初中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

一、基本知識

（一）、數(shù)與代數(shù)

1、有理數(shù)：正整數(shù)、0、負整數(shù)、分?jǐn)?shù)、畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（原點），選取某一長度作為單位長度，規(guī)定直線上向右的方向為正方向，就得到數(shù)軸。任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。如果兩個數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另外一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)。在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點，位于原點的兩側(cè)，并且與原點距離相等。數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù)。

絕對值：在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值。正數(shù)的絕對值是他的本身、負數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)、0的絕對值是0。兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。

2無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)

平方根：如果一個正數(shù)x的平方等于a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。如果一個數(shù)x的平方等于a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根。一個正數(shù)有2個平方根，0的平方根為0，負數(shù)沒有平方根。求一個數(shù)a的平方根運算，叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù)。

立方根：

如果一個數(shù)x的立方等于a，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根。

正數(shù)的立方根是正數(shù)、0的立方根是0、負數(shù)的立方根是負數(shù)。

求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)。

實數(shù)：實數(shù)分有理數(shù)和無理數(shù)。

在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義完全一樣。每一個實數(shù)都可以在數(shù)軸上的一個點來表示。

（二）函數(shù)

1、概念

在一個變化過程中，發(fā)生變化的量叫變量（數(shù)學(xué)中，常常為x，而y則隨x值的變化而變化），有些數(shù)值是不隨變量而改變的，我們稱它們?yōu)槌Ａ俊?/p>

自變量（函數(shù)）：一個與它量有關(guān)聯(lián)的變量，這一量中的任何一值都能在它量中找到對應(yīng)的固定值。

因變量（函數(shù)）：隨著自變量的變化而變化，且自變量取唯一值時，因變量（函數(shù)）有且只有唯一值與其相對應(yīng)。

函數(shù)值：在y是x的函數(shù)中，x確定一個值，y就隨之確定一個值，當(dāng)x取a時，y就隨之確定為b，b就叫做a的函數(shù)值

2、解析式法

用含有數(shù)學(xué)關(guān)系的等式來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫做解析式法。這種方法的優(yōu)點是能簡明、準(zhǔn)確、清楚地表示出函數(shù)與自變量之間的數(shù)量關(guān)系

3、圖像法

把一個函數(shù)的自變量x與對應(yīng)的因變量y的值分別作為點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。這種表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法

4、一次函數(shù)

在某一個變化過程中，設(shè)有兩個變量x和y，如果可以寫成y=kx+b(k<0,k>0)（k為一次項系數(shù)，b為常數(shù)），那么我們就說y是x的一次函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。特別的，當(dāng)b=0時稱y是x的正比例函數(shù)

基本性質(zhì)：

1、在正比例函數(shù)時，x與y的商一定（x≠0）

2、當(dāng)x=0時，b為一次函數(shù)圖像與y軸交點的縱坐標(biāo)，該點的坐標(biāo)為（0，b）；當(dāng)y=0時，一次函數(shù)圖像與x軸相交于（﹣b/k）

k>0時，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。

k<0，b>0：經(jīng)過第一、二、四象限

k<0，b<0：經(jīng)過第二、三、四象限

k<0，b=0：經(jīng)過第二、四象限（經(jīng)過原點）

函數(shù)的解析式

像y=50-0.1x這樣,用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系,描述函數(shù)的常用方法,這種式子叫做函數(shù)的解析式

函數(shù)的圖象

一般地,對于一個函數(shù),如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫縱

坐標(biāo),那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形,就是這個函數(shù)的圖象.提示

并不是所有的函數(shù)都能同時用三種表示方法表示哦

(比如氣溫與時間的關(guān)系)

一、正比例函數(shù)

一般地，兩個變量x、y之間的關(guān)系式可以表示成形如y=kx的函數(shù)（k為常數(shù)，x的次數(shù)為1，且k≠0），那么y就叫做x的正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式，即一次函數(shù)

y=kx+b

中，若b=0，即所謂“y軸上的截距”為零，則為正比例函數(shù)。

1.正比例函數(shù)的關(guān)系式表示為：y=kx（k為比例系數(shù)）

當(dāng)K>0時（一三象限），K的絕對值越大，圖像與y軸的距離越近。函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大．

2.當(dāng)K<0時（二四象限），k的絕對值越小，圖像與y軸的距離越遠。自變量x的值增大時，y的值則逐漸減小。

特點1：單調(diào)性

特點2：對稱性

特點3：正比例特點4：奇函數(shù)

圖像：

正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過坐標(biāo)原點(0，0)和定點(1，k)兩點的一條直線，它的斜率是k，橫、縱截距都為0。正比例函數(shù)的圖像是一條過原點的直線。

