第一篇：2013年數(shù)學建模A題

2013高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽題目（請先閱讀“全國大學生數(shù)學建模競賽論文格式規(guī)范”）

A題

車道被占用對城市道路通行能力的影響

車道被占用是指因交通事故、路邊停車、占道施工等因素，導致車道或道路橫斷面通行能力在單位時間內降低的現(xiàn)象。由于城市道路具有交通流密度大、連續(xù)性強等特點，一條車道被占用，也可能降低路段所有車道的通行能力，即使時間短，也可能引起車輛排隊，出現(xiàn)交通阻塞。如處理不當，甚至出現(xiàn)區(qū)域性擁堵。

車道被占用的情況種類繁多、復雜，正確估算車道被占用對城市道路通行能力的影響程度，將為交通管理部門正確引導車輛行駛、審批占道施工、設計道路渠化方案、設置路邊停車位和設置非港灣式公交車站等提供理論依據(jù)。

1、視頻1（附件1）和視頻2（附件2）中的兩個交通事故處于同一路段的同一橫斷面，且完全占用兩條車道。請研究以下問題：

根據(jù)視頻1（附件1），描述視頻中交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實際通行能力的變化過程。

1、先增后降

2、根據(jù)問題1所得結論，結合視頻2（附件2），分析說明同一橫斷面交通事故所占車道不同對該橫斷面實際通行能力影響的差異。

差異：事故持續(xù)時間、和問題三的一起結合來http://tieba.baidu.com/p/2593135966?pn=7

3、構建數(shù)學模型，分析視頻1（附件1）中交通事故所影響的路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間的關系。

排隊長度就以每一次的堵塞時到事故發(fā)生時的車輛數(shù)； 路段上游車流量：就以堵塞時上游流下的車輛數(shù)；

事故橫斷面通行能力就以堵塞時長時流走的車輛數(shù)的時間的關系 事故持續(xù)時間：每一小堵塞的時間之后；

4、假如視頻1（附件1）中的交通事故所處橫斷面距離上游路口變?yōu)?40米，路段下游方向需求不變，路段上游車流量為1500pcu/h,事故發(fā)生時車輛初始排隊長度為零，且事故持續(xù)不撤離。請估算，從事故發(fā)生開始，經過多長時間，車輛排隊長度將到達上游路口。附件1：視頻1 附件2：視頻2 附件3：視頻1中交通事故位置示意圖 附件4：上游路口交通組織方案圖 附件5：上游路口信號配時方案圖

注：只考慮四輪及以上機動車、電瓶車的交通流量，且換算成標準車當量數(shù)。附件3

視頻1中交通事故位置示意圖

附件4

附件5

上游路口信號配時方案

第二篇：2011數(shù)學建模A,B題

2011高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽題目

（請先閱讀“全國大學生數(shù)學建模競賽論文格式規(guī)范”）

A題

城市表層土壤重金屬污染分析

隨著城市經濟的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環(huán)境質量的影響日顯突出。對城市土壤地質環(huán)境異常的查證，以及如何應用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境質量評價，研究人類活動影響下城市地質環(huán)境的演變模式，日益成為人們關注的焦點。

按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，分別記為1類區(qū)、2類區(qū)、??、5類區(qū)，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動影響的程度不同。

現(xiàn)對某城市城區(qū)土壤地質環(huán)境進行調查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網格子區(qū)域，按照每平方公里1個采樣點對表層土（0~10 厘米深度）進行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業(yè)活動的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。

附件1列出了采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區(qū)等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。

現(xiàn)要求你們通過數(shù)學建模來完成以下任務：

(1)給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內不同區(qū)域重金屬的污染程度。

(2)通過數(shù)據(jù)分析，說明重金屬污染的主要原因。

(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優(yōu)缺點，為更好地研究城市地質環(huán)境的演變模式，還應收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？

B題

交巡警服務平臺的設置與調度

“有困難找警察”，是家喻戶曉的一句流行語。警察肩負著刑事執(zhí)法、治安管理、交通管理、服務群眾四大職能。為了更有效地貫徹實施這些職能，需要在市區(qū)的一些交通要道和重要部位設置交巡警服務平臺。每個交巡警服務平臺的職能和警力配備基本相同。由于警務資源是有限的，如何根據(jù)城市的實際情況與需求合理地設置交巡警服務平臺、分配各平臺的管轄范圍、調度警務資源是警務部門面臨的一個實際課題。

試就某市設置交巡警服務平臺的相關情況，建立數(shù)學模型分析研究下面的問題：

（1）附件1中的附圖1給出了該市中心城區(qū)A的交通網絡和現(xiàn)有的20個交巡警服務平臺的設置情況示意圖，相關的數(shù)據(jù)信息見附件2。請為各交巡警服務平臺分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內出現(xiàn)突發(fā)事件時，盡量能在3分鐘內有交巡警（警車的時速為60km/h）到達事發(fā)地。

對于重大突發(fā)事件，需要調度全區(qū)20個交巡警服務平臺的警力資源，對進出該區(qū)的13條交通要道實現(xiàn)快速全封鎖。實際中一個平臺的警力最多封鎖一個路口，請給出該區(qū)交巡警服務平臺警力合理的調度方案。

根據(jù)現(xiàn)有交巡警服務平臺的工作量不均衡和有些地方出警時間過長的實際情況，擬在該區(qū)內再增加2至5個平臺，請確定需要增加平臺的具體個數(shù)和位置。

（2）針對全市（主城六區(qū)A，B，C，D，E，F(xiàn)）的具體情況，按照設置交巡警服務平臺的原則和任務，分析研究該市現(xiàn)有交巡警服務平臺設置方案（參見附件）的合理性。如果有明顯不合理，請給出解決方案。

如果該市地點P（第32個節(jié)點）處發(fā)生了重大刑事案件，在案發(fā)3分鐘后接到報警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑。為了快速搜捕嫌疑犯，請給出調度全市交巡警服務平臺警力資源的最佳圍堵方案。

附件1：A區(qū)和全市六區(qū)交通網絡與平臺設置的示意圖。

附件2：全市六區(qū)交通網絡與平臺設置的相關數(shù)據(jù)表（共5個工作表）。

第三篇：2014數(shù)學建模A題

嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略

摘 要：

嫦娥三號衛(wèi)星采用的是軟著陸方式登陸月球，在衛(wèi)星高速飛行的情況下，我們要精確地在月球預定區(qū)域內實現(xiàn)軟著陸，需要對其運行軌道進行設計并制定相應控制策略。由于天體的運動均滿足開普勒三大定律以及總能量守恒定律，我們據(jù)此建立一系列的方程，最終求得衛(wèi)星在近月點處的速度大小Va?b/(a?c)*GM/a?1.6922km/s 求得衛(wèi)星在遠月點處的速度大小Vb?b/(a?c)*GM/a?1.6139km/s。其速度方向均為當前運動軌道的切方向。

嫦娥三號的軟著陸過程又分為6個階段，對每個階段都要進行一定的控制。通過對數(shù)值的分析，我們制定如下策略：在主減速階段，首先衛(wèi)星的發(fā)動機應全部用于水平方向的減速，豎直方向以自由落體狀態(tài)加速下降，直至豎直方向速度達到56.8505m/s，水平方向速度為4.9522m/s，耗費燃料90kg，衛(wèi)星下落高度約為14695m。之后發(fā)動機推力仍以最大輸出工作，其推力在豎直方向上瞬間產生約3752N的向上阻力，在水平方向上產生6494N的阻力，使得衛(wèi)星在主減速的后半階段在豎直方向開始勻速運動，水平方向繼續(xù)做減速運動水平速度最終降為0，直至衛(wèi)星降落到距月3000m高度處；在快速調整階段，姿態(tài)發(fā)動機調整衛(wèi)星的運動方向為豎直向下，主發(fā)動機繼續(xù)工作，發(fā)動機在水平方向上產生1097N推力，豎直方向上產生3752N推力，使得衛(wèi)星水平方向的速度降為0m/s，豎直方向繼續(xù)以57m/s的速度做勻速運動；在粗避障階段，衛(wèi)星對其正下方月面進行拍照獲得數(shù)字高程圖，利用matlab軟件對圖像進行灰度色差分析，進而初略確定了一個著陸點的像素點坐標(193，1169），過程中，姿態(tài)發(fā)動機根據(jù)圖像進行衛(wèi)星的位置調整，主發(fā)動機用于豎直方向上的減速工作，使得衛(wèi)星在距月100m處達到懸停狀態(tài)；精避障階段，進行更精細的月面拍攝，采用同粗避障段類似方法得到更精確的像素點坐標為(318，651),同時利用姿態(tài)發(fā)動機調整運動方向的同時主發(fā)動機工作對水平方向進行速度控制，使其在距月30m處水平速度為0m/s；緩慢下降階段，發(fā)動對衛(wèi)星豎直方向進行減速控制，使其在距月4m處合速度變?yōu)?m/s；在最后階段，關閉發(fā)動機，使其做自由落體運動，最終成功著陸。

