第一篇：高中數(shù)學(xué)《2.2.1綜合法和分析法》導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修1-2

§2.2.1綜合法和分析法(二)

.2.根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，結(jié)合分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.4850

復(fù)習(xí)1：綜合法是由導(dǎo);

復(fù)習(xí)2：基本不等式:

二、新課導(dǎo)學(xué)

※ 學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)一：分析法

問(wèn)題：

a?b如何證明基本不等式?(a?0,b?0)

2新知：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.反思：框圖表示

要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因

※ 典型例題

例

1變式：求證

小結(jié)：證明含有根式的不等式時(shí),用綜合法比較困難,所以我們常用分析法探索證明的途徑.例2 在四面體S?ABC中,SA?面ABC,AB?BC,過(guò)A作SB的垂線,垂足為E,過(guò)E作SC的垂線,垂足為F,求證AF?SC.變式：設(shè)a,b,c為一個(gè)三角形的三邊,s?1

2(a?b?c),且s2?2ab,試證s?2a.小結(jié)：用題設(shè)不易切入,要注意用分析法來(lái)解決問(wèn)題.※ 動(dòng)手試試

練1.求證:當(dāng)一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等時(shí),圓的面積比正方形的面積大.練2.設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?

三、總結(jié)提升

※ 學(xué)習(xí)小結(jié)

分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立.※ 知識(shí)拓展

證明過(guò)程中分析法和綜合法的區(qū)別:

在綜合法中,每個(gè)推理都必須是正確的,每個(gè)推論都應(yīng)是前面一個(gè)論斷的必然結(jié)果,因此語(yǔ)氣必須是肯定的.分析法中,首先結(jié)論成立,依據(jù)假定尋找結(jié)論成立的條件，這樣從結(jié)論一直到已知條件.※ 自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差

※ 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：

1.,其中最合理的是

A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法

ba2.不等式①x2?3?3x;②??2,其中恒成立的是 ab

A.①B.②C.①②D.都不正確

3.已知y?x?0,且x?y?1,那么

x?yx?yA.x??y?2xyB.2xy?x??y 22

x?yx?yC.x??2xy?yD.x?2xy??y 22

2224.若a,b,c?R,則a?b?cab?bc?ac.5.將a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(b?a?0),則其濃度為;若再加入m千克的白糖(m?0),糖水更甜了,根據(jù)這一生活常識(shí)提煉出一個(gè)常見(jiàn)的不等式:.1.已知a?b?0,(a?b)2a?b(a?b)2

求證

:.?8a28b

2.設(shè)a,b?R?,且a?b,求證:a3?b3?a2b?ab2

第二篇：高中數(shù)學(xué)《2.2.1綜合法和分析法》導(dǎo)學(xué)案2_新人教A版選修1-2

§2.2.1綜合法和分析法（3）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)示例,了解綜合法和分析法的思考過(guò)程和特點(diǎn);

2.學(xué)會(huì)用綜合法和分析法證明實(shí)際問(wèn)題,并理解分析法和綜合法之間的內(nèi)在聯(lián)系;3.養(yǎng)成勤于觀察、認(rèn)真思考的數(shù)學(xué)品質(zhì).復(fù)習(xí)1：綜合法是由導(dǎo);2：分析法是由索.新課導(dǎo)學(xué)：綜合法和分析法的綜合運(yùn)用

問(wèn)題：已知?,??k???

2(k?Z),且sin??cos??2sin?,sin??cos??sin

2?, 求證:1?tan2?1?tan2??1?tan2?

2(1?tan2?).新知：用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結(jié)論，則上述過(guò)程可用框圖表示為：

試試：已知tan??sin??a,tan??sin??b，求證：(a2?b2)2?16ab.反思：在解決一些復(fù)雜、技巧性強(qiáng)的題目時(shí)，我們可以把綜合法和分析法結(jié)合使用.例1： 已知A,B都是銳角，且A?B??

2，(1?tanA)(1?tanB)?2，求證：A?B?45?

變式：已知

1?tan?

2?tan?

?1，求證：3sin2???4cos2?.小結(jié)：牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)是靈活應(yīng)用兩種方法證明問(wèn)題的前提，本例中，三角公式發(fā)揮著重要作用.例2 在四面體P?ABC中，PD??ABC，AC?BC，D是AB的中點(diǎn)，求證：AB?PC.變式：如果a,b?0，則lga?blga?lgb

2?