正比例函數(shù)y=kx(k≠0)，當(dāng)k的絕對值越大，直線越“陡”;當(dāng)k的絕對值越小，直線越“平”。

求正比例函數(shù)解析式：

正比例函數(shù)求法設(shè)該正比例函數(shù)的解析式為y=kx(k≠0)，將已知點的坐標(biāo)代入上式得到k，即可求出正比例函數(shù)的解析式。另外，若求正比例函數(shù)與其它函數(shù)的交點坐標(biāo)，則將兩個已知的函數(shù)解析式聯(lián)立成方程組，求出其x，y值即可。

正比例函數(shù)圖像的作法

1.在x允許的范圍內(nèi)取一個值，根據(jù)解析式求出y的值;

2.根據(jù)第一步求的x、y的值描出點;

3.作出第二步描出的點和原點的直線(因為兩點確定一直線)。

溫馨提示：正比例函數(shù)屬于一次函數(shù)，但一次函數(shù)卻不一定是正比例函數(shù)。

一次函數(shù)

知識點總結(jié)

一、基本概念：

1.變量：在一個變化過程中數(shù)值發(fā)生變化的量。常量：在一個變化過程中數(shù)值始終不變的量。

2.函數(shù)定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。如果當(dāng)x=a時y=b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時的函數(shù)值。

3、定義域：一般的，一個函數(shù)的自變量x允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。

4、確定函數(shù)定義域的方法：（即:自變量取值范圍）

（1）關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)；

（2）關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零；

（3）關(guān)系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零；

（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；

（5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。

5、函數(shù)解析式

用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。

（或：用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間關(guān)系的式子叫做函數(shù)的解析式。）

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

6、函數(shù)圖像的性質(zhì)：

一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖像。

7、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點

（1）解析法：

兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。

（2）列表法：把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。

（3）圖像法：用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。

8、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟：

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值

（2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

9、正比例函數(shù)和一次函數(shù)：所有一次函數(shù)或者正比例函數(shù)的圖像都是一條直線。

（1）正比例函數(shù)定義：

一般地，形如

y=kx（k為常數(shù)，k≠0）y叫x的正比例函數(shù)）。k叫做比例系數(shù)。

當(dāng)b=0時，一次函數(shù)y=kx+b

變?yōu)閥=kx。正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。

(3)

正比例函數(shù)的圖像：y=kx（k≠0）是經(jīng)過點（0，0）和（1，k）的一條直線。一次函數(shù)的圖象：y=kx+b（k≠0）是經(jīng)過點（0，b）和的一條直線。

一次函數(shù)y=kx＋b的圖象的畫法.（5）在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。

一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像都是過原點。

（6）根據(jù)幾何知識：經(jīng)過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可

.一般情況下：是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點：（0，b），.即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0的點。

（7）函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關(guān)系。

（8）直線y=kx＋b和直線y=kx的圖象和性質(zhì)與k、b的關(guān)系如下表所示：

（9）

b>0

b<0

b=0

k>0

經(jīng)過第一、二、三象限

經(jīng)過第一、三、四象限

經(jīng)過第一、三象限

圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大

k<0

經(jīng)過第一、二、四象限

經(jīng)過第二、三、四象限

經(jīng)過第二、四象限

圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小

總結(jié)如下：

（1）k>0時，y隨x增大而增大，必過一、三象限。

（2）k>0，b>0時,函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限；（一次函數(shù)）

（3）k>0，b<0時,函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限；（一次函數(shù)）

（4）k>0，b=0時,函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三象限。

（正比例函數(shù)）

（5）k<0時,y隨x增大而減小，必過二、四象限。

（6）k<0，b>0時，函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限；（一次函數(shù)）

（7）k<0，b<0時，函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限；（一次函數(shù)）

（8）k<0，b=0時，函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限。

（正比例函數(shù)）

11、直線y1=kx＋b與y2=kx圖象的位置關(guān)系

0，b）,(a，0)）

擴展：1.求函數(shù)圖像的k值：(1)當(dāng)b>0時，將y2=kx圖象向x軸上方平移b個單位，就得到y(tǒng)1=kx＋b的圖象．

(2)當(dāng)b<0時，將y2=kx圖象向x軸下方平移－b個單位，就得到了y1=kx＋b的圖象．

11.在兩個一次函數(shù)表達式中：

直線l1：y1=k1x＋b1與l2：y2=k2x＋b2

k相同，b也相同時，兩一次函數(shù)圖像重合；

k相同，b不相同時，兩一次函數(shù)圖像平行；

k不相同，b不相同時，兩一次函數(shù)圖像相交；

k不相同，b相同時，兩一次函數(shù)圖像交于y軸上的同一點（0，b）。

12、特殊位置關(guān)系：直線l1：y1=k1x＋b1與l2：y2=k2x＋b2

兩直線平行，其函數(shù)解析式中K值（即一次項系數(shù)）相等。

兩直線垂直，其函數(shù)解析式中K值互為負倒數(shù)（即兩個K值的乘積為-1）。即:

