第一篇：幾何證明的分析和書(shū)寫(xiě)

幾何證明的分析和書(shū)寫(xiě)

黃文杰

（一）幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類(lèi)型：

一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；

二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。

這兩類(lèi)問(wèn)題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。

（二）掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法：

（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的解決；

例：如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD為腰CB上的中線(xiàn)，CE⊥AD交AB于E．求證∠CDA＝∠EDB．

C

A E B

（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；

例、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，EF垂直平分AD，交AC于E，交AC于F.求證：四邊形AEDF是菱形.（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來(lái)，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。

例;已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．（1）求證：AB＝BC；

（2）當(dāng)BE⊥AD于E時(shí)，試證明：BE＝AE＋CD．

（4）分析法與綜合法的特點(diǎn)：

分析法的特點(diǎn)是從要證明的結(jié)論開(kāi)始一步步地尋求其成立的條件，直至尋求到已知條件上。

綜合法的特點(diǎn)是從已知條件開(kāi)始推演，一步步地推導(dǎo)結(jié)果，最后推出要證明的結(jié)果。

（5）分析法與綜合法的優(yōu)缺點(diǎn)：

①證幾何題時(shí)，在思索上，分析法優(yōu)于綜合法，在表達(dá)上分析法不如綜合法。②分析法利于思考，綜合法宜于表述，在解決問(wèn)題中，最好合并使用。③對(duì)于一個(gè)新問(wèn)題，我們一般先用分析法尋求解決，然后用綜合法有條理地表

（三）.掌握構(gòu)造基本圖形的方法：

復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線(xiàn)，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的。

（1）一般是以定理的模型圖完善圖形；

（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)，旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等；（3）記住梯形和圓中常添的輔助線(xiàn)；（4）運(yùn)用割補(bǔ)法進(jìn)行圖形平移；

（5）熟息相似的重要模型圖。（如：A型和X型等）

（6）幾何圖形的計(jì)算經(jīng)常用方程的思想去解決，一般運(yùn)用勾股定理和相似比為等量關(guān)系建立方程。

（7）折疊圖形是中考熱點(diǎn)，也是軸對(duì)稱(chēng)，直角三角形和相似三角形。注：養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，標(biāo)注一直和問(wèn)題；做到“邊清，角清，圖清，已知條件清，數(shù)量關(guān)系清，位置關(guān)系清，問(wèn)題清”和“合情推理”?！痉诸?lèi)解析】

1、證明線(xiàn)段相等或角相等

兩條線(xiàn)段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類(lèi)問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線(xiàn)段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線(xiàn)段中垂線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。

?ABC中，?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CF。例1.已知：如圖1所示，求證：DE＝DF（軸對(duì)稱(chēng)圖形常常要添加對(duì)稱(chēng)軸）

這時(shí)應(yīng)注意：

（1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；

（2）添輔助線(xiàn)能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形。

（3）審題時(shí)要以軸對(duì)稱(chēng)，中心對(duì)稱(chēng)，旋轉(zhuǎn)的眼光看圖，找出添加輔助線(xiàn)的可能性。

2、證明直線(xiàn)平行或垂直

在兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線(xiàn)平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁?xún)?nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線(xiàn)定理證明。證兩條直線(xiàn)垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線(xiàn)合一”來(lái)證。

例3.如圖3所示，設(shè)BP、CQ是?ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)，AH、AK分別為A3、證明一線(xiàn)段和的問(wèn)題

（一）在較長(zhǎng)線(xiàn)段上截取一線(xiàn)段等一較短線(xiàn)段，證明其余部分等于另一較短線(xiàn)段。（截長(zhǎng)法）

例5.已知：如圖6所示在?ABC中，?B?60?，∠BAC、∠BCA的角平分線(xiàn)AD、CE相交于O。

?EAF?45?。

求證：EF＝BE＋DF

2.已知：如圖12所示，在?ABC中，?A?2?B，CD是∠C的平分線(xiàn)。求證：BC＝AC＋AD

3.已知：如圖13所示，過(guò)?ABC的頂點(diǎn)A，在∠A內(nèi)任引一射線(xiàn)，過(guò)B、C作此射線(xiàn)的垂線(xiàn)BP和CQ。設(shè)M為BC的中點(diǎn)。求證：MP＝MQ