2.總結(jié)提升：學(xué)習(xí)小結(jié)

綜合法是“由因?qū)Ч保治龇ㄊ恰皥?zhí)果索因”，它們是截然相反的兩種證明方法，分析法便于我們?nèi)ふ宜悸?，而綜合法便于過(guò)程的敘述，兩種方法各有所長(zhǎng)，在解決問(wèn)題的問(wèn)題中，綜合運(yùn)用，效果會(huì)更好，綜合法與分析法因其在解決問(wèn)題中的作用巨大而受命題者的青睞，在歷年的高考中均有體現(xiàn)，成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一

.小結(jié)：本題可以單獨(dú)使用綜合法或分析法進(jìn)行證明.※ 動(dòng)手試試

練1.設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，非零實(shí)數(shù)x,y分別為a與b，b與c的等差中項(xiàng)，求證

ax?c

y

?2.練2.已知A?B?54?，且A,B?k???

(k?Z)，求證：(1?tanA)(1?tanB)?2.三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié)

1.直接證明包括綜合法和分析法.2.比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書(shū)寫(xiě)；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑

.※ 知識(shí)拓展

綜合法是“由因?qū)Ч?，而分析法是“?zhí)果索因”，它們是截然相反的兩種證明方法，分析法便于我們?nèi)ふ宜悸罚C合法便于過(guò)程的敘述，兩種方法各有所長(zhǎng)，在解決問(wèn)題的問(wèn)題中，綜合運(yùn)用，效果會(huì)更好，綜合法與分析法因其在解決問(wèn)題中的作用巨大而受命題者的青睞，在歷年的高考中均有體現(xiàn)，成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一.※ 自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差

※ 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分： 1.給出下列函數(shù)①y?x?x3，②y?xsinx?cosx,③y?sinxcosx,④y?2x?2?x,其中是偶函數(shù)的有（）.A．1個(gè)B．2個(gè)C．3 個(gè)D．4個(gè)

2.m、n是不同的直線，?,?,?是不同的平面，有以下四個(gè)命題（）.①???//???//???//? ；②?????

?m//??m??③??m???m//n

?m//????? ；④??

n???m//?

其中為真命題的是（）A．①④B.①③C．②③D．②④

3.下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是（）.A．a(chǎn)，b均為負(fù)數(shù)，則ab?b

a

?

2B

?2 C．lgx?logx10?2

D．a(chǎn)?R?,(1?a)(1?

1a)?

44.設(shè)α、β、r是互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出四個(gè)命題： ①若m⊥α，m⊥β，則α∥β②若α⊥r，β⊥r，則α∥β

③若m⊥α，m∥β，則α⊥β④若m∥α，n⊥α，則m⊥n 其中真命題是.5.已知p:2x?3?1,q:x(x?3)?0, 則p是q的條件.1.已知a,b,c?R?，a,b,c互不相等且abc?

1.?

1a?11b?c

.2.已知a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，且a2?b2?1,c2?d2?1，求證：|ac?bc|?1.

第三篇：高中數(shù)學(xué)：2.2.1《綜合法和分析法》教案(新人教A版選修2-2)

數(shù)學(xué)：2.2.1《綜合法和分析法》教案

教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識(shí)與技能：

結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。

（二）過(guò)程與方法:培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力和分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；

（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

通過(guò)學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

第一課時(shí)2.2.1綜合法和分析法

（一）教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問(wèn)題；了解綜合法的思考過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

11??4”，試請(qǐng)此結(jié)論推廣猜想.aa11112?....?? n2）（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，則?a1a2an1112.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：???9.abc先完成證明 → 討論：證明過(guò)程有什么特點(diǎn)？ 1.已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則

二、講授新課：

1.教學(xué)例題：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：運(yùn)用什么知識(shí)來(lái)解決？（基本不等式）→板演證明過(guò)程（注意等號(hào)的處理）→ 討論：證明形式的特點(diǎn)

② 提出綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.框圖表示：要點(diǎn)：順推證法；由因?qū)Ч?③ 練習(xí)：已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證

④ 出示例2：在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列.求證：為△ABC等邊三角形.分析：從哪些已知，可以得到什么結(jié)論？ 如何轉(zhuǎn)化三角形中邊角關(guān)系？

→ 板演證明過(guò)程→ 討論：證明過(guò)程的特點(diǎn).→ 小結(jié)：文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言；邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；挖掘題中的隱含條件（內(nèi)角和）

