第一篇：考研數(shù)學(xué) 一招擊破證明題之關(guān)鍵

考研數(shù)學(xué) 一招擊破證明題之關(guān)鍵

研究生考試網(wǎng) 更新：2012-5-4 編輯：靜子

對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的理工經(jīng)管類考生來說，考研數(shù)學(xué)考試中的證明題常常讓他們不知所措。證明題考查了考生了邏輯推理能力，每一步推理必須嚴(yán)密，環(huán)環(huán)相扣，步步逼近結(jié)論?？蠢蠋煂?duì)一個(gè)題目的證明非常容易，但如果給出一個(gè)沒有證明過程的題目，考生要尋找證明方法常不那么簡單。湯老師對(duì)考研常出證明題的中值定理部分專門歸納了全面的專題，以方便考生對(duì)癥篩選證明方法，實(shí)用且高效。

2008與2009年連續(xù)考查教材中的定理證明，2010年沒有證明題目，2011年證明題出自北大版數(shù)學(xué)分析習(xí)題集中，是關(guān)于不等式的證明，但并不難。細(xì)數(shù)歷史，考研數(shù)學(xué)對(duì)證明題的要求并不高，只要掌握基本的推理能力，研讀教材中重要定理的證明方法，對(duì)等式與不等式的證明掌握常用的方法及處理技巧應(yīng)不在話下。

人的學(xué)習(xí)過程與數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展驚人的相似。數(shù)學(xué)理論的發(fā)展常常是結(jié)論早早得出，但對(duì)其正確性的證明往往滯后，有時(shí)甚至滯后上百年時(shí)間。人在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候也會(huì)出現(xiàn)類似狀況，接受其結(jié)論，對(duì)其推理過程的理解會(huì)延遲理解，特別是高等數(shù)學(xué)，它與初等數(shù)學(xué)中形象思維占核心位置的情況完全不同。

在看教材或輔導(dǎo)書的時(shí)候，如果不看其中的分析思路，直接看證明，需要考生花大量時(shí)間思考其聯(lián)系，比如構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，考生常常會(huì)問為什么這樣構(gòu)造，沒有依據(jù)的空降一個(gè)函數(shù)出來，即使能解決問題，依然會(huì)使解答天馬行空。事實(shí)上，證明題的證明思路都是有門路的，慣常的思路是從結(jié)論出發(fā)，分析結(jié)論與題干條件間的聯(lián)系，搜索與之相關(guān)的理論方法，選擇可能解決問題的方法，將之進(jìn)行簡單推理或變形看是否可行。經(jīng)過多次試探，最終確定使用的方法。構(gòu)造輔助函數(shù)有點(diǎn)類似于中學(xué)幾何上添加輔助線，性質(zhì)是一樣的。2012考研數(shù)學(xué)真題讓大家又一次確信，要成功拿下證明題，掌握基本證明方法是關(guān)鍵!

第二篇：考研數(shù)學(xué)證明題題目11

今天還是討論關(guān)于不等式的問題。

這次的這個(gè)不等式大家看見了一定不會(huì)陌生，因?yàn)樗悸泛苋菀拙湍贸鰜砹恕＞褪寝D(zhuǎn)化成求一個(gè)函數(shù)的極值問題。然后解法一就誕生了。

上面的方法估計(jì)是絕大多數(shù)人都會(huì)采用的方法，算是一種通法了。也是必須得掌握的重要思想方法之一。

然而，是不是這個(gè)題目除了這種方法就沒有其他的辦法來做了呢？答案是否定的。

注意到需要證明的不等式可以先化成e^x>x^2-2ax+1，而左邊的式子要和冪函數(shù)聯(lián)系起來，很容易想到的就是馬克勞林展開。于是可以嘗試著看看是否能夠利用這個(gè)來做。

首先可以試著將e^x展開到二階的，然后看看是否能夠證明需要的不等式。發(fā)現(xiàn)不行，然后再繼續(xù)多展開一階。于是，解法二橫空出世。

說句實(shí)話，就這道題而言，這種方法確實(shí)挺復(fù)雜的，而且還沒有求導(dǎo)的方法精確。不過，這種思想方法對(duì)于一些題目來說，卻可能是重要的突破口！下面看看一道習(xí)題吧。

由于這道題目比較難，所以直接給出解答。

這個(gè)題目可以說相當(dāng)于反用冪級(jí)數(shù)的展開，然后利用馬克老林余項(xiàng)的估值最后證明出結(jié)論。這個(gè)看似很一般的題目，中間卻蘊(yùn)含著無限的思想，需要大家細(xì)細(xì)品味！

第三篇：考研數(shù)學(xué)證明題三步走

數(shù)學(xué)證明三步走

縱觀近十年考研數(shù)學(xué)真題，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)：幾乎每一年的試題中都會(huì)有一個(gè)證明題，而且基本上都是應(yīng)用中值定理來解決問題的。但是要參加碩士入學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)一考試的同學(xué)所學(xué)專業(yè)要么是理工要么是經(jīng)管，同學(xué)們?cè)诖髮W(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候?qū)τ谶壿嬐评矸矫娴挠?xùn)練大多是不夠的，這就導(dǎo)致數(shù)學(xué)考試中遇到證明推理題就發(fā)怵，以致簡單的證明題得分率卻極低。除了個(gè)別考研輔導(dǎo)書（如蔡子華老師的《歷年真題精析》對(duì)真題中的證明題的解析及講評(píng)）中有一些證明思路之外，大多數(shù)考研輔導(dǎo)書在這一方面沒有花太大力氣，本人自認(rèn)為在推理證明方面有不凡的效績，在此給大家簡單介紹一些解決數(shù)學(xué)證明題的入手點(diǎn)，希望對(duì)有此隱患的同學(xué)有所幫助。

