第一篇：數(shù)學(xué)建模：模型的評價(jià)和推廣

模型的評價(jià)和推廣

7.1 模型的評價(jià) 7.1.1模型的優(yōu)點(diǎn)：

（1）在數(shù)據(jù)處理方面，我們詳細(xì)分析了視頻數(shù)據(jù)，引用了標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)（PCU），引用了通流量，規(guī)范了數(shù)據(jù)的格式和可用性，為下一步解題提供了簡潔的數(shù)據(jù)資料。（2）在視頻數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方面，我們實(shí)行分階段定點(diǎn)查數(shù)，在每隔30秒的時(shí)間內(nèi)取值，符合上游路口信號(hào)配時(shí)，并滿足了第一相位、第二相位的地理性。

（3）模型在圖像處理和顯示上，我們采用SPSS和MATLAB雙重作圖，擬合數(shù)據(jù)的變化趨勢及正態(tài)Q-Q圖，使問題結(jié)果更加清晰、條理和直觀。

（4）從數(shù)據(jù)中篩選出發(fā)生堵車時(shí)的合理數(shù)據(jù)，融合排隊(duì)論模型的核心思想，給出科學(xué)直觀的顯示結(jié)果。

（5）在模型建立上，提取了排隊(duì)論模型和交通波模型的理論架構(gòu)，同時(shí)簡化了無用的模型公式，盡量貼近數(shù)學(xué)建?！坝米詈唵蔚姆椒ń鉀Q最難問題“的思想。7.1.2 模型的缺點(diǎn)

（1）在視頻數(shù)據(jù)采樣上，采用的是人工讀取，雖然大大提高了靈活性，但也容易使數(shù)據(jù)出現(xiàn)人為的偏差和不精確；視頻中從小區(qū)從進(jìn)入到道路上的車輛并沒有進(jìn)行確切的統(tǒng)計(jì)。

（2）在問題一中，只采用了一種分析方法，結(jié)果比較單一，沒有系統(tǒng)和全面地分析橫斷面通行能力的變化過程。

（3）問題三的所建立的關(guān)系模型中沒有明確體現(xiàn)橫斷面實(shí)際通行能力，這也就使我們的關(guān)系模型不能準(zhǔn)確地反應(yīng)變量之間的關(guān)系。

（4）在統(tǒng)計(jì)完全堵車時(shí)的汽車數(shù)量時(shí)沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，只是單純地用主觀認(rèn)識(shí)確定完全交通擁堵。7.2 模型的推廣

依據(jù)題目中提供的視頻數(shù)據(jù)和附錄，建立了車禍橫截面通行能力的通行量模型，并利用排隊(duì)法的相關(guān)知識(shí)，確定了車輛排隊(duì)長度、事故排隊(duì)時(shí)間、路段上游車流量的函數(shù)關(guān)系，對城市中交通事故的處理方面有一定的參考價(jià)值。

模型中分析問題、解決問題的一些獨(dú)到方法，排隊(duì)法數(shù)據(jù)取樣的總體思想，對其他數(shù)學(xué)問題及一般模型仍可使用。

另外，針對路邊停車、占道施工等因素導(dǎo)致車道或道路橫斷面通行能力在單位時(shí)間內(nèi)降低的現(xiàn)象，我們的方法對于交通管理部門可以作為分析解決問題的一種參考。

第二篇：數(shù)學(xué)建模 模型優(yōu)缺點(diǎn)評價(jià)

模型評價(jià)：

模型優(yōu)點(diǎn)：

建立的模型方法簡單易行，且易中應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活。模型缺點(diǎn)：

考慮的影響因素較少，在處理問題時(shí)可能存在一些誤差。僅使用一個(gè)月的數(shù)據(jù)具有一定的局限性，另外對外傷患者都按急癥處理，考慮的情況比較簡單。

模型評價(jià)：

優(yōu)點(diǎn)：

1）模型具有堅(jiān)實(shí)可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。很多數(shù)學(xué)理論已經(jīng)證明這是設(shè)計(jì)中繼站分布的最好的方法； 模型易于實(shí)現(xiàn)；