關鍵詞：

軟著陸 開普勒定理 優(yōu)化控制 基于C語言編程

一、問題重述

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發(fā)射，12月6日抵達月球軌道。此次嫦娥三號采用的是軟著陸方法。

但嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預定區(qū)域內實現(xiàn)軟著陸，關鍵問題是對著陸軌道與控制策略的設計。其著陸軌道設計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段，并要求滿足每個階段在關鍵點所處的狀態(tài)，盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據(jù)題目給出的已知量建立合適的模型求解分析下列幾個問題：

（1）確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應速度的大小與方向。

（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略。

（3）對設計的著陸軌道和控制策略做相應的誤差分析和敏感性分析。

二、問題分析

本問題的一個關鍵點在于求解出嫦娥三號衛(wèi)星的繞月運行軌道。由于已知衛(wèi)星的運行軌跡為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道。

對于第一問的關鍵就是求解出該橢圓軌道與月球赤平面的夾角。由于已知落點的經緯度坐標和軟著陸過程中6個狀態(tài)的數(shù)值，我們就可以使用逆推法求解出著陸準備軌道近月點和遠月點的經緯度坐標位置。由于衛(wèi)星的運動滿足開普勒三大定律以及能量守恒定律，我們可以根據(jù)這幾大定律確定幾個等式聯(lián)立方程組從而求得嫦娥三號在近月點和遠月點的相應速度大小與方向。

對于第二問，要設計一種方案使得在軟著陸的過程中耗能最少，并達到預設的各項指標。我們需要不斷的去設計、計算、調整，在不斷的嘗試摸索中尋找出一個比較不錯的軟著陸方案。

三、模型假設及符號約定

3.1 模型假設（1）假設衛(wèi)星在主減速階段的運動軌跡為拋物線

（2）假設衛(wèi)星在3000m處基本就處于目標地點的豎直上方（3）假設月球為球體

（4）假設在近月點即將開始軟著陸狀態(tài)的前后速度基本不變

3.2 符號約定 符號

含義 G

引力常量

M

月球的質量

m(t)

t時刻衛(wèi)星的質量 月球的半徑

月球表面的重力加速度 r

g'

Vi

ai

Si

Ei

Ti

Ft Ve i位置處衛(wèi)星的速度大小 i方向的加速度

i位置處相對應的面積大小 i位置處衛(wèi)星的能量 到i位置所用時間 t時刻發(fā)動機的推力 以m/s為單位的比沖 單位時間燃料消耗的質量 橢圓的半長軸 橢圓的半短軸 橢圓的焦點 m ?a

b

c

四、模型建立與求解

4.1 模型建立

4.1.1 問題1衛(wèi)星軌道模型的建立

我們將嫦娥三號衛(wèi)星繞月運行的橢圓軌道抽象出如下圖所示的一個簡單的幾何圖形，月球的月心位于橢圓的一個焦點F上，橢圓的半長軸為a，半短軸為b，半焦距為c。A點為近月點，速度為Va，B點為遠月點，速度為Vb。易知A、B兩點距月心的距離La?a?c，Lb?a?c。在一個極小的時間段?t內，衛(wèi)星與月心連線掃過的面積分別為Sa?Va/2*?t*La，Sb?Vb/2*?t*Lb。由開普勒第二定律可知，衛(wèi)星與中心天體連線在單位時間內掃過的面積相等，所以Sa?Sb，代入化簡后可得公式(1)Vb?(a?c)/(a?c)*Va；由于衛(wèi)星運動的總機械能等于其動能和引力勢能之和，所以在A點，衛(wèi)星的總機械 能Ea?1/2*mVa2?(?GMm/La)（公式2），同理B點的總機械能。衛(wèi)星在運行過程中只有動能和引力勢能Eb?1/2*mVb2?(?GMm/Lb)（公式3）之間的轉化，機械能守恒，所以Ea?Eb（公式4）。[1] 由上面(1)(2)(3)(4)四個公式我們可以解得Va?b/(a?c)*GM/a，Vb?b/(a?c)*GM/a。

4.1.2 問題2衛(wèi)星軟著陸各階段控制策略模型的建立

主減速段控制策略：

第一階段，主減速發(fā)動機全力用于水平方向減速，豎直方向呈自由落體加速下落，至下落速度達到V1y(m/s)為止，用時記為T1，質量減少到M1；

V1y?g'*T1(1)當0?t?T1時，由F?m*Ve可得出下式，t?m(t)?2400??mdt0??2400?2.5510t(2)三號衛(wèi)星運行速度V水平方向分量為：

(3)在0?t?T1內，衛(wèi)星下落的高度ht?0.5*g'*t^2, 水平方向位移

t s(t)??(17000?2940ln(2400)?2940ln(2400?2.2210t))dt

(4)第二階段，豎直方向以V1y勻速下降，主減速發(fā)動機仍以最大推力工作，F(xiàn)(t)的豎直方向分力為?m(t)*g'，水平方向分力為Fx(t)?75002?(m(t)*g')2。

記第二階段結束時刻，即距月面3000m時為T2，當T1?t?T2時，m(t)?2400?7500*t/2940?2400?2.5510t(5)下落高度 h(t)?0.5*g'*T12?V1y*(t?T1)(6)水平方向加速度

2ax(t)?fx(t)/m(t)?(75002?(2400?2.5510*t)2*g')/(2400?2.5510t)(7)水平方向速度

ttVx(t)?Vx(T1)?T1222ax(s)ds?Vx(T1)?(7500?(2400?2.5510s)g')/(2400?2.5510s)ds??T1 1=Vx(T1)??2.5510?gg'(2400?2.5510t)'(2400?2.5510T1)(75002?u2/u)du

17500?=Vx(T1)?(75002?u2?7500ln2.5510t75002?u2u

(9)

'(2400?2.5510T1))gg'(2400?2.5510t)(8)水平方向位移 s(t)?s(T1)?快速調整段控制策略：

Vx(t)dt ?T1

在快速調整階段，衛(wèi)星仍然以Vy?g'*T1?57m/s的速度下落，水平方向推力逐漸減小到0，這樣衛(wèi)星的方向就正對目標下方了。

在t?T2時，發(fā)動機給與衛(wèi)星水平方向一個力Fx，使得其水平方向的速度最終降為0m/s；同時主發(fā)動機在豎直方向上也對衛(wèi)星施加一個力，使其在豎直方向上做勻速運動。水平方向位移Sx(T3)?V0T3?0.5*a*T3^2。

水平方向推力為Fx(t)?m(t)*ax(t)，合力為

?gm?1ve2?tT2m(r)dr

兩邊對t求導得：

m'(t)?gm?1ve2m(t)

再由t?T2時，m(t)?m(T2)得，當T2?t?T2?4.96時：

m(t)?m(T2)exp(gm?1ve2(t?T2)

水平方向速度

vx(t)?vx(T2)??ax(r)dr?vx(T2)?t?T2T2t

水平方向位移

s(t)?s(T2)??vx(r)dr?s(T2)?(vx(T2)?T2)(t?T2)?0.5(t2?T2)T2t2

(s(T2?4.96)，15000)就是近月點坐標。

粗避障段控制策略：

以下步驟的實施均在matlab上實踐，源代碼見附錄2 將抓拍到的圖片利用matlab讀入，求出圖像平均灰度，以此來表示理想降落地點的高度。但通過比較發(fā)現(xiàn)平均灰度并不能代表理想地點高度，于是求出灰度眾數(shù)average，作為理想降落高度。

然后新建圖像，使新圖像上的每點的灰度等于原圖像對應點的灰度與灰度眾數(shù)average的差的絕對值。于是新圖像上灰度越高的點表示越不理想的點。（matlab運行效果圖見附錄3）