（注意：圓輔助線(xiàn)的添加在于根據(jù)已知條件和圖形聯(lián)想到具體問(wèn)題是哪個(gè)定理的模型，根據(jù)定理模型圖來(lái)完善，添加輔助線(xiàn)。上面幾點(diǎn)是常見(jiàn)的必添輔助線(xiàn)，望同學(xué)們緊記。）

第二篇：幾何證明的書(shū)寫(xiě)

“幾何證明的書(shū)寫(xiě)”教學(xué)體會(huì)

江教附中林國(guó)基

要完成一道幾何題的證明，首先要求學(xué)生掌握正確的書(shū)寫(xiě)格式，然后學(xué)會(huì)分析，尋找證明途徑。在初二幾何中，教材要求學(xué)生寫(xiě)出完整的推理過(guò)程，這是一個(gè)難點(diǎn)。要使學(xué)生盡快適應(yīng)教材要求，掌握正確的書(shū)方法，教師應(yīng)把如何教會(huì)學(xué)生書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程作為第一學(xué)期教學(xué)工作的重點(diǎn)。

幾何的證明題，是以推理的形式來(lái)完成的，在書(shū)寫(xiě)格式上，與代數(shù)截然不同。代數(shù)的計(jì)算題，一般是應(yīng)用有關(guān)的運(yùn)算法則、公式，由原式算出結(jié)果，大部分過(guò)程是用“=”號(hào)連起來(lái)的；而幾何的證明題則是運(yùn)用有關(guān)的公理、定理，由題設(shè)推出結(jié)論，整個(gè)過(guò)程是用符號(hào)式子由“∵…”和“∴…”串連起來(lái)的?？梢?jiàn)，要由書(shū)寫(xiě)計(jì)算過(guò)程形式轉(zhuǎn)移到書(shū)寫(xiě)推理過(guò)程形式是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，因此，教師要著重抓好下面幾點(diǎn)：

1、對(duì)定理的題設(shè)和結(jié)論的分析。

學(xué)生只有分清定理中的題設(shè)和結(jié)論，才能正確地運(yùn)用定理。因此，在定理教學(xué)中，證明定理只是教學(xué)中的一部分，而另一部分則是教會(huì)學(xué)生怎樣運(yùn)用定理，也就是在運(yùn)用這條定理證明其他命題時(shí)怎樣書(shū)寫(xiě)。因此，要在學(xué)生能運(yùn)用文字?jǐn)⑹龆ɡ韮?nèi)容的基礎(chǔ)上，著重訓(xùn)練學(xué)生分清定理的題設(shè)和結(jié)論，并會(huì)根據(jù)題意正確地畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形把定理內(nèi)容轉(zhuǎn)化為用“∵…”、“∴…”的形式表示出來(lái)。這樣才能使學(xué)生真正掌握定理，在運(yùn)用定理時(shí)能正確地書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程。

【例】（初中幾何第二冊(cè)P67）推論1 等腰三角形的頂角平分線(xiàn)

平分底邊并且垂直底邊。要求學(xué)生必須弄清下面幾點(diǎn)：

（1）推論的題設(shè)是什么？結(jié)論是什么？

（2）題設(shè)中包含有幾個(gè)已知條件？可以得到幾個(gè)結(jié)論？

（3）它的構(gòu)圖怎樣？

（4）結(jié)合圖形，用“∵…”，“∴…”的形式表達(dá)出來(lái)。

（5）在應(yīng)用時(shí)，是否兩個(gè)題設(shè)都要寫(xiě)上？?jī)蓚€(gè)結(jié)論都要寫(xiě)上？

2、通過(guò)例題教學(xué)，分析推理結(jié)構(gòu)。

在學(xué)生初學(xué)書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程階段，教師在例題教學(xué)中，應(yīng)在完成對(duì)例題的分析和證明后，借助例題的證明過(guò)程，幫助學(xué)生弄清推理論證的結(jié)構(gòu)和每一步推理的因果關(guān)系，使學(xué)生逐漸形成邏輯思維。

【例】已知：如圖，AB=CD，E、F是AC上兩點(diǎn)，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，且DE=BF.求證：AE=CF，AB∥CD.證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，……（1）

