第一篇：導(dǎo)數(shù)的幾何意義(導(dǎo)學(xué)案)

導(dǎo)數(shù)的幾何意義(導(dǎo)學(xué)案)主備人：陳小平審核：余慧強(qiáng) 校對(duì)：馬成云 哈進(jìn)林 馬生欽

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．通過(guò)作函數(shù)f(x)圖像上過(guò)點(diǎn)P(x0,f(x0))的割線和切線，直觀感受由割線過(guò)渡到切線的變化過(guò)程。

2．掌握函數(shù)在某一處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的定義。3．會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)曲線上某一點(diǎn)的切線方程。

【重點(diǎn)】曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義。【難點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

一、知識(shí)要點(diǎn)填空：

1．對(duì)于函數(shù)f(x)的曲線上的定點(diǎn)P(x0,y0)和動(dòng)點(diǎn)Pn(xn,f(xn))，直線PPn稱(chēng)為這條函數(shù)曲線上過(guò)P點(diǎn)的一條__________；其斜率kn＝_________________；當(dāng)Pn?P時(shí)，直線PPn就無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱(chēng)為過(guò)P點(diǎn)的__________；其斜率k＝________________=___________________（其中?x?xn?x0），切線方程為_(kāi)_______________________________；過(guò)函數(shù)曲線上任意一點(diǎn)的切線最多有__________條，而割線可以作_______條。

2．函數(shù)的平均變化率的幾何意義是___________________________；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是______________________________。

3．當(dāng)函數(shù)f(x)在x?x0處的導(dǎo)數(shù)f/(x0)?0，函數(shù)在x0附近的圖像自左而右是__________的，并且f/(x0)的值越大，圖像上升的就越________；當(dāng)函數(shù)f(x)在x?x0處的導(dǎo)數(shù)f/(x0)?0，函數(shù)在x0附近的圖像自左而右是__________的，并且f/(x0)的值越小，圖像下降的就越________；f/(x0)?0，函數(shù)在x0附近幾乎______________________。

二、知識(shí)點(diǎn)實(shí)例探究：

例1． 如圖（見(jiàn)課本p11.5），試描述函數(shù)f(x)在x??5,?4,?2,0,1附近的變化情況。

變式：根據(jù)下列條件，分別畫(huà)出函數(shù)圖像在這點(diǎn)附近的大致形狀：

（1）f(1)??5,f(1)??1；（2）f(5)?10,f(5)?15；（3）f(10)?20,f(10)?0。///例2．如圖（見(jiàn)課本p11.6）已知函數(shù)f(x)的圖像，試畫(huà)出其導(dǎo)函數(shù)f/(x)圖像的大致形狀。

變式：根據(jù)下面的文字?jǐn)⑹觯?huà)出相應(yīng)的路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖像的大致形狀。（1）汽車(chē)在筆直的公路上勻速行駛；（2）汽車(chē)在筆直的公路上不斷加速行駛；（3）汽車(chē)在筆直的公路上不斷減速行駛；

例3．已知曲線y?

變式：已知曲線y?

作業(yè)：1．曲線y?x在x?0處的（）

A 切線斜率為1 B 切線方程為y?2x C 沒(méi)有切線 D 切線方程為y?0 2．已知曲線y?2x上的一點(diǎn)A（2，8），則點(diǎn)A處的切線斜率為（）A 4 B 16 C 8 D 2 22138x上的一點(diǎn)P(2,)，求（1）點(diǎn)P處切線的斜率；（2）點(diǎn)P處的切線方程。3313x，求與直線x?4y?8?0垂直，并與該曲線相切的直線方程。33．函數(shù)y?f(x)在x?x0處的導(dǎo)數(shù)f/(x0)的幾何意義是（）A 在點(diǎn)x?x0處的函數(shù)值

B 在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線與x軸所夾銳角的正切值 C 曲線y?f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率 D 點(diǎn)(x0,f(x0))與點(diǎn)（0，0）連線的斜率

4．已知曲線y?x3上過(guò)點(diǎn)（2，8）的切線方程為12x?ax?16?0，則實(shí)數(shù)a的值為（）A －1 B 1 C －2 D 2 5．若f/(x0)??3，則limh?0f(x0?h)?f(x0?3h)＝（）

hf(1)?f(1?x)??1，則曲線y?f(x)在點(diǎn)