選取10 作為分界線，灰度值大于10的改為150，表示不理想的降落地點，灰度值小于10的改為0，表示理想的降落地點。將圖片邊界四周都像素點全部改為灰度150，表示不理想降落地點，因為越靠近圖片邊緣則越缺少信息。(matlab運行效果圖見附錄4)接下去通過將不理想的點向四周擴散來逐漸覆蓋全圖，留下0.001的空隙時停止擴散，則此時剩余的空隙則為相對理想的降落地點，求出這些降落地點中離中心飛船最近的地點，作為最終降落地點。

最后我們分別繪制了覆蓋率為0.7時的圖像、覆蓋率為0.99的圖像、覆蓋率為0.999的圖像(分別件附錄5、6、7)。

精避障段控制策略：

此階段只是在粗壁障階段的基礎上對著落點做了一個更精確的定位，所以選點的原理同上。

4.2 模型求解 4.2.1 問題1

由題目已知，衛(wèi)星近月點為15km，遠月點為100km，據(jù)此我們可以得出下面一個等式c?15?(c?r)?100，求解得c?9?r/2 km。據(jù)此又可以導出橢圓的半長軸的大小a?c?r?15?24?3/2*r，半短軸b?a2?c2。然后將a、b、c等數(shù)值代入模型中，便可以直接求出衛(wèi)星在近月點的速度大小Va?1.6922km/s，衛(wèi)星在遠月點的速度大小Vb?1.6139km/s。

4.2.2 問題2 主減速階段：

由天體運動黃金代換式GM?R2g'，得出g'?GM/R2?1.6243m/s2 利用C語言編程使用迭代法搜索T1的值： 具體編程算法見附錄1 Step 1 令t=T1, 下落高度 h(t)?0.5*g'*t^2, deltt=1 豎直方向速度Vy(t)?g'*t, 水平方向速度（初始速度有第一問可知為1692m/s）

Vx(t)?1692?2940ln(2400)?2940ln(2400?2.2210t)水平方向位移

S(t)?(1692?2940ln(2400))t?Step 2 令t=t+ deltt

2940?2.2210t(ulunu?u)2400 2400?2.2210下落高度 h(t)?0.5*g'*T1^2?Vy*(t?T1)豎直方向速度Vy(t)?g'*T1 水平方向速度由（8）式計算可得 水平方向位移

Step 3 如果h(t)?12000?2641 and Vx(t)?2 如果h(t)?12000?2641 and Vx(t)?step 1 如果h(t)?12000?2641, then end

最后利用C語言編程解得

572?Vy(t)2, then go to step

572?Vy(t)2, then T1?T1?1, goto T1?35s,h?14695.85m,Vx?4.9522m/s,Vy?56.8505m/s。

從而我們可以得出，在主減速階段，首先衛(wèi)星的發(fā)動機的全部動力要用于衛(wèi)星水平方向上的減速，豎直方向以自由落體狀態(tài)加速下降，直至豎直方向速度達到56.8505m/s，水平方向速度為4.9522m/s，此時衛(wèi)星的質量約為2310kg，耗費燃料90kg，衛(wèi)星下落高度約為14695m。之后發(fā)動機推力仍以最大輸出工作，其推力在豎直方向上瞬間產生約3752N的向上阻力，在水平方向上產生6494N的阻力，使得衛(wèi)星在主減速的后半階段在 豎直方向開始勻速運動，水平方向繼續(xù)做減速運動水平速度最終降為0，直至衛(wèi)星降落到距月3000m高度處。

快速調整階段：

根據(jù)分運動的等時性，可以利用衛(wèi)星豎直方向上的運動方程h?V0t，求得衛(wèi)星在快速調整階段的最大用時t?h/V0?10.52s，從而根據(jù)水平方向的運動公式V?Vo?a*t求得水平方向的最小加速度a?0.475m/s。所以可以得出該過程中發(fā)動機在水平方向上的最小推動力Fxmin?1097N，豎直方向上的推力Fxy?mg'?3752N，并求得水平位移S?15234m。

五、模型評價與推廣

5.1 模型評價

優(yōu)點：本模型采用了化繁為簡的方法，將復雜問題簡單化，把衛(wèi)星繞月運行抽象出一個橢圓的幾何問題再結合物理模型利用數(shù)學方法求解相應的運動數(shù)值

缺點：本模型很多地方理想化，比如忽視了月球的扁率，衛(wèi)星運行中姿態(tài)是變化的某些部分不應該用質點來處理

5.2 模型推廣

利用本模型的算法可以求出任何天體在每個時刻的運行速度及其他物理量，方便研究天體運動，方便針對性的對需要探測的星球設計相應的衛(wèi)星軌道。

六、參考文獻

[1] 王健偉 李興，近日點和遠日點速度的兩種典型求法，物理教師，第34卷第6期：58，2013

七、附錄

附錄1：

下面采用的是C語言程序來摸索求解T1的值（運行環(huán)境VC++ 6.0）文件夾內find_t1.cpp文件

#include #include #include #define g 1.6243

int main(){

int t,t1,deltt=1;

t=t1=4;

double h,vx,vy,compare,u1,u2;

h=0.5*g*t*t;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t);

vy=g*t;

while(1)

{

compare=sqrt(57*57-vy*vy);

if(h<12000+2641 && vx>compare)

{

t=t+deltt;

u1=g*(2400-2.5510*t1);

u2=g*(2400-2.5510*t);

vy=g*t1;

h=0.5*g*t1*t1+(t-t1)*vy;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t)-(1.0/2.5510)*(sqrt(7500*7500-u1*u1)+7500*log((7500-sqrt(7500*7500-u1*u1))/u1)-(sqrt(7500*7500-u2*u2)+7500*log((7500-sqrt(7500*7500-u2*u2))/u2)));

}

else if(h<12000+2641 && vx

{

t1++;

t=t1;

h=0.5*g*t*t;

vx=1692-2940*log(2400)+2940*log(2400-2.2210*t);

vy=g*t;

}

else if(h>12000+2641)

{

printf(“t1=%dn”,t1);

printf(“h=%lfn”,h);

printf(“vx=%lfn”,vx);

printf(“vy=%lfn”,vy);

break;

}

}

return 0;}

附錄2：

big=imread('附件3 距2400m處的數(shù)字高程圖');

[m,n]=size(big);

notenum=[1:256];

for i=1:m;for j=1:n;notenum(big(i,j)+1)=notenum(big(i,j)+1)+1;end end

max=0;maxnum=0;for i=1:256;if max

big1=big;for i=1:m for j=1:n big1(i,j)=abs(int8(big1(i,j))-average);end end

big2=big1;

for i=1:m for j=1:n if big2(i,j)>15 big2(i,j)=150;else big2(i,j)=0;end

end end

for i=1:m;big2(i,1)=150;end

for i=1:m;big2(i,m)=150;end

for j=2:n-1;big2(1,j)=150;big2(m,j)=150;end

for k=1:200 num=[m:n];

numsum=0;for i=1:m;for j=1:n;if big2(i,j)>20;num(i,j)=1;numsum=numsum+1;else num(i,j)=0;end

end end

if numsum/(m*n)>0.999 break end

for i=2:m-1;for j=2:n-1;sum=0;if num(i,j)==1;continue else

for i1=-1:1;for i2=-1:1;if num(i+i1,j+i2)==1;sum=sum+1;end

end

end

if rand(1)*3

end

end end end

distance=[m,n];for i=1:m;for j=1:n;if num(i,j)==0;distance(i,j)=(i-m/2)*(i-m/2)+(j-n/2)*(j-n/2);else distance(i,j)=m*m+n*n;end end end

min=m*m+n*n;mini=0;minj=0;

for i=1:m;for j=1:n;if num(i,j)== 0;if min > double(distance(i,j));min=double(distance(i,j))mini=i;minj=j;end end end end

附錄3

附錄4

附錄5 覆蓋率為0.7的圖像

附錄6 覆蓋率為0.99的圖像

附錄7 覆蓋率為0.999的圖像

第四篇：2011年數(shù)學建模B題

2011年全國大學生數(shù)學建模B題

交巡警服務平臺的設置與調度

題 目 警車配置及巡邏問題的研究

摘 要：

本文研究的是某城區(qū)警車配置及巡邏方案的制定問題，建立了求解警車巡邏方案的模型，并在滿足D1的條件下給出了巡邏效果最好的方案。

在設計整個區(qū)域配置最少巡邏車輛時，本文設計了算法1：先將道路離散化成近似均勻分布的節(jié)點，相鄰兩個節(jié)點之間的距離約等于一分鐘巡邏路程。由警車的數(shù)目m,將全區(qū)劃分成m個均勻的分區(qū)，從每個分區(qū)的中心點出發(fā)，找到最近的道路節(jié)點，作為警車的初始位置，由Floyd算法算出每輛警車3分鐘或2分鐘行駛路程范圍內的節(jié)點?？紤]區(qū)域調整的概率大小和方向不同會影響調整結果，本文利用模擬退火算法構造出遷移幾率函數(shù)，用遷移方向函數(shù)決定分區(qū)的調整方向。計算能滿足D1的最小車輛數(shù)，即為該區(qū)應該配置的最小警車數(shù)目，用MATLAB計算，得到局部最優(yōu)解為13輛。

