第一篇：數(shù)學(xué)選修2-2教案：2.2.1綜合法和分析法、2.2.2反證法

綜合法和分析法

教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問(wèn)題；了解綜合法的思考過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則

1a

1?1a

2，試請(qǐng)此結(jié)論推廣猜想.?4”

1a1

?1a2

?....?

1an

2? n）

（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，則2.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：

1a?1b?1c?9.先完成證明 → 討論：證明過(guò)程有什么特點(diǎn)？

二、講授新課： 1.教學(xué)例題：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：運(yùn)用什么知識(shí)來(lái)解決？（基本不等式）→板演證明過(guò)程（注意等號(hào)的處理）→ 討論：證明形式的特點(diǎn)

② 提出綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.框圖表示：

要點(diǎn)：順推證法；由因?qū)Ч?b?c?a

a

?

a?c?b

b

?

a?b?c

c

?3.③ 練習(xí)：已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證

④ 出示例2：在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列.求證：為△ABC等邊三角形.分析：從哪些已知，可以得到什么結(jié)論？ 如何轉(zhuǎn)化三角形中邊角關(guān)系？→ 板演證明過(guò)程→ 討論：證明過(guò)程的特點(diǎn).→ 小結(jié)：文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言；邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；挖掘題中的隱含條件（內(nèi)角和）2.練習(xí)：

?

① A,B為銳角，且tanA?tanB?AtanB?求證：（提示：算tan(A?B)）A?B?60.② 已知a?b?c, 求證：

1a?b

?

1b?c

?

4a?c

.3.小結(jié)：綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結(jié)論Q1,Q2,???，直到最后的結(jié)論是Q.運(yùn)用綜合法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問(wèn)題.三、鞏固練習(xí)：

1.求證：對(duì)于任意角θ，cos4??sin4??cos2?.（教材P52 練習(xí)1題）（兩人板演 → 訂正 → 小結(jié)：運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換、思維過(guò)程）2.?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，求證：3.作業(yè)：教材P54A組 1題.1a?b

?

1b?c

?

3a?b?c

.第二課時(shí)2.2.1綜合法和分析法

（二）教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用分析法證明問(wèn)題；了解分析法的思考過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.提問(wèn)：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b

2?(a?0,b?0).（討論 → 板演 → 分析思維特點(diǎn)：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件）

二、講授新課：

1.教學(xué)例題：

① 出示例

1??

討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件？

→ 板演證明過(guò)程（注意格式）

→ 再討論：能用綜合法證明嗎？→ 比較：兩種證法

② 提出分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.框圖表示：

22要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因.1331③ 練習(xí)：設(shè)x > 0，y > 0，證明不等式：(x?y)2?(x?y)3.先討論方法 → 分別運(yùn)用分析法、綜合法證明.④ 出示例4：見(jiàn)教材P48.討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論出發(fā)，逐步反推）⑤ 出示例5：見(jiàn)教材P49.討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論與已知出發(fā)，逐步探求）

2.練習(xí)：證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面（指橫截面）的周長(zhǎng)相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：設(shè)截面周長(zhǎng)為l，則周長(zhǎng)為l的圓的半徑為

形邊長(zhǎng)為l4ll2?，截面積為?(l22)>().2?4ll2?)，周長(zhǎng)為l的正方2，截面積為()2，問(wèn)題只需證：?（43.小結(jié)：分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書(shū)寫(xiě)；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.（框圖示意）

三、鞏固練習(xí)：

2221.設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c?a?b?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，即證：2?cosC?

CC?cosC?2，即證：sin(C?

2.作業(yè)：教材P52 練習(xí)2、3題.?6)?1（成立）.第三課時(shí)2.2.2反證法

教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用反證法證明問(wèn)題；了解反證法的思考過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉(zhuǎn)2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）

2.提出問(wèn)題：平面幾何中，我們知道這樣一個(gè)命題：“過(guò)在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓”.討論如何證明這個(gè)命題？

3.給出證法：先假設(shè)可以作一個(gè)⊙O過(guò)A、B、C三點(diǎn)，則O在AB的中垂線(xiàn)l上，O又在BC的中垂線(xiàn)m上，即O是l與m的交點(diǎn)。

但 ∵A、B、C共線(xiàn)，∴l(xiāng)∥m(矛盾)

