第一篇：高數(shù)讀書筆記

篇一：高數(shù)讀書筆記

問(wèn)題1 學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)該注意什么? 答 多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)的推廣．多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)有密切聯(lián)系，兩者有很多類似之處，但特別應(yīng)注意的是，兩者在概念、理論及計(jì)算方法上還有一些實(shí)質(zhì)性的差異從二元到二元以上的函數(shù)在理論上以及研究方法上是類似的.因此,我們是以二元函數(shù)為代表對(duì)多元函數(shù)微分學(xué)進(jìn)行研究.在學(xué)習(xí)本章時(shí)．一定要注意與一元函數(shù)相對(duì)照、類比，比較它們之間的異同，這樣有助于學(xué)好多元

函數(shù)微分學(xué)．

問(wèn)題5 二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限有何同異點(diǎn)? 答 二元函數(shù)的極限定義與一元函數(shù)極限定義在文字?jǐn)⑹錾鲜穷愃频模珜?shí)際上二元函數(shù)極限比一元函數(shù)極限的自變量變化過(guò)程在方式

上復(fù)雜得多．

對(duì)于一元函數(shù)y=f(x)，當(dāng)x→x0時(shí)，如果極限存在且為a，這里x→x0，是指x始終在x軸上，x或者在x0的左側(cè)趨于x0，或者在x0的右側(cè)趨于x0，f(x)都趨于a．對(duì)于二元函數(shù)z=f(x，y)，當(dāng)(x，y)→(x0，y0)時(shí)，f(x，y)的極限存在且為a，這里是指(x，y)在其定義域內(nèi)以任意方式趨于點(diǎn)(x0，y0)時(shí)，f(x，y)趨于同一個(gè)確定值a．由于點(diǎn)(x，y)在其定義域內(nèi)趨于點(diǎn)(x0，y0)的情形可以很復(fù)雜，因此二元函數(shù)極

限的復(fù)雜性就在這里，故求二元函數(shù)極限時(shí)必須注意：

(1)求二元函數(shù)極限時(shí)，不能限制點(diǎn)(x，y)→(x0，y0)的方式(即應(yīng)該以

任意方式)．(2)如果限制(x，y)→(x0，y0)的方式來(lái)計(jì)算二元函數(shù)極限，則必須首

先證明極限的存在性(即在已知f(x，y)存在的前提下，才可以用一

條特殊的路徑來(lái)求此極限)．

(3)若當(dāng)(x，y)沿著兩條不同路徑趨于(x0，y0)，f(x，y)趨于不同值時(shí)，則可斷定當(dāng)(x，y)→(x0，y0)時(shí)，f(x，y)的極限不存在(此法可用來(lái)判

斷極限不存在)．

問(wèn)題6 何謂偏導(dǎo)數(shù)?怎樣求偏導(dǎo)數(shù)? 答 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，就是只有一個(gè)自變量變化(其它自變量看成是常數(shù))時(shí)，函數(shù)的變化率因此，求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就相當(dāng)于求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù).一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則對(duì)于求多元

函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)完全適用.偏導(dǎo)數(shù)的求法： 1當(dāng)二元函數(shù)為分段函數(shù)時(shí)，求在分段點(diǎn)或分段線上的點(diǎn)(x0，y0)處

的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，要根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求即

2。求多元初等函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)．可將多元函數(shù)視為一元函數(shù)，即將不對(duì)其求偏導(dǎo)數(shù)的那些變量統(tǒng)統(tǒng)看成常量，利用一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則求出偏導(dǎo)數(shù).值得指出，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記號(hào)不同．偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)、是一個(gè)整體，不能分開(kāi)不能看

成z與x之商，記號(hào)z與x本身沒(méi)有意義.而一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記號(hào)如，可看成兩個(gè)微分dz與dx之商.思考題5 如果函數(shù)z=f(x,y)在(x0，y0)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，試問(wèn)z=f(x，y)在(x0，y0)點(diǎn)一定連續(xù)嗎? 分析 不一定二元函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性(即一階偏導(dǎo)數(shù)都存在)．兩者沒(méi)有必然聯(lián)系.這與一元函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)是不同的為什么偏導(dǎo)數(shù)存在而函數(shù)可以不連續(xù)呢?這是因?yàn)閒(x，y)在點(diǎn)m0(x0，y0)存在關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)fx(x0，y0)，只能得到一元函數(shù)z=f(x，y0)在點(diǎn)x= x0處連續(xù).同樣，由fy(x0，y0)存在，只能得到一元函數(shù)z=f(x0，y)在點(diǎn)y=y0處連續(xù)事實(shí)上，偏導(dǎo)數(shù)fx(x0，y0)與fy(x0，y0)的存在，只反映了f(x，y)沿平行于x軸與平行于y軸兩個(gè)特殊方向在m0(x0，y0)處的變化率，它們的存在只能保證點(diǎn)m(x，y)沿x軸與沿y軸方向趨于點(diǎn)m0時(shí)，函數(shù)值f(x，y)趨于f(x0，y0)，但這不能保證點(diǎn)m以任何方式趨于點(diǎn)m0時(shí)．函數(shù)值f(x，y)都趨于f(x0，y0).所以，函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)偏導(dǎo)數(shù)存在，不能保證f(x，y)在點(diǎn)f(x，y)一定

