第一篇：你能證明它們嗎

§1.1、你能證明它們嗎(一)

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、了解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過(guò)程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。

3、結(jié)合實(shí)例體會(huì)反證法的含義。

二、教學(xué)重點(diǎn)：了解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，通過(guò)等腰三角形性質(zhì)證明，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

教學(xué)難點(diǎn)：能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理（特別是證明等腰三角形性質(zhì)時(shí)輔助線做法）。

三、教學(xué)方法：觀察法。

四、教學(xué)過(guò)程：

復(fù)習(xí)：

1、什么是等腰三角形？

2、你會(huì)畫一個(gè)等腰三角形嗎？并把你畫的等腰三角形栽剪下來(lái)。

3、試用折紙的辦法回憶等腰三角形有哪些性質(zhì)？

新課講解：

在《證明

（一）》一章中，我們已經(jīng)證明了有關(guān)平行線的一些結(jié)論，運(yùn)用下面的公理和已經(jīng)證明的定理，我們還可以證明有關(guān)三角形的一些結(jié)論。

同學(xué)們和我一起來(lái)回憶上學(xué)期學(xué)過(guò)的公理

? 本套教材選用如下命題作為公理 :

? 1.兩直線被 F

形紙片幫議助學(xué)生回憶。學(xué)生充分討論問(wèn)題1，借助等腰三角形紙片回憶有關(guān)性質(zhì)。）

（2）你能利用已有的公理和定理證明這些結(jié)論嗎？

（等腰三角形（包括等邊三角形）的性質(zhì)學(xué)生已經(jīng)探索過(guò)，這里先讓學(xué)生盡可能回憶出來(lái)，然后再考慮哪些能夠立即證明。）

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。

這一定理可以簡(jiǎn)單敘述為：等邊對(duì)等角。

已知：如圖，在ABC中，AB＝AC。

求證：∠B＝∠C

（引導(dǎo)學(xué)生證明定理“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生做輔助線，將等腰三角形分成兩個(gè)全等的三角形： 我們剛才利用折疊的方法說(shuō)明了這兩個(gè)底角相等。實(shí)際上，折痕將等腰三角形分成了兩個(gè)全等三角形。能否通過(guò)作一條線段，得到兩個(gè)全等的三角形，從而證明這兩個(gè)底角相等呢？）

證明：取BC的中點(diǎn)D，連接AD。

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABC△≌△ACD(SSS)

∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊角相等)

（讓同學(xué)們通過(guò)探索、合作交流找出其他的證明方法。做∠BAC的平

B分線，交BC邊于D；過(guò)點(diǎn)A做AD⊥BC。學(xué)生指出該定理的條件

和結(jié)論，寫出已知、求證，畫出圖形，并選擇一種方法進(jìn)行證明。）

想一想：

在上圖中，線段AD還具有怎樣的性質(zhì)？為什么？由此你能得到什么結(jié)論？

（應(yīng)讓學(xué)生回顧前面的證明過(guò)程，思考線段AD具有的性質(zhì)和特征，討論圖中存在的相等的線段和相等的角，發(fā)現(xiàn)等腰三角形性質(zhì)定理的推論，從而得到結(jié)論，這一結(jié)合通常簡(jiǎn)述為“三線合一”。）

推論 等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

隨堂練習(xí)：

做教科書第4頁(yè)第1，2題。（引導(dǎo)學(xué)生分析證明方法，學(xué)生動(dòng)手證明，寫出證明過(guò)程。）課堂小結(jié)：

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)到了什么知識(shí)？

（學(xué)生小結(jié)：通過(guò)本課的學(xué)習(xí)我們了解了作為基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過(guò)程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。探體會(huì)了反證法的含義。）

五、作業(yè)：

1、基礎(chǔ)作業(yè)：P5頁(yè)習(xí)題1.11、2。

2、拓展作業(yè)：《目標(biāo)檢測(cè)》

3、預(yù)習(xí)作業(yè)：P5-6頁(yè)議一議

六、板書設(shè)計(jì)：

C

七、課后記：

§1.1、你能證明它們嗎(二)

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、進(jìn)一步了解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過(guò)程。能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線（高）、兩底角的平分線相等，并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論。

3、能夠用綜合法證明等腰三角形的判定定理。

4、了解反證法的推理方法。

5、會(huì)運(yùn)用“等角對(duì)等邊”解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題及相關(guān)證明問(wèn)題。

二、教學(xué)重點(diǎn)：正確敘述結(jié)論及正確寫出證明過(guò)程。熟悉作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，通過(guò)學(xué)習(xí)，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

教學(xué)難點(diǎn)：等腰三角形的定理應(yīng)用及由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論。

三、教學(xué)方法：探究式教學(xué)法 自主探究與合作探究

四、教學(xué)過(guò)程：

復(fù)習(xí)回顧：

你知道等腰三角形具有怎樣的性質(zhì)嗎?、探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明

1、引導(dǎo)探索：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和高線具有上述的性質(zhì)，那么，兩底角的平分線、兩腰上的中線和高線又具有怎樣的性質(zhì)呢？