∴ 過(guò)在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓.二、講授新課：

1.教學(xué)反證法概念及步驟： A① 練習(xí)：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么a?b

② 提出反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立.證明基本步驟：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立 → 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設(shè)不成立，從而原命題的結(jié)論成立

應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等）.方法實(shí)質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價(jià)性來(lái)進(jìn)行證明的，即由一個(gè)命題與其逆否命題同真假，通過(guò)證明一個(gè)命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實(shí).注：結(jié)合準(zhǔn)備題分析以上知識(shí).2.教學(xué)例題：

① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.分析：如何否定結(jié)論？ → 如何從假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理？ → 得到怎樣的矛盾？

與教材不同的證法：反設(shè)AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結(jié)OP，則由垂徑定理：OP?AB，OP?CD，則過(guò)P有兩條直線(xiàn)與OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例

2.（同上分析 → 板演證明，提示：有理數(shù)可表示為m/n）

?m/n（m,n為互質(zhì)正整數(shù)），從而：(m/n)2?3，m2?3n2，可見(jiàn)m是3的倍數(shù).設(shè)m=3p（p是正整數(shù)），則 3n2?m2?9p2，可見(jiàn)n 也是3的倍數(shù).這樣，m, n就不是互質(zhì)的正整數(shù)（矛盾）.m/n.③ 練習(xí)：如果a?1為無(wú)理數(shù)，求證a是無(wú)理數(shù).提示：假設(shè)a為有理數(shù)，則a可表示為p/q（p,q為整數(shù)），即a?p/q.由a?1?(p?q)/q，則a?1也是有理數(shù)，這與已知矛盾.∴ a是無(wú)理數(shù).3.小結(jié)：反證法是從否定結(jié)論入手，經(jīng)過(guò)一系列的邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，從而說(shuō)明原結(jié)論正確.注意證明步驟和適應(yīng)范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問(wèn)題）

三、鞏固練習(xí)： 1.練習(xí)：教材P541、2題2.作業(yè)：教材P54A組3題.

第二篇：2.2.1綜合法和分析法

數(shù)學(xué)選修1-2第二章推理與證明編號(hào)：3姓名：班級(jí)：評(píng)價(jià)：編制人：許朋朋 趙陽(yáng)領(lǐng)導(dǎo)簽字：

§2.2.1 綜合法和分析法

一、教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合 法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。

（二）過(guò)程與方法: 培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力和分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；

（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)

三、教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)

四、教學(xué)過(guò)程:

（一）導(dǎo)入新課：

合情推理分歸納推理和類(lèi)比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的。數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通

過(guò)邏輯推理的方式加以證明。本節(jié)我們將學(xué)習(xí)兩類(lèi)基本的證明方法：直接證明與間接證明。

（二）新課：

1.綜合法的概念：

綜合法的特點(diǎn)：用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論，綜合法可表示為：?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

例1：已知a,b>0,求證a(b2?c2)?b(c2?a

2)?4abc

例

2、在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列, a,b,c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.注：解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往要先作語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，如把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言，或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成圖形語(yǔ)言等．還要通過(guò)細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來(lái)．

例

3、已知a,b?R?,求證aa

bb

?ab

ba

.注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。2.分析法的概念： 分析法的特點(diǎn)：分析法可表示為：?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

例4：求證?7?25。

3.分析法和綜合法結(jié)合的應(yīng)用：在解決問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用：根據(jù)條

件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q‘；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P‘

．若

由P‘可以推出Q‘

成立，就可以證明結(jié)論成立．下面來(lái)看一個(gè)例子．

數(shù)學(xué)選修1-2第二章推理與證明編號(hào)：3姓名：班級(jí)：評(píng)價(jià)：編制人：許朋朋 趙陽(yáng)領(lǐng)導(dǎo)簽字：

例5、已知?,??k??

?

(k?Z)，且 sin??cos??2sin?①sin?cos??sin2?②

?tan

2?1?tan2

求證：

1?

