第一篇：高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（范文模版）

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.對(duì)于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C

中元素各表示什么？

2.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，不要忘記集合本身和空集?的特殊情況。

注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題?？占且磺屑系淖蛹?，是一切非空集合的真子集。

如：集合A?x|x2?2x?3?0，B??x|ax?1???

若B?A，則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合為

3.注意下列性質(zhì)：

1??（答：??1，0，?）

3??（1）集合?a1，a2，??，an?的所有子集的個(gè)數(shù)是2n；

（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；

（3）德摩根定律：

CU?A?B???CUA???CUB?，CU?A?B???CUA???CUB?

如：已知關(guān)于x的不等式（∵3?M，∴

4.你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

ax?5?0的解集為M，若3?M且5?M，求實(shí)數(shù)a

x2?aa·3?5?032?aa·5?5?025?a的取值范圍。

5???a??1，???9，25?）

3??∵5?M，∴ 5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”(?)，“且”(?)和

“非”(?).若p?q為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為真

若p?q為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q至少有一個(gè)為真 若?p為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為假

6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

（互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7.對(duì)映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對(duì)應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射？

（一對(duì)一，多對(duì)一，允許B中有元素?zé)o原象。）

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？

（定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域）

9.求函數(shù)的定

義

域

有

哪

些

常

見

類

型？

例：函數(shù)y?x?4?x?lg?x?3?2的定義域是（答：?0，2???2，3???3，4?）

10.如何

求

復(fù)

合函

數(shù)的定

義

域

？

如：函數(shù)f(x)的定義域是a，b，b??a?0，則函數(shù)F(x)?f(x)?f(?x)的定

義域是_____________。

??（答：a，?a）

??

11.求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？

如：f?x?1?ex?x，求f(x).令t?x?1，則t?0

∴x?t2?1

2?

∴f(t)?et?1?t2?∴f(x)?ex2?1?x2?1?x?0?

12.反函數(shù)存在的條件是什么？

（一一對(duì)應(yīng)函數(shù)）

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

??1?x如：求函數(shù)f(x)??2???x奇函數(shù)性；

??x?0??x?1?x?1??1的反函數(shù)

（答：f(x)??）

?x?0?????x?x?0?

13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱； ②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、③設(shè)y?f(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，a?A，b?C，則f(a)=b?f?1(b)?a

?

1?f?f(a)??f?1(b)?a，f?f?1(b)??f(a)?b

（y?f(u)，u??(x)，則y?f??(x)?（外層）（內(nèi)層）

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

（取值、作差、判正負(fù)）

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？

當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)f??(x)?為增函數(shù)，否則f??(x)?為減函數(shù)。）如：求y?log1?x2?2x的單調(diào)區(qū)間

（設(shè)u??x2?2x，由u?0則0?x?2

2??且log1u?，u???x?1??1，如圖： u O 1 2 x

當(dāng)x?(0，1]時(shí)，u?，又log1u?，∴y?

2當(dāng)x?[1，2)時(shí)，u?，又log1u?，∴y?

215.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間?a，b?內(nèi)，若總有f'(x)?0則f(x)為增函數(shù)。（在個(gè)別點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)等于 零，不影響函數(shù)的單調(diào)性），反之也對(duì)，若f'(x)?0呢？

如：已知a?0，函數(shù)f(x)?x3?ax在?1，???上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大

B.1

C.2

D.3

值是（）

A.0 2?a??a?（令f'(x)?3x?a?3?x???x???033????則x??a或x?3a3

由已知f(x)在[1，??)上為增函數(shù)，則a?1，即a?

3∴a的最大值為3）3

16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？

（f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）若f(?x)??f(x)總成立?f(x)為奇函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

若f(?x)?f(x)總成立?f(x)為偶函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

注意如下結(jié)論：

（1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。（2）若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點(diǎn)，則f(0)?0。

a·2x?a?2如：若f(x)?為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a?2x?1（∵f(x)為奇函數(shù)，x?R，又0?R，∴f(0)?0

a·20?a?2即?0，∴a?1）02?12x又如：f(x)為定義在(?1，1)上的奇函數(shù)，當(dāng)x?(0，1)時(shí)，f(x)?x，4?1求f(x)在??1，1?上的解析式。2?x（令x???1，0?，則?x??0，1?，f(?x)??x

4?1

2?x2x

又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)??4?x?1??1?4x

?2x?x?(?1，0)

又f(0)?0，∴f(x)????4x?1x?0）

?2x??4x?1x??0，1?

17.你熟

悉

周期

函

數(shù)的定

義（若存在實(shí)數(shù)T（T?0），在定義域內(nèi)總有f?x?T??f(x)，則f(x)為周期函數(shù)，T是一個(gè)周期。）如：若f?x?a???f(x)，則

（答：f(x)是周期函數(shù)，T?2a為f(x)的一個(gè)周期）

又如：若f(x)圖象有兩條對(duì)稱軸x?a，x?b???

即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)

則f(x)是周期函數(shù)，2a?b為一個(gè)周期

如：

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(?x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

f(x)與?f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

f(x)與?f(?x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

f(x)與f?1(x)的圖象關(guān)于直線y?x對(duì)稱

f(x)與f(2a?x)的圖象關(guān)于直線x?a對(duì)稱

f(x)與?f(2a?x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱

嗎

y?f(x?a)

將y?f(x)圖象?左移a(a?0)個(gè)單位右移???????a(a?0)個(gè)單位??y?f(x?a)

?上移b(b?0)個(gè)單位y?f(x?下移???????b(b?0)個(gè)單位??a)?by?f(x?a)?b

注意如下“翻折”變換：

f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)

如：f(x)?log2?x?1?

作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的圖象

y y=log2x O 1 x

19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

(k<0)y(k>0)y=b O’(a,b)O x x=a

（1）一次函數(shù)：y?kx?b?k?0?

（2）反比例函數(shù)：y?kx?k?0?推廣為y?b?kx?a?k?0?是中心O'(a，b)雙

曲?ax?bx?c?a?0??a?b?24ac?b2（3）二次函數(shù)y2??x?2a???4a圖象為拋物線 頂點(diǎn)坐標(biāo)為????b2a，4ac?b?b4a??，對(duì)稱軸x??2a

線

開口方向：a?0，向上，函數(shù)ymin4ac?b2?4a4ac?b2?4a

a?0，向下，ymax

應(yīng)用：①“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程

ax2?bx?c?0，??0時(shí)，兩根x1、x2為二次函數(shù)y?ax2?bx?c的圖象與x軸 的兩個(gè)交點(diǎn)，也是二次不等式ax2?bx?c?0(?0)解集的端點(diǎn)值。

②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。

③求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

???0??b2如：二次方程ax?bx?c?0的兩根都大于k????k

?2a??f(k)?0 y(a>0)O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于k?f(k)?0（4）指數(shù)函數(shù)：y?ax?a?0，a?1?（5）對(duì)數(shù)函數(shù)y?logax?a?0，a?1?

由圖象記性質(zhì)！

（注意底數(shù)的限定?。?/p>

y y=ax(a>1)(01)1 O 1 x(0

（6）“對(duì)勾函數(shù)”y?x?k?k?0? x

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？

y ?k O k x

20.你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？

指數(shù)運(yùn)算：a0?1(a?0)，a?p?amn1(a?0)pa

?nam(a?0)，a?mn?1nam(a?0)

對(duì)數(shù)運(yùn)算：logaM·N?logaM?logaN?M?0，N?0? logaM1?logaM?logaN，loganM?logaM Nn對(duì)數(shù)恒等式：alogax?x

logcbn?logambn?logab

logcam

（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）對(duì)數(shù)換底公式：logab?

21.如何解抽象函數(shù)問題？如：（1）x?R，f(x)滿足f(x?y)?f(x)?f(y)，證明f(x)為奇函數(shù)。

（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）

（2）x?R，f(x)滿足f(xy)?f(x)?f(y)，證明f(x)是偶函數(shù)。（先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(t·t)

∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)

∴f(?t)?f(t)??）（3）證明單調(diào)性：f(x2)?f?x2?x1??x2???

??

22.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）如求下列函數(shù)的最值：

（1）y?2x?3?13?4x（2）y?2x?4x?3

2x22（4）y?x?4?9?x（3）x?3，y?設(shè)x?3cos?，???0，??x?3??

（5）y?4x?9，x?(0，1] x

23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？

（l??·R，S扇?11l·R??·R2）22

24.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義

sin??MP，cos??OM，tan??AT

y T B S P α O M A x

如：若?????0，則sin?，cos?，tan?的大小順序是8

???又如：求函數(shù)y?1?2cos??x?的定義域和值域。

?2????（∵1?2cos??x?）?1?2sinx?0 ?2?

∴sinx?2，如圖：2

∴2k??5???x?2k???k?Z?，0?y?1?244

25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱軸嗎？

sinx?1，cosx?1

??2yy?tgxx?O?

2???對(duì)稱點(diǎn)為?k，0?，k?Z

?2???y?sinx的增區(qū)間為?2k??，2k??2????k?Z??2?

?3???減區(qū)間為?2k??，2k????k?Z?

22??

圖象的對(duì)稱點(diǎn)為?k?，0?，對(duì)稱軸為x?k??y?cosx的增區(qū)間為?2k?，2k?????k?Z?

??k?Z? 2

減區(qū)間為?2k???，2k??2???k?Z?

???圖象的對(duì)稱點(diǎn)為?k??，0?，對(duì)稱軸為x?k??k?Z? ??2??y?tanx的增區(qū)間為?k??，k???2???k?Z 2?

26.正弦型函數(shù)y=Asin??x+??的圖象和性質(zhì)要熟記。?或y?Acos??x????（1）振幅|A|，周期T?2?

若f?x0???A，則x?x0為對(duì)稱軸。|?|

若f?x0??0，則?x0，0?為對(duì)稱點(diǎn)，反之也對(duì)。

?3?，?，2?，求出x與y，依點(diǎn)（2）五點(diǎn)作圖：令?x??依次為0，22（x，y）作圖象。（3）根據(jù)圖象求解析式。（求A、?、?值）

??(x1)???0

如圖列出?????(x2)???? 解條件組求?、?值

?正切型函數(shù)y?Atan??x???，T??|?|

27.在三角函數(shù)中求一個(gè)角時(shí)要注意兩個(gè)方面——先求出某一個(gè)三角函數(shù)值，再判定角的范圍。

如：cos???x???2?3??6????2，x????，2??，求x值。

（∵??x?3?7??2，∴6?x?6?5?3，∴x??6?5?4，∴x?1312?）

28.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時(shí)，你注意（到）運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎？

如：函數(shù)y?sinx?sin|x|的值域是

（x?0時(shí)，y?2sinx???2，2?，x?0時(shí)，y?0，∴y???2，2?）

29.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？

（平移變

換、伸

縮

變

換）

平

移

公

式如：函數(shù)y?2sin?????2x?4???1的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)?sinx的

圖象？

：

?（y?2sin?2x??????1???橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍??1???????????y?2sin?2?x????1 4???2?4?左平移個(gè)單位????1個(gè)單位4?2sin?x???1????????y?2sinx?1?上平移???????y?2sinx ?4?12?y?sinx）??????????縱坐標(biāo)縮短到原來的倍

30.熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？

如：1?sin2??cos2??sec2??tan2??tan?·cot??cos?·sec??tan? 4?sin

??cos0???稱為1的代換。2?“k·??”化為?的三角函數(shù)——“奇變，偶不變，符號(hào)看象限”，29??7???tan????sin?21????6?4“奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。

如：cos

又如：函數(shù)y?sin??tan?，則y的值為cos??cot?B.負(fù)值

C.非負(fù)值

D.正值

A.正值或負(fù)值

sin?sin2??cos??1?cos?（y???0，∵??0）cos?cos2??sin??1?cos??sin?sin??

