第一篇：初中數(shù)學證明二相關練習

直角三角形

【要點整理】

1．____叫做直角三角形.我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為___________，較長的直角邊稱為____________，斜邊稱為____________。

2.直角三角形的性質(zhì)：

①直角三角形的兩個銳角_____________.②勾股定理的內(nèi)容是_______________________________________.3.直角三角形的判定：

①角：_____________.②勾股逆定理的內(nèi)容是_______________________________________.4.直角三角形全等的判定的方法有.5.直角三角形的重要結(jié)論：

①_____________.②_______________________________________.③_______________________________________

【經(jīng)典范例】

例1：

①以6，8為兩邊的三角形第三邊c的取值范圍

②以6，8為兩邊的直角三角形第三邊c的取值范圍③以6，8為兩邊的銳角三角形第三邊c的取值范圍

④以6，8為兩邊的鈍角三角形第三邊c的取值范圍例2：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝，D是BC上任一點，求證：

例3：兩個全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如

圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點

M，連結(jié)ME，MC，?試判斷△EMC的形狀，并說明理由．

例4：清朝康熙皇帝是我國歷史上一位對數(shù)學很有興趣的帝王。近日，西安發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學專著，其中有一文《積求勾股法》，它對“三邊長為3、4、5的整數(shù)倍的直角三角形，已知面積求邊長”這一問題提出了解法：“若所設者為積數(shù)（面積），以積率六除之，平方開之得數(shù)，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之數(shù)?！庇矛F(xiàn)在的數(shù)學語言表述是： “若直角三角形的三邊長分別為3、4、5的整數(shù)倍，設其面積為S，則第一步：二步：?k；第三步：分別用3、4、5乘以k，得三邊長。”

（1）當面積S等于150時，請用康熙的“積求勾股法”求出這個直角三角形的三邊長；

（2）你能證明“積求勾股法”的正確性嗎？請寫出證明過程。

S?m；第6

例5：臺風是一種破壞力極大的自然災害，在臺風中心周圍數(shù)十千米的范圍內(nèi)會受其影響，根據(jù)氣象預報，某市正南方220km的B處有一臺風中心，其中心最大風力為12級，每遠離臺風中心20km，風力就會減弱1級，該臺風中心以15km/h的速度沿北偏東30°方向向C地移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或超過4級，則稱受到臺風影響.（1）該城市是否受到這次臺風的影響？請說明理由.C

（2）若城市受到這次臺風的影響，那么受影響的時間有多長？ A（3）該城市受到臺風影響的最大風力有幾級？第三周線段的垂直平分線

【要點整理】

1.線段垂直平分線的定義：2.線段的垂直平分線的作法：

3.線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到_______________距離相等．

4.三角形的三邊垂直平分線相交相等。5.線段的垂直平分線逆定理的內(nèi)容是【經(jīng)典范例】

例1：如圖，A、B、C三點表示三個工廠，要建一個供水站，使它到這三個工廠的距離相等，求作供水站的位置P.例2：如圖，△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AB的垂直平分線交AD于點O，交AB于點E．求證：點O在AC的垂直平分線上．

例3：如圖，一機器人在點A處發(fā)現(xiàn)一個小球自點B處沿x軸向原點O方向勻速滾來，機器人立即從A處勻速直線前進，去截小球。(1)若小球滾動速度與機器人街速度相等，試在圖中標出機器人最快能截小球的位置C(尺規(guī)作圖，不寫分析、作法、保留作圖痕跡)。若點A的坐標為(2，)，點B的坐標為(10,0)，小球滾動速度為機器人行走的2倍，問機器人最快可在何處截住小球？求出該點的坐標。

直角三角形

1如圖,有一塊直角三角形紙片,兩直角邊AC=6cm, BC=8cm,現(xiàn)將直角 邊AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB上,且與AE重合,則CD 等于()

