第一篇：高數(shù)競賽（本站推薦）

高數(shù)

說明：請用A4紙大小的本來做下面的題目（陰影部分要學(xué)完積分之后才能做）

第一章 函數(shù)與極限

一、本章主要知識點概述

1、本章重點是函數(shù)、極限和連續(xù)性概念；函數(shù)是高等數(shù)學(xué)研究的主要對象，而極限是高等數(shù)學(xué)研究問題、解決問題的主要工具和方法。高等數(shù)學(xué)中的一些的重要概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等，不外乎是不同形式的極限，作為一種思想方法，極限方法貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終。

然而，極限又是一個難學(xué)、難懂、難用的概念，究其原因在于，極限集現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大矛盾于一身。（1）、動與靜的矛盾：極限描述的是一個動態(tài)的過程，而人的認(rèn)識能力本質(zhì)上具有靜態(tài)的特征。（2）無窮與有窮的矛盾：極限是一個無窮運算，而人的運算能力本質(zhì)上具有有窮的特征。極限就是在這兩大矛盾的運動中產(chǎn)生，這也是極限難學(xué)、難懂、難用之所在。

連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)研究對象的一個基本性質(zhì)，又往往作為討論函數(shù)問題的一個先決條件，且與函數(shù)的可導(dǎo)性、可積性存在著不可分割的邏輯關(guān)系。

2、從2001年第一屆天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽至今共八屆競賽試題分析，函數(shù)極限及其連續(xù)性在有的年份占了比較大的比重，連續(xù)性、極限與導(dǎo)數(shù)、積分等綜合的題目也要引起足夠的重視；從最近幾年的考題也可以看出，有個別題目是研究生入學(xué)考試題目的原題，如2004年競賽試題二為1997年研究生入學(xué)考試題目；2006年競賽試題一為2002年研究生入學(xué)考試試題；2005年競賽試題一為1997年研究生入學(xué)考試試題等，這也從側(cè)面反映了部分試題難度系數(shù)。

二、證明極限存在及求極限的常用方法

1、用定義證明極限；

2、利用極限的四則運算法則；

3、利用數(shù)學(xué)公式及其變形求極限；（如分子或分母有理化等）

4、利用極限的夾逼準(zhǔn)則求極限；

5、利用等價無窮小的代換求極限；

6、利用變量代換與兩個重要極限求極限（也常結(jié)合冪指函數(shù)極限運算公式求極限）；（2）利用洛必達(dá)法則求極限；

7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求極限；

8、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；

9、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限；

10、利用定積分的定義求某些和式的極限；11先證明數(shù)列極限的存在（常用到“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的準(zhǔn)則，再利用遞歸關(guān)系求極限）

12、數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限等。當(dāng)然，這些方法之間也不是孤立的，如在利用洛必達(dá)法則時經(jīng)常用到變量代換與等價無窮小的代換，這大大簡化計算。

對于定積分的定義，要熟悉其定義形式，如

（二）高數(shù)

極限的運算

要靈活運用極限的運算方法，如初等變形，不僅是求極限的基本方法之一，也是微分、積分運算中經(jīng)常使用的方法，常用的有分子或分母有理化、分式通分、三角變換、求和等。

高數(shù)

高數(shù)

高數(shù)

（四）連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及有關(guān)的證明、極限與導(dǎo)數(shù)、積分等結(jié)合的綜合性題目。

16、（2006年數(shù)學(xué)一）

（五）無窮小的比較與無窮小的階的確定常用工具——洛必達(dá)法則與泰勒公式。

高數(shù)

（六）由極限值確定函數(shù)式中的參數(shù)

求極限式中的常數(shù)，主要根據(jù)極限存在這一前提條件，利用初等數(shù)學(xué)變形、等價無窮小、必

達(dá)法則、泰勒公式等來求解。

高數(shù)

四、練習(xí)題

高數(shù)

高數(shù)

高數(shù)

高數(shù)

五、歷屆競賽試題

2001年天津市理工類大學(xué)數(shù)學(xué)競賽

2002年天津市理工類大學(xué)數(shù)學(xué)競賽

2003年天津市理工類大學(xué)數(shù)學(xué)競賽

高數(shù)

高數(shù)

2004年天津市理工類大學(xué)數(shù)學(xué)競賽

2005年天津市理工類大學(xué)數(shù)學(xué)競賽

高數(shù)

2007年天津市理工類大學(xué)數(shù)學(xué)競賽

高數(shù)

2010年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽一元函數(shù)微分學(xué)部分試題

一、填空

注：本題為第十屆（1998年）北京市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題

二、選擇

三、計算

四、證明

高數(shù)

首屆中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽賽區(qū)賽（初賽）試題2009年

一、填空

二、計算

第二篇：高數(shù)競賽策劃書

河南科技大學(xué)