31.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎？ 理解公式之間的聯(lián)系：

令???sin??????sin?cos??cos?sin??????sin2??2sin?cos? 令???cos??????cos?cos??sin?sin??????cos2??cos2??sin2? tan??????tan??tan?22 ?2cos??1?1?2sin?? 1?tan?·tan?tan2??

2tan? 1?tan2? 1?cos2?2 1?cos2?sin2??2cos2??

asin??bcos??a2?b2sin?????，tan???sin??cos??2sin??????? 4?b a

?sin??3cos??2sin???????3?可

應(yīng)用以上公式對(duì)三角函數(shù)式化簡。（化簡要求：項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角函數(shù)，能求值，盡

能

求

值。）

（1）角的變換：如?????????，（2）名的變換：化弦或化切

（3）次數(shù)的變換：升、降冪公式

????????????????????? ??22??

2（4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。

sin?cos?2?1，tan???????，求tan???2??的值。

1?cos2?3sin?cos?cos?1（由已知得：??1，∴tan??2sin?22sin2?2又tan??????

321?tan??????tan?1∴tan???2???tan???????????32?）

2181?tan?????·tan?1?·32如：已知b2?c2?a2余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?2bc222

32.正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？

（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）

?a?2RsinAabc?正弦定理：???2R??b?2RsinB

sinAsinBsinC?c?2RsinC?

S??1a·bsinC 2∵A?B?C??，∴A?B???C

∴sin?A?B??sinC，sin如?ABC中，2sin2A?BC?cos 22A?B?cos2C?1 22

2c2（1）求角C；（2）若a?b?，求cos2A?cos2B的值。

2（（1）由已知式得：1?cos?A?B??2cos2C?1?1 又A?B???C，∴2cos2C?cosC?1?0

1?或cosC??1（舍）

又0?C??，∴C? 231222

（2）由正弦定理及a?b?c得：

232222?

2sinA?2sinB?sinC?sin? 343 1?cos2A?1?cos2B?

∴cos2A?cos2B??）

∴cosC?

33.用反三角函數(shù)表示角時(shí)要注意角的范圍。

????反正弦：arcsinx???，?，x???1，1?

2??2

反余弦：arccosx??0，??，x???1，1? ????反正切：arctanx???，?，?x?R?

?22?

34.不等式的性質(zhì)有哪些？

（1）a?b，c?0?ac?bcc?0?ac?bc（2）a?b，c?d?a?c?b?d

（3）a?b?0，c?d?0?ac?bd

（4）a?b?0?

1111?，a?b?0?? abab（5）a?b?0?an?bn，na?nb

（6）|x|?a?a?0???a?x?a，|x|?a?x??a或x?a

如：若11??0，則下列結(jié)論不正確的是（abB.ab?b2）

A.a2?b2C.|a|?|b|?|a?b|D.ab??2 ba均

值

2答案：C

35.22利用

?不等式

?a?b?a?b?2aba，b?R；a?b?2ab；ab???求最值時(shí)，你是否注

?2???意到“a，b?R?”且“等號(hào)成立”時(shí)的條件，積(ab)或和(a?b)其中之一為定

值？（一正、二定、三相等）

注意如下結(jié)論：

a2?b2a?b2ab??ab?a，b?R?22a?b??

當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)等號(hào)成立。

a2?b2?c2?ab?bc?ca?a，b?R? 當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)取等號(hào)。

a?b?0，m?0，n?0，則

bb?ma?na??1?? aa?mb?nb4如：若x?0，2?3x?的最大值為x4??（設(shè)y?2??3x???2?212?2?43 ?x?當(dāng)且僅當(dāng)3x?

423，又x?0，∴x?時(shí)，ymax?2?43）x3

又如：x?2y?1，則2x?4y的最小值為

（∵2x?22y?22x?2y?221，∴最小值為22）

36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？

（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）

并注意簡單放縮法的應(yīng)用。

如：證明1?（1?111?????2 22223n

111111??????1??????

1?22?3n?1n2232n2???1?1?

11111???????223n?1n1?2??2）n

37.解分式不等式f(x)?a?a?0?的一般步驟是什么？ g(x)

（移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。）

38.用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始

如：?x?1??x?1??x?2??0 2

339.解含有參數(shù)的不等式要注意對(duì)字母參數(shù)的討論

如：對(duì)數(shù)或指數(shù)的底分a?1或0?a?1討論

40.對(duì)含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去解？

（找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x?3|?x?1?1 ?（解集為?x|x??1??）2?

41.會(huì)用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|證明較簡單的不等問題 如：設(shè)f(x)?x2?x?13，實(shí)數(shù)a滿足|x?a|?1 求證：f(x)?f(a)?2(|a|?1)

f(a)|?|(x2?x?13)?(a2?a?13)|

證明：|f(x)??|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1)

?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|?|x|?|a|?1

又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1 ∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2?|a|?1?

（按不等號(hào)方向放縮）

42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問題，或“△”問題）

如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值

a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值 a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值

例如：對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，若x?3?x?2?a恒成立，則a的取值范圍是（設(shè)u?x?3?x?2，它表示數(shù)軸上到兩定點(diǎn)?2和3距離之和 umin?3???2??5，∴5?a，即a?5

或者：x?3?x?2??x?3???x?2??5，∴a?5）

43.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：an?1?an?d(d為常數(shù))，an?a1??n?1?d 等差中項(xiàng)：x，A，y成等差數(shù)列?2A?x?y 前n項(xiàng)和Sn?

?a1?an?n?na21?n?n?1?2d

性質(zhì)：?an?是等差數(shù)列

（1）若m?n?p?q，則am?an?ap?aq；

（2）數(shù)列?a2n?1?，?a2n?，?kan?b?仍為等差數(shù)列； Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍為等差數(shù)列；

（3）若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a?d，a，a?d；（4）若an，bn是等差數(shù)列Sn，Tn為前n項(xiàng)和，則amS2m?1?； bmT2m?（5）?an?為等差數(shù)列?Sn?an2?bn（a，b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為 Sn的最值可求二次函數(shù)Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、負(fù)分界 0的二次函數(shù)）

項(xiàng)，即：

?an?0當(dāng)a1?0，d?0，解不等式組?可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值。

a?0?n?1?an?0當(dāng)a1?0，d?0，由?可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值。

a?0?n? 如：等差數(shù)列?an?，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，則n?（由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1

又S3??a1?a3?·3?3a22?1，∴a2?1

3?1???1?na1?an?n?a2?an?1?·n?3??∴Sn????18

2?n?27）

44.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：an?1?q（q為常數(shù)，q?0），an?a1qn?1 an

等比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列?G2?xy，或G??xy ?na1(q?

前n項(xiàng)和：S?1)n??a?1?1?qn?（要注意!?1?q(q?1)）

性質(zhì)：?an?是等比數(shù)列

（1）若m?n?p?q，則am·an?ap·aq

（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍為等比數(shù)列

45.由Sn求an時(shí)應(yīng)注意什么？

（n?1時(shí)，a1?S1，n?2時(shí)，an?Sn?Sn?1）

46.你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎？

例如：（1）求差（商）法

如：?a111n?滿足2a1?22a2????2nan?2n? 解：n?1時(shí)，12a1?2?1?5，∴a1?14

n?2時(shí)，12a111?22a2????2n?1an?1?2n?1?5

?1???2?得：12nan?2

∴an?2n?1

∴a?14(n?1)n???2n?1(n?2)

［練習(xí)］ 數(shù)列?an?滿足Sn?Sn?1?53an?1，a1?4，求an

（注意到a?SSn?1n?1?Sn?1n代入得：S?4 n

又S1?4，∴?Sn?是等比數(shù)列，Sn?4n

?1?

?2?

n?2時(shí)，an?Sn?Sn?1????3·4n?1

（2）疊乘法

例如：數(shù)列?an?中，a1?3，an?1n?，求an ann?

1解：a2aaa12n?11·3??n?·??，∴n? a1a2an?123na1n

又a1?3，∴an?3 n

（3）等差型遞推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

n?2時(shí)，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)??兩邊相加，得：

?????an?an?1?f(n)??an?a1?f(2)?f(3)????f(n)∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n)

［練習(xí)］

數(shù)列?an?，a1?1，an?3n?1?an?1?n?2?，求an

（an?1n3?1）2??

（4）等比型遞推公式

an?can?1?dc、d為常數(shù)，c?0，c?1，d?0??

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an?x?c?an?1?x? ?an?can?1??c?1?x

令(c?1)x?d，∴x?d c? d?d?∴?an?是首項(xiàng)為a?，c為公比的等比數(shù)列 ?1c?1c?1??∴an?dd??n?1??a1??·c c?1?c?1?

d?n?1d? ∴an??a1?c????c?1c?1［練習(xí)］

數(shù)列?an?滿足a1?9，3an?1?an?4，求an ?4?（an?8????3?n?1

?1）

2an，求an

an?2

（5）倒數(shù)法

例如：a1?1，an?1?1an?1an?211??2an2an

由已知得：1an?1?

∴?11? an ???1?11為等差數(shù)列，?1，公差為 ?a12?an?111?1??n?1?·??n?1? an22

?

∴an?2 n?1

47.你熟悉求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法嗎？

例如：（1）裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。

如：?an?是公差為d的等差數(shù)列，求?1k?1akak?1n

解：由111?11???????d?0?

ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?

n11?11?∴??????aadaa?k?1kk?1k?1kk?1?n

?11??11??11?1???????????????????d??a1a2??a2a3?aa?nn?1???1?11????d?a1an?1?

［練習(xí)］

求和：1?111????? 1?21?2?31?2?3????n

（an??????，Sn?2?1）n?1

（2）錯(cuò)位相減法：

若?an?為等差數(shù)列，?bn?為等比數(shù)列，求數(shù)列?anbn?（差比數(shù)列）前n項(xiàng)

和，可由Sn?qSn求Sn，其中q為?bn?的公比。

如：Sn?1?2x?3x2?4x3????nxn?1?1?

x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?????n?1?xn?1?nxn?2?

?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxn x?1時(shí)，Sn1?x?nx???nn

?1?x?21?x

x?1時(shí)，Sn?1?2?3????n?n?n?1?2

（3）倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。

Sn?a1?a2????an?1?an???相加

Sn?an?an?1????a2?a1??

2Sn??a1?an???a2?an?1??????a1?an???

［練習(xí)］ x2?1??1??1?已知f(x)?，則f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f????????2??3??4?1?x2

x?1?（由f(x)?f?????x?1?x22x21???1 2221?x1?x?1?1????x??1????x?2 ??1????1????1??∴原式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f???

?2????3????4???

?11?1?1?1?3）22

48.你知道儲(chǔ)蓄、貸款問題嗎？

△零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型：

若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：

n?n?1???Sn?p?1?r??p?1?2r?????p?1?nr??p?n?r???等差問題

2??

△若按復(fù)利，如貸款問題——按揭貸款的每期還款計(jì)算模型（按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類）

若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復(fù)利），那么每期應(yīng)還x元，滿足

p(1?r)n?x?1?r?n?1?x?1?r?n?2????x?1?r??x

?1??1?r?n??1?r?n?1 ?x???x1?1?rr??????nn

∴x?pr?1?r??1?r??1

p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)

49.解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

（1）分類計(jì)數(shù)原理：N?m1?m2????mn（mi為各類辦法中的方法數(shù)）分步計(jì)數(shù)原理：N?m1·m2??mn（mi為各步驟中的方法數(shù)）

（2）排列：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，所有排列的個(gè)數(shù)記為Amn.Amn?n?n?1??n?2????n?m?1??n!?m?n?