思考題7 二元函數(shù)f(x，y)在一點(diǎn)處極限存在、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在可微以及偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)等諸條件之間有何相

互關(guān)系? 分析 二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處，上述諸條件之間關(guān)系可以用箭頭表示：

其中記號(hào)“a→b”，表示“a可以推出b”，兩個(gè)條件之間沒(méi)有箭頭表示，則表示兩條件間沒(méi)有必然聯(lián)系，上

式的箭頭方向是不可逆的.二元函數(shù)與一元函數(shù)諸條件之間的相互關(guān)系有相似之處．但又有一些明顯不同如一元函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)有： 可微可導(dǎo)→連續(xù)→有極限.篇二：高數(shù)讀書筆記

馬燕妮 四川農(nóng)業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 高 等 數(shù) 學(xué) 讀 書 筆 記

——定積分與不定積分經(jīng)濟(jì)學(xué) 中國(guó)成都 611130 【摘要】本文首先介紹了不定積分與定積分的基本定義，而后主要探究幾種比較重要的積分法。定積分是微積分學(xué)中的主要概念之一，它是從各種各樣的積累中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念，它是函數(shù)的一種特定結(jié)構(gòu)和式的極限。不定積分又與定積分進(jìn)行對(duì)比記憶，對(duì)不定積分的計(jì)算進(jìn)行系統(tǒng)整理。

【關(guān)鍵字】定積分；不定積分；面積；湊微分法；分部積分法；換元積分法；有理函數(shù)不定積分 【abstract】

【key words】definite integral；indefinite integral；area；differentiation division integral method；integral method in yuan；the indefinite integral rational function

一、不定積分與定積分的定義

（一）、定積分的定義：

設(shè)f是定義在[a,b]上的一個(gè)函數(shù)，對(duì)于[a,b]的一個(gè)分割t={ ?1,?2???n}，任取點(diǎn)

?i??i,i?1,2,?，n,并作和式?f(x)?xi稱此和式為函數(shù)f在[a,b]上的一個(gè)積分和，也

i?1 n 稱黎曼和。

設(shè)f是定義在[a,b]上的一個(gè)函數(shù)，j是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。若對(duì)任給的正數(shù)?，總存在某一正數(shù)?，使得對(duì)[a,b]的任何分割t，以及在其上任意選取的點(diǎn)集{ ?i}，只要||t||

?f(x)?xi?j??,則成函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上可積；數(shù)j稱為f在[a,b]上的定積分

i?1 n 記作j= ? b a f(x)dx其中，f稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量，[a,b]稱為積分區(qū)間，a,b分別

稱為這個(gè)定積分的下限和上限。

（二）、不定積分的定義

函數(shù)f(x)在區(qū)間i的所有的原函數(shù)f ?x??c??c?r?稱為函數(shù)f(x)的不定積分，dx?f(x)?cf(x)?f(x)（，c為積分常數(shù)）, 表為f(x)? 其中∫稱為積分符號(hào)，x稱為積分變量，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，c稱為積分常數(shù)。

在這里要特別注意：一個(gè)函數(shù)的不定積分既不是一個(gè)數(shù)，也不是一個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)族。列如：

?1122???at?atatdt?at?c；，而?2??2??

?sinx?

?cosx,而?cosxdx?sinx?c；

?13?1322 ??x?xxdx?x?c.而?3??3?? d dx ??f(x)?是不相等的，即前者的結(jié)果是一個(gè)函數(shù)，而后

所以，在書寫計(jì)算結(jié)果時(shí)一定不能忘記積分常數(shù)。

0dx?csinaxdx??cosax?c(a?0)??a ?dx?x?c x ?x ? dx? x ??1 ??1 ?c(???1,x?0)1 ?x?lnx?c ?edx?e?csc，這也就是說(shuō)： 和?f(x)dx者是無(wú)窮多個(gè)函數(shù)，二、基本積分 2 ?c ?adx?lna?c(a?0,a?1)x x ?secx?tanx?secx?c dx??cotx?c ?cosaxdx? dx?x 2 sinax ?c(a?0)x 2sec?xdx?tanx?c ?cscx?cotxdx??cscx?c? ?arcsinx?c??arccosx?c dx ?1?x2?arctanx?c??arccotx?c 積分的性質(zhì)

