第一篇：高二數(shù)學(xué)不等式練習(xí)題及答案(經(jīng)典)

不等式練習(xí)題

一、選擇題

1、若a,b是任意實數(shù),且a＞b,則

（）（A）a2＞b

2（B）b11＜1

（C）lg(a-b)＞0

（D）()a＜()b a222、下列不等式中成立的是

（）

1+a≥2(a?0)at?111（C）＜(a＞b)

（D）a2≥at(t＞0,a＞0,a?1)ab113、已知a >0,b >0且a +b=1, 則(2?1)(2?1)的最小值為

（）

ab（A）lgx+logx10≥2(x＞1)

（B）

(A)6

(B)7

(C)8

(D)9

4、已給下列不等式(1)x3+ 3 >2x(x∈R);(2)a5+b5> a3b2+a2b3(a ,b∈R);(3)a2+b2≥2(a－b－1), 其中正確的個數(shù)為

（）

(A)0個

(B)1個

(C)2個

(D)3個

5、f(n)= n2?1－n , ?(n)=(A)f(n)

(B)f(n)

(D)g(n)

（）2n

6、設(shè)x2+y2 = 1, 則x +y

（）

(A)有最小值1

(B)有最小值(C)有最小值－1

(D)有最小值－2

7、不等式|x＋5|＞3的解集是

（）(A){x|－8＜x＜8}

(B){x|－2＜x＜2}(C){x|x＜－2或x＞2＝

(D){x|x＜－8或x＞－2＝

8、若a，b，c為任意實數(shù)，且a＞b，則下列不等式恒成立的是

（）(A)ac＞bc

(B)|a＋c|＞|b＋c|

(C)a2＞b(D)a＋c＞b＋c x?31x2?2x?329、設(shè)集合M={x|≤0},N={x|x+2x-3≤0},P={x|()≥1},則有

（）x?12（A）M?N=P

（B）M?N?P

（C）M=P?N

（D）M=N=P

10、設(shè)a,b∈R,且a+b=3,則2a+2b的最小值是

（）（A）6

（B）

42（C）22

（D）26

11、若關(guān)于x的不等式ax2＋bx－2＞0的解集是???,???1??1????,???，則ab等于（）2??3?(A)－24

(B)24

(C)14

(D)－14

12、如果關(guān)于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a 的取值范圍是

（）(A)(??,2]

(B)(??,?2)

(C)(?2,2]

(D)(－2,2)

13、設(shè)不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x)≥0的解集為?，則不等式

f(x)?0的解集是

（）g(x)(A)?

(B)(??,1)?(2,??)

(C)[1，2]

(D)R

14、xx的解集是

（）?x?2x?(A)(－2,0)

(B)(－2,0)

(C)R

(D)(－∞,－2)∪(0,+ ∞)

15、不等式3?1?x?3的解集是

（）

3(A)(－∞,1)

(B)(33,1)

(C)(,1)

(D)R 4

4二、填空題

1、若x與實數(shù)列a1,a2,…,an中各數(shù)差的平方和最小,則x=________.2、不等式xlog1x21?的解集是________.x3、某工廠產(chǎn)量第二年增長率是p1,第三年增長率是p2,第四年增長率是p3且p1＋p2＋p3=m(定值),那么這三年平均增長率的最大值是________.b224、a≥0,b≥0,a＋=1,則a1?b的最大值是________.225、若實數(shù)x、y滿足xy＞0且x2y=2,則xy＋x2的最小值是________.6、x＞1時，f(x)=x＋116x的最小值是________，此時x=________.?2xx?1

7、不等式log4(8x－2x)≤x的解集是________.8、不等式11的解集是________.?xx4?12?

329、命題①：關(guān)于x的不等式(a－2)x＋2(a－2)x－4＜0對x?R恒成立;命題②：f(x)=－(12x－3a－a)是減函數(shù).若命題①、②至少有一個為真命題,則實數(shù)a的取值范圍是________.10、設(shè)A={x|x≥

三、解答題 1,x?R},B={x|2x?1＜3,x?R＝,則D=A∩B=________.xx2?9x?111、解不等式：2≥7.x?2x?