?n?m?!

規(guī)定：0!?1

（3）組合：從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素并組成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，所有組合個(gè)數(shù)記為Cmn.n?n?1????n?m?1?Amn!C?n?? mm!m!?n?m?!Ammn

規(guī)定：C0n?1

（4）組合數(shù)性質(zhì)：

n?mm?101nnCm，Cm?Cmn?Cnn?Cnn?1，Cn?Cn????Cn?2

50.解排列與組合問題的規(guī)律是：

相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果。

如：學(xué)號(hào)為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績

xi?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且滿足x1?x2?x3?x4，則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況是（）

A.24 B.15 C.12

D.10

解析：可分成兩類：

??（1）中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)不相等，4有C5?5（種）

（2）中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等

x1?x2?x3?x4

相同兩數(shù)分別取90，91，92，對(duì)應(yīng)的排列可以數(shù)出來，分別有3，4，3種，∴有10種。

∴共有5＋10＝15（種）情況

51.二項(xiàng)式定理

n1n?1n?22n(a?b)n?C0b?C2b???Crnan?rbr???Cnna?Cnananb

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：Tr?1?Crnan?rbr(r?0，1??n)Crn為二項(xiàng)式系數(shù)（區(qū)別于該項(xiàng)的系數(shù)）

?r（1）對(duì)稱性：Crn?Cnr?0，1，2，??，nn

性質(zhì)：

??

1nn（2）系數(shù)和：C0n?Cn???Cn?2 35024n?1 C1n?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???

2（3）最值：n為偶數(shù)時(shí)，n＋1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第

?n?2；n為奇數(shù)時(shí)，(n?1)為偶數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式 ??1?項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)為Cn?2?n?1n?1系數(shù)最大即第項(xiàng)及第?1項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)為Cn2?Cn222n?1n?1n

如：在二項(xiàng)式?x?1?的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)系數(shù)為表示）

11（用數(shù)字

（∵n＝11

∴共有12項(xiàng)，中間兩項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，且為第12?6或第7項(xiàng) 2r由C11x11?r(?1)r，∴取r?5即第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值為最小： 65?C11??C11??426

又如：?1?2x?2004?a0?a1x?a2x2????a2004x2004?x?R?，則

（用數(shù)字作答）?a0?a1???a0?a2???a0?a3??????a0?a2004??

（令x?0，得：a0?1

令x?1，得：a0?a2????a2004?1

∴原式?2003a0?a0?a1????a2004?2003?1?1?2004）

??

52.你對(duì)隨機(jī)事件之間的關(guān)系熟悉嗎？

（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0

（2）包含關(guān)系：A?B，“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”稱B包含A。

A B

（3）事件的和（并）：A?B或A?B“A與B至少有一個(gè)發(fā)生”叫做A與B 的和（并）。

（4）事件的積（交）：A·B或A?B“A與B同時(shí)發(fā)生”叫做A與B的積。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時(shí)發(fā)生”叫做A、B互斥。

A·B??

（6）對(duì)立事件（互逆事件）：

“A不發(fā)生”叫做A發(fā)生的對(duì)立（逆）事件，A A?A??，A?A??

（7）獨(dú)立事件：A發(fā)生與否對(duì)B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。

A與B獨(dú)立，A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立。

53.對(duì)某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即

P(A)?A包含的等可能結(jié)果m?

一次試驗(yàn)的等可能結(jié)果的總數(shù)n

（2）若A、B互斥，則P?A?B??P(A)?P(B)（3）若A、B相互獨(dú)立，則PA·B?P?A?·P?B?

??

（4）P(A)?1?P(A)

（5）如果在一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生

kk次的概率：Pn(k)?Cknp?1?p?n?k

如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）從中任取2件都是次品；

?C22?4P???1? 2C1015??3?C210?4C6?P2?5??21?C10?

（2）從中任取5件恰有2件次品；

（3）從中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”

∴m?C·46?423213

23C2443·4·6?4∴P3??

125103

（4）從中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽?。ㄓ许樞颍?/p>

∴n?A，m?CAA510242536

23C2104A5A6 ∴P4??521A10

分清（1）、（2）是組合問題，（3）是可重復(fù)排列問題，（4）是無重復(fù)排列問題。

54.抽樣方法主要有：簡單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的特征是從總體中逐個(gè)抽?。幌到y(tǒng)抽樣，常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個(gè)；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。

55.對(duì)總體分布的估計(jì)——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計(jì)總體的期望和方差。

要熟悉樣本頻率直方圖的作法：

（1）算數(shù)據(jù)極差?xmax?xmin?；

（2）決定組距和組數(shù)；（3）決定分點(diǎn)；（4）列頻率分布表；（5）畫頻率直方圖。

其中，頻率?小長方形的面積?組距×頻率

組距

1x1?x2????xn n1222樣本方差：S2??x1?x???x2?x??????xn?x?n樣本平均值：x?????

如：從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽，如果按性別分層隨機(jī)抽樣，則組成此參賽隊(duì)的概率為____________。

42C10C5（）6C1

556.你對(duì)向量的有關(guān)概念清楚嗎？（1）向量——既有大小又有方向的量。

?（2）向量的?！邢蚓€段的長度，|a|

?

（3）單位向量|a0|?1，a0???a|a|

?

（4）零向量0，|0|?0 ??

?長度相等??（5）相等的向量??a?b

方向相同?

在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動(dòng)而不改變。

（6）并線向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

規(guī)定零向量與任意向量平行。

??????

b∥a(b?0)?存在唯一實(shí)數(shù)?，使b??a

（7）向量的加、減法如圖：

???OA?OB?OC ???OA?OB?BA

???

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e1，e2是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，a為該平面任一向量，則存在唯一

?????實(shí)數(shù)對(duì)?

1、?2，使得a??1e1??2e2，e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量 的一組基底。

（9）向量的坐標(biāo)表示

設(shè)a??x1，y1?，b??x2，y2?

則a?b??x1，y1???y1，y2???x1?y1，x2?y2? ?a???x1，y1????x1，?y1? ?????

若A?x1，y1?，B?x2，y2? ?則AB??x2?x1，y2?y1?

?

|AB|???x2?x1?2??y2?y1?2，A、B兩點(diǎn)間距離公式

?????

57.平面向量的數(shù)量積

（1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）。

?為向量a與b的夾角，???0，??

B ??? b O ? ?a D A

數(shù)量積的幾何意義：

?????

a·b等于|a|與b在a的方向上的射影|b|cos?的乘積。

????

（2）數(shù)量積的運(yùn)算法則

①a·b?b·a

②(a?b)c?a·c?b·c ???????③a·b??x1，y1?·?x2，y2??x1x2?y1y2

????????注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律(a·b)·c?a·(b·c)

（3）重要性質(zhì)：設(shè)a??x1，y1?，b??x2，y2? ①a⊥b?a·b?0?x1·x2?y1·y2?0 ②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|

?a??b（b?0，?惟一確定）?x1y2?x2y1?0

?22121???????????????????????

? ③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b|

?

④cos??a·b??|a|·|b|??x1x2?y1y2x?y·x?y21212222

??????［練習(xí)］（1）已知正方形ABCD，邊長為1，AB?a，BC?b，AC?c，則

|a?b?c|?

答案：2

???

??（2）若向量a??x，1?，b??4，x?，當(dāng)x?時(shí)a與b共線且方向相同

??

答案：2

（3）已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a?3b|?13 ??o??

答案：

58.線段的定比分點(diǎn)

設(shè)P1?x1，y1?，P2?x2，y2?，分點(diǎn)P?x，y?，設(shè)P1、P2是直線l上兩點(diǎn)，P點(diǎn)在

??l上且不同于P1、P2，若存在一實(shí)數(shù)?，使P1P??PP2，則?叫做P分有向線段 ?P1P2所成的比（??0，P在線段P1P2內(nèi)，??0，P在P1P2外），且

x1??x2x1?x2??x?x?????1??2，P為P1P2中點(diǎn)時(shí)，???y?y1??y2?y?y1?y2??1??2??

如：?ABC，A?x1，y1?，B?x2，y2?，C?x3，y3? y?y2?y3??x?x2?x3則?ABC重心G的坐標(biāo)是?1，1?

??3

3※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？

59.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？

平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

線∥線???線∥面???面∥面

判定性質(zhì)????線⊥線???線⊥面???面⊥面????

線∥線???線⊥面???面∥面

線面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a b ??

線面平行的性質(zhì)：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

三垂線定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO為PO在?內(nèi)射影，a?面?，則 a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO

線面垂直：

P ??O a

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a O α b c

面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?

面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?

α a l β

a⊥面?，b⊥面??a∥b 面?⊥a，面?⊥a??∥?

a b ??

60.三類角的定義及求法

（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

?＝0o時(shí)，b∥?或b??

（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0o???180o

（三垂線定理法：A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。）

三類角的求法： ①找出或作出有關(guān)的角。

②證明其符合定義，并指出所求作的角。③計(jì)算大?。ń庵苯侨切危蛴糜嘞叶ɡ恚劬毩?xí)］

（1）如圖，OA為α的斜線OB為其在α內(nèi)射影，OC為α內(nèi)過O點(diǎn)任一直線。

證明：cos??cos?·cos?

A θ O β B ????????????????????????C? D α

（?為線面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）

（2）如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對(duì)角線BD1＝8，BD1與側(cè)面B1BCC1所成的為30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求異面直線BD1和AD所成的角；

③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

36（①arcsin；②60o；③arcsin）

43（3）如圖ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小。

P F D C A E B

（∵AB∥DC，P為面PAB與面PCD的公共點(diǎn)，作PF∥AB，則PF為面PCD與面PAB的交線??）

61.空間有幾種距離？如何求距離？

點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與線，點(diǎn)與面，線與線，線與面，面與面間距離。

將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理法，或者用等積轉(zhuǎn)化法）。如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，則：（1）點(diǎn)C到面AB1C1的距離為___________；

（2）點(diǎn)B到面ACB1的距離為____________；

（3）直線A1D1到面AB1C1的距離為____________；

（4）面AB1C與面A1DC1的距離為____________；

（5）點(diǎn)B到直線A1C1的距離為_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

62.你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？

正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱 正棱錐——底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。

正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形中：

它們各包含哪些元素？

Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE

S正棱錐側(cè)?63.1C·h'（C——底面周長，h'為斜高）

2有

哪

些

性

質(zhì)

？ V錐?1底面積×高

3球（1）球心和截面圓心的連線垂直于截面r?R2?d2

（2）球面上兩點(diǎn)的距離是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長。為此，要找球心角！

（3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經(jīng)度角，它是面面成角。

（4）S球?4?R2，V球?4?R3 3

（5）球內(nèi)接長方體的對(duì)角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1。

如：一正四面體的棱長均為2，四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面

積為（）

A.3?熟B.4?記

下

C.33?列

D.6?

答案：A

公

式

了

嗎

？

64.（1）l直線的傾斜角???0，??，k?tan??

y2?y1??????，x1?x2?

?x2?x1?2?P1?x1，y1?，P2?x2，y2?是l上兩點(diǎn)，直線l的方向向量a??1，k?

點(diǎn)斜式：y?y0?k?x?x0?（k存在）

斜截式：y?kx?b

（2）直線方程：

截距式：xy??

1一般式：Ax?By?C?0（A、B不同時(shí)為零）abAx0?By0?CA?B2（3）點(diǎn)P?x0，y0?到直線l：Ax?By?C?0的距離d?

（4）l1到l2的到角公式：tan??k2?k11?k1k2

l1與l2的夾角公式：tan??k2?k11?k1k2

65.如何判斷兩直線平行、垂直？

A1B2?A2B1???l1∥lk1?k2?l1∥l2（反之不一定成立）A1C2?A2C1?