∴△AFB和△CED是Rt△.……（2）

又∵AB=CD，DE=BF，……（3）

∴Rt△AFB≌Rt△CED（HL）.……（4）

∴AF=CE，……（5）∠A=∠C.……（6）∴AB∥CD.……（7）

∵AE=AF-EF，CF=CE-EF，……（8）

∴AE=CF.……（9）

借助上面的推理過(guò)程，幫學(xué)生分析整個(gè)證明過(guò)程中所含的5步推理，具體如下表：

由上表可知，在推理過(guò)程中，經(jīng)常出現(xiàn)由多個(gè)條件推出一個(gè)結(jié)論，或由一個(gè)條件推出多個(gè)結(jié)論，如第二步推理和第五步推理就是由兩個(gè)條件共同推出一個(gè)結(jié)論，而第三步推理則由一個(gè)條件推出兩個(gè)結(jié)論；有的式子，如（2）、（4）、（6）等式，起到雙重作用，既是上一步推理的結(jié)論，又是下一步推理的條件。

3、注意對(duì)學(xué)生書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤的信息反饋，及時(shí)糾正學(xué)生在書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題。

第三篇：幾何證明

龍文教育浦東分校學(xué)生個(gè)性化教案

學(xué)生：錢(qián)寒松教師：周亞新時(shí)間：2010-11-27

學(xué)生評(píng)價(jià)◇特別滿(mǎn)意◇滿(mǎn)意◇一般◇不滿(mǎn)意

【教材研學(xué)】

一、命題

1．概念：對(duì)事情進(jìn)行判斷的句子叫做命題．

2．組成部分：命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成．每個(gè)命題都可以寫(xiě)成“如果??，那么??”的形式，“如果”的內(nèi)容部分是題設(shè)，“那么”的內(nèi)容部分是結(jié)論．

3．分類(lèi)：命題分為真命題和假命題兩種．判斷正確的命題稱(chēng)為真命題，反之稱(chēng)為假命題．驗(yàn)證一個(gè)命題是真命題，要經(jīng)過(guò)證明；驗(yàn)證一個(gè)命題是假命題，可以舉出一個(gè)反例．

二、互逆命題

1．概念：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)

命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)叫做原命題，則另一個(gè)就叫做它的逆命題．

2．說(shuō)明：

（1）任何一個(gè)命題都有逆命題，它們互為逆命題，“互逆”是指兩個(gè)命題之間的關(guān)系；

（2）把一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論交換，就得到它的逆命題；

（3）原命題成立，它的逆命題不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一個(gè)定理的逆命題也是定理（即真命題），那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理．

2．說(shuō)明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“對(duì)頂角相等”的逆命題是“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角”，這是一個(gè)假命題，所以“對(duì)頂角相等”沒(méi)有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命題的關(guān)系：互逆定理首先是互逆命題，是互逆命題中要求更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊活?lèi)，即互逆命題包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【點(diǎn)石成金】

例1． 指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并寫(xiě)出它們的逆命題．

（1）兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；

（2）直角三角形的兩個(gè)銳角互余；

（3）對(duì)頂角相等．

分析：解題的關(guān)鍵是找出原命題的題設(shè)和結(jié)論，然后再利用互逆命題的特征寫(xiě)出它們的逆命題．

（1）題設(shè)是“兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截”，結(jié)論是“同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”；逆命題是“如果兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線(xiàn)平行”．

（2）題設(shè)是“如果一個(gè)三角形是直角三角形”，結(jié)論是“那么這個(gè)三角形的兩個(gè)銳角互余”；逆命題是“如果一個(gè)三角形中兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形”．

（3）題設(shè)是“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角”，結(jié)論是“那么這兩個(gè)角相等”；逆命題是“如果有兩個(gè)角相等，那么它們是課題：幾何證明

對(duì)頂角”．

名師點(diǎn)金：當(dāng)一個(gè)命題的逆命題不容易寫(xiě)時(shí)，可以先把這個(gè)命題寫(xiě)成“如果??，那么??”的形式，然后再把題設(shè)和結(jié)論倒過(guò)來(lái)即可．

例2．某同學(xué)寫(xiě)出命題“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”的逆命題是“如果一個(gè)三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形”，你認(rèn)為他寫(xiě)得對(duì)嗎?