在選取巡邏顯著性指標時，本文考慮了兩個方面的指標：一是全面性，即所有警車走過的街道節(jié)點數(shù)占總街道節(jié)點數(shù)的比例，用兩者之比來評價；二是均勻性，即所有警車經過每個節(jié)點數(shù)的次數(shù)偏離平均經過次數(shù)的程度，用方差值來大小評價。

問題三：為簡化問題，假設所有警車在同一時刻，大致向同一方向巡邏，運動狀態(tài)分為四種：向左，向右，向上，向下，記錄每個時刻，警車經過的節(jié)點和能夠趕去處理事故的點，最后匯總計算得相應的評價指標。

在考慮巡邏規(guī)律隱蔽性要求時，文本將巡邏路線進行隨機處理，方向是不確定的，采用算法2進行計算，得出相應巡邏顯著指標，當車輛數(shù)減少到10輛或巡邏速度變大時，用算法2計算巡邏方案和對應的參數(shù)，結果見附錄所示。

本文最后還考慮到4個額外因素，給出每個影響因素的解決方案。

關鍵詞：模擬退火算法；Floyd算法；離散化

一 問題的重述

110警車在街道上巡邏，既能夠對違法犯罪分子起到震懾作用，降低犯罪率，又能夠增加市民的安全感，同時也加快了接處警時間，提高了反應時效，為社會和諧提供了有力的保障。

現(xiàn)給出某城市內一區(qū)域，其道路數(shù)據(jù)和地圖數(shù)據(jù)已知，該區(qū)域內三個重點部位的坐標分別為：（5112，4806），（9126，4266），（7434，1332）。該區(qū)域內共有307個道路交叉口，為簡化問題，相鄰兩個交叉路口之間的道路近似認為是直線，且所有事發(fā)現(xiàn)場均在下圖的道路上。

該市擬增加一批配備有GPS衛(wèi)星定位系統(tǒng)及先進通訊設備的110警車。設110警車的平均巡邏速度為20km/h，接警后的平均行駛速度為40km/h。警車配置及巡邏方案要盡量滿足以下要求：

D1.警車在接警后三分鐘內趕到現(xiàn)場的比例不低于90％；而趕到重點部位的時間必須在兩分鐘之內。

D2.使巡邏效果更顯著；

D3.警車巡邏規(guī)律應有一定的隱蔽性。現(xiàn)在我們需要解決以下幾個問題：

一.若要求滿足D1,該區(qū)最少需要配置多少輛警車巡邏？ 二.請給出評價巡邏效果顯著程度的有關指標。

三．請給出滿足D1且盡量滿足D2條件的警車巡邏方案及其評價指標值。

四.在第三問的基礎上，再考慮D3條件，給出你們的警車巡邏方案及其評價指標值。五．如果該區(qū)域僅配置10輛警車，應如何制定巡邏方案，使D1、D2盡量得到滿足？ 六.若警車接警后的平均行駛速度提高到50km/h，回答問題三。

七.你們認為還有哪些因素、哪些情況需要考慮？給出你們相應的解決方案。

二 問題分析

本題為城區(qū)道路網絡中警車配置及巡邏問題。在進行警車配置時，首先要考慮警車在接警后在規(guī)定時間內趕到現(xiàn)場的比例，在此條件下，以車數(shù)最少為目標，建模、求解；在制定巡邏方案時，要考慮巡邏的效果及隱蔽性問題。

問題一只要求滿足D1，求最少的警車配置數(shù)，可以認為警車是不動的，在三分鐘或兩分鐘內它能到達的區(qū)域就是它的覆蓋范圍。據(jù)此，在滿足所有街道的覆蓋率不低于90%的條件下，尋找最優(yōu)解。

問題二要評價巡邏效果，有兩個方面需要考慮：一是巡邏的全面性，即經過一段時間后警車走過的街道數(shù)占總街道數(shù)的比例；二是巡邏的不均勻性，即經過一段時間后警車經過每一條街道的次數(shù)相差不大，用方差來衡量。

問題三是在滿足D1的條件上盡量滿足問題二所給的指標，并給出評價方案的指標。首先找到一組滿足D1的各警車位置，然后在和各警車位置相連的點中隨機尋找一個點，判斷新的點是否滿足D1，如果滿足則警車行駛到該點，否則重新尋找，直到滿足為止。一段時間后統(tǒng)計所有車走過的點數(shù)及每個點被走過的次數(shù)，用問題二給出的兩個指標進行評價。綜合兩個指標，可判斷此路徑的好壞，重復這個過程，直到綜合評價指標達到一個滿意的值為止。

問題四增加了隱蔽性要求，首先給出評價隱蔽性的指標，隱蔽性可用路線的隨機性來評價，將它加入到問題三的模型中去進行求解。

問題五限制警車數(shù)量為10，要綜合考慮D1、D2，先分配這10輛車使道路的覆蓋率最高，然后按照問題三的步驟進行求解，其中每一步對D1的判斷只需使道路的覆蓋率盡量高即可。

問題六同問題三，只需將車速改為50km/h即可。

三 模型的假設

1.警車都在路上巡邏，巡警去處理案件的時間不考慮；

2.所有事發(fā)現(xiàn)場都在道路上，案件在道路上任一點是等概率發(fā)生的； 3.警車初始?？奎c是隨機的，但盡量讓它們分散分布，一輛警車管轄一個分區(qū)； 4.假定各個劃分區(qū)域內，較短時間內，最多會發(fā)生一個案件；

5.假設區(qū)域內的每條道路都是雙行線，不考慮轉彎對結果造成的影響； 6.如果重點部位不在道路上的，假設這些重點部位在離它們最近的道路上； 7.圖中水域對巡邏方案沒有影響。

四 符號說明

m 表示警車數(shù)目

d 表示警車初始?？奎c到各道路的最短距離 L 表示整個區(qū)域的總道路長度

l 表示不能在3分鐘內到達的區(qū)域的道路的長度

k 表示非重點部位的警車在3分鐘內不能到達現(xiàn)場的比例 r 表示三分鐘內能從接警位置趕到事發(fā)現(xiàn)場的最大距離是 n 表示整個區(qū)域總的離散點個數(shù) ni 表示第i區(qū)內的節(jié)點個數(shù) f1 表示區(qū)內調整函數(shù)

t 表示模擬退火的時間，表征溫度值 f2 表示區(qū)間調整函數(shù)

r 表示全面性指標 e 表示不均勻性指標 h 表示綜合評價指標

si 表示第i輛車經過每條道路的次數(shù) s 表示整個區(qū)域每條道路經過的平均次數(shù)

五 模型的建立與算法的設計

5.1 滿足D1時，該區(qū)所需要配置的最少警車數(shù)目和巡邏方案 5.1.1 滿足D1條件時，區(qū)域最少警車的規(guī)律

題目要求警車的配置和巡邏方案滿足D1要求時，整個區(qū)域所需要配置的警車數(shù)目最少。由假設可知警車都在道路上，且所有事發(fā)現(xiàn)場也都在道路上，但區(qū)域內總的道路長度是個定值的；警車在接警后趕到事發(fā)現(xiàn)場有時間限制和概率限制：三分鐘內趕到普通區(qū)域案發(fā)現(xiàn)場的比例不低于90％，而趕到重點部位的時間必須控制在兩分鐘之內。由此可知每輛警車的管轄范圍不會很大，于是考慮將整個區(qū)域分成若干個分區(qū)，每輛警車管轄一個分區(qū)域。由上面的分析，求解整個區(qū)域的警車數(shù)目最少這個問題可轉化為求解每一輛警車所能管轄的街道范圍盡量的大。于是我們尋找出使每輛警車管轄的范圍盡量大的規(guī)律。為了簡化問題，我們不考慮趕到現(xiàn)場的90%的幾率的限制，僅對警車能在三分鐘內趕到事發(fā)現(xiàn)場的情況作定性分析，其分析示意圖如圖1所示。警車的初始?？课恢檬请S機的分布在道路上的任一節(jié)點上，我們假設一輛警車?？吭贏點上。