2.練習(xí)：

① A,B

為銳角，且tanA?tanBb?c?aa?c?ba?b?c???3.abctanAtanBA?B?60?.（提示：算3tan(A?B)）

② 已知a?b?c, 求證：

3.小結(jié)：綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結(jié)論Q1,Q2,???，直到最后的結(jié)論是Q.運(yùn)用綜合法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問(wèn)題.三、鞏固練習(xí)：

1.求證：對(duì)于任意角θ，cos4??sin4??cos2?.（教材P100 練習(xí)1題）

（兩人板演 → 訂正 → 小結(jié)：運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換、思維過(guò)程）

2.?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，求證：

3.作業(yè)：教材P102A組 2、3題.第二課時(shí)2.2.1綜合法和分析法

（二）教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用分析法證明問(wèn)題；了解分析法的思考過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.提問(wèn)：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式

二、講授新課：

1.教學(xué)例題：

① 出示例

1?

討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件？→ 板演證明過(guò)程（注意格式）

→ 再討論：能用綜合法證明嗎？→ 比較：兩種證法

② 提出分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.框圖表示：

2114??.a?bb?ca?c113.??a?bb?ca?b?c（討論 → 板演 → 分析思維特點(diǎn)：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件）a?b(a?0,b?0).2要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因.1223133③ 練習(xí)：設(shè)x > 0，y > 0，證明不等式：(x?y)?(x?y).先討論方法 → 分別運(yùn)用分析法、綜合法證明.④ 出示例2：見(jiàn)教材P97.討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論出發(fā)，逐步反推）⑤ 出示例3：見(jiàn)教材P99.討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論與已知出發(fā)，逐步探求）

2.練習(xí)：證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面（指橫截面）的周長(zhǎng)相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.ll，截面積為?()2，周長(zhǎng)為l2?2?ll2l2l2的正方形邊長(zhǎng)為，截面積為()，問(wèn)題只需證：?()>().442?

43.小結(jié)：分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到提示：設(shè)截面周長(zhǎng)為l，則周長(zhǎng)為l的圓的半徑為

所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書(shū)寫(xiě)；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.（框圖示意）

三、鞏固練習(xí)：

1.設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，即證：2?cosC?

CC?cosC?2，即證：sin(C?

2.作業(yè)：教材P100 練習(xí)2、3題.第三課時(shí)2.2.2反證法

教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用反證法證明問(wèn)題；了解反證法的思考過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉(zhuǎn)2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）

2.提出問(wèn)題：平面幾何中，我們知道這樣一個(gè)命題：“過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓”.討論如何證明這個(gè)命題？

3.給出證法：先假設(shè)可以作一個(gè)⊙O過(guò)A、B、C三點(diǎn)，則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上，即O是l與m的交點(diǎn)。

但 ∵A、B、C共線，∴l(xiāng)∥m(矛盾)

∴ 過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓.二、講授新課：

1.教學(xué)反證法概念及步驟：

① 練習(xí)：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么a?

② 提出反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立.證明基本步驟：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立 → 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設(shè)不成立，從而原命題的結(jié)論成立

應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等）.方法實(shí)質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價(jià)性來(lái)進(jìn)行證明的，即由一個(gè)命題與其逆否命題同真假，通過(guò)證明一個(gè)命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實(shí).注：結(jié)合準(zhǔn)備題分析以上知識(shí).2.教學(xué)例題：

?6)?1（成立）.① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.分析：如何否定結(jié)論？ → 如何從假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理？ → 得到怎樣的矛盾？

與教材不同的證法：反設(shè)AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結(jié)OP，則由垂徑定理：OP?AB，OP?CD，則過(guò)P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例2：

.（同上分析 → 板演證明，提示：有理數(shù)可表示為m/n）

m/n（m,n為互質(zhì)正整數(shù)），從而：(m/n)2?3，m2?3n2，可見(jiàn)m是3的倍數(shù).設(shè)m=3p（p是正整數(shù)），則 3n2?m2?9p2，可見(jiàn)n 也是3的倍數(shù).這樣，m, n就不是互質(zhì)的正整數(shù)（矛盾）.m/n.③ 練習(xí)：如果a?1為無(wú)理數(shù)，求證a是無(wú)理數(shù).提示：假設(shè)a為有理數(shù)，則a可表示為p/q（p,q為整數(shù)），即a?p/q.由a?1?(p?q)/q，則a?1也是有理數(shù)，這與已知矛盾.∴ a是無(wú)理數(shù).3.小結(jié)：反證法是從否定結(jié)論入手，經(jīng)過(guò)一系列的邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，從而說(shuō)明原結(jié)論正確.注意證明步驟和適應(yīng)范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問(wèn)題）

三、鞏固練習(xí)： 1.練習(xí)：教材P1021、2題2.作業(yè)：教材P102A組4題.