分析：寫(xiě)出一個(gè)命題的逆命題，是把原命題的題設(shè)和結(jié)論互換，但有時(shí)需要適當(dāng)?shù)淖兺?，例如“等腰三角形的兩底角相等”的逆命題不能寫(xiě)成“兩底角相等的三角形是等腰三角形”，因?yàn)槲覀冞€沒(méi)有判斷出是等腰三角形，所以不能有“底角”這個(gè)概念．

解：上面的寫(xiě)法不對(duì)．原命題條件是直角三角形，斜邊是直角三角形的邊的特有稱(chēng)呼，該同學(xué)寫(xiě)的逆命題的條件中提到了斜邊，就已經(jīng)承認(rèn)了直角三角形，就不需要再得這個(gè)結(jié)論了．因此，逆命題應(yīng)寫(xiě)成“如果一個(gè)三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形”．

名師點(diǎn)金：在寫(xiě)一個(gè)命題的逆命題時(shí)，千萬(wàn)要注意一些專(zhuān)用詞的用法．

例3．如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個(gè)等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．請(qǐng)你以其中三個(gè)等式作為題設(shè)，余下的作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題(要求寫(xiě)出已知，求證及證明過(guò)程)

解：選①②③作為題設(shè)，④作為結(jié)論．

已知：如圖19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求證：BD=CE,證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名師點(diǎn)金：本題考查的是證明三角形的全等，但條件較為開(kāi)放．當(dāng)然，此題的條件還可以任選其他三個(gè)．

【練習(xí)】

1．“兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”的題設(shè)是____________________，結(jié)論是_________________________

2．判斷：（1）任何一個(gè)命題都有逆命題．()

（2）任何一個(gè)定理都有逆定理．()

【升級(jí)演練】

一、基礎(chǔ)鞏固

1．下列語(yǔ)言是命題的是()

A．畫(huà)兩條相等的線(xiàn)段B．等于同一個(gè)角的兩個(gè)角相等嗎

C．延長(zhǎng)線(xiàn)段AD到C，使OC=OAD．兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

2．下列命題的逆命題是真命題的是()

A．直角都相等B．鈍角都小于180。

龍文教育浦東分校個(gè)性化教案ABDEC.cn

C．如果x+y=0，那么x=y=0D．對(duì)頂角相等

3．下列說(shuō)法中，正確的是()

A．一個(gè)定理的逆命題是正確的B．命題“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命題是正確的C．任何命題都有逆命題

D．定理、公理都應(yīng)經(jīng)過(guò)證明后才能用

4．下列這些真命題中，其逆命題也真的是()

A．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等

B．兩個(gè)圖形關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則這兩個(gè)圖形是全等形

C．等邊三角形是銳角三角形

D．直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

5．證明一個(gè)命題是假命題的方法有__________．

6．將命題“所有直角都相等”改寫(xiě)成“如果??那么?”的形式為_(kāi)__________。

7．舉例說(shuō)明“兩個(gè)銳角的和是銳角”是假命題。

二、探究提高

8．下列說(shuō)法中，正確的是()

A．每個(gè)命題不一定都有逆命題B．每個(gè)定理都有逆定理

c．真命題的逆命題仍是真命題D．假命題的逆命題未必是假命題

9．下列定理中，沒(méi)有逆定理的是()

A．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行B．直角三角形中兩銳角互余

c．相反數(shù)的絕對(duì)值相等D．同位角相等，兩直線(xiàn)平行

三、拓展延伸

10．下列命題中的真命題是()

A．銳角大于它的余角B．銳角大于它的補(bǔ)角

c．鈍角大于它的補(bǔ)角D．銳角與鈍角之和等于平角

11．已知下列命題：①相等的角是對(duì)頂角；②互補(bǔ)的角就是平角；③互補(bǔ)的兩個(gè)角一定是一個(gè)銳角，另一個(gè)為鈍角；④平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行；⑤鄰補(bǔ)角的平分線(xiàn)互相垂直．其中，正確命題的個(gè)數(shù)為()

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

龍文教育浦東分校個(gè)性化教案

第四篇：幾何證明

1.平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理:如果一組平行線(xiàn)在一條直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段相等,那么在其他直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段_________.推論1: 經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線(xiàn)必______________.推論2: 經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線(xiàn)________________.2.平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理：三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段___________.3.相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于______；相似三角形周長(zhǎng)的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長(zhǎng)比都等于

_________________；

相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷蟔______與_________的比例中項(xiàng).5.圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于_______________的度數(shù).推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧_______.o推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是____；90的圓周角所對(duì)的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的______________.6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理：

圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角______；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的_____.如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)______；如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)_________.7.切線(xiàn)的性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的__________.推論：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)_______；經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)______.切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的________.8.相交弦定理:圓內(nèi)兩條相交弦，_____________________的積相等.割線(xiàn)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，_____________的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等.切割線(xiàn)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是__________的比例中項(xiàng).切線(xiàn)長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)____；

圓心和這點(diǎn)的連線(xiàn)平分_____的夾角.