圖1 一輛警車管轄范圍分析示意圖

由于警車的平均巡邏速度為20km/h，接警后的平均行駛速度為40km/h，由于距離信息比較容易得到，于是我們將時間限制轉化為距離限制，這樣便于分析和求解。當警車接警后，在三分鐘內能從接警位置趕到事發(fā)現(xiàn)場的最大距離是r，其中3r??40?2km。

60如圖1所示，我們設警車初始停靠位置在A點，A點是道路1，2，3，4的道路交叉口。我們僅以警車在道路1巡邏為例來進行分析，警車以20km/h的速度在道路1上A到A'點之間巡邏，A'與初始停靠點A的距離為xkm。由于案件有可能在道路上任一點發(fā)生，當警車巡邏到A點時，若案發(fā)現(xiàn)場在道路2，3，4上發(fā)生時，警車以40km/h的速度向事發(fā)現(xiàn)場行駛，警車能在三分鐘內從A'點趕到現(xiàn)場的最大距離為(2?x)km。如果警車在道路1上繼續(xù)向前行駛，則該警車能在三分鐘內趕到現(xiàn)場的距離繼續(xù)縮小，當警車從初始點向A點行駛但沒有達到A'點時，此時該警車的最大管轄范圍比警車到達A'點時的最大管轄范圍大。為了使警車的管轄范圍盡量大，警車的巡邏范圍越小越好，當x?0時，即警車在初始?？奎c靜止不動時，警車的管轄范圍達到最大值2km。

圖1所分析的是特殊的情況，道路1，2，3，4對稱分布，現(xiàn)在我們來對一般的情況進行分析，如圖2所示。

圖2.1 圖2.2 圖2 一輛警車最大管轄范圍分析示意圖

圖2.1所示的情況是道路分布不對稱，與圖1相比，圖2.1所示的道路方向和角度都發(fā)生了改變，圖2.3中的情形更為復雜。參照對圖1的分析方法，我們分析這兩種情形下，警車巡邏時能在三分鐘內趕到現(xiàn)場的最大距離的規(guī)律，我們只分析圖2.2的情況，道路1，2，3，4，5相交于點C,同時道路1與道路6也有個道路交叉口D，由于警車巡邏時是在道路上行駛的，行走的路線是分段直線,并不影響路徑的長度，所以當警車巡邏到距離初始?？奎cC點x遠處的D，此時若有案件發(fā)生時，該警車要在三分鐘內能趕到現(xiàn)場處理案件，最大行駛距離在(2?x)km之內，如果警車在道路1上繼續(xù)向前行駛，則該警車能在三分鐘內趕到現(xiàn)場的距離繼續(xù)縮小，當警車沒有行駛到D點時，此時該警車的最大管轄范圍比(2?x)km大，為了使警車的管轄范圍盡量大，警車的巡邏范圍越小越好。當x?0時，即警車靜止不動時，一輛警車的管轄范圍能達到最大值。

以上分析的僅作定性的分析，對于三個重點部位也可以同理分析，所得的結論是一致的，以上的分析沒有考慮到90%的到達幾率限制，但在設計算法需要充分考慮。

綜上所述，當警車靜止在初始?？奎c時，在三分鐘時間限制內，警車能從初始?？奎c趕到事發(fā)現(xiàn)場的最大距離為2km。

5.1.2 將道路離散化

由于事發(fā)現(xiàn)場是等概率地分布在道路上的，由區(qū)域地圖可以發(fā)現(xiàn)，整個區(qū)域中的道路長度不均，為了使計算結果更加精確，可將這些道路離散化。只要選取合適的離散方案，就能使警車在經過道路上的離散的點時就相當于經過了這條道路。這樣，不論是求解警車初始?？奎c還求解警車趕到事發(fā)現(xiàn)場所經過的道路時，所計算得的的結果顯然比僅考慮整條道路的叉路口要精確得多。區(qū)域中共有307個道路交叉口，458條道路。我們采用線性插值方法對道路進行離散化，以20km/h的速度行走一分鐘的距離作為步長，一分鐘時間的選擇是參照問題三的11?20?km。用線性插值的方法，從道路的一個方向進結果要求來設定的，步長b?6031行線性插值，實現(xiàn)將每條道路離散化的目標，考慮到有些道路不是km的整數(shù)倍，我們

311就一般情況進行討論，其分析示意圖如圖3所示。道路AB長度為n個km與x(x?km)33長度的和，為了更精確處理CB段道路，那么就要考慮在CB之間是否要插入一個新的點，根據(jù)x的長度不同，其對應的處理方式也有所不同。

圖3 道路離散化分析示意圖

引進臨界指數(shù)y，選取y大小的準則是使盡量離散化后警車等效的平均巡邏速度和題目給定的速度（20km/h）的差值盡量小，經過計算得y?0.189km時，不再插入新的坐

1標點時能使整個區(qū)域的道路離散效果較好。此時，將CB段長度設定為km處理，于是

3離散后的AB道路長度會比實際長度短些；當x?0.189Km時，需要在兩個點之間再插入一點，因為這樣處理能使整個區(qū)域的整體道路的離散化效果比較理想。如圖3所示，在1C與B間再插入新的坐標點，插入的位置在距C點km的D點處,這樣處理后所得的道

31路長度比實際長度長了(?x)km。采用這樣的方法進行線性插值，我們使用MATLAB編3程實現(xiàn)對整個區(qū)域道路的離散，所得的離散結果如圖4所示，離散后共得到762個節(jié)點，比原始數(shù)據(jù)多了455個節(jié)點，離散后的節(jié)點數(shù)據(jù)見附件中的“newpoint.txt”。

圖4 整個區(qū)域離散結果圖

采用這種插值方法道路離散后，將直線上的無窮多個點轉化有限個點，便于分析問題和實現(xiàn)相應的算法，由圖4可知，所取得的整體離散效果還是比較理想的。

5.1.3 分區(qū)域求解警車數(shù)目的算法設計

考慮到警車配置和巡邏方案需要滿足：警車在接警后三分鐘內趕到普通部位案發(fā)現(xiàn)場的比例不低于90%，趕到重點部位必須控制在兩分鐘之內的要求。設計算法的目標就是求解出在滿足D1情況下，總的警車數(shù)目最小，即每個區(qū)域都盡可能多地覆蓋道路節(jié)點。由于警車的初始位置是未知的，我們可設警車初始?？奎c在道路上的任一點，即分布在圖4所示的762個離散點中的某些點節(jié)點上，總體思路是讓每兩輛車之間盡量分散地分布，一輛警車管轄一個分區(qū)，用這些分區(qū)覆蓋整個區(qū)域。于是我們設計算法1，步驟如下所示：

Step1：將整個區(qū)域預分配為m個分區(qū)，每個分區(qū)分配一輛警車，警車的初始停靠位置設在預分配區(qū)中心的道路節(jié)點上，若區(qū)域的中心不在道路節(jié)點上，則將警車放在離中心最近的道路節(jié)點上；

Step2：統(tǒng)計分區(qū)不能覆蓋的節(jié)點，調整警車的初始?？奎c，使分區(qū)覆蓋盡可能多的道路節(jié)點，調整分為區(qū)內調整和區(qū)間調整方案：（1）區(qū)內調整按照模擬退火思想構造的函數(shù)，在區(qū)間調整調整車輛初始點的位置（后文中有詳細說明），當分區(qū)內節(jié)點數(shù)較多時，調整的概率小些，分區(qū)內節(jié)點數(shù)較少時，調整的概率大些，（2）當區(qū)域中存在未被覆蓋的節(jié)點或節(jié)點群（大于等于三個節(jié)點集中在一個范圍內）時，將警車初始位置的調整方向為朝著這些未被覆蓋的節(jié)點按一定的規(guī)則（在算法說明中有詳細敘述）移動，同時要保證 3個重點部位能在2分鐘之內100%到達；

