第一篇：2006年6月3日《高等數(shù)學(xué)》競賽試題 答案

中國農(nóng)業(yè)大學(xué)2006年《高等數(shù)學(xué)》競賽試題參考答案

2006/06/03

一． 求極限

解 由 an?2limn??22?2（n次復(fù)合）。

an?2an?1知

a1?2?2,a2?2a1?4?2,?，2an?1?4?2，?an?有上界； ?anan?1?2an?1,an?1?an，?an?單增，又an?2an?1,由單調(diào)有界數(shù)列必有極限知，?an?有極限。不妨設(shè) liman?a,n???a?2a,a?2，即 limn??22?2?2。

二、xu設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù), 證明 ???f(t)dt?du??0?o???x0(x?u)f(u)du。

證 方法一 令 F(u)???0u0f(t)dt, 則由分部積分法得，x?x0?uf(t)dt?du?????o?xF(u)du?uF(u)0??x0xuF?(u)du

?xF(x)? ?方法二 令 F1(x)? F2(x)? 因為 F1?(x)? F2?(x)??x0uf(u)du?x?f(t)dt?0?x0uf(u)du

?x0xf(u)du??x0uf(u)du???x0x0(x?u)f(u)du。(x?u)f(u)du ?x0x0?uf(t)dt?du, F(x)?2????o??(x?u)f(u)du?x?x0f(u)du??x0uf(u)du

?x0x0f(t)dt

f(u)du?xf(x)?xf(x)???x0f(t)dt

所以F1(x)?F2(x)?C.又由于F1(0)?F2(0)?0,所以C?0.xu因此, ???f(t)dt?du?0??o???x0(x?u)f(u)du。

三．若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[2,4]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且f(2)?f(4)?0,試證明:

?42f(x)dx?maxf?(x)2?x?4

證法一 利用拉格朗日中值定理 f(x)?f(x)?f(2)?f?(?1)(x?2),?1?(2,x)

?f(x)?f(4)?f(x)?f?(?2)(4?x),?2?(x,4)

f(x)?M(4?x)，f(x)dx 若記 M?maxf?(x), 則有 f(x)?M(x?2),2?x?44242323243所以 ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?????M(x?2)dx?32?43M(4?x)dx

2M?2(x?2)?2?2?x?4?(4?x)??M

3??4證法二 記M?maxf?(x), 對于任意實數(shù)c, ?42f(x)dx??42f(x)d(x?c)

4?[(x?c)f(x)]2??42(x?c)f?(x)dx

??42x?c?f?(x)dx?M?42x?cdx

令 c??3, 則有 ?42f(x)dx?M?42x?3dx?M?maxf?(x)

2?x?4證法三 由于f(2)?f(4)?0,根據(jù)牛頓_萊布尼茨公式,有

f(x)??x2f?(t)dt??x4f?(t)dt

若記M?maxf?(x), 則有f(x)?M(x?2),2?x?44242323243f(x)?M(4?x)，f(x)dx ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx????M(x?2)dx??43M(4?x)dx?M

四． 設(shè)函數(shù)f?x?在?0,1?上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)?f(1)?0，證明 存在???0,1?，使f??????2f????1??。

證

令 F?x???1?x?f?x?，F(xiàn)(0)?F(1)?0，在?0,1?上用羅爾定理知，存在???0,1?，使 F??????1???f?????f????0。

再令G?x???1?x?f??x??f?x?，G(?)?G(1)?0，在??,1?上再用羅爾定理知，存在????,1???0,1?，使G?(?)?0，即 f??????2f????1??。

五． 證明：曲面xyz?a3（a?0為常數(shù)）上任意點處的切平面與三個坐標(biāo)面

所形成的四面體的體積為常數(shù)。

證 令 F?x，y，z??xyz?a3

則Fx??yz，F(xiàn)y??xz，F(xiàn)z??xy

設(shè)?x0，y0，z0?為曲面xyz?a3上的任意一點，則在該點處的切平面方程為

y0z0?x?x0??x0z0?y?y0??x0y0?z?z0??0

化為截距式，有

x3x0?y3y0?z3z0?1

所以，所求四面體的體積為

V? 163x0?3y0?3z0?92x0y0z0?92a3

即所求體積為常數(shù)。

六．判別級數(shù)