第五篇：淺談幾何證明

西華師范大學(xué)文獻(xiàn)信息檢索課綜合實(shí)習(xí)報(bào)告

檢索課題（中英文）：淺談幾何證明 On the geometric proof

一、課題分析

幾何是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門(mén)學(xué)學(xué)科。它是數(shù)學(xué)中最基本的研究?jī)?nèi)容之一，與分析、代數(shù)等等具有同樣重要的地位，并且關(guān)系極為密切。幾何分為平面幾何與立體幾何、微分幾何、內(nèi)蘊(yùn)幾何、拓?fù)鋵W(xué)。幾何證明則是根據(jù)一些特定規(guī)則和標(biāo)準(zhǔn)，有公理和定理推到出幾何命題的過(guò)程。我們則重點(diǎn)研究最為簡(jiǎn)單的平面幾何和立體幾何的簡(jiǎn)單證明。

幾何證明的基本步驟分為：1.分析—分析圖形的切入點(diǎn)及所求。2.證明—做出輔助線(xiàn)，綜合運(yùn)用定理，找出已知未知的聯(lián)系或推翻命題的假設(shè)。3.整理—規(guī)范作答。對(duì)于任給我們一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何證明我們都可以應(yīng)用這個(gè)三個(gè)步驟，但是每個(gè)題都有它的重難點(diǎn)，對(duì)于不同內(nèi)型的幾何證明題我們必須從不同的角度、不同的切入點(diǎn)、不同的方法去證明這個(gè)命題的正確與否。

常見(jiàn)的幾何證明方法有反證法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造法、非構(gòu)造性證明、窮舉發(fā)、換質(zhì)位法?這幾種方法是我們最常用的方法。初高中的幾何證明題里幾乎的能用這幾種方法解決。幾何證明是初高中的一個(gè)重點(diǎn)，是學(xué)好幾何的關(guān)鍵，所以掌握幾何證明題的證明方法是比不可少的。而幾何證明題的方法都是從推理證明和探索規(guī)律做起的，怎樣培養(yǎng)這個(gè)推理證明和探索規(guī)律的能力那就是我們平時(shí)練習(xí)中必須解決的問(wèn)題。

幾何證明有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，在幾何證明的過(guò)程中，不僅是邏輯演繹的程序，它還包含著大量的觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程。有助于提高學(xué)生空間想像能力、幾何直觀能力和運(yùn)用綜合幾何方法解決問(wèn)題的能力。

幾何證明題是初高中幾何證明是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的最好載體，到目前為

止還沒(méi)有其他課程能夠代替幾何的這種地位。其次幾何證明還包括直觀、想象、探究和發(fā)現(xiàn)的因素，這些對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)意也非常有利。所以學(xué)好幾何證明對(duì)于

一個(gè)初高中學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常重要的。本文就對(duì)幾何證明的關(guān)鍵、要點(diǎn)和學(xué)習(xí)展開(kāi)

檢索討論。

二、選擇檢索工具

由于報(bào)告要求，我們將進(jìn)入西華師范大學(xué)圖書(shū)館網(wǎng)站

http:///libweb/index.asp的“電子資源”各數(shù)據(jù)庫(kù)查找課題相關(guān)

文獻(xiàn)信息資料，輔助以手工檢索和紙本期刊以及因特網(wǎng)上資源。

三、確定檢索方法和途徑

檢索方法：直接法，抽取法和綜合法。初定了一些檢索詞：（幾何證明平

面幾何空間幾何），進(jìn)行第一輪檢索，主要通過(guò)

http:///libweb/index.asp，檢索出了大批文獻(xiàn)，然后進(jìn)行了篩選，選擇了最新的文獻(xiàn)，通過(guò)閱讀文獻(xiàn)有受到啟發(fā)，增加了一些檢索詞，他們是：分

析研究應(yīng)用。經(jīng)過(guò)第二輪檢索又查出另外一些相關(guān)主題的文獻(xiàn)。綜合了根

據(jù)時(shí)間，類(lèi)目和數(shù)據(jù)庫(kù)等的抽取和題目直接的搜索。

主要檢索途徑：關(guān)鍵字，題名

四、檢索結(jié)果

1.從中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù)(CNKI-CJFD)，維普中文科技期刊數(shù)據(jù)庫(kù)(VIP)中文全