12、解不等式：x4－2x3－3x2＜0.3、解不等式：9x?5≥－2.x2?5x?624、解不等式：9?x?26x?x2＞3.5、解不等式：x?3x?2＞x＋5.6、若x2＋y2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。

7、若x,y＞0，求x?yx?y的最大值。

8、已知關(guān)于x的方程x2＋(m2－1)x＋m－2=0的一個根比－1小，另一個根比1大，求參數(shù)m的取值范圍。

9、解不等式：loga(x＋1-a)>1.10解不等式8?x?x?3.不等式練習(xí)答案

一、DADCB

DDDAB

BCBAB

二、1、321m(a1＋a2＋…＋an)2、0＜x＜1或x＞2 3、4、5、3

4n31?5)8、0＜x＜log23

9、-3＜x≤2 6、8,2＋

37、(0,log2210、－12≤x＜0或1≤x＜4

三、1、[－12,1]∪(1,43)

2、(－1,0)∪(0,3)

3、(－∞,2)∪(3,＋∞)

5、(－∞,－2313)6、1，347、28、－2＜m＜0

9、解：(I)當(dāng)a>1時，原不等式等價于不等式組：??x?1?a?0，?x?1?a?a.解得x>2a-1.(II)當(dāng)01時，不等式的解集為{x|x>2a-1}；

當(dāng)0

或(2)???8?x?0?8?x?(x?3)2?x?3?0

由(1)得3?x?5?212，由(2)得x＜3，故原不等式的解集為??x|x?5?21??2? ?

4、(0,3)

第二篇：不等式練習(xí)題(帶答案)

不等式基本性質(zhì)練習(xí)

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）１．若a>0, b >0,則(a?b)（A．

21a?1b)的最小值是

D．

4（）

B．22 C．42

2．分析法證明不等式中所說的“執(zhí)果索因”是指尋求使不等式成立的 A．必要條件 C．充要條件

1a

1b

（）

1a

1b

B．充分條件 D．必要或充分條件

3．設(shè)a、b為正數(shù)，且a+ b≤4，則下列各式中正確的一個是

A．

?

?

1D．

1a?1b

?

2（）

B．??1 C．

1a

?

1b

?2

4．已知a、b均大于1，且logaC·logbC=4，則下列各式中，一定正確的是

A．a(chǎn)c≥b 5．設(shè)a=2，b=7?

A．a(chǎn)>b>c

B．a(chǎn)b≥c

3，c?

6?

（）

C．bc≥a D．a(chǎn)b≤c

（）

2，則a、b、c間的大小關(guān)系是

B．b>a>c

a?mb?m

C．b>c>a

?ab

D．a(chǎn)>c>b

（）

6．已知a、b、m為正實數(shù)，則不等式

A．當(dāng)a< b時成立C．是否成立與m無關(guān)

B．當(dāng)a> b時成立D．一定成立

（）

7．設(shè)x為實數(shù)，P=ex+e-x，Q=(sinx+cosx)2，則P、Q之間的大小關(guān)系是

A．P≥Q

ab

B．P≤Q

ab

C．P>Q

ab

D． P

ab?

18．已知a> b且a+ b <0，則下列不等式成立的是

A．

?1

（）

B． ?1 C． ?1 D．

9．設(shè)a、b為正實數(shù)，P=aabb，Ｑ=abba，則P、Q的大小關(guān)系是

A．P≥Q

B．P≤Q

C．P=Q

（）

D．不能確定

10．甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以

速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，則甲、乙兩人到達指定地點的情況是 A．甲先到

B．乙先到

C．甲乙同時到

（）

D．不能確定

二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）

11．若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是．12．已知a>1，a=100，則lg(ab)13．使不等式a>b?1，lg(a－b)>0，2>

2b

2lgb

a

ab-

1同時成立的a、b、1的大小關(guān)系是．

14．建造一個容積為8m，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為

120元和80元．

三、解答題（本大題共6題，共76分）

15．若a、b、c都是正數(shù)，且a+b+c=1，求證：(1–a)(1–b)(1–c)≥8abc．（12分）

16．設(shè)a?0,a?1,t?0,試比較

17．已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)2（12分）

18．已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac + bd．（12分）

12log

a

t與log

t?