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

2．若a、b、c是直角三角形的三條邊長，斜邊c上的高的長是h，給出下列結(jié)論： ① 以a2，b2，c2 的長為邊的三條線段能組成一個三角形 ② 以a，b，c的長為邊的三條線段能組成一個三角形 ③ 以a + b，c + h，h 的長為邊的三條線段能組成直角三角形

1，的長為邊的三條線段能組成直角三角形.其中所有正確結(jié)論的序號

cab

為．

④ 以

3．如圖是陽光廣告公司為某種商品設計的商標圖案，圖中陰影部分為 紅色.若每個小長方形的面積都1，則紅色的面積是； 4．觀察下列表格：

請你結(jié)合該表格及相關知識，則、的值為．

5.在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，P是△ABC

內(nèi)一點，PA=1，PB=3，PC=7，求∠CPA的大小。

6．如圖,地上放著一個長、寬、高分別為50cm、40cm、30cm的箱子,位于角A處的一只螞蟻發(fā)現(xiàn)了位于角B處的一只蒼蠅,問螞蟻沿著箱面怎樣爬才能使它到B處的路程最短,最短路程是多少.30 A

cmcm

7．如圖，客輪沿折線A—B—C從A出發(fā)到B再到C勻速航行，貨輪從AC的中點D出發(fā)沿某一方向勻速直線航行，將一批物品送達客輪．兩船速度相同，客輪航行150海里后，貨輪再啟航，要求同時到達折線A一B一C上的某點E處，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°．

A

(1)選擇：兩船相遇之處E點

A．在線段AB上

B．在線段BC上

C．即可以在線段AB上，也可以在線段BC上(2)求貨輪從啟航到兩船相遇共航行了多少海里?

C

8．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，設△ABC的面積為S，周長為l．(1)填表：

(2)如果a+b一c=m，觀察上表猜想

s

用含有m的代數(shù)式表示)l

(3)證明(2)中的結(jié)論．

9．一輛卡車裝滿貨物后，能否通過如圖所示的工廠廠門(上方為半圓)，已知卡車高為3．0m，寬為1．6m，說明你的理由．

線段垂直平分線

1．到平面上三點 A，B，C距離相等的點（）A．只有一個B．有二個 C．三個或三個以上D．一個或沒有

2．如圖1所示，已知在△ABC中，AD垂直平分BC，AC=EC，點B，D，C，E在同一條直線上，則AB+DB與DE之間的關系是（）A．AB+DB＞DEB．AB+DB＜DE C．AB+DB=DED．非上述答案

3．在銳角三角形ABC中，∠A=60°，AB，AC兩邊的垂直平分線相交于點O，則 ∠BOC=．

4．如圖2，△ABC中，∠BAC=106°，EF，MN分別是AB，AC的垂

直平分線，E，M在BC上，則∠EAM=．

Ｂ圖

35．如圖3，?ABC?50，AD垂直平分線段BC于點D，?ABC的平分線BE交AD于點

?

E，連結(jié)EC，則?AEC的度數(shù)是

6．在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角是40°,則底角∠B的大小是.8．如圖5，△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分線交AC于點D，求證：AD=

DC．

210．已知:△ABC中，D是BC的中點, E、F分別在AB、AC上,且ED⊥

>EF.11．已知:△ABC中，AB=AC，∠A=90°,D、E、F分別在AB、AC、BC上, 且AD=AE,CD為EF的中垂線,求證:BF=2AD

第二篇：初中數(shù)學證明(二)

《證明(二)》單元測試卷

一、選擇題（每小題3分）、如圖，在△ABC中，?C?90，EF//AB,?1?50，則?B的度數(shù)為（）A．50B.60C.30D.402、兩個直角三角形全等的條件是（）

A、一銳角對應相等B、兩銳角對應相等C、一條邊對應相等D、兩條邊對應相等

3、等腰三角形底邊長為7，一腰上的中線把其周長分成兩部分的差為3，則腰長是（）

A、4B、10C、4或10D、以上答案都不對

4、如圖，已知AB?AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（）

A．CB?CDB．∠BAC?∠DAC

C．∠BCA?∠DCAD．∠B?∠D?90?。。。

5、如圖所示，A、B、C分別表示三個村莊，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社會主義新農(nóng)村建設中，為了豐富群眾生活，擬建一個文化活動中心，要求這三個村莊到活動中心的距離相等，則活動中心P 的位置應在（）