A1A2?B1B2?0?l1⊥l2

k1·k2??1?l1⊥l2

66.怎樣判斷直線l與圓C的位置關(guān)系？

圓心到直線的距離與圓的半徑比較。

直線與圓相交時(shí)，注意利用圓的“垂徑定理”。

67.怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置？

聯(lián)立方程組?關(guān)于x（或y）的一元二次方程?“?”??0?相交；??0?相切；??0?相離

68.分清圓錐曲線的定義

?橢圓?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2??第一定義?雙曲線?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2???拋物線?PF?PK?

第二定義：e? y PFPKc 0?e?1?橢圓；e?1?雙曲線；e?1?拋物線 a

b c O F1 F2 a x x?a2

x2y2??1?a?b?0? a2b2

?a2?b2?c2?

x2y2?2?1?a?0，b?0?

c2?a2?b22ab??

e>1 e=1 P 0

x2y2x2y269.與雙曲線2?2?1有相同焦點(diǎn)的雙曲線系為2?2?????0?

abab

70.在圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時(shí)，消元后得到的方程，要注意其二次項(xiàng)系數(shù)是否為零？△≥0的限制。（求交點(diǎn)，弦長，中點(diǎn)，斜率，對(duì)稱存在性問題都在△≥0下進(jìn)行。）

弦長公式P1P2??1?k22x?x????12?4x1x2?

1?2???1?2??y1?y2??4y1y2?k???

71.會(huì)用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎？

如：

PF2?a2?x2y2?e，PF2?e?x0???ex0?a

PF1?ex0?a ??

1PKc?a2b2? y A P2 O F x P1 B

y2?2px?p?0?

通徑是拋物線的所有焦點(diǎn)弦中最短者；以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。

有關(guān)中點(diǎn)

弦

問

題

可

考

慮

用

“

代

點(diǎn)

法

”。

72.如：橢圓mx2?ny2?1與直線y?1?x交于M、N兩點(diǎn)，原點(diǎn)與MN中點(diǎn)連 線的斜率為2m，則的值為2n

答案：

m2?n2A

73.“對(duì)稱”問題？（1）證明曲線C：F（x，y）＝0關(guān)于點(diǎn)M（a，b）成中心對(duì)稱，設(shè)A（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，設(shè)

A'（x'，y'）為

關(guān)于點(diǎn)

M的對(duì)稱點(diǎn)。

（由a?x?x'y?y'，b??x'?2a?x，y'?2b?y）22只要證明A'?2a?x，2b?y?也在曲線C上，即f(x')?y'?AA'⊥l（2）點(diǎn)A、A'關(guān)于直線l對(duì)稱???AA'中點(diǎn)在l上?kAA'·kl??1???AA'中點(diǎn)坐標(biāo)滿足l方程?x?rcos?74.圓x?y?r的參數(shù)方程為?（?為參數(shù)）

y?rsin??222

?x?acos?x2y2橢圓2?2?1的參數(shù)方程為?（?為參數(shù)）

y?bsin?ab?

75.求軌跡方程的常用方法有哪些？注意討論范圍。

（直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法）

76.對(duì)線性規(guī)劃問題：作出可行域，作出以目標(biāo)函數(shù)為截距的直線，在可行域內(nèi)平移直線，求出目標(biāo)函數(shù)的最值。

第二篇：高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納6篇

總結(jié)是指對(duì)某一階段的工作、學(xué)習(xí)或思想中的經(jīng)驗(yàn)或情況進(jìn)行分析研究，做出帶有規(guī)律性結(jié)論的書面材料，通過它可以全面地、系統(tǒng)地了解以往的學(xué)習(xí)和工作情況，我想我們需要寫一份總結(jié)了吧。那么你知道總結(jié)如何寫嗎？下面是小編整理的高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納，希望對(duì)大家有所幫助。

高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納1

付正軍：高考數(shù)學(xué)中有函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量、不等式、立體幾何等九大章節(jié)，主要是考函數(shù)和導(dǎo)數(shù)，這是我們整個(gè)高中階段里最核心的板塊，在這個(gè)板塊里，重點(diǎn)考察兩個(gè)方面：第一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，包括函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性;第二是函數(shù)的解答題，重點(diǎn)考察的是二次函數(shù)和高次函數(shù)，分函數(shù)和它的一些分布問題，但是這個(gè)分布重點(diǎn)還包含兩個(gè)分析就是二次方程的分布的問題，這是第一個(gè)板塊。

第二個(gè)是平面向量和三角函數(shù)。重點(diǎn)考察三個(gè)方面：一個(gè)是劃減與求值，第一，重點(diǎn)掌握公式，重點(diǎn)掌握五組基本公式。第二，是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，這里重點(diǎn)掌握正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)，第三，正弦定理和余弦定理來解三角形。難度比較小。

第三，是數(shù)列，數(shù)列這個(gè)板塊，重點(diǎn)考兩個(gè)方面：一個(gè)通項(xiàng);一個(gè)是求和。

第四，空間向量和立體幾何。在里面重點(diǎn)考察兩個(gè)方面：一個(gè)是證明;一個(gè)是計(jì)算。

第五，概率和統(tǒng)計(jì)，這一板塊主要是屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的范疇，當(dāng)然應(yīng)該掌握下面幾個(gè)方面，第一等可能的概率，第二事件，第三是獨(dú)立事件，還有獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生的概率。

第六，解析幾何，這是我們比較頭疼的問題，是整個(gè)試卷里難度比較大，計(jì)算量最高的題，當(dāng)然這一類題，我總結(jié)下面五類?？嫉念}型，包括第一類所講的直線和曲線的位置關(guān)系，這是考試最多的內(nèi)容?？忌鷳?yīng)該掌握它的通法，第二類我們所講的動(dòng)點(diǎn)問題，第三類是弦長問題，第四類是對(duì)稱問題，這也是20xx年高考已經(jīng)考過的一點(diǎn)，第五類重點(diǎn)問題，這類題時(shí)往往覺得有思路，但是沒有答案，當(dāng)然這里我相等的是，這道題盡管計(jì)算量很大，但是造成計(jì)算量大的原因，往往有這個(gè)原因，我們所選方法不是很恰當(dāng)，因此，在這一章里我們要掌握比較好的算法，來提高我們做題的準(zhǔn)確度，這是我們所講的第六大板塊。

第七，押軸題，考生在備考復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)該重點(diǎn)不等式計(jì)算的方法，雖然說難度比較大，我建議考生，采取分部得分整個(gè)試卷不要留空白。這是高考所考的七大板塊核心的考點(diǎn)。

高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納2

(1)先看“充分條件和必要條件”

當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p=>q，則我們稱p為q的充分條件，q是p的必要條件。這里由p=>q，得出p為q的充分條件是容易理解的。

但為什么說q是p的必要條件呢?

事實(shí)上，與“p=>q”等價(jià)的逆否命題是“非q=>非p”。它的意思是：若q不成立，則p一定不成立。這就是說，q對(duì)于p是必不可少的，因而是必要的。

(2)再看“充要條件”

若有p=>q，同時(shí)q=>p,則p既是q的充分條件，又是必要條件。簡稱為p是q的充要條件。記作p<=>q

回憶一下初中學(xué)過的“等價(jià)于”這一概念;如果從命題A成立可以推出命題B成立，反過來，從命題B成立也可以推出命題A成立，那么稱A等價(jià)于B，記作A<=>B?！俺湟獥l件”的含義，實(shí)際上與“等價(jià)于”的含義完全相同。也就是說，如果命題A等價(jià)于命題B，那么我們說命題A成立的充要條件是命題B成立;同時(shí)有命題B成立的充要條件是命題A成立。

(3)定義與充要條件

數(shù)學(xué)中，只有A是B的充要條件時(shí)，才用A去定義B，因此每個(gè)定義中都包含一個(gè)充要條件。如“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”這一定義就是說，一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件是它的兩組對(duì)邊分別平行。

顯然，一個(gè)定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一個(gè)含有充要條件的語句來表示。

“充要條件”有時(shí)還可以改用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表示，其中“當(dāng)”表示“充分”?！皟H當(dāng)”表示“必要”。

(4)一般地，定義中的條件都是充要條件，判定定理中的條件都是充分條件，性質(zhì)定理中的“結(jié)論”都可作為必要條件。

高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納3

符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形，或者說，符合一定條件的點(diǎn)的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡.軌跡，包含兩個(gè)方面的問題：凡在軌跡上的點(diǎn)都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性(也叫做必要性);凡不在軌跡上的點(diǎn)都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點(diǎn)必在軌跡上，這叫做軌跡的完備性(也叫做充分性).【軌跡方程】就是與幾何軌跡對(duì)應(yīng)的代數(shù)描述。

一、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟

⒈建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo);

⒉寫出點(diǎn)M的集合;

⒊列出方程=0;

⒋化簡方程為最簡形式;

⒌檢驗(yàn)。

二、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法和交軌法等。

⒈直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

⒉定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

⒊相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)x，y表示相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)x0、y0，然后代入點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動(dòng)點(diǎn)Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法。

⒋參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關(guān)系，得再消去參變數(shù)t，得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。

⒌交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

_直譯法：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟

①建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;

②設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y);

③列式——列出動(dòng)點(diǎn)p所滿足的.關(guān)系式;

④代換——依條件的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于X，Y的方程式，并化簡;

⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。

高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納4

1.數(shù)列的定義、分類與通項(xiàng)公式

(1)數(shù)列的定義：

①數(shù)列：按照一定順序排列的一列數(shù).②數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù).(2)數(shù)列的分類：

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限

項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an+1>an其中n∈N_

遞減數(shù)列an+1

常數(shù)列an+1=an

(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式：

如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.數(shù)列的遞推公式

如果已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(n≥2)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫數(shù)列的遞推公式.3.對(duì)數(shù)列概念的理解

(1)數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)，這有別于集合中元素的無序性.因此，若組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個(gè)數(shù)列.(2)數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別.4.數(shù)列的函數(shù)特征

數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N_(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)的函數(shù)解析式，即f(n)=an(n∈N_).

高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納5

第一部分集合（1）含n個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2^n，真子集數(shù)為2^n—1；非空真子集的數(shù)為2^n—2；

（2）注意：討論的時(shí)候不要遺忘了的情況。

第二部分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1、映射：注意①第一個(gè)集合中的元素必須有象；②一對(duì)一，或多對(duì)一。

2、函數(shù)值域的求法：①分析法；②配方法；③判別式法；④利用函數(shù)單調(diào)性；⑤換元法；⑥利用均值不等式；⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義（斜率、距離、絕對(duì)值的意義等）；⑧利用函數(shù)有界性（、、等）；⑨導(dǎo)數(shù)法

3、復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題

（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法：

①若f（x）的定義域?yàn)椤瞐，b〕，則復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的定義域由不等式a≤g（x）≤b解出

②若f[g（x）]的定義域?yàn)閇a，b]，求f（x）的定義域，相當(dāng)于x∈[a，b]時(shí)，求g（x）的值域。

（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：

①首先將原函數(shù)分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)；

②分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；

③根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。

注意：外函數(shù)的定義域是內(nèi)函數(shù)的值域。

4、分段函數(shù)：值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論。

5、函數(shù)的奇偶性

⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；

⑵是奇函數(shù)；

⑶是偶函數(shù)；

⑷奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，則；

⑸在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；

（6）若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先等價(jià)變形，再判斷其奇偶性；

1、對(duì)于函數(shù)f（x），如果對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（—x）=—f（x），那么f（x）為奇函數(shù)；

2、對(duì)于函數(shù)f（x），如果對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（—x）=f（x），那么f（x）為偶函數(shù)；

3、一般地，對(duì)于函數(shù)y=f（x），定義域內(nèi)每一個(gè)自變量x，都有f（a+x）=2b—f（a—x），則y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對(duì)稱；

4、一般地，對(duì)于函數(shù)y=f（x），定義域內(nèi)每一個(gè)自變量x都有f（a+x）=f（a—x），則它的圖象關(guān)于x=a成軸對(duì)稱。

5、函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；

6、由函數(shù)奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則—x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。

高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納6

1.等差數(shù)列的定義

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d.3.等差中項(xiàng)

如果A=(a+b)/2，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(n-m)d(n，m∈N_).(2)若{an}為等差數(shù)列，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N_).(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N_)是公差為md的等差數(shù)列.(4)數(shù)列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差數(shù)列.(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若n為偶數(shù)，則S偶-S奇=nd/2;

若n為奇數(shù)，則S奇-S偶=a中(中間項(xiàng)).注意：

一個(gè)推導(dǎo)

利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

Sn=a1+a2+a3+…+an，①

Sn=an+an-1+…+a1，②

①+②得：Sn=n(a1+an)/2

兩個(gè)技巧

已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元.(1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，….(2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元.四種方法

等差數(shù)列的判斷方法

(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an-an-1為同一常數(shù);

(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N_)都成立;

(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an=pn+q;

(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn=An2+Bn.注：后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列.