2xA －3 B －6 C －9 D －12 6．設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件limx?0（1，1）處的切線的斜率為（）A 2 B －1 C 21 D －2 27． 已知曲線y?x?1上的兩點(diǎn)A（2，3），B(2??x,3??y)，當(dāng)?x?1時(shí)，割線AB的斜率是__________，當(dāng)?x?0.1時(shí)，割線AB的斜率是__________，曲線在點(diǎn)A處的切線方程是________________________。

8．．如果函數(shù)f(x)在x?x0處的切線的傾斜角是鈍角，那么函數(shù)f(x)在x?x0附近的變化情況是__________________。

9．在曲線y?x上過(guò)哪一點(diǎn)的切線，（1）平行于直線y?4x?5；（2）垂直于直線2x?6y?5?0；（3）與x軸成135的傾斜角；（4）求過(guò)點(diǎn)R（1，－3）與曲線相切的直線。

?2

第二篇：導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義3導(dǎo)學(xué)案

導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義3導(dǎo)學(xué)案

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三大段

一中心

五環(huán)節(jié)

高效課堂—導(dǎo)學(xué)案

制作人：張平安

修改人：

審核人：

班級(jí)：

姓名：

組名：

課題

第六課時(shí)

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

（二）學(xué)習(xí)

目標(biāo)

掌握切線斜率由割線斜率的無(wú)限逼近而得，掌握切線斜率的求法

學(xué)習(xí)

重點(diǎn)

（1）能體會(huì)曲線上一點(diǎn)附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線斜率．

學(xué)習(xí)

難點(diǎn)

（1）能體會(huì)曲線上一點(diǎn)附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線斜率．

學(xué)法

指導(dǎo)

探析歸納，講練結(jié)合 學(xué)習(xí)

過(guò)

程

一

自主學(xué)習(xí)

．情境：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，將點(diǎn)附近的曲線放大、再放大，則點(diǎn)附近將逼近一條確定

的直線．

2．問(wèn)題：怎樣找到在曲線上的一點(diǎn)處最逼曲線的直線呢？

如上圖直線為經(jīng)過(guò)曲線上一點(diǎn)的兩條直線．

（1）判斷哪一條直線在點(diǎn)附近更加逼近曲線．

（2）在點(diǎn)附近能作出一條比更加逼近曲線

的直線嗎？

（3）在點(diǎn)附近能作出一條比更加逼近曲線的直線嗎？

3.歸納

（1）．割線及其斜率：連結(jié)曲線上的兩點(diǎn)的直線叫曲線的割線，設(shè)曲線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的一條割線交曲線于另一點(diǎn)，則割線的斜率為

．

（2）．切線的定義：隨著點(diǎn)沿著曲線向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，割線在點(diǎn)附近越來(lái)越逼近曲線。當(dāng)點(diǎn)無(wú)限逼近點(diǎn)時(shí)，直線最終就成為在點(diǎn)處最逼近曲線的直線，這條直線也稱(chēng)為曲線在點(diǎn)處的切線；

（3）．切線的斜率：當(dāng)點(diǎn)沿著曲線向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并無(wú)限靠近點(diǎn)時(shí)，割線逼近點(diǎn)處的切線，從而割線的斜率逼近切線的斜率，即當(dāng)無(wú)限趨近于時(shí)，無(wú)限趨近于點(diǎn)處的切線的斜率．

二

師生互動(dòng)

例1．已知曲線，（1）判斷曲線在點(diǎn)處是否有切線，如果有，求切線的斜率，然后寫(xiě)出切線的方程．

（2）求曲線在處的切線斜率。

分析：（1）若是曲線上點(diǎn)附近的一點(diǎn)，當(dāng)沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)時(shí)，割線的斜率是否無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)．若有，則這個(gè)常數(shù)是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；（2）為求得過(guò)點(diǎn)的切線斜率，我們從經(jīng)過(guò)點(diǎn)的任意一點(diǎn)直線（割線）入手。

例2．已知，求曲線在處的切線的斜率．

分析：為了求過(guò)點(diǎn)的切線的斜率，要從經(jīng)過(guò)點(diǎn)的任意一條割線入手．

例3．已知曲線方程，求曲線在處的切線方程．

三、自我檢測(cè)