A．AB中點B．BC中點

C．AC中點D．∠C的平分線與AB的交點

6、設M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形，Q表示等腰直角三角形，則下列四個圖中，能表示他們之間關系的是（）

7．下列命題是假命題的是（）

A．有兩個內(nèi)角分別為70°和40°的三角形是等腰三角形

B．有兩邊長分別為3，4且三邊長均為整數(shù)的三角形一定是等腰三角形

C．任意兩個內(nèi)角不相等的三角形不是等腰三角形

D．有兩個外角相等的三角形是等腰三角形

8、如圖，OP平分?AOB，PA?OA，PB?OB，垂足分別

為A，B．下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A．PA?PBB．PO平分?APB

O

C．OA?OBD．AB垂直平分OPB9、等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半,則頂角的度數(shù)是()

A.30°B.60°;C.30°或150°D.不能確定

10、下列說法錯誤的是（）

A.任何命題都有逆命題B.定理都有逆定理

C.命題的逆命題不一定是正確的D.定理的逆定理一定是正確的二、填空題（每小題3分）

11、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分線MN與AB交于D點，則∠BCD的度數(shù)為.12、如圖，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分線BD交AC于點D,若BD=10厘米，BC=8厘米，則點D到直線AB的距離是__________厘米。

3，用經(jīng)過A，B，C三點的平面截這個正方體，所得截面的周長是cm．

14、我們來探究 “雪花曲線”的有關問題：圖7（1）是邊長為1的正三角形，將此正三角形的每條邊三等分，而以居中的那一條線段為底邊再作正三角形，然后以其兩腰代替底邊，得到第二個圖形如圖7（2）；再將圖7（2）的每條邊三等分，并重復上述的作法，得到第三個圖形如圖7（3），如此繼續(xù)下去，得到的第五個圖形的周長應等于．

B C

D15、如圖，△ABC的周長為32，且AB?AC，AD?BC于D，△ACD的周長為24，那么AD的長為．

16、如圖5，△ABC中，AB=AC，點D在AC邊上，且BD=BC=AD，則∠A等于．

17、如圖，點F、C在線段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，則還須補充一個條件

.18、三角形兩邊的長分別為5和7,則最短邊長的取值范圍是_________.19、命題“如果一個四邊形的四邊都相等,那么這個四邊形是菱形”的逆命題是_________________________________________________.20、用反證法證明“三角形鈍角至多有一個”首先假設

三、解答題：（21題4分，其余每小題8分）

21、如圖，三條公路兩兩相交，有關部門要在此“三角形”區(qū)域內(nèi)修建一個轉(zhuǎn)運站，使轉(zhuǎn)運站到三條公路的距離相等，如何確定轉(zhuǎn)運站位置。（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫已知、求作和作法）

C

22．如圖9是一副三角板拼成的四邊形，含45°角那一塊的斜邊恰好等于另一塊60°角的對邊，試比較這兩塊三角板面積的大小，并說明理由．

23．如圖1

2，ABCD是一張長方形的紙片，折疊它的一邊AD，使點D落在BC邊上的F點處，已知AB＝8cm，BC＝10cm，那么EC等于多少？你能證明你的結(jié)論嗎？

24、已知：如圖，∠A=∠D=90°，AC=BD.求證：OB=OC25、已知：如圖，P、Q是△ABC邊BC上兩點，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度數(shù).26、已知D是Rt△ABC斜邊AC的中點，DE⊥AC交BC于E，且∠EAB∶∠BAC＝2∶5，求∠ACB的度數(shù).27、已知：如圖，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點D，BC的延長線上取一點E，使 CE ＝ CD．求證：BD ＝ DE．

28、已知：如圖，在等邊三角形ABC中，D、E分別為BC、AC上的點，且AE＝CD，連結(jié)AD、BE交于點P，作BQ⊥AD，垂足為Q．求

證：BP＝2PQ.