（提出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究的欲望。學(xué)生猜想）

2、探究中發(fā)現(xiàn)：在等腰三角形中做出兩底角的平分線，你會(huì)發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段？你能用文字?jǐn)⑹瞿愕慕Y(jié)論嗎？

（學(xué)生動(dòng)手畫圖、探索發(fā)現(xiàn)相等的線段并思考為什么相等）

3、證明：（1）例1證明：等腰三角形兩底角的平分線相等。

（引導(dǎo)學(xué)生分清條件和結(jié)論、畫圖、寫出已知、求證。）

已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是 △ ABC的角平分線。

求證：BD＝CE（一生口述證明過(guò)程，然后寫出證明過(guò)程。）

C 證明：（略）

此題還有其它的證法嗎？

（2）你能證明等腰三角形兩條腰上的中線相等嗎？高呢？

（引導(dǎo)學(xué)生分清條件和結(jié)論、畫圖、寫出已知、求證并證明。其它證法合作交流完成。）

4、議一議1：

在上圖的等腰△ABC中，如果∠ABD＝1/3∠ABC, ∠ACE＝1/3∠ACB,那么BD＝CE嗎？如果∠ABD＝1/4∠ABC, ∠ACE＝1/4∠ACB呢？由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論？（根據(jù)圖形引導(dǎo)學(xué)生分析歸納得出一般結(jié)論。學(xué)生分組思考、交流，在充分討論的基礎(chǔ)上得出一般結(jié)論寫出證明過(guò)程。）

（3）如果AD＝1/2AC,AE＝1/2AB, 那么BD＝CE嗎？如果AD＝1/3AC,AE＝1/3AB,呢？由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論？

議一議2：

把“等邊對(duì)等角”反過(guò)來(lái)還成立嗎？你能證明？

定理證明

已知：在ΔABC中∠B=∠C

求證：AB=AC（引導(dǎo)學(xué)生證明定理）方法如下：

（1）C

（2）

C

C

課堂小結(jié)1：

(1)歸納判定等腰三角形判定有幾種方法,(2)證明兩條線段相等的方法有哪幾種。（討論、交流）隨堂練習(xí)：

已知：在ΔABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC

求證：DB=DE

C（引導(dǎo)學(xué)生分析證明方法，學(xué)生動(dòng)手證明，寫出證明過(guò)程。）想一想:

小明說(shuō)，在一個(gè)三角形中,如果兩個(gè)角不相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等,你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立,你能證明它?

證明P8

反證法的概念 P8

課堂小結(jié)2：

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)到了什么知識(shí)？了解了什么證明方法？ B C

（學(xué)生小結(jié)：掌握證明的基本步驟和書寫格式。經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過(guò)程。能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線（高）、兩底角的平分線相等，并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論。等腰三角形的判定定理。了解反證法的推理方法。）

五、作業(yè)：

1、基礎(chǔ)作業(yè)：P9頁(yè)習(xí)題1.21、2、3。

2、拓展作業(yè)：《目標(biāo)檢測(cè)》

3、預(yù)習(xí)作業(yè)：P10-12頁(yè)做一做

六、板書設(shè)計(jì)：

七、課后記：

§1.1你能證明他們嗎？

（三）一、教學(xué)目標(biāo)：

1、進(jìn)一步學(xué)習(xí)證明的基本步驟和書寫格式。

2、掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：關(guān)于綜合法在證明過(guò)程中的應(yīng)用。

三、教學(xué)過(guò)程：

溫故知新

1、已知：∠ABC,∠ACB的平分線相交于

F,過(guò)F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E

(1)找出圖中的等腰三角形(2)BD,CE,DE之間存在著怎樣的關(guān)系？

(3)證明以上的結(jié)論。

2、復(fù)習(xí)關(guān)于反證法的相關(guān)知識(shí)

練習(xí)：

證明：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°。

（筆試，進(jìn)一步鞏固學(xué)習(xí)證明的基本步驟和書寫格式）

學(xué)一學(xué)

1、探索問(wèn)題：①一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)便成為等邊三角形？

②你認(rèn)為有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證

明你的思路嗎？（把你的思路與同伴進(jìn)行交流。）

定理：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

2、做一做：用兩個(gè)含30°角的三角尺，能拼成一個(gè)怎樣的三角形？能拼成一個(gè)等邊三角形嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。

由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊與斜邊有怎樣的大小

關(guān)系？能證明你的結(jié)論嗎？

（提示學(xué)生根據(jù)兩個(gè)三角尺拼出的圖形發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并證明）

證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，則∠B=60°

延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,連接 AD

A ∵∠ACB=90°

∴∠ACD=90°

∵AC=AC

∴△ABC≌△ADC(SSS)

∴AB=AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)

∴△ABD是等邊三角形11∴BC=BD=AB 2

2得到的結(jié)論：

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

3、例題學(xué)習(xí)