模型使中繼站發(fā)揮最大的效能。2）3）不足：

1）我們的模型只適用于人口均勻分布的情形；

2）我們僅考慮中繼站信號(hào)的服務(wù)范圍能夠根據(jù)我們的需要進(jìn)行調(diào)整的情形。

.模型評價(jià)

模型一能比較準(zhǔn)確的計(jì)算大區(qū)域環(huán)境下的中繼站最少數(shù)量，且模型思想簡單，通俗易懂，形式簡潔能被大多數(shù)人所理解。

模型在中繼站覆蓋半徑大于區(qū)域半徑的0.2倍時(shí)出現(xiàn)與模擬值差6誤差是其最不如人意的，也是其最大的缺點(diǎn)。其出現(xiàn)的原因是當(dāng)初步判斷正六邊形的圈數(shù)n時(shí)，當(dāng)?shù)趎層形成的正六邊形的頂點(diǎn)完全包含在圓形區(qū)域內(nèi)的情況下所造成的?？梢?，在其中增加一條選擇約束

2n?1r222(3r)?()?R 22

當(dāng)其成立時(shí)在計(jì)算結(jié)果上加6，就可以解決差6誤差。

模型二根據(jù)日常實(shí)際在通信當(dāng)中的隨機(jī)性，以及在圓的直徑在各同心圓交點(diǎn)的密度與其半徑成反比的事實(shí)。假設(shè)中繼站的密度也與其到中心的距離成反比。又由需要建立的網(wǎng)絡(luò)層數(shù)N和中繼站的覆蓋正六邊形的面積A，該密度為N/A。在人口分不未知的情況下采取這種近似。其中的隨意性比較大，且沒有數(shù)學(xué)依據(jù)是該模型的致命缺點(diǎn)。

第三篇：數(shù)學(xué)建模_傳染病模型

傳染病模

摘要: 本次實(shí)驗(yàn)是讓同學(xué)們進(jìn)一步了解、鞏固、加強(qiáng)微分方程模型的建模、求解能力；學(xué)習(xí)掌握用MATLAB進(jìn)行二維和三維基本圖形繪制。因?yàn)镸ATLAB具有很強(qiáng)的圖形處理功能和豐富的圖形表現(xiàn)方法。它提供了大量的二維、三維圖形函數(shù)，使得數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果可以方便地、多樣性地實(shí)現(xiàn)可視化，這是其它語言所不能比擬的。MATLAB不僅能繪制幾乎所有的標(biāo)準(zhǔn)圖形，而且其表現(xiàn)形式也是豐富多樣的。MATLAB不僅具有高層繪圖能力，而且還具有底層繪圖能力——句柄繪圖方法。在面向?qū)ο蟮膱D形設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上，使得用戶可以用來開發(fā)各專業(yè)的專用圖形。help graph2d可得到所有畫二維、三維圖形的命令。

描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻，預(yù)防傳染病蔓延的手段，按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型。

數(shù)學(xué)建模

問題重述

問題: 有一種傳染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行?，F(xiàn)在希望建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，利用已經(jīng)掌握的一些數(shù)據(jù)資料對該傳染病進(jìn)行有效地研究，以期對其傳播蔓延進(jìn)行必要的控制，減少人民生命財(cái)產(chǎn)的損失?？紤]如下的幾個(gè)問題，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，并進(jìn)行一定的比較分析和評價(jià)展望。

1、不考慮環(huán)境的限制，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長率是常數(shù)，建立模型求t時(shí)刻的感染人數(shù)。

2、假設(shè)環(huán)境條件下所允許的最大可感染人數(shù)為。單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長率是感染人數(shù)的線性函數(shù)，最大感染時(shí)的增長率為零。建立模型求t時(shí)刻的感染人數(shù)。