Step3：用Floyd算法計算出警車初始?？奎c到周邊各道路節(jié)點的最短距離d；

Step4：以m個劃分區(qū)域未覆蓋的總的道路長度l與整個區(qū)域的道路總長度L的比值lk??100%來表示警車不能3分鐘內到達現(xiàn)場的概率；

LStep5：模擬足夠多的次數(shù)，若k?10%，將車輛數(shù)m減1，跳轉到Step1；

Step6：計算結束后，比較當k?10%時所對應的m值，當m取得最小值時，記錄此時的區(qū)域劃分方案，m即為最少的警車數(shù)。

對算法的幾點說明：

（1）該算法所取的車輛數(shù)m是由多到少進行計算的，m初始值設為20，這個值的選取是根據(jù)區(qū)域圖估算的。

(2)預分區(qū)的優(yōu)點在于使警車的初始位置盡可能均勻地分散分布，警車的初始?？奎c在一個分區(qū)的中心點附近尋找得到，比起在整個區(qū)域隨機生成?？奎c，計算效率明顯得到提高。

預分配之后，需要對整個區(qū)域不斷地進行調整，調整時需要考慮調整方向和 調整概率。

警車調整借鑒的是模擬退火算法的方法，為了使分區(qū)內包含道路節(jié)點數(shù)較多的分區(qū)的初始停車點調整的概率小些，而分區(qū)內包含道路節(jié)點數(shù)的少的分區(qū)內的初始停車點調 整的概率大些，我們構造了一個調整概率函數(shù)f1，f1?aexp(?bmni)（1）t（1）式中，a,b均為常數(shù)，m為整個區(qū)域車輛數(shù)，ni為第i分區(qū)內覆蓋的節(jié)點數(shù)，t為時間，同時t也能表征模擬退火的溫度變化情況：初始溫度較高，區(qū)域調整速度較快，隨著時間的增加，溫度不斷下降，區(qū)域調整速度逐漸變慢，這個調整速度變化也是比較符合實際情況的。

由式（1）可以得出調整概率函數(shù)f1，假設在相同的溫度t（時間）的條件下，由于總的車輛數(shù)目m是定值，當ni?nj時，即第i分區(qū)內的節(jié)點數(shù)大于第j分區(qū)的節(jié)點數(shù)時，分區(qū)i調整的概率大些，分區(qū)j的調整概率小些。分析其原因：當分區(qū)內包含了較多的節(jié)點個數(shù)時，該分區(qū)的警車初始?？课恢眠x取地比較合適了，而當分區(qū)內包含的道路節(jié)點數(shù)較少時，說明警車的初始?？课恢脹]有選好，需要更大概率的調整，這樣的結論也是比較客觀的。

對于所有分區(qū)外未被覆蓋的道路節(jié)點和很多節(jié)點（稱之為節(jié)點群），用來調整警車位置遷移的方向，其分析示意圖如圖5所示。調整方案目標是使未被覆蓋的節(jié)點數(shù)盡量的少。在設計調整方向函數(shù)時，需要考慮：（1）節(jié)點群內節(jié)點的數(shù)目；（2）警車距離節(jié)點群的位置。優(yōu)先考慮距離，所以在公式（2）中，用距離的平方來描述調整方向函數(shù)。由于某一個區(qū)域范圍內的未被覆蓋節(jié)點數(shù)，整個區(qū)域未被覆蓋的節(jié)點總數(shù)，分區(qū)域與未被覆蓋的節(jié)點或節(jié)點群的距離等幾個因素會影響到調整的方案，所以要綜合考慮這些因素。于是設計了區(qū)間調整函數(shù)f2，f2?nili2??li?1pi?1p2i（2）

i?n式中，ni表示第i個分區(qū)內未被覆蓋的節(jié)點數(shù)，li表示第i分區(qū)域與未被覆蓋的節(jié)點或節(jié)點群的距離，p表示未被覆蓋的節(jié)點和節(jié)點群個數(shù)。

現(xiàn)在簡要分析第i分區(qū)按區(qū)間調整函數(shù)的調整方案，當某兩節(jié)點群i,j的節(jié)點數(shù)目相等，但是距離不等時，如li?lj，由區(qū)間調整公式可知，該區(qū)間向節(jié)點群j方向調整。當某個分區(qū)與兩個節(jié)點群的距離相等，但節(jié)點群的內節(jié)點個數(shù)不相等，如ni?nj時，由（4）可知，該分區(qū)域會想節(jié)點群j方向調整。

注意在整個調整過程中，調整幾率控制是否調整，調整方向函數(shù)控制調整的方向，尋找在這種調整方案下的最優(yōu)結果。

圖5 調整分區(qū)域示意圖

（3）在step3中，使用Floyd算法計算出警車初始?？奎c到周邊各節(jié)點的最短距離d,目的是當區(qū)域內有情況發(fā)生時，警車能在要求的時間限制內到達現(xiàn)場。

（4）為求出較優(yōu)的警車?？奎c，采用模擬退火算法，算出局部最優(yōu)的方案。5.1.4 警車的配置和巡邏方案

使用MATLAB編程實現(xiàn)算法1得到，整個區(qū)域配備13輛警車，這些警車靜止在初始停靠點時，能滿足D1要求。警車的初始?？课恢梅謩e為道路交叉節(jié)點6，25，30，37，82，84，110，111，126，214，253，258，278處。每個警車所管轄的交叉點（原始的交叉節(jié)點）如圖6所示，求解的分區(qū)結果見附錄所示。9

圖6 滿足D1條件下的區(qū)分劃分圖

13個分區(qū)共覆蓋了252個交叉點，另外的55個原始交叉點沒有被這些分區(qū)域覆蓋：137，138，151，159，167，168，170，174，175，186，188，189，211，215，226，242，255，260，261，262，263，267，270，271，272，275，282，283，284，287，288，289，292，296，297，299，304，305，307。在這種分區(qū)方案下，這些點中，每兩個相連的點間的道路離散值長度占整個區(qū)域總的長度的比值為lk??100%?90.18%。因此，在整個區(qū)域配置13輛警車，每個警車在初始?？奎c靜L止不動，當有案件發(fā)生時，離案發(fā)現(xiàn)場最近的警車從初始?？奎c趕到現(xiàn)場。

5.2 評價巡邏效果顯著的指標

110警車在街道上巡邏是目的是為了對違法犯罪分子起到震懾作用，降低犯罪率，又能夠增加市民的安全感，同時還加快了接處警（接受報警并趕往現(xiàn)場處理事件）時間，提高了反應時效，為社會和諧提供了有力的保障。巡警在城市繁華街道、公共場所執(zhí)行巡邏任務, 維護治安, 服務群眾, 可以得良好的社會效應[1]。

在整個區(qū)域中，由于案發(fā)現(xiàn)場都在道路上，道路上的每一點都是等概率發(fā)生的，因此警車巡邏的面越廣，所巡邏的街道數(shù)目越多，警車的巡邏效果就越好，對違法犯罪分子就越有威懾力，警車也能更及時地處理案件。

我們采用全面性r來衡量巡邏的效果顯著性，即用警車巡邏所經過的街道節(jié)點數(shù)占區(qū)域總節(jié)點數(shù)的比值。當警車重復經過同一條街道同一個離散點時，c僅記錄一次。

c

（3）n式中，c表示警車經過的離散點數(shù)，n代表整個區(qū)域總的離散點數(shù)。r值越大，表明警車所經過的街道數(shù)目越多，所取得的效果越顯著。

同時考慮到在巡邏過程中可能會出現(xiàn)這樣的情況：在相同的時段內，警車會多次巡邏部分街道，而一些街道卻很少巡邏甚至沒有警車到達，這樣會造成一些巡邏盲區(qū)。分布很不均衡。這樣就可能出現(xiàn)巡邏密度大的街道上的違法犯罪分子不敢在街道上作案，而流竄到巡邏密度稀疏的街道上作案，因此在相同的警車數(shù)目條件下，密度不均衡的巡邏方式的巡邏效果的效果較差，而密度較均衡的巡邏方式所取得的巡邏效果會更好些。我們引入一個巡邏的不均勻度e來衡量巡邏效果的顯著性，考慮到方差能表示不均衡度，于是我們用方差的大小來表征不均衡，方差越大，巡邏密度越不均衡，所取得的巡邏效果越差。r?e??(si?1mi?s)2p（4）

式中，p表示警車經過的點數(shù)，當警車重復經過某一節(jié)點時，警車經過該點多少次就計多少次。，si表示第i輛車經過每條道路的次數(shù)，s表示整個區(qū)域每條道路經過的平均次數(shù)。