2011級“高等數(shù)學(xué)”競賽策劃書

大學(xué)的榮譽，不在于它的校舍和人數(shù)，而在于它一代又

一代人的質(zhì)量。我想這句話真正的注解了一個學(xué)校的內(nèi)涵，今天我們是一個學(xué)院人，以我們學(xué)院的榮譽為驕傲。而明天，我們應(yīng)該讓學(xué)院因曾經(jīng)有過我們而感到欣慰。我院決定面向2011級全體學(xué)生進(jìn)行開展“高等數(shù)學(xué)競賽”活動。具體策劃方案如下：

一、主題

“高等數(shù)學(xué)”競賽

二、主辦單位

材料學(xué)院

三、目的和意義

1.通過競賽可以激發(fā)廣大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和熱情。

2.我院多數(shù)專業(yè)的專業(yè)課程中涉及較多的數(shù)學(xué)知識，對學(xué)生

更好的學(xué)習(xí)專業(yè)知識有很大的幫助。

3.通過競賽，使學(xué)生加深學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想，有利于

學(xué)生提高邏輯思維能力，提升解決實際問題的素質(zhì)。

4.通過學(xué)院競賽，可以宣傳與擴(kuò)大我院在學(xué)校中的知名度。

四、競賽方式與創(chuàng)新點

1.競賽以考試的形式進(jìn)行。

2.本次競賽將增加學(xué)生以專業(yè)為背景，為以后設(shè)計數(shù)學(xué)建模

并解決問題題奠定基礎(chǔ)。

五、競賽工作安排

1.張貼宣傳海報

張貼時間:4月15日

2.場地申請

3.邀請老師配合出題

4.試卷批改

學(xué)習(xí)委員監(jiān)考并批閱

批閱時間4月26日（周四）下午5:40

5.賽后衛(wèi)生打掃

六、競賽辦法

1.競賽對象

材料學(xué)院2011級學(xué)生，每班5—10名

2.競賽報名

各班學(xué)生報名到班級學(xué)習(xí)委員，然后上報年級學(xué)習(xí)委員

3.競賽內(nèi)容

高等數(shù)學(xué)第六版上冊1/3，下冊2/3。（難易適中）

4.競賽時間

2012年4月26日（周四）下午3：00---5:00

5.競賽地點

開元校區(qū)教學(xué)樓五區(qū)416

6.競賽獎勵

一等獎1名：德育分30分+50元獎品+獎狀

二等獎3名：德育分20分+30元獎品+獎狀

三等獎6名：德育分10分+20元獎品+獎狀 賽后公示

以板報或院報的形式公布

七、競賽要求

遵守考試秩序，誠信答卷，杜絕作弊。

材料學(xué)院

2012年4月10日

第三篇：2012高數(shù)競賽24111報名表

中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）2012高數(shù)競賽報名表

所在學(xué)院:資源學(xué)院學(xué)院負(fù)責(zé)人:

總計人數(shù):

10負(fù)責(zé)人聯(lián)系電話：***

第四篇：極限連續(xù)-高數(shù)競賽超好

高數(shù)競賽例題

第一講 函數(shù)、極限、連續(xù)

例1.例2.例3.例4.例5.例6.例7.例8.例9.lim1nn??(1?n2???nn).lim1?3?5?(2n?1)2?4?6?(2n)n??

limx?0x?3????5?x?，其中[?]為取整函數(shù)

lim1?cosxx2x?0

lim(cosn???n)n2

lim(x??x?ax?a)2x?1e，求常數(shù)a.lim(sinx??2x?cos1x)x

lim[(n?n?n??32n21)en?1?n]

6limln(1?3x)(e2x3x?0?1)sinx2 例10.例11.例12.lim1?tanx?1?sinx2x?0xln(1?x)?x

limln(1?2)ln(1?x??x3x)

limsinx?xcosxsinx3x?0

例13.已知f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且lim(sin2x?x?0f(x)xx)?2，求 f(0),f?(0).例14.例15.例16.lim(n??nn?12?nn?222???nn?n22)

?2?n??sinsinsin?n?n???nlim?n??11?n?1n?n?2n??????

x???lim[x?x?1?(ax?b)]?0，求常數(shù)a,b.2例17.設(shè)f(x)?nlim???

x2n?1?ax?bxx2n2?1為連續(xù)函數(shù)，求a,b.例18.設(shè)f(x)在(??,??)上連續(xù)，且f(f(x))?x，證明至少??，使得f(?)??.....................................................................................................................極 限

例1.例2.nlim(n??1n?n?12?2n?n?22???nn?n?n2)

limn???k?1kn?k?122

先兩邊夾，再用定積分定義 例3.例4.例5.設(shè)limx?0 例6.例7.?1x2lim(n?1)nnn?1n??sin1n

lime?e2xsinx2x?0x[ln(1?x?x)?ln(1?x?x)]

ln(1?)f(x)tanx?5，求limx2x?02?1xf(x).12(3sint?tcos)dt?0tlimxx?0(1?cosx)?ln(1?t)dtx0

x???limln(2e2?x?x?1)x?xsinx?1

例8.例9.limexx?0100

x???lim(x?x?x?x)

1例10.xxxlim??a1?a2???an?x?，其中，ax?0?.?n??1,a2?,an均為正數(shù)

例11.已知2nf(x)?limxe(1?x)n?xen??e(1?x)n?x2n?1，求?0f(x)dx.例12.設(shè)10?a?b，求lim?a?n?b?n?nn??