3、現(xiàn)有衛(wèi)生防疫部門采集到的某地區(qū)一定時(shí)間內(nèi)一定間隔區(qū)間的感染人數(shù)數(shù)據(jù)（見下表），利用該數(shù)據(jù)確定上述兩個(gè)模型中的相關(guān)參數(shù)，并將它們的預(yù)測值與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析（計(jì)算仿真偏差）并對兩個(gè)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u價(jià)。（注：該問題中，設(shè)最大可感染人數(shù)為2000人）

4、假設(shè)總?cè)丝诳煞譃閭魅静』颊吆鸵赘腥菊?，易感染者因與患病者接觸而得病，而患病者會(huì)因治愈而減少且對該傳染病具有很強(qiáng)的免疫功能，建立模型分析t時(shí)刻患病者與易感染者的關(guān)系，并對傳染情況（如流行趨勢，是否最終消滅）進(jìn)行預(yù)測。

問題分析

1、這是一個(gè)涉及傳染病傳播情況的實(shí)際問題，其中涉及傳染病感染人數(shù)隨時(shí)間的變化情況及一些初始資料，可通過建立相應(yīng)的微分方程模型加以解決。

2、問題表述中已給出了各子問題的一些相應(yīng)的假設(shè)。

3、在實(shí)際中，感染人數(shù)是離散變量，不具有連續(xù)可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短時(shí)間內(nèi)改變的是少數(shù)人口，這種變化與整體人口相比是微小的。因此，為了利用數(shù)學(xué)工具建立微分方程模型，我們還需要一個(gè)基本假設(shè)：感染人數(shù)是時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)。

關(guān)鍵字: 社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等因素

：傳染病模型

模型1 在這個(gè)最簡單的模型中，設(shè)時(shí)刻t的病人人數(shù)x(t)是連續(xù)、可微函數(shù)，并且每天每個(gè)病人有效的人數(shù)為常數(shù)增加，就有x(t??t)?x(t)??x(t)?t

再設(shè)t?0時(shí)有x0有個(gè)病人，即得微分方dxdt??x,x(0)?x0(1)接觸(足使人致病)?考察t到t??t病人人數(shù)的

程

方程（1）的解為

x(t)?x0e?t(2)

結(jié)果表明，隨著t的增加，病人人數(shù)x(t)無限增長，這顯然是不符合實(shí)際的。

建模失敗的原因在于：在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在改進(jìn)的模型中必須區(qū)別這兩種人。

模型2 SI模型

假設(shè)條件為

1.在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類（取兩個(gè)詞的第一個(gè)字母，稱之為SI模型），以下簡稱健康者和病人。時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記作s(t)和i(t)。

2.每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?/p>

根據(jù)假設(shè)，每個(gè)病人每變?yōu)椴∪?，因?yàn)椴∪藬?shù)天可使?s(t)個(gè)健康者為Ni(t)，所以每天共有?Ns(t)i(t)個(gè)健康者被感染，于是病人數(shù)Ni的增加率，即有Ndidt??Nsi(3)?Nsi就是

s(t)?i(t)?1i0，則didt??i(1?i),i(0)?i0(5)

(4)再記初始時(shí)刻(t?0)病人的比例為方程（5）是Logistic模型。它的解為

1?1???t?e1???1?i??0?(6)i(t)~t和didt~i的圖形如圖1和圖2所示。

數(shù)學(xué)建模

由(5),(6)式及圖1可知，第一，當(dāng)?di?達(dá)最大值??，這個(gè)時(shí)刻為?dt?mi?1/2時(shí)didt到

?1??tm??ln??1???i0??1(7)

這時(shí)病人增加的最快，可以認(rèn)為是醫(yī)院的門診量最大的一天，預(yù)示著傳染病高潮的到來，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關(guān)注的時(shí)刻

tm與?成反比，因?yàn)槿战佑|率保健設(shè)施、提高衛(wèi)生水潮的到來。第二，當(dāng)人終將被傳染，全變?yōu)閷?shí)際情況。殊莫a?表示該地區(qū)的以改善衛(wèi)生水平，?越小衛(wèi)生水平越高。所平可以推遲傳染病高t??時(shí)i?1,即所有病人，這顯然不符合