第三篇：高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)黃崗

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.對(duì)于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C 中元素各表示什么？

2.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，不要忘記集合本身和空集?的特殊情況。注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A??x|x2?2x?3?0?，B??x|ax?1?

若B?A，則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合為??1??）3?

（答：??1，0，3.注意下列性質(zhì)：

（1）集合?a1，a2，??，an?的所有子集的個(gè)數(shù)是2n；

（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；

（3）德摩根定律：

CU?A?B???CUA???CUB?，CU?A?B???CUA???CUB?

ax?5x?a

24.你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

如：已知關(guān)于x的不等式的取值范圍。

（∵3?M，∴a·3?53?aa·5?55?a22?0的解集為M，若3?M且5?M，求實(shí)數(shù)a

?05???a?1，???9，25?）?3???0

∵5?M，∴

5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”(?)，“且”(?)和

“非”(?).若p?q為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為真

若p?q為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q至少有一個(gè)為真

若?p為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為假

6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

（互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7.對(duì)映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對(duì)應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射？

（一對(duì)一，多對(duì)一，允許B中有元素?zé)o原象。）

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？

（定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域）

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

例：函數(shù)y?x?4?x?lg?x?3?2的定義域是

（答：?0，2???2，3???3，4?）

10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f(x)的定義域是?a，b?，b??a?0，則函數(shù)F(x)?f(x)?f(?x)的定 義域是_____________。

（答：?a，?a?）

11.求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？

如：f

令t??x?1?e?x，求f(x).x?1，則t?0

2?x

∴x?t?∴f(t)?et

∴f(x)?e2?1?t?1 ?x?1?x?0? 22x?1

212.反函數(shù)存在的條件是什么？

（一一對(duì)應(yīng)函數(shù)）

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

??1?x

如：求函數(shù)f(x)??2???x?x?0??x?0??x?0?的反函數(shù)

（答：f?1??x?1(x)??????x?x?1?）

13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；

②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

③設(shè)y?f(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，a?A，b?C，則f(a)=b?f?1(b)?a

?f?1?f(a)??f?1(b)?a，ff?1(b)?f(a)?b

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

（取值、作差、判正負(fù)）

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？

（y?f(u)，u??(x)，則y?f??(x)?（外層）（內(nèi)層）??

當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)f??(x)?為增函數(shù)，否則f??(x)?為減函數(shù)。）

如：求y?log1??x?2x?的單調(diào)區(qū)間

2（設(shè)u??x2?2x，由u?0則0?x?2

且log1u?，u???x?1??1，如圖： u O 1 2 x

2當(dāng)x?(0，1]時(shí)，u?，又log1u?，∴y?

當(dāng)x?[1，2)時(shí)，u?，又log1u?，∴y?

∴??）

15.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間?a，b?內(nèi)，若總有f'(x)?0則f(x)為增函數(shù)。（在個(gè)別點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)等于 零，不影響函數(shù)的單調(diào)性），反之也對(duì)，若f'(x)?0呢？

如：已知a?0，函數(shù)f(x)?x?ax在?1，???上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大

3值是（）

A.0 B.1

C.2

D.3

?

（令f'(x)?3x?a?3?x??2a????x?3??a???0 3?

則x??a3或x?a3

由已知f(x)在[1，??)上為增函數(shù)，則

∴a的最大值為3）

a3?1，即a?3

16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？

（f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

若f(?x)??f(x)總成立?f(x)為奇函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

若f(?x)?f(x)總成立?f(x)為偶函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

注意如下結(jié)論：

（1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

（2）若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點(diǎn)，則f(0)?0。

a·2?a?22?1xx

如：若f(x)?為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a?

（∵f(x)為奇函數(shù)，x?R，又0?R，∴f(0)?0

a·2?a?22?100

即?0，∴a?1）

又如：f(x)為定義在(?1，1)上的奇函數(shù)，當(dāng)x?(0，1)時(shí)，f(x)?求f(x)在??1，1?上的解析式。

2xx4?1，（令x???1，0?，則?x??0，1?，f(?x)??x24xx?x?x?1

又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)??24?x?1??21?4

x?2??x?4? 又f(0)?0，∴f(x)??x?2x??4?1x?(?1，0)x?0x??0，1?）

17.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

（若存在實(shí)數(shù)T（T?0），在定義域內(nèi)總有f?x?T??f(x)，則f(x)為周期 函數(shù)，T是一個(gè)周期。）

如：若f?x?a???f(x)，則

（答：f(x)是周期函數(shù)，T?2a為f(x)的一個(gè)周期）

又如：若f(x)圖象有兩條對(duì)稱軸x?a，x?b???

即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)

則f(x)是周期函數(shù)，2a?b為一個(gè)周期

如：

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(?x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

f(x)與?f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

f(x)與?f(?x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

f(x)與f?1(x)的圖象關(guān)于直線y?x對(duì)稱

f(x)與f(2a?x)的圖象關(guān)于直線x?a對(duì)稱

f(x)與?f(2a?x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱

y?f(x?a)左移a(a?0)個(gè)單位

將y?f(x)圖象???????? ??y?f(x?a)右移a(a?0)個(gè)單位y?f(x?a)?b上移b(b?0)個(gè)單位

???????? ??y?f(x?a)?b下移b(b?0)個(gè)單位

注意如下“翻折”變換：

f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)

如：f(x)?log2?x?1?

作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的圖象

y y=log2x O 1 x

19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

(k<0)y(k>0)y=b O’(a,b)O x x=a

（1）一次函數(shù)：y?kx?b?k?0?

（2）反比例函數(shù)：y?的雙曲線。

b??2

（3）二次函數(shù)y?ax?bx?c?a?0??a?x???2a?2?b4ac?b?b，頂點(diǎn)坐標(biāo)為?? ?，對(duì)稱軸x??4a2a?2a?2kx?k?0?推廣為y?b?kx?a?k?0?是中心O'(a，b)

?4ac?b4a2圖象為拋物線

開口方向：a?0，向上，函數(shù)ymin?4ac?b4a22

a?0，向下，ymax?4ac?b4a

應(yīng)用：①“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程

ax?bx?c?0，??0時(shí)，兩根x1、x2為二次函數(shù)y?ax?bx?c的圖象與x軸 的兩個(gè)交點(diǎn)，也是二次不等式ax?bx?c?0(?0)解集的端點(diǎn)值。

2②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。

③求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

???0??b2

如：二次方程ax?bx?c?0的兩根都大于k????k

2a???f(k)?0 y(a>0)O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于k?f(k)?0

（4）指數(shù)函數(shù)：y?ax?a?0，a?1?

（5）對(duì)數(shù)函數(shù)y?logax?a?0，a?1?

由圖象記性質(zhì)！

（注意底數(shù)的限定?。?/p>

y y=a(a>1)(01)1 O 1 x(0

（6）“對(duì)勾函數(shù)”y?x?kx?k?0?

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？

y ?k O k x

1ap

20.你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？

指數(shù)運(yùn)算：a?1(a?0)，am?mn0?p?(a?0)

an?nam(a?0)，a?1nam(a?0)

對(duì)數(shù)運(yùn)算：logaM·N?logaM?logaN?M?0，N?0?

logaMN?logM?logN，logaaaanM?1nlogM a

對(duì)數(shù)恒等式：alogx?x

對(duì)數(shù)換底公式：logab?

21.如何解抽象函數(shù)問題？

（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）

logcblogca?logambn?nmlogab

如：（1）x?R，f(x)滿足f(x?y)?f(x)?f(y)，證明f(x)為奇函數(shù)。

（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）

（2）x?R，f(x)滿足f(xy)?f(x)?f(y)，證明f(x)是偶函數(shù)。

（先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(t·t)

∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)

∴f(?t)?f(t)??）

（3）證明單調(diào)性：f(x2)?f??x2?x1??x2????

22.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）

如求下列函數(shù)的最值：

（1）y?2x?3?2x?4x?313?4x

（2）y?

（3）x?3，y?2x2x?3

?，???0，??? ?設(shè)x?3cos

（4）y?x?4?

（5）y?4x?9x9?x2，x?(0，1]

23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？

（l??·R，S扇?12l·R? 1弧度 O R R 12?·R）

24.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義

sin??MP，cos??OM，tan??AT

y T B S P α O M A x

如：若??8???0，則sin?，cos?，tan?的大小順序是

又如：求函數(shù)y?1????2cos??x?的定義域和值域。

?2?

（∵1????2cos??x?）?1??2?222sinx?0

∴sinx?，如圖：

∴2k??5?4?x?2k???4?k?Z?，0?y?1?2

25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱軸嗎？

x?1，cosx?sin y x ? ? O 2

y?tgx ?2?

對(duì)稱點(diǎn)為?k????，0?，k?Z

?2 x的增區(qū)間為?2k??

y?sin?????2?2，2k?????k?Z? ?2?3???k?Z? ?2?

減區(qū)間為?2k??，2k??

圖象的對(duì)稱點(diǎn)為?k?，0?，對(duì)稱軸為x?k??

y?cosx的增區(qū)間為?2k?，2k?????k?Z?

?2?k?Z?

減區(qū)間為?2k???，2k??2???k?Z?

圖象的對(duì)稱點(diǎn)為?k??????，0?，對(duì)稱軸為x?k??k?Z?

? y?tanx的增區(qū)間為?k?????2，k?????k?Z 2?

26.正弦型函數(shù)y=Asin??x+??的圖象和性質(zhì)要熟記。?或y?Acos??x????

（1）振幅|A|，周期T?2?|?|

若f?x0???A，則x?x0為對(duì)稱軸。

若f?x0??0，則?x0，0?為對(duì)稱點(diǎn)，反之也對(duì)。

（2）五點(diǎn)作圖：令?x??依次為0，（x，y）作圖象。

（3）根據(jù)圖象求解析式。（求A、?、?值）

?2，?，3?2，2?，求出x與y，依點(diǎn)

??(x1)???0?

如圖列出??

?(x)???2?2?

解條件組求?、?值

?正切型函數(shù)y?Atan??x???，T??|?|

27.在三角函數(shù)中求一個(gè)角時(shí)要注意兩個(gè)方面——先求出某一個(gè)三角函數(shù)值，再判定角的范圍。

如：cos?x?