等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)為2a

已知：在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠

度，CD是腰AB上的高

求：CD的長(zhǎng)

解：∵∠ABC=∠ACB=15°

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°

11∴CD=AC=×2a=a(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所2

2對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)

4、練習(xí)：課本12頁(yè)隨堂練習(xí)

1四、課堂小結(jié)：

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)到了什么知識(shí)？了解了什么證明方法？

（學(xué)生小結(jié)：掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理）

五、作業(yè)：

1、基礎(chǔ)作業(yè)：P13頁(yè)習(xí)題1.31、2、3題

2、拓展作業(yè)：《目標(biāo)檢測(cè)》

3、預(yù)習(xí)作業(yè)：P15-17頁(yè)讀一讀“勾股定理的證明”

六、板書設(shè)計(jì)：

七、課后記：

第二篇：你能證明它們嗎1.1

石佛中學(xué)九年級(jí)上冊(cè) 數(shù)學(xué) 學(xué)案

第1章 第1節(jié) <<你能證明嗎？>> 第2課時(shí)9月 1日

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.會(huì)證明等腰三角形中的一些“線段”相等；

2.會(huì)判斷一個(gè)三角形是等腰三角形，并知道證明的另一種方法----反證法。

二、教學(xué)重點(diǎn)：正確敘述結(jié)論及正確寫出證明過(guò)程。熟悉作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，通過(guò)學(xué)習(xí)，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

難點(diǎn)：等腰三角形的定理應(yīng)用及由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論。

三、自學(xué)指導(dǎo)：

自學(xué)指導(dǎo)1：

認(rèn)真看教材P6—P7關(guān)于例1的有關(guān)內(nèi)容，掌握本題的證明格式，在本題中用到了哪些知識(shí)點(diǎn)。5’分鐘后，完成下面的學(xué)習(xí)檢測(cè)。

(一)學(xué)習(xí)檢測(cè)：（10’）

1.例1中（用到了什么性質(zhì)）？

2.在例1中，如果∠ABD=

證明：

(二)思考：在例1中，如果AD=

1313∠ABC，∠ACE=13∠ACB，那么BD=CE嗎？ AC，AE=1

3AB，那么BD=CE嗎？你用什么方法證明的？

綜合P7的（1），（2），你能得到什么結(jié)論？

(5分鐘)

自學(xué)指導(dǎo)2：

認(rèn)真看教材P7—P9頁(yè)的內(nèi)容，要求掌握：1.如何判斷一個(gè)三角形是等腰三角形？用到了什么方法？2.了解什么是反證法。3分鐘后完成下面的練習(xí)。

(一)學(xué)習(xí)檢測(cè)：（10’）

1.請(qǐng)敘述等腰三角形的定義。

2.證明：“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”

已知：在△ABC中，_______________,求證：△ABC是等腰△

方法：（1）過(guò)點(diǎn)A作___________________________（最關(guān)鍵）

（2）構(gòu)造兩個(gè)全等三角形

（3）由全等三角形證明AB=AC。

3.閱讀P8頁(yè)關(guān)于反證法的知識(shí)，總結(jié)什么是反證法？，四、本節(jié)小結(jié)：（3’）

1.本節(jié)課你掌握了哪些知識(shí)點(diǎn)？

2.你自查一下，還有哪些知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有掌握？

3.你認(rèn)為最難學(xué)會(huì)的知識(shí)點(diǎn)是什么？

得分時(shí)間: 10 分鐘

1.已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD//BC，且∠1=∠2，求證：AB=AC。

2.已知：如圖，在一個(gè)風(fēng)箏ABCD中，AB=AD，BC=DC。分別在AB，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)處拉兩

根彩線，EC，F(xiàn)C，證明：這兩根彩線的長(zhǎng)相等；

第三篇：1.1你能證明它們嗎

1.1你能證明它們嗎（1）

一、復(fù)習(xí)引入：

師：在八年級(jí)下學(xué)期，我們用“同位角相等，兩直線平行”以及“兩直線平行，同位角相等”,證明了有關(guān)平行線的判定和性質(zhì)等，積累了一些證明的方法和經(jīng)驗(yàn)，本節(jié)課開(kāi)始我們將

探索與三角形有關(guān)結(jié)論的證明.讓我們先來(lái)回顧三角形全等的相關(guān)知識(shí).（教學(xué)意圖：通過(guò)回顧證明

（一）中運(yùn)用兩個(gè)公理證明其它定理的方法，熟悉證明的一般

方法，為本節(jié)的證明和運(yùn)用作鋪墊.）

問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們回顧，全等三角形的判定方法和性質(zhì)有哪些？

（學(xué)生先思考，再相互交流，相互補(bǔ)充，師生一起歸納梳理完成.）

生1：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS公理）.生2：兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS公理）.生3：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA公理）.生4：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等（公理）.生5：兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS).師：很好！前四個(gè)命題，本套教材直接選作公理使用，不需要證明.而最后一個(gè)命題需要證