其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會(huì)再變成健康者。

模型3 SIR模型

大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以病愈的人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)。這種情況比較復(fù)雜，下面將詳細(xì)分析建模過程。

模型假設(shè)

1.總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三類，稱SIR模型。三類人在總數(shù)N中占的比例分別記作s(t),i(t)和r(t)。病人的日接觸率為?，日治愈率為?（與SI模型相同），傳染期接觸為 ?=?/?。

模型構(gòu)成

：傳染病模型

由假設(shè)1顯然有

s(t)+i(t)+r(t)=1(12)根據(jù)條件2方程（8）仍然成立。對于病愈免疫的移出者而言有

Ndrdt??Ni(13)

再記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是s0(s0?0)和i0(i0?0)(不妨設(shè)移出者的初始值r0?0)，則由(8),(12),(13)式，SIR模型的方程可以寫作?di??si??i,??dt??ds???si,??dti(0)?i0(14)

s(0)?s0

方程（14）無法求出s(t)和i(t)的解析解，我們先作數(shù)值計(jì)算。

模型 4 SIR模型

SIR模型是指易感染者被傳染后變?yōu)楦腥咀?，感病者可以被治愈，并?huì)產(chǎn)生免疫力，變?yōu)橐瞥?。人員流動(dòng)圖為：S-I-R。

大多數(shù)傳染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以冰域的人即非易感者，也非感病者，因此他們將被移除傳染系統(tǒng)，我們稱之為移除者，記為R類

假設(shè)： 總?cè)藬?shù)為常數(shù)，且i（t）+s（t）+r（t）=n； 單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（傳染強(qiáng)度）。單位時(shí)間內(nèi)病愈免疫的人數(shù)與但是的病人人數(shù)成正比，比例系數(shù)l。稱為恢復(fù)系數(shù)。

可得方程：

?di?ksi?li,??dt

??ds??ksi,??dti(0)?i0?0s(0)?s0?0初值r(0)?r0?0

模型分析：

由以上方程組的：dids=p/s-1 p=l/k, 所以i=pln

s0-s+n.容易看出當(dāng)

t無限大時(shí)

i(t)=0;而當(dāng)s0?p時(shí)，i(t)單調(diào)下將趨于零；上批示，i(t)先單調(diào)上升的最高峰，然后再單調(diào)下降趨于零。所以這里仍然出現(xiàn)了門檻現(xiàn)象：p是一個(gè)門檻。從p的意義可知，應(yīng)該降低傳染率，提高回復(fù)率，即提高衛(wèi)生醫(yī)療水平。

令t→∞可得： s0―s?=2*s0(s0―p)/p 所以：δ??p s0=p+δ，當(dāng)時(shí)，s≈2δ，這也就解釋了本文開頭的問題，即統(tǒng)一地區(qū)

數(shù)學(xué)建模

一種傳染病每次流行時(shí)，被傳染的人數(shù)大致不變。

模型的應(yīng)用與推廣：

根據(jù)傳染病的模型建立研究進(jìn)而推廣產(chǎn)生了傳染病動(dòng)力學(xué)模型。傳染病動(dòng)力學(xué)[1]是對進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法,是根據(jù)種群生長的特性,疾病的發(fā)生及在種群內(nèi)的傳播,發(fā)展規(guī)律,以及與之有關(guān)的社會(huì)等因素,建立能反映傳染病動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型,通過對模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的定性,定量分析和數(shù)值模擬,來分析疾病的發(fā)展過程,揭示流行規(guī)律,預(yù)測變化趨勢,分析疾病流行的原因和關(guān)鍵。對于2003年發(fā)生的SARS疫情,國內(nèi)外學(xué)者建立了大量的動(dòng)力學(xué)模型研究其傳播規(guī)律和趨勢,研究各種隔離預(yù)防措施的強(qiáng)度對控制流行的作用,為決策部門提供參考.有關(guān)SARS傳播動(dòng)力學(xué)研究多數(shù)采用的是SIR或SEIR模型.評價(jià)措施效果或擬合實(shí)際流行數(shù)據(jù)時(shí),往往通過改變接觸率和感染效率兩個(gè)參數(shù)的值來實(shí)現(xiàn).石耀霖[2]建了SARS傳播的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,以越南的數(shù)據(jù)為參考,進(jìn)行了Monte Carlo實(shí)驗(yàn),初步結(jié)果表明,感染率及其隨時(shí)間的變化是影響SARS傳播的最重要因素.蔡全才[3]建立了可定量評價(jià)SARS干預(yù)措施效果的傳播動(dòng)力學(xué)模型,并對北京的數(shù)據(jù)進(jìn)行了較好的擬合.參考文獻(xiàn)：

