項(xiàng)運(yùn)算次序無(wú)關(guān)）

p1 p2?p2

p3?p3?p3

p4?p4?p4?p4，期望定義是按行相加，應(yīng)當(dāng)?shù)扔诎戳邢嗉印?/p>

??????19．設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布，并且滿足EX?EY?0，DX?DY?1,E(XY)??，證明：E(max(X,Y))?1???

20．一輛機(jī)場(chǎng)交通車送25名乘客到7個(gè)站，假設(shè)每一個(gè)乘客都和其他人一樣等可能地在任 一站下車，并且他們行動(dòng)獨(dú)立，交通車只在有人下車時(shí)才停站。問(wèn)：它停站的期望次數(shù)是多少？ 答案：7[1?(625)] 721．給定隨機(jī)選出的500人，問(wèn)：（1）他們中生日是元旦的人數(shù)超過(guò)1個(gè)的概率是多少？（2）他們中生日是元旦的期望人數(shù)。

***1)()?C500()()***0,)，EX?

（2）X~B(500 365365答案：（1）0p1?C500(22．某自動(dòng)化作業(yè)的機(jī)器生產(chǎn)出不合格品的概率是2%，一旦出現(xiàn)不合格品隨即進(jìn)行校正調(diào)節(jié)，求兩次調(diào)節(jié)間生產(chǎn)合格品的期望數(shù)。答案：EX?49

23．某袋中裝有N張標(biāo)號(hào)1至N的票券，按放回方式逐張抽取，問(wèn)：到第一張抽出的票券再次被抽出時(shí)為止，抽取的期望數(shù)是多少？ 解：（1）設(shè)X?到第一張抽出的票券再次被抽出時(shí)為止，抽取的次數(shù)，則

?N?1?P{X?k}???N??EX?N?1

24設(shè)k?21

（k?2,3,?）NX1,?,Xm相互獨(dú)立且具有相同的分布列P(X1?k)?pk,k?0,1,2,?.證明：

?E(min(X1,?,Xm))??rkm,其中rk??pn

k?1n?k證明：令Z?min{X1,X2,?,Xm}，則P{Z?k}?P{X1?k,?,Xm?k}=Pm{X1?k}

n?kP{X1?k}=pk?pk?1??=?pn=rk

因此P{Z?k}?rkm

P{Z?k}=P{Z?k}?P{Z?k?1}=rkm?rkm?1

從而EZ ??kp{Z?k}??rkm，證完。

k?1??k?1 5

第二篇：概率復(fù)習(xí)

第一章、概率論的基本概念

考點(diǎn)：

事件的關(guān)系及運(yùn)算，概率的公理化定義及其性質(zhì)，古典概型，條件概率的定義及貝葉斯公式，n重伯努利

試驗(yàn)及二項(xiàng)概率公式。

參考：例1.4、例1.6、例1.26、習(xí)題一28

第二章、隨機(jī)變量

考點(diǎn)：

隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，概率分布（密度）及兩者的性質(zhì)，分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系，三大離散分布的定義及記號(hào)以及相關(guān)計(jì)算，三大連續(xù)分布的定義及記號(hào)以及相關(guān)計(jì)算。

參考：例3.1、例3.15、習(xí)題三1

3第三章，隨機(jī)向量

考點(diǎn)：

二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布，邊緣分布，條件分布，獨(dú)立的充要條件，二維離散型隨機(jī)變量的函

數(shù)。

參考：例3.1、例3.15、習(xí)題三1

3第四章，隨機(jī)變量的數(shù)字特征

考點(diǎn)：

均值、方差的定義及其性質(zhì)，六大常見(jiàn)分布的均值及方差、計(jì)算過(guò)程。

參考：習(xí)題四1、5。

第五章，大數(shù)定律與中心極限定理

考點(diǎn)：

獨(dú)立同分布中心極限定理，棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。

參考：例5.4、例5.6、第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

考點(diǎn)：

簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的定義，常用統(tǒng)計(jì)量，三大統(tǒng)計(jì)分布定義及其性質(zhì)和相關(guān)計(jì)算（上?分位點(diǎn)），正態(tài)總體抽樣分布定理。

本部分主要考查對(duì)概念及性質(zhì)的理解。特別注意：

若E(X)??,D(X)??2,則E(Xi)??,D(Xi)??