第三篇：初中數(shù)學 證明二習題

【要點整理】

1.判定三角形全等的定理有：

⑴____________________________；

⑵____________________________；

⑶____________________________；

⑷____________________________；

2.已知____或_____________或_______________或_________________，可以唯一作出三角形.3.三角形全等的性質(zhì)定理有：

⑴____________________________；

⑵____________________________；

⑶____________________________； F

E【經(jīng)典范例】

例1：如圖，方格紙中△DEF的三個頂點分別在小正方形的頂點(格點)上，請你在圖中再畫一個頂點都在格點上的△ABC，且使△ABC≌△DEF.例2：如圖，AB=DC，要使△ABC≌△DCB___________(只填一個你認為適合的條件).例3：如圖，池塘的兩端有A、B兩棵樹，小明想測量兩棵樹間的距

B

離，但不能直接測量，你能幫他想個辦法嗎？

例4：有一種塑料玩具形狀如圖所示，小紅說：“只要給我一個量角器，我就可以

驗證這兩個三角形是否全等.”小明說：“我可以僅用一把尺子驗證這兩個三角形

是否全等.”你知道小紅與小明是怎樣做的嗎？如果知道，請說明驗證過程.例5：如圖，A、B兩點分別位于一池塘兩側(cè)，池塘左邊有一水房D，在D、B中點C處有一棵百年古樹，小明從A點出發(fā)，沿AC一直向前走到點E(A、C、E三點在同一條直線上)，并使CE＝CA，然后測量出點E到水房D的距離，則DE的長度就是A、B兩點間的距離.(1)你能說出小明這樣做的道理嗎？

(2)如果小明恰好未帶測量工具，但他知道水房和古樹到A點的距離分

別為140 m和100 m，他能不能確定AB的長度范圍？

(3)在(2)題的解題過程中，你找到“已知三角形一邊和另一邊上的中線，求第三邊的長度范圍”的方法了嗎？如果找到了，請解決下列問題：

在△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，畫圖并確定AB邊的長度范圍.【能力提高】 C

1.如圖，已知△ABC的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的圖形是

2.如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于F，若BF＝AC，那么∠BAD的大小是

3.如圖在ΔABC中，∠BAC，∠ABC的外角平分線分別交對邊CB、AC的延長線于D，E且AD=AB=BE，則求∠BAC的度數(shù)為。

（2題圖）（3題圖）

4.三角形相等的條件中，能否用中線、角平分線、高替換第三個條件呢？例如：兩邊及第三邊上的中線對應相等的三角形全等嗎？兩角及第三角的平分線對應相等的三角形全等嗎？兩邊及第三邊上的高呢？

5．△ABC中，AD⊥BC于D，AB＋ BD＝DC．求證：∠B ＝2∠C．

6.已知：如圖1，正方形ABCD中，M是AB的中點，E是AB延長線上一點，MN⊥DM且交

∠CBE的平分線于N。（1）請你說明MD=MN的理由。（2）若將上述條件中的“M是AB的中點”改為“M是AB上任意一點”，其他條件不變（如圖2），則結(jié)論“MD=MN”還成立嗎？不論成立與否，請說明你的理由。

A M B E M B E圖圖

28．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF．

(1)求證：AD⊥CF；

(2)連接AF，試判斷△ACF的形狀，并說明理由．

9．正三角形ABD和正三角形CBD的邊長均為a，現(xiàn)把它們拼合，E是AD上異于A、D兩點的一動點，F(xiàn)是CD上一動點，滿足AE+CF=a，隨著點E、F的移動，△BEF的形狀改變嗎？試說明理由.