?1!?2??2!?2??3!?2????n!?2 ??2n?!n?1?的斂散性。

解

0?un??1!?2??2!?2??3!?2????n!?2?2n?!?n?1????n?1?!?2?2?n?1??!2n??n!??2n?!???n!?2??n!?2??n!?2????n!?2?2n?!14?n??n!?2?2n?!?vn

而 limvn?1vnn???limn???n?1?3?lim?n??n?2n?1??2n?2??1

?所以，由比值判別法，知級數(shù)?vn?n?1????2n?!n?1n??n!?2收斂。

再由比較判別法知級數(shù)?unn?1?1!?2??2!?2??3!?2????n!?2???2n?!n?1收斂。

七．設(shè)函數(shù)f(x)在(??,??)上連續(xù)可導(dǎo)，求

1?yf(xy)L2? ydx?xy2[yf(xy)?1]dy2，其中L為從點A(3,)到B(1,2)的直

323 線段。

解 令P?1?yf(xy)y22，Q?xy2[yf(xy)?1]

?P?y?Q?x?[2yf(xy)?xy2f?(xy)]y?1?yf(xy)y2=

23yf(xy)?xyf?(xy)?1y2

?1y2[yf(xy)?1]?2xy2[yf?(xy)]?323yf(xy)?xyf?(xy)?1y2

?P?y??Q?x，故原積分與路徑無關(guān)，選取路徑AC?CB，yB ∴原式=?CB??AC=?2321y1[yf(y)?1]dy?22?1323[1?49f(23x)]dx

CoAx ??[2?3323f(231x)]dx?2?223[f(y)?1y2]dy

23x?u

32x3??32f(u)du??223f(y)dy?1y??4。

23八． 設(shè)半徑為R的球的球心在以原點為中心，半徑為a?2a?R?0?的定球面上點?0,0,a?處，當(dāng)R等于多少時前者夾在定球面內(nèi)部的表面積最大？其中a為常數(shù)。

解

定球球心在以原點，半徑為R的球的球心在?0,0,a?，則兩球面方程分別為

x2?y2?z2?a2,消去z，得

x?y22x?y??z?a??R

2222?R224a?4a22?R22?2

S:?z?x?z?a?xR?x?y，?yR?x?y222?z?yR?x?y222S位于定球面內(nèi)部的面積為

A?R??Dxy????z???z?1???????y??dxdy?x????RR?x?yR2a04a?R2222?Dxy??222dxdy

???02?RR?r22rdrdθ

?2?R?A??R??4?R?2?Ra33?Ra2?0?0舍去

R?A???R??4??4343a,?R?

6?Ra,?4?R???a???4??0 ?3?故當(dāng)R?a時，A?R?最大。

第二篇：6月3日日記

今天終于看到兒子的畢業(yè)照了，看著愛不釋手，十五個班的畢業(yè)照被編輯在一本畢業(yè)紀(jì)念冊上，帶有青春氣息的封面，大部分班級學(xué)生都穿上了從網(wǎng)上訂購的班服，男孩帥氣，女孩漂亮，每個班的畢業(yè)照下面都寫了每個同學(xué)的名字，頂端寫了青春寄語，畢業(yè)照后面還有學(xué)校各項活動的剪影，每張畢業(yè)照像一張張青春的畫卷，讓人熱情洋溢。

讓我感慨的是，和兒子高中就讀同一所學(xué)校，二十六年前我高中畢業(yè)，那時沒有畢業(yè)紀(jì)念冊，只有一張照片。時過境遷，學(xué)校里發(fā)生了翻天覆地的變化，沒有了當(dāng)年我學(xué)習(xí)生活的教學(xué)樓，取而代之的是一幢幢漂亮的教學(xué)大樓，砂子泥土的操場變成了先進的足球場和籃球場，路兩旁的小樹苗變成了大樹，階梯教室變成了多功能廳，可容納全校的師生，而我們以前開全校大會只能是在操場上進行。