1a的大?。?2分）

19．設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm，畫面的寬與高的比為λ（λ<1），畫面的上下各

留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最??？（14分）

20．?dāng)?shù)列{xn}由下列條件確定：x1?a?0,xn?1?

2(xn?

axn),n?N．

（Ⅰ）證明：對n≥2，總有xn≥a；（Ⅱ）證明：對n≥2，總有xn≥xn?1．（14分）

參考答案

一．選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

二．填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）11．x≥912．2213．a(chǎn)>b>114．1760

三、解答題（本大題共6題，共76分）15．（12分）

[證明]：因為a、b、c都是正數(shù)，且a+b+c=1，所以(1–a)(1–b)(1–c)=(b+c)(a+c)(a+b)≥2

16．（12分）[解析 ]： log

t?1

a

·2·2ab=8abc．

?log

a

t?log

a

t?1

2t

?t?0,t?1?2t（當(dāng)且僅當(dāng)t=1時時等號成立）?

t?12tt?12t

?1

（1）當(dāng)t=1時，log

t?1

a

t?1

?log

a

t（2）當(dāng)t?1時，t?1

12?

?1，若a?1,則log

a

2t

a

?0,log

a

a

?log12

a

t t

若0?a?1,則log

17．（12分）

t?12t

?0,log

t?12

log

a

[證明]：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比數(shù)列，b

又∵a，b，c都是正數(shù)，所以0?b?

?ac

ac≤a?c?a?c∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0 ∴a2?b2?c2?(a?b?c)2

18．（12分）

[證法一]：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正數(shù)∴要證：xy≥ac + bd

只需證：(xy)2≥(ac + bd)2即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd展開得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd

即：a2d2 + b2c2≥2abcd由基本不等式，顯然成立∴xy≥ac + bd [證法二]：（綜合法）xy =a2?b2

c?d

?ac?bc?ad?bd

(ac?bd)

22222222

≥a2c2?2abcd?b2d2?[證法三]：（三角代換法）

?ac?bd

∵x2 = a2 + b2，∴不妨設(shè)a = xsin?,b = xcos?

y2 = c2 + d2c = ysin?,d = ycos?

∴ac + bd = xysin?sin? + xycos?cos? = xycos(? ? ?)≤xy 19．（14分）

[解析]：設(shè)畫面高為x cm，寬為?x cm 則?x2=4840．

設(shè)紙張面積為S，有 S=（x +16）(?x +10)=? x 2+(16?+10)x +160,S=5000+44(??5).?

當(dāng)8

??

?,即??

4840

(?1)時S取得最小值.88

?88cm,寬：

此時，高：x?

?

?x?

?88?55cm,答：畫面高為88cm，寬為55cm時，能使所用紙張面積最?。?20．（14分）

（I）證明：由x1?a?0,及x

從而有x

axn

n?1

?

a

(xn?

axn),可歸納證明xn

?0（沒有證明過程不扣分）

a成立.n?1

?

(xn?)?

xn?

xn

?a(a?N).所以，當(dāng)n?2時,x?

axn)

（II）證法一：當(dāng)n?2時,因為x?

n

所以x

a

a?0,xn?1?

(xn?

n?1

1a?xn

?xn?(xn?)?xn???0,故當(dāng)n?2時,xn?xn?1成立.2xn2xn

?2時,因為x?

a?0,xn?1?

12(xn?

axn)

證法二：當(dāng)n

所以xn?1

xn

?

(xn?xn

axn)?

xn?a2x

n

?

xn?xn

2n

?1

故當(dāng)n?2時,xn?xn?1成立.