13、直線平移規(guī)律：上加下減（y），左加右減（x）

1.向右平移n個單位y=k（x-n）+b

2.向左平移n個單位y=k（x+n）+b

3.向上平移n個單位y

=kx+b+n

4.向下平移n個單位y

=kx+b-n14、待定系數(shù)法：先設(shè)待求函數(shù)的關(guān)系式（其中含未知系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程或方程組，求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法。

待定系數(shù)法求函數(shù)解析式步驟：

（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的解析式y(tǒng)=kx或者y=kx+b；

（2）將x、y的幾對值或圖象上幾個點的坐標(biāo)代入上述解析式，得到待定系數(shù)為未知數(shù)的方程或方程組。

（3）解方程（組）得到待定系數(shù)的值。

（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)解析式，得到所求函數(shù)的解析式。

如何設(shè)一次函數(shù)解析式：

點斜式y(tǒng)-y1=k(x-x1)（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個點）

兩點式(y-y1)

/

(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直線上（x1,y1）與（x2,y2）兩點）

截距式（y=-b/ax+b

a、b分別為直線在x、y軸上的截距,已知（0，b）,(a,0)

(三)確定位置

1.平面內(nèi)確定一個物體的位置需要2個數(shù)據(jù)。

2.平面內(nèi)確定位置的幾種方法:

（1）行列定位法：在這種方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行號和列號表示平面上點的位置，在此方法中，要牢記某點的位置需要兩個互相獨立的數(shù)據(jù)，兩者缺一不可。

（2）方位角距離定位法：方位角和距離。

（3）經(jīng)緯定位法：需要兩個數(shù)據(jù)：經(jīng)度和緯度。

（4）區(qū)域定位法：只描述某點所在的大致位置。

平面直角坐標(biāo)系

1.平面直角坐標(biāo)系定義

在平面內(nèi)，兩條互相（垂直）且具有公共（焦點）的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。其中水平方向的數(shù)軸叫（X軸）或（橫軸），向（右）為正方向；豎直方向的數(shù)軸叫（Y軸）或（縱軸），向（上）為正方向；兩條數(shù)軸交點叫平面直角坐標(biāo)系的（原點）。

2.平面內(nèi)點的坐標(biāo)

對于平面內(nèi)任意一點P，過P分別向x軸、y

軸作垂線，x軸上的垂足對應(yīng)的數(shù)a叫P的（橫）坐標(biāo)，y軸上的垂足對應(yīng)的數(shù)b叫P的（縱）坐標(biāo)。有序數(shù)對(a,b)，叫點P的坐標(biāo)。

若P的坐標(biāo)為(a,b)，則P到x軸距離為(|b|)，到y(tǒng)軸距離為（|a|)

注意：平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標(biāo).3.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)特征:

(2)坐標(biāo)軸上的點不屬于任何象限，它們的坐標(biāo)特征

①在x軸上的點

(縱）坐標(biāo)為0;

②在y軸上的點（橫）坐標(biāo)為0;

(3)P(a,b)關(guān)于x軸、y軸、原點的對稱點坐標(biāo)特征

①點P(a,b)關(guān)于x軸對稱點P1（a,-b);

②點

P(a,b)關(guān)于y軸對稱點P2

(-a,b);

③點P(a,b)關(guān)于原點對稱點P3

(-a,-b);

④若點P(a,b)關(guān)于一三象限角平分線對稱點P4

(b,a);

⑤若點P(a,b)關(guān)于二四象限角平分線對稱點P5

(-b,a);

4.平行于x軸的直線上的點(縱）坐標(biāo)相同；平行于y軸的直線上的點（橫）坐標(biāo)相同。

軸對稱與坐標(biāo)變化

（1）若兩個圖形關(guān)于x軸對稱，則對應(yīng)各點橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

（2）若兩個圖形關(guān)于y軸對稱，則對應(yīng)各點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。

（3）若兩個圖形關(guān)于一三象限角平分線對稱，則對應(yīng)橫坐標(biāo)為原坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為原坐標(biāo)的橫坐標(biāo)。

（4）若兩個圖形關(guān)于二四象限角平分線對稱，則對應(yīng)橫坐標(biāo)為原坐標(biāo)縱坐標(biāo)的相反數(shù)，縱坐標(biāo)為原坐標(biāo)的橫坐標(biāo)。

（5）將一個圖形向上（或向下）平移n(n>0)個單位，則圖形上各點橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)加上（或減去）n個單位。

（6）將一個圖形向右（或向左）平移n(n>O)個單位，則圖形上各點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)加上（或減去）n個單位。

（7）縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)分別變?yōu)樵瓉淼腶倍，則圖形為原來橫向伸長的a倍（a>1）或圖形橫向縮短為原來的a倍（0

（8）橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)分別變?yōu)樵瓉淼腶倍，則圖形為原來縱向伸長的a倍（a>1）或圖形縱向縮短為原來的a倍（0

（9）橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時變?yōu)樵瓉淼腶倍，則圖形被放大，形狀不變（a>1）。