[1]姜啟源 編輔導(dǎo) 課程

（九）主講教師 : 鄧 磊

[2]西北工業(yè)大學(xué)（數(shù)學(xué)建模）精品課程

[3]耀霖.SARS傳染擴(kuò)散的動(dòng)力學(xué)隨機(jī)模型[J].科學(xué)通報(bào),2003,48(13)1373-1377

第四篇：數(shù)學(xué)建模萬能9模型優(yōu)缺點(diǎn)評價(jià)

八、模型評價(jià)

優(yōu)點(diǎn)：

1、本文在正確、清楚地分析了題意地基礎(chǔ)上，建立了合理、科學(xué)的可變成本計(jì)算模型，為求最大利潤準(zhǔn)備了條件。

2、在假設(shè)基礎(chǔ)上建立了計(jì)算折舊費(fèi)用的模型，巧妙地解決了實(shí)房、期房數(shù)目不確定的問題。

3、建立了以最大利潤為目標(biāo)的單目標(biāo)規(guī)劃函數(shù)，選用MATLAB編程，具有一定的實(shí)際價(jià)值。

4、運(yùn)用了正確的數(shù)據(jù)處理方法，很好的解決了小數(shù)取整問題。

缺點(diǎn)：

1、在編程中，沒有加入Ni、tji?N*的約束條件，導(dǎo)致了最終的運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn)小數(shù)。最后，我們采用人工方法進(jìn)行了較好的彌補(bǔ)。

2、公司預(yù)計(jì)的銷售量與實(shí)際的銷售量肯定會(huì)有出入。但在模型計(jì)算中，我們?nèi)×祟A(yù)計(jì)值作為近似值來計(jì)算，這與實(shí)際值必會(huì)有些出入。

3、在假設(shè)中我們作出了“顧客完全服從公司分配”的假設(shè)，這與實(shí)際情況不完全相符。

4、在確定固定成本G和銷售費(fèi)用X時(shí)，我們只是從網(wǎng)上查閱的資料中得到1500元/平方米和0.1的粗略值，這與實(shí)際情況有出入。但這只會(huì)對凈利潤L的值產(chǎn)生影響，而不會(huì)影響建造計(jì)劃。

5、模型建立過程中引入的變量過多，容易引起“維數(shù)災(zāi)”，且不利于編程處理。

十、模型優(yōu)缺點(diǎn)評價(jià)

優(yōu)點(diǎn)

1、原創(chuàng)性很強(qiáng)，文章中的大部分模型都是自行推導(dǎo)建立的；

2、建立的規(guī)劃模型能與實(shí)際緊密聯(lián)系，結(jié)合實(shí)際情況對問題進(jìn)行求解，使得模型具有很好的通用性和推廣性；

3、模型的計(jì)算采用專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件，可信度較高；

4、對附件中的眾多表格進(jìn)行了處理，找出了許多變量之間的潛在關(guān)系；

5、對模型中涉及到的眾多影響因素進(jìn)行了量化分析，使得論文有說服力。

缺點(diǎn)