第三篇：高二數(shù)學(xué)----不等式的證明題及解答

不等式的證明訓(xùn)練題及解答

一、選擇題

(1)若logab為整數(shù),且loga1122>logablogba,那么下列四個結(jié)論①>b>a②logab+logba=0bb

③0

x1|>2且|x2|>2x1+x2x1+x2|<4x1|=4且|x2|=

1+(3)若x,y∈R,且x≠y,則下列四個數(shù)中最小的一個是（）11

?)xy

(4)若x>0,y>0,且x?y≤ax?y成立,則a的最小值是（）

2(5)已知a,b∈R,則下列各式中成立的是（）

22cos2sin2θ·lga+sinθ·lgb

222θsin2θθ·lga+sinθ·lgb>lg(a+bcos·b>a+b

+(6)設(shè)a,b∈R,且ab-a-b≥1,則有（）++b≥2(2+1)+b≤+b≥(2+1)2+b≤2(2+1)

二、填空題

22(7)已知x+y=1,則3x+4y2(8)設(shè)x=?y,則x+y(9)若11≤a≤5,則a+5a(10)A=1+111????與n(n∈N)2n

(11)實數(shù)x=x-y,則xy

三、解答證明題

2422(12)用分析法證明:3(1+a+a)≥(1+a+a)

(13)用分析法證明:ab+cd≤

a2?c2?(14)用分析法證明下列不等式:

(1)求證:?7?1?(2)求證:x?1?(3)求證:a,b,c∈R,求證:2（+

x?2?x?3?x?4(x≥4)

a?ba?b?c?)?3(?abc)23

(15)若a,b>0,2c>a+b,求證:(1)c>ab；（2）c-c2?ab2,求證:

+

1?x1?y

與中至少有一個小于yx

(17)設(shè)a,b,c∈R,證明:a+ac+c+3b(a+b+c)≥(18)已知1≤x+y≤2,求證:

122

≤x+xy+y≤2

n(n?1)(n?1)2

?an?(19)設(shè)an=?2?2?3???n(n?1)(n∈N),求證:對所有n(n22

*

∈N)2

(20)已知關(guān)于x的實系數(shù)二次方程x+ax+b=0,有兩個實數(shù)根α,β,證明:(1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|α|<4+b且|b(2)如果2|α|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β不等式的證明訓(xùn)練題參考答案：

1．A2．B3．D4．B5．A6．A

*

7．58．-19．［2,26

］10．A≥n11．(-≦,0)∪［4,+≦］ 5

12．證明:要證3(1+a+a)≥(1+a+a)

222222222

只需證3［(1+a)-a］≥(1+a+a),即證3(1+a+a)(1+a-a)≥(1+a+a)≧1+a+a=(a+

123)+>0 24

只需證3(1+a-a)≥1+a+a，展開得2-4a+2a≥0，即2(1-a)≥02422

故3(1+a+a)≥(1+a+a)13．證明:①當(dāng)ab+cd<0時,ab+cd

②當(dāng)ab+cd≥0時,欲證ab+cd≤a?c?b?d

2222

只需證(ab+cd)≤(a2?c2?b2?d2)

展開得ab+2abcd+cd≤(a+c)(b+d)

***2

即ab+2abcd+cd≤ab+ad+bc+cd，即2abcd≤ad+bc

22222

只需證ad+bc-2abcd≥0，即(ad-bc)≥0

因為(ad-bc)≥0ab+cd≥0時,ab+cd≤a2?c2?b2?d22

22222222

綜合①②可知:ab+cd≤a2?c2?b2?d214．證明:(1)欲證?7?1? 只需證(?)2?(1?)2

展開得12+235>16+2,即2>4+2 只需證(2)>(4+2)，即4>這顯然成立

故?7?1?(2)欲證x?1?只需證x?1?即證(x?1?

x?2?x?3?x?4(x≥4)x?4?x?3?x?2(x≥4)

x?4)2?(x?3?x?2)2(x≥4)

展開得2x-5+2x?1?x?4?2x?5?2x?3?x?2 即x?1)(x?4)?(x?3)(x?2)