我們分析這兩個指標時，發(fā)現(xiàn)它們是緊密聯(lián)系的，在相同的時間段內，一輛警車在一個分區(qū)巡邏時，警車經過的街道節(jié)點數(shù)越多，巡邏的全面性指標越大，巡邏效果越顯著，而巡邏經過了越多的街道節(jié)點數(shù)，對應的不均勻度越小，巡邏效果也越好，所以我們將這兩個指標統(tǒng)一來求解，設定為綜合評價指標h：

rh?（5）

e當h越大時，警車巡邏的顯著性效果越好，而當h越小時，警車巡邏的效果越差。

5.3 滿足D1且盡量滿足D2條件的警車巡邏方案和評價指標值

問題1所給出的滿足D1條件下的警車數(shù)目為13輛，這時每輛警車在初始?？奎c靜止不動，只有該管轄區(qū)域內發(fā)生了案件時，警車才從初始停靠點趕到案發(fā)現(xiàn)場處理案件。當警車在巡邏狀態(tài)時，所需要考慮的問題就更復雜一些，如當節(jié)點運動時，警車還能否達到D1的要求，警車的運動方向如何等問題，但基本算法思想與問題1類似，所得的算法2的框圖如圖7所示，為了簡化問題，我們假設各分區(qū)警車的巡邏時候，盡量保證所有的警車的行駛方向相一致，且警車都走雙行道，即當警車走到某個節(jié)點后，它們又同時返回初始停靠點，警車的行駛方向有四種方式，如6所示。

在圖6中，數(shù)字1代表走巡邏走的第一步，2表示朝1的巡邏方向相反的方向巡邏。在具體程序實現(xiàn)時，四種巡邏方向任意選擇，但是盡量保證所有的警車向同一個方向巡邏。

圖6 各警車巡邏方向圖

我們用MATLAB編程對這種巡邏方式進行計算，所得的車輛數(shù)目為18輛，綜合評價指標為h?0.612，其結果巡邏方案見附件中的“1193402-Result3.txt”所示。

5.4 在滿足問題三的基礎上討論D3條件，警車的巡邏方案和評價指標

巡邏的隱蔽性體現(xiàn)在警車的巡邏路線和時間沒有明顯的規(guī)律，主要目的是讓違法犯罪分子無可乘之機，防止他們在非巡邏時間實施違法犯罪活動，危害人民的生命和財產安全。

為了使巡邏的規(guī)律具有隱蔽性，這就需要警車在巡邏時至少具有兩條不同的路線，時間最好也是不相同的。因此，考慮到隱蔽性時，只需要在問題2的基礎上加上一個隨機過程即可。對于其評價指標，由于警車有幾條可選的巡邏路線，當相同的路線在同一時間內重復出現(xiàn)時，重新將所設定的方案再執(zhí)行一遍，我們用這個時間間隔來衡量隱蔽性的程度，當循環(huán)周期T越大，表明可選的巡邏方案越多，其規(guī)律就越具有隱蔽性，而循環(huán)周期T越小時，表明巡邏方案比較少，其隱蔽性較差。在巡邏狀態(tài)時，最差的隱蔽性巡邏方案是巡邏方案只有一個，并且時間固定，這樣的巡邏方案沒有任何隱蔽性可言。

5.5 整個區(qū)域為10輛車時的巡邏方案

由第三問的結果可知，10輛車的數(shù)量是不能把整個區(qū)域完全覆蓋的，其算法與算法2類似，不同的是此時車的數(shù)目已經固定了，要求使D1,D2盡量大的滿足，我們求得的評價指標值為h?0.524，所得的巡邏方案見附件中的“1193402-Result5.txt”所示。

5.6平均行駛速度提高到50km/h時的巡邏方式和評價指標值

問題六的分析方法與具體實現(xiàn)與問題三一致，但是警車的接警后的平均速度由原來的40km/h提高到50km/h，于是各分區(qū)的覆蓋范圍也增大了，將數(shù)值帶入問題3的算法中求解，計算得的指標值為h?0.703，其巡邏方案見附件中的“1193402-Result6.txt”所示。

圖7 算法2框圖 5.7 需要另外考慮的因素和對應的解決方案

考慮到具體巡邏情況的復雜性，我們還需考慮以下幾個因素：

1．該城市的巡邏方式僅有110警車，雖然能將巡邏范圍大大擴大，但是警員坐在汽車里遠離市民，對社區(qū)情況和案件的了解情況不如徒步巡邏的效果好，同時警車巡邏時，只能在道路上行駛，對應圖中的非道路區(qū)域沒有進行巡邏，使非街道區(qū)域成為巡邏盲區(qū)；

2.對于突發(fā)事件的處理問題；

3.各巡邏警員之間在一些未被覆蓋的區(qū)域如何合作才能使整體的巡邏效果取得比較好的成效；

4.巡邏頻率的選取問題。

針對以上問題，我們提出以下幾個解決方案： 1.為了了解社區(qū)情況和將巡邏范圍擴大到非街道區(qū)，可以采用警車加徒步巡邏或摩托車方式進行巡邏，這樣做會使整個巡邏范圍擴大，必會大大增加巡警人數(shù)，在制定巡邏方案時，需要綜合考慮，選取最合適的巡邏方案；

2.當有突發(fā)事件發(fā)生時，要突破分區(qū)限制，各分區(qū)需要通力合作，還要求巡警及時掌握準確信息，向上級部門匯報，隨機應變地解決所遇到的問題；

3.在警員人數(shù)有限的情況下，需要各分區(qū)巡警明確巡邏目的，踏實工作，明確責任制，做好本職工作，使人民生命財產安全得到最大限度的保障；

4.巡邏頻率太高，會影響到人民的正常工作和生活（報紙刊登有相關消息），如果巡邏頻率太低，將降低市民的安全感，同時給一些違法犯罪分子予可乘之機，所以要合理安排巡邏方案，將巡邏頻率控制在一個適當?shù)姆秶鷥取?/p>

六 模型的分析和評價

在求解滿足D1的條件下，整個區(qū)域需要配備多少輛警車問題中，采用分區(qū)巡邏的思想，先分析能使各區(qū)管轄范圍達到最大值時的規(guī)律，由特殊到一般層層進行分析，邏輯嚴密，結果合理。

在求解區(qū)域和警車數(shù)目時，在初步設定警車?？奎c位置的基礎上，用模擬退火算法思路構造函數(shù)f1來確定調整的概率大小，綜合考慮了影響區(qū)間調整的因素后構造了f2函數(shù)來確定分區(qū)的調整方向，當分區(qū)按照這兩個調整函數(shù)進行調整時，各分區(qū)能管轄盡可能多的道路節(jié)點，所取得效果也比較理想。

參 考 文 獻

[1]中小城市警察巡邏勤務方式的探討，俞詳，江蘇公安專科學校學報，1998年第1期 [2]Matlab7.0從入門到精通，求是科技，人民郵電出版社； [3]不確定車數(shù)的隨機車輛路徑問題模型及算法，運懷立等，工業(yè)工程，第10卷第3期，2005年5月；

[4]隨機交通分配中的有效路徑的確定方法，李志純等，交通運輸系統(tǒng)工程與信息，第3卷第1期，2003年2月。

附 錄

圖 問題三巡邏路徑

圖 問題五巡邏路徑

圖 問題六巡邏路徑

第五篇：2011數(shù)學建模B題

2011高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽題目

（請先閱讀“全國大學生數(shù)學建模競賽論文格式規(guī)范”）

B題

交巡警服務平臺的設置與調度

“有困難找警察”，是家喻戶曉的一句流行語。警察肩負著刑事執(zhí)法、治安管理、交通管理、服務群眾四大職能。為了更有效地貫徹實施這些職能，需要在市區(qū)的一些交通要道和重要部位設置交巡警服務平臺。每個交巡警服務平臺的職能和警力配備基本相同。由于警務資源是有限的，如何根據(jù)城市的實際情況與需求合理地設置交巡警服務平臺、分配各平臺的管轄范圍、調度警務資源是警務部門面臨的一個實際課題。

試就某市設置交巡警服務平臺的相關情況，建立數(shù)學模型分析研究下面的問題：

（1）附件1中的附圖1給出了該市中心城區(qū)A的交通網絡和現(xiàn)有的20個交巡警服務平臺的設置情況示意圖，相關的數(shù)據(jù)信息見附件2。請為各交巡警服務平臺分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內出現(xiàn)突發(fā)事件時，盡量能在3分鐘內有交巡警（警車的時速為60km/h）到達事發(fā)地。

對于重大突發(fā)事件，需要調度全區(qū)20個交巡警服務平臺的警力資源，對進出該區(qū)的13條交通要道實現(xiàn)快速全封鎖。實際中一個平臺的警力最多封鎖一個路口，請給出該區(qū)交巡警服務平臺警力合理的調度方案。