2第七章 參數(shù)估計(jì)

考點(diǎn)：

矩估計(jì)法，極大似然估計(jì)法，估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（無(wú)偏性及有效性），正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)。參考：例7.6、例7.8、例7.9、例7.12

第三篇：初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-統(tǒng)計(jì)和概率 教案

《總復(fù)習(xí)——統(tǒng)計(jì)與概率》教案

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：在具體情境中了解概率的意義，運(yùn)用列舉法（包括列表和畫(huà)樹(shù)狀圖）計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率．

過(guò)程與方法：經(jīng)歷模仿、參考例題到自己動(dòng)手完成變式訓(xùn)練，體會(huì)概率問(wèn)題的書(shū)寫(xiě)規(guī)范.情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)簡(jiǎn)單概率事件的計(jì)算提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：概率綜合問(wèn)題的書(shū)寫(xiě)格式、概率的計(jì)算.難點(diǎn)：概率大題的書(shū)寫(xiě)規(guī)范.三、教學(xué)過(guò)程 1.知識(shí)回顧 公式P(A)?m的意義 nm.n一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)?

2.例題講解

（2016一檢22）一個(gè)不透明的口袋中有3個(gè)大小相同的小球，球面上分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄下數(shù)字后放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球.（1）請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法中的一種，列舉出兩次摸出的球上數(shù)字的所有可能結(jié)果；（2）求兩次摸出球上的數(shù)字的積為奇數(shù)的概率.解：（1）根據(jù)題意，可以列出如下表格：

或根據(jù)題意，可以畫(huà)如下的樹(shù)狀圖：

由樹(shù)狀圖可以看出，所有可能的結(jié)果共有9種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.（2）由（1）得：其中兩次摸出的球上的數(shù)字積為奇數(shù)的有4種情況，∴P(兩次摸出的球上的數(shù)字積為奇數(shù))=3.錯(cuò)題分析 9

4.正確示范

5.變式訓(xùn)練

（2015一檢20）小紅和小白想利用所學(xué)的概率知識(shí)設(shè)計(jì)一個(gè)摸球游戲，在一個(gè)不透明的袋子中裝入完全相同的4個(gè)小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為2，3，4，5.兩人先后從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，若摸出的兩個(gè)小球上的數(shù)字和是奇數(shù)則小紅獲勝，否則小白獲勝.下面的樹(shù)狀圖列出了所有可能的結(jié)果：

請(qǐng)判斷這個(gè)游戲是否公平？并用概率知識(shí)說(shuō)明理由.解：由樹(shù)狀圖可知，所有可能的結(jié)果共有12種，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同 其中兩個(gè)小球上的數(shù)字和是奇數(shù)的共有8種，為偶數(shù)的共有4種 ∴ P(和為奇數(shù))=∵ 8241?，P(和為偶數(shù))=? 12312321? 33∴ 這個(gè)游戲不公平

（2014一檢18）在一個(gè)口袋中有4個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)1，2，3，5.小明先隨機(jī)地摸出一個(gè)小球，小強(qiáng)再隨機(jī)地摸出一個(gè)小球.記小明摸出球的標(biāo)號(hào)為x，小強(qiáng)摸出球的標(biāo)號(hào)為y.小明和小強(qiáng)在此基礎(chǔ)上共同協(xié)商一個(gè)游戲：當(dāng)x與y的積為偶數(shù)時(shí)，小明獲勝；否則小強(qiáng)獲勝.（1）若小明摸出的球不放回，求小明獲勝的概率；

（2）若小明摸出的球放回后小強(qiáng)再隨機(jī)摸球，問(wèn)他們制定的游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）列表如下：

或列樹(shù)狀圖如下：

由樹(shù)狀圖可知，所有可能的結(jié)果共有12種，并且每種情況出現(xiàn)的可能性相等，其中x與y的積為偶數(shù)的有6種.∴ 小明獲勝的概率P(x與y的積為偶數(shù))=（2）列表如下： 2

或列樹(shù)狀圖如下：

由樹(shù)狀圖可知，所有可能的結(jié)果共有16種，并且每種情況出現(xiàn)的可能性相等，其中x與y的積為偶數(shù)的有7種.∴小明獲勝的概率P(x與y的積為偶數(shù))=∴游戲規(guī)則不公平

6.總結(jié)歸納

71? 162

7.布置作業(yè)

優(yōu)化設(shè)計(jì)P72—74

教學(xué)反思：

第四篇：概率期末復(fù)習(xí)