例13.設(shè)f(x)在(??,??)內(nèi)可導(dǎo)，且limf?(x)?ex??，xlim?的值.??x?c???lim[f(x)?f(x?1)]，求cx??x?c?x??

例14.設(shè)f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且f??(0)?0，x又已知)dtlim?0f(tx?0?x??sinx???0,求?,?.例15.當(dāng)x?1時，lim(1?x)(1?x2)(1?x4)n?(1?x2)n??

例16.當(dāng)x?0時，求limxn??cosx2cosx4?cos2n

例17.lim(1?1(1?1n??22)(1?132)?n2)

例18.lim1nn??nn(n?1)?(2n?1)

limf(x)x?0x?0，連 續(xù)

例1.求f(x)?lim

例2.設(shè)g(x)在x?0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且lim?1g(x2t)dt?1??02?x??1f(x)???2?a?bcosx2?x??x?0x?0x?01?x1?x2n的間斷點，并判斷其類型

n??g(x)?1xn?0?a，已知

在x?0處連續(xù)，求a,b的值.例3.證方程ln實根.例4.f(x)在[a,b]上連續(xù)，且a?c?d?b，證：在(a,b)內(nèi)至少存在?x?xe???01?cos2xdx在區(qū)間(0,??)內(nèi)有且僅有兩個不同，使得pf(c)?qf(d)?(p?q)f(?)，其中p,q為任意正常數(shù).例5.設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且x1,x2,?,xn?(a,b)，試證：???(a,b)，使

例6.試證方程x?asin且它不超過b?a.例7.設(shè)f(x),g(x)在(??,??)上連續(xù)，且g(x)?0,利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點??[a,b]，使?abf(?)?1n[f(x1)?f(x2)???f(xn)].x?b，其中a?0,b?0，至少存在一個正根，并

f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

ab

第五篇：高數(shù)競賽練習(xí)題答案(函數(shù)、極限、連續(xù))

函數(shù)、極限、連續(xù)

1.f(x),g(x)?C[a,b]，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又f(a)?g(a),f(b)?g(b),證明：(1)???(a,b),使f(?)?g(?)

(2)???(a,b),使f??(?)?g??(?)證明：設(shè)f(x),g(x)分別在x?c,x?d處取得最大值M，不妨設(shè)c?d(此時a?c?d?b)，作輔助函數(shù)F(x)?f(x)?g(x),往證???(a,b),使F??(?)?0

令F(x)?f(x)?g(x),則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)二階可導(dǎo)，且F(a)?F(b)?0，① 當(dāng)c?d，由于 F(c)?f(c)?g(c)?M?g(c)?0F(d)?f(d)?g(d)?f(d)?M?0由“閉.連.”零點定理，???[c,d]?(a,b),使f(?)?g(?)② 當(dāng)c?d，由于F(c)?f(c)?g(c)?f(c)?g(d)?M?M?0即???(a,b),使f(?)?g(?)

對F(x)分別在[a,?],[?,b]上用羅爾定理，??1?(a,?),?2?(?,b)，使

在[?1,?2]上對F(x)在用羅爾定理，F(xiàn)?(?1)?F?(?2)?0，???(?1,?2)?(a,b)，使F??(?)?0，???(a,b),使f??(?)?g??(?).2.設(shè)數(shù)列{xn}滿足0?x1??,xn?1?sinxn,n?1,2,?

xn存在，并求該極限(1)證明limn??

xn?1x1n(2)計算lim()n??xn

分析：(1)確定{xn}為單調(diào)減少有下界即可

1xn，用洛必達(dá)法則.(2)利用(1)確定的limn??

解：易得0?xn?1(n?2,3,?)，所以xn?1?sinxn?xn,n?(2,3,?)，即{xn}為

xn存在，并記為limxn?a,則a?[0,1]，單調(diào)減少有下界的數(shù)列，所以 lim n??n??