1?tan2??2(1?tan2

?)。

（三）課堂小結(jié)：

綜合法和分析法的特點(diǎn)：

（四）當(dāng)堂檢測(cè)

1．分析法又叫執(zhí)果索因法，若使用分析法證明：設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0b－ac<3a索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b>0

B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0

D．(a－b)(a－c)<0

2．設(shè)a>0，b>0，a＋b＝1.求證：(1)111a＋bab≥8；(2)??a＋1a2＋??b＋1b2≥252.3．若a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：lga＋bb2lg＋cc＋a

2＋lg2>lga＋lgb＋lgc.，求證(a－b)2a＋b(a－b)2

4．已知a>b>08a2－ab<8b.（五）布置作業(yè)：

1、a,b,c?R?,求證

?a?b?c)

2.設(shè)a,b,c為一個(gè)三角形的三邊,且s2=2ab,s=1

(a+b+c)

試證s<2a

第三篇：2.2.1 綜合法和分析法

2．2 直接證明與間接證明

2．2.1 綜合法和分析法

整體設(shè)計(jì)

教材分析

在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)能用綜合法和分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題，但他們對(duì)綜合法和分析法的內(nèi)涵和特點(diǎn)不一定非常清楚．本節(jié)內(nèi)容結(jié)合學(xué)生已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生分析綜合法與分析法的思考過(guò)程與特點(diǎn)，并歸納出操作流程圖，使他們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中，能自覺(jué)地、有意識(shí)地運(yùn)用綜合法和分析法進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣．

課時(shí)分配

2課時(shí)．第1課時(shí)綜合法，第2課時(shí)分析法．

第1課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能目標(biāo)

(1)理解綜合法證明的概念；

(2)能熟練地運(yùn)用綜合法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題．

2．過(guò)程與方法目標(biāo)

(1)通過(guò)實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生分析綜合法的思考過(guò)程與特點(diǎn)；

(2)引導(dǎo)學(xué)生歸納出綜合法證明的操作流程圖．

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀

(1)通過(guò)綜合法的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性、抽象性、科學(xué)性；

(2)通過(guò)綜合法的學(xué)習(xí)，養(yǎng)成審慎思維的習(xí)慣．

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：(1)結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例理解綜合法；

(2)了解綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)．

難點(diǎn)：(1)對(duì)綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)的概括；

(2)運(yùn)用綜合法證明與數(shù)列、幾何等有關(guān)內(nèi)容．

教學(xué)過(guò)程

引入新課

證明對(duì)我們來(lái)說(shuō)并不陌生，我們?cè)谏弦还?jié)學(xué)習(xí)的合情推理，所得的結(jié)論的正確性就是要證明的，并且我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)中，積累了較多的證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，但這些經(jīng)驗(yàn)是零散的、不系統(tǒng)的，這一節(jié)我們將通過(guò)熟悉的數(shù)學(xué)實(shí)例，對(duì)證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法形成較完整的認(rèn)識(shí)．

提出問(wèn)題：給出以下問(wèn)題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明．

請(qǐng)同學(xué)們證明：

已知a，b>0，求證：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論，找出以上問(wèn)題的證明方法，教師巡視指導(dǎo)，并注意與學(xué)生交流．

活動(dòng)結(jié)果：(學(xué)生板書(shū)證明過(guò)程)

證明：因?yàn)閎2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因?yàn)閏2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明以上問(wèn)題，體會(huì)綜合法證明的思考過(guò)程，為引出綜合法的定義做準(zhǔn)備．

探究新知

提出問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們回顧，你證明這道題的思維過(guò)程．

活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生自由發(fā)言．

教師活動(dòng)：整理學(xué)生發(fā)言，得到證明上題的思維過(guò)程．

首先，分析待證不等式的特點(diǎn)：不等式右端是3個(gè)數(shù)a，b，c乘積的四倍，左端為兩項(xiàng)之和，其中每一項(xiàng)都是一個(gè)數(shù)與另兩個(gè)數(shù)的平方和之積，據(jù)此，只要把兩個(gè)數(shù)的平方和轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)數(shù)的積的形式，就能使不等式兩端出現(xiàn)相同的形式；

其次，尋找轉(zhuǎn)化的依據(jù)及證明中要用的知識(shí)，本題應(yīng)用不等式x2＋y2≥2xy就能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，不等式的基本性質(zhì)是證明的依據(jù)；

最后，給出證明即可．

(在總結(jié)證明上題思維過(guò)程的同時(shí)，向?qū)W生灌輸解決問(wèn)題先粗后細(xì)，先框架，后具體的思想)

這樣，我們可以把上題的證明過(guò)程概括為：從已知條件、不等式x2＋y2≥2xy和不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，通過(guò)推理得出結(jié)論成立．