只需證［x?1)(x?4)］<［(x?3)(x?2)］

即證x-5x+4

x?1?x?2?x?3?x?4(x≥4)(3)欲證2（a?ba?b?c?ab)≤3(?abc)23

只需證a+b-2ab≤a+b+c-3

即證c+2ab≥3

+

≧a,b,c∈R，?c+2ab=c+ab+ab≥3c?ab?ab?3

?c+2ab≥3abc15．證明:（1）≧ab≤（a?b222)

（2）欲證c-c2?ab

只需證-c2?ab

只需證a(a+b)<2ac

≧a>0,只要證a+b<2c(已知)16．證明:(反證法):假設(shè)

1?y1?x1?y1?x

與均不小于2,即≥2,≥2,?1+x≥2y,1+y≥2xyxy

兩式相加得:x+y≤2,與已知x+y>2矛盾, 故

1?x1?y

與中至少有一個小于yx

17．證明:目標(biāo)不等式左邊整理成關(guān)于a的二次式且令 f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+32222

判別式Δ=(c+3b)-4(c+3b+3bc)=-3(b+c)≤0

222

當(dāng)Δ=0時,即b+c=0,a+(c+3b)a+c+3b+3bc≥02

18．證明:設(shè)x=kcosθ,y=ksinθ,1≤k≤2

sin2θ)2

13212222

≧sin2θ∈［-1,1］?k≤k(1+sin2θ)≤k,故≤x+xy+y≤222

n(n?1)2

19．證明:≧n(n?1)?n=n,?an>1+2+3+…+n=

1?22?3n?(n?1)2(1?2???n)?nn(n?1)n又an????????

222222

?x+xy+y=k(cosθ+cosθsinθ+sinθ)=k(1+

n(n?2)n2?2n?1(n?1)2

???,故命題對n∈N222

20．證明:依題設(shè)及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)得:α+β=-a,αβ=:(1)(2)等價

于證明|α|<2,|β|<2?2|α+β|<4+αβ,且|αβ???????4??4??4

???22??2222

???????4??4??16?0?4(???)?(4???)?2???4??????4

??2

??(??4)(??4)?0

??4??4

???2?

????4或??2?4??2?4??2?4??4??4

??

???2或??2????4

??

??2??2,??2.?

???2

?????2???2

??

第四篇：高二數(shù)學(xué)不等式的證明

高二數(shù)學(xué)不等式的證明(二)

[本周學(xué)習(xí)內(nèi)容]不等式證明中的綜合證明方法：

1.換元法：通過適當(dāng)?shù)膿Q元，使問題簡單化，常用的有三角換元和代數(shù)換元。

2.放縮法：理論依據(jù)：a>b,b>ca.c，找到不等號的兩邊的中間量，從而使不等式成立。

3.反證法：理論依據(jù)：命題“p”與命題“非p”一真、一假，證明格式

[反證]：假設(shè)結(jié)論“p”錯誤，“非p”正確，開始倒推，推導(dǎo)出矛盾(與定義，定理、已知等等矛盾)，從而得 到假設(shè)不正確，原命題正確。

4.數(shù)學(xué)歸納法：這是一種利用遞推關(guān)系證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題，可以是等式、不等式、命題。

證明格式：

(1)當(dāng)n=n0時，命題成立；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立；

則當(dāng)n=k+1時，證明出命題也成立。

由(1)(2)知：原命題都成立。

[本周教學(xué)例題]

一、換元法：

1.三角換元：

例1.求證：

證一：(綜合法)

即：

證二：(換元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,[0,π]

則

∵-1≤sin2≤1

例2.已知x>0，y>0，2x+y=1，求證：

分析：由于條件給出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1這一特點是解決問題的重要環(huán)節(jié)。由本題中x>0，y>0,2x+y=1的條件也可用三角代換。

證一：

證二：由x>0,y>0，2x+y=1，可設(shè)

則

例3.若x2+y2≤1，求證：

證：設(shè)

則

例4.若x>1，y>1，求證：

證：設(shè)

則

例5.已知：a>1,b>0，a-b=1，求證：

證：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨設(shè)

則

小結(jié)：若0≤x≤1，則可令

若x2+y2=1，則可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π)

若x2-y2=1，則可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)