明后才可以使用.（教學(xué)意圖：設(shè)計(jì)有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，讓學(xué)生先思考再討論解決，互相交流補(bǔ)充完成；培養(yǎng)學(xué)

生學(xué)以致用，大膽探索的科學(xué)發(fā)現(xiàn)精神，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.）

問(wèn)題2：試證明命題：“兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”.師：八年級(jí)我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了文字證明題的基本方法和步驟，請(qǐng)你用自己的語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō).生：1.分清命題中的題設(shè)和結(jié)論2.畫出圖形寫出相應(yīng)已知和求證.3.寫出證明過(guò)程.師：總結(jié)得很到位.那么我們?nèi)绾畏治鲞@個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論，畫出圖形，寫出相應(yīng)的已知

和求證.生：已知：(如圖)在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求證：△ABC≌△DEF.師：請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成證明過(guò)程.生： 證明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°.（三角形內(nèi)角和等于180°）

∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E).又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）.∴∠C=∠F.又∵BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF.（ASA）

（設(shè)計(jì)意圖：要讓所有學(xué)生熟練的寫出證明過(guò)程，準(zhǔn)確的理解因?yàn)楹退灾g的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，讓學(xué)生“言之有據(jù)”.）

二、探究新知

師：同學(xué)們，三角形按邊分類，分為哪幾類？

生：等腰三角形（包括等邊三角形）和不等邊三角形.（學(xué)生互相交流補(bǔ)充，教師點(diǎn)撥強(qiáng)調(diào).）

師：我們已經(jīng)研究了一般三角形的三邊之間的關(guān)系、三角形內(nèi)角之間的關(guān)系及三角形的外角，本節(jié)課我們來(lái)研究特殊的三角形即等腰三角形的性質(zhì)，請(qǐng)同學(xué)們拿出等腰三角形紙片，觀察等腰三角形具有哪些性質(zhì)？你會(huì)用折疊圖形驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：等腰三角形兩腰相等.生2：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.生3：等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合.（等腰三角形的“三

線合一”）

（設(shè)計(jì)意圖：借助折紙的方法回憶等腰三角形的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，理論與實(shí)踐相

B

B

B

結(jié)合，提高學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)以及歸納能力.）

問(wèn)題3：你能利用已有的公理和定理證明“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”這個(gè)結(jié)論嗎？ 師：請(qǐng)同學(xué)們分析這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論，畫出圖形，寫出相應(yīng)的已知和求證.生：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C

師：我們剛才利用折疊的方法說(shuō)明了這兩個(gè)底角相等.實(shí)際上，折痕將等腰三角形分成了兩

個(gè)全等三角形.現(xiàn)在你能否添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將等腰三角形轉(zhuǎn)變成全等三角形，來(lái)證明它的兩個(gè)底角相等呢？

生1：（圖1）證明：取BC的中點(diǎn)D，連接AD.∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABC△≌△ACD(SSS)

∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊角相等)

圖1圖2圖

3生２：(圖2)證明：做∠BAC的角平分線，交ＢＣ于點(diǎn)Ｄ.∴∠1=∠

2∵AB=AC，AD=AD

∴△ABD≌△ACD(SAS)

∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊角相等)

生３：(圖3)過(guò)點(diǎn)Ａ，做ＡＤ⊥ＢＣ，垂足為D.構(gòu)造兩三角形全等.（HL）

（“ＨＬ”定理我們還沒(méi)有證明過(guò)，因此它們暫時(shí)不能作為證明的依據(jù).但仍要對(duì)給出 方法３的學(xué)生予以肯定和表?yè)P(yáng).）

師：我們已用不同的方法證明了“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”，簡(jiǎn)單的敘述為“等邊對(duì)等

角”，那如何用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)呢？

生：只需把“已知”改成“∵”，“求證”改成“∴”.師：很好！接著板書“∵ AB=AC.∴∠B=∠C”.師：今后這個(gè)定理可作為等腰三角形的性質(zhì)來(lái)使用

.（設(shè)計(jì)意圖：命題的證明是本章的重點(diǎn)，讓學(xué)生能用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行規(guī)范證明，輔助線的添加是本節(jié)課的難點(diǎn)，讓學(xué)生對(duì)同一個(gè)問(wèn)題從不同的角度去思考.）

問(wèn)題4：在上圖中，還存在哪些相等的線段和相等的角？線段AD還具有怎樣的性質(zhì)？為什么？由此你能得到什么結(jié)論？

生：剛才的證明過(guò)程中，無(wú)論作哪一種輔助線，都能構(gòu)造三角形全等，從而得出對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.所以這條線段的特征就更加豐富了，實(shí)際就是“三線合一”啦.師生共同總結(jié)：推論等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.（簡(jiǎn)

稱“三線合一”）.師：等腰三角形的“三線合一”，你會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言敘述嗎？

生1：(如右圖)