活動(dòng)結(jié)果：

綜合法定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．

設(shè)計(jì)意圖

讓學(xué)生先表達(dá)綜合法證明的特點(diǎn)，但他們對(duì)綜合法的內(nèi)涵和特點(diǎn)表達(dá)不一定非常清楚，因此再由老師整理出綜合法證明的思維特點(diǎn)來(lái)，進(jìn)而將問(wèn)題一般化，得到綜合法的定義．

運(yùn)用新知

例1在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形．

思路分析：本題首先把已知條件進(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，即將A，B，C成等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為2B＝A＋C，a，b，c成等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為b2＝ac，接著把隱含條件顯性化，將A，B，C為△ABC三個(gè)內(nèi)角明確表示為A＋B＋C＝π，然后尋找條件與結(jié)論的聯(lián)系；利用余弦定理可以把邊和角聯(lián)系起來(lái)，建立邊和角的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀．這樣，就可以嘗試直接從已知條件和余弦定理出發(fā)，運(yùn)用綜合法來(lái)推導(dǎo)出結(jié)論．

證明：由A，B，C成等差數(shù)列，有2B＝A＋C，①

由A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，所以A＋B＋C＝π.②

π由①②，得B＝，③

3由a，b，c成等比數(shù)列，有b2＝ac，④

由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，從而a＝c，所以A＝C.⑤

π由②③⑤，得A＝B＝C＝△ABC為等邊三角形． 3

點(diǎn)評(píng)：在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，經(jīng)常要把已知條件進(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言，或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成圖形語(yǔ)言等，還要把命題中的隱含條件顯性化，然后尋找條件與結(jié)論的聯(lián)系，最后運(yùn)用綜合法來(lái)推導(dǎo)結(jié)論．

bn1an111設(shè)a＋b>0，n為偶數(shù)，證明＋.abab－－

bn1an111?an－bn??an1－bn1?證明：＝，abab?ab?－－－－

(1)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，(an－bn)(an1－bn1)≥0，(ab)n>0，－－

?an－bn??an1－bn1?bn1an111所以≥0，故＋abab?ab?－－－－

(2)當(dāng)ab為負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)a>0，b<0，由于a＋b>0，所以a>|b|.又n是偶數(shù)，所以(an－b)(ann－1－bn－1?an－bn??an1－bn1?bn1an111)>0.又(ab)>0，故>0，即＋.abab?ab?－－－－n

bn1an111綜合(1)(2)可知，≥ abab－－

理解新知

(1)由于綜合法證明的特點(diǎn)，我們有時(shí)也把這種證明方法叫“順推證法”或“由因?qū)Чā保?/p>

(2)框圖表示

P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示要證明的結(jié)論．

2如圖，在三棱錐S—ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC＝90°，O為BC中點(diǎn)．

證明SO⊥平面ABC.思路分析：從已有的定義、定理、公理出發(fā)，推出要證的結(jié)論．

證明：由題設(shè)AB＝AC＝SB＝SC＝SA，連接OA，△ABC為等腰直角三角形，所以O(shè)A＝OB＝OC＝2SA，且AO⊥BC.22，從而OA2＋SO2＝

SA2.2又因?yàn)椤鱏BC與△ABC全等，故有SO⊥BC，且SO＝

所以△SOA為直角三角形，所以SO⊥AO.又AO∩BO＝O，所以SO⊥平面ABC.點(diǎn)評(píng)：讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉綜合法證明的思維過(guò)程與特點(diǎn)，學(xué)習(xí)綜合法證明的規(guī)范證明過(guò)

程，同時(shí)熟悉綜合法證明的操作流程圖．

鞏固練習(xí)

11＋已知a，b，c∈R，求證：(a＋b＋c)()≥4.ab＋c

a＋b＋ca＋b＋cb＋c11a＋證明：由于a，b，c∈R，則(a＋b＋c)(＋＝＋＝1＋＋1＋ab＋caab＋cb＋c

b＋ca＝2＋(≥2＋ab＋cb＋ca4.ab＋c

變練演編

＋已知x，y，z∈R，a，b，c∈R，b＋c2c＋a2a＋b2求證：＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