若x≥1，則可令

2.代數(shù)換元：，若xR，則可令

例6：證明：若a>0，則

證：設(shè)

則

即

∴原式成立

小結(jié)：還有諸如“均值換元”“設(shè)差換元”的方法。

二、放縮法：

例7.若a,b,c,dR+，求證：

證：記

∵a,b,c,dR+

∴1

例8.當(dāng)n>2時，求證：logn(n-1)logn(n+1)<1

證：∵n>2 ∴l(xiāng)ogn(n-1)>0，logn(n+1)>0

∴n>2時，logn(n-1)logn(n+1)<1

例9.求證：

證：

三.反證法

例10.設(shè)0

證：設(shè)

則三式相乘： ①

又∵0

同理：

以上三式相乘：

∴原式成立

與①矛盾

例11.已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0

證：設(shè)a<0，∵abc>0，∴bc<0

又由a+b+c>0，則b+c=-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 與題設(shè)矛盾

又：若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可證：b>0，c>0

四.構(gòu)造法：

1.構(gòu)造函數(shù)法

例12.已知x>0，求證：

證：構(gòu)造函數(shù)

由

顯然

∴上式>0

∴f(x)在 上單調(diào)遞增，∴左邊

例13.求證：

證：設(shè)

用定義法可證：f(t)在上單調(diào)遞增，令：3≤t1

例14.已知實數(shù)a,b,c，滿足a+b+c=0和abc=2，求證：a,b,c中至少有一個不小于2。

證：由題設(shè)：顯然a,b,c中必有一個正數(shù)，不妨設(shè)a>0

則有兩個實根。

例15.求證：

證：設(shè)

當(dāng)y=1時，命題顯然成立，當(dāng)y≠1時，△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0

綜上所述，原式成立。(此法也稱判別式法)

例16.已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd

證一：(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正數(shù)

∴要證：(xy)≥ac+bd

只需證

即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd

展開得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd

即：a2d2+b2c2≥2abcd

由基本不等式，顯然成立

∴xy≥ac+bd

證二：(綜合法)

證三：(三角代換法)

∵x2=a2+b2，∴不妨設(shè)

y2=c2+d

2五.數(shù)學(xué)歸納法：

例17.求證：設(shè)nN，n≥2，求證：

分析：關(guān)于自然數(shù)的不等式?？捎脭?shù)學(xué)歸納法進行證明。

證：當(dāng)n=2時，左邊，易得：左邊>右邊。

當(dāng)n=k時，命題成立，即：成立。

當(dāng)n=k+1時，左邊

又

；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)；

于是可得：

即當(dāng)n=k+1時，命題也成立；

綜上所述，該命題對所有的自然數(shù)n≥2均成立。

[本周參考練習(xí)]

證明下列不等式：

1.提示：令，則(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用△法，分情況討論。

2.已知關(guān)于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(aR)，對任意實數(shù)x恒成立，求證：

提示：分

3.若x>0，y>0，x+y=1，則

提示：左邊

令t=xy，則

在 上單調(diào)遞減

4.已知|a|≤1，|b|≤1，求證：，提示：用三角換元。

5.設(shè)x>0，y>0，求證：a

放縮法

6.若a>b>c，則

10.左邊

11.求證：高二數(shù)學(xué)不等式的應(yīng)用

三.關(guān)于不等式的應(yīng)用：

不等式的應(yīng)用主要圍繞著以下幾個方面進行：

1.會應(yīng)用不等式的證明技巧解有關(guān)不等式的應(yīng)用題：利用不等式求函數(shù)的定義域、值域；求函數(shù)的最值；討論方程的根的問題。

(求極值的一個基本特點：和一定，一般高，乘積撥了尖；積不變，兩頭齊，和值得最低。)在使用時，要注意以下三個方面：“正數(shù)”、“定值”、“等號”出現(xiàn)的條件和成立的要求，其中“構(gòu)造定值”的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用在極值使用中有著相當(dāng)重要的作用。

2.會把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題進而建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和運用數(shù)學(xué)的意識。

3.通過不等式應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)，進一步激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣。