只有三天就要高考了，從明天起兒子就不用正式上課了，明天上午到學(xué)校進行考前指導(dǎo)，5號和6號學(xué)校放假布置考場，學(xué)生在家做考前準(zhǔn)備，休息調(diào)整。只希望他能發(fā)揮出平常的成績，考上一所理想的大學(xué)。

又一位原公司員工想辭職了，他希望也到老公所在的公司去上班，所以讓老公給他介紹工作。想到這位員工非常倒霉，以前在溫州打工工資一萬多一個月，老總請他回家鄉(xiāng)上班，雖然工資只有外地的一半，他還是回來了，因為在家可以和妻子一起而不用在外漂泊?？蓻]想到在公司上了五年班后，職位下降，工資也不高，現(xiàn)在實在呆不下去了，再回溫州那家公司已是不可能的了。所以每個人都不知道自己的選擇是對是錯，正如老公辭掉工作外出打工一樣，但很喜歡一句話，如果選擇是錯誤的，那就努力把錯誤的選擇變成正確的選擇。

第三篇：6月3日物業(yè)會議內(nèi)容

6月3日物業(yè)會議內(nèi)容

會議時間：2013年6月3日 會議地點：營銷中心會議室

參會人員：保安班長、隊長、協(xié)管、保潔、客服、內(nèi)勤

一、會議內(nèi)容

1、客服匯報上周工作：

1A區(qū)停車場北邊護欄撞爛，水泥墩活動保安沒盡到責(zé)任，○應(yīng)負(fù)全責(zé)賠償。D-3地下通道出口有亂堆亂放垃圾現(xiàn)象需及時清理，另需要打印張貼通知不能亂堆亂放違者罰款，衛(wèi)生良好。

2C區(qū)上周主要以收費為主，六組固定攤位以收費完成。

○3鎖車環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯誤，需要整理流程。

○

2、肖經(jīng)理安排這周工作

1客服工作：客服要通知商鋪自備垃圾容器，6月8日檢

○查商鋪自備垃圾容器，客服對自己區(qū)域的商戶經(jīng)營業(yè)態(tài)聯(lián)系方式車牌號做電子表格統(tǒng)計?？头粚σ坏倪x定區(qū)域組長。客服內(nèi)勤每天早上8點開碰頭會。

2協(xié)管工作：尚東軍負(fù)責(zé)協(xié)管保安處罰工作，協(xié)管保安

○要繼續(xù)引導(dǎo)三輪車向地下停車場停放，東邊水果大棚外商戶不能超出一米，協(xié)管保安負(fù)責(zé)監(jiān)督。

③保潔工作：保潔對下水道繼續(xù)清理，本周四對攤位清洗一遍，繼續(xù)保持良好衛(wèi)生。

④電工工作：電工每周兩次對電表箱檢查，要有記錄。

第四篇：大一高等數(shù)學(xué)競賽策劃

大一高等數(shù)學(xué)競賽策劃

一、目的及意義

高等數(shù)學(xué)是理工科基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，也是學(xué)科建設(shè)的基礎(chǔ)。與物理、物化、工

程力學(xué)、傳輸原理、電工學(xué)等幾乎所有理工科課程有關(guān)。03級實踐證明98%的同學(xué)由于高等數(shù)學(xué)底子薄弱聽不懂課程，導(dǎo)致最后強烈要求將統(tǒng)計熱力學(xué)改為考查課。而且在許多理工類論文的研究突破點上，高等數(shù)學(xué)及其數(shù)學(xué)思維功不可沒。它與考研息息相關(guān)，且與英語兩門決定考研大局。

通過競賽激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)興趣，大一時就打好堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為以后其它知

識學(xué)習(xí)提供必備的學(xué)習(xí)工具。03，04級掛科的同學(xué)也可以參加，這樣可以幫助他們發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中的漏洞及時彌補提高整體通過率。還可以為形成考研隊伍起到引導(dǎo)、啟發(fā)作用。而且在教學(xué)上起到檢驗教學(xué)的目的，并且通過競賽活動希望達到教學(xué)相長的作用。但最重要的還是希望這次活動為材料系學(xué)科建設(shè)形成具有特色的模式進行拋磚引玉，為培養(yǎng)具有后勁人才打下基礎(chǔ)。