質(zhì)

1積，k為常數(shù)，則kf在[a,b]上也可積，且

? b b a kf(x)dx?k?f(x)dx a 2[a,b]z上可積，則f±在[a,b]上也可積，且 ? b a [f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx a

三、定積分與不定

（一）、定積分的性若f在[a,b]上可若f、g都在 a bb 3若f、g都在[a,b]上可積，則f*g在[a,b]上也可積.4 f在[a,b]上可積的充要條件是：任給c∈（a,b）,f在[a,c]與[c,b]上都可積。此時(shí)又有等式 ? b a f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx a c cb 5.的可積函數(shù).若f(x)≥0,x∈[a,b],則

? b a f(x)dx?0.上的兩個(gè)可積函數(shù)，且f(x)≤g(x),x∈[a,b],則有

? b a f(x)dx??g(x)dx a b 6.可積，則|f|在[a,b]上也可積，且

? b a f(x)dx??f(x)a b

續(xù)，則至少存在一點(diǎn)??[a,b],使得

? b a f(x)dx?f(?)(b?a).設(shè)f為[a,b]上若f與g為[a,b]若f在[a,b]上積分中值定理： 若f在[a,b]上連（推廣的積分第一中值定理）若f與g都在[a,b]上連續(xù)，且g(x)在[a,b]上不變號(hào)，則至少存在一點(diǎn)??[a,b],使得

（二）、不定積分的性質(zhì)

1、函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和；即：設(shè)函數(shù)發(fā)f（x）及

g（x）的原函數(shù)存在，則

2、求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來(lái)。即：設(shè)函數(shù)f（x）的原函數(shù)存在，k非零常數(shù)，三、定積分與不等積分的計(jì)算方法 1.分項(xiàng)積分法

則 ? b a f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx a b 我們常把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)之和：f(x)?k(x)+k)1g12g2(x ? b a f(x)dx，若右端的積分會(huì)求，則應(yīng)用法則?f(x)dx?k1?g1(x)dx+k2?g2(x)dx,其

a a a bbb 中k1，k2是不全為零的任意常數(shù)，就可求出積分，這就是分項(xiàng)積分法.? 例1計(jì)算定積分 4 12 1.x4(1?x2)解 利用加減一項(xiàng)進(jìn)行拆項(xiàng)得

? = 412 ???2222 1(1?x)?x1(1?x)?x =144dx=144?142 4222 x(1?x)x(1?x)xx(1?x)222? ?? 111144 ??+=dx12x2121?x2 3x3x4 ? 412 412 1+x ?412 +arctanx ?412.=? 64415??arctan?.3 3??23 2.分段積分法

分段函數(shù)的定積分要分段進(jìn)行計(jì)算，這里重要的是搞清楚積分限與分段函數(shù)的分界點(diǎn)之間的位置關(guān)系，以便對(duì)定積分進(jìn)行正確的分段.被積函數(shù)中含有絕對(duì)值時(shí)，也可以看成分段函數(shù)，這是因?yàn)檎龜?shù)與負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是以不同的方式定義的，0就是其分界點(diǎn).例2計(jì)算定積分 ?1?(x?1)min,cosx??dx.??2 ?2? 2 ? ? 解

由于min?,cosx?為偶函數(shù)，在?0, ? ?1 ?2?? 上的分界點(diǎn)為，所以 ?32?? ?1? xmin,cosx??dx ???2 ?2? 2 ? 1?1???22 =+2min,cosx(x?1)min,cosxdx??dx??20 ?2??2? ? ? ?1 =0?2(?3?

?2cosxdx)=?2?0233 ? 3.換元積分法（變量替換法）換元積分法可以分為兩種類型： 篇三：《高等數(shù)學(xué)》讀書筆記

類型課程學(xué)習(xí)名稱： 高等數(shù)學(xué) 1 時(shí)間：2006.7.7 體裁：說(shuō)明文

掌握

黑色 增刪修內(nèi)容 2 說(shuō)明：凡屬課程都屬說(shuō)明文。要掌握其整體結(jié)構(gòu)和層次內(nèi)容和最后一層次的說(shuō)明內(nèi)容的意思

步驟：1 填寫結(jié)構(gòu)