四、不等式的應(yīng)用問題舉例：

例10.已知a、b為正數(shù)，且a+b=1，求

最大值。

分析：在一定的條件限制下出現(xiàn)的最值問題，在變式的過程中，如何減少變形產(chǎn)生的錯誤也是必不可少的一個環(huán)節(jié)。

解：由可得；

小結(jié)：如果本題采用

兩式相加而得：號是否取到，這是在求極值時必須堅持的一個原則。

；則出現(xiàn)了錯誤：“=”

例11.求函數(shù)的最小值。

分析：變形再利用平均值不等式是解決問題的關(guān)鍵。

解：

即f(x)最小值為-1

此類問題是不等式求極值的基本問題；但如果再改變x的取值范圍(當(dāng)取子集時)，要則要借助于函數(shù)的基本性質(zhì)解決問題了。

例12.若4a2+3b2=4，試求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。的某一個

分析：在解決此類問題時，如何把4a2+3b2=4拆分成與(2a2+1),(b2+2)兩個式子的代數(shù)和則是本問題的關(guān)鍵。

解：

當(dāng)且僅當(dāng)：4a2+2=3b2+6，即

時取等號，y的最大值為8。

小結(jié)：此問題還有其它不同的解法，如三角換元法；消元轉(zhuǎn)化法等等。但無論使用如何種廣泛，都必須注意公式中的三個運用條件(一正，二定，三等號)

例13.已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此時的x、y的值。

分析：考查分式的最值時，往往需要把分式拆成若干項，然后變形使用平均值不等式求解。

解：∵x>y>0 ∴x-y>0

又∵x·y=1，也即：；當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。

也即；時，取等號。

例14.設(shè)x，y，z∈R+，x+y+z=1，求證：的最小值。

分析：此類問題的關(guān)鍵是如何使用平均值不等式，兩條途徑1.利用進而進行類加。

2.另一個途徑是直接進行1的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化。但無論如何需要注意的是驗證“=”號成立。本題使用1的構(gòu)造代入。

解：∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1

當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”號，的最小值為9。

小結(jié)：本題如果采用三式類加，得到：，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得：

。進而言之，的最小值為5，則出現(xiàn)了一個錯誤的結(jié)果，其關(guān)鍵在于三個“=”號是否同時成立。

例15.已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，試比較 a，b，c的大小。

分析：此問題只給出了幾何簡單的不等式關(guān)系，故要判斷大小必須在這幾個不等式中進行變形分析才可解決問題。

解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac

又∵a>0,∴b≥c,(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，取等號)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式變形為：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2≥c2，結(jié)合：b>c可得：b>c>0

又由b>a可得：2ab>2a2，綜上所述，可得：b>c>a

小結(jié)：本題中熟練掌握不等式的基本性質(zhì)和變形是解決問題的關(guān)鍵。

例16.某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左，右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時？蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少？

分析：如何把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，是應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識和方法解決實際問題的基本能力。

解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為am，后側(cè)邊長為bm，則ab=800

蔬菜的種植面積S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)

所以

當(dāng)a=2b，即a=40(m),b=20(m)時，=648(m2)

答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m2.例17.某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降，若不能進行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的利潤為

(Ⅰ)設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為An萬元，進行技術(shù)改造后的累計純利潤為Bn萬元(須扣除技術(shù)改造資金)，求An、Bn的表達式；

(Ⅱ)依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤？

分析：數(shù)學(xué)建模是解決應(yīng)用問題的一個基本要求，本問題對建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的基礎(chǔ)知識，運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力都有著較高的要求。

解：(Ⅰ)依題設(shè)，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2；

(Ⅱ)

因為函數(shù)上為增函數(shù)，當(dāng)1≤n≤3時，當(dāng)n≥4時，∴僅當(dāng)n≥4時，Bn>An。

答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤。

小結(jié)：如何進行數(shù)學(xué)建模最基本的一個方面就是如何把一個實際中的相關(guān)因素進行分析，通過文字說明轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系或者是相互關(guān)系，再把文字關(guān)系處理為數(shù)學(xué)關(guān)系。

五、本周參考練習(xí)