練習(xí)第1，2，3題；

習(xí)題2-2A組中第3題

四、課堂反思、這節(jié)課我們學(xué)到哪些知識(shí)？學(xué)到什么新的方法？

2、你覺(jué)得哪些知識(shí)，哪些知識(shí)

還需要課后繼續(xù)加深理解？

五、拓展提高、補(bǔ)充：判斷曲線在點(diǎn)處是否有切線？如果有，求出切線的方程．

2、習(xí)題2-2中B組1、2

第三篇：導(dǎo)數(shù)幾何意義說(shuō)課稿

導(dǎo)數(shù)的幾何意義說(shuō)課稿

尊敬的各位評(píng)委老師下午好，我是**第一中學(xué)的劉*，今天我說(shuō)課的內(nèi)容是人教B版選修2-2第一章1.3節(jié)導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

下面我將從六個(gè)方面來(lái)闡述對(duì)本節(jié)課的理解與設(shè)計(jì)

一、教材分析：本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平均變化率、瞬時(shí)變化率，以及用極限定義導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步從幾何意義上理解導(dǎo)數(shù)的含義與價(jià)值。導(dǎo)數(shù)的幾何意義的學(xué)習(xí)為常見(jiàn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。因此，導(dǎo)數(shù)的幾何意義有著承前啟后的作用，是本節(jié)的重要概念。

根據(jù)上述教材分析我制定了如下教學(xué)目標(biāo)和重點(diǎn)難點(diǎn)

二、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：通過(guò)觀察探究理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；體會(huì)導(dǎo)數(shù)在刻畫(huà)函數(shù)性質(zhì)中的作用； 過(guò)程與方法：培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括等思維能力；通過(guò)“以直代曲”思想的具體運(yùn)用，使學(xué)生達(dá)到思維方式的遷移，了解科學(xué)的思維方法。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：滲透逼近和以直代曲思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知識(shí)的精神，引導(dǎo)學(xué)生從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限，體會(huì)量變和質(zhì)變的辯證關(guān)系，感受數(shù)學(xué)思想方法的魅力。

教學(xué)重點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.“數(shù)形結(jié)合、以直代曲”的思想方法。

教學(xué)難點(diǎn)：1.發(fā)現(xiàn)和理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決實(shí)際問(wèn)題。

為充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，我再?gòu)慕谭ㄉ戏治鲆幌拢?/p>

三、教法分析

1.學(xué)情分析：從知識(shí)上看，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)習(xí)近平均變化率，特別是導(dǎo)數(shù)的瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)的概念，對(duì)導(dǎo)數(shù)概念有一定的理解與認(rèn)識(shí)，也在思考導(dǎo)數(shù)的另外一種體現(xiàn)形式——形，學(xué)生對(duì)曲線的切線有一定的認(rèn)識(shí)，特別是對(duì)拋物線的切線的概念在學(xué)習(xí)圓錐曲線與直線關(guān)系時(shí)有很深的了解與認(rèn)識(shí)。從學(xué)生能力上看，經(jīng)過(guò)一年多的學(xué)習(xí)實(shí)踐，學(xué)生掌握了一定的探究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，具有一定的想象能力和研究問(wèn)題的能力。

2.教法分析： “教必有法而教無(wú)定法”只有方法得當(dāng)才會(huì)有效。

根據(jù)新課標(biāo)的“自主——合作——探究”的教學(xué)要求，我將采用開(kāi)放式探究、啟發(fā)式引導(dǎo)、小組合作討論、反饋式評(píng)價(jià)等教學(xué)方法。采用“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)模式，增強(qiáng)課堂的時(shí)效性。3.教學(xué)手段：由于本節(jié)課幾何特點(diǎn)強(qiáng)，我采用多媒體輔助教學(xué)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

四、學(xué)法指導(dǎo) “授人以魚(yú)，不如授人以漁”最有價(jià)值的知識(shí)是關(guān)于方法的知識(shí)，學(xué)生作為教學(xué)活動(dòng)的主體。在學(xué)習(xí)過(guò)程中的參與度是影響教學(xué)效果最重要的因素。在學(xué)法上我主要采用：自主探究、觀察發(fā)現(xiàn)、合作交流、歸納總結(jié)的學(xué)習(xí)方法。

五、教學(xué)過(guò)程

為了打造和諧高效課堂，這節(jié)課采用了我校推行的五環(huán)節(jié)教學(xué)法 如圖所示，為本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) 第一個(gè)環(huán)節(jié)，創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課。