我把這樣的方法稱為證明題三步走。

第一步：結(jié)合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度（即就是對(duì)定理理解的深入程度）不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題（1）是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡單，只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則，該問題就能輕松解決，因?yàn)閷?duì)于該題中的數(shù)列來說，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個(gè)證明題，大多時(shí)候是能用其幾何意義來正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)（正確審題：兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn)）之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F（x）=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題（1）是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。

第三步：逆推。從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多（這里所舉出的例子就屬非正常情況），這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。

對(duì)于那些經(jīng)常使用如上方法的同學(xué)來說，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的12分，但對(duì)于從心理上就不自信能解決證明題的同學(xué)來說，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學(xué)請(qǐng)按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分?jǐn)?shù)的白白流失。

第四篇：考研數(shù)學(xué)證明題題目10

今天來看看不等式的題目。不等式對(duì)于我們來說應(yīng)該是再熟悉不過的了，初中的時(shí)候?qū)W過一次二次不等式，高中更是系統(tǒng)學(xué)習(xí)了不等式，在考研試題里面，也不乏不等式的題目。不等式的題目相對(duì)比較靈活，綜合性很強(qiáng)，是考察數(shù)學(xué)能力的一個(gè)很好的方式。雖然很活，不過對(duì)于考研來說，這些題目也都有一定的方法和思想，是大家可以掌握的。這里就大家比較容易忽略的某些方法說說自己的理解。

看到題目應(yīng)該有一種很相似的感覺。因?yàn)椴坏仁降闹虚g部分貌似就是拉格朗日中值定理。于是，有一種沖動(dòng)，試試這種方法是否可行。

嘗試了一下，發(fā)現(xiàn)左邊已經(jīng)證明出來了。這時(shí)應(yīng)該比較欣慰，因?yàn)轭}目做出了一半。于是心想著，右邊應(yīng)該同理也可以證明吧。不管三七二十一，先試一下。

試完以后，悲劇了！居然無法證明出來。怎么辦？只有另找一種出路。

很多參考書上給的解答都是構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，這個(gè)輔助函數(shù)就是將b換成x，成為一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)工具研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)從而得出最終的證明結(jié)果。這種方法很典型，需要大家比較熟練運(yùn)用。不過，對(duì)于這道題來說，這種方法有點(diǎn)復(fù)雜了，因?yàn)闃?gòu)造的函數(shù)很長一串兒，看起來也不大舒服。于是可以嘗試下其他的方法。

對(duì)于這道題而言，a,b都是成對(duì)的出現(xiàn)的，而且a,b出現(xiàn)的次數(shù)都一樣，亦即齊次式。所以，我們總可以通過一定變形，使得這個(gè)表達(dá)式成為一個(gè)關(guān)于a/b或者b/a的式子。

然后產(chǎn)生了下面的解法

這個(gè)解法對(duì)于有經(jīng)驗(yàn)的人來說是很自然的，因?yàn)樽C明不等式有三化，齊次化，線性化和局部化，這里體現(xiàn)的就是齊次化思想。

這道題目本身不難，但是題目中蘊(yùn)含的思想?yún)s不少。

1拉格朗日中值定理也可以用來證明不等式，不過放縮的范圍比較大，不夠精確！

2對(duì)于齊次式，我們可以將其轉(zhuǎn)變成單變?cè)獑栴}（多變?cè)瘑巫冊(cè)缓笱芯恳粋€(gè)一元函數(shù)的性質(zhì)就能夠知道相應(yīng)的一些關(guān)系。

3要充分利用夠題目的條件！比如此題中b>a，則b/a=t>1！如果不用的話就會(huì)出問題的！然后看看練習(xí)吧

第五篇：考研證明題

翻閱近十年的數(shù)學(xué)真題，同學(xué)可以發(fā)現(xiàn)：幾乎每一年的試題中都會(huì)有一道證明題，而且基本上都可以用中值定理來解決，重點(diǎn)考察同學(xué)的邏輯推理分析能力，但是參加研究生數(shù)學(xué)考試的同學(xué)所學(xué)專業(yè)要么是理工要么是經(jīng)管，同學(xué)們?cè)诖髮W(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候?qū)τ谶壿嬐评矸矫娴挠?xùn)練大多是不夠的，這就導(dǎo)致你們數(shù)學(xué)考試中遇到證明推理題就發(fā)怵，根本不想去想，以致簡單的證明題得分率卻極低。下面給同學(xué)們總結(jié)了一些方法步驟或思路，以后在遇到證明題時(shí)不妨試一試。

第一步：首先要記住零點(diǎn)存在定理，介值定理，中值定理、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論，中值定理最好能記住他們的推到過程，有時(shí)可以借助幾何意義去記憶。因?yàn)橹阑驹硎亲C明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對(duì)定理理解的深入程度)不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡單，只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則，該問題就能輕松解決，因?yàn)閷?duì)于該題中的數(shù)列來說，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。再比如2009年直接讓考生證明拉格朗日中值定理；但是像這樣直接可以利用基本原理的證明題在考研真題中并不是很多見，更多的是要用到第二步。

第二步：可以試著借助幾何意義尋求證明思路，以構(gòu)造出所需要的輔助函數(shù)。一個(gè)證明題，大多時(shí)候是能用其幾何意義來正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題：兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn))之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。

第三步：從要證的結(jié)論出發(fā)，去尋求我們所需要的構(gòu)造輔助函數(shù)，我們稱之為“逆推”如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。