∵ AB=AC，BD=CD

∴∠1=∠2，AD⊥BC.生2：∵AB=AC,AD⊥BC

∴BD=DC，∠1=∠2.生3：∵AB=AC, ∠1=∠

2∴AD⊥BD,BD=DC.師：這個(gè)推論有什么作用呢？

生1：可以用來(lái)證明兩角相等、兩線段相等，或兩線垂直.生2：在等腰三角形中，由其中一種身份，證明其它的身份存在.（先讓學(xué)生回顧前面的證明過(guò)程，討論圖中存在的相等的線段和相等的角，發(fā)現(xiàn)并掌握等腰三角形性質(zhì)定理的推論，并能掌握性質(zhì)定理.）

師：同學(xué)們總結(jié)的很精彩，請(qǐng)大家試著完成下面的練習(xí).三、鞏固練習(xí)

證明:等邊三角形的三個(gè)角都相等,并且每個(gè)角都等于60°.(教師要求學(xué)生在練習(xí)本上先畫圖、寫出已知、求證，再寫出證明過(guò)程.教師巡視,對(duì)有困難的學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)撥指導(dǎo),并篩選優(yōu)秀的結(jié)果進(jìn)行展示交流.)

生:已知：（如圖）在△ABC中，AB=AC=BC.求證: ∠A=∠B=∠C=60°

證明: ∵AB=AC∴∠B=∠C

∵BA=BC∴∠A=∠C

∴∠A=∠B=∠C

又∵∠A+∠B+∠C=180°

∴∠A=∠B=∠C=60°

師: “等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.”這一結(jié)論今后可以直接使用，作為其它問(wèn)題推理的依據(jù).(設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生試著分析命題的條件和結(jié)論，試著寫出證明過(guò)程.這是本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn).)

四、你言我語(yǔ)暢談收獲

本節(jié)課你在知識(shí)或方法上有哪些收獲？試與大家一起分享.生1：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),我會(huì)運(yùn)用全等三角形的判定方法,會(huì)證明等腰三角形的有關(guān)性質(zhì).生2：學(xué)會(huì)了用不同方法添加輔助線.生3: 掌握了證明的基本步驟和書寫格式.生4: 我也會(huì)證明等邊三角形的性質(zhì).師: 你們都有不少收獲!請(qǐng)同學(xué)們利用所學(xué)的知識(shí)來(lái)完成下面的檢測(cè).(學(xué)生歸納總結(jié)，互相交流補(bǔ)充完成.培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)和歸納概括能力.形成完整的知識(shí)體系.)

五、自我檢測(cè)

1.（2013四川）如圖，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，則∠A的度數(shù)是（）

A.70°B.55°C.50°D.40°

2.（2013 德州）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，則∠B的度數(shù)為（）

5.（2013十堰）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE．求證：AD=AE．

參考答案:1.D2.B3.B4.15(此題是一道易錯(cuò)題,學(xué)生出現(xiàn)兩解較多)

5.證明: ∵AB=AC∴∠B=∠C,又∵BD=CE

∴△ABD△≌△ACE(SAS)∴AD=AE

(本題主要練習(xí)學(xué)生證明的規(guī)范性,但有的學(xué)生證明較為復(fù)雜,需要規(guī)范過(guò)程.)

六、布置作業(yè)

1.必做題：習(xí)題1.1----

1、22.選做題：習(xí)題1.1----

3、4七、板書設(shè)計(jì)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)定理及其證明方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)習(xí)慣，規(guī)范學(xué)生做證明題的格式.通過(guò)這節(jié)課的教學(xué),比較成功的地方有：

1.學(xué)生能較好地掌握證明的基本步驟，并能依據(jù)學(xué)過(guò)的公理和定理，對(duì)簡(jiǎn)單的命題進(jìn)行證明.2.本節(jié)給學(xué)生提供了廣闊的探索平臺(tái)以及交流空間，發(fā)散學(xué)生的思維能力，較好地體現(xiàn)了證法的多樣性.3.學(xué)生基本掌握了對(duì)同一個(gè)命題間的三種語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化，較好地注重了書寫格式.4.注重了學(xué)生動(dòng)口說(shuō)、動(dòng)腦思、動(dòng)手操作，等腰三角形的性質(zhì)都是通過(guò)學(xué)生感悟總結(jié)的.由于性質(zhì)是學(xué)生自己推出得到的，所以較好地運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)解決相關(guān)的問(wèn)題.成功的同時(shí)，在課堂教學(xué)過(guò)程中也感到有些遺憾：

由于本節(jié)課等腰三角形的性質(zhì)定理的證明是本節(jié)課的重點(diǎn)，特別是證明思路和方法是本節(jié)課的重點(diǎn)，但在處理命題的證明的過(guò)程中，沒(méi)有留出足夠的時(shí)間，處理還是倉(cāng)促；再者，學(xué)生認(rèn)為此部分內(nèi)容在八年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，從思想上輕視，導(dǎo)致課堂氣氛不是很活躍，這是今后要引起注意之處.