思路分析：抓住要證明式子的結(jié)構(gòu)特征，合理運(yùn)用均值不等式，用綜合法證明上述不等式．

b＋c2c＋a2a＋b2b2c2c2a＋證明：由于x，y，z∈R，a，b，c∈R，則＋y＋＝＋＋＋abcaabbabbacacby2＋2＋2＝(x22)＋(x2＋z2)＋(2＋z2)≥2xy＋2xz＋2yz＝2(xy＋xz＋yz)，ccabacbc

b＋c2c＋a2a＋b2所以有＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

點(diǎn)評(píng)：學(xué)會(huì)結(jié)合條件及所證的結(jié)論，尋找到解決問(wèn)題所需的知識(shí)，充分體會(huì)綜合法證明不等式的方法，規(guī)范解題步驟．

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1．綜合法：(1)一般的，利用____________，經(jīng)過(guò)____________最后________，這種證明方法叫做綜合法．

2．已知a，b，c均大于1，且logac·logbc＝4，則下列各式中，一定正確的是()

A．a(chǎn)c≥bB．a(chǎn)b≥c

C．bc≥aD．a(chǎn)b≤c

答案：1.已知條件和某些數(shù)學(xué)定義，公理，定理 一系列的推理論證 推導(dǎo)出證明的結(jié)論成立

2．B

課堂小結(jié)

1．綜合法證明是證明題中常用的方法．從條件入手，根據(jù)公理、定義、定理等推出要證的結(jié)論．

2．綜合法證明題時(shí)要注意，要先作語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，如把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言等，還要通過(guò)細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來(lái)．

3．綜合法可用于證明與函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、立體幾何、解析幾何等有關(guān)的問(wèn)題．

布置作業(yè)

課本本節(jié)練習(xí)1、3.補(bǔ)充練習(xí)

基礎(chǔ)練習(xí)

1．△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosA＝cosC，求證：△ABC為等邊三角形．

證明：由3b＝3asinB3sinB＝23sinAsinB?sinA3?π2πA＝.23

3π由cosA＝cosC?A＝C，且A＋B＋C＝π，所以A＝C＝B.所以△ABC為等邊三角3

形．

拓展練習(xí)

22．已知函數(shù)f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f′(x)．對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x

f?x1?＋f?x2?x1＋x2x1、x2，證明當(dāng)a≤0時(shí)，>f(． 2

22證明：由f(x)＝x2＋＋alnx，x

得f?x1?＋f?x2?12211a(x1＋x2)＋(＋＋1＋lnx2)22x1x22

x1＋x212＝(x2＋x)＋＋alnx1x2.221x1x2x1＋x2x1＋x22x1＋x24＝()＋aln，222x1＋x2

∵x1≠x2且都為正數(shù)，x1＋x2212122有(x2＋x)>[(x＋x)＋2xx]＝(.① 212214122

2又(x1＋x2)2＝(x21＋x2)＋2x1x2>4x1x2，∴x1＋x24.② x1x2x1＋x2

x1＋x2x1＋x2∵x1x2<∴l(xiāng)nx1x2

x1＋x2∵a≤0，∴alnx1x2>aln.③ 2

f?x1?＋f?x2?x1＋x2由①、②、③得． 2

2設(shè)計(jì)說(shuō)明

本節(jié)通過(guò)具體證明實(shí)例，使學(xué)生了解直接證明的基本方法——綜合法，了解綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，分析能力，邏輯推理能力；并能用綜合法證明數(shù)列、幾何等有關(guān)內(nèi)容．本節(jié)重點(diǎn)突出學(xué)生的自主性，教師主要是點(diǎn)撥思路，與知識(shí)升華，在教師所提問(wèn)題的引導(dǎo)下，學(xué)生自主完成探究新知和理解新知的過(guò)程，加深對(duì)知識(shí)的理解和提高證明問(wèn)題的能力．

備課資料

例1已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，a＋b＋c＝1，求證：a＋bc3.思路分析：此題是應(yīng)用綜合法證明不等式問(wèn)題，需要用到不等式中的均值不等式的知識(shí)來(lái)進(jìn)行證明．

證明：∵a，b，c∈R，∴a＋b≥ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac.∴2(a＋b＋c)≥ab＋bcac)．∴a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ac)≤3(a＋b＋c)＝3.∴(a＋b＋c)2≤3.abc3.點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用綜合法證明不等式，關(guān)鍵是要由已知條件尋找到正確的所需知識(shí)，進(jìn)而來(lái)證＋

明問(wèn)題．

例2設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，其中m為常數(shù)，且m≠－3.(1)求證：{an}是等比數(shù)列；