文數(shù)據(jù)庫(kù)中進(jìn)行全文檢索

數(shù)據(jù)庫(kù)1：中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù)(CNKI-CJFD)年限：2008-2012

檢索式：幾何證明 分類(lèi)號(hào):“O*” 標(biāo)題:“幾何證明”+關(guān)鍵詞:“幾何證明” 日

期:2008-2012

限定類(lèi)目：理工A（數(shù)學(xué)物理力學(xué)天地生）、教育科學(xué)。

檢出篇數(shù)：188個(gè)

題錄1：羅江林的 如何學(xué)習(xí)幾何證明來(lái)自《課外閱讀：中下》 2012年 第5期

題目2：許琴 的 一類(lèi)平面幾何的求職問(wèn)題的向量解法來(lái)源《新課程.中學(xué)》2012年第一期

題目3：丁運(yùn)來(lái) 的 對(duì)初中生幾何證明題過(guò)程書(shū)寫(xiě)的教學(xué)分析 來(lái)源《學(xué)生之友.初中版》2012年第一期

題目4：劉延升 的2011年高考平面幾何與解析 來(lái)源《理科考試研究.高中版》2012年第一期

數(shù)據(jù)庫(kù)2 ：萬(wàn)方數(shù)據(jù)知識(shí)平臺(tái)期刊數(shù)據(jù)庫(kù)

年限：2008-2012

限定類(lèi)別：數(shù)學(xué)科學(xué)和化學(xué)文化、科學(xué)和教育

檢索式：幾何證明 分類(lèi)號(hào):“O*” 標(biāo)題:“幾何證明”+關(guān)鍵詞:“幾何證明” 日期:2008-2012

檢出篇數(shù)：31篇

題錄1：令標(biāo)幾個(gè)幾何定理的幾何純幾何證明來(lái)源《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.初中版》2008.02

題錄2：龔潔林平面向量中“心”問(wèn)題來(lái)源《新高考：高三語(yǔ)文數(shù)學(xué)外語(yǔ)》2011.12

題錄3：龔曉蘭一個(gè)“數(shù)學(xué)問(wèn)題”幾何證明來(lái)源《數(shù)學(xué)通報(bào)》2009.48

（5）

數(shù)據(jù)庫(kù)3：CALIS聯(lián)合目錄公共檢索

年份：不限

檢索式：題目=“幾何證明”

檢出篇數(shù)：4篇

題錄1：高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書(shū).幾何證明選講單墫 馮惠愚南京.江蘇教育出版社.2008館藏：北京師范大學(xué)圖書(shū)館

題錄2：幾何證明題與作圖題.趙華, 季家南京.江蘇人民出版社1956館藏：遼寧大學(xué)圖書(shū)館

數(shù)據(jù)庫(kù)4：亞馬遜圖書(shū)

檢索：圖書(shū)題目=“幾何證明”

題目1：平面幾何分類(lèi)證明李中正西南師范大學(xué)出版社2011年07月出版

題目2：幾何定理機(jī)器證明的基本原理吳文俊科學(xué)出版社1984-08出版

數(shù)據(jù)庫(kù)5：萬(wàn)方會(huì)議論文庫(kù)

年份：不限

限定類(lèi)別：數(shù)學(xué)科學(xué)和化學(xué)中的數(shù)學(xué)

檢索式：題目=“幾何證明”

檢出篇數(shù)：29篇

題錄1：歐式幾何的公理體系和我過(guò)平面幾何課本的歷史演變

作者單位：首都師范大學(xué)

會(huì)議名稱(chēng)：首都師范大學(xué)課程報(bào)告論壇

主辦單位：高等教育出版社

會(huì)議時(shí)間：2005年11月5日

題錄2：歐拉與數(shù)學(xué)之美

作者單位：華東交通大學(xué)，南昌 330013

會(huì)議名稱(chēng)：紀(jì)念歐拉誕辰300周年暨《幾何原本》中譯400周年數(shù)學(xué)史國(guó)際會(huì)議

會(huì)議時(shí)間：2007年10月11日

主辦單位：中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì),國(guó)際數(shù)學(xué)史委員會(huì),四川師范大學(xué)

數(shù)據(jù)庫(kù)6：萬(wàn)方外文文獻(xiàn)檢索

年限：2008-2012

限定類(lèi)別：數(shù)學(xué)科學(xué)和化學(xué)文化、科學(xué)和教育

檢索式：題目=“geometric proof”