（∵??x?????23???，x???，????，求x值。6?22??3?2，∴7?6?x??6?5?3，∴x??6?5?4，∴x?1312?）

28.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時(shí)，你注意（到）運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎？

如：函數(shù)y?sinx?sin|x|的值域是

（x?0時(shí)，y?2sinx???2，2?，x?0時(shí)，y?0，∴y???2，2?）

29.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？

（平移變換、伸縮變換）

平移公式：

??x'?x?ha?(h，k)

（1）點(diǎn)P（x，y）????? ??P'（x'，y'），則?y'?y?k平移至??

（2）曲線f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程為f(x?h，y?k)?0

如：函數(shù)y?2sin?2x?圖象？

（y?2sin?2x???????1???橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍??1???????????y?2sin?2?x????1 4?4???2???????1的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)?sinx的 4??個(gè)單位???上平移1個(gè)單位4?2sin?x???1????????y?2sinx?1????????y?2sinx ?4?左平移縱坐標(biāo)縮短到原來的1倍2??y?sinx）?????????

30.熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？

如：1?sin??cos??sec??tan??tan?·cot??cos?·sec??tan?sin?2?cos0???稱為1的代換。2222?4

“k·?2??”化為?的三角函數(shù)——“奇變，偶不變，符號(hào)看象限”，“奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。

如：cos9??7???tan????sin?21????46?sin??tan?cos??cot?，則y的值為

又如：函數(shù)y?

A.正值或負(fù)值

sin??

D.正值

sin?B.負(fù)值

2C.非負(fù)值

（y?cos??sin??cos??1?cos???0，∵??0）2cos?cos??sin??1?sin?

31.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎？

理解公式之間的聯(lián)系：

?cos??cos?sin??????sin2??2sin?cos?

sin??????sin令???令???22co?s?????cos?cos??sin?sin??????cos2??cos??sin? tan??????tan??tan?1?tan?·tan? ?2cos??1?1?2sin?? 22tan2??2tan?1?tan?2cos?? 21?cos2?2 1?cos2?2sin??

2??bcos??

asina?bsin???????，tan22

ba

sin??cos?????2sin????

?4?

sin?????3cos??2sin????

?3?

應(yīng)用以上公式對(duì)三角函數(shù)式化簡。（化簡要求：項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。）

具體方法：

（1）角的變換：如?????????，???2?????????????????? ??2??

2（2）名的變換：化弦或化切

（3）次數(shù)的變換：升、降冪公式

（4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。

如：已知sin?cos?1?cos2??1，tan????????cos?2sin?23，求tan???2??的值。

1（由已知得：

又tan??????sin?cos?2sin?232?1，∴tan??

2tan???????tan1?tan??????·tan?2121?18）

∴tan???2???tan???????????31?·32

32.正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？

余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?222b?c?a2bc222

（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）?a?2RsinAabc?

正弦定理：???2R??b?2RsinB

sinAsinBsinC?c?2RsinC?

S??12a·bsinC

∵A?B?C??，∴A?B???C

C，sin

∴sin?A?B??sinA?B2C?cos 如?ABC中，2sin

（1）求角C；

2A?B2?cos2C?1

（2）若a?b?22c22，求cos2A?cos2B的值。

2（（1）由已知式得：1?cos?A?B??2cosC?1?1

又A?B???C，∴2cosC?cosC?1?0

∴cosC?12或cosC??1（舍）

?322

又0?C??，∴C?

?b?22

（2）由正弦定理及a22122c得： ?3?342

2sinA?2sinB?sinC?sin

1?cos2A?1?cos2B?

∴cos2A?cos2B??3434）

33.用反三角函數(shù)表示角時(shí)要注意角的范圍。

反正弦：arcsinx??，?2?，x???1，1?2??

反余弦：arccosx??0，??，x???1，1?

反正切：arctanx???

34.不等式的性質(zhì)有哪些？

（1）a?b，c?0?ac?bcc?0?ac?bc???2，???，?x?R? 2?????

（2）a?b，c?d?a?c?b?d

（3）a?b?0，c?d?0?ac?bd

（4）a?b?0?1a?1b，a?b?0?n1a?1b

（5）a?b?0?an?bn，na?b

（6）|x|?a?a?0???a?x?a，|x|?a?x??a或x?a

如：若21a2?1b?0，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.a?bB.ab?b D.ab?ba?2

C.|a|?|b|?|a?b|

答案：C

35.利用均值不等式：

a?b?2ab?a，b?R22????a?b?；a?b?2ab；ab???求最值時(shí)，你是否注

?2?2意到“a，b?R”且“等號(hào)成立”時(shí)的條件，積(ab)或和(a?b)其中之一為定

值？（一正、二定、三相等）

注意如下結(jié)論：

a?b222?a?b2?ab?2aba?b?a，b?R?

?

當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)等號(hào)成立。

a?b?c?ab?bc?ca?a，b?R? 22

2當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)取等號(hào)。

a?b?0，m?0，n?0，則

ba?b?ma?m?1?a?nb?n?ab4x

如：若x?0，2?3x???的最大值為

（設(shè)y?2??3x?4???2?212?2?43 x?23 當(dāng)且僅當(dāng)3x?4x，又x?0，∴x?時(shí)，ymax?2?43）

又如：x?2y?1，則2x?4y的最小值為

（∵2x?22y?22x?2y?221，∴最小值為22）

36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？

（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）

并注意簡單放縮法的應(yīng)用。

如：證明1?122122?132???1n2?2

（1??132????1n2?1?11?21n?12?3????1?n?1?n

?1?1?12?12?13????1n?1?

?2?1n

?2）37.解分式不等式f(x)g(x)?a?a?0?的一般步驟是什么？

（移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。）

38.用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始

如：?x?1??x?1?2?x?2?3?0

39.解含有參數(shù)的不等式要注意對(duì)字母參數(shù)的討論

如：對(duì)數(shù)或指數(shù)的底分a?1或0?a?1討論

40.對(duì)含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去解？

（找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x?3|?x?1?1

??1??）2?

（解集為?x|x?

41.會(huì)用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|證明較簡單的不等問題

如：設(shè)f(x)?x2?x?13，實(shí)數(shù)a滿足|x?a|?求證：f(x)?f(a)?2(|a|?1)

證明：|f(x)?f(a)|?|(x2?x?13)?(a2?a?13)|

?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1)

?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|?|x|?|a|?1

又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1

∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2?|a|?1?

（按不等號(hào)方向放縮）

42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問題，或“△”問題）

如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值

a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值

a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值

例如：對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，若x?3?x?2?a恒成立，則a的取值范圍是

（設(shè)u?x?3?x?2，它表示數(shù)軸上到兩定點(diǎn)?2和3距離之和

umin?3???2??5，∴5?a，即a?5

或者：x?3?x?2??x?3???x?2??5，∴a?5）

43.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：an?1?an?d(d為常數(shù))，an?a1??n?1?d

等差中項(xiàng)：x，A，y成等差數(shù)列?2A?x?y

前n項(xiàng)和Sn??a1?an?n2?na1?n?n?1?2d

性質(zhì)：?an?是等差數(shù)列

（1）若m?n?p?q，則am?an?ap?aq；

（2）數(shù)列?a2n?1?，?a2n?，?kan?b?仍為等差數(shù)列；

Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍為等差數(shù)列；

（3）若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a?d，a，a?d；

（4）若an，bn是等差數(shù)列Sn，Tn為前n項(xiàng)和，則ambm?S2m?1T2m?1；

2（5）?an?為等差數(shù)列?Sn?an?bn（a，b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為

0的二次函數(shù)）

2Sn的最值可求二次函數(shù)Sn?an?bn的最值；或者求出?an?中的正、負(fù)分界

項(xiàng)，即：

?an?0

當(dāng)a1?0，d?0，解不等式組?可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值。

?an?1?0?an?0

當(dāng)a1?0，d?0，由?可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值。

a?0?n?

1如：等差數(shù)列?an?，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，則n?

（由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1

又S3??a1?a3?2·3?3a2?1，∴a2?13

∴Sn??a1?an?n2??a2?an?1?·n2??1???1?n?3?2?18

?n?27）

44.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：an?1an?q（q為常數(shù)，q?0），an?a1qn?1

等比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列?G2?xy，或G??xy

?na1(q?1)???a11?qn（要注意!）

(q?1)?1?q?

前n項(xiàng)和：Sn??

性質(zhì)：?an?是等比數(shù)列

（1）若m?n?p?q，則am·an?ap·aq

（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍為等比數(shù)列

45.由Sn求an時(shí)應(yīng)注意什么？

（n?1時(shí)，a1?S1，n?2時(shí)，an?Sn?Sn?1）

46.你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎？

例如：（1）求差（商）法

如：?an?滿足

解：n?1時(shí)，n?2時(shí)，121212a1?122a2????12nan?2n?5?1?

a1?2?1?5，∴a1?14 122a1?a2????1an?2

12n?1an?1?2n?1?5?2?

?1???2?得：

∴an?

2∴an［練習(xí)］ n?12n

?14(n?1)??n?1

(n?2)?2

53數(shù)列?an?滿足Sn?Sn?1?an?1，a1?4，求an

（注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：Sn?1Sn?4

又S1?4，∴?Sn?是等比數(shù)列，Sn?4n

n?2時(shí)，an?Sn?Sn?1????3·4n?（2）疊乘法

例如：數(shù)列?an?中，a1?3，an?1an23?nn?1，求an

解：a2a1·a3a2??anan?13n?12·??n?1n，∴ana1?1n

又a1?3，∴an?

（3）等差型遞推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

n?2時(shí)，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)?

?兩邊相加，得：

?????an?an?1?f(n)??

an?a1?f(2)?f(3)????f(n)

∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n)［練習(xí)］

n?1?an?1?n?2?，求an

數(shù)列?an?，a1?1，an?3

（an??321n?1）?

（4）等比型遞推公式

an?can?1?d?c、d為常數(shù)，c?0，c?1，d?0?

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an?x?c?an?1?x?

?an?can?1??c?1?x

令(c?1)x?d，∴x???ddc?1

∴?an?d?，c為公比的等比數(shù)列 ?是首項(xiàng)為a1?c?1?c? ∴an?d??n?1??a1??·c c?1?c?1???d?n?1d ??c?c?1c?1d

∴an??a1?［練習(xí)］

數(shù)列?an?滿足a1?9，3an?1?an?4，求an

（an?4??8????3?n?1?1）

（5）倒數(shù)法

例如：a1?1，an?1?2anan?2，求an

由已知得：1an?1?12?an?22an?12?1an

∴1an?1?1an

?1?11?1，公差為

???為等差數(shù)列，a12?an?

?1an?1??n?1?·2n?112?12?n?1?

∴an?

47.你熟悉求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法嗎？

例如：（1）裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。

n

如：?an?是公差為d的等差數(shù)列，求?k?11akak?1

解：由n1ak·ak?11n?1ak?ak?d??1?11?????d?0? d?akak?1?

∴?k?1akak?1??k?11?11???? d?akak?1?

?11??11??11?1???????????????????d??a1a2??a2a3?aa?nn?1???1?11????d?a1an?1?

［練習(xí)］

求和：1?11?2?11?2?3????1n?111?2?3????n）

（an??????，Sn?2?

（2）錯(cuò)位相減法：

若?an?為等差數(shù)列，?bn?為等比數(shù)列，求數(shù)列?anbn?（差比數(shù)列）前n項(xiàng)

和，可由Sn?qSn求Sn，其中q為?bn?的公比。

如：Sn?1?2x?3x2?4x3????nxn?1?1?

?2?

234n?1n?nx

x·Sn?x?2x?3x?4x?????n?1?x2n?1n?nx

?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x????x

x?1時(shí)，Sn??1?x?n?1?x?2?nxn1?x

x?1時(shí)，Sn?1?2?3????n?n?n?1?2

（3）倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。

?Sn?a1?a2????an?1?an??相加

Sn?an?an?1????a2?a1??