第二章

隨機(jī)變量

1、離散型：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布

2、連續(xù)型：均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布

分布函數(shù)的定義F(x)?P(X?x)

隨機(jī)變量函數(shù)Y?g(x)的分布

兩種方法：

A、F(y)?P(Y?y)?P(g(x)?y)?P(x?D(y))

這里D(y)是指符合g(x)?y的x的集合。

B、利用定理2.4.1前提：g(x)單調(diào)

第三章

二維隨機(jī)向量的本質(zhì)：兩個(gè)隨機(jī)變量 <=> 二元函數(shù)

1、離散型：聯(lián)合概率分布

2、連續(xù)型：聯(lián)合密度函數(shù)、均勻分布、正態(tài)分布

邊緣分布：X的邊緣分布 <=> 對(duì)Y求和或者求積分

Y的邊緣分布 <=> 對(duì)X求和或者求積分

條件分布：在某變量已知的情況下，求另一個(gè)變量的分布

1、離散型：聯(lián)合概率/邊緣概率

2、連續(xù)型：定理3.5.1

獨(dú)立性的判斷

唯一標(biāo)準(zhǔn)：離散型 <=> 聯(lián)合概率分布等于邊緣概率分布的乘積

連續(xù)型 <=> 聯(lián)合密度函數(shù)等于邊緣密度函數(shù)的乘積

隨機(jī)變量函數(shù)的分布：兩個(gè)隨機(jī)變量的和（離散型、連續(xù)型）

第四章

期望（離散型、連續(xù)型）性質(zhì)1、2、3、4

方差（離散型、連續(xù)型）：簡(jiǎn)化公式性質(zhì)1、2、3

協(xié)方差（離散型、連續(xù)型）

相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差的關(guān)系、線性無(wú)關(guān)與獨(dú)立的區(qū)別

矩的定義

第五章

切比雪夫不等式、大數(shù)定律及推論、中心極限定律1、2

重點(diǎn)：這幾個(gè)定理的應(yīng)用

第六章樣本、統(tǒng)計(jì)量、三個(gè)重要的分布（?

2、t、F）、定理6.4.1

第七章

矩估計(jì)、極大似然估計(jì)

估計(jì)的優(yōu)良準(zhǔn)則：無(wú)偏性、最小方差（均方誤差）準(zhǔn)則

區(qū)間估計(jì)：

1、?2已知，估計(jì)?：構(gòu)造符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的只含有?這個(gè)未知參數(shù)和樣本的函數(shù)

2、?2未知，估計(jì)?：構(gòu)造符合t分布的只含有?這個(gè)未知參數(shù)和樣本的函數(shù)

2、?2未知，估計(jì)?2：構(gòu)造符合?2分布的只含有?2這個(gè)未知參數(shù)和樣本的函數(shù)

第五篇：概率復(fù)習(xí)重點(diǎn)

概率復(fù)習(xí)重點(diǎn)

一、全概率公式和貝葉斯公式二、一維連續(xù)型隨機(jī)變量給定概率密度求其中的未知參數(shù),求分布函數(shù)和落在某區(qū)間內(nèi)的概率三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量給定概率密度求其中的未知參數(shù),求邊緣概率密度,求條件概率密度,判斷獨(dú)立性以及落在某區(qū)域內(nèi)的概率四、一維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布(單調(diào)時(shí)用公式計(jì)算)

五、二維離散型隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)

六、點(diǎn)估計(jì)中的最大似然估計(jì)法

七、單個(gè)正態(tài)總體均值的雙邊假設(shè)檢驗(yàn)(t檢驗(yàn)和z檢驗(yàn))

八、抽樣分布的構(gòu)造

九、等可能概型的計(jì)算,事件概率的性質(zhì)特點(diǎn).獨(dú)立的定義和性質(zhì),獨(dú)立不相關(guān)之間的關(guān)系,期望和方差的定義和性質(zhì),第一類第二類錯(cuò)誤,三個(gè)重要離散型隨機(jī)變量和三個(gè)重要連續(xù)型隨機(jī)變量的相關(guān)內(nèi)容包括期望方差,單個(gè)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì),樣本均值樣本方差的性質(zhì)特點(diǎn),統(tǒng)計(jì)學(xué)中三個(gè)重要抽樣分布的構(gòu)造,切比雪夫不等式作估計(jì),估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)(無(wú)偏性,有效性),