對(duì)照課程閱讀，理解弄懂

合上課程，看書記住沒(méi) 篇四：數(shù)學(xué)讀書筆記

數(shù)學(xué)讀書筆記

暑假讀了黃先明的《高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法》。

首先，他告訴我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要注意以下三點(diǎn)。一）、課內(nèi)重視聽(tīng)講，課后及時(shí)復(fù)習(xí)。重視課內(nèi)的學(xué)習(xí)效率，要在做各種習(xí)題之前將老師所講的知識(shí)點(diǎn)回憶一遍，正確掌握各類公式的推理過(guò)程，在每個(gè)階段的學(xué)習(xí)中要進(jìn)行整理和歸納總結(jié)，把知識(shí)的點(diǎn)、線、面結(jié)合起來(lái)交織成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，納入自己的知識(shí)體系。二）、適當(dāng)多做題，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。從基礎(chǔ)題入手，以課本上的習(xí)題為準(zhǔn)，反復(fù)練習(xí)打好基礎(chǔ)，再找一些課外的習(xí)題，以幫助開(kāi)拓思路，提高自己的分析、解決能力，掌握一般的解題規(guī)律。對(duì)于一些易錯(cuò)題，可備有錯(cuò)題集。三）、調(diào)整心態(tài)，正確對(duì)待考試。首先，應(yīng)把主要精力放在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法這三個(gè)方面上，在考試前要做好準(zhǔn)備，練練常規(guī)題，把自己的思路展開(kāi)。

其次，他將初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)進(jìn)行了比較。

1、知識(shí)差異。高中數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛，將對(duì)初中的數(shù)學(xué)知識(shí)推廣和引伸，也是對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的完善。

2、學(xué)習(xí)方法的差異?，F(xiàn)在高考數(shù)學(xué)考察，旨在考察學(xué)生能力，避免學(xué)生高分低能，避免定勢(shì)思維，提倡創(chuàng)新思維和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力培養(yǎng)。

3、學(xué)生自學(xué)能力的差異。高中的知識(shí)面廣，知識(shí)全部要教師訓(xùn)練完高考中的習(xí)題類型是不可能的，只有通過(guò)較少的、較典型的一兩道例題講解去融會(huì)貫通這一類型習(xí)題，如果不自學(xué)、不靠大量的閱讀理解，將會(huì)使學(xué)生失去一類型習(xí)題的解法。

最重要的，是告訴了我們?nèi)绾谓⒑玫膶W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣。

（1）課前預(yù)習(xí)，對(duì)所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生疑問(wèn)，產(chǎn)生好奇心。

（2）聽(tīng)課中要配合老師講課，滿足感官的興奮性。聽(tīng)課中重點(diǎn)解決預(yù)習(xí)中疑問(wèn)，把老師課堂的提問(wèn)、停頓、教具和模型的演示都視為欣賞音樂(lè)，及時(shí)回答老師課堂提問(wèn)，培養(yǎng)思考與老師同步性，提高精神，把老師對(duì)你的提問(wèn)的評(píng)價(jià)，變?yōu)楸薏邔W(xué)習(xí)的動(dòng)力。

（3）思考問(wèn)題注意歸納，挖掘?qū)W習(xí)的潛力。

（4）聽(tīng)課中注意老師講解時(shí)的數(shù)學(xué)思想，多問(wèn)為什么要這樣思考，這樣的方法怎樣是產(chǎn)生的？

（5）把概念回歸自然。

總結(jié)起來(lái)，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要：多質(zhì)疑、勤思考、好動(dòng)手、重歸納、注意應(yīng)用。篇五：數(shù)學(xué)讀書筆記

《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論》讀書筆記

注重學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中情感態(tài)度的培養(yǎng)

學(xué)習(xí)了著名數(shù)學(xué)教育專家李光樹(shù)老師的《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論》第一章《小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)思想》，我頗有感悟，現(xiàn)淺談一下自己的一點(diǎn)心得體會(huì)。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，既需要注重學(xué)生知識(shí)、能力和培養(yǎng)，又要注重學(xué)生情感態(tài)度的培養(yǎng)。應(yīng)該說(shuō)，情感態(tài)度的培養(yǎng)比知識(shí)能力的培養(yǎng)更重要。小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出：“培養(yǎng)孩子積極思考的態(tài)度，使孩子在學(xué)習(xí)過(guò)程中增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，培養(yǎng)孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！蔽覐倪@幾句淺顯的話語(yǔ)中悟出了許多深刻的道理。

現(xiàn)代社會(huì)是一個(gè)知識(shí)經(jīng)濟(jì)爆炸的年代，社會(huì)對(duì)孩子的需求也越來(lái)越高，作為新一代的教師，我們不僅要培養(yǎng)出成績(jī)優(yōu)異的孩子，而且要培養(yǎng)出具有自信心的良好心態(tài)的孩子。因?yàn)閷?shí)踐證明，良好的心態(tài)是成功的第一保障，現(xiàn)代兒童的心理問(wèn)題已經(jīng)給我們的教育提出了許多嚴(yán)峻的課題。因此，我認(rèn)為數(shù)學(xué)課堂上也要注重學(xué)生情感態(tài)度的培養(yǎng)。