第四篇：第一節(jié)你能證明它們嗎 教案

課時(shí)課題：第一章 第一節(jié)你能證明它們嗎 第三課時(shí)

課型：新授課

教學(xué)目標(biāo)：

1.證明和掌握等邊三角形的判定定理、有一個(gè)角是30°的直角三角形的性質(zhì)定理.2.進(jìn)一步學(xué)習(xí)和規(guī)范綜合法證明的基本步驟和書寫格式.3.滲透分類討論思想,培養(yǎng)從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，建立解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型． 重點(diǎn)：等邊三角形的判定和有一個(gè)角是30°的直角三角形的性質(zhì)的證明及應(yīng)用技巧.難點(diǎn)：證明思路的探尋和綜合法證明的書寫表達(dá).教學(xué)方法：?jiǎn)⒌险T導(dǎo)—自主探索—反饋升華

教法及學(xué)法指導(dǎo)：

為體現(xiàn)學(xué)生在教學(xué)中的主體地位，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)、技能和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，確立本節(jié)應(yīng)用“啟迪誘導(dǎo)－自主探究—反饋升華”教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題、課件演示和學(xué)案探究，對(duì)設(shè)計(jì)的問(wèn)題進(jìn)行觀察思考、小組討論、主動(dòng)探究，最后自己得出結(jié)論，親身經(jīng)歷解決問(wèn)題的全過(guò)程.課前準(zhǔn)備：制作紙質(zhì)三角形教具及課件，學(xué)生課前進(jìn)行相關(guān)復(fù)習(xí)及預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案.教學(xué)過(guò)程:

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師：同學(xué)們好！我們上節(jié)課共同探究解決了什么問(wèn)題?你還記得什么結(jié)論?

生：略一思考,舉手回答:等邊對(duì)等角和反證法.師：非常清晰!我們?cè)倩貞浺幌?等腰三角形有哪些性質(zhì)?等邊三角形呢?

生答.(師展示硬紙質(zhì)三角形,三角板測(cè)量一個(gè)角為60°,折疊得兩邊相等.)

師:你能判斷出這個(gè)三角形的形狀嗎?

生搶答：等邊三角形.二、等邊三角形的判定方法探究

（一）探究一

師:同學(xué)們意見(jiàn)一致.這是我們本節(jié)課的第一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù).我們一起來(lái)明確已知和求證.這個(gè)60°的角與兩腰有位置限制嗎?

(生積極思考，通過(guò)老師的點(diǎn)撥，認(rèn)識(shí)到需要分類討論:當(dāng)這個(gè)角分別是底角和頂角的情況,學(xué)生合作完成證明.師以頂角為例寫出已知和求證.)

已知：如圖，△ABC中，AB=AC, ∠A=60°

求證：△ABD是等邊三角形.師：你是怎樣推理的？

(生紙筆作答，一生板演證明過(guò)程)

證明：∵∠A=60°

∴∠B+∠C=120°

又∵AB=AC

∴∠B=∠C=60°(等邊對(duì)等角)

∴∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC(等角對(duì)等邊)

∴△ABD是等邊三角形

(學(xué)生完成后互相交換檢查，師巡查指正分類討論和過(guò)程的書寫.把證明過(guò)的結(jié)論作為定理，即等邊三角形判定定理一)

生答、師板書：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.推理形式: 在△ABC中,∵AB=AC,∠B=60°(已知).∴△ABC是等邊三角形(有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形).師：觀察黑板上的推理過(guò)程，有∠A=∠B=∠C.因此，這個(gè)條件也可以直接判定等邊三角形, 即等邊三角形判定定理二.生答、師板書：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.推理形式:在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C(已知),∴△ABC是等邊三角形(三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形).（二）學(xué)以致用

師：同學(xué)們總結(jié)得都非常好，數(shù)學(xué)本來(lái)源于生活現(xiàn)象，觀察下面這個(gè)小制作，你的結(jié)論是什么，依據(jù)是什么．

(師將兩個(gè)大小一樣的含有30°的直角三角形按如圖方式拼在一起，生分組討論，意見(jiàn)統(tǒng)一后匯報(bào)探究結(jié)果.)

生一：△ABD是等邊三角形.依據(jù)是有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.生二補(bǔ)充：

∵∠BAC=∠CAD=30°

∴∠BAD=60°

又∵AB=AD

∴△ABD是等邊三角形

(看到學(xué)生再無(wú)異議，師提問(wèn)：已知中的直角這個(gè)條件為什么沒(méi)有用到？是多余的嗎？如果沒(méi)有這個(gè)條件，結(jié)論還成立嗎？生再討論發(fā)現(xiàn).)

生板演畫圖：不一定成立了，可能是箏形或飛機(jī)形.原因是沒(méi)有了直角的條件，∠BCD就不一定是180°，即點(diǎn)B、C、D不共線，整個(gè)圖形就不是三角形了.師：非常好！你發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題所在.因此推理過(guò)程要加上：

∵∠BCA=∠DCA=90°

∴∠BCD=180°即點(diǎn)B、C、D三點(diǎn)共線

師：證明的規(guī)范性在于：條理清晰，因果相應(yīng),言必有據(jù).這是初學(xué)證明者謹(jǐn)記和遵循的原則.(學(xué)生認(rèn)真聽(tīng)講，結(jié)合觀察思考中發(fā)現(xiàn)的推理漏洞,體會(huì)推理思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.)