1.已知a>0 ,b>0,a+b=1，證明：

2.如果△ABC的三內(nèi)角滿足關(guān)系式：sin2A+sin2B=sin2C，求證：

3.已知a、b、c分別為一個三角形的三邊之長，求證：

4.已知x，y是正數(shù)，a，b是正常數(shù)，且滿足：，求證：

5.已知a，b，c∈R+，求證：

6.已知a>0，求的最值。(答最小值為)

7.證明：通過水管放水，當(dāng)流速相等時，如果水管截面(指橫截面)的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大。

8.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積8m2，問x、y分別為多少(精確到0.001m)時用料最?。?/p>

(答：當(dāng)x為2.34m，y為2.828m時，用料最省。)高二數(shù)學(xué)練習(xí)三

1.xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一個充分不必要條件是()

A.|x|<1

B.x<1

C.|x|>1

D.x<-1或|x|<1

2.已知實數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=0，abc>0，則：的值()

A.一定是正數(shù)

B.一定是負數(shù)

C.可能是0

D.無法確定

3.已知a,b,c是△ABC的三邊，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0（）

A.有兩個不相等的實根

B.有兩個相等的實根

C.沒有實數(shù)根

D.要依a，b，c的具體取值確定

4.設(shè)0

A.C.5.設(shè)a,bR+，則A，B的大小關(guān)系是（）

B.D.A.A≥B

B.A≤B

C.A>B

D.A

6.若實數(shù)m，n，x，y滿足m2+n2=a，x2+y2=b，則mx+ny的最大值是（）

A.B.C.D.7.設(shè)a，b，cR+，則三個數(shù)

A.都大于2

B.都小于2

（）

C.至少有一個不大于2

D.至少有一個不小于2

8.若a，bR+，滿足a+b+3=ab，則

9.設(shè)a>0,b>0.c>0，a+b+c=1，則的取值范圍是_____ 的最大值為_____

10.使不等式

答案：

1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B

7.D 8.9.10.a>b>0且a-b>1

都成立的a與b的關(guān)系是_____

第五篇：高二英語強調(diào)句練習(xí)題-及答案

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高二強調(diào)句練習(xí)題-英語

1.My bike is missing.I can't find ____ anywhere.A.one B.ones C.it D.that 2.—— Who's that？ ____ Professor Li.A.That's B.It's C.He's D.This's 3.____ was Jane that I saw in the library this morning.A.It B.He C.She D.That 4.—— Have you ever seen a whale alive？ Yes, I've seen ____.A.that B.it C.such D.one 5.The color of my coat is different from ____ of yours.A.this B.that C.it D.one 6.____ will do you good to do some exercise every morning.A.It B.There C.Those D.You 7.We think ____ our duty to pay taxes to our government.A.that B.this C.its D.it 8.The climate of Shanghai is better than ____ of Nanjing.A.that B.it C.which D.what 9.____ four years since I joined the Army.A.There was B.There is C.It was D.It is 10.How long ____ to finish the work？

A.you'll take B.you'll take it C.will it take you D.will take you 高考網(wǎng)

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004km.cn 11.It was through Xiao Li ____ I got to know Xiao Wang.A.who B.whom C.how D.that 12.It was in the rice fields ____ we had our league meeting.A.where B.that C.in which D.on which 13.It was on October 1st ____ new China was founded.A.which B.when C.as D.that 14.Was it because he was ill ____ he asked for leave？ A.and B.that C.that's D.so 15.Mary speaks in a low voice； ____ is difficult to know what she is saying.A.it B.that C.so D.she 16.It was ____ I met Mr.Green in Shanghai.A.many years that B.many years before C.many years ago that D.many years when 17.____ is not everybody ____ can draw so well.A.It，all B.It，that C.There，who D.There，that 18.So ____ that no fish can live in it.A.shallow is the lake B.the lake is shallow C.shallow the lake is D.is the lake shallow

高二強調(diào)句練習(xí)題-英語（答案）

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004km.cn 1-5 CBADB 6-10 ADADC 11-15 DBDBA 16-18 CBA

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