在這個(gè)問(wèn)題上，我認(rèn)為可以從以下三個(gè)方面重點(diǎn)培養(yǎng)，主要是積極主動(dòng)的參與意識(shí)；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。仔細(xì)思考了一下這三個(gè)方面應(yīng)該是互相聯(lián)系、辨證統(tǒng)一的。有了積極主動(dòng)的參與意識(shí)，自信心就慢慢培養(yǎng)了起來(lái)，有了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心就有了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，如何培養(yǎng)孩子這些方面的情感態(tài)度。

首先，在課堂上要充分體現(xiàn)以學(xué)生為主體，真正體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，創(chuàng)設(shè)民主、和諧的課堂氛圍。在課堂上，教師不能以傳統(tǒng)填鴨式的方式教學(xué)，要讓學(xué)生通過(guò)操作、實(shí)驗(yàn)、交流、討論等活動(dòng)，自己經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，自己總結(jié)出結(jié)論，充分體現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探索，這樣慢慢的培養(yǎng)起學(xué)生的自主參與意識(shí)。

其次，要多給孩子鼓勵(lì)，多給孩子信心，任何孩子在成長(zhǎng)中都會(huì)犯這樣、那樣的錯(cuò)誤，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也難免如此。這時(shí)，老師不要一味地批評(píng)，因?yàn)檫^(guò)度地批評(píng)會(huì)讓孩子失去信心，會(huì)讓孩子缺乏思考的勇氣，久而久之就會(huì)使孩子只學(xué)會(huì)接受，沒(méi)有自己的思考和思想，更談不上學(xué)習(xí)的自信心和興趣了。所以，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該多以鼓勵(lì)為主，多給孩子一些信心，相信你的學(xué)生是最棒的。

最后，我認(rèn)為除了在思想、情感上多以積極的心態(tài)培養(yǎng)孩子外，還應(yīng)該給孩子們創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的良好氛圍，讓孩子們?cè)谝粋€(gè)喜歡數(shù)學(xué)的環(huán)境中學(xué)習(xí)，受到熏染，培養(yǎng)孩子的興趣。

自信心是成功的第一步階梯，作為一個(gè)教師，有義務(wù)也有責(zé)任為這一步階梯奠基，要讓學(xué)校成為培養(yǎng)孩子自信心的搖籃，不要讓孩子的自信心被扼殺在了搖籃里。

我要努力讓自己的每節(jié)課既要注重學(xué)生知識(shí)能力的培養(yǎng)，又要注重情感態(tài)度的培養(yǎng)。

第二篇：高數(shù)論文

高數(shù)求極限方法小結(jié)

高等數(shù)學(xué)是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門學(xué)科。在從初等數(shù)學(xué)這種靜態(tài)的數(shù)量關(guān)系的分析到高等數(shù)學(xué)這種對(duì)動(dòng)態(tài)數(shù)量關(guān)系的研究這一發(fā)展過(guò)程中,研究對(duì)象發(fā)生了很大的變化。也正是在這一背景下,極限作為一種研究事物動(dòng)態(tài)數(shù)量關(guān)系的方法應(yīng)運(yùn)而生。極限，在學(xué)習(xí)高數(shù)中具有至關(guān)重要的作用。眾所周知,高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是微積分,而極限又是微積分的基礎(chǔ),我們不難從此看出極限與高等數(shù)學(xué)之間的相關(guān)性。同時(shí)根限又將高等數(shù)學(xué)各重要內(nèi)容進(jìn)行了統(tǒng)一,在高等數(shù)學(xué)中起到了十分重要的作用。極限的概念是高等數(shù)學(xué)中最重要也是最基本的概念之一。作為研究分析方法的重要理論基礎(chǔ),它是研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和定積分的工具,極限的思想和方法也是微積分中的關(guān)鍵內(nèi)容。在理解的基礎(chǔ)上,熟練掌握求極限的方法,能夠提高高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能力。下面，我總結(jié)了一些求極限的方法：

一、幾種常見(jiàn)的求極限方法

1、帶根式的分式或簡(jiǎn)單根式加減法求極限：

1）根式相加減或只有分子帶根式：用平方差公式，湊平方（有分式又同時(shí)出現(xiàn)未知數(shù)的不同次冪：將未知數(shù)全部化到分子或分母的位置。）