第四篇：選修2-2§2.2.1綜合法與分析法

人教版數(shù)學(xué)選修精品——推理與證明

§2.2.1直接證明--綜合法與分析法

1．教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。

過(guò)程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2．教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)

3．教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)

4．教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

5．教學(xué)設(shè)想：分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學(xué)過(guò)程:

學(xué)生探究過(guò)程：

合情推理分歸納推理和類(lèi)比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的，數(shù)學(xué)中的兩大基本證明方法-------直接證明與間接證明。

若要證明下列問(wèn)題：

已知a,b>0,求證a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc

教師活動(dòng)：給出以上問(wèn)題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明。教師最后歸結(jié)證明方法。

學(xué)生活動(dòng)：充分討論，思考，找出以上問(wèn)題的證明方法

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明以上問(wèn)題，引出綜合法的定義

證明:因?yàn)閎2?c2?2bc,a?0,所以a(b2?c2)?2abc,因?yàn)閏?a?2ac,b?0,所以b(c?a)?2abc.因此, a(b?c)?b(c?a)?4abc.P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論

1.綜合法

綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 2222222

2?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公例

1、在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列, a,b,c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.分析：將 A , B , C 成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言就是2B =A + C;A , B , C為△ABC的內(nèi)角，這是一個(gè)隱含條件，明確表示出來(lái)是A + B + C =?； a , b，c成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言就是b?ac．此時(shí)，如果能把角和邊統(tǒng)一起來(lái)，那么就可以進(jìn)一步尋找角和邊之

2間的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求．于是，可以用余弦定理為工具進(jìn)行證明．

證明：由 A, B, C成等差數(shù)列，有 2B=A + C ． ①

因?yàn)锳,B,C為△ABC的內(nèi)角，所以A + B + C=?． ⑧

?由①②，得B=.3由a, b，c成等比數(shù)列，有b2?ac.由余弦定理及③，可得

b?a?c?2accosB?a?c?ac.22222

再由④，得a2?c2?ac?ac.2(a?c)?0,因此a?c.從而A=C.由②③⑤，得 ?A=B=C=.3

所以△ABC為等邊三角形．

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往要先作語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，如把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言，或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成圖形語(yǔ)言等．還要通過(guò)細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來(lái)．

2.分析法

證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，還經(jīng)常從要證的結(jié)論 Q 出發(fā)，反推回去，尋求保證Q 成立的條件，即使Q成立的充分條件P1，為了證明P1成立，再去尋求P1成立的充分條件P2，為了證明P2成立，再去尋求P2成立的充分條件P3······直到找到一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。

分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

分析法的思維特點(diǎn)是：分析法的書(shū)寫(xiě)格式：

要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

??

這只需要證明命題A而已知A為真，故命題B例

3、求證3?

證明：因?yàn)??只需證明(3?7?25 7和25都是正數(shù)，所以為了證明3?7)?(25)227?25 展開(kāi)得10?221?20

即221?10,21?2

5因?yàn)?1?25成立，所以

(3?227)?(25)成立 即證明了3?7?25

說(shuō)明：①分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對(duì)立②分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

這只需要證明命題A為真

而已知A為真，故B必真

在本例中，如果我們從“21<25 ”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論。但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。

事實(shí)上，在解決問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特

‘‘點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P．若

由P‘可以推出Q‘成立，就可以證明結(jié)論成立．下面來(lái)看一個(gè)例子．

?例4 已知?,??k??(k?Z)，且

2sin??cos??2sin?①

sin?cos??sin?②2

求證：1?tan?

1?tan?22?1?tan?2(1?tan?)22。

分析：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒(méi)有出現(xiàn)角?，因此第一步工作可以從已知條件中消去?.觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含數(shù)量關(guān)系

2222(sin??cos?)?2sin?cos??1，于是，由 ①一2×② 得4sin??2sin??1．把

4sin??2sin??1與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名稱不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論：22

統(tǒng)一函數(shù)名稱，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù)．把結(jié)論轉(zhuǎn)化為cos??sin??

cos??sin??222212

12(cos??sin?),再與4sin??2sin??1比較，發(fā)現(xiàn)只要把c(os??222222sin?中的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能達(dá)到目的．)2證明：因?yàn)?sin??cos?)?2sin?cos??1，所以將 ① ② 代入，可得 4sin??2sin??1.③ 2

另一方面，要證

sin?21?tan?1?tan?22?21?tan?2(1?tan?)22 1?