檢出篇數(shù)：160篇

題錄1：A geometric non-existence proof of an extremal additive code

作者：Bierbrauer, J.；Marcugini, S.；Pambianco, F.期刊：Journal of Combinatorial Theory.Series ASCI2010,117（2）

題錄2：Geometric Proof of a Ramsey-Type Result For Disjoint Empty Convex Polygons I作者：Bhaswar B.Bhattacharya ；Sandip Das

期刊：Geombinatorics2010,19（4）

五、檢索結(jié)果的分析與綜合。

幾何證明題是初高中幾何證明是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的最好載體，到目前為止還沒(méi)有其他課程能夠代替幾何的這種地位。其次幾何證明還包括直觀、想象、探究和發(fā)現(xiàn)的因素，這些對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)意也非常有利。

幾何證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的一部分。就拿四川省2010年高考數(shù)學(xué)理科題來(lái)說(shuō)，幾何題在其中占有大的一部分（選擇題4道、填空題2道、解答題2道）。而幾何證明題占其中的三分之一，即使分值不是很大，但如果你學(xué)好了幾何證明，那么你的幾何題也就迎刃而解。

那么如何才能學(xué)好幾何證明呢？首先我們來(lái)討論幾何證明中遇到的主要困難。困難一幾何證明中的邏輯要求非常嚴(yán)格迫使很多學(xué)生認(rèn)為幾何很抽象，不白我們究竟要做什么？困難二缺乏基本的邏輯，對(duì)一些數(shù)學(xué)常識(shí)性問(wèn)題都不明白，導(dǎo)致對(duì)幾何證明的語(yǔ)言表述不準(zhǔn)確。怎樣克服以上困難就是許多老師和學(xué)生所面臨的問(wèn)題。從許多學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和老師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)我們可以總結(jié)出學(xué)習(xí)幾何證明非常重要的三點(diǎn)。第一，正確掌握幾何用語(yǔ)，平時(shí)多整理幾何定理和公理。第二，掌握幾何證明的基本定理和公理的應(yīng)用，以及一些常見(jiàn)的證明方法。第三，注重幾何證明的分析思路的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)一體多證。以及平時(shí)多加練習(xí)。

對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)學(xué)習(xí)幾何主要是要在腦中形成題目中所給出條件的幾何圖形！至于怎么形成幾何圖形就要平時(shí)多注意這幾個(gè)方面：第一記住課本中給出的定理和公理，并要自己動(dòng)手推到下以便加深印象。做到熟記活用。第二平時(shí)做題目的時(shí)候盡量畫(huà)出每個(gè)幾何題目的圖形。這樣有助于你可以充分運(yùn)用到題目中的條件，不會(huì)出現(xiàn)大的遺漏。雖然這樣做題慢，耗時(shí)長(zhǎng)，但是有助于你將來(lái)做大題難題是的一種感覺(jué)的形成，就是我們所說(shuō)的靈感。

如果打到以上幾點(diǎn)，那么對(duì)于初高中的幾何證明題對(duì)你來(lái)說(shuō)就已經(jīng)是小菜一碟了。

以上談?wù)摰氖浅醺咧性鯓訉W(xué)好幾何證明，那么接下來(lái)我們探討一下中外對(duì)幾何證明的研究。中國(guó)對(duì)幾何證明的研究起源很早，如祖沖之對(duì)圓周率的計(jì)算、勾股定理的證明?但中國(guó)經(jīng)歷封建社會(huì)就幾乎沒(méi)有前進(jìn)。正是那幾個(gè)世紀(jì)外國(guó)對(duì)幾何的證明確實(shí)突飛猛進(jìn)。出現(xiàn)了很多出名的數(shù)學(xué)家如歐拉、阿基米德、費(fèi)馬笛卡爾 等。最經(jīng)幾十年來(lái)中國(guó)隨著大學(xué)教育的普及度于這方面的研究也取得了很大的成果。隨著數(shù)學(xué)家在幾何上的不斷發(fā)展，幾何已向原來(lái)的歐式空間逐漸發(fā)展到其他幾個(gè)大的幾何分支學(xué)上。比如，微分幾何、內(nèi)蘊(yùn)幾何、拓?fù)鋵W(xué)等。這些分支學(xué)的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于歐式幾何空間。