第四篇：初中數(shù)學定理證明

初中數(shù)學定理證明

數(shù)學定理

三角形三條邊的關系

定理：三角形兩邊的和大于第三邊

推論：三角形兩邊的差小于第三邊

三角形內(nèi)角和

三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°

推論1直角三角形的兩個銳角互余

推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和

推論3三角形的一個外角大雨任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

角的平分線

性質(zhì)定理在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

幾何語言：

∵OC是∠AOB的角平分線(或者∠AOC=∠BOC)

pE⊥OA，pF⊥OB

點p在OC上

∴pE=pF(角平分線性質(zhì)定理)

判定定理到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上

幾何語言：

∵pE⊥OA，pF⊥OB

pE=pF

∴點p在∠AOB的角平分線上(角平分線判定定理)

等腰三角形的性質(zhì)

等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩底角相等

幾何語言：

∵AB=AC

∴∠B=∠C(等邊對等角)

推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

幾何語言：

(1)∵AB=AC，BD=DC

∴∠1=∠2，AD⊥BC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

(2)∵AB=AC，∠1=∠

2∴AD⊥BC，BD=DC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

(3)∵AB=AC，AD⊥BC

∴∠1=∠2，BD=DC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

推論2等邊三角形的各角都相等，并且每一個角等于60°

幾何語言：

∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°(等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°)

等腰三角形的判定

判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等

幾何語言：

∵∠B=∠C

∴AB=AC(等角對等邊)

推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

幾何語言：

∵∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC(三個角都相等的三角形是等邊三角形)

推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

幾何語言：

∵AB=AC，∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)

∴AB=AC=BC(有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形)

推論3在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

幾何語言：

∵∠C=90°，∠B=30°

∴BC=AB或者AB=2BC(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)

線段的垂直平分線

定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

幾何語言：

∵MN⊥AB于C，AB=BC，(MN垂直平分AB)

點p為MN上任一點

∴pA=pB(線段垂直平分線性質(zhì))

逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

幾何語言：

∵pA=pB

∴點p在線段AB的垂直平分線上(線段垂直平分線判定)

軸對稱和軸對稱圖形

定理1關于某條之間對稱的兩個圖形是全等形

定理2如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

定理3兩個圖形關于某直線對稱，若它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

逆定理若兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那這兩個圖形關于這條直線對稱

勾股定理

勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方，即

a2+b2=c

2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關系，那么這個三角形是直角三角形

四邊形

定理任意四邊形的內(nèi)角和等于360°

多邊形內(nèi)角和

定理多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)·180°

推論任意多邊形的外角和等于360°

平行四邊形及其性質(zhì)

性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分

幾何語言：

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD‖BC，AB‖CD(平行四邊形的對角相等)

∠A=∠C，∠B=∠D(平行四邊形的對邊相等)

AO=CO，BO=DO(平行四邊形的對角線互相平分)

平行四邊形的判定

判定定理1兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

幾何語言：

∵AD‖BC，AB‖CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)

判定定理2兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

幾何語言：

∵∠A=∠C，∠B=∠D

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形)

判定定理3兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

幾何語言：

∵AD=BC，AB=CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)

判定定理4對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

幾何語言：

∵AO=CO，BO=DO

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)

判定定理5一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

幾何語言：

∵AD‖BC，AD=BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)

矩形

性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角

性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

幾何語言：

∵四邊形ABCD是矩形

∴AC=BD(矩形的對角線相等)

∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四個角都是直角)

推論直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

幾何語言：

∵△ABC為直角三角形，AO=OC

∴BO=AC(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)

判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形

幾何語言：

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四邊形ABCD是矩形(有三個角是直角的四邊形是矩形)

判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

幾何語言：

∵AC=BD

∴四邊形ABCD是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形)

菱形

性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

性質(zhì)定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

幾何語言：

∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=BC=CD=AD(菱形的四條邊都相等)

AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC

(菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角)

判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

幾何語言：

∵AB=BC=CD=AD

∴四邊形ABCD是菱形(四邊都相等的四邊形是菱形)