1、規(guī)劃模型的約束條件有點(diǎn)簡單；

2、顧客滿意度調(diào)查的權(quán)重系數(shù)人為確定缺少理論依據(jù)；

3、沒有很好地把握論文的重心，讓人感覺論文有點(diǎn)散。

第五篇：數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模之雨中行走問題模型

數(shù)學(xué)建模

雨

中

行

走

模 型

系別：

班級(jí)：

姓名：

學(xué)號(hào)：

正文：

數(shù)學(xué)建模之雨中行走問題模型

摘要：

考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。若雨是迎著你前進(jìn)的方向向你落下，這時(shí)的策略很簡單，應(yīng)以最大的速度向前跑；

若雨是從你的背后落下，你應(yīng)控制你在雨中的行走速度，讓它剛好等于落雨速度的水平分量。① 當(dāng)v?rsin?時(shí),淋在背上的雨量為

.?pwD?rhsin??vh?v,雨水總量C?pwD?drcos??h?rsin??v??v② 當(dāng)v?rsin?時(shí),此時(shí)C2?0.雨水總量CpwDdrvcos?,如??300,C?0.24升

這表明人體僅僅被頭頂部位的雨水淋濕.實(shí)際上這意味著人體剛好跟著雨滴向前走,身體前后將不被淋雨.③ 當(dāng)v?rsin?時(shí),即人體行走的快于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度rsin?.此時(shí)將不斷地趕上

?pwDh?v?rsin?雨滴.雨水將淋胸前（身后沒有）,胸前淋雨量C2關(guān)鍵詞：

?v

淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，行走的速度

1.問題的重述

人們外出行走,途中遇雨,未帶雨傘勢必淋雨,自然就會(huì)想到,走多快才會(huì)少淋雨呢？一個(gè)簡單的情形是只考慮人在雨中沿直線從一處向另一處進(jìn)行時(shí),雨的速度（大小和方向）已知,問行人走的速度多大才能使淋雨量最少？

2.問題的分析.由于沒帶傘而淋雨的情況時(shí)時(shí)都有，這時(shí)候大多人都選擇跑，一個(gè)似乎很簡單的事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時(shí)間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。，一、我們先不考慮雨的方向，設(shè)定雨淋遍全身，以 最大速度跑的話，估計(jì)總的淋雨量；

二、再考慮雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為?，如圖1，建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a,b,c,d,u,w,?之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少，計(jì)算?=0，?=90時(shí)的總淋雨量；

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三、再是雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為?，如圖2.，建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a , b , c, d , u , w , ? 之間的關(guān)系，問速度多大，總淋雨量最少；

四、以總淋雨量為縱軸，對

（三）作圖，并解釋結(jié)果的實(shí)際意義；

五、若雨線方向不在同一平面內(nèi)，模型會(huì)有什么變化；按照這五個(gè)步驟，我們可以進(jìn)行研究了。

3.模型的假設(shè)與符號(hào)說明

2.1模型的假設(shè)

1.設(shè)雨滴下落的速度為u（米/秒）,降水強(qiáng)度（單位時(shí)間平面上的降水厚度）為w（厘米/時(shí)）,且u,w為常量.2.設(shè)雨中行走的速度為v（米/秒）,（固定不變）.雨中行走的距離為d（米）.3.設(shè)降雨的角度（雨滴下落的反方向與人前進(jìn)的方向之間的夾角）為? 4.視人體為一個(gè)長方體,其身高為a（米）,身寬為b（米）,厚度為c（米）

3.2符號(hào)說明

a:代表人頸部以下的高度 b:人身體的寬度 c:人身體的厚度 d:起跑點(diǎn)到終點(diǎn)的距離 vm:跑步的最大速度

u:雨的速度

wv:降雨量 :跑步速度

:雨線方向與人體夾角 ?S:人的全身面積

t= d/vm:雨中行走的時(shí)間

4.模型的建立與求解

（1）不考慮雨的方向

首先討論最簡單的情形，即不考慮降雨角度的影響。雨將淋遍全身，淋雨的面積s=2ab+2ac+bc=2.2m，淋雨的時(shí)間t=d/vm=200s, 降雨量w=2cm/h=10?42/18(m/s), 所以總的淋雨量Q=stw?2.4L。