3(2)若數(shù)列{an}的公比q＝f(m)，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N，n≥2)，求證：

21{為等差數(shù)列． bn

思路分析：本題要求證明數(shù)列為等差、等比數(shù)列，恰當(dāng)處理遞推關(guān)系是關(guān)鍵．

證明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，an＋12m兩式相減得(3＋m)an＋1＝2man，由于m≠－3，∴.∴{an}是等比數(shù)列． anm＋

3(2)b1＝a1，q＝f(m)＝2m332bn－1∴n∈N，n≥2時(shí)，bn＝f(bn－1)＝×.22bn－1＋3m＋3

11111∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1.∴＝.∴{}是首項(xiàng)為1，公差為 bnbn－13bn3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用綜合法和數(shù)列的定義，合理處理遞推關(guān)系的數(shù)列證明問(wèn)題． 例3在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.思路分析：此題事實(shí)上比較簡(jiǎn)單，但學(xué)生入手卻有些不知所措．對(duì)已知條件(1)a2－c2＝2b左側(cè)是二次的，右側(cè)是一次的，學(xué)生總感覺(jué)用余弦定理不好處理，而對(duì)已知條件

(2)sinAcosC＝3cosAsinC，過(guò)多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式，甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差，導(dǎo)致找不到突破口．

解：由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccosA＋2.①

又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC.b由正弦定理，得sinB＝sinC，故b＝4ccosA.② c

由①，②解得b＝4.點(diǎn)評(píng)：在解題中應(yīng)注意總結(jié)，提高對(duì)問(wèn)題的分析和解決能力及對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力．

(設(shè)計(jì)者：莫靜波)

第四篇：選修2-2§2.2.1綜合法與分析法

人教版數(shù)學(xué)選修精品——推理與證明

§2.2.1直接證明--綜合法與分析法

1．教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。

過(guò)程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2．教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)

3．教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)

4．教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

5．教學(xué)設(shè)想：分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學(xué)過(guò)程:

學(xué)生探究過(guò)程：

合情推理分歸納推理和類(lèi)比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的，數(shù)學(xué)中的兩大基本證明方法-------直接證明與間接證明。

若要證明下列問(wèn)題：

已知a,b>0,求證a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc

教師活動(dòng)：給出以上問(wèn)題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明。教師最后歸結(jié)證明方法。

學(xué)生活動(dòng)：充分討論，思考，找出以上問(wèn)題的證明方法

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明以上問(wèn)題，引出綜合法的定義

證明:因?yàn)閎2?c2?2bc,a?0,所以a(b2?c2)?2abc,因?yàn)閏?a?2ac,b?0,所以b(c?a)?2abc.因此, a(b?c)?b(c?a)?4abc.P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論

1.綜合法

綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 2222222

2?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公例

1、在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列, a,b,c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.分析：將 A , B , C 成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言就是2B =A + C;A , B , C為△ABC的內(nèi)角，這是一個(gè)隱含條件，明確表示出來(lái)是A + B + C =?； a , b，c成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言就是b?ac．此時(shí)，如果能把角和邊統(tǒng)一起來(lái)，那么就可以進(jìn)一步尋找角和邊之

2間的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿(mǎn)足要求．于是，可以用余弦定理為工具進(jìn)行證明．

證明：由 A, B, C成等差數(shù)列，有 2B=A + C ． ①

因?yàn)锳,B,C為△ABC的內(nèi)角，所以A + B + C=?． ⑧

?由①②，得B=.3由a, b，c成等比數(shù)列，有b2?ac.由余弦定理及③，可得

b?a?c?2accosB?a?c?ac.22222

再由④，得a2?c2?ac?ac.2(a?c)?0,因此a?c.從而A=C.由②③⑤，得 ?A=B=C=.3

所以△ABC為等邊三角形．

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往要先作語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，如把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言，或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成圖形語(yǔ)言等．還要通過(guò)細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來(lái)．

2.分析法

證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，還經(jīng)常從要證的結(jié)論 Q 出發(fā)，反推回去，尋求保證Q 成立的條件，即使Q成立的充分條件P1，為了證明P1成立，再去尋求P1成立的充分條件P2，為了證明P2成立，再去尋求P2成立的充分條件P3······直到找到一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。

分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

分析法的思維特點(diǎn)是：分析法的書(shū)寫(xiě)格式：

要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

??