首先，通過(guò)3個(gè)問(wèn)題作為引入和切入點(diǎn)。問(wèn)題是數(shù)學(xué)的靈魂，提出問(wèn)題，解決問(wèn)題，能夠激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)探究。設(shè)計(jì)意圖是：通過(guò)類(lèi)比，構(gòu)建認(rèn)知沖突。接著提問(wèn)學(xué)生，復(fù)習(xí)回顧，求f'?x0?的步驟。這是從“數(shù)”的角度描述導(dǎo)數(shù)，為探求導(dǎo)數(shù)的幾何意義做好準(zhǔn)備。要研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念，探究△x?0時(shí)圖像的變化情況。所以第二個(gè)環(huán)節(jié)是組織學(xué)生帶著需要探究的問(wèn)題，小組探究，合作交流。觀察下面的動(dòng)畫(huà)，通過(guò)flash生動(dòng)形象的展示使學(xué)生感受到由割線到切線的變化過(guò)程，消除學(xué)生對(duì)極限的神秘感。通過(guò)小組合作討論，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生回答探究1.平均變化率表示割線的斜率。探究2讓學(xué)生分別從“數(shù)”和“形”的角度描述△x?0的變化過(guò)程，引導(dǎo)出一般曲線的切線定義。同時(shí)給出探究3引入問(wèn)題的合理解釋。強(qiáng)化切線的真實(shí)直觀本質(zhì)。探究4從上述過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生概括出 f'?x0?的幾何意義，即切線PT的斜率。借助多媒體教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，使問(wèn)題變得直觀，易于突破難點(diǎn)，突出重點(diǎn)。學(xué)生在探究過(guò)程中，可以體會(huì)逼近的思想方法，能夠同時(shí)從數(shù)與形兩個(gè)角度強(qiáng)化學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。

在小組合作討論之后，進(jìn)入第三個(gè)環(huán)節(jié)，以學(xué)習(xí)小組為單位展示探究成果。通過(guò)板演問(wèn)答，給出切線的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義。師生合作共同對(duì)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行理解、分析、闡述。適時(shí)引導(dǎo)、討論，即時(shí)評(píng)價(jià)。通過(guò)師生互動(dòng)，實(shí)現(xiàn)提出問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提升。同時(shí)介紹微積分中重要思想方法——以直代曲。

在前面的討論交流過(guò)程中，意識(shí)到學(xué)生對(duì)切線的概念還有一些模糊，為此我特地設(shè)計(jì)了下面的思考題，討論y=x在x0=0處的切線是否存在。從形的角度，發(fā)現(xiàn)它的位置。轉(zhuǎn)而思考，從數(shù)的角度，如何求解這條切線方程，需要哪些條件?引出了幾何意義中最常見(jiàn)的題型，求切線方程，恰到好處的實(shí)現(xiàn)由形到數(shù)的自然過(guò)渡。進(jìn)入第四環(huán)節(jié) 通過(guò)例1.發(fā)現(xiàn)求切線方程的條件是切線的斜率和一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生自主歸納總結(jié)解題步驟。通過(guò)例2讓學(xué)生動(dòng)手練習(xí)，鞏固做題步驟，突出導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用這一難點(diǎn)。關(guān)于求切線方程問(wèn)題有一個(gè)常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)——“曲線在P點(diǎn)處的切線”與“曲線過(guò)點(diǎn)P處的切線”的區(qū)別，為了解決這個(gè)問(wèn)題，要求學(xué)生合作交流，積極探索，結(jié)合課件的動(dòng)畫(huà)展示，共同發(fā)現(xiàn)，找出本質(zhì)區(qū)別。

在P點(diǎn)處的切線，P一定是切點(diǎn)，直接由例1總結(jié)方法求解。

過(guò)P點(diǎn)的切線，分點(diǎn)P在曲線上和點(diǎn)P不在曲線上。點(diǎn)P不在曲線上，就一定不是切點(diǎn)。點(diǎn)P在曲線上，也未必就是切點(diǎn)。因此解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是設(shè)出切點(diǎn)。利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于點(diǎn)P與切點(diǎn)共同確定的切線斜率。來(lái)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到切線方程。進(jìn)一步突出了導(dǎo)數(shù)的幾何意義這一重點(diǎn)。