（2）雨從迎面吹來

雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的角度為。如圖1。建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，w，之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少。計(jì)算? =0，? =30時(shí)的總降雨量。

雨滴落下的速度為u=4m/s，降雨量w=2cm/h。因?yàn)榭紤]了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前部。分兩部分計(jì)算淋雨量.頂部的淋雨量Q1= bcdw cos ?/v；雨速水平分量usin ?，風(fēng)向與v相反。合速度usin ?+v，迎面單位時(shí)間、單位面積的淋雨量w（usin ?+v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin ?+v）/uv，所以總淋雨量

bdwcucos??a(usin??v)Q?Q1?Q2?? uvv=vm時(shí)Q最小。??0時(shí)，Q=1.2L；?=30，Q?1.6L。

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(3)考慮降雨方向的模型（雨從背面吹來）

雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為a，如圖2。建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，w，之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少。

計(jì)算 =30的總淋雨量。

雨滴落下的速度為u=4m/s，降雨量w=2cm/h，因?yàn)榭紤]了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和背部。分兩部分計(jì)算淋雨量。

頂部的淋雨量Q1=bcdw cos ?/v；雨速水平分量usin ?，風(fēng)向與v相反。合速度usina?v，迎面單位時(shí)間、單位面積的淋雨量w（usin ?-v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin ?-v）/uv，所以總淋雨量：

?bdwcucosa?(usina?v)bdwu(cosa?asina)?av???,v?usina??uvuvQ???bdw?cucosa?(v?usina)?bdw?u(cosa?asina)?av,v?usina?vuv?u若ccosa0m

?asina???即tana>c/a，則v=usina時(shí)Q最小，否則，v=v時(shí)Q最小，當(dāng)a?30，tana>0.2/1.5，v=2m/s，Q?0.24L最小，可與v=vm，Q?0.93L相比。

(4)以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對三作圖（考慮 a的影響），并解釋結(jié)果的實(shí)際意義

雨從背面吹來，只要 不太小，滿足tana>c/a（a=1.5m、c=0.2m時(shí)，> 即可），v=usina，Q 最小，此時(shí)人體背面不淋雨，只有頂部淋雨。

(5)若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會(huì)有什么變化

再用一個(gè)角度表示雨的方向，應(yīng)計(jì)算側(cè)面的淋雨量，問題本質(zhì)上沒有變化。

5.模型的評價(jià)

（1）在不考慮風(fēng)向情況下：

此時(shí)，你的前后左右和上方都將淋雨。人在行走中的淋雨量最大的大約為2.44升。結(jié)論表明:淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最?。?）在考慮風(fēng)向及雨量的情況下: 當(dāng)v=usinθ時(shí)，Q取到最小.表明：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時(shí)，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。

當(dāng)v﹥usinθ，你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的胸膛。

6.模型的結(jié)果分析

綜合上面的分析，我們得到的結(jié)論是：

1．如果雨是迎著你前進(jìn)的方向落下，這時(shí)的最優(yōu)行走策略是以盡可能大的速度向前跑。

2．如果雨是從你的背后落下，這時(shí)你應(yīng)該控制在雨中行的。走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。

根據(jù)一般常識(shí)，我們所得到的結(jié)果是合理的且與我們的日常生活經(jīng)驗(yàn)是一致的。運(yùn)用簡單的數(shù)學(xué)工具，我們對日常生活中司空見慣的問題給予了定量的分析。但同時(shí)必須指出的是，這里建立的簡單數(shù)學(xué)模型與雨中行走的實(shí)際過程尚有距離，因?yàn)樵诮?shù)學(xué)模型的過程中我們忽略了一些相對次要的因素。關(guān)于模型的檢驗(yàn)，請大家觀察、體會(huì)并驗(yàn)證。雨中行走問題的建模過程又一次使我們看到模型假設(shè)的重要性，模型的階段適應(yīng)性。

參考文獻(xiàn)

[1] 姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，2008.