2）分子分母都帶根式：將分母分子同時(shí)乘以不同的對(duì)應(yīng)分式湊成完全平方式。

2、分子分母都是有界變量與無(wú)窮大量加和求極限：

分子分母同時(shí)除以該無(wú)窮大量以湊出無(wú)窮小量與有界變量的乘積結(jié)果還是無(wú)窮小量。

3、等差數(shù)列與等比數(shù)列求極限：用求和公式。

4、分母是乘積分子是相同常數(shù)的n項(xiàng)的和求極限：列項(xiàng)求和。

5、分子分母都是未知數(shù)的不同次冪求極限:看未知數(shù)的次冪，分子大為無(wú)窮大，分子小為無(wú)窮小或須先通分。

6、利用等價(jià)無(wú)窮小代換： 這種方法的理論基礎(chǔ)主要包括：（1）有限個(gè)無(wú)窮小的和、差、積仍是無(wú)窮小。

（有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。（3）非零無(wú)窮小與無(wú)窮大互為倒數(shù)。（等價(jià)無(wú)窮小代換（當(dāng)求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子與分母都可用等價(jià)無(wú)窮代替。）（5）只能在乘除時(shí)使用，但并不是在加減時(shí)一定不能用，但是前提必須證明拆開(kāi)時(shí)極限依然存在。）還有就是，一些常用的等價(jià)無(wú)窮小換

7、洛必達(dá)法則：（大題目有時(shí)會(huì)有提示要你使用這個(gè)法則）

首先它的使用有嚴(yán)格的前提?。。。?/p>

1、必須是X趨近而不是N趨近?。。。ㄋ援?dāng)求數(shù)列極限時(shí)應(yīng)先轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的極限，當(dāng)然，n趨近是x趨近的一種情況而已。還有一點(diǎn)，數(shù)列的n趨近只可能是趨近于正無(wú)窮，不可能是負(fù)無(wú)窮）

2、必須是函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在?。。。偃绺嬖V你g（x），但沒(méi)告訴你其導(dǎo)數(shù)存在，直接用勢(shì)必會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果。）

3、必須是0/0型或無(wú)窮比無(wú)窮型！??！當(dāng)然，還要注意分母不能為零。洛必達(dá)法則分為三種情況： 1、0/0型或無(wú)窮比無(wú)窮時(shí)候直接用 2、0乘以無(wú)窮

無(wú)窮減無(wú)窮（應(yīng)為無(wú)窮大與無(wú)窮小成倒數(shù)關(guān)系）所以，無(wú)窮大都寫成無(wú)窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后就能變成1中的形式了。3、0的0次方

1的無(wú)窮次方

對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程，方法主要是取指數(shù)還是對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來(lái)，就是寫成0與無(wú)窮的形式了。

（這就是為什么只有三種形式的原因）

8.泰勒公式

（含有e的x次方的時(shí)候，尤其是含有正余弦的加減的時(shí)候，特別要注意?。。。?/p>

E的x展開(kāi) sina展開(kāi) cosa展開(kāi) ln（1+x）展開(kāi) 對(duì)題目簡(jiǎn)化有很大幫助

泰勒中值定理：如果函數(shù)f（x）在含有n的某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)具有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意x屬于（a，b），有：

F（x）=f（x0）+

+

+

…………

+

+Rn(X)

其中Rn(X)=。。。。。這里的 ke see 是介于x與x0之間的某個(gè)值。

9、夾逼定理

這個(gè)主要介紹的是如何用之求數(shù)列極限，主要看見(jiàn)極限中的通項(xiàng)是方式和的形式，對(duì)之縮小或擴(kuò)大。

10、無(wú)窮小與有界函數(shù)的處理方法

面對(duì)復(fù)雜函數(shù)的時(shí)候，尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定注意用這個(gè)方法。

面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道他的范圍結(jié)果就出來(lái)了！?。?/p>

11、等比等差數(shù)列公式的應(yīng)用（主要對(duì)付數(shù)列極限）

（q絕對(duì)值要小于1）

12、根號(hào)套根號(hào)型：約分，注意??！別約錯(cuò)了

13、各項(xiàng)拆分相加：（來(lái)消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)函數(shù)。

14、利用兩個(gè)重要極限

這兩個(gè)極限很重要。。對(duì)第一個(gè)而言是當(dāng)X趨近于0的時(shí)候sinx比上x(chóng)的值，第二個(gè)x趨近于無(wú)窮大或無(wú)窮小都有對(duì)應(yīng)的形式

15、利用極限的四則運(yùn)算法則來(lái)求極限

16、求數(shù)列極限的時(shí)候可以將其轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)求。