通過(guò)例3對(duì)探究成果，實(shí)戰(zhàn)演練，并引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線方程的分析思路，輕松解決易錯(cuò)點(diǎn)，強(qiáng)化這節(jié)課的重點(diǎn)。

為了掌握和鞏固知識(shí)的多樣化、多元化，提高學(xué)生的解題能力和應(yīng)變技巧，最后一環(huán)節(jié)（第五環(huán)節(jié)）設(shè)計(jì)了4道反饋練習(xí)。當(dāng)堂完成，即時(shí)點(diǎn)評(píng)糾錯(cuò)，使教學(xué)更有針對(duì)性，同時(shí)提高了教學(xué)效率。

借著高漲的學(xué)習(xí)氣氛，對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)反思。采取一名同學(xué)總結(jié)，其他同學(xué)補(bǔ)充，教師完善的方式進(jìn)行。最后布置作業(yè)，專(zhuān)題專(zhuān)練。以下是我的板書(shū)設(shè)計(jì)和教學(xué)評(píng)價(jià)

六、評(píng)價(jià)與感悟

本節(jié)課我設(shè)計(jì)為一節(jié)“科學(xué)探究——合作學(xué)習(xí)”的活動(dòng)課，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生以研究者的身份學(xué)習(xí)，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，通過(guò)自身的體驗(yàn)，對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)從模糊到清晰，從直觀感悟到精確掌握。

力求使學(xué)生體會(huì)微積分的基本思想，感受近似與精確的統(tǒng)一，運(yùn)動(dòng)與靜止的統(tǒng)一，感受量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化。教師在這個(gè)過(guò)程中始終扮演學(xué)生學(xué)習(xí)的協(xié)助者和指導(dǎo)者。學(xué)生通過(guò)自身的情感體驗(yàn)，能夠很快的形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力。

我的說(shuō)課到此結(jié)束，懇請(qǐng)各位評(píng)委老師批評(píng)指正。謝謝！

第四篇：導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

七、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

例15（1）求曲線y= x11+ 在點(diǎn)(1,21)處的切線方程

（2）已知曲線（t為參數(shù)），求曲線在t=1處的法線方程。

....= += tarctanty)t1ln(x2

解（1）2)x1(1x11y+.= ′......+ =′，41)x1(1y1x21x.= +.=′ = =，即k= － 41，所以過(guò)（1，21）點(diǎn)的切線方程為：y-21= －

41(x-1)，即 x+4y-3=0

（2）2t])t1[ln()tarctant(dxdy2= ′+ ′.=，21dxdy1t= = ；即k法=-2，又t=1時(shí)，.....π.= = 41y0x ；

所以過(guò)切點(diǎn)(0,1-4π)的切線方程為：y-1+ 4π=-2(x-0)

即 2x+y+ 4π-1=0

第五篇：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和它的幾何意義

2.8 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和它的幾何意義

8-A 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

前一節(jié)中描述的例子給出了引進(jìn)導(dǎo)數(shù)概念的方法。我們從至少定義在x-軸上的某個(gè)開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)的函數(shù)f(x)開(kāi)始，然后我們?cè)谶@個(gè)區(qū)間內(nèi)選擇一點(diǎn)x，引進(jìn)差商

(8.1)f(x?h)?f(x)，h這里，數(shù)h(可以是正的或者負(fù)的但不能是0）要使得x+h還在（a, b）內(nèi)。這個(gè)商的分子測(cè)量了當(dāng)x從x變到x+h時(shí)函數(shù)的變化。稱(chēng)這個(gè)商為f在連接x與x+h的區(qū)間內(nèi)的平均變化率。

現(xiàn)在讓h→0，看看這個(gè)商會(huì)發(fā)生什么。如果商趨于某個(gè)確定的值作為極限（這就推得無(wú)論h是從正的方向還是負(fù)的方向趨于0，這個(gè)極限是一樣的），成這個(gè)極限為f在x點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為f /(x)（讀作“f一撇x”）。因此，f /(x)的正規(guī)定義可以陳述如下：

導(dǎo)數(shù)定義。如果

(8.2)f?(x)?limh?0f(x?h)?f(x)，h存在極限，導(dǎo)數(shù)f /(x)由等式（8.2）定義。數(shù)f /(x)也稱(chēng)為f在x點(diǎn)的變化率。