即證

1??2sin?

cos?

2221?2(1?sin?cos?sin?cos?1

2222，)222即證cos??sin??

即證1?2sin??

22(cos??sin?)，2122(1?2sin?)，即證4sin??2sin??1。

由于上式與③相同，于是問(wèn)題得證。

課堂小結(jié)：直接證明的兩種方法-綜合法和分析法

課后作業(yè)：第91頁(yè)A組 2,3教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)習(xí)了分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問(wèn)題。對(duì)于解答證明來(lái)說(shuō)，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

首先，介紹為什么要引入證明，以及經(jīng)常用的兩種證明方法，主要介紹的是直接證明的兩種方法。然后具體講解綜合法和分析法并舉例說(shuō)明，強(qiáng)調(diào)分析法的步驟以及兩者的區(qū)別。最后舉一個(gè)兩種方法綜合使用的例子

例

1、已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：

222222a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

證明：∵b2?c2≥2bc,a＞0,∴a(b2?c2)≥2abc①

同理 b(c2?a2)≥2abc②

c(a?b)≥2abc③ 2

2因?yàn)閍，b，c不全相等，所以b2?c2≥2bc, c2?a2≥2ca, a2?b2≥2ab三式不能全取“=”號(hào)，從而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

例

2、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2?ac

又∵a，b，c都是正數(shù)，所以0?b?

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b)?2b(a?c?b)?0

∴a?b?c?(a?b?c)

2422例

3、若實(shí)數(shù)x?1，求證：3(1?x?x)?(1?x?x).22222ac≤a?c2?a?c

證明：采用差值比較法：

3(1?x?x)?(1?x?x)242

2=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

43=2(x?x?x?1)

=2(x?1)(x?x?1)=2(x?1)[(x?224242322

12)?

2234].1

2)?2?x?1,從而(x?1)?0,且(x?

4]?0,2234?0, ∴2(x?1)[(x?24212)?2∴3(1?x?x)?(1?x?x).例

4、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時(shí),(2)當(dāng)ac+bd>0時(shí),欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

222222222222即證ac+2abcd+bd≤ac+ad+bc+bd

即證2abcd≤b2c2+a2d

22即證0≤(bc-ad)

因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

***22222證法二:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=(ac+2abcd+bd)+(bc-2abcd+ad)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+分析三:用比較法

證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd

例

5、設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書(shū)寫(xiě))

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a-ab+b)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a-2ab+b＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。(以下用綜合法思路書(shū)寫(xiě))

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

3322即a+b＞ab+ab，由此命題得證.2222

第五篇：數(shù)學(xué)選修2-2教案：2.2.1綜合法和分析法、2.2.2反證法

綜合法和分析法

教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問(wèn)題；了解綜合法的思考過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則

1a

1?1a

2，試請(qǐng)此結(jié)論推廣猜想.?4”

1a1

?1a2

?....?

1an

2? n）

（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，則2.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：

1a?1b?1c?9.先完成證明 → 討論：證明過(guò)程有什么特點(diǎn)？

二、講授新課： 1.教學(xué)例題：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：運(yùn)用什么知識(shí)來(lái)解決？（基本不等式）→板演證明過(guò)程（注意等號(hào)的處理）→ 討論：證明形式的特點(diǎn)

② 提出綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.框圖表示：

要點(diǎn)：順推證法；由因?qū)Ч?b?c?a

a

?

a?c?b

b

?

a?b?c

c

?3.③ 練習(xí)：已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證

④ 出示例2：在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列.求證：為△ABC等邊三角形.分析：從哪些已知，可以得到什么結(jié)論？ 如何轉(zhuǎn)化三角形中邊角關(guān)系？→ 板演證明過(guò)程→ 討論：證明過(guò)程的特點(diǎn).→ 小結(jié)：文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言；邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；挖掘題中的隱含條件（內(nèi)角和）2.練習(xí)：

?

① A,B為銳角，且tanA?tanB?AtanB?求證：（提示：算tan(A?B)）A?B?60.② 已知a?b?c, 求證：

1a?b

?

1b?c

?

4a?c

.3.小結(jié)：綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結(jié)論Q1,Q2,???，直到最后的結(jié)論是Q.運(yùn)用綜合法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問(wèn)題.三、鞏固練習(xí)：

1.求證：對(duì)于任意角θ，cos4??sin4??cos2?.（教材P52 練習(xí)1題）（兩人板演 → 訂正 → 小結(jié)：運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換、思維過(guò)程）2.?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，求證：3.作業(yè)：教材P54A組 1題.1a?b

?