對等式xn?1?sinxn?xn,兩邊令n??取極限，得a?sina,a?[0,1]，所以

a?0,即limxn?0.n??

lim((2)n

??

xn?1sinxn)?lim()

n??xnxn

2xn

2xn

令t?xn

?lim（t?0

sint)?et?0t

tlim

ln()t

t

2由于

lim

t?0

t

ln(sin)ttsint

ln[1?(sin?1)]?1-1t2sint?t洛cost?11tt2

?lim?lim?lim?lim?lim?? t?0t?0t?0t?0t?03t2t2t2t33t26

xn?1xn?1

所以lim()?e.n??xn

3.已知f(x)在[0,1]連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，且f(0)?0,f(1)?1，證明：(1)???(0,1),使f(?)?1??，(2)存在兩個不同點?,??(0,1),使f?(?)f?(?)?1

證：(1)令F(x)?f(x)?x?1，則F(x)在[0,1]上連續(xù)，且

F(0)??1?0,F(1)?1?0，由“閉.連.”零點定理，???(0,1),使F(?)?0,即f(?)?1??

(2)f(x)在[0,?],[?,1]上都滿足拉格朗日中值定理，所以

???(0,?),??(?,1)，使

f(?)?f(0)?f?(?)(??0),f(1)?f(?)?f?(?)(1??)，即

f?(?)?f?(?)?

f(?)

?

?

1??

?

1?f(?)1?(1??)?

??1??1??1??

?f?(?)f?(?)?

1??

?

?

?

1??

?1

4.設(shè)方程xn?nx?1?0，其中n為正整數(shù)，證明此方程存在唯一的正

?

實根xn，并證明當(dāng)??1時，級數(shù)?xn收斂.n?1?

證：令f(x)?xn?nx?1,則f(x)在(0,??)上連續(xù)，且

f(0)??1?0,f()?()n?0

nn

所以由連續(xù)函數(shù)的零點定理，所給方程在(0,)內(nèi)有根，又由f?(x)?n(xn?1?1)?0,即f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增，所以所給方程(0,)內(nèi)只有唯一的根，在(，?)上無根，即所給方程存在唯一的正實根xn.?

?由上述知，對n?1,2,?，有0?xn?,有0?xn

?

1n

1n1n

1n

1n1，n?

此外，由??1知，級數(shù)?

收斂，所以由正項級數(shù)比較審斂法，知?

n?1n

?x?收斂.nn?1

?

5.求lim(cosx)

x?0

1ln(1?x)

x?0ln(1?x)

解：lim(cosx)

x?0

1ln(1?x)

=e

lim

lncosx，其中l(wèi)imln(1?x

x?0

lncosx)

?lim

x?0

ln[1?(cosx?1)]ln(1?x)

?lim

x?0

?x22x

??

(cosx)所以，limx?0

ln(1?x)

?e

?

6.f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)?0,f?(0)?0,若

af(h)?bf(2h)?f(0)在h?0時是比h高階的無窮小，試確定a,b的值.解1：（利用導(dǎo)數(shù)定義）

0?lim

af(h)?bf(2h)?f(0)af(h)?af(0)?af(0)?bf(2h)?bf(0)?bf(0)?f(0)

?lim

h?0h?0hhaf(h)?af(0)bf(2h)?bf(0)[(a?b)?1]f(0)[(a?b)?1]f(0)?lim?lim?lim?(a?b)f?(0)?limh?0h?0h?0h?0hhhh

?a?b?1

?由f(0)?0,f(0)?0,得?,即a?2,b??1

a?2b?0?

解2：按解1，只要假定f(x)在x?0處可導(dǎo)即可，但在題中“f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)”的假定下，有以下解法：由lim

h?0

h?0

af(h)?bf(2h)?f(0)

?0得 limaf(h)?bf(2h)?f(0)=0

h?0h

即0?limaf(h)?bf(2h)?f(0)?(a?b?1)f(0)，由f(0)?0,得a?b?1（1）

af(h)?bf(2h)?f(0)洛

?limaf?(h)?2bf?(2h)?(a?2b)f?(0)且f?(0)?0,又由0?lim

h?0h?0h

所以 a?2b?0（2）

由（1）、（2）得a?2,b??1.?2?esinx?

?.7.求lim?4??x?0x??1?e?

解：

?2e??e?sinx??2?esinx?

??1 ???lim?lim?4?4????x?0x?0?x?x??1?e??e?1??2?esinx??2?esinx?

?????1 lim?lim4?4??????x?0x?x?0?1?ex??1?e?

所以 原式 = 1

8.求lim

x?0

143

?x??x?2

.2

x

解1：（泰勒公式）因

?x??x?2?[1?

1111

x?x2?o(x2)]?[1?x?x2?o(x2)]?22828(x?0)

??x2?o(x2)~?x2

所以

1?x2

?x??x?2??1lim?limx?0x?0x2x24

解2：（洛必達(dá)法則）

?

?x??x?2洛必達(dá)lim?limx?0x?0x22x1?x??x1

?lim?lim x?0?x?x4x?0x

1?2x1?lim.??4x?0x(?x??x)4