根據(jù)現(xiàn)有交巡警服務平臺的工作量不均衡和有些地方出警時間過長的實際情況，擬在該區(qū)內再增加2至5個平臺，請確定需要增加平臺的具體個數(shù)和位置。

（2）針對全市（主城六區(qū)A，B，C，D，E，F(xiàn)）的具體情況，按照設置交巡警服務平臺的原則和任務，分析研究該市現(xiàn)有交巡警服務平臺設置方案（參見附件）的合理性。如果有明顯不合理，請給出解決方案。

如果該市地點P（第32個節(jié)點）處發(fā)生了重大刑事案件，在案發(fā)3分鐘后接到報警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑。為了快速搜捕嫌疑犯，請給出調度全市交巡警服務平臺警力資源的最佳圍堵方案。

附件1：A區(qū)和全市六區(qū)交通網絡與平臺設置的示意圖。

附件2：全市六區(qū)交通網絡與平臺設置的相關數(shù)據(jù)表（共5個工作表）。

附圖1：A區(qū)的交通網絡與平臺設置的示意圖

附圖2：全市六區(qū)交通網絡與平臺設置的示意圖

說明：

（1）圖中實線表示市區(qū)道路；紅色線表示連接兩個區(qū)之間的道路；（2）實圓點“·”表示交叉路口的節(jié)點，沒有實圓點的交叉線為道路立體相交；

（3）星號“*”表示出入城區(qū)的路口節(jié)點；

（4）圓圈“○”表示現(xiàn)有交巡警服務平臺的設置點；（5）圓圈加星號“○*

”表示在出入城區(qū)的路口處設置了交巡警服務平臺；

（6）附圖2中的不同顏色表示不同的區(qū)。

說明：

A列：是全市交通網絡中路口節(jié)點的標號（序號）

B列：路口節(jié)點的橫坐標X，是在交通網絡中的實際橫坐標值 C列：路口節(jié)點的縱坐標Y，是在交通網絡中的實際縱坐標值 D列：路口節(jié)點所屬的區(qū) 量

地圖距離和實際距離的比例是1:100000,即1毫米對應100米 坐標的長度單位為毫米 全市路口節(jié)點標號 標X 路口的橫坐

E列：各路口節(jié)點的發(fā)案率是每個路口平均每天的發(fā)生報警案件數(shù)

路口的縱坐標Y

路口所屬區(qū)

域

發(fā)案率(次

數(shù))1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 413 403 383.5 381 339 335 317 334.5 333 282 247 219 225 280 290 337 359 343 351 377.5 376 383 362 353.5 342 325 301 316 270 292 335 328 A A A A A A A A A A A A A A A A 1.7 2.1 2.2 1.7 2.1 2.5 2.4 2.4 2.1 1.6 2.6 2.4 2.2 2.5 2.1 2.6 17 415 18 432 19 418 20 444 21 251 22 234 23 225 24 212 25 227 26 256 27 250.5 28 243 29 246 30 314 31 315 32 326 33 327 34 328 35 336 36 336 37 331 38 371 39 371 40 388.5 41 411 42 419 43 411 44 394 45 342 46 342 47 325 48 315 49 342 50 345 51 348.5 52 351 53 348 54 370 55 371 56 354 57 363 58 357 59 351 60 369 335 A 371 A 374 A 394 A 277 A 271 A 265 A 290 A 300 A 301 A 306 A 328 A 337 A 367 A 351 A 355 A 350 A 342.5 A 339 A 334 A 335 A 330 A 333 A 330.5 A 327.5 A 344 A 343 A 346 A 342 A 348 A 372 A 374 A 372 A 382 A 380.5 A 377 A 369 A 363 A 353 A 374 A 382.5 A 387 A 382 A 388 A 2.5 1.9 1.8 1.9 1.4 1.4 2.4 1.1 1.6 1.2 0.8 1.3 1.4 2.1 1.6 1.5 1.4 1.7 1.4 1.1 0.1 1.2 1.4 1.7 1.4 1.4 1.7 1.1 1.4 1.2 1.6 1.4 1.2 1.1 0.8 0.6 1.4 0.9 1 0.5 0.8 1.1 0.9 0.7 61 335 62 381 63 391 64 392 65 395 66 398 67 401 68 405 69 410 70 408 71 415 72 418 73 422 74 418.5 75 405.5 76 405 77 409 78 417 79 420 80 424 81 438 82 438.5 83 434 84 438 85 440 86 447 87 448 88 444.5 89 441 90 440.5 91 445 92 444 93 140 94 145 95 160 96 142.5 97 150 98 186 99 158 121 157 158 159 133 395 A 381 A 375 A 366 A 361 A 362 A 359 A 360 A 355 A 350 A 351 A 347 A 354 A 356 A 364.5 A 368 A 370 A 364 A 370 A 372 A 368 A 373 A 376 A 385 A 392 A 392 A 381 A 383 A 385 A 381.5 A 380 A 360 A 130 B 118 B 96 B 71 B 70 B 145 B 73.5 B 68 B 145 B 138.5 B 135 B 114 B 0.6 1.2 1.4 0.8 0.7 0.8 0.8 0.9 1.1 0.9 1.1 0.8 0.9 1.1 0.8 1.1 0.8 0.8 0.8 0.8 1.4 1.1 0.9 1 1.2 1.4 1.1 0.9 1.4 0.9 0.9 0.8 1.6 1.6 1.6 2.1 1.8 1.6 2.6 2.6 1.1 0.9 0.5 0.7 100 101 102 103 104 105 137.5 106 144 107 139 108 144.5 109 151 110 151.5 111 150 112 158 113 159 114 164 115 163 116 149 117 143 118 137 119 131 120 130 121 127 122 125 123 129 124 130 125 124 126 136 127 136 128 142 129 148 130 142 131 147 132 128 133 136.5 134 142 135 147 136 154 137 148.5 138 140 139 140 140 137.5 141 138 142 143 143 151 144 153 145 143 146 143 147 143 148 160 113 B 112 B 117 B 115 B 113 B 118 B 111 B 118 B 109 B B 105 B 99.5 B 102 B 103 B 103 B 100 B 102 B 98 B 96 B 90 B 90 B 96 B 90 B 96 B 96 B 91 B 91 B 71 B 76 B 79 B 81 B 86 B 74.5 B 70 B 63 B 63 B 59 B 63 B 69 B 63 B 60 B 57 B 51.5 B 65 B 0.4 0.8 0.2 0.8 0.6 0.9 0.8 1.1 0.8 0.4 0.7 1.2 0.8 0.9 0.5 0.6 0.6 0.8 0.9 0.4 0.7 1.1 0.8 0.8 0.7 0.6 0.7 1.2 0.8 1.1 0.8 0.9 1.1 0.6 0.7 0.8 0.4 1.1 0.8 1.1 0.7 0.6 0.8 1.1

108.5 149 162 150 141 151 143 152 151 153 150 154 164 155 171 156 165.5 157 181 158 176 159 170 160 168 161 166 162 176 163 180 164 183 165 202 166 137.5 167 167 168 376 169 210 170 263 171 284 172 278.5 173 295 174 299 175 362 176 410 177 395 178 277 179 235 180 200 181 167 182 225 183 400 184 414 185 424 186 411 187 420 188 403 189 376 190 380 191 377 192 374 59 B 49 B 40 B 44 B 33 B 124 B 125 B 139 B 131 B 141 B 140 B 145 B 150 B 145 B 149 B 145 B 131 B 462 C 399 C 400 C 390 C 445 C 409 C 425 C 382 C 444 C 443 C 408.5 C 520 C 496 C 465 C 466.5 C 462 C 443 C 447 C 422 C 400 C 396 C 401 C 404 C 406 C 404 C 424 C 424 C 0.6 0.4 0.8 0.5 0.1 0.6 0.7 1.1 1.4 1.6 0.8 0.6 0.8 0.6 0.7 1.1 1.1 2.6 2.2 1.4 2.6 2.2 1.9 2.2 2 2.6 2.2 2.1 2.2 1.7 2.2 1.9 2.4 2.4 1.2 1.4 1.2 1.4 0.8 1.2 0.9 0.8 0.8 0.8 193 370 194 368 195 374 196 365 197 356 198 358 199 354 200 357 201 359 202 347 203 261 204 270 205 313 206 324 207 333 208 334 209 323 210 312 211 317 212 316 213 315.5 214 316 215 318 216 291.5 217 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