三、有一個(gè)角是30°的直角三角形的性質(zhì)定理的探究

（一）探究二

師：同學(xué)們學(xué)以致用，成功地判斷出來(lái)△ABD是等邊三角形，非常聰明！下面我們換個(gè)角度思考：等邊三角形可以分成兩個(gè)全等的直角三角形，這個(gè)直角三角形有什么特點(diǎn)？(師演示折疊紙質(zhì)三角形.)

學(xué)生觀察后回答：生1：三個(gè)角分別是30°、60°、90°.生2：改進(jìn)：只說(shuō)一個(gè)銳角是30°就可以了.生3：BC是BD的一半，從而也是AB的一半，所以這個(gè)直角三角形中短直角邊是斜邊的一半。

師：你的思路很正確,通過(guò)實(shí)際操作探索出的結(jié)論還需要給予理論證明，同學(xué)們能不能寫出證明過(guò)程?

（學(xué)生證明.完成后互相交換檢查，師巡查，個(gè)別指正.）

探究結(jié)論：有一個(gè)角是30°的直角三角形的性質(zhì)定理

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.推理形式: 在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°

∴BC=AB(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)

（二）講解例題

師：大家看看能否用新知識(shí)解決下面這個(gè)問(wèn)題？投影例題，學(xué)生思考.例2已知：在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高，求CD的長(zhǎng).分析：要敏銳地捕捉到15°的角和30°的角的關(guān)系以及直角三角形，從而選定推理方向，湊齊條件。

學(xué)生解答：

∵∠B=∠ACB=15°

∴∠CAD=30°

又∵CD是腰AB上的高

∴CD=AC= a

（三）學(xué)以致用

已知：一塊形如△ABC的空地，AB=2a米,AC=3a米,∠A=150°，若在其中種上單價(jià)20元/平方米的草皮，需要多少錢？

點(diǎn)撥：求面積需要一條邊上的高，由150°又能得到特殊角30°，因此解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.（生小組討論,尋找解題方法.(解略)）

課堂練習(xí)：在Rt△ABC中，如圖所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，點(diǎn)D到AB的距離DE=3.8 cm，求BC的長(zhǎng).（小組合作完成，過(guò)程略.）

答案：BC=3DE=11.4cm.四、學(xué)習(xí)體會(huì)：

本節(jié)課你的收獲有什么?還有什么沒(méi)有得到解決的問(wèn)題愿意擺出來(lái)與大家共享嗎?學(xué)生主動(dòng)起立回答.收獲有:有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.分類討論的證明方法

由15°等角度去尋找與30°特殊角，從而構(gòu)造特殊的直角三角形解題.?

五、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

(A):已知，如圖，在△ABC中,∠ACB＝90°,∠A=30°,CD⊥AB于D.求證:

(B)腰長(zhǎng)為2的等腰銳角三角形一腰上的高與另一腰的夾角是30°，求底邊上的高.(這兩個(gè)試題，學(xué)生根據(jù)自身程度任選一題完成.)

六、作業(yè)

預(yù)習(xí)下一節(jié)的內(nèi)容.板書設(shè)計(jì)

§1.1你能證明它們嗎（3）

等邊三角形的判定定理1.定理2.有一個(gè)角是30°的直角三角形的性質(zhì)定理

例題

練習(xí)

教學(xué)反思

本節(jié)課的兩個(gè)定理對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)都是熟悉的，至少也留有印象.因此教學(xué)重點(diǎn)放在了等邊三角形的判定和有一個(gè)角是30°的直角三角形的性質(zhì)的證明及應(yīng)用技巧的引領(lǐng)上.課堂關(guān)注分類討論的必要性，利用小組合作學(xué)習(xí)共同在短時(shí)間內(nèi)完成探究，效果不錯(cuò).在有一個(gè)角是30°的直角三角形的性質(zhì)的證明上，則采取延續(xù)探究一的練習(xí)題的再深入探究，利用折疊很直觀地展示了兩邊的關(guān)系和證明思路，學(xué)生口述證明，節(jié)約了時(shí)間.在點(diǎn)撥了例題之后，規(guī)范板書，了解題步驟，給學(xué)生以書寫指導(dǎo)，同時(shí)給學(xué)生消化吸收的時(shí)間，為接下來(lái)變式練習(xí)的解決搭好臺(tái)階.學(xué)生短時(shí)間內(nèi)找到解決方法，攻克了難題也令他們精神大振，信心倍增.值得商榷的一點(diǎn)是關(guān)于三點(diǎn)共線證明的必要性的安排，在學(xué)生頭腦中完全沒(méi)有感到疑問(wèn)的情況下，教師是否應(yīng)該主動(dòng)提出來(lái)？利弊相較，在此還需要各位老師考慮學(xué)情.