對(duì)比（8.2）與前一節(jié)的（7.3），我們看到瞬時(shí)速度僅僅是導(dǎo)數(shù)概念的一個(gè)例子。速度v(t)等于f /(t)，這里f是位移函數(shù)，這就是常常被描述為速度是位移關(guān)于時(shí)間的變化率。在7.2節(jié)算出的例子中，位移函數(shù)由等式f(t)=144t-32t2表示，而它的導(dǎo)數(shù)f / 是由 f /(t)=144-32t給出的新的函數(shù)（速度）。

一般地，從f(x)產(chǎn)生f /(x)的極限過(guò)程給我們從一個(gè)給定函數(shù)f獲得一個(gè)新函數(shù)f / 的方法。這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為微分法，f / 稱(chēng)為f的一階導(dǎo)數(shù)。依次地，如果f / 定義在開(kāi)區(qū)間上，我們可以設(shè)法求出它的一階導(dǎo)數(shù)，記為f // 并稱(chēng)其為f的二階導(dǎo)數(shù)。類(lèi)似地，由f(n-1)定義的一階導(dǎo)數(shù)是f的n階導(dǎo)數(shù)記為f(n)，我們規(guī)定f(0)= f，即零階導(dǎo)數(shù)是函數(shù)本身。

對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)，速度的一階導(dǎo)數(shù)（位移的二階導(dǎo)數(shù)）稱(chēng)為加速度。例如，要計(jì)算7.2節(jié)中的例子的加速度，我們可以用等式（7.2）形成差商

v(t?h)?v(t)?144?32(t?h)???144?32t????32.hh因?yàn)檫@個(gè)差商對(duì)每一個(gè)h≠0都是常數(shù)值-32，因此當(dāng)h→0時(shí)它的極限也是-32.于是在這個(gè)問(wèn)題中，加速度是常數(shù)且等于-32.這個(gè)結(jié)論告訴我們速度是以每秒32尺/秒的速率遞減的。9秒內(nèi)，速度總共減少了9·32=288尺/秒。這與運(yùn)動(dòng)9秒期間，速度從v(0)=144變到v(9)=-144是一致的。

8-B 導(dǎo)數(shù)作為斜率的幾何意義

通常定義導(dǎo)數(shù)的過(guò)程給出了一個(gè)幾何意義，就是以自然的方式導(dǎo)出關(guān)于曲線的切線的思想。圖2-8-1是一個(gè)函數(shù)的部分圖像。兩個(gè)坐標(biāo)(x,f(x))和(x+h,f(x+h))分別表示P, Q兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，考慮斜邊為PQ的直角三角形，它的高度：f(x+h)-f(x)，表示P, Q兩個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的差，因此差商

(8.4)f(x?h)?f(x)

h表示PQ與水平線的夾角α的正切，實(shí)數(shù)tanα稱(chēng)為通過(guò)P, Q兩點(diǎn)直線的斜率，而它提供了一種測(cè)量這條直線“陡度”的方法。例如，如果f是線性函數(shù)，記為f=mx+b，則（8.4）的差商是m, 所以m是這條直線的斜率。圖2-8-2表示的是一些各種斜率的直線的例子。對(duì)于水平線而言，α=0，因而tanα也是0.如果α位于0與π/2之間, 直線是從左到右上升的，斜率是正的。如果α位于π/2與π之間，直線是從左到右下降的，斜率是負(fù)的。對(duì)于α=π/4的直線，斜率是1.當(dāng)α從0增加到π/2時(shí)，tanα遞增且無(wú)界，斜率為tanα相應(yīng)的直線趨于垂直的位置，因?yàn)閠anπ/2沒(méi)有定義，所以我們說(shuō)垂直的直線沒(méi)有斜率。

假設(shè)f在x點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)，這就意味著，當(dāng)h→0時(shí)，P點(diǎn)保持不動(dòng)，Q沿曲線向P移動(dòng)，通過(guò)P, Q兩點(diǎn)直線不斷改變方向，結(jié)果其斜率趨于極限f /(x)?；谶@個(gè)原因，將曲線在點(diǎn)P的斜率定義為數(shù)f /(x)似乎是自然的。通過(guò)P點(diǎn)具有這個(gè)斜率的直線稱(chēng)為過(guò)點(diǎn)P的切線。