1b?c

?

3a?b?c

.第二課時(shí)2.2.1綜合法和分析法

（二）教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用分析法證明問(wèn)題；了解分析法的思考過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.提問(wèn)：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b

2?(a?0,b?0).（討論 → 板演 → 分析思維特點(diǎn)：從結(jié)論出發(fā)，一步步探求結(jié)論成立的充分條件）

二、講授新課：

1.教學(xué)例題：

① 出示例

1??

討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件？

→ 板演證明過(guò)程（注意格式）

→ 再討論：能用綜合法證明嗎？→ 比較：兩種證法

② 提出分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.框圖表示：

22要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因.1331③ 練習(xí)：設(shè)x > 0，y > 0，證明不等式：(x?y)2?(x?y)3.先討論方法 → 分別運(yùn)用分析法、綜合法證明.④ 出示例4：見(jiàn)教材P48.討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論出發(fā)，逐步反推）⑤ 出示例5：見(jiàn)教材P49.討論：如何尋找證明思路？（從結(jié)論與已知出發(fā)，逐步探求）

2.練習(xí)：證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相等時(shí)，如果水管截面（指橫截面）的周長(zhǎng)相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：設(shè)截面周長(zhǎng)為l，則周長(zhǎng)為l的圓的半徑為

形邊長(zhǎng)為l4ll2?，截面積為?(l22)>().2?4ll2?)，周長(zhǎng)為l的正方2，截面積為()2，問(wèn)題只需證：?（43.小結(jié)：分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書(shū)寫(xiě)；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.（框圖示意）

三、鞏固練習(xí)：

2221.設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c?a?b?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，即證：2?cosC?

CC?cosC?2，即證：sin(C?

2.作業(yè)：教材P52 練習(xí)2、3題.?6)?1（成立）.第三課時(shí)2.2.2反證法

教學(xué)要求：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用反證法證明問(wèn)題；了解反證法的思考過(guò)程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉(zhuǎn)2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）

2.提出問(wèn)題：平面幾何中，我們知道這樣一個(gè)命題：“過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓”.討論如何證明這個(gè)命題？

3.給出證法：先假設(shè)可以作一個(gè)⊙O過(guò)A、B、C三點(diǎn)，則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上，即O是l與m的交點(diǎn)。

但 ∵A、B、C共線，∴l(xiāng)∥m(矛盾)

∴ 過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓.二、講授新課：

1.教學(xué)反證法概念及步驟： A① 練習(xí)：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么a?b

② 提出反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立.證明基本步驟：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立 → 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設(shè)不成立，從而原命題的結(jié)論成立

應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等）.方法實(shí)質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價(jià)性來(lái)進(jìn)行證明的，即由一個(gè)命題與其逆否命題同真假，通過(guò)證明一個(gè)命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實(shí).注：結(jié)合準(zhǔn)備題分析以上知識(shí).2.教學(xué)例題：

① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.分析：如何否定結(jié)論？ → 如何從假設(shè)出發(fā)進(jìn)行推理？ → 得到怎樣的矛盾？

與教材不同的證法：反設(shè)AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結(jié)OP，則由垂徑定理：OP?AB，OP?CD，則過(guò)P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例

2.（同上分析 → 板演證明，提示：有理數(shù)可表示為m/n）

?m/n（m,n為互質(zhì)正整數(shù)），從而：(m/n)2?3，m2?3n2，可見(jiàn)m是3的倍數(shù).設(shè)m=3p（p是正整數(shù)），則 3n2?m2?9p2，可見(jiàn)n 也是3的倍數(shù).這樣，m, n就不是互質(zhì)的正整數(shù)（矛盾）.m/n.③ 練習(xí)：如果a?1為無(wú)理數(shù)，求證a是無(wú)理數(shù).提示：假設(shè)a為有理數(shù)，則a可表示為p/q（p,q為整數(shù)），即a?p/q.由a?1?(p?q)/q，則a?1也是有理數(shù)，這與已知矛盾.∴ a是無(wú)理數(shù).3.小結(jié)：反證法是從否定結(jié)論入手，經(jīng)過(guò)一系列的邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，從而說(shuō)明原結(jié)論正確.注意證明步驟和適應(yīng)范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問(wèn)題）

三、鞏固練習(xí)： 1.練習(xí)：教材P541、2題2.作業(yè)：教材P54A組3題.