判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

幾何語言：

∵AC⊥BD，AO=CO，BO=DO

∴四邊形ABCD是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)

正方形

性質(zhì)定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

中心對稱和中心對稱圖形

定理1關于中心對稱的兩個圖形是全等形

定理2關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分

逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱

梯形

等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

幾何語言：

∵四邊形ABCD是等腰梯形

∴∠A=∠B，∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的兩個角相等)

等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

幾何語言：

∵∠A=∠B，∠C=∠D

∴四邊形ABCD是等腰梯形(在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形)

三角形、梯形中位線

三角形中位線定理三角形的中位線平行與第三邊，并且等于它的一半

幾何語言：

∵EF是三角形的中位線

∴EF=AB(三角形中位線定理)

梯形中位線定理梯形的中位線平行與兩底，并且等于兩底和的一半

幾何語言：

∵EF是梯形的中位線

∴EF=(AB+CD)(梯形中位線定理)

比例線段

1、比例的基本性質(zhì)

如果a∶b=c∶d，那么ad=bc2、合比性質(zhì)

3、等比性質(zhì)

平行線分線段成比例定理

平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例

幾何語言：

∵l‖p‖a

(三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例)

推論平行與三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例

定理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那么這條直線平行與三角形的第三邊

垂直于弦的直徑

垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧

幾何語言：

∵OC⊥AB，OC過圓心

(垂徑定理)

推論

1(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

幾何語言：

∵OC⊥AB，AC=BC，AB不是直徑

(平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧)

(2)弦的垂直平分線過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

幾何語言：

∵AC=BC，OC過圓心

(弦的垂直平分線過圓心，并且平分弦所對的兩條弧)

(3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

幾何語言：

(平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧)

推論2圓的兩條平分弦所夾的弧相等

幾何語言：∵AB‖CD

圓心角、虎弦、弦心距之間的關系

定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距也相等

推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條虎兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等

圓周角

定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

推論1同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直角

推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

圓的內(nèi)接四邊形

定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角

幾何語言：

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形

∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADB=180°，∠B=∠ADE

切線的判定和性質(zhì)

切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

幾何語言：∵l⊥OA，點A在⊙O上

∴直線l是⊙O的切線(切線判定定理)

切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點半徑

幾何語言：∵OA是⊙O的半徑，直線l切⊙O于點A

∴l(xiāng)⊥OA(切線性質(zhì)定理)

推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直徑必經(jīng)過切點

推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

切線長定理

定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

幾何語言：∵弦pB、pD切⊙O于A、C兩點

∴pA=pC，∠ApO=∠CpO(切線長定理)

弦切角

弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

幾何語言：∵∠BCN所夾的是，∠A所對的是

∴∠BCN=∠A

推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

幾何語言：∵∠BCN所夾的是，∠ACM所對的是，=

∴∠BCN=∠ACM

和圓有關的比例線段

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被焦點分成的兩條線段長的積相等

幾何語言：∵弦AB、CD交于點p

∴pA·pB=pC·pD(相交弦定理)

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

幾何語言：∵AB是直徑，CD⊥AB于點p

∴pC2=pA·pB(相交弦定理推論)

切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓焦點的兩條線段長的比例中項

幾何語言：∵pT切⊙O于點T，pBA是⊙O的割線

∴pT2=pA·pB(切割線定理)

推論從圓外一點因圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的焦點的兩條線段長的積相等

幾何語言：∵pBA、pDC是⊙O的割線

∴pT2=pA·pB(切割線定理推論)。

第五篇：[初中數(shù)學 證明試題

九年級(上)單元測試卷

第一章證明(二)

(時間90分鐘滿分100分)

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、兩個直角三角形全等的條件是（）

A、一銳角對應相等B、兩銳角對應相等C、一條邊對應相等D、兩條邊對應相等

2、如圖，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根據(jù)是（）

A、SASB、ASAC、AASD、SSS3、等腰三角形底邊長為7，一腰上的中線把其周長分成兩部分的差為3，則腰長是（）

A、4B、10C、4或10D、以上答案都不對

4、如圖，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D為AB中點，有以下結(jié)論：

(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中結(jié)論正確的是（）

A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)