為此學(xué)習(xí)部組織本次由學(xué)習(xí)部出題，批卷的高數(shù)競賽活動。并且考完后由學(xué)習(xí)部組織同學(xué)對試題進行詳細講解以及對其它疑問知識的解答。

三、命題及考試方式

① 試題特點：滿分為150分，選擇題12題，每題5分。填空題4題，每題4分。

解答題6題，分別8、10、10、12、12、14分?；A(chǔ)題共106分，壓軸題44分，且采取多題把關(guān)的方式。

② 命題小組：組長：闕永生

成員：李娜、高翠萍、靳冰花、劉文杰

③ 監(jiān)考小組：總監(jiān)：孫強督察：馬建軍（輔導(dǎo)員）

成員：闕永生、魏冰、靳冰花、劉文杰

④ 批卷小組：組長：闕永生

成員：李娜、高翠萍、靳冰花、劉文杰

四、考試安排

時間：12月24日上午9：00 ~ 11：00（考生8：40進入考場）

地點：13#129

五、獎勵方式

一等獎1 名、二等獎1名、三等獎1名、鼓勵獎5名

具體獎勵辦法：一等獎80元、二等獎50元、三等獎20元、鼓勵獎每人鋼筆1支、一等獎、二等獎、三等獎榮譽證書各一份

六、經(jīng)費操作

①

②

③

④

⑤ 獎品費用總計約為225元。試卷用紙30元。光榮榜用紙3元。命題人員活動經(jīng)費每人8元（共40元）?？傆嫞?98元

材料系學(xué)習(xí)部

2005年10月10日

第五篇：6月3日國旗下講話稿

6月3日國旗下講話稿

亮出燦爛微笑志愿服務(wù)社會

------杜占虎

親愛的老師們、同學(xué)們：

大家早上好！今天我在國旗下講話的題目是《亮出燦爛微笑志愿服務(wù)社會》。

活動廣場，他們微笑服務(wù)，為四海賓客熱情服務(wù)；偏遠山鄉(xiāng)，他們走村入戶，為農(nóng)家孩子鋪墊知識道路；大災(zāi)大難，他們迎難而上，為災(zāi)區(qū)人民送去希望的曙光……雖然他們來自不同的地方，說著不同的語言，但是他們卻有著一個共同的名字——志愿者。

同學(xué)們，你們認(rèn)識自愿者嗎？你們身邊有志愿者嗎？12月5日是“國際志愿者日”，從第40 屆聯(lián)大確定1986年12月5日為“國際志愿人員日”起，這一節(jié)日已在全世界各國志愿者中心手相傳了24屆。1994年12月5日，由共青團中央等單位發(fā)起的“中國青年志愿者協(xié)會”在北京正式成立，從此，中國志愿者也加入了世界志愿者服務(wù)的行列中，以“奉獻、友愛、互助、進步”為宗旨開展了許多志愿服務(wù)活動。

“5.12”汶川大地震時，我們看到他們佩戴著黃絲帶、紅絲帶、綠絲帶，哪里有困難，哪里有需要，哪里就有他們的身影。志愿者們對同胞的牽掛、關(guān)愛和無私奉獻，奏響了感天動地的愛的樂章。2008年北京奧運會上，我們看到他們疏導(dǎo)進入賽場的人流、為外國朋友指路、為詢問者答疑……他們用溫暖的問候，用美麗的微笑，用熱情的服務(wù)，給中外賓客留下了深刻印象。

中國志愿者精神是對中華民族團結(jié)友愛、助人為樂、見義勇為、尊老愛幼、尊師重教等傳統(tǒng)美德的繼承和光大，是社會主義時代精神的弘揚和體現(xiàn)。同學(xué)們，讓我們都成為一名小小志愿者，樹立責(zé)任和奉獻意識，弘揚志愿服務(wù)的精神，做推廣好習(xí)慣的小先鋒和宣傳員，用燦爛的微笑帶給別人快樂，用勤勞的雙手帶給他人幸福。

我講話完畢，謝謝大家！