17、利用函數(shù)有界原理證明極限的存在性，利用數(shù)列的逆推求極限

（1）、單調(diào)有界數(shù)列必有極限

（2）、單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限。

18、直接使用1求導(dǎo)的定義求極限

當(dāng)題目中告訴你F（0）=0，且F（x）的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，就暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)的定義：、（1）、設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在x在x0處取得增量的他x 時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)取得增量 的他y=f（的他x+x0）-f（x0）。如果 的他y與 的他x之比的極限存在，則稱函數(shù)y=f（x）在x0處可導(dǎo)并稱這個(gè)極限為這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（2）、在某點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。

19、數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限求解

數(shù)列極限中是n趨近，面對(duì)數(shù)列極限時(shí)，先要轉(zhuǎn)化為x趨近的情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種形式而已，是必要條件。（還有數(shù)列的n當(dāng)然是趨近于正無(wú)窮的）

第三篇：高數(shù)感悟

學(xué)高數(shù)感悟

又是一年開(kāi)學(xué)季，我的大一成了過(guò)去式，回想大一學(xué)習(xí)高數(shù)的歷程，真是感觸頗多。大一剛開(kāi)始學(xué)習(xí)高數(shù)時(shí)，就發(fā)現(xiàn)與高中截然不同了，大學(xué)老師一節(jié)課講的內(nèi)容很多，速度也很快，我課上沒(méi)聽(tīng)懂的打算以后找時(shí)間再問(wèn)的，然而不懂的越積越多，能問(wèn)的時(shí)間越來(lái)越少。于是期中考只得了二十來(lái)分，那時(shí)感到害怕極了，感覺(jué)期末會(huì)掛高數(shù)了。但我可不想輕言放棄，于是剩下的半學(xué)期，我很認(rèn)真的對(duì)待起高數(shù)來(lái)。

首先，我開(kāi)始主動(dòng)預(yù)習(xí)課前的內(nèi)容，然后課上認(rèn)真聽(tīng)，盡力不讓自己睡著，積極標(biāo)注老師講的重點(diǎn)，有時(shí)沒(méi)時(shí)間預(yù)習(xí)，就課后看一遍當(dāng)天講的內(nèi)容?？吹讲欢念}做出了記號(hào)，接著就是找時(shí)間問(wèn)同學(xué)，這一點(diǎn)真是不容易，有時(shí)一道題得問(wèn)兩三個(gè)同學(xué)才解出來(lái)，當(dāng)然也有些題得問(wèn)老師才行。問(wèn)完后，自己又做一遍，真是簡(jiǎn)單了不少。然后平時(shí)的作業(yè)也好好做了，尤其是到臨近期末時(shí)，我更是積極做題，四套模擬練習(xí)卷子都寫了，應(yīng)該是能寫的都寫了。很多題都是自己去找書上近似的題來(lái)思考來(lái)仿照方法寫的?；ㄙM(fèi)的時(shí)間可不少，兩三個(gè)星期的晚上，有時(shí)在圖書館，有時(shí)在自習(xí)室。最后則是參加了老師的答疑，與同學(xué)討論不懂的題型。

功夫不負(fù)有心人，最終我的高數(shù)是順利過(guò)了，雖然分不高，但也有超高的喜悅感和成就感?，F(xiàn)在想想，大學(xué)里的課都應(yīng)重視，只要認(rèn)真對(duì)待，總能學(xué)到東西的，只要認(rèn)真對(duì)待，總會(huì)過(guò)的。

第四篇：高數(shù)競(jìng)賽（本站推薦）

高數(shù)

說(shuō)明：請(qǐng)用A4紙大小的本來(lái)做下面的題目（陰影部分要學(xué)完積分之后才能做）

第一章 函數(shù)與極限

一、本章主要知識(shí)點(diǎn)概述

1、本章重點(diǎn)是函數(shù)、極限和連續(xù)性概念；函數(shù)是高等數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象，而極限是高等數(shù)學(xué)研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的主要工具和方法。高等數(shù)學(xué)中的一些的重要概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等，不外乎是不同形式的極限，作為一種思想方法，極限方法貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終。

然而，極限又是一個(gè)難學(xué)、難懂、難用的概念，究其原因在于，極限集現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大矛盾于一身。（1）、動(dòng)與靜的矛盾：極限描述的是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，而人的認(rèn)識(shí)能力本質(zhì)上具有靜態(tài)的特征。（2）無(wú)窮與有窮的矛盾：極限是一個(gè)無(wú)窮運(yùn)算，而人的運(yùn)算能力本質(zhì)上具有有窮的特征。極限就是在這兩大矛盾的運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生，這也是極限難學(xué)、難懂、難用之所在。

連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)研究對(duì)象的一個(gè)基本性質(zhì)，又往往作為討論函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)先決條件，且與函數(shù)的可導(dǎo)性、可積性存在著不可分割的邏輯關(guān)系。