2Sn??a1?an???a2?an?1??????a1?an??? ［練習(xí)］

已知f(x)??1??1??1?，則f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f???????2?????4?231?x?1????x?2x2

x?1??

（由f(x)?f???2?x?1?x2?1?1????x?2?x221?x?11?x2?1

∴原式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f???

?2????3????4???

?12?1?1?1?312）??1????1????1??

48.你知道儲(chǔ)蓄、貸款問題嗎？

△零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型：

若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：

n?n?1???r???等差問題

Sn?p?1?r??p?1?2r?????p?1?nr??p?n?2??

△若按復(fù)利，如貸款問題——按揭貸款的每期還款計(jì)算模型（按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類）

若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復(fù)利），那么每期應(yīng)還x元，滿足

p(1?r)n?x?1?r?n?1?x?1?r?n?2????x?1?r??x

?1??1?r?n

?x?1??1?r???n??1?r??1 ??xr??

∴x?pr?1?r?n?1?r?n

?

1p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)

49.解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

（1）分類計(jì)數(shù)原理：N?m1?m2????mn

（mi為各類辦法中的方法數(shù)）

分步計(jì)數(shù)原理：N?m1·m2??mn

（mi為各步驟中的方法數(shù)）

（2）排列：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，所有排列的個(gè)數(shù)記為An.m

An?n?n?1??n?2????n?m?1??mn!?n?m?!?m?n?

規(guī)定：0!?1

（3）組合：從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素并組成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，所有組合個(gè)數(shù)記為Cn.m

Cmn?AnmmAm?n?n?1????n?m?1?m!?n!m!?n?m?!

規(guī)定：C0?1 n

（4）組合數(shù)性質(zhì)：

n?mmm?1m01nn

Cm?Cn，Cn?Cn?Cn?1，Cn?Cn????Cn?2 n

50.解排列與組合問題的規(guī)律是：

相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果。

如：學(xué)號(hào)為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績

xi?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且滿足x1?x2?x3?x4，??

則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況是（）

A.24 B.15

解析：可分成兩類：

C.12

D.10

（1）中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)不相等，4有C5?5（種）

（2）中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等

x1?x2?x3?x4

相同兩數(shù)分別取90，91，92，對(duì)應(yīng)的排列可以數(shù)出來，分別有3，4，3種，∴有10種。

∴共有5＋10＝15（種）情況

51.二項(xiàng)式定理

(a?b)?Cna?Cnan0n1n?1b?Cna2n?2b???Cnarn?rr2rn?rb???Cnb

rnn

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：Tr?1?Cnarb(r?0，1??n)

Cn為二項(xiàng)式系數(shù)（區(qū)別于該項(xiàng)的系數(shù)）

性質(zhì)：

?r

（1）對(duì)稱性：Crn?Cn?r?0，1，2，??，n? n

（2）系數(shù)和：Cn?Cn???Cn?Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2135024n?101nn

（3）最值：n為偶數(shù)時(shí)，n＋1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第

?n?2；n為奇數(shù)時(shí)，(n?1)為偶數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式 ??1?項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)為Cn?2?n系數(shù)最大即第n?12項(xiàng)及第11n?12n?1n?1?1項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)為Cn2?Cn2

如：在二項(xiàng)式?x?1?的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)系數(shù)為表示）

（∵n＝11

∴共有12項(xiàng)，中間兩項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，且為第122（用數(shù)字

?6或第7項(xiàng)

r11?rr

由C11x(?1)，∴取r?5即第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值為最?。?/p>

5?C11??C11??426

又如：?1?2x?2004?a0?a1x?a2x????a2004x22004?x?R?，則

?a0?a1???a0?a2???a0?a3??????a0?a2004??（用數(shù)字作答）

（令x?0，得：a0?1

令x?1，得：a0?a2????a2004?1

∴原式?2003a0??a0?a1????a2004??2003?1?1?2004）

52.你對(duì)隨機(jī)事件之間的關(guān)系熟悉嗎？

（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0

（2）包含關(guān)系：A?B，“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”稱B包含A。

A B

（3）事件的和（并）：A?B或A?B“A與B至少有一個(gè)發(fā)生”叫做A與B 的和（并）。

（4）事件的積（交）：A·B或A?B“A與B同時(shí)發(fā)生”叫做A與B的積。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時(shí)發(fā)生”叫做A、B互斥。

A·B??

（6）對(duì)立事件（互逆事件）：

“A不發(fā)生”叫做A發(fā)生的對(duì)立（逆）事件，A

A?A??，A?A??

（7）獨(dú)立事件：A發(fā)生與否對(duì)B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。

A與B獨(dú)立，A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立。

53.對(duì)某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即

P(A)?A包含的等可能結(jié)果一次試驗(yàn)的等可能結(jié)果的總數(shù)?mn

（2）若A、B互斥，則P?A?B??P(A)?P(B)

（3）若A、B相互獨(dú)立，則P?A·B??P?A?·P?B?

（4）P(A)?1?P(A)

（5）如果在一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生 k次的概率：Pn(k)?Cnpkk?1?p?n?k

如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）從中任取2件都是次品；

2?C42?

?P1?2??

15C10??

（2）從中任取5件恰有2件次品；

23?C4C610??

?P2?? 521?C10?

（3）從中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”

213

∴m?C2·46?4 3

∴P3?C3·4·6?4103223?44125

（4）從中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽?。ㄓ许樞颍?/p>

5223

∴n?A10，m?C4A5A6

∴P4?C4A5A6A105223?1021

分清（1）、（2）是組合問題，（3）是可重復(fù)排列問題，（4）是無重復(fù)排列問題。

54.抽樣方法主要有：簡單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的特征是從總體中逐個(gè)抽??；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個(gè)；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。

55.對(duì)總體分布的估計(jì)——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計(jì)總體的期望和方差。

要熟悉樣本頻率直方圖的作法：

（1）算數(shù)據(jù)極差?xmax?xmin?；

（2）決定組距和組數(shù)；

（3）決定分點(diǎn)；

（4）列頻率分布表；

（5）畫頻率直方圖。

其中，頻率?小長方形的面積?組距×頻率組距

樣本平均值：x?

樣本方差：S2?1n1n?x1?x2????xn

?x???x2?x??????xn?x?222???x1?

如：從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽，如果按性別分層隨機(jī)抽樣，則組成此參賽隊(duì)的概率為____________。

（C10C5C15642）

56.你對(duì)向量的有關(guān)概念清楚嗎？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

?

（2）向量的?！邢蚓€段的長度，|a|

???

（3）單位向量|a0|?1，a0???a?

|a|

（4）零向量0，|0|?0

?長度相等??a?b

（5）相等的向量???方向相同

在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動(dòng)而不改變。

（6）并線向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

規(guī)定零向量與任意向量平行。

??????

b∥a(b?0)?存在唯一實(shí)數(shù)?，使b??a

（7）向量的加、減法如圖：

???

OA?OB?OC ???

OA?OB?BA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

???

e1，e2是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，a為該平面任一向量，則存在唯一

?????實(shí)數(shù)對(duì)?

1、?2，使得a??1e1??2e2，e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量 的一組基底。

（9）向量的坐標(biāo)表示

??

i，j是一對(duì)互相垂直的單位向量，則有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得

?a?xi?yj，稱(x，y)為向量a的坐標(biāo)，記作：a??x，y?，即為向量的坐標(biāo) ????表示。

設(shè)a??x1，y1?，b??x2，y2?

則a?b??x1，y1???y1，y2???x1?y1，x2?y2?

?a???x1，y1????x1，?y1?

若A?x1，y1?，B?x2，y2? ?

則AB??x2?x1，y2?y1? ?

|AB|???????x2??x1???y2?y1?，A、B兩點(diǎn)間距離公式 2

257.平面向量的數(shù)量積

?????

（1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）。

?為向量a與b的夾角，???0，??

B ???b O ? ?a

D A

數(shù)量積的幾何意義：

?????

a·b等于|a|與b在a的方向上的射影|b|cos?的乘積。

（2）數(shù)量積的運(yùn)算法則

????

①a·b?b·a

???????

②(a?b)c?a·c?b·c

③a·b??x1，y1?·?x2，y2??x1x2?y1y2

????????

注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律(a·b)·c?a·(b·c)

（3）重要性質(zhì)：設(shè)a??x1，y1?，b??x2，y2?

??????

①a⊥b?a·b?0?x1·x2?y1·y2?0

??????????

②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|

???

?a??b（b?0，?惟一確定）

?x1y2?x2y1?0

?2?

③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b|

??22121????

④cos??［練習(xí)］ a·b???x1x2?y1y2x?y·2121|a|·|b|x?y2222

??????

（1）已知正方形ABCD，邊長為1，AB?a，BC?b，AC?c，則

???|a?b?c|?

答案：22

（2）若向量a??x，1?，b??4，x?，當(dāng)x?

答案：2 ??????時(shí)a與b共線且方向相同

（3）已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a?3b|?

答案：158.線段的定比分點(diǎn)

o??

設(shè)P1?x1，y1?，P2?x2，y2?，分點(diǎn)P?x，y?，設(shè)P1、P2是直線l上兩點(diǎn)，P點(diǎn)在

??l上且不同于P1、P2，若存在一實(shí)數(shù)?，使P1P??PP2，則?叫做P分有向線段 ?P1P2所成的比（??0，P在線段P1P2內(nèi)，??0，P在P1P2外），且

x1??x2x1?x2??x?x?????1?? ?，P為P1P2中點(diǎn)時(shí)，??y?y1??y2?y?y1?y2??1??2??

如：?ABC，A?x1，y1?，B?x2，y2?，C?x3，y3?

則?ABC重心G的坐標(biāo)是???x1?x2?x33，y1?y2?y3?? ?

3※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？

59.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？

平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

線∥線???線∥面???面∥面

????線⊥線???線⊥面???面⊥面????

線∥線???線⊥面???面∥面判定性質(zhì)

線面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a b ??

線面平行的性質(zhì)：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

三垂線定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO為PO在?內(nèi)射影，a?面?，則

a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO

O a P ??

線面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a O α b c

面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?

面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?

α a l β

a⊥面?，b⊥面??a∥b

面?⊥a，面?⊥a??∥?

a b ??

60.三類角的定義及求法

（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

?＝0時(shí)，b∥?或b?? o

（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0o???180o

（三垂線定理法：A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。）

三類角的求法：

①找出或作出有關(guān)的角。

②證明其符合定義，并指出所求作的角。

③計(jì)算大?。ń庵苯侨切危蛴糜嘞叶ɡ恚?。［練習(xí)］

（1）如圖，OA為α的斜線OB為其在α內(nèi)射影，OC為α內(nèi)過O點(diǎn)任一直線。

證明：cos??cos?·cos?

A θ O B β ????????????????????????C? D α

（?為線面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）

（2）如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對(duì)角線BD1＝8，BD1與側(cè)面B1BCC1所成的為30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角；

②求異面直線BD1和AD所成的角；

③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

（①arcsin34；②60；③arcsino63）

（3）如圖ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小。

P F D C A E B

（∵AB∥DC，P為面PAB與面PCD的公共點(diǎn)，作PF∥AB，則PF為面PCD與面PAB的交線??）

61.空間有幾種距離？如何求距離？

點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與線，點(diǎn)與面，線與線，線與面，面與面間距離。

將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理法，或者用等積轉(zhuǎn)化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，則：

（1）點(diǎn)C到面AB1C1的距離為___________；

（2）點(diǎn)B到面ACB1的距離為____________；

（3）直線A1D1到面AB1C1的距離為____________；

（4）面AB1C與面A1DC1的距離為____________；

（5）點(diǎn)B到直線A1C1的距離為_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

62.你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？

正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱

正棱錐——底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。

正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形中：

Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE

它們各包含哪些元素？

S正棱錐側(cè)?