第五篇：《你能證明它們嗎》參考教案

第一章證明

（二）§1.1、你能證明它們嗎(一)

-----孫建彬

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過(guò)程。能夠用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理。

3、結(jié)合實(shí)例體會(huì)反證法的含義。

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：了解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，通過(guò)等腰三角形性質(zhì)證明，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：能夠用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理（特別是證明等腰三角形性質(zhì)時(shí)輔助線做法）。

三、學(xué)習(xí)方法：觀察法。

四、學(xué)習(xí)過(guò)程：

復(fù)習(xí)：

1、什么是等腰三角形？

2、你會(huì)畫一個(gè)等腰三角形嗎？并把你畫的等腰三角形栽剪下來(lái)。

3、試用折紙的辦法回憶等腰三角形有哪些性質(zhì)？

新課講解：

在《證明

（一）》一章中，我們已經(jīng)證明了有關(guān)平行線的一些結(jié)論，運(yùn)用下面的公理和已經(jīng)證明的定理，我們還可以證明有關(guān)三角形的一些結(jié)論。

同學(xué)們和我一起來(lái)回憶上學(xué)期學(xué)過(guò)的公理

? 本套教材選用如下命題作為公理 :

? 1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行;

? 2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等;

? 3.兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;（SAS）

? 4.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;（ASA）

? 5.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;（SSS）

? 6.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.由公理5、3、4、6可容易證明下面的推論：

推論 兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（AAS）/

3證明過(guò)程：

已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF

求證：△ABC≌△DEF

證明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°

（三角形內(nèi)角和等于180°）

∴∠C=180°-(∠A+∠B)

∠F=180°-(∠D+∠E)

又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）

∴∠C=∠F

又∵BC=EF（已知）B

C

EF

∴△ABC≌△DEF（ASA）（這個(gè)推論雖然簡(jiǎn)單，但也應(yīng)讓學(xué)生進(jìn)行證明，以熟悉的基本要求和步驟，為下面的推理證明做準(zhǔn)備。）

議一議：

（1）還記得我們探索過(guò)的等腰三角形的性質(zhì)嗎？（教師提出問(wèn)題，并利用等腰三角形紙片幫議助學(xué)生回憶。學(xué)生充分討論問(wèn)題1，借助等腰三角形紙片回憶有關(guān)性質(zhì)。）

（2）你能利用已有的公理和定理證明這些結(jié)論嗎？

（等腰三角形（包括等邊三角形）的性質(zhì)學(xué)生已經(jīng)探索過(guò)，這里先讓學(xué)生盡可能回憶出來(lái)，然后再考慮哪些能夠立即證明。）

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。

這一定理可以簡(jiǎn)單敘述為：等邊對(duì)等角。

已知：如圖，在ABC中，AB＝AC。求證：∠B＝∠C

（引導(dǎo)學(xué)生證明定理“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生做輔助線，將等腰三角形分成兩個(gè)全等的三角形： 我們剛才利用折疊的方法說(shuō)明了這兩個(gè)底角相等。實(shí)際上，折痕將等腰三角形分成了兩個(gè)全等三角形。能否通過(guò)作一條線段，得到兩個(gè)全

等的三角形，從而證明這兩個(gè)底角相等呢？）

證明：取BC的中點(diǎn)D，連接AD。

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABC△≌△ACD(SSS)

∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊角相等)

（讓同學(xué)們通過(guò)探索、合作交流找出其他的證明方法。做∠BAC的平分線，交BC邊于D；過(guò)點(diǎn)/ 3 BC

A做AD⊥BC。學(xué)生指出該定理的條件和結(jié)論，寫出已知、求證，畫出圖形，并選擇一種方法進(jìn)行證明。）

想一想：

在上圖中，線段AD還具有怎樣的性質(zhì)？為什么？由此你能得到什么結(jié)論？

（應(yīng)讓學(xué)生回顧前面的證明過(guò)程，思考線段AD具有的性質(zhì)和特征，討論圖中存在的相等的線段和相等的角，發(fā)現(xiàn)等腰三角形性質(zhì)定理的推論，從而得到結(jié)論，這一結(jié)合通常簡(jiǎn)述為“三線合一”。）推論 等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

隨堂練習(xí)：

做教科書第4頁(yè)第1，2題。（引導(dǎo)學(xué)生分析證明方法，學(xué)生動(dòng)手證明，寫出證明過(guò)程。）課堂小結(jié)：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)到了什么知識(shí)？

（學(xué)生小結(jié)：通過(guò)本課的學(xué)習(xí)我們了解了作為基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過(guò)程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。探體會(huì)了反證法的含義。）

五、作業(yè)：

1、基礎(chǔ)作業(yè)：P5頁(yè)習(xí)題1.11、2。

2、預(yù)習(xí)作業(yè)：P5-6頁(yè)議一議

六、板書設(shè)計(jì)：/ 3