這只需要證明命題A而已知A為真，故命題B例

3、求證3?

證明：因?yàn)??只需證明(3?7?25 7和25都是正數(shù)，所以為了證明3?7)?(25)227?25 展開(kāi)得10?221?20

即221?10,21?2

5因?yàn)?1?25成立，所以

(3?227)?(25)成立 即證明了3?7?25

說(shuō)明：①分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對(duì)立②分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

這只需要證明命題A為真

而已知A為真，故B必真

在本例中，如果我們從“21<25 ”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論。但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。

事實(shí)上，在解決問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特

‘‘點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P．若

由P‘可以推出Q‘成立，就可以證明結(jié)論成立．下面來(lái)看一個(gè)例子．

?例4 已知?,??k??(k?Z)，且

2sin??cos??2sin?①

sin?cos??sin?②2

求證：1?tan?

1?tan?22?1?tan?2(1?tan?)22。

分析：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒(méi)有出現(xiàn)角?，因此第一步工作可以從已知條件中消去?.觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含數(shù)量關(guān)系

2222(sin??cos?)?2sin?cos??1，于是，由 ①一2×② 得4sin??2sin??1．把

4sin??2sin??1與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名稱(chēng)不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論：22

統(tǒng)一函數(shù)名稱(chēng)，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù)．把結(jié)論轉(zhuǎn)化為cos??sin??

cos??sin??222212

12(cos??sin?),再與4sin??2sin??1比較，發(fā)現(xiàn)只要把c(os??222222sin?中的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能達(dá)到目的．)2證明：因?yàn)?sin??cos?)?2sin?cos??1，所以將 ① ② 代入，可得 4sin??2sin??1.③ 2

另一方面，要證

sin?21?tan?1?tan?22?21?tan?2(1?tan?)22 1?

即證

1??2sin?

cos?

2221?2(1?sin?cos?sin?cos?1

2222，)222即證cos??sin??

即證1?2sin??

22(cos??sin?)，2122(1?2sin?)，即證4sin??2sin??1。

由于上式與③相同，于是問(wèn)題得證。

課堂小結(jié)：直接證明的兩種方法-綜合法和分析法

課后作業(yè)：第91頁(yè)A組 2,3教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)習(xí)了分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問(wèn)題。對(duì)于解答證明來(lái)說(shuō)，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

首先，介紹為什么要引入證明，以及經(jīng)常用的兩種證明方法，主要介紹的是直接證明的兩種方法。然后具體講解綜合法和分析法并舉例說(shuō)明，強(qiáng)調(diào)分析法的步驟以及兩者的區(qū)別。最后舉一個(gè)兩種方法綜合使用的例子

例

1、已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：

222222a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

證明：∵b2?c2≥2bc,a＞0,∴a(b2?c2)≥2abc①

同理 b(c2?a2)≥2abc②

c(a?b)≥2abc③ 2

2因?yàn)閍，b，c不全相等，所以b2?c2≥2bc, c2?a2≥2ca, a2?b2≥2ab三式不能全取“=”號(hào)，從而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

例

2、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2?ac

又∵a，b，c都是正數(shù)，所以0?b?

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b)?2b(a?c?b)?0

∴a?b?c?(a?b?c)

2422例

3、若實(shí)數(shù)x?1，求證：3(1?x?x)?(1?x?x).22222ac≤a?c2?a?c

證明：采用差值比較法：

3(1?x?x)?(1?x?x)242

2=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

43=2(x?x?x?1)

=2(x?1)(x?x?1)=2(x?1)[(x?224242322

12)?

2234].1

2)?2?x?1,從而(x?1)?0,且(x?

4]?0,2234?0, ∴2(x?1)[(x?24212)?2∴3(1?x?x)?(1?x?x).例

4、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時(shí),(2)當(dāng)ac+bd>0時(shí),欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

222222222222即證ac+2abcd+bd≤ac+ad+bc+bd

即證2abcd≤b2c2+a2d

22即證0≤(bc-ad)

因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

***22222證法二:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=(ac+2abcd+bd)+(bc-2abcd+ad)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+分析三:用比較法

證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd

例

5、設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書(shū)寫(xiě))

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a-ab+b)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a-2ab+b＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。(以下用綜合法思路書(shū)寫(xiě))