5、如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分線交CB邊于D，若AB=10，AC=5，則圖中等于60°的角的個數(shù)為（）

A、2B、3C、4D、5(第2題圖)(第4題圖)(第5題圖)

6、設M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形，Q表示等腰直角三角形，則下列四個圖中，能表示他們之間關系的是（）

7、如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，且AB=6cm，則△DEB的周長為（）

A、4cmB、6cmC、8 cmD、10cm8、如圖，△ABC中，AB=AC，點D在AC邊上，且BD=BC=AD，則∠A的度數(shù)為（）

A、30°B、36°C、45°D、70°

9、如圖，已知AC平分∠PAQ，點B，B′分別在邊AP，AQ上，如果添加一個條件，即可推出AB=AB′，那么該條件可以是（）

A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C

(第7題圖)(第8題圖)(第9題圖)(第10題圖)

10、如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于F，若BF=AC，則

九年級(上)數(shù)學單元測試卷[1]第 1 頁(共四頁)

ABC的大小是（）

A、40°B、45°C、50°D、60°

二、填空題(每小題3分，共24分)

11、如果等腰三角形的一個底角是80°，那么頂角是度.12、如圖，點F、C在線段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，則還須補充一個條件.(第12題圖)(第13題圖)(第15題圖)

13、如圖，點D在AB上，點E在AC上，CD與BE相交于點O，且AD=AE，AB=AC。若∠B=20°，則∠C=°.14、在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC邊上的中線AD=4cm，則∠ADC的度數(shù)是.15、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分線MN與AB交于D點，則∠BCD的度數(shù)為.16、如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于點D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，則D到AB的距離為cm.17、如圖，在等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，則△DEF是三角形.18、如圖，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，給出下列結(jié)論：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正確的結(jié)論是（注：將你認為正確的結(jié)論都填上．）

(第16題圖)(第17題圖)(第18題圖)

三、(每小題6分，共12分)

19、如圖，在四個正方形拼接成的圖形中，以A1、A2、A3、…、A10這十個點中任意三點為頂點，共能組成多少個等腰直角三角形？你愿意把得到上述結(jié)論的探究方法與他人交流嗎?若愿意，請簡要寫出你的探究過程

20、已知：菱形ABCD中（如圖），∠A＝72°，請設計三種不同的分法，將菱形ABCD分割成四個三角形，使得每個三角形都是等腰三角形．（畫圖工具不限，要求畫出分割線段；標出能夠說明分法所得三角形內(nèi)角的度數(shù)，沒有標出能夠說明分法所得三角形內(nèi)角度數(shù)不給分；不要求寫出畫法，不要求證明．）

注：兩種分法只要有一條分割線段位置不同，就認為是兩種不同的分法．

分法一：分法二：分法三：

四、(每小題6分，共18分)

21、已知：如圖，∠A=∠D=90°，AC=BD.求證：OB=OC22、已知：如圖，P、Q是△ABC邊BC上兩點，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度數(shù).23、已知：如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點E為梯形外一點，且AE=DE.求證：BE=CE．

五、(每小題8分，共16分)

24、閱讀下題及其證明過程：

已知：如圖，D是△ABC中BC邊上一點，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求證：∠BAE=∠CAE.證明：在△AEB和△AEC中，?EB?EC???ABE??ACE

?AE?AE?

∴△AEB≌△AEC(第一步)

∴∠BAE=∠CAE(第二步)

問：上面證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步推理根據(jù)；若不正確，請指出錯在哪一步？并寫出你認為正確的推理過程。

25、如圖1，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN是等邊三角形，直線AN，MC交于點F。

(1)求證：AN=BM；

(2)求證： △CEF為等邊三角形；

(3)將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900，其他條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，并判斷第（1）、（2）兩小題的結(jié)論是否仍然成立（不要求證明）