V錐?1312C·h'（C——底面周長，h'為斜高）

底面積×高

63.球有哪些性質(zhì)？

（1）球心和截面圓心的連線垂直于截面r?R?d22

（2）球面上兩點(diǎn)的距離是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長。為此，要找球心角！

（3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經(jīng)度角，它是面面成角。

（4）S球?4?R，V球?243?R

3（5）球內(nèi)接長方體的對(duì)角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1。

如：一正四面體的棱長均為2，四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面 積為（）

A.3?B.4?C.33?D.6?

答案：A

64.熟記下列公式了嗎？

（1）l直線的傾斜角???0，??，k?tan??y2?y1???，x1?x2? ????x2?x1?2?

P1?x1，y1?，P2?x2，y2?是l上兩點(diǎn)，直線l的方向向量a??1，k?

（2）直線方程：

點(diǎn)斜式：y?y0?k?x?x0?（k存在）

斜截式：y?kx?b

截距式：xa?yb?1

一般式：Ax?By?C?0（A、B不同時(shí)為零）

（3）點(diǎn)P?x0，y0?到直線l：Ax?By?C?0的距離d?k2?k11?k1k2Ax0?By0?CA2?B2

（4）l1到l2的到角公式：tan??

l1與l2的夾角公式：tan??k2?k11?k1k2

65.如何判斷兩直線平行、垂直？

A1B2?A2B1???l1∥l2

A1C2?A2C1?

k1?k2?l1∥l2（反之不一定成立）

A1A2?B1B2?0?l1⊥lk1·k2??1?l1⊥l2

66.怎樣判斷直線l與圓C的位置關(guān)系？

圓心到直線的距離與圓的半徑比較。

直線與圓相交時(shí)，注意利用圓的“垂徑定理”。

67.怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置？

聯(lián)立方程組?關(guān)于x（或y）的一元二次方程?“?”??0?相交；??0?相切；??0?相離

68.分清圓錐曲線的定義

?橢圓?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2??

第一定義?雙曲線?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2

???拋物線?PF?PK

第二定義：e?PFPK?ca

0?e?1?橢圓；e?1?雙曲線；e?1?拋物線

y b O x?a2c F1 F2 a x 2222

xa?yb?1?a?b?0?

?a2?b2?c2?

xa22

?yb22?1?a?0，b?0?

?c2?a2?b2? k e>1 e =1P 0

69.與雙曲線xa22

?yb22?1有相同焦點(diǎn)的雙曲線系為xa22?yb22?????0?

70.在圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時(shí)，消元后得到的方程，要注意其二次項(xiàng)系數(shù)是否為零？△≥0的限制。（求交點(diǎn)，弦長，中點(diǎn)，斜率，對(duì)稱存在性問題都在△≥0下進(jìn)行。）

弦長公式P1P2??1?k???x21?x2??4x1x2

2?

?1?2??1?2??y1?y2??4y1y2 ?k???

71.會(huì)用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎？

如：

y P(x0,y0)K F1 O F2 x l

xa22?yb22?1

PF2PK?e，PF22?a??e?x0???ex0?a

c??

PF1?ex0?a

y A P2 O F x P1 B

y2?2px?p?0?

通徑是拋物線的所有焦點(diǎn)弦中最短者；以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。

72.有關(guān)中點(diǎn)弦問題可考慮用“代點(diǎn)法”。

如：橢圓mx2?ny2?1與直線y?1?x交于M、N兩點(diǎn)，原點(diǎn)與MN中點(diǎn)連

22mn線的斜率為，則的值為

答案：mn?22

73.如何求解“對(duì)稱”問題？

（1）證明曲線C：F（x，y）＝0關(guān)于點(diǎn)M（a，b）成中心對(duì)稱，設(shè)A（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，設(shè)A'（x'，y'）為A關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)。

（由a?x?x'2，b?y?y'2?x'?2a?x，y'?2b?y）

只要證明A'?2a?x，2b?y?也在曲線C上，即f(x')?y' ?AA'⊥l

（2）點(diǎn)A、A'關(guān)于直線l對(duì)稱??

?AA'中點(diǎn)在l上?kAA'·kl??

1??

?AA'中點(diǎn)坐標(biāo)滿足l方程74.圓x?y22?x?rcos??r的參數(shù)方程為?（?為參數(shù)）

y?rsin??

2橢圓xa22?yb22?x?acos??1的參數(shù)方程為?（?為參數(shù)）

?y?bsin?

75.求軌跡方程的常用方法有哪些？注意討論范圍。

（直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法）

76.對(duì)線性規(guī)劃問題：作出可行域，作出以目標(biāo)函數(shù)為截距的直線，在可行域內(nèi)平移直線，求出目標(biāo)函數(shù)的最值。

第四篇：高三數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)總結(jié)供借鑒

高三數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)精選總結(jié)供借鑒

高三數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)精選總結(jié)1

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個(gè)模塊組成：

必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)(指、對(duì)、冪函數(shù))

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。

必修4：基本初等函數(shù)(三角函數(shù))、平面向量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個(gè)高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。

上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過高的要求。

此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。

2.重難點(diǎn)及考點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)

難點(diǎn)：函數(shù)、圓錐曲線

高考相關(guān)考點(diǎn)：

⑴集合與簡易邏輯:集合的概念與運(yùn)算、簡易邏輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

⑸平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用

⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對(duì)值不等式、不等式的應(yīng)用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用

⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

⑽排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

⑾概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

⑿導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

⒀復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

★高三數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)精選總結(jié)2

①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等(它叫做正棱錐的斜高).②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.⑶特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：

①棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.⑤三棱錐有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.⑦每個(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑;

⑧每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心

是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.[注]：i.各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.(×)(各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等)

ii.若一個(gè)三角錐，兩條對(duì)角線互相垂直，則第三對(duì)角線必然垂直.簡證：AB⊥CD，AC⊥BD

BC⊥AD.令得，已知?jiǎng)t.iii.空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.iv.若是四邊長與對(duì)角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.簡證：取AC中點(diǎn)，則平面90°易知EFGH為平行四邊形

EFGH為長方形.若對(duì)角線等，則為正方形.★高三數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)精選總結(jié)3

立體幾何初步

(1)棱柱：

定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺(tái)：

定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。

(5)圓錐：

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺(tái)：

定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。

(7)球體：

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

★高三數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)精選總結(jié)4

(1)先看“充分條件和必要條件”

當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p=>q，則我們稱p為q的充分條件，q是p的必要條件。這里由p=>q，得出p為q的充分條件是容易理解的。

但為什么說q是p的必要條件呢?

事實(shí)上，與“p=>q”等價(jià)的逆否命題是“非q=>非p”。它的意思是：若q不成立，則p一定不成立。這就是說，q對(duì)于p是必不可少的，因而是必要的。

(2)再看“充要條件”

若有p=>q，同時(shí)q=>p,則p既是q的充分條件，又是必要條件。簡稱為p是q的充要條件。記作p<=>q

回憶一下初中學(xué)過的“等價(jià)于”這一概念;如果從命題A成立可以推出命題B成立，反過來，從命題B成立也可以推出命題A成立，那么稱A等價(jià)于B，記作A<=>B?！俺湟獥l件”的含義，實(shí)際上與“等價(jià)于”的含義完全相同。也就是說，如果命題A等價(jià)于命題B，那么我們說命題A成立的充要條件是命題B成立;同時(shí)有命題B成立的充要條件是命題A成立。

(3)定義與充要條件

數(shù)學(xué)中，只有A是B的充要條件時(shí)，才用A去定義B，因此每個(gè)定義中都包含一個(gè)充要條件。如“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”這一定義就是說，一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件是它的兩組對(duì)邊分別平行。

顯然，一個(gè)定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一個(gè)含有充要條件的語句來表示。

“充要條件”有時(shí)還可以改用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表示，其中“當(dāng)”表示“充分”。“僅當(dāng)”表示“必要”。

(4)一般地，定義中的條件都是充要條件，判定定理中的條件都是充分條件，性質(zhì)定理中的“結(jié)論”都可作為必要條件。

★高三數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)精選總結(jié)5

1.函數(shù)的奇偶性

(1)若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則f(0)=0(可用于求參數(shù));

(3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

(4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性;

(5)奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性;

2.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題

(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知的定義域?yàn)閇a，b],其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求f(x)的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí)，求g(x)的值域(即f(x)的定義域);研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定;

3.函數(shù)圖像(或方程曲線的對(duì)稱性)

(1)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上;

(2)證明圖像C1與C2的對(duì)稱性，即證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在C2上，反之亦然;

(3)曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對(duì)稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函數(shù)y=f(x)對(duì)x∈R時(shí)，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱;

(6)函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱;

4.函數(shù)的周期性

(1)y=f(x)對(duì)x∈R時(shí)，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù);

(2)若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數(shù);

(3)若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數(shù);

(4)若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱，則f(x)是周期為2的周期函數(shù);

(5)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(a≠b)對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù);

(6)y=f(x)對(duì)x∈R時(shí)，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，則y=f(x)是周期為2的周期函數(shù);

5.方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域);

6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符號(hào)由口訣“同正異負(fù)”記憶;

(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

8.判斷對(duì)應(yīng)是否為映射時(shí)，抓住兩點(diǎn)：

(1)A中元素必須都有象且;

(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9.能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求反函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性。

10.對(duì)于反函數(shù)，應(yīng)掌握以下一些結(jié)論：

(1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù);

(2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù);

(3)定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù);

(4)周期函數(shù)不存在反函數(shù);

(5)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性;

(6)y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);

11.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系;

12.依據(jù)單調(diào)性

利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性可解決求一類參數(shù)的范圍問題;

13.恒成立問題的處理方法

(1)分離參數(shù)法;

(2)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;

第五篇：高三英語知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

1.obviously=clearly（adv.）明顯地，清楚地2.for example= for instance 例如，舉例子

3.look after=take care of 照顧，照料4.litter(n.)垃圾（v.）亂扔垃圾

5.kind(adj.)和藹的，親切的（n.）種類all kinds of =different kinds of 各種各樣的kind of 有幾分6.obey(v.)遵守，遵循7.traffic regulations=traffic rules 交通規(guī)則

8.tell sb to do sth 告訴某人做某事tell sb not to do sth 告訴某人不要做某事

9.avoid(v.)避免avoid doing sth 避免做某事10.cyclist(n.)騎自行車的人

11.signal(n.)信號(hào)traffic signals 交通信號(hào)12.prevent（v.）防止，預(yù)防

13.stop(v.)停止stop doing sth 停止正在做的事情stop to do sth 停下來去做另外一件事

14.follow(v.)跟隨15.without(prep.)沒有without doing sth 沒有做某事

16.take …into consideration 把。。納入考慮之中consider doing sth 考慮做某事

17.true(adj.)真實(shí)的（n.）truth 真相，真話18 lie(v.)說謊lie—lay—lainlying

19.ever 曾經(jīng)never 從不20.accept(v.)接受acceptable(adj.)可接受的unacceptable 不可接受的21.live in 居住make a living 謀生22.stick to 堅(jiān)持

23.mean(v.)意味著24.steal(v.)偷東西25.argue(v.)爭論，辯論 argument(n.)論證，論據(jù)26.however(prep.)然而27.different(adj.)不同的 Be different from….與。。不同differ in 不同于

28.other 其他的others 別人，其他人another 另外一個(gè)one ….the other… 一個(gè)。。另一個(gè)。。29.decide to do sth 決定做某事decide on sth 決定某事

30.get into trouble 陷入麻煩