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

3322即a+b＞ab+ab，由此命題得證.2222

第五篇：2.2.1綜合法與分析法

2.2.1 綜合法與分析法

一．教學(xué)目標(biāo)：

1．知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。

2．過(guò)程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二．教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)

三．教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)

四．教學(xué)過(guò)程

直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。常用的直接證明方法有綜合法與分析法。

綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，而分析法是一種從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的思維方法。具體地說(shuō)，綜合法是從已知條件出法，經(jīng)過(guò)逐步的推理，最后達(dá)到待證結(jié)論。分析法則是從待證結(jié)論出法，一步一步尋求結(jié)論成立的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)。

1.教學(xué)實(shí)例：

123???2例1log519log319log219 1證明：因?yàn)?logb?a

左式=log 195?2log 193?3log 192?log 19360l

因?yàn)閘og 19360?log 19361?

2所以 1?2?3?

2log519log319log219

這個(gè)證明就是從已知條件出法，進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算和推理，得到要證明的結(jié)論，其中要用到一些已經(jīng)證明的命題。

例2．如圖，設(shè)四面體PABC中, ∠ABC=90°，PA=PB=PC，D中點(diǎn)，求證：PD 垂直于△ABC 所在的平面。

證明：連接PD，BD，因?yàn)锽D 是Rt△ABC 斜邊上的中線(xiàn)，所以DA=DB=DC，又因?yàn)镻A=PB=PC，而PD 是△PDA、△PBD、△PCD 的公共邊，所以△PDA≌△PBD≌△PCD，于是∠PDA=∠PDB=∠PDC，而∠PDA=∠PDC=90°，可見(jiàn)PD⊥AC，PD⊥BD，由此可知，PD 垂直于△ABC 所在的平面。

這個(gè)證明的步驟是：

（1）由已知BD 是Rt△ABC 斜邊上的中線(xiàn)，推出DA=DB=DC，記為P0(已知)?P1；

（2）由DA=DB=DC，和已知條件，推出三個(gè)三角形全等，記為P1?P2；

（3）由三個(gè)三角形全等，推出∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，記為P2?P3；

（4）由∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，推出PD 垂直于△ABC 所在的平面，記為P3?P4(結(jié)論)； logba

這個(gè)證明步驟用符號(hào)表示就是P0(已知)?P1?P2?P3?P4(結(jié)論).2．分析法

例3

??證明：因?yàn)??

7和2

只需證明?7）?(25)

展開(kāi)得10 + 2 22??21 < 20，即21 < 5，只需證明21<25，因?yàn)?1<25成立，所以不等式?7?2成立。

分析法證明的邏輯關(guān)系是：B(結(jié)論)?Bl ?B2 ? ?? ?Bn ?A(已知).在分析法證明中，從結(jié)論出發(fā)的每一個(gè)步驟所得到的判斷都是結(jié)論成立的充分條件，最后一步歸結(jié)到已被證明的事實(shí)。因此從最后一步可以倒推回去，直到結(jié)論，但這個(gè)倒推過(guò)程可以省略。

例4．求證：當(dāng)一個(gè)圓與一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等時(shí)，這個(gè)圓的面積比正方形的面積大。

?L??L?證明：設(shè)圓和正方形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，依題意，圓的面積為???，正方形的面積為??。?4??2??

?L??L?因此本題只需證明???>??，2????4?2222

?L2L2

?為了證明上式成立，只需證明, 164?2

兩邊同乘以正數(shù)411，得? 2?4L

22?L??L?因?yàn)樯鲜绞浅闪⒌?，所???>?? 2????4?

這就證明了如果一個(gè)圓與一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等，那么這個(gè)圓的面積比這個(gè)正方形的面積大。

從前面的例子可以看出，分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是要尋找它的充分條件。綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的必要條件，分析法與綜合法各有其特點(diǎn)。有些具體的待證命題，用分析法和綜合法都可以證出來(lái)，人們往往選擇比較簡(jiǎn)單的一種。從以上幾中可以看出，分析法解題方向較為明確，利于尋找解題思路，綜合法解題條理清晰，易于表述。因此，在實(shí)際解題時(shí)，通常以分析法為主尋找思路，再用綜合法有條理地表述解題過(guò)程

3．小結(jié)：

（1）分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是

從數(shù)學(xué)題的（2）已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問(wèn)題。對(duì)于解答證明來(lái)說(shuō)，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。