2、從2001年第一屆天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽至今共八屆競(jìng)賽試題分析，函數(shù)極限及其連續(xù)性在有的年份占了比較大的比重，連續(xù)性、極限與導(dǎo)數(shù)、積分等綜合的題目也要引起足夠的重視；從最近幾年的考題也可以看出，有個(gè)別題目是研究生入學(xué)考試題目的原題，如2004年競(jìng)賽試題二為1997年研究生入學(xué)考試題目；2006年競(jìng)賽試題一為2002年研究生入學(xué)考試試題；2005年競(jìng)賽試題一為1997年研究生入學(xué)考試試題等，這也從側(cè)面反映了部分試題難度系數(shù)。

二、證明極限存在及求極限的常用方法

1、用定義證明極限；

2、利用極限的四則運(yùn)算法則；

3、利用數(shù)學(xué)公式及其變形求極限；（如分子或分母有理化等）

4、利用極限的夾逼準(zhǔn)則求極限；

5、利用等價(jià)無(wú)窮小的代換求極限；

6、利用變量代換與兩個(gè)重要極限求極限（也常結(jié)合冪指函數(shù)極限運(yùn)算公式求極限）；（2）利用洛必達(dá)法則求極限；

7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求極限；

8、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；

9、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限；

10、利用定積分的定義求某些和式的極限；11先證明數(shù)列極限的存在（常用到“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的準(zhǔn)則，再利用遞歸關(guān)系求極限）

12、數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限等。當(dāng)然，這些方法之間也不是孤立的，如在利用洛必達(dá)法則時(shí)經(jīng)常用到變量代換與等價(jià)無(wú)窮小的代換，這大大簡(jiǎn)化計(jì)算。

對(duì)于定積分的定義，要熟悉其定義形式，如

（二）高數(shù)

極限的運(yùn)算

要靈活運(yùn)用極限的運(yùn)算方法，如初等變形，不僅是求極限的基本方法之一，也是微分、積分運(yùn)算中經(jīng)常使用的方法，常用的有分子或分母有理化、分式通分、三角變換、求和等。

高數(shù)

高數(shù)

高數(shù)

（四）連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及有關(guān)的證明、極限與導(dǎo)數(shù)、積分等結(jié)合的綜合性題目。

16、（2006年數(shù)學(xué)一）

（五）無(wú)窮小的比較與無(wú)窮小的階的確定常用工具——洛必達(dá)法則與泰勒公式。

高數(shù)

（六）由極限值確定函數(shù)式中的參數(shù)

求極限式中的常數(shù)，主要根據(jù)極限存在這一前提條件，利用初等數(shù)學(xué)變形、等價(jià)無(wú)窮小、必

達(dá)法則、泰勒公式等來(lái)求解。

高數(shù)

四、練習(xí)題

高數(shù)

高數(shù)

高數(shù)

高數(shù)

五、歷屆競(jìng)賽試題

2001年天津市理工類大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

2002年天津市理工類大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

2003年天津市理工類大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

高數(shù)

高數(shù)

2004年天津市理工類大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

2005年天津市理工類大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

高數(shù)

2007年天津市理工類大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

高數(shù)

2010年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽一元函數(shù)微分學(xué)部分試題

一、填空

注：本題為第十屆（1998年）北京市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

二、選擇

三、計(jì)算

四、證明

高數(shù)

首屆中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽賽區(qū)賽（初賽）試題2009年

一、填空

二、計(jì)算

第五篇：高數(shù)復(fù)習(xí)提綱

第一章

1、極限（夾逼準(zhǔn)則）

2、連續(xù)（學(xué)會(huì)用定義證明一個(gè)函數(shù)連續(xù)，判斷間斷點(diǎn)類型）

第二章

1、導(dǎo)數(shù)（學(xué)會(huì)用定義證明一個(gè)函數(shù)是否可導(dǎo)）注：連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)一定連續(xù)

2、求導(dǎo)法則（背）

3、求導(dǎo)公式也可以是微分公式

第三章

1、微分中值定理（一定要熟悉并靈活運(yùn)用--第一節(jié)）

2、洛必達(dá)法則

3、泰勒公式拉格朗日中值定理

4、曲線凹凸性、極值（高中學(xué)過(guò)，不需要過(guò)多復(fù)習(xí)）

5、曲率公式曲率半徑

第四章、五章不定積分：

1、兩類換元法

2、分部積分法（注意加C）定積分：

1、定義

2、反常積分

第六章： 定積分的應(yīng)用

主要有幾類：極坐標(biāo)、求做功、求面積、